流体力学 第5章
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流体力学第五章 孔口出流
(1)
H
H l
6 20
0.3m
(2)
v2 Lg
v2 Lg
（弗劳德数相等）
v
Lg
v2 Lg
v2L v L 8.9104m / s
L
L
qv vA qv vA
qv
vA vA
qv
vl 2qv
5
l 2 qv
F F
F
ma
l 2v2
l3
M M
FL F L
Fl
l4
qv vA qv vA
称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。可 据此判断两个流动是否相似。
相似准则不但是判别相似的标准，而且也是设计
模型的准则，因为满足相似准则实质上意味着相似比
例尺之间要保持下列三个互相制约的关系：
2 v
gl
p
2 v
lv
设计模型时，所选择的三个基本比例尺 l、v、如果 能满
足这三个制约关系，当然模型流动与实物流动是完全力 学相似的。但这是有困难的。
自由出流（free discharge）：若经孔口流出的水流直接进入空气中，
此时收缩断面的压强可认为是大气压强，即pc=pa，则该孔口出
流称为孔口自由出流。 淹没出流（submerged discharge）：若经孔口流出的水流不是进入 空
气，而是流入下游水体中，致使孔口淹没在下游水面之下，这 种情况称为淹没出流。
代表惯性力与重力之比。
v2 v2
gl gl
弗劳德数
Fr
v2 gl
２）、欧拉数
代表压力与惯性力之比。
欧拉数
３）、雷诺数
代表惯性力与粘性力之比。
雷诺数
p p
流体力学 水力学 第五章
7 H [H0 ] 9m 0.75
§5.3 有压管道恒定流 5.3.1 短管水力计算（Q、d、H） 有压流：水沿管道满管流动的水力现象。 特点：水流充满管道过水断面，管道内不存在自 由水面，管壁上各点承受的压强一般不等于大 气压强。
短管：局部水头损失和 速度水头在总水头损失 中占有相当的比重，计 算时不能忽略的管道. （一般局部损失和速度 水头大于沿程损失 的5% ~ 10%）。一般L/d 1000
1 vc c 0
v
2 0 0
2 gH 0 2 gH 0
v hw h j 2g p c pa
2 c
1 1 流速系数： c 0 1 0
1 1 流速系数： c 0 1 0
实验得： 0.97 ~ 0.98 1 推求： 0 2 1 1 0.06 2 0.97 1
2
d2
5.126m 2g
例5 3：如图所示圆形有压涵管，管长50m, 上下游水位差3m 沿程阻力系数为0.03，局部阻力系数：进口 1＝0.5。 第一个转弯 2＝0.71，第二个转弯 3＝0.65，出口
4＝1.0，要求涵管通过流量大约3m 3 / s, 试设计管径d。
2 1 1
2g
v
v
2 2 2
2 2 2
2g
hw
2g
hw
H0 H
v
2 1 1
2g
v
2 2 2
2g
hw
hw h f h j (
l v
v d 2g 2g
2
2
l
v ) d 2g
流体力学第五章 量纲分析和相似理论
第五章 量纲分析与相似原理
5.2 量纲分析与П定理
2. П定理
提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是美国物理
学家布金汉（E.Buckingham,1914):
Π定理
若某一物理过程包含 n 个物理量，即：
f(q1 ， q 2，q 3, ……, q n )＝0
其中有 m 个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量），则该物理过程可由 n个物理量构成的 n-m 个无 量纲的关系表达式来描述。即：
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
1. 物理量的量纲（因次）：物理量的本质属性。
2. 物理量的单位：物理量的度量标准。
基本量纲和导出量纲：根据物理量之间的关系把无 任何联系且相互独立的量纲作为基本量纲，可由基本量 导出的量纲为导出量纲。
SI制中的基本量纲：
dim m = M , dim l = L , dim t = T ，dim θ=Θ
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量致性原则，也叫量纲齐次性原理（量纲和谐原理）
物理方程可以是单项式或多项式，甚至是微分方程等，同 一方程中各项的量纲必须相同。
用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，
这就是物理方程的量纲一致性原则，也叫量纲齐次原则或量纲
1. 客观性 2. 不受运动规模的影响 3. 可以进行超越函数运算
整理课件
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
2. 量纲一的量(无量纲量)
基本量独立性判别条件：
设A、B、C为三个基本量，他们成立的条件是：指数行列式 不等于零。
diB m M 2L 2T 2 diA m M 1L 1T1 diC m M 3L 3T 3
流体力学 第5章 圆管流动..
