第五章(整数规划)
第五章整数规划
第五章 整数规划主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。
重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。
要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。
§1 问题的提出要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。
如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。
例1 求解下列整数规划问题211020m ax x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为：96m ax ,0,8.421===z x x 。
用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点方向移动，当第一次遇到“+”号点（1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ，最优值为z=90。
由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。
下面介绍几种常用解法。
§2 分枝定界法分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是A 的最优值*z的上界，记为z ；而A 的任意可行解的目标函数值是*z的一个下界z ，采取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最终求得*z 。
现举例说明： 例2 求解A219040m ax x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,702075679x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解=1x 4.81, =2x 1.82,①② ③ ④ ⑤=0z 356（见下图）。
运筹学 第五章整数规划
n xij ai s.t j 1
i 1,2, m
xij 0 yi 0,1
混合型整数规划
总结
整数规划的可行域包含在其对应的一般线性规划可
行域之内； 整数规划的最优解可能不是其对应的一般线性规划 的顶点； 整数规划的最优解不会优于其对应的线性规划的最
(0)
（4）修改上、下界：按照以下两点规则进行。 ①在各分枝问题中，找出目标函数值最小者作为新的下界； ②从已符合整数条件的分枝中，找出目标函数值最小者作为 新的上界。 （5）比较与剪枝 ： 各分枝的目标函数值中，若有大于 者，则剪掉此枝，表 明此子问题已经探清，不必再分枝了;否则继续分枝。 如此反复进行，直到得到 即得最优解 X* 。 为止，
f
n
rj
x j fr
a rj
的小数部分
br 的小数部分
（3）将所得的割平面方程作为一个新的约束条件置于最优单 纯形表中（同时增加一个单位列向量），用单纯形法求出新的 最优解，返回1。
m ax Z x 2
例：用割平面法求解整数规划问题
3 x1 2 x 2 6 3 x1 2 x 2 0 x , x 0且为整数 1 2
子问题 L1 : 剪枝 1 、L1无最优解， 2、最优解 X *1 ( x *11 ，x *12 ,, x *1n ), 最优值 z1 (1) X *1 为整数解 , z1为下界 关闭
子问题 L2 :
(2) X *1 中至少有一个是分数： 继续分枝
割平面法 割平面法的基本思想：
若整数规划IP的松弛规划L0的最优解不是整数解，对L0增 加一个约束条件，得线性规划 L1 ，此过程缩小了松弛规划的 可行解域，在切去松弛规划的最优解的同时，保留松弛规划 的任一整数解，因此整数规划IP的解均在L1中，若L1的最优解
运筹学 第四版 第五章 整数规划
货物/箱 甲 乙
托运限制/集 装箱
体积/米3 5 4
24
重量/百斤 2 5
13
利润/百元 20 10
表 3.1
货物/箱 甲 乙
托运限制/集 装箱
体积/米3 5 4
24
重量/百斤 2 5
13
利润/百元 20 10
解 设 x1,分x2 别为甲、乙两种货物的托运箱数.则这是一个
纯整数规划问题 .其数学模型为:
(pzreorgor-aomnme iinngte)ger linear
若不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成
的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题（slack
problem）
n
max Z (或 min Z ) c j x j j 1
整数线性规划数学
n
st. j1 aij x j
max Z 20 x1 10 x2
5x1 4x2 24 s.t 2x1 5x2 13
x1, x2 0, 整数
（1）
