四川高考数学试卷(理科)(含答案解析)

201４年四川省高考数学试卷(理科）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.１．（５分)(20１4•四川）已知集合A={x|ｘ2﹣x﹣２≤０},集合Ｂ为整数集,则A∩Ｂ=(）A. {﹣1，0，１,2} B．{﹣２,﹣1，0，1｝C．{0，1} Ｄ. {﹣１，0}２．(5分)(2014•四川）在x（1+x）６的展开式中，含x３项的系数为( ）A．3０B．20 C．１５ D. １03．(5分)(2014•四川）为了得到函数y=sｉn（2x＋1)的图象，只需把y＝ｓｉｎ2x的图象上所有的点( ）A.向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动1个单位长度Ｄ．向右平行一定１个单位长度4．（５分)(２01４•四川）若a＞b＞0，c＜d<0，则一定有（）A.＞Ｂ.＜Ｃ.＞D.＜5.（5分）(20１4•四川）执行如图所示的程序框图,若输入的x，y∈R,那么输出的S的最大值为（）Ａ．0B．1Ｃ．２Ｄ．３6.(５分)（２014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（) Ａ．1９2种B．216种Ｃ. ２4０种 D. 288种７.（5分)(20１4•四川）平面向量=(１,2），=（4,２），＝m+（m∈Ｒ)，且与的夹角等于与的夹角,则m=( ）A．﹣２B．﹣1 Ｃ. 1 D. 2８.(５分)（２01４•四川）如图，在正方体ＡBＣD﹣A1B1C1D1中，点Ｏ为线段ＢＤ的中点，设点Ｐ在线段ＣC１上，直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是（）A.［，1]B．[，1]Ｃ.［，]D．［，１]9.(5分）(201４•四川)已知f(x）＝ln（1+x)﹣ｌn（1﹣x)，x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f(﹣x）=﹣f（x)；②f（）=2ｆ（ｘ)③|ｆ（ｘ）|≥2|x｜其中的所有正确命题的序号是()Ａ．①②③Ｂ．②③ C. ①③Ｄ. ①②1０．（5分)（201４•四川）已知F为抛物线y２=x的焦点，点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,•=2(其中O为坐标原点）,则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()Ａ．２ B. 3 C. D．二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共２５分１1.（5分）(2０14•四川)复数= _____＿＿__ ．12.（5分)(2014•四川)设f（x)是定义在R上的周期为2的函数,当ｘ∈[﹣1，1）时，f（x）=，则ｆ()=__＿______．13.(5分)(20１４•四川）如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,３0°，此时气球的高是46ｍ,则河流的宽度BC约等于__＿_＿__＿＿m.(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据:ｓiｎ6７°≈０．92,cos67°≈0.3９,sin３7°≈０．６0,cｏs37°≈０．8０,≈１．７3）14．（5分)(201４•四川）设m∈R,过定点A的动直线x+mｙ＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点Ｐ（x，ｙ）.则|ＰA｜•|ＰB|的最大值是_＿＿__＿＿__.1５．(5分）（201４•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x）,存在一个正数Ｍ,使得函数φ(ｘ)的值域包含于区间［﹣Ｍ,M].例如,当φ1（ｘ）=x3，φ2(x)=ｓｉnx时，φ（x）∈A,φ2(x）∈B．现有如下命题：１①设函数f(x)的定义域为D，则“ｆ(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃ａ∈Ｄ，f(ａ)=ｂ”；②函数f（x)∈B的充要条件是ｆ(ｘ)有最大值和最小值;③若函数ｆ（x)，g（ｘ）的定义域相同,且f(x)∈A，g(x）∈B，则f(x）+g（x）∉Ｂ.④若函数f(x）=ａln(x+2)+(ｘ>﹣2,a∈R)有最大值，则ｆ(ｘ)∈B.其中的真命题有_＿_______ ．（写出所有真命题的序号)三、解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2014•四川)已知函数f（ｘ）=sin(３x+)．（1）求f(x)的单调递增区间;(２）若α是第二象限角,f（）=cos（α+)cos2α，求ｃosα﹣sinα的值．17．(１2分)（201４•四川）一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐:每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得1０分,出现两次音乐获得２0分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除２０0分（即获得﹣２0０分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列；(2）玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．