第5章圆管流动一.学习目的和任务1.本章学习目的（1）掌握流体流动的两种状态与雷诺数之间的关系；（2）切实掌握计算阻力损失的知识，为管路计算打基础。
2.本章学习任务了解雷诺实验过程及层流、紊流的流态特点，熟练掌握流态判别标准；掌握圆管层流基本规律，了解紊流的机理和脉动、时均化以及混合长度理论；了解尼古拉兹实验和莫迪图的使用，掌握阻力系数的确定方法；理解流动阻力的两种形式，掌握管路沿程损失和局部损失的计算；了解边界层概念、边界层分离和绕流阻力。
二.重点、难点重点：雷诺数及流态判别，圆管层流运动规律，沿程阻力系数的确定，沿程损失和局部损失计算。
难点：紊流流速分布和紊流阻力分析。
由于实际流体存在黏性，流体在圆管中流动会受到阻力的作用，从而引起流体能量的损失。
本章将主要讨论实际流体在圆管内流动的情况和能量损失的计算。
5.1 雷诺(Osborne Reynolds)实验和流态判据5.1.1 雷诺实验1883年，英国科学家雷诺通过实验发现，流体在流动时存在两种不同的状态，对应的流体微团运动呈现完全不同的规律。
这就是著名的雷诺实验，它是流体力学中最重要实验之一。
105如图5－1所示为雷诺实验的装置。
其中的阀门T1保持水箱A 内的水位不变，使流动处在恒定流状态；水管B 上相距为l 处分别装有一根测压管，用来测量两处的沿程损失f h ，管末端装有一个调节流量的阀门T3，容器C 用来计量流量；容器D 盛有颜色液体，T2控制其流量。
进行实验时，先微开阀门T3，使水管中保持小速度稳定水流，然后打开颜色液体阀门T2放出连续的细流，可以观察到水管内颜色液体成一条直的流线，如图5－2（a ）所示；从这一现象可以看出，在管中流速较小时，它与水流不相混和，管中的液体质点均保持直线运动，水流层与层间互不干扰，这种流动称为层流（Laminar flow ）。
比如，实际中黏性较大的液体在极缓慢流动时，属层流运动。
随后，逐渐开大阀门T3，增大管中液体流速，流速达到一定速度时，管内颜色液体开始抖动，具有波形轮廓，如图5－2（b ）所示。
流体力学第5章 相似性原理和量纲分析
几何相似只有一个长度比例尺，几何相似是力学 相似的前提
二、运动相似
❖ 流场中所有对应点上对应时刻的流速方向相同大小成比例。
v3' 3
v1'
v2'
1
2
3
v3''
v1 v1
v2 v2
v3 v3
v v
kv
v1''
1
2
kv——速度比例尺
v2''
A
A
o
系统1：v
l t
o
系统2：v l t
时间比例尺 加速度比例尺
1/ p
7.5k,kpkv2'
0.001207, kv 4416(Pa)
22.5, 有
F F ' F ' 1.261104(N)
kF
k
k
2
l
k
2
v
M M ' 2030(N m)
k
k
3k
l
2
v
第五节 量纲分析法
❖一、量纲分析的概念和原理 ❖ 量纲是指物理量的性质和类别。例如长度和质量， 它们分别用 [ L ] ， [ M ]表达。 ❖而单位除表示物理量的性质外，还包含着物理量的 大小，如同为长度量纲的米，厘米等单位。
如何进行模型实验： (1) 几何相似（模型和实物、攻角、位置等）； (2) 确定相似准则数； (3) 确定模型尺度和速度； (4) 实验数据整理(无因次形式)； (5) 试验值与实际值之间的换算。
完全相似：两个流动的全部相似准则数对应相等。不可能实现。 部分相似：满足部分相似准则数相等。
近似的模型试验：在设计模型和组织模型试验时，在 与流动过程有关的定性准则中考虑那些对流动过程起 主导作用的定性准则，而忽略那些对过程影响较小的
流体力学第5章管流损失和阻力计算
流体内部的各种因素
除了流体与管壁之间的摩擦外，流体内部的粘性、湍流等也会导致能量损失。 例如，湍流会使流体的流动变得不规则，增加流体之间的相互碰撞和摩擦，从 而产生更多的能量损失。
损失和阻力的影响
01
能量消耗
管流损失和阻力会导致流体在 流动过程中能量不断损失，这 需要额外提供能量来克服这些 损失，如泵或风机的能耗会增 加。
02 系统效率
管路中的损失和阻力会降低整 个系统的效率，使得系统需要 更多的输入能量才能达到预期 的输出效果。
03
设备选型
04
在进行设备选型时，需要考虑管 路中的损失和阻力，以确保所选 设备能够满足实际需求。例如， 在选择泵时，需要考虑到管路中 的损失和阻力，以确保泵能够提 供足够的扬程和流量。
安全风险
理论发展
实验结果可为流体力学理论的发展提 供实证支持，进一步完善管流损失和 阻力的计算模型。
THANKS
感谢观看
过大的管流损失和阻力可能会导 致流体流动受阻，甚至产生流体 过热、压力过高等问题，这可能 对设备和人员安全造成威胁。因 此，需要进行合理的设计和操作 ，以避免这些问题的发生。
02
管流损失的计算
局部损失计算
局部损失是由于流体在管道中 流动时，遇到突然扩大、缩小、 弯曲等局部障碍而产生的能量 损失。
控制流体流速和压力
降低流体流速
01
适当降低流体在管路中的流速，可以减小流体流动的阻力，从
而降低管流损失。
控制流体压力
02
合理控制流体在管路中的压力，避免过高的压力导致流体流动
阻力的增加。
使用减压阀和稳压阀
03
在管路中安装减压阀和稳压阀，可以稳定流体压力，减小流体
除了流体与管壁之间的摩擦外，流体内部的粘性、湍流等也会导致能量损失。 例如，湍流会使流体的流动变得不规则，增加流体之间的相互碰撞和摩擦，从 而产生更多的能量损失。
损失和阻力的影响
01
能量消耗
管流损失和阻力会导致流体在 流动过程中能量不断损失，这 需要额外提供能量来克服这些 损失，如泵或风机的能耗会增 加。
02 系统效率
管路中的损失和阻力会降低整 个系统的效率，使得系统需要 更多的输入能量才能达到预期 的输出效果。
03
设备选型
04
在进行设备选型时，需要考虑管 路中的损失和阻力，以确保所选 设备能够满足实际需求。例如， 在选择泵时，需要考虑到管路中 的损失和阻力，以确保泵能够提 供足够的扬程和流量。
安全风险
理论发展
实验结果可为流体力学理论的发展提 供实证支持，进一步完善管流损失和 阻力的计算模型。
THANKS
感谢观看
过大的管流损失和阻力可能会导 致流体流动受阻，甚至产生流体 过热、压力过高等问题，这可能 对设备和人员安全造成威胁。因 此，需要进行合理的设计和操作 ，以避免这些问题的发生。
02
管流损失的计算
局部损失计算