若暂且不考虑 x1, x取2 整数这一条件.则(1)就变为下列 线性规划 :
max Z 20 x1 10 x2
s.t
52xx11
4x2 5x2
24 13
x1, x2 0
目前，常用的求解整数规划的方法有： 分支定界法和割平面法； 对于特别的0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。
§2 解纯整数规划的割平面法
考虑纯整数规划问题
n
max Z cjxj j 1
n
aijxj bis.tj 1xj0
xj取整数
i 1, 2....m
j 1, 2...n j 1, 2,..n
n
max Z (或 min Z ) c j x j j 1
第5章 整数规划
第五章 整数规划整数规划（integer programming ）亦称整数线性规划，它实质上是在线性规划的基础上，给一些或全部决策变量附加取整约束得到的。
在许多情况下，我们都可以把规划问题的决策变量看成是连续的变量；但在某些情况下，规划问题的决策变量 却被要求一定是整数。
例如，完成某项工作所需要的人数或设备台数，进入市场销售的商品件数，以及某一机械设备维修的次数等。
为了满足整数解的要求，最容易想到的办法就是把求得的非整数解进行四舍五入处理来得到整数解，但这往往是行不通的。
舍入处理会出现两方面的问题：一是化整后的解根本不是可行解；二是化整后的解虽是可行解，但并非是最优解。
因此，有必要另行研究整数规划的求解问题。
在线性规划的基础上，要求所有变量都取整的规划问题称为纯整数规划问题（pure integer programming ）；如果仅仅是要求一部分变量取整，则称为混合整数规划问题（mixed integer programming ）。
根据整数规划的定义，可将整数规划的数学模型表示为：0,;{min ≥==X b AX CX w 且（部分）为整数}。
显而易见，整数规划的可行域是其相应线性规划可行域的子集。
§1分枝定界法分枝定界法（branch and bound method ）是求解整数规划常用的一种方法，它具有灵活且便于用计算机求解等优点。
它的一般思想是利用连续的（线性规划）模型来求解非连续的（整数规划）问题。
假定k x 是一个有取整约束的变量，而其最优连续值*k x 是非整数；那么在][*k x （表示*k x 的取整值）和1][*+k x 之间不可能包括任何可行整数解。
因此，k x 的可行整数值必然满足][*k k x x ≤或1][*+≥k k x x 之一。
把这两个条件分别加到原线性规划的解空间上，产生两个互斥的线性规划子问题。
实际上这一过程利用了整数约束条件，在“分割”时删除了不包含可行整数点的部分连续空间（1][][**+<<k k k x x x ）。
运筹学[第五章整数规划]山东大学期末考试知识点复习
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第五章整数规划1．整数规划的特点(1)整数规划:决策变量要求取整数的线性规划。
（2）整数规划可分为纯整数规划和混合整数规划。
(3)整数规划的可行域为离散点集。
2．整数规划的建模步骤整数规划模型的建立几乎与线性规划模型的建立完全一致，只是变量的部分或全体必须限制为整数。
3．求解整数规划的常用方法1）分支定界法没有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划问题为问题B，从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z＊的上界，记作，而A的任意可行解的目标函数值将是z＊的一个下界 ,分支定界法就是将B的可行域分成子区域的方法,逐步减小和增大，最终求得z＊。
将要求解的整数规划问题称为问题A，将与它相应的线性规划问题称为问题B。
(1）解与整数规划问题A相应的线性规划问题B,可能得到以下几种情况之一:①B没有可行解，A也没有可行解,停止计算。
②B有最优解，并符合问题A的整数条件，则此最优解即为A的最优解，停止计算。
③B有最优解,但不符合A的整数条件，记它的目标函数值为。
(2)用观察法找问题A的一个整数可行解，求得其目标函数值,并记作。
以z*表示问题A的最优目标数值，则≤z*≤。
下面进行迭代.分支，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xi ，其值为bi。
构造两个约束条件xj ≤［bj］①和xj ≥[bj］+1 ②其中［bj ］为不超过bj的最大整数。
将这两个约束条件分别加入问题B，求两个后继规划问题B1和B2。
不考虑整数约束条件求解这两个后继问题。
定界，以每个后继问题为一分支标明求解的结果。
第一步：先不考虑整数约束，变成一般的线性规划问题，用图解法或单纯形法求其最优解，记为 ) ；第二步:若求得的最优解，刚好就是整数解，则该整数就是原整数规划的最优解,否则转下步;第三步：对原问题进行分支寻求整数最优解。
第四步:对上面两个子问题按照线性规划方法求最优解。
若某个子问题的解是整数解,则停止该子问题的分支，并且把它的目标值与上一步求出的最优整数解相比较以决定取舍;否则，对该子问题继续进行分支。
