第五章(整数规划)

五种产品中，安排生产的产品不能超过3种 每一种产品如果安排生产，最小批量为50件 如果产品1安排生产，产品2就不能生产 如果产品4生产，产品5必须生产，而且至少生产50件 设5个0－1变量y1，y2，y3，y4，y5
0 yi 1
产 产品 品ii生 不产 生产（i 1,2,3,4,5）
2020/10/16
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
2
5.1整数规划数学模型和解的特点
整数规划的类型 整数规划的数学模型实例 整数规划解的特点
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
3
1.整数线性规划（ILP）的类型
纯ILP： Xj全为整数 混合ILP：部分Xj为整数 0-1 ILP：Xj为0或1
20
max z=24x1+18x2+21x3+17x4+22x5 s.t. 5.0x1+1.0x2+3.0x3+2.0x4+4.0x5≤ 180
3.0x2+4.0x3+1.0x4+5.0x5≤2500 3.0x1+2.0x2+1.0x3+3.0x4+2.0x5≤2200 x1，x2，x3，x4，x5≥0 x1，x2，x3，x4，x5为整数 设五种产品产量之间有以下逻辑关系：
如得到整数解，停止，否则，转2
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
13
5.3 分支定界法
原理：
首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题线性规
划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解，则
这个解就是整数规划的最优解。
如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数，
把线性规划的可行域切割成两部分，分别求解两个线性
浙江科技学院经济管理学院管工系
18
max z=70x1+55x2+42x3+28x4+11x5 s.t. 320x1+280x2+240x3+210x4+180x5≤800
20x1+ 18x2+ 15x3+ 11x4+ 8x5≤ 60 x1+ x2+ x3+ x4+ x5= 3 x1，x2，x3，x4，x5 为 0－1变量
浙江科技学院经济管理学院管工系
10
二、例：maxZ=4x1+3x2 4x1+5x2≤20 2x1+x2≤6 x1, x2≥0，且为整数
maxZ=4x1+3x2 4x1+5x2≤20 2x1+x2≤6 x1, x2≥0，
先不考虑整数要求求得对应LP问题的最优解如下：
cj
4
CB
XB B-1b x1
3
x2 8/3
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
5
物品1 重量（公斤/件） 10 价值（元/件） 17
物品2 41 72
物品3 20 35
设三种物品的件数各为x1，x2，x3件，总价值为z。 max z=17x1+72x2+35x3 s.t. 10x1+41x2+20x3≤50
x1，x2，x3≥0 x1，x2，x3为整数 这是一个整数规划问题（Integer Programming）。 这个问题的最优解为：
2. Z用观察法找问题ILP的一个整数可行解，求得其目标函 数值，并记作 ，以Z*表示ILP的最优目标函数值，则
Z
➢ 分支，如松弛问题有Z一个Z最* 优Z解xk为非整数值bk，则可以构造两个
分支。 xk≤[bk]
xk≥[bk]+1
➢ 定界，以每个后继问题为一分支表明求解的结果。
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
x1=1件，x2=0件，x3=2件，最高价值z=87元
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
6
再如：线性规划模型
max z=x1+4x2 s.t. 14x1+42x2≤196
-x1+ 2x2≤ 5 x1, x2≥0
整数规划模型
max z=x1+4x2 s.t. 14x1+42x2≤196
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
22
3.固定费用问题
一般的成本最小化目标函数表达式为
n
min z c j x j j 1
即生产成本和产量成线性关系。如果产品不生产，不 发生任何成本，如果产品生产，则产量增加一倍，成本也 增加一倍。这样的成本称为变动成本。