局部损失是由于流体在管道中 流动时，遇到突然扩大、缩小、 弯曲等局部障碍而产生的能量 损失。
控制流体流速和压力
降低流体流速
01
适当降低流体在管路中的流速，可以减小流体流动的阻力，从
而降低管流损失。
控制流体压力
02
合理控制流体在管路中的压力，避免过高的压力导致流体流动
阻力的增加。
使用减压阀和稳压阀
03
在管路中安装减压阀和稳压阀，可以稳定流体压力，减小流体
流体力学实验_第五章
28
§5.4 流动显示的光学方法
1. 适用范围 光学显示方法：利用流场的光学性质，如流体的密 度变化会造成光学折射率或传播速度的变化，通过 适当的光学装置可以显示流体的流动特性。
流场的温度、压力、浓度和马赫数等状态参数与密度 有确定的函数关系，而流体的光学折射率是其密度的 函数，因此下列流动可以采用光学流动显示的方法：
分光镜 补偿片
单色 点光 源
全反镜
风洞实验段
屏幕
40
密度均匀：干涉条纹彼此平行 密度不均匀：干涉条纹发生移动或变形，干涉条纹的改变与
流体密度的变化有关
干涉条纹 41
§5.5 流动显示技术的新发展——定量的流 动显示和测量技术
1. 激光诱导荧光（LIF）技术
激光诱导荧光技术：是一种20世纪80年代发展起来的光 致发光流动显示与测量技术，把某些物质（如碘、钠或 荧光染料等）溶解或混合于流体中，这些物质的分子在 特定波长的激光照射下能激发荧光。
照明光源：高亮度的白光碘钨灯
25
26
27
3. 荧光微丝法
采用直径为0.01 ~0.02mm的合成 纤维丝，经柔化 和抗静电处理， 使微丝染上荧光 物质，粘贴于模 型表面。
光源：采用连续 紫外光源
照相：选用合适 的滤光片
Flourescent minitufts on aircraft wing
在定常流动中，流线、迹线和染色线相同。
但在非定常流动中，是互不相同的。
4
3. 流动显示方法的分类
（1）示踪粒子流动显示：在透明无色的气流或水流中加
入一些可见的粒子，通过可见的外加粒子跟随流体微团的运 动来使各种流动现象显示出来。 固态示踪粒子：
水流（铝粉、有机玻璃粉末或聚苯乙烯小球等） 气流（烟颗粒） 液态示踪粒子：水流（牛奶、染料溶液） 气态示踪粒子：水流（氢气泡、空气泡）
§5.4 流动显示的光学方法
1. 适用范围 光学显示方法：利用流场的光学性质，如流体的密 度变化会造成光学折射率或传播速度的变化，通过 适当的光学装置可以显示流体的流动特性。
流场的温度、压力、浓度和马赫数等状态参数与密度 有确定的函数关系，而流体的光学折射率是其密度的 函数，因此下列流动可以采用光学流动显示的方法：
分光镜 补偿片
单色 点光 源
全反镜
风洞实验段
屏幕
40
密度均匀：干涉条纹彼此平行 密度不均匀：干涉条纹发生移动或变形，干涉条纹的改变与
流体密度的变化有关
干涉条纹 41
§5.5 流动显示技术的新发展——定量的流 动显示和测量技术
1. 激光诱导荧光（LIF）技术
激光诱导荧光技术：是一种20世纪80年代发展起来的光 致发光流动显示与测量技术，把某些物质（如碘、钠或 荧光染料等）溶解或混合于流体中，这些物质的分子在 特定波长的激光照射下能激发荧光。
照明光源：高亮度的白光碘钨灯
25
26
27
3. 荧光微丝法
采用直径为0.01 ~0.02mm的合成 纤维丝，经柔化 和抗静电处理， 使微丝染上荧光 物质，粘贴于模 型表面。
光源：采用连续 紫外光源
照相：选用合适 的滤光片
Flourescent minitufts on aircraft wing
在定常流动中，流线、迹线和染色线相同。
但在非定常流动中，是互不相同的。
4
3. 流动显示方法的分类
（1）示踪粒子流动显示：在透明无色的气流或水流中加
入一些可见的粒子，通过可见的外加粒子跟随流体微团的运 动来使各种流动现象显示出来。 固态示踪粒子：
水流（铝粉、有机玻璃粉末或聚苯乙烯小球等） 气流（烟颗粒） 液态示踪粒子：水流（牛奶、染料溶液） 气态示踪粒子：水流（氢气泡、空气泡）
流体力学课件 第五章 流动阻力
斜直线分布
r hf 1 g grJ 2 l 2
du grh f dr 2l
抛物线分布
2.流速分布 3.流量
Q
r0 0
gh f 2 2 u (r0 r ) 4l
gh f 2 2 gh f 4 (r0 r ) 2 rdr d 4l 128l
（3）粗糙区
莫迪
§5-7 局部损失计算
一、边界层理论
1.边界层：贴近平板存在 较大切应力、粘性影响不能 忽略的这一层液体 。
2.边界层的厚度：当流速达到 边界层的厚度顺流增大，即δ是x的函数。
处时，它
3.转捩点，临界雷诺数 转捩点：在x=xcr处边界层由层流转变为紊流的过渡点。
临界雷诺数： Recr
三、总水头损失
hw h f h j
i 1 i 1 n n
§5-2 流体流动的两种型态
一、雷诺实验
1883年英国物理学家雷诺按图示试验装置对粘性流体进行 实验，提出了流体运动存在两种型态：层流和紊流。
1 4
(a)
hf 5
(b)
2
3
(c)
1.层流 ：管中水流呈层状流动，各层的流体质点互不掺混的 流动状态。
四、湍流切应力分布和流速分布
1.切应力分布
du 2 du 2 1 2 L ( ) dy dy
摩擦切应力 普朗特混合长度 ： 附加切应力
y L ky 1 r0
k 称为卡门常数
k 0.36 ~ 0.435
2.流速分布 （1）近壁层流层： 管壁切应力
du u 0 dy y
§5-6 湍流的沿程损失
一、湍流沿程损失计算
《流体力学》第五章孔口管嘴管路流动
2g
A
C O
C
(C
1)
vc2 2g
(ZA
ZC )
pA
pC
Av
2 A
2g
令
H0
(Z A
ZC )
pA
pC
AvA2
2g
§5.1孔口自由出流
1
则有
vc
c 1
2gH0
H0
(Z A
ZC )
pA
pC
AvA2
2g
H0称为作用水头,是促使
力系数是不变的。
§5.4 简单管路
SH、Sp对已给定的管路是一个定数，它综合 反映了管路上的沿程和局部阻力情况，称为 管路阻抗。
H SHQ2
p SpQ2
简单管路中，总阻力损失与体积流量平方成 正比。
§5.4 简单管路
例5-5：某矿渣混凝土板风道，断面积为1m*1.2m, 长为50m，局部阻力系数Σζ=2.5，流量为14m3/s, 空气温度为20℃，求压强损失。
2v22
2g
1
vc2 2g
2