第五章-整数规划
在E点取得最优解。即
x2
x1＝2, x2 =3, Z(211)＝－17
找到整数解，问题已探明，此枝 3
停止计算。
求（LP212），如图所示。此时
F在点取得最优解。即x1＝3, x2
=2.5,
1
Z(212)＝－31/2≈－15.5 > Z(211)
如对LP212继续分解，其最小值
也不会低于－15.5 ，问题探明,
例5.2 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j 所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由 于种种原因，有三个附加条件：
若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定; 项目3和4中至少选择一个； 项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。
现求整数解(最优解):如用舍
入取整法可得到4个点即(1，3),(2 x2
⑴
⑵
，3),(1，4),(2，4)。显然，它们 都不可能是整数规划的最优解。 3
(3/2,10/3)
按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右
图所示。其中(2,2),(3,1)点的目 标函数值最大，即为Z=4。
考虑纯整数规划问题：
设其中aij和bi皆为整数（若不为整数时，可乘上 一个倍数化为整数）。
割平面法（纯整数）
割平面法是R.E.Gomory于1958年提出的一种方法， 它主要用于求解纯ILP。
割平面法是用增加新的约束来切割可行域，增加的新 约束称为割平面方程或切割方程。其基本思路为：
若其松弛问题的最优解X*不满足整数约束，则从X*的 非整分量中选取一个，用以构造一个线性约束条件，将其加 入原松弛问题中，形成一个新的线性规划，然后求解之。若 新的最优解满足整数要求，则它就是整数规划的最优解；否 则重复上述步骤，直到获得整数最优解为止。
第五章整数规划【模板】
第五章整数规划§1整数规划的数学模型及特点要求一部分或全部决策变量必须取整数值得规划问题称为整数规划。
其模型为：Max(或min)z=s.t若要求决策变量只能取值0或1的整数规划称为0-1型整数线性规划。
§5 指派问题一．指派问题的标准形式及数学模型在现实生活中，有各种性质的指派问题。
例如，有若干项工作需要分配给若干人（或部门）来完成；有若干项合同需要选择若干个投标者来承包；有若干班级需要安排在各教室上课等等。
诸如此类的问题，它们的基本要求是在满足特定的指派要求条件下，使指派方案的总体效果最佳。
由于指派问题的多样性，有必要定义指派问题的标准形式。
指派问题的标准形式（以人和事为例）是：有n个人和n件事，已知第i个人作第j件事的费用为，要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，是完成这n件事的总费用最少。
为了建立标准指派问题的数学模型，引入个0-1变量：这样，问题的数学模型可写成（5.1）s.t （5.3）其中，（5.1）表示每件事必优且只有一个人去做，（5.2）表示每个人必做且只做一件事。
注：○1指派问题是产量（）、销量（）相等，且==1，i，j=1,2,…n的运输问题。
○2有时也称为第i个人完成第j件工作所需的资源数，称之为效率系数（或价值系数）。
并称矩阵C= =（5.5）为效率矩阵（或价值系数矩阵）。
并称决策变量排成的n×n矩阵X== （5.6）为决策变量矩阵。
(5.6)的特征是它有n个1，其它都是0。
这n个1位于不同行、不同列。
每一种情况为指派问题的一个可行解。
共n!个解。
其总的费用 z =C⊙X这里的⊙表示两矩阵对应元素的积，然后相加。
问题是：把这n个1放到X的个位置的什么地方可使耗费的总资源最少？（解最优）例1已知效率矩阵C=则X（1）=，X（2）=都是指派问题的最优解例12/P-149：某商业公司计划开办五家新商店。
为了尽早建成营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。
第五章 整数规划
1.整数规划的数学模型及解的特点 2.分支定界法、割平面法 3.0-1整数规划 4.指派问题
1.整数规划的数学模型及解的特点
整数规划数学模型的一般形式
一部分或全部决策变量取整数值的规划问题 ——整数规划 整数规划中不考虑整数条件是对应的规划问题 ——该整数规划的松弛问题 松弛问题为线性规划的整数规划问题 ——整数线性规划
(0,1,0,0,0)
Z8=2< Z5 ，不可 行，不可行子域， 停止分支。
Z7=9> Z5 ，停止分支。
(0,1,0,0,0)
4. 指派问题(assignment
problem)
4.1指派问题的标准 形式及其数学模型 4.2匈牙利解法 4.3一般的指派问题
指派问题的标准形式的提出？
在我们现实生活中，常有 各种性质的指派问题。例 如：应如何分配若干项工 作给若干个人（或部门） 来完成，以达到总体的最 佳效果等等。由于指派问 题的多样性，我们有必要 定义指派问题的标准形式 。