在实际问题中，除了变动成本以外，还有固定成本。 如果产品不生产，固定成本为0，如果产品生产，就发生 固定成本，而且固定成本是一个常数，与产品产量无关。 有固定成本的最小化目标函数的表达式为
规划的最优解。
如果这两个线性规划的最优解还不是整数解，分别把
每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支”。
分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的一个叫
做整数规划目标函数值的“界”。分支过程中非整数的
线性规划的最优解，如果目标函数值劣于或等于这个
“界”，就停止继续分支。这个过程，叫做“定界”。
2020/10/16
-x1+ 2x2≤ 5 x1, x2≥0 x1,x2 为整数
4
A(2.6, 3.8)
3
B(5, 3)
2
1
01
23
4
56
78
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
7
4
A(2.6, 3.8)
3
B(5, 3)
2
1
012345678
线性规划的最优解A(x1, x2)=(2.6, 3.8)不是整数解， 目标函数值为z=17.8。整数规划的最优解B(x1, x2)=(5,3)目标函数值为z=17。线性规划最优解A(2.6, 3.8)四舍五入得到的解为(3,4)，不是可行解；舍去尾数 取整的解为(2,3)，目标函数值z=14。
1
1/3 -2/3 0
4 x1 5/3 1
0 -1/6 5/6 0
0
X5
-2
0
0
-1 -1 1
σj
0
0 -1/3 -4/3 0
3
X2 2
0
1
0 -1 1/3
4
X1
2
1
0
0 1 -1/6
0
X3
2
0
0
1
1 -1
σj
0
0
0
-1 -1/3
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
12
三、总结步骤
前提条件；只用于求纯整数规划的问题，A，b均要 求是整数.
五种产品最多生产3种
50y1≤x1≤My1
50y2≤x2≤My2 50y3≤x3≤My3
最小批量为50件
50y4≤x4≤My4
50y5≤x5≤My5
y1+y2≤1
产品1安排生产，产品2就不能生产
y4≤y5
产品4生产，产品5必须生产
x1，x2，x3，x4，x5≥0
x1，x2，x3，x4，x5为整数
y1，y2，y3，y4，y5为0－1变量
因此整数规划的最优解一般不能由线性规划的最优解 通过简单的取整得到。
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
8
3.整数线性规划（ILP）解的特点
ILP是其中LP的一个子问题，所有解也是 LP的可行解，所以如果LP的最优解满足ILP的 整数条件，则已得最优解。
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
15
MaxZ 2 x1 x2
例： x1 x2 5
6x1x12
x x
2 2
0 21
x1 , x2 0且为整数
(2,2)
(11/4,9/4)
(3,3/2) (19/6,1)
(11/4,9/4),Z=31/4
x1≤2
x1≥3
(2,2),Z=6 (3,3/2),Z=15/2
x2≤1
(19/6,1),Z=22/3
产品 设备A 设备B 设备C 利润
1 2 3 4 5 设备能力 5.0 1.0 3.0 2.0 4.0 1800 － 3.0 4.0 1.0 5.0 2500 3.0 2.0 1.0 3.0 2.0 2200 24 18 21 17 22
求使总利润最大的生产计划。
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
第j种产品的成本＝c
j
x
0 j
d
j
xj 0 xj 0
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
23
成本
成本
变动成本
变动成本 产量
固定成本 产量
设n种设备，第j种设备的产量为xj，设备运行的变动成本 为cj，设备开工的固定成本为dj。引进0-1变量y1， y2，…，yn，yj=0表示设备j不生产，yj=1表示设备j生产。 考虑变动成本和固定成本，使总成本最小化的目标函数为
9
5.2 割平面法
一、基本原理：
根据单纯形法求得其松弛问题（对应LP问 题）的最优解，若不满足整数条件，则由最优解 中选取具有最大真分数部分的非整分量所在行构 造割平面约束，将其加入原松弛问题中形成一个 新的线性规划求解，逐渐缩小解的范围，又不去 掉整数解，直至找到最优解为整数解结束。