vc2 2g
令 H0 (H1 ζH12:局)液部体p阻1 经力p孔2系口数处1v的122g1 2v22
1
H1 H
H2
2
2
H0 (1 2 ) 2vcg2突ζ然2:液扩体大在的收局缩部断阻面力之系后数 C
C
§5.2 孔口淹没出流
1
c 1
2gH0
Q A 2gH0 A 2gH0
出流
H0
流体力学第五章流体动力学微分形式基本方程
或 D w 0
Dt
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（5.3a）
第五章 流体动力学微分形式基本方程
第一节 连续性方程
对于稳定流动， 0，于是式（5.1）变为
t wx wy wz 0
x
y
z
即
w 0
对于不可压缩流体， 为常数，则连续性方程为
wx wy wz 0 x y z
即
w 0
和为零，六面体中流体的质量是不变的，即
wx
wy
wz
0
t x
y
z
（5.1）
式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到
d dt
t
wx
x
wy
y
wz
z
则连续性方程也可写成 1 d wx wy wz 0 dt x y z
（5.2）
写成向量形式 (w) 0
t
（5.3）
Fr
1
p r
w t
wr
w r
w r
w
wz
w z
wr w r
F
1
p r
（5.9）
wz t
wr
wz r
w r
wz
wz
wz z
Fz
1
p z
式中 Fr 、F 、Fz 分别为单位质量的体积力在r、、z方向的分量。
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第五章 流体动力学微分形式基本方程
第二节 理想流体运动方程
其中，f1至f6是给定的函数。 对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条
件。
边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于
第五章 流体力学
称为伯努利方程。
伯努利方程对定常流动的流体中的任一流线也成立。
例题5-3
例题5-3：文丘里流量计。U形管中水银密度为ρ’，流量计中通 过的液体密度为ρ，其他数据如图所示。求流量。
取水平管道中心的流线。
1 2 1 2 由伯努利方程： p1 v1 p2 v 2 2 2
p 1 、 S1
得： p p e 0
gy p0
积分：
p p0
0 y dp g dy p p0 0
p0、ρ0
o
如： 0 1.293kg / m 3 , p0 1.013 10 5 Pa , y 8848 m ( 珠峰 )
得： p 0.33 p0 0.33 atm
例题5-1
1 1 2 2 动能增量：Ek V v 2 V v1 2 2
p1
v1 S1
势能增量： E p g( h2 h1 )V 外力作功：
A A'
h1
S2
v2
B
h2
B'
p2
W p1 S1l1 p2 S2 l 2 p1V p2 V
由功能原理：
θ z Δx py
Δz
x
当ΔV=0时： p y pl 无论流体时静止还是流动，以上结论都成立。
2、 静止流体中压强的分布：
(1) 静止流体中同一水平面上压强相等。 pA pA pB
A
ΔS B
pB
(2) 静止流体中高度相差h的两点间压强差为ρgh。
pB pA gh
(3) 帕斯卡原理： 密闭容器中的静止液体，当外
单位时间内，容器内水的减少等于从小孔流出的流量： 积分得：t
流体力学-第5章
六. 伯努利方程 的应用举例
%%%%%%%%%%%%
恒定总流伯努利方程表明三种机械能相互 转化和总机械能守恒的规律，由此可根据具 体流动的边界条件求解实际总流问题。
1
%%%%%%%%%%%%
先看一个跌水的例子。取 顶上水深处为 1-1 断面，平 均流速为 v1，取水流跌落高 度处为断面 2-2 ，平均流速 为 v2，认为该两断面均取在 渐变流段中。基准面通过断 面 2-2 的中心点。
Gz dQdt( z2 z1 )
2 2 1 1 u u 2 2 m2u2 m1u1 ( 2 1 ) dQdt 2 2 2 2
外力对系统做功=系统机械能量的增加
2 2 u2 u1 ( p1 p2 )dQdt dQdt( z2 z1 ) ( ) dQdt 2 2
实际流体恒定总流 的伯努利方程
断面 A1 是上游断面，断面 A2 是 下游断面，hl 1-2 为总流在断面 A1 和 A2 之间平均每单位重量流体所损耗 的机械能，称为水头损失。水头损 失如何确定，将在后面叙述。
分析流体力学问 题最常用也是最 重要的方程式
二、恒定总流伯努利方程的几何表示——水头线
u p2 u z1 z2 2g 2g
p1
2 1
2 2
(P57 3-39)
单位重量理想 流体沿元流的 能量方程式
能量方程
•能量方程的
物理意义
z
u2 z Cl 2g p
伯努利方程表示能 量的平衡关系。
单位重量流体所具有的位置 势能（简称单位位置势能） **************** p 单位重量流体所具有的压强 势能（简称单位压强势能） **************** 单位重量流体所具 p z 有的总势能（简称 单位总势能）
流体力学-第5章
F ( x1 , x2 ,...xn ) = 0
而这些变量中含有m个基本量纲， 而这些变量中含有 个基本量纲，则这个物理过 个基本量纲 程可以由n个物理量组成的 个物理量组成的n-m个无量纲量（相似 个无量纲量（ 程可以由 个物理量组成的 个无量纲量 的函数关系来描述, 准则数πi）的函数关系来描述 即:
和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立vc的公式结构。 和管径 有关，试用瑞利量纲分析法建立 的公式结构。 有关 [解] 假定 vc = kρ α ⋅ µ β ⋅ d γ 式中k为无量纲常数。 式中 为无量纲常数。 为无量纲常数 将各物理量的量纲
dim vc = LT −1 , dim ρ = ML−3 dim µ = ML−1T −1 , dim d = L
F′ F = 2 2 ρ ′l ′2v′2 ρl v
——牛顿数 牛顿数
二、各单项力相似准则