１8.（1２分）（2014•四川)三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示,设M,Ｎ分别为线段AD，AB的中点，Ｐ为线段ＢC上的点,且ＭN⊥ＮP．（1)证明：Ｐ是线段BC的中点;（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．1９．(12分)（2０14•四川)设等差数列｛a n}的公差为d，点(ａn,bｎ）在函数f（x)=2x的图象上(ｎ∈N*).(1)若ａ1=﹣2,点(a8,４b7）在函数f（ｘ)的图象上,求数列{a n}的前n项和Sｎ；(２）若a１＝1,函数f(x)的图象在点(a2，b2）处的切线在ｘ轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tｎ.２0．(13分）(2014•四川)已知椭圆C:+=1（a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1）求椭圆C的标准方程;(2）设Ｆ为椭圆C的左焦点，T为直线x＝﹣３上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明:ＯT平分线段ＰQ(其中O为坐标原点);②当最小时,求点T的坐标.2１．（14分）(２014•四川）已知函数f（x）=eｘ﹣ax2﹣bｘ﹣1,其中a，b∈R,e=2.７18２８…为自然对数的底数. (1）设g（x）是函数f（x)的导函数,求函数g(x）在区间[0,1]上的最小值；（2)若ｆ（1)=0,函数f(x）在区间(0,1)内有零点,求ａ的取值范围.ﻬ２01４年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题５分,共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１.（５分）(２01４•四川)已知集合Ａ=｛x|x2﹣x﹣2≤0},集合B为整数集,则Ａ∩B=（)A．{﹣1,0，1，2｝Ｂ. ｛﹣2，﹣1,0，1} C. {０，1｝D．{﹣1，０｝考点: 交集及其运算.专题: 计算题．分析:计算集合Ａ中x的取值范围,再由交集的概念，计算可得．解答:解:A={x|﹣１≤x≤2},B=Z，∴A∩Ｂ=｛﹣1，０,1，2｝．故选:Ａ.点评：本题属于容易题,集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题,一般都比较容易，且会在选择题的前几题,考生只要够细心，一般都能拿到分.2.（5分)（2014•四川）在ｘ(１+x）6的展开式中,含x3项的系数为(）A. ３0 Ｂ. 20 C. 1５ D. 10考点: 二项式系数的性质.专题: 二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出（1＋x)6的第r+1项,令x的指数为２求出展开式中ｘ２的系数．然后求解即可.解答:解:（1+x）6展开式中通项Tｒ+1=C６r x r，令r＝2可得，T3=C62ｘ２=15x２,∴(1＋ｘ)6展开式中ｘ2项的系数为15，在x(1+ｘ）6的展开式中，含x３项的系数为：１5.故选:C.点评:本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础,计算准确是关键．3.(5分）（20１4•四川)为了得到函数y＝sin(2x＋1）的图象,只需把ｙ=sｉn2ｘ的图象上所有的点（)A．向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动１个单位长度Ｄ．向右平行一定１个单位长度考点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析:根据y=sin（2x+1)=ｓiｎ2(x+)，利用函数y=Ａsin(ωx+φ）的图象变换规律,得出结论．解答：解:∵y＝ｓin（2x＋1）=sin2(x+）,∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数ｙ=sin(2x+1）的图象，故选:A.点评：本题主要考查函数y=Aｓiｎ（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．(5分）(2014•四川）若ａ>ｂ＞０,ｃ<d＜０,则一定有（)A.>Ｂ．<C．>D.＜考点：不等式比较大小;不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特例法，判断选项即可．解答:解：不妨令a=3,b=１,ｃ=﹣3，ｄ=﹣1,则，，∴Ａ、B不正确；,＝﹣，∴Ｃ不正确，Ｄ正确.故选：D.点评:本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确.5.(5分）（２０14•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，ｙ∈R，那么输出的Ｓ的最大值为( )A．0 B. 1Ｃ. 2Ｄ. 3考点：程序框图．专题: 计算题；算法和程序框图.分析:算法的功能是求可行域内,目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，求出最大值．