x2 2
x2 1.57 z 0 z 2 341 z 349
x2 3
z 340 z 341
B3 : x1 4.00 x2 2.00 z3 340
B4 : x1 1.42 x2 3.00 z 4 327
x2 1
*
x2 2
B5 : x1 5.44 B : 6 z z 340 x2 1.00 z5 308 无可行解
（4） 检验解是否可行。如可行，已得一个可行解，计算并
记下它的z值，并停止分枝，若子域都检验过，转步骤（7） ，否则转步骤（6）。因继续分枝，即使得到可行解，目标 函数值也比记下的z值大，不会是最优解；如不可行，进行 步骤（5）。
第五章整数规划
第五章 整数规划
本例问题B 及问题B 本例问题B1及问题B2的模型及求解结果如下 问题B 问题B 问题B1 问题B2
m z = 10x1 + 20x2 ax 5x1 + 8x2 ≤ 60 x ≤ 8 1 s.t .x2 ≤ 4 x ≤ 5 1 x1 , x2 ≥ 0
m z = 10x1 + 20x2 ax 5x1 + 8x2 ≤ 60 x ≤ 8 1 s.t.x2 ≤ 4 x ≥ 6 1 x1 , x2 ≥ 0
m z = 20x1 + 10x2 ax 5x1 + 4x2 ≤ 24 s.t. 2x1 + 5x2 ≤ 13 x , x ≥ 0, x , x 为整数 1 2 1 2 m z = 20x1 + 10x2 ax 5x1 + 4x2 ≤ 24 s.t.2x1 + 5x2 ≤ 13 x , x ≥ 0 1 2
第五章 整数规划
B5解为：X5*=(7,3)T，f5*=130；B6解为：X6*=(8,2.5)T， 解为： =130； 解为： f6*=130。因为此时B5的解为整数解，因此修改下界为130， =130。因为此时B 的解为整数解，因此修改下界为130， 而此时所有未被分支的问题（ 而此时所有未被分支的问题（B4,B5,B6)的目标函数中的最小 值为f =130，故修改上界为Z=130。 值为f5*=f6*=130，故修改上界为Z=130。 6.结束准则 6.结束准则 当所有的分支均已查明（或为无可行解— 树枝” 当所有的分支均已查明（或为无可行解—“树枝”，或为 整数可行解— 树叶” 或其目标函数值不大于下界— 整数可行解—“树叶”，或其目标函数值不大于下界— 枯枝”），且此时 且此时Z=Z，则已求得了原问题的整数最优解， “枯枝”），且此时Z=Z，则已求得了原问题的整数最优解， 即目标函数下界Z的那个整数。 即目标函数下界Z的那个整数。 在本例中，当解完一对分支B5、B6后，得到Z=Z=130，又 在本例中，当解完一对分支B 得到Z=Z=130， B5是“树叶”，B6为“枯枝”，因此所有分支(B1,B4,B5,B6) 树叶” 枯枝” 因此所有分支(B 均已查明，故已求得问题A 的最优解： 均已查明，故已求得问题A0的最优解：
整数规划
√
√ × √
×
√ × ×
√
√ √ √
√
√ √ √ √ 8 8
（二）0－1 整数规划——隐枚举法
首先，找到一个可行解，并计算其目标函数值；然后，以其目标值作为
一个过滤条件，优于其值的再判断约束条件，直到找到最优解。
满足约束条件（是∨ x1 . x2. x3 ( 0. ( 0. 0. 0. 0 ) 1) √ √ (1) √ √ (2) √ √ (3) √ √ 否×） (4)
目标函数： Max z = 2x1 +3 x2 约束条件： 195 x1 + 273 x2 ≤1365 4 x1 + 40 x2 ≤140 x1 ≤4 x1≥3 x2≥3 x1，x2 ≥ 0
无可行解
（四）比较子问题的最优解，判断是否还要继续分枝 因为Z21=14大于Z1=13.90，所以x1=3，x2=2是原 问题的最优整数解
过滤 条件
0 5 -2 3 3
max Z 3 x1 2 x2 5 x3 x1 2 x2 x3 2 (1) x1 4 x2 x3 4 (2) 3 (3) x1 x2 4 x2 x3 6 (4) x1 , x2 , x3 0或1
第五章 整数规划
在整数规划中，如果所有的变量都为非负整数，则 称为纯整数规划问题；如果有一部分变量为负整数，则 称之为混合整数规划问题。在整数规划中，如果变量的 取值只限于0和1，这样的变量我们称之为0-1变量。在 纯整数规划和混合整数规划问题中，如果所有的变量都 为0-1变量，则称之为0-1规划。 求整数解的线性规划问题，不是用四舍五入法或去 尾法对线性规划的非整数解加以处理都能解决的，而要 用整数规划的方法加以解决。
第五章 整数规划
令 x3′=1-x3, x4′=1-x4, x5′=1-x5，得 Max z=2x2+4x3′+5x5′+7x4′+8x1-16 3x2- x3′- 3x5′- 2x4′+3x1≤-2 ① 3x2+2x3′- x5′+ x4′+5x1≤6 ② x2, x3′,x5′,x4′,x1 =0或1
z=8,不可行 x2 =x3′=x5′ = x4
若某行(列)已有0元素，那就不必再减了。例1的计算为：
2 15 10 4 ) 9 14 8 7 4 14 15 16 13 11 9 13