1.基本量纲和导出量纲 1.基本量纲和导出量纲 基本量纲：无任何联系、相互独立的量纲。 基本量纲：无任何联系、相互独立的量纲。 导出量纲： 导出量纲：可以由基本量纲导出的量纲 基本量纲具有独立性、唯一性， 基本量纲具有独立性、唯一性，如： 具有独立性 质量（ ）、长度 长度（ ）、时间 时间（ ）、温度 温度（ 质量（M）、长度（L）、时间（T）、温度（Θ）
解上述三元一次方程组得： 解上述三元一次方程组得： α1 = −1, β1 = −2, γ 1 = −2 其中 同理： 同理：
π1 =
FD ρv 2 d 2
µ 1 π2 = = ρvd Re
并就F 解出， 代入 ϕ (π 1 , π 2 ) = 0 ，并就 D解出，可得
FD = f (Re) ρv 2 d 2 = C D ρv 2 d 2
工程流体力学-第五章
……………………
三、Π定理
对于某个物理现象或过程，如果存在有n个变量互为函数关
系， f(a1,a2, …an)=0 而这些变量含有m个基本量纲，可把这n个变量转换成为有 (n-m)=i个无量纲量的函数关系式
F(1,2, … n-m)=0
这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程中的 变量数减少了m个，更为概括集中表示物理过程或物理现 象的内在关系。
之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准
则。
量纲分析法有两种：瑞利法和π定理
瑞利法
解题步骤：首先找出影响流动的物理量，并用它们
写出假拟的指数方程； 然后以对应的量纲代替方程中的物理量本身，并 根据量纲和谐性原理求出各物理量的指数，整理 出最后形式。
例题a：自由落体运动的位移s与时间t、重力加速度g有关。 试求位移s的表达式。
实验研究 发展流体 力学理论 验证流体 力学假说 解释流 动现象 解决流体 力学问题
流体力学的研究方法中实验研究既是理论分析 的依据，同时也是检验理论的准绳，具有很重要的 作用。 本章将探讨其理论基础： 量纲分析 相似理论
直接实验法 物理规律 理论分析法 模型研究法 相似理论
从相似的概念入手，引入相似准数； 从相似原理和量纲分析出发导出相似准数的结 构； 分析实际问题与实验模型相似的条件；
[B]=MLT
4 基本量 导出量
一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本量：
具有独立性、唯一性）和其他物理量（导出量），后者可由前 者通过某种关系到除，前者互为独立的物理量。基本量个数取 基本量纲个数，所取定的基本量必须包括三个基本量纲在内， 这就是选取基本量的原则。 流速 密度 力 压强 dimv＝LT－1 dimρ＝ML－3 dimF＝MLT－2 dim p=M L－1 T－2
三、Π定理
对于某个物理现象或过程，如果存在有n个变量互为函数关
系， f(a1,a2, …an)=0 而这些变量含有m个基本量纲，可把这n个变量转换成为有 (n-m)=i个无量纲量的函数关系式
F(1,2, … n-m)=0
这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程中的 变量数减少了m个，更为概括集中表示物理过程或物理现 象的内在关系。
之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准
则。
量纲分析法有两种：瑞利法和π定理
瑞利法
解题步骤：首先找出影响流动的物理量，并用它们
写出假拟的指数方程； 然后以对应的量纲代替方程中的物理量本身，并 根据量纲和谐性原理求出各物理量的指数，整理 出最后形式。
例题a：自由落体运动的位移s与时间t、重力加速度g有关。 试求位移s的表达式。
实验研究 发展流体 力学理论 验证流体 力学假说 解释流 动现象 解决流体 力学问题
流体力学的研究方法中实验研究既是理论分析 的依据，同时也是检验理论的准绳，具有很重要的 作用。 本章将探讨其理论基础： 量纲分析 相似理论
直接实验法 物理规律 理论分析法 模型研究法 相似理论
从相似的概念入手，引入相似准数； 从相似原理和量纲分析出发导出相似准数的结 构； 分析实际问题与实验模型相似的条件；
[B]=MLT
4 基本量 导出量
一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本量：
具有独立性、唯一性）和其他物理量（导出量），后者可由前 者通过某种关系到除，前者互为独立的物理量。基本量个数取 基本量纲个数，所取定的基本量必须包括三个基本量纲在内， 这就是选取基本量的原则。 流速 密度 力 压强 dimv＝LT－1 dimρ＝ML－3 dimF＝MLT－2 dim p=M L－1 T－2
流体力学第5章
对空气，T0=52℃，k=1.4，R=287J/kg，
v=200m/s,则 T=32.1℃,T-T0≈20℃
可见必须予以修正
四、临界参数
v=a的状态参数：
p pc , c ,T Tc , a ac
则：
k
pc 2 k1 , p0 k 1
对空气k=1.4,则
pc 0.528 p0
另外： Tc
l D
V
2
2
（即达西公式）。
四、一般等径管流
其结果介于绝热和等温之间。应采用数值递推解法。
传热方程: (k为管壁综合传热系数)
q 4k Dl T T D2 l
4k
D
T
T
4k RT pD
T
T
能量方程： q cp T2 T1V V2 V1
2
动量方程：R T2
T1
RT
⑶ 存在最大管长lmax
lmax
D
1
k
M12
1 ln
k
M12
沿程流速v2：
RT V12
1
V12 V22
ห้องสมุดไป่ตู้
l
D
2 ln
V2 V1
沿程压力p2：
p12
p22
p12V12 RT
l
D
2ln
p1 p2
体积流量：
Q A
p12 p22
RT1
l
D
2 ln
p1 p2
对小压差流动：p1p2，
则：
p
p1
p2
习题：
5-34 5-35 5-37
kl
D
k
p1
1
k
流体力学第5章管内不可压缩流体运动
p 32vl 32 0.285 6 50 273600N / m2
d2
0.12
• （3）管路中的最大速度： • （4）壁面处的最大切应力：
umax 2v 2 6 12m / s
max
p 2l
r0
273600 0.05 2 50
