3第三章线性规划应用

1000X1+2000X2+1500X3+2500X4+300X5≥50000
非负性约束 X1≥0 X2≥0 X3≥0 X4≥0 X5≥0 思考：电视费用不超过2万美元？
2、市场营销应用
问以最小访问成本满足合同要求的家庭－时间 访问计划是怎样的？
访问费用： 访问有儿童的家庭需要额外的访问时间 晚间访问费用高 如下表：
护士的最少人数 60 70 60 50 20 30
28
6、人员安排
设第j时段开始上班的人数为Xj,j=1,2,…,6,
目标函数：min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6
约束条件： x1+x2 ≥70
x2+x3 ≥60
x3+x4 ≥ 50
x4+x5 ≥20
x5+x6 ≥30
x6+x1 ≥60
9
2、市场营销应用
1、确定决策变量：各个媒体的使用次数是多少？ 2、确定目标函数：maxZ=65X1+90X2+40X3+60X4+20X5 3、确定约束条件：
媒体可用性X1≤15。。。
预算1500X1+3000X2+400X3+1000X4+100X5≤30000 电视 X1+X2 ≥10 受众
25
5、混合配方问题
销售收入： 原料成本： 目标函数：
26
5、混合配方问题
一般规格汽油的每种 石油成分的用量多少， 及特殊规格汽油的每 种石油成分的用量多 少
P119
27
6、人员安排
序号 1 2 3 4 5 6
时段 06：00——10：00 10：00——14：00 14：00——18：00 18：00——22：00 22：00——02：00 02：00——06：00
家庭情况 有儿童 无儿童
日间（美元） 晚间（美元）
20
25
18
20
12
2、市场营销应用
决策变量 目标函数 约束条件
总数 访问类型（5个） 非负约束
13
3、财政应用
投资 大西洋石油 太平洋石油 中西部钢铁 Huber钢铁 政府债券
投资收益率（%） 7.3 10.3 6.4 7.5 4.5
14
设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0
5
1、生产计划问题
多种产品？
6
1、生产计划问题
产品A 产品B 每天可用 能力
设备A
0
5
15
设备B
6
2
24
调试
1
1
5
单位产品利 2
1
润（元）
7
2、市场营销应用
广告媒体 白天电视
预计受 广告售 每月最多 宣传质
19
5、混合问题
学校准备为学生添加营养餐，每个学生每月至少
需要补充60单位的碳水化合物，40单位的蛋白质 和35单位脂肪. 已知两种营养品每斤:
A
B
含量
变量: X1
X2
碳水化合物
5
2
蛋白质
3
2Байду номын сангаас
脂肪
5
1
非负条件
x1 0, x2 0.
价格：A：1.5, B：0.7 取最小值 20
问题：买 A和B各多少斤，既满足学生 营养需要 又省钱？
五种饲料可供选用，各种饲料每千克所含的营养 元素及单价如下表。
为了避免过多使用某种饲料，规定混合饲料中各 种饲料的最高含量分别为50、60、50、70、40千克。
要求确定满足动物需要而费用最低的饲料配方。
17
4、混合问题
饲料
1 2 3 4 5 需要
营养A(克) 3 2 1 6 18 700 营养B (克) 1 0.5 0.2 2 0.5 30 营养C (毫克) 0.5 1 0.2 2 0.8 200
为了保证售货人员充分休息，售货人员 每周工作 5天，休息两天，并要求休息的两 天是连续的。问应该如何安排售货人员的作
3元
60
3元
70
3元
60
4元
50
4元
20
5元
30
32
6、人员安排（选讲）
探讨1（如何作领导？）
序
时段
护士的最 方案 方案1 方案2 方案3 方案4
号
少人数
1 06：00——10：00 60
x1 50 60 60 40
2 10：00——14：00 70
x2 20 10 10 30
3 14：00——18：00 60
运筹学
Operations Research
1
第3章 线性规划应用
2
线性规划
在一定的约束条件（限制条件）下，使得 某一目标函数取得最大（或最小）值，当 规划问题的目标函数与约束条件都是线性 函数，便称为线性规划。
Linear programming （LP）
3
1、生产计划问题
某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各 产品的利润、各资源的限量和各产品的资源 消耗系数如下表：