( c ij
-2 -4 -9 -7
0 6 0 0
13 0 0 1
11 10 7 4
2 11 4 2
R0: z0=356 x1=4.81 x2=1.82
x1 ≤4
x1≥5
R2:z2=341 x1=5.00 x2=1.57 x1 ≤1 x1≥2
R1:z1=349 问题R2为: x1=4.00 Max z=40x1+90x2 x2=2.10 9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤ 70 x1 ≥ 5 x2 ≤2 x2≥3 x1,x2 ≥ 0
指派问题的数学模型可写成如下页形式：
min z
i1 j1
n
n
c ij x ij
第j项工作由 一个人做 第i人做 一项工作
i1
n
x ij 1 x ij 1
( j 1 , , n)
j1
n
( i 1 , , n ) (i 1, , n; j 1, , n)
第五章 整数规划(运筹学教程)
什么叫0-1规划
• 0-1型整数规划是整数规划中的特殊情况， 它的变量xi仅取0或1，这时xi称为0-1变量 或二进制变量（binary), • xi仅取0或1这个条件可由下述约束条件所 取代： xi≤1, xi ≥0， Xi整数。 • 但是，0-1变量还有许多其它作用。 • 下面举例说明。
4.1 引入0-1变量的实际问题
定界
0≤ Z≤349
定界 340≤ Z≤341
Z3=340
Z4=327
B5（x2≤1）最优解 X1=5,x2=1.57 Z2=308 B6（x2≥2） 无可行解
定界 340≤ Z≤340
§3 割平面法
• 1、分枝定界法本质上是一种对线性规划可行域的 分割方法，只是分割方式比较单一和规范。每次从 对应线性规划的最优解出发，选定某个取非整数值 的变量，挖掉其中的小数部分，将原可行域一分为 二。如此反复进行，直到发现最优整数解为止。 • 2、割平面法的思路也是采用求解对应线性规划的 方法去解整数规划的问题。通过增加适当的约束条 件，从原可行域中切割掉不含整数解的部分。但其 切割方式灵活多样，每次切割可以切一刀，也可以 同时切几刀。旨在造成一个具有整数坐标的顶点， 恰好对应着原问题的最优解
B5, B6
图5-4
B1(x1≤4）最优解
X1=4,x2=2.1 Z1=349 B3(x2≤2）最优解 X1=4,x2=2
B最优解
定界 0≤ Z≤356
X1=4.81,x2=1.82
Z0=356
B2（x1≥5）最优解
X1=5,x2=1.57 Z2=341 B4(x2≥3）最优解 X1=1.42,x2=3
最优解 X1=4,x2=2：整数可行解 Z3=340 最优解 X1=1.42,x2=3
运筹学课件 第5章：整数规划
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯 整数规划/全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划
整数规划解的性质
求解整数规划问题
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 ( IP)2 x1 3 x2 14 x1 , x2 0且为整数
分析：考虑对应的线性规划问题(LP)
b
x1
2
2 3
x2
1
3 2
x3
1
0 0
x4
0
1 0
b
x1
1
0 0
x2
0
1 0
x3
3/4
-1/2
x4
-1/4 1/2
0
0
x3 9 x4 14
9/2
14/2
3
2
x1 13/4 x2 5/2
-5/4
-1/4
初始表
最终表
可见，最优解为x1=3.25 x2=2.5 z(0) =59/4=14.75
选 x2 进行分枝，即增加两个约束x2≤2 和x2 ≥3 ，则
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 2 x 3 x 14 2 ( IP1) 1 x2 2 x1 , x2 0且为整数
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 2 x 3 x 14 2 ( IP2) 1 x2 3 x1 , x2 0且为整数
b
7/2 2 1 3 -29/2 7/2 2 1 -1/2 -29/2
x1
1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
x2
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
x3
1/2 0 -1 0 -3/2 1/2 0 -1 -1/2 -3/2
运筹学 第五章 整数规划 2013-01-24
大真分数部分的非整分量所在行构造割平面约
束，将其加入原松弛问题中形成一个新的线性
规划求解，逐渐缩小解的范围，又不去掉整数
解，直至找到最优解为整数解结束。
1.割平面法
约束条件构造的条件
1)已获得的不符合整数要求的线性规划最
优解不满足该线性约束条件,从而不可能在以
后的解中出现;
2)凡是整数可行解均满足该线性约束条件, 因而整数最优解始终保留在每次形成的线性规 划中.