136.8N
/ m2
5.2 湍流流动及沿程摩擦阻力计算
Re数越大——粘性底层的厚度越薄；流速越低，
第5章 管内不可压缩流体运动
5.1 管内层流流动及粘性摩擦损失
• 【内容提要】 本节主要讨论流动阻力产生的原因及分类 ，同时讨论两种流态及转化标准
并且在此基础上讨论圆管层流状态下流速分布、流量计算、切应力分布、沿 程水头损失计算等规律。
5.1.0概述（阻力产生的原因）
1、阻力产生的原因 （1）外因 • ①断面面积及几何形状 • ② 管路长度 L：水流阻力与管长成正比。 • ③管壁粗糙度：一般而言，管路越粗糙，水流阻力越大。
• 【内容提要】 • 本节简要介绍紊流理论及湍流沿程阻力系数的计算
5.2.1 湍流漩涡粘度与混合长度理论
• 湍流的产生
5.2.1 湍流漩涡粘度与混合长度理论
• 湍流的产生 • ① 层流在外界环境干扰的作用下产生涡体（湍流产生的先决条件）。 • ② 雷诺数大于临界雷诺数（湍流产生的必要条件）。
5.2.1 湍流漩涡粘度与混合长度理 论
5.1.1 层流与湍流流动
2、流态的判别：
（3）雷诺数
（无量纲数）
Re dv dv 式中，ρ—流体密度；v—管内流速；d—管径；μ—动力粘性系数；—运动粘性系
数
5.1.1 层流与湍流流动
2、流态的判别： （3）雷诺数 • ① 雷诺数Re是一个综合反映流动流体的速度、流
流体力学第五章孔口管嘴出流与管路水力计算
Q VB AB A 2gH0 A 2gH0
H0 作用总水头
流速系数 流量系数
相对压强： pC
g
0.75 H 0
真空值：
pV
g
0.75 H 0
§5-3 简单管路
简单管路：管径不变、没有分叉的管路。
复杂管路：由两根或两根以上简单管路组合 而成的管道系统。
短管：局部损失和流速水头之和大于总水头 的5%。
Q1
H hf CD
AB
Q2
C
D
Q3
三、管网
(a)分枝状管网
(b)环状管网
（1）任一结点处，流出结点的流量与流 入结点的流量应相等：
Qi 0
（2）任一环路中，由某一结点沿不同方向 到另一个结点的能量损失应相等：
hf 0
•
感
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谢 阅
读
读
l
d
一、小孔口自由出流
对截面A-A和收缩断面C-C列 总流能量方程
zA
pA
g
AVA2
2g
zC
pC
g
CVC2
2g
hm
O
H0
( C
) VC2 2g
A
Av
2 A
2g
H
H0
d vA
A
C
O
vC C
1
VC C
2gH0 2gH0
Q VC AC A 2gH0 A 2gH0
H0 作用总水头
长管：作用水头的95%以上用于沿程水头损失，可 以略去局部损失及出口速度水头
取断面A-A和B-B，列总流能量方程
zA
pA
g
AVA2
2g
zB
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h
由于 sin
p
h h
l
h
g
得， r
h
r0
mg
p h
mg
p+(p/l)dl r dl r0
x
r d ( p gh ) 2 dl
二、速度分布
将
dv x dr
代入
r d ( p gh ) 得， 2 dl
dvx
1 d ( p gh)rdr 2 dl
5.2 粘性流体的两种流动状态
三、沿程损失与流动状态(续)
实验结果
层流： h f v1.0 紊流： h f v1.75~2.0 结论： 沿程损失与流动状态有关，故 计算各种流体通道的沿程损失，必 须首先判别流体的流动状态。
D
hj
C
B A O
vc
r
v’cr
v
5.4 圆管中流体的层流流动
一、切向应力分布 二、速度分布
1 2 lg[ 2.51 ] Re 3.7d
d
q
阔尔布鲁克公式： 兰格公式：
第5章
管流损失和水力计算
5.1 管内流动的能量损失
两大类流动能量损失: 1.沿程能量损失 2.局部能量损失 5.1.1 沿程能量损失 发生在缓变流整个流 程中的能量损失，由流体 的粘滞力造成的损失。
l v2 hf d 2g
5.1.2局部能量损失 发生在流动状态急剧变化的急变流中的能量 损失，即在管件附近的局部范围内主要由流体微 团的碰撞、流体中产生的漩涡等造成的损失。
紊 流：
5.2 粘性流体的两种流动状态
二、两种流动状态的判定
3、临界雷诺数
雷诺数
Recr 2320
Re
vd
——下临界雷诺数
层
流：
Re Recr Re Re cr
Re 13800 ——上临界雷诺数 cr
不稳定流： Recr Re Recr 紊 流：
工程上常用的圆管临界雷诺数
5.5 粘性流体的紊流流动
5.5.1紊流流动、时均值、脉动值、时均定常流动
1. 紊流流动 流体质点相互掺混，作无定向、无规则的运动，运动在 时间和空间都是具有随机性质的运动,属于非定常流动。
5.5.1紊流流动、时均值、脉动值、时均定常流动
2.时均值、脉动值 在时间间隔t 内某一流动参量的平均值称为该流动 参量的时均值。 某一流动参量的瞬时值与时均值之差，称为该流动参 量的脉动值。
紊流：流体质点作复杂的无规则的运动。 着色流束与周围流体相混，颜色扩散至 整个玻璃管。
5.2 粘性流体的两种流动状态
二、两种流动状态的判定
1、实验发现
v vcr
v vcr
2、临界流速
流动较稳定 流动不稳定
vcr ——下临界流速
层
流：
v vcr
v vcr
vcr ——上临界流速
不稳定流： vcr v vcr
vx y 5.75lg 8.48 速度分布: v*
最大速度: v x max v* (5.75 lg
r0
8.5)
平均速度:
v v* (5.75 lg
r0
4.75)
§5.5 粘性流体的紊流流动
三、圆管中紊流的速度分布和沿程损失(续)
3.圆管中紊流的沿程损失 (1)光滑直管
(2)光滑直管 速度分布: 具有与平壁近似的公式
vx yv 5.75lg * 5.5 v* r0 v* v x max v* (5.75 lg 5.5)
最大速度:
平均速度:
v v* (5.75lg
r0v*
1.75) v* (5.75lg
Re 1.75) 4 2
三、圆管中紊流的速度分布和沿程损失
(2)光滑直管
其它形式的速度分布:(指数形式)
平均速度:
v vx max 2 (n 1)(n 2)
vx vx max
y n ( ) r0