家庭情况 日间（美元） 晚间（美元）
有儿童
20
无儿童
18
25 20
11
2、市场营销应用
要求： 至少1000次访问 至少访问400个有儿童的家庭 至少访问400个无儿童的家庭 晚间访问的家庭数量必须不少于日间访问的家庭数目 至少40％的有儿童家庭必须在晚上访问 至少40％的无儿童家庭必须在晚上访问
3、财政应用
10万美元资金，投资方针 1、对钢铁和石油，每个行业的投资不得多
于50000美元 2、对政府债券的投资至少相当于钢铁行业
投资的25% 3、对于太平洋石油，高收益高风险，投资
额不得多于整个石油行业投资的60%
15
3、财政应用
1、确定决策变量：投资方案 2、确定目标函数：
maxZ=0.073X1+0.103X2+0.064X3+0.075X4+0.045X5 3、确定约束条件：
x3 50 50 50 30
4 18：00——22：00 50
x4 0 0
0 20
5 22：00——02：00 20
x5 20 20 30
0
6 02：00——06：00 30
x6 10 10
0
3330
6、人员安排（选讲）
探讨2：转换时间
34
6、人员安排（选讲）
序号 1 2 3 4 5 6
时段 06：00——10：00 10：00——14：00 14：00——18：00 18：00——22：00 22：00——02：00 02：00——06：00
22
5、混合配方问题
产品 规格要求
最小需求(公 最大需求(公
斤)
斤)
1 含B不少于25%， 1000 C不多于20%
2500
2 含A不少于50%， 100 D不多于25%
不限
3 含A和B各不少于 不限 25%，不含C
不限
23
5、混合配方问题
解：令Xij表示用第j种产品中i种原料的数量(公斤)， i=A、B、C、D；j=1，2，3。由于产品3不含有C， 故XC3=0，因此，共有11个变量……
Minz=6 X1 +6 X2 +7 X3 +8 X4 +9 X5 +8 X6
31
若工资变了？
序号
1 2 3 4 5 6
时段
06：00——10：00 10：00——14：00 14：00——18：00 18：00——22：00 22：00——02：00 02：00——06：00
每小时的工资 护士的最 少人数
两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的 作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？
时间
所需售货员人数
星期一
15
星期二
24
星期三
25
星期四
19
星期五
31
星期六
28
星期日
28
6、人员安排（选讲）
人力资源分配的问题 福安商场是个中型的百货商场，它 对售货员的需求经过统计分析如右表：
护士的最 少人数 60
70
60
50
20
30
30
序号1时段上班的人（3元）：3X1+3 X6 序号2时段上班的人（ 3元）：3X1+3X2 序号3时段上班的人（ 3元）：3X2+3X3 序号4时段上班的人（4元）：4X3+4X4 序号5时段上班的人（4元）：4X4+4X5 序号6时段上班的人（5元）：5X5+5X6
非负性约束：xj ≥0,j=1,2,…6
29
若每时段的人员工资不同，我们还可建立最小费用模型
序号
1 2 3 4 5 6
时段
06：00——10：00 10：00——14：00 14：00——18：00 18：00——22：00 22：00——02：00 02：00——06：00
每4小时的工 资 3元 3元 3元 4元 4元 5元
产品1： XA1+XB1+XC1+XD1
产品2： XA2+XB2+XC2+XD2
产品3： XA3+XB3
+XD3
原料A： XA1+XA2+XA3
原料B： XB1+XB2+XB3
原料C： XC1+XC2
原料D： XD1+XD2+XD3
24
5、混合配方问题
规格： XB1≥0.25(XA1+XB1+XC1+XD1) XC1≤0.2(XA1+XB1+XC1+XD1) XA2≥0.5(XA2+XB2+XC2+XD2) XD2≤0.25(XA2+XB2+XC2+XD2) XA3≥0.25(XA3+XB3+XD3) XB3≥0.25(XA3+XB3+XD3) 供应量： 需求量：
表达式： min z 1.5x1 0.7 x2 S.T .5x1 2x2 60
3x1 2x2 40 5x1 x2 35 x1 0, x2 0.