max z=24x1+18x2+21x3+17x4+22x5 s.t. 5.0x1+1.0x2+3.0x3+2.0x4+4.0x5≤ 180 3.0x2+4.0x3+1.0x4+5.0x5≤2500 3.0x1+2.0x2+1.0x3+3.0x4+2.0x5≤2200 x1≤10000y1 x2≤10000y2 用10000 x3≤10000y3 表示M x4≤10000y4 x5≤10000y5 y1+y2+y3+y4+y5 ≤3 五种产品只生产3三种 50y1≤x1≤10000y1 50y2≤x2≤10000y2 最小批量为50件 50y3≤x3≤10000y3 50y4≤x4≤10000y4 50y5≤x5≤10000y5 产品1安排生产，产品2就不能生产 y1+y2≤1 产品4生产，产品5必须生产 y4≤y5 x1，x2，x3，x4，x5≥0 x1，x2，x3，x4，x5为整数 y1，y2，y3，y4，y5为0－1变量
设五种产品产量之间有以下逻辑关系：
五种产品中，安排生产的产品不能超过3种 每一种产品如果安排生产，最小批量为50件
第五章整数规划
解：设xj为第j种产品的生产数量，j=1,2,3；
1 当生产第 j种产品, 即 xj＞ 0 时 yj = 0 当不生产第 j种产品即 xj = 0 时 引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，
以保证当 yi = 0 时，xi = 0 。 可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3
有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产 品单件可变费用及售价、资源单耗量及组织三种产 品生产的固定费用见下表。要求制定一个生产计划， 使总收益最大。
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 资源量
A
2
4
8
500
B
2
3
4
300
C
1
2
3
单件可变费用 4
5
6
固定费用 100 150 200
2020/3单/5 件售价
8
10 12
100
2020/3/5
26
例：设整数规划问题如下
max Z x1 x2
146xx1193xx22
51 1
x1
,
x2
0且为整数
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称
为松弛问题）。 max Z x1 x2
146xx1193xx22511 x1, x2 0
x4 + x5 ≥ 5
x5 ≥ 3
xi ≥ 0 ，且为整数
2020/3/5
17
例6、合理下料 造某种机床，需要 A ，B ，C 三种轴件，其规格
与数量如下表，各类轴件都用5.5米长的同一种圆钢 下料。若计划生产100台机床，最少要用多少根圆 钢？
管理运筹学 第五章 整数规划
j 1
整数规划的类型
纯整数规划：变量全部是整数 混合整数规划：变量部分整数，部分非整数 0-1型整数规划：变量= 0或1
x2
3 2
2x1+3x2 =14.66
1
x1
2x1+3x2 =14
1
2
3 2x1+3x2 =6
4
整数规划对应松弛问题最优解为：
x1=2.44, x2=3.26,目标函数值为14.66。
如果A2和A3两地必 须有且只有一个建 厂，怎么办？
1、整数规划数学模型的一般形式
n
max(min) z c jx j n a ijx j ( , )b i (i 1,2, , m ) j 1 st. x j 0( j 1,2, , n ) xj部分或全部取整数
负数所在列加上一个常数，继续循环。
直到系数矩阵中没有负数，而且整个消耗系数矩阵的所有元素总和已经变小；此 时调整结束，重新回到step2。
步骤1：行减、列减
15 19 C 26 19
21 24 23 22 18 17 16 19 21 23 17 17
例5.6 有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产品单件可变费用 及售价、资源单耗量及组织三种产品生产的固定费用见下表。要求制 定一个生产计划，使总收益最大。
5.3.2 0-1ILP的隐枚举法
解 为提高搜索效率，减少运算量，先按照目标函数中各变量系数的大小顺 序重新排列各变量。 对于求极大值问题，按照从小到大排为x3,x2,x1。（注意： 对于求极小值问题，应从大到小排序）
第五章 整数线性规划
整数线性规划问题的最优解
A
第1节 整数线性规划的数学模型及解的特点
例2：某宝石加工厂最近新到6粒大小、质量等级 相似的钻石毛料，管理层有两种选择，一是切 磨成一般的皇冠形，每粒可获利2.5千元；一 是切磨成虽然较难切磨但当前市场较流行的心 形，每粒可获利4千元。若切磨成皇冠形则每 粒需要5个工作日，若切磨成心形则每粒需要9 个工作日，由于工厂切工师傅较忙，最多只有 45个工作日来做这批工作。另外，由于毛料自 身形状的关系，其中只有4粒毛料可以切磨成 皇冠形，而6粒毛料中任何一粒都可以切磨成 心形。那么，管理层应如何决策才能使这批钻 石获利最大？
例5：某服务部门各时段（每2h为一时 段）需要的服务员人数见下表。按规 定，服务员连续工作8h（即四个时段 ）为一班。现要求安排服务员的工作 时间，使服务部门服务员总数最少。
时段 1 2 3 4 5 6 7 8
服务员最少数目
10
8
9
11 13
8
5
3
第3节 0-1型整数线性规划
例5： 解：设在第j时段开始时上班的服务员人数为xj。
min z cij xij 1200 y 1500 1 y
i 1 j 1 4 4
x11 x21 x31 x41 350 x x x x 400 12 22 32 42 x13 x23 x33 x43 300 x14 x24 x34 x44 150 x x x x 400 11 12 13 14 x x x x 600 21 22 23 24 x31 x32 x33 x34 200 y x41 x42 x43 x44 200 1 y x 0，， (i j =1， 2， 3， 4) ij y 0或1