解答：解:由程序框图知:算法的功能是求可行域内,目标还是S＝2x+y的最大值,画出可行域如图:当时，S＝2x+ｙ的值最大,且最大值为2.故选：Ｃ．点评:本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.（5分)（20１4•四川)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲,则不同的排法共有（）A．192种 B. ２1６种Ｃ．2４０种 D. ２88种考点：排列、组合及简单计数问题.专题: 应用题;排列组合．分析:分类讨论,最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲,根据加法原理可得结论．解答：解:最左端排甲，共有＝12０种,最左端只排乙,最右端不能排甲，有=9６种，根据加法原理可得,共有120＋9６=２１6种.故选:B．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,属于基础题.7．(5分)（２0１4•四川)平面向量＝(１,2），=(4，2），=m+（m∈Ｒ）,且与的夹角等于与的夹角，则ｍ=( ）A. ﹣2B. ﹣１Ｃ. 1 D. 2考点: 数量积表示两个向量的夹角.专题: 平面向量及应用.分析：由已知求出向量的坐标,再根据与的夹角等于与的夹角,代入夹角公式，构造关于ｍ的方程，解方程可得答案.解答：解:∵向量=(1，2),=(4，2)，∴=m+=（ｍ＋4，２m+2），又∵与的夹角等于与的夹角,∴=，∴＝，∴=,解得m=2，故选:D点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档．8.(5分)（2014•四川）如图，在正方体ABCD﹣A１Ｂ1C1Ｄ1中，点O为线段BD的中点,设点Ｐ在线段ＣＣ1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sｉnα的取值范围是（）A.[,1］Ｂ．［,1］C.［,]D.［，１]考点: 直线与平面所成的角．专题：空间角.分析：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.解答：解：由题意可得:直线OＰ于平面A１ＢD所成的角α的取值范围是∪.不妨取AＢ=２.在Rt△ＡOＡ1中,==．ｓin∠Ｃ１OA1=sｉn（π﹣2∠AOＡ1)=sin2∠ＡＯA1=2siｎ∠AOA1cos∠AOA1=, ＝1．∴siｎα的取值范围是．故选:B.点评：本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力,属于中档题.9.（5分)(2014•四川）已知f(x）=ln（１+x）﹣ln（１﹣x),x∈(﹣1，１)．现有下列命题：①f(﹣x)＝﹣ｆ（ｘ);②f()=2f（x）③|f(ｘ）|≥２|x|其中的所有正确命题的序号是(）Ａ．①②③Ｂ. ②③C．①③D．①②考点: 命题的真假判断与应用.专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质,分别判断三个结论的真假,最后综合判断结果，可得答案．解答:解:∵f(x)=lｎ（1+x)﹣ln（1﹣x),ｘ∈(﹣1，1)，∴f（﹣ｘ)=lｎ(１﹣x)﹣ln(1+x)＝﹣ｆ（x)，即①正确；f(）=ｌn(１+）﹣ｌn（1﹣）=ln(）﹣lｎ（)＝ln()＝lｎ[（）2]=2ln（）=２[ln(1＋x)﹣ln（1﹣x)］＝2ｆ（x），故②正确;当x∈[0，１)时，｜f(ｘ）｜≥２|x|⇔f(x)﹣2x≥0，令g（x)=ｆ（x）﹣2x=ｌn(1+x）﹣ｌn(1﹣x）﹣2x(x∈[0,1)) ∵g′(x）＝+﹣2=≥0，∴ｇ(x）在[０,1）单调递增,g（x)=f(x）﹣2ｘ≥ｇ（０)=0,又f(ｘ）≥2ｘ，又f（x）与ｙ=２x为奇函数,所以丨f(x）丨≥2丨x丨成立,故③正确;故正确的命题有①②③，故选：A点评:本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点,难度中档．1０．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线ｙ2＝ｘ的焦点,点A，Ｂ在该抛物线上且位于x轴的两侧,•=2(其中O为坐标原点)，则△ABＯ与△AＦＯ面积之和的最小值是（)A．2B．3Ｃ. D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：可先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及•=2消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题．解答:解：设直线ＡB的方程为：ｘ＝ty＋m，点A（x,y1),B（ｘ2,y2），直线AB与x轴的交点为M((0，m）,１由⇒ｙ2﹣ty﹣ｍ=０，根据韦达定理有y1•y2=﹣m,∵•＝２，∴x1•ｘ2＋ｙ１•y2＝2,从而，∵点Ａ,B位于ｘ轴的两侧,∴ｙ1•y2＝﹣2,故ｍ=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△ＡFO＝＝.当且仅当，即时，取“=”号，∴△AＢＯ与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．点评：求解本题时,应考虑以下几个要点:1、联立直线与抛物线的方程,消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元,这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定,三相等”.