21
5、混合配方问题
一家化工厂将四种原料A、B、C、D混合调 配出三种产品，三种产品的销售价格分别 为每公斤9元、8.5元和8元，各种原料A、 B、C、D的供应量分别是1000、1000， 750和800公斤；单价分别是每公斤5元、6 元、4元和4.5元。该厂应如何安排生产才 能使获得的利润最大？
劳动力 设备 原材料
单位产品利 润（元）
产品A
9 4 3 70
产品B
4 5 10 120
资源限制
360工时 200台时 300公斤
4
1、生产计划问题
问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ 步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg
2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件： 人力约束 9X1+4X2≤360
护士的最少人数 60 70 60 50 20 30
35
6、人员安排（选讲）
序号 时间 需要人数 需要人数 方案
1
6－8
60
2
8－10
60
3 10－12
70
60
X1
60
X2
70
X3
4 12－14
70
65
X4
5 14－16
60
6 16－18
60
60
X5
55
X6
7 18－20
50
50
X7
8 20－22
50
全日制1 全日制2 需要兼职 方案
1
8
X1
1
8
X2
1
1
7
X3
1
1
1
X4
1
2
X5
1
1
1
X6
1
5
X7
1
1
10
X8
1
1
10
X9
1
6
X10
37
1
6
X11
6、人员安排（选讲）
人力资源分配的问题 福安商场是个中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计
分析如右表： 为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作 5天，休息
价格
2 749 5
18
4、混合问题
设抓取饲料1为x1kg;饲料2为x2kg;饲料3为 x3kg……
目标函数：最省钱 minZ=2x1+7x2+4x3+9x4+5x5
约束条件 营养要求： 3x2 +2x2 +x3+6x4 +18x5 ≥700
x1+0.5x2+0.2x3+2x4+0.5x5 ≥30 0.5x1 +x2+0.2x3+2x4+0.8x5 =200 用量要求：x1 ≤50,x2 ≤60,x3 ≤50,x4 ≤70,x5 ≤40 非负性要求：x1 ≥0,x2 ≥0,x3 ≥0,x4 ≥0,x5 ≥0
众人数 价
可用时间 量
1000 1500 15
65
晚间电视
2000 3000 10
90
每日报纸
1500 400 25
40
周日报纸杂志 2500 1000 4
60
电台新闻
300 100 30
20
8
2、市场营销应用
问如何选择各个媒体的使用次数使宣传效 果最好 约束条件：
预算不超过3万美元 至少10次电视 受众至少5万人
资金 X1+X2+X3+X4+X5 ≤100,000 行业 X1+X2 ≤50,000
X3+X4 ≤50,000 债券 X5 ≥0.25(X3+X4) 太平洋石油 X2 ≤ 0.6(X1+X2) 非负性约束X1≥0 X2≥0 X3≥0 X4≥0 X5≥0
16
4、混合问题
某公司饲养试验用的动物，这些动物的生长对三 种营养元素特别敏感，我们分别称它们为营养元素A、 B、C。已知这些动物每天至少需要700克营养元素A， 30克营养元素B，而营养元素C的需要量刚好是200毫 克，不够和过量都是有害的。
9 22－24
20
50
X8
20
X9
10
0－2
20
11
2－4
30
12
4－6
30
20
X10
25
X11
hs22
36
30
X12
6、人员安排（选讲）
时间
11-12 12-13 13-14 14-15 15-16 16-17 17-18 18-19 19-20 20-21 21-22
需要的 总人数
9 9 9 3 3 3 6 12 12 7 7