运筹学 第五章 整数规划
( Integer Programming )
本章主要内容：
整数规划的特点及应用 分支定界法 0－1 整数规划 指派问题
1 2022/1/24
在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问题要求决 策变量只能取整数值而非连续取值。此时，这类最优化 模型就称为整数规划模型。
整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多，而且， 一般来说不能简单地将相应的线性规划的解取整来获得。
现求整数解(最优解):如用舍
入取整法可得到4个点即(1，
x2
⑴
⑵
3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然，
它们都不可能是整数规划的最优 3 解。
(3/2,10/3)
按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右
图所示。其中(2,2),(3,1)点的目 标函数值最大，即为Z=4。
x2
找到整数解，问题已探明，此
枝停止计算。
3
同理求LP2,如图所示。在C 点 取得最优解。即:
x1＝2, x2 =10/3,
Z(2)＝－56/3≈－18.7
1
∵Z(2)< Z(1)＝－16
∴原问题有比－16更小的最优
解，但 x2 不是整数，故继续 分支20。22/1/24
⑵ ⑴
A(18/11,40/11)
5
x1
x1
6x2 30 4
LP
2022/1/24
x1 , x2 0
17
分支定界法
用图解法求松弛问题的最优解，如图所示。
x1＝18/11, x2 =40/11 Z=－218/11≈(－19.8)
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4
2.整数线性规划（ILP）实例
背包问题
一只背包最大装载重量为50公斤。现有三种物品，每 种物品数量无限。每种物品每件的重量、价格如下表：
物品1 重量（公斤/件） 10 价值（元/件） 17
物品2 41 72
物品3 20 35
求背包中装入每种物品各多少件，使背包中物品总价值 最高。
15
MaxZ 2 x1 x2
例： x1 x2 5
6x1x12
x x
2 2
0 21
x1 , x2 0且为整数
(2,2)
(11/4,9/4)
(3,3/2) (19/6,1)
(11/4,9/4),Z=31/4
x1≤2
x1≥3
(2,2),Z=6 (3,3/2),Z=15/2
x2≤1
(19/6,1),Z=22/3
因此整数规划的最优解一般不能由线性规划的最优解 通过简单的取整得到。
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8
3.整数线性规划（ILP）解的特点
ILP是其中LP的一个子问题，所有解也是 LP的可行解，所以如果LP的最优解满足ILP的 整数条件，则已得最优解。
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3.固定费用问题
一般的成本最小化目标函数表达式为
n
min z c j x j j 1
即生产成本和产量成线性关系。如果产品不生产，不 发生任何成本，如果产品生产，则产量增加一倍，成本也 增加一倍。这样的成本称为变动成本。
在实际问题中，除了变动成本以外，还有固定成本。 如果产品不生产，固定成本为0，如果产品生产，就发生 固定成本，而且固定成本是一个常数，与产品产量无关。 有固定成本的最小化目标函数的表达式为
如得到整数解，停止，否则，转2
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13
5.3 分支定界法
原理：
首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题线性规
划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解，则
这个解就是整数规划的最优解。
如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数，
把线性规划的可行域切割成两部分，分别求解两个线性
五种产品最多生产3种
50y1≤x1≤My1
50y2≤x2≤My2 50y3≤x3≤My3
最小批量为50件
50y4≤x4≤My4
50y5≤x5≤My5
y1+y2≤1
产品1安排生产，产品2就不能生产
y4≤y5
产品4生产，产品5必须生产
x1，x2，x3，x4，x5≥0
x1，x2，x3，x4，x5为整数
y1，y2，y3，y4，y5为0－1变量
第j种产品的成本＝c
j
x
0 j
d
j
xj 0 xj 0
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成本
成本
变动成本
变动成本 产量
固定成本 产量
设n种设备，第j种设备的产量为xj，设备运行的变动成本 为cj，设备开工的固定成本为dj。引进0-1变量y1， y2，…，yn，yj=0表示设备j不生产，yj=1表示设备j生产。 考虑变动成本和固定成本，使总成本最小化的目标函数为
2. Z用观察法找问题ILP的一个整数可行解，求得其目标函 数值，并记作 ，以Z*表示ILP的最优目标函数值，则
Z
➢ 分支，如松弛问题有Z一个Z最* 优Z解xk为非整数值bk，则可以构造两个
分支。 xk≤[bk]
xk≥[bk]+1
➢ 定界，以每个后继问题为一分支表明求解的结果。