二、填空题:本大题共５小题,每小题５分,共25分１1．(５分)（２014•四川）复数＝﹣2i .考点: 复数代数形式的乘除运算．专题: 数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数,可得结果.解答：解：复数＝==﹣2i，故答案为:﹣2i．点评:本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．12．(５分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[﹣１，１）时,ｆ（x）=,则f（）= 1 .考点: 函数的值．专题：计算题.分析：由函数的周期性f（x＋2）=f（ｘ)，将求f（）的值转化成求ｆ（)的值．解答：解:∵ｆ(x）是定义在Ｒ上的周期为2的函数，∴=1.故答案为:1.点评：本题属于容易题,是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住,在高考中，属于“送分题”．13．(５分)(２01４•四川)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,Ｃ的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是４6m,则河流的宽度BＣ约等于60 m.(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：ｓin6７°≈0.92,cos６７°≈0.３9，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80,≈1．73)考点：余弦定理的应用;正弦定理；正弦定理的应用．专题: 应用题；解三角形．分析:过Ａ点作ＡD垂直于CB的延长线，垂足为D,分别在Rt△AＣD、Rｔ△ABD中利用三角函数的定义，算出ＣD、BＤ的长，从而可得BC,即为河流在B、Ｃ两地的宽度．解答:解:过A点作AD垂直于ＣB的延长线,垂足为Ｄ，则Rt△AＣD中，∠C＝３0°，AD=46m∴CD＝=46≈79.58m．又∵Rt△ABD中,∠ABD=67°,可得BD==≈1９.５ｍ∴BC=CD﹣BD＝79.５8﹣1９.5=60.08≈6０ｍ故答案为:60ｍ点评：本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度,着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识,属于中档题.14.(5分)（２０14•四川)设ｍ∈R，过定点A的动直线ｘ+my=０和过定点B的动直线mx﹣ｙ﹣m＋3＝０交于点P （x,ｙ).则|PＡ|•|PB|的最大值是5．考点：点到直线的距离公式.专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B,注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PＡ⊥ＰB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA｜•|PＢ｜的最大值.解答：解：有题意可知，动直线ｘ+mｙ=０经过定点A(０,０),动直线mx﹣y﹣m＋3=0即m(ｘ﹣１)﹣y＋３=0,经过点定点B(1,3)，注意到动直线ｘ+mｙ=0和动直线ｍｘ﹣ｙ﹣m+3＝０始终垂直，P又是两条直线的交点,则有ＰA⊥ＰB,∴|PＡ|2＋|PB｜2=｜AＢ｜2=10．故|PＡ｜•|PB|≤=5（当且仅当时取“＝”）故答案为：5点评:本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口,从而有|PＡ|2+|PB|２是个定值,再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合,不容易想到，是个灵活的好题．15．(5分）(２0１4•四川）以A表示值域为Ｒ的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M,使得函数φ（ｘ)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x）=ｘ3，φ2（x)=ｓinx时，φ１（x)∈A,φ2(x)∈Ｂ.现有如下命题:①设函数f（x）的定义域为D，则“f(ｘ)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃ａ∈D，ｆ（a）=b”；②函数f(x)∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x）,g(ｘ)的定义域相同,且f（x）∈A,g(ｘ)∈Ｂ,则ｆ(x）+g（x)∉B．④若函数f(x）=ａln（ｘ+2)＋(ｘ＞﹣2，a∈Ｒ）有最大值，则f（x）∈Ｂ.其中的真命题有①③④.（写出所有真命题的序号)考点: 命题的真假判断与应用;充要条件;函数的值域．专题: 新定义；极限思想;函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据题中的新定义,结合函数值域的概念,可判断出命题①②③是否正确,再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况,从而得到本题的结论．