2020/10/16
0
4
x1 5/3
1
σj
0
3
0
0
x2
x3
x4
1 1/3 -2/3
0 -1/6 5/6
0 -1/3 -4/3
求得割平面方程：x3+x4≥2，将其加入到原最终表中， 求新解。
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
11
cj
4
3
0
00
CB XB B-1b X1
X2
X3
X4 X5
3 x2 8/3 0
建厂备选地点 1 2 3 4 5 所需投资（万元） 320 280 240 210 180 占有农田（亩） 20 18 15 11 8 生产能力（万吨） 70 55 42 28 11
设5个0－1变量x1，x2，x3，x4，x5，
xi
0 1
在 在ii地 地建 不厂 建厂（i 1,2,3,4,5）
2020/10/16
n
n
min z c j x j d j y j
j 1
j 1
设备开工与否与产量的逻辑关系，用以下约束条件表示
xj≤Myj
20其20/1中0/1M6 为一个足够大浙江的科正技学数院经。济管理学院管工系
24
具有固定成本的最小生产费用问题
浙江科技学院经济管理学院管工系
21
max z=24x1+18x2+21x3+17x4+22x5
Βιβλιοθήκη Baidu
s.t. 5.0x1+1.0x2+3.0x3+2.0x4+4.0x5≤ 180
3.0x2+4.0x3+1.0x4+5.0x5≤2500
3.0x1+2.0x2+1.0x3+3.0x4+2.0x5≤2200
y1+y2+y3+y4+y5 ≤3
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
4
2.整数线性规划（ILP）实例
背包问题
一只背包最大装载重量为50公斤。现有三种物品，每 种物品数量无限。每种物品每件的重量、价格如下表：
物品1 重量（公斤/件） 10 价值（元/件） 17
物品2 41 72
物品3 20 35
求背包中装入每种物品各多少件，使背包中物品总价值 最高。
第五章 整数规划
5.1 整数规划数学模型和解的特点 5.2 割平面法 5.3 分支定界法 5.4 0-1整数规划 5.5 指派问题
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
1
本章学习要求
熟悉分支定界法和割平面法的原理及其应用 掌握求解0-1规划问题的建模及隐枚举法 掌握求解指派问题的匈牙利法
x1≤3
x1≥4
(3,1),Z=7
无解
x2≥2
无解
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
16
5.4 0-1整数规划
一、问题的提出 厂址选择问题 多决策问题 固定费用问题
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
17
1.厂址选择模型
在5个备选地点中选择3处建设生产同一产品的工厂， 每个地点建厂所需投资，占用农田，建成以后的生产能 力如下。总投资不超过800万元，占有农田不超过60 亩。如何选择厂址，使总生产能力最大。
浙江科技学院经济管理学院管工系
14
步骤：
1. 解整数规划问题（ILP）的松弛问题，结果可能有三种：
➢ 松弛问题没有可行解，ILP也没有可行解，停止计算。 ➢ 松弛问题有最优解，并符合ILP的整数条件，则此最优解即为ILP 的最优解，停止计算。 ➢ 松弛问题有最优解，但不符合ILP的整数条件，记它的目标函数值 为；
1、设原ILP问题为A，其相应LP问题为B，解B，B的最终表
Xi为非整数，xi+j ∑=nma+i1jxj=bi’
2、选切割方程来源行 bi’=Ni+fi aij’=Nij+fij(其中Ni,Nij为整数，fi,fij∈(0,1)), 则3、m确ax定{f切i}为割切方割程方：程fi－来j源∑n=mf行ij+1x。j≤0 4、将切割方程加到B的最终表上去，用对偶单纯形法求解，
这个0－1规划问题的最优解为：
x1=1，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，max z=140 即在地点1、3和4建3个厂，总生产能力最大，可以达到 140万吨。
2020/10/16
浙江科技学院经济管理学院管工系
19
2.多决策问题
一个工厂用3种设备生产5种产品，三种设备的能力 （小时），生产每种产品需要占有的各种设备的能力 （小时/件）以及5种产品的利润（元/件）如下：