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建厂备选地点 1 2 3 4 5 所需投资（万元） 320 280 240 210 180 占有农田（亩） 20 18 15 11 8 生产能力（万吨） 70 55 42 28 11
设5个0－1变量x1，x2，x3，x4，x5，
xi
0 1
在 在ii地 地建 不厂 建厂（i 1,2,3,4,5）
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-x1+ 2x2≤ 5 x1, x2≥0 x1,x2 为整数
4
A(2.6, 3.8)
3
B(5, 3)
2
1
01
23
4
56
78
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7
4
A(2.6, 3.8)
3
B(5, 3)
2
1
012345678
线性规划的最优解A(x1, x2)=(2.6, 3.8)不是整数解， 目标函数值为z=17.8。整数规划的最优解B(x1, x2)=(5,3)目标函数值为z=17。线性规划最优解A(2.6, 3.8)四舍五入得到的解为(3,4)，不是可行解；舍去尾数 取整的解为(2,3)，目标函数值z=14。
n
n
min z c j x j d j y j
j 1
j 1
设备开工与否与产量的逻辑关系，用以下约束条件表示
xj≤Myj
20其20/1中0/1M6 为一个足够大浙江的科正技学数院经。济管理学院管工系
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具有固定成本的最小生产费用问题
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max z=24x1+18x2+21x3+17x4+22x5
s.t. 5.0x1+1.0x2+3.0x3+2.0x4+4.0x5≤ 180
3.0x2+4.0x3+1.0x4+5.0x5≤2500
3.0x1+2.0x2+1.0x3+3.0x4+2.0x5≤2200
y1+y2+y3+y4+y5 ≤3
第五章 整数规划
5.1 整数规划数学模型和解的特点 5.2 割平面法 5.3 分支定界法 5.4 0-1整数规划 5.5 指派问题
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本章学习要求
熟悉分支定界法和割平面法的原理及其应用 掌握求解0-1规划问题的建模及隐枚举法 掌握求解指派问题的匈牙利法
五种产品中，安排生产的产品不能超过3种 每一种产品如果安排生产，最小批量为50件 如果产品1安排生产，产品2就不能生产 如果产品4生产，产品5必须生产，而且至少生产50件 设5个0－1变量y1，y2，y3，y4，y5
0 yi 1
产 产品 品ii生 不产 生产（i 1,2,3,4,5）
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这个0－1规划问题的最优解为：
x1=1，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，max z=140 即在地点1、3和4建3个厂，总生产能力最大，可以达到 140万吨。
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2.多决策问题
一个工厂用3种设备生产5种产品，三种设备的能力 （小时），生产每种产品需要占有的各种设备的能力 （小时/件）以及5种产品的利润（元/件）如下：
9
5.2 割平面法
一、基本原理：
根据单纯形法求得其松弛问题（对应LP问 题）的最优解，若不满足整数条件，则由最优解 中选取具有最大真分数部分的非整分量所在行构 造割平面约束，将其加入原松弛问题中形成一个 新的线性规划求解，逐渐缩小解的范围，又不去 掉整数解，直至找到最优解为整数解结束。
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物品1 重量（公斤/件） 10 价值（元/件） 17
物品2 41 72
物品3 20 35
设三种物品的件数各为x1，x2，x3件，总价值为z。 max z=17x1+72x2+35x3 s.t. 10x1+41x2+20x3≤50
x1，x2，x3≥0 x1，x2，x3为整数 这是一个整数规划问题（Integer Programming）。 这个问题的最优解为：
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5.1整数规划数学模型和解的特点
整数规划的类型 整数规划的数学模型实例 整数规划解的特点
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1.整数线性规划（ILP）的类型
纯ILP： Xj全为整数 混合ILP：部分Xj为整数 0-1 ILP：Xj为0或1
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二、例：maxZ=4x1+3x2 4x1+5x2≤20 2x1+x2≤6 x1, x2≥0，且为整数
maxZ=4x1+3x2 4x1+5x2≤20 2x1+x2≤6 x1, x2≥0，
先不考虑整数要求求得对应LP问题的最优解如下：
cj
4
CB
XB B-1b x1
3
x2 8/3
20
max z=24x1+18x2+21x3+17x4+22x5 s.t. 5.0x1+1.0x2+3.0x3+2.0x4+4.0x5≤ 180
3.0x2+4.0x3+1.0x4+5.0x5≤2500 3.0x1+2.0x2+1.0x3+3.0x4+2.0x5≤2200 x1，x2，x3，x4，x5≥0 x1，x2，x3，x4，x5为整数 设五种产品产量之间有以下逻辑关系：