§5.5 粘性流体的紊流流动
三、圆管中紊流的速度分布和沿程损失(续)
2.圆管中紊流的速度分布(续) (3)粗糙直管
5.5 粘性流体的紊流流动
5.5.2紊流中的切向应力 普朗特混合长度
1.紊流中的切向应力
液体质点的脉动导 致了质量交换，形 成了动量交换和质 点混掺，从而在液 紊流：摩擦切向应力 + 附加切向应力 层交界面上产生了 紊流附加切应力
层流：摩擦切向应力 dvx v dy
v t
1. 最大流速 管轴处:
g
vx
h
r02 r 2 d ( p gh) 4 dl
vx
x
vx max
r02 d ( p gh) 4 dl
h h
h
r02 r d r0 1 ( p gh) 2. 平均流速 pv vx max 2 mg 8 dl
h h
3. 圆管流量 qv
1. 最大流速
r d ( p gh ) 2 dl
r02 r 2 d vx ( p gh) 4 dl
2. 平均流速
3. 圆管流量
4. 压强降(流动损失)
5.层流沿程阻力系数 6.其他公式
p l v2 hf g d 2g
64 Re
2
w
8
轴线方向列力平衡方程
r 2 p r 2 ( p
p dl ) 2rdl r 2 dlg sin 0 l
w h
h
两边同除 r2dl得
p 1 g 2 g sin 0 l r r p h h ( g ) 2 l l
管壁的相对粗糙度对沿程损失系数没有影响。
f (Re)
64 Re
2. 过渡区
2320 Re 4000
不稳定区域，可能是层流，也可能是紊流。
§5.6 沿程损失的实验研究
一、尼古拉兹实验(续)
尼古拉兹实验曲线的五个区域(续) 3. 紊流光滑管区
4000 Re 26.98(d )
Recr 2000
层
紊
流： Re 2000
流： Re 2000
§5.2 粘性流体的两种流动状态
三、沿程损失与流动状态
列上下两截面的伯努里方程
2 p1 12 p2 2 0 0 hw g 2 g g 2 g
整理,得
p l 2 hw h f g d 2g
8 7
沿程损失系数与相对粗糙度无关，而只与雷诺数有关。 勃拉休斯公式： 尼古拉兹公式：
0.3164 Re 0.25
105 Re 3 106
0.0032 0.221Re 0.237
1 2 lg(Re ) 0.8
卡门-普朗特公式：
§5.6 沿程损失的实验研究
§5.6 沿程损失的实验研究
一、尼古拉兹实验
实验对象: 圆管
实验条件: 不同直径 不同流量 不同相对粗糙度 实验示意图:
§5.6 沿程损失的实验研究
一、尼古拉兹实验(续)
尼古拉兹实验曲线
§5.6 沿程损失的实验研究
一、尼古拉兹实验(续)
尼古拉兹实验曲线的五个区域 1. 层流区
Re 2320
与
得
的增量
式中
称普朗特混合长度
其中
它不是流体的属性，只决
定于流体的密度、时均速度梯度、混合长度
5.5 粘性流体的紊流流动
5.5.3 圆管中紊流的速度分布和沿程损失
1.粘性底层 、圆管中紊流的区划、水力光滑与水力粗糙 粘性底层: 粘性流体在圆管中紊流流动时，紧贴固体壁面 有一层很薄的流体，受壁面的限制，脉动运动 几乎完全消失，粘滞起主导作用，基本保持着 层流状态，这一薄层称为粘性底层。 圆管中紊流的区划:
h
r0
0
r04 d 2rvx dr r02v ( p gh) 8 dl
水平管:
4 d 0 p qv 128l
三、最大流速、平均流速、圆管流量、压强降
4. 压强降(流动损失)
4 d 0 p 水平管: qv 128l
p
128lqv 4 d 0
v 2
5.4 圆管中流体的层流流动
以倾斜角为的圆截面直管道的不可压缩粘性流 体的定常层流流动为例。 受力分析： 重 力:
gr 2 dl
p r ( p dl ) l
2
g
p
mg
p+(p/l)dl
x
两端面 总压力:
r p
2
r
dl
r0
h
侧面的 2rdl 粘滞力:
一、切向应力分布
一、尼古拉兹实验(续)
尼古拉兹实验曲线的五个区域(续)
4. 紊流粗糙管过渡区
26.98(d ) 7 Re 4160 d 2 )0.85 (
8
沿程损失系数与相对粗糙度和雷诺数有关。 洛巴耶夫公式：
1.42[lg(Re )] 2 1.42[lg(1.273 V )] 2
p 32lv 64lv l v 2 64 l v 2 l v2 hf 2 g gd vd d 2 g Re d 2 g d 2g
64 Re
结论：层流流动得沿程损失与平均流速得一次方成正比。
四、其它公式
1. 动能修正系数α
1 vx 1 r0 r 2 3 dA 2 {2[1 ( ) ]} 2rdr 2 A Av r0 0 r0
5.5.3 圆管中紊流的速度分布和沿程损失
由于 sin
p
h h
l
h
g
得， r
h
r0
mg
p h
mg
p+(p/l)dl r dl r0
x
r d ( p gh ) 2 dl
二、速度分布
将
dv x dr
代入
r d ( p gh ) 得， 2 dl
dvx
1 d ( p gh)rdr 2 dl
5.2 粘性流体的两种流动状态
三、沿程损失与流动状态(续)
实验结果
层流： h f v1.0 紊流： h f v1.75~2.0 结论： 沿程损失与流动状态有关，故 计算各种流体通道的沿程损失，必 须首先判别流体的流动状态。
D
hj
C
B A O
vc
r
v’cr
v
5.4 圆管中流体的层流流动
一、切向应力分布 二、速度分布
1 2 lg[ 2.51 ] Re 3.7d
d
q
阔尔布鲁克公式： 兰格公式：
第5章
管流损失和水力计算
5.1 管内流动的能量损失
两大类流动能量损失: 1.沿程能量损失 2.局部能量损失 5.1.1 沿程能量损失 发生在缓变流整个流 程中的能量损失，由流体 的粘滞力造成的损失。
l v2 hf d 2g
5.1.2局部能量损失 发生在流动状态急剧变化的急变流中的能量 损失，即在管件附近的局部范围内主要由流体微 团的碰撞、流体中产生的漩涡等造成的损失。
紊 流：
5.2 粘性流体的两种流动状态
二、两种流动状态的判定
3、临界雷诺数
雷诺数
Recr 2320
Re
vd
——下临界雷诺数
层
流：
Re Recr Re Re cr
Re 13800 ——上临界雷诺数 cr
不稳定流： Recr Re Recr 紊 流：
工程上常用的圆管临界雷诺数
5.5 粘性流体的紊流流动