解答：解:(１）对于命题①“f（x)∈A”即函数ｆ(ｘ)值域为Ｒ，“∀b∈R，∃a∈D,f（a)=b”表示的是函数可以在R中任意取值，故有:设函数f(ｘ）的定义域为D,则“f（x)∈Ａ”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a）=ｂ”∴命题①是真命题；(2)对于命题②若函数f（x)∈Ｂ，即存在一个正数M，使得函数ｆ(x)的值域包含于区间[﹣M，M].∴﹣Ｍ≤f(ｘ)≤M.例如:函数f(ｘ)满足﹣2＜ｆ(ｘ)＜5，则有﹣5≤ｆ（x）≤５,此时，f(x）无最大值，无最小值．∴命题②“函数f（ｘ)∈B的充要条件是ｆ(x）有最大值和最小值.”是假命题;（3）对于命题③若函数ｆ（x），g(x）的定义域相同，且ｆ(x）∈A,ｇ（ｘ)∈B,则ｆ(ｘ）值域为R,f(ｘ）∈(﹣∞，+∞)，并且存在一个正数M,使得﹣Ｍ≤g(x）≤Ｍ.∴ｆ（ｘ）+g（x）∈R.则f(ｘ）+ｇ（x）∉Ｂ.∴命题③是真命题．（4）对于命题④∵函数f(ｘ)=aln（x＋2）＋（ｘ>﹣2,a∈R）有最大值，∴假设a＞０，当ｘ→＋∞时,→０,ln（ｘ＋2）→+∞，∴aln(ｘ+2)→+∞,则f（ｘ)→+∞.与题意不符;假设a＜0,当x→﹣2时，→,ln（x+2）→﹣∞,∴aln(x＋2)→+∞,则ｆ(ｘ）→+∞.与题意不符．∴a=0．即函数ｆ（x）=（x>﹣２)当x＞０时，，∴，即；当ｘ=0时,f（x)=0；当x<０时,，∴,即.∴．即ｆ（x)∈B.故命题④是真命题.故答案为①③④．点评：本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题.三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．(12分）(2014•四川)已知函数ｆ(ｘ)=sin(3ｘ+).（1）求f（x）的单调递增区间;（2)若α是第二象限角,ｆ()=cｏｓ(α+)ｃos2α，求cｏsα﹣sｉnα的值．考点: 两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值.分析:（1）令2kπ﹣≤3x+≤2ｋπ+，k∈z,求得x的范围，可得函数的增区间．(2)由函数的解析式可得f（)=ｓin(α＋),又ｆ（）=cos(α+）cos２α，可得sin(α＋)=cos（α+）ｃos２α,化简可得(cosα﹣sinα）２=.再由α是第二象限角，cosα﹣sinα<0,从而求得ｃosα﹣sｉnα的值.解答：解：(1)∵函数f(ｘ）=siｎ（３x+)，令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z,求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣,+],k∈z．(２）由函数的解析式可得f()=sin(α＋)，又f(）=cos（α+）cos2α，∴sin(α+）=cｏｓ（α+）ｃos2α,即sin（α＋）=cos（α＋)（cos2α﹣sｉｎ２α),∴sinαcos+ｃosαsin=（coｓ2α﹣sin2α)(ｓinα+cosα）.又∵α是第二象限角,∴cｏｓα﹣ｓinα<０,当sinα+ｃosα＝０时,此时ｃｏsα﹣sinα=﹣.当ｓinα＋cosα≠0时，此时cosα﹣sinα＝﹣.综上所述:coｓα﹣sｉnα=﹣或﹣．点评:本题主要考查正弦函数的单调性,三角函数的恒等变换,属于中档题．17.(12分)(2014•四川)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐:每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得２0分,出现三次音乐获得10０分,没有出现音乐则扣除2０0分(即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．考点：离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计.分析:（1)设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率,即可求X的分布列；(2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论.（3)计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可.解答：解:（1)X可能取值有﹣200,10，２０，1０0．则P（X=﹣200）=，P（X=10)==Ｐ（X=20)==，P（X=100）==,故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（１)知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=,则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣.由(1)知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是Ｅ(X）=（﹣200）×+１0×＋20××100=﹣＝.这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知:许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比,分数没有增加反而会减少．