5.5.1紊流流动、时均值、脉动值、时均定常流动
1. 紊流流动 流体质点相互掺混，作无定向、无规则的运动，运动在 时间和空间都是具有随机性质的运动,属于非定常流动。
5.5.1紊流流动、时均值、脉动值、时均定常流动
2.时均值、脉动值 在时间间隔t 内某一流动参量的平均值称为该流动 参量的时均值。 某一流动参量的瞬时值与时均值之差，称为该流动参 量的脉动值。
紊流：流体质点作复杂的无规则的运动。 着色流束与周围流体相混，颜色扩散至 整个玻璃管。
5.2 粘性流体的两种流动状态
二、两种流动状态的判定
1、实验发现
v vcr
v vcr
2、临界流速
流动较稳定 流动不稳定
vcr ——下临界流速
层
流：
v vcr
v vcr
vcr ——上临界流速
不稳定流： vcr v vcr
vx y 5.75lg 8.48 速度分布: v*
最大速度: v x max v* (5.75 lg
r0
8.5)
平均速度:
v v* (5.75 lg
r0
4.75)
§5.5 粘性流体的紊流流动
三、圆管中紊流的速度分布和沿程损失(续)
3.圆管中紊流的沿程损失 (1)光滑直管
(2)光滑直管 速度分布: 具有与平壁近似的公式
vx yv 5.75lg * 5.5 v* r0 v* v x max v* (5.75 lg 5.5)
最大速度:
平均速度:
v v* (5.75lg
r0v*
1.75) v* (5.75lg
Re 1.75) 4 2
三、圆管中紊流的速度分布和沿程损失
(2)光滑直管
其它形式的速度分布:(指数形式)
平均速度:
v vx max 2 (n 1)(n 2)
vx vx max
y n ( ) r0
§5.5 粘性流体的紊流流动
三、圆管中紊流的速度分布和沿程损失(续)
2.圆管中紊流的速度分布(续) (3)粗糙直管
5.5 粘性流体的紊流流动
5.5.2紊流中的切向应力 普朗特混合长度
1.紊流中的切向应力
液体质点的脉动导 致了质量交换，形 成了动量交换和质 点混掺，从而在液 紊流：摩擦切向应力 + 附加切向应力 层交界面上产生了 紊流附加切应力
层流：摩擦切向应力 dvx v dy
v t
1. 最大流速 管轴处:
g
vx
h
r02 r 2 d ( p gh) 4 dl
vx
x
vx max
r02 d ( p gh) 4 dl
h h
h
r02 r d r0 1 ( p gh) 2. 平均流速 pv vx max 2 mg 8 dl
h h
3. 圆管流量 qv
1. 最大流速
r d ( p gh ) 2 dl
r02 r 2 d vx ( p gh) 4 dl
2. 平均流速
3. 圆管流量
4. 压强降(流动损失)
5.层流沿程阻力系数 6.其他公式
p l v2 hf g d 2g
64 Re
2
w
8
轴线方向列力平衡方程
r 2 p r 2 ( p
p dl ) 2rdl r 2 dlg sin 0 l
w h
h
两边同除 r2dl得
p 1 g 2 g sin 0 l r r p h h ( g ) 2 l l
管壁的相对粗糙度对沿程损失系数没有影响。
f (Re)
64 Re
2. 过渡区
2320 Re 4000
不稳定区域，可能是层流，也可能是紊流。
§5.6 沿程损失的实验研究
一、尼古拉兹实验(续)
尼古拉兹实验曲线的五个区域(续) 3. 紊流光滑管区
4000 Re 26.98(d )
Recr 2000
层
紊
流： Re 2000
流： Re 2000
§5.2 粘性流体的两种流动状态
三、沿程损失与流动状态
列上下两截面的伯努里方程
2 p1 12 p2 2 0 0 hw g 2 g g 2 g
整理,得
p l 2 hw h f g d 2g
8 7
沿程损失系数与相对粗糙度无关，而只与雷诺数有关。 勃拉休斯公式： 尼古拉兹公式：
0.3164 Re 0.25
105 Re 3 106
0.0032 0.221Re 0.237
1 2 lg(Re ) 0.8
卡门-普朗特公式：
§5.6 沿程损失的实验研究
§5.6 沿程损失的实验研究
一、尼古拉兹实验
实验对象: 圆管
实验条件: 不同直径 不同流量 不同相对粗糙度 实验示意图:
§5.6 沿程损失的实验研究
一、尼古拉兹实验(续)
尼古拉兹实验曲线
§5.6 沿程损失的实验研究
一、尼古拉兹实验(续)
尼古拉兹实验曲线的五个区域 1. 层流区
Re 2320
与
得
的增量
式中
称普朗特混合长度
其中
它不是流体的属性，只决
定于流体的密度、时均速度梯度、混合长度
5.5 粘性流体的紊流流动
5.5.3 圆管中紊流的速度分布和沿程损失
1.粘性底层 、圆管中紊流的区划、水力光滑与水力粗糙 粘性底层: 粘性流体在圆管中紊流流动时，紧贴固体壁面 有一层很薄的流体，受壁面的限制，脉动运动 几乎完全消失，粘滞起主导作用，基本保持着 层流状态，这一薄层称为粘性底层。 圆管中紊流的区划:
h
r0
0
r04 d 2rvx dr r02v ( p gh) 8 dl
水平管:
4 d 0 p qv 128l
三、最大流速、平均流速、圆管流量、压强降
4. 压强降(流动损失)
4 d 0 p 水平管: qv 128l
p
128lqv 4 d 0
v 2
5.4 圆管中流体的层流流动
以倾斜角为的圆截面直管道的不可压缩粘性流 体的定常层流流动为例。 受力分析： 重 力:
gr 2 dl
p r ( p dl ) l
2
g
p
mg
p+(p/l)dl
x
两端面 总压力:
r p
2
r
dl
r0
h
侧面的 2rdl 粘滞力:
一、切向应力分布
一、尼古拉兹实验(续)
尼古拉兹实验曲线的五个区域(续)
4. 紊流粗糙管过渡区
26.98(d ) 7 Re 4160 d 2 )0.85 (
8
沿程损失系数与相对粗糙度和雷诺数有关。 洛巴耶夫公式：
1.42[lg(Re )] 2 1.42[lg(1.273 V )] 2
p 32lv 64lv l v 2 64 l v 2 l v2 hf 2 g gd vd d 2 g Re d 2 g d 2g
64 Re
结论：层流流动得沿程损失与平均流速得一次方成正比。
四、其它公式
1. 动能修正系数α
1 vx 1 r0 r 2 3 dA 2 {2[1 ( ) ]} 2rdr 2 A Av r0 0 r0
5.5.3 圆管中紊流的速度分布和沿程损失