点评:本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力.18.(12分)(20１４•四川)三棱锥A﹣BＣD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AＤ,AＢ的中点,P为线段BC上的点，且MN⊥NP.(１)证明:Ｐ是线段BC的中点;（2）求二面角Ａ﹣NP﹣Ｍ的余弦值.考点: 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角.专题：空间向量及应用.分析:(1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，(2)先建空间直角坐标系,再求平面的法向量，即可求出二面角Ａ﹣NP﹣Ｍ的余弦值．解答：解：(1)由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知,在三棱锥A﹣BＣＤ中:平面ABD⊥平面CBＤ,AB=AD＝BＤ=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OＣ⊥BＤ所以BD⊥平面ＯAC⇒BD⊥AC因为Ｍ，N分别为线段AＤ，AB的中点,所以MＮ∥BD，MN∥ＮP,故ＢD⊥NP假设P不是线段ＢＣ的中点，则直线ＮP与直线AC是平面ＡBC内相交直线从而ＢD⊥平面ＡＢC，这与∠DＢC=6０°矛盾,所以P为线段ＢC的中点(２)以O为坐标原点,OB,OＣ,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A（０,0,)，M（,O,)，N(，0，）,P（,,０）于是,,设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则,设ｚ1＝1,则由,则，设ｚ２=1，则ｃoｓ=＝=所以二面角Ａ﹣NP﹣M的余弦值点评：本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤,属于中档题.19.(12分）（２014•四川）设等差数列{aｎ}的公差为ｄ，点（ａn，bｎ)在函数f（x)=2x的图象上(ｎ∈Ｎ*).（1）若a1＝﹣2,点（a8,４b７)在函数f(x)的图象上,求数列｛a n}的前ｎ项和S n;(2)若a1＝１，函数f(ｘ)的图象在点(ａ2，b2）处的切线在ｘ轴上的截距为２﹣，求数列｛｝的前ｎ项和T n.考点: 数列的求和；数列与函数的综合.专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列．分析:(1)由于点(a8,４b7)在函数ｆ(x）=2x的图象上，可得，又等差数列{aｎ｝的公差为d，利用等差数列的通项公式可得＝２d．由于点(a8，4b7）在函数f(x）的图象上，可得=b8,进而得到=4=２d,解得d.再利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2)利用导数的几何意义可得函数f(x)的图象在点（a２，ｂ2）处的切线方程,即可解得a２．进而得到a n，b n.再利用“错位相减法”即可得出.解答:解:(１)∵点（ａ，4ｂ7）在函数f（x）=2x的图象上，８∴，又等差数列{a n}的公差为ｄ，∴==2d,∵点（a8，4b7)在函数f（x)的图象上，∴＝ｂ8,∴＝4=2d，解得d＝2.又ａ1=﹣2,∴Ｓｎ＝=﹣2n＋=n2﹣3n.（2）由f(ｘ）=2x,∴f′（x）=2x ln２,∴函数f(x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为,又,令y=０可得x＝,∴,解得a２=2．∴d=a2﹣a１=2﹣１=1.∴a n=a１+(n﹣１）d＝1+（ｎ﹣1）×1＝ｎ，∴b n＝2n．∴．∴Tｎ=+…++,∴2Tｎ=1++＋…＋,两式相减得Tｎ=1++…+﹣=﹣==.点评:本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”,属于难题．20．（13分)（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a>b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程;(2）设Ｆ为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆Ｃ于点Ｐ,Q．①证明:OT平分线段PQ（其中O为坐标原点);②当最小时，求点T的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.分析：第（1）问中,由正三角形底边与高的关系，ａ２=ｂ２+c2及焦距2ｃ＝4建立方程组求得ａ2,b２；第（２）问中,先设点的坐标及直线PＱ的方程,利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来,由取最小值时的条件获得等量关系,从而确定点T的坐标.解答：解：（１）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+＝１.（2）设T（﹣3，m),P（ｘ1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点为N（ｘ0,y０），①证明：由F(﹣2,0）,可设直线ＰＱ的方程为x=ｍy﹣2，由⇒（m２+３)y2﹣４mｙ﹣2=０，所以于是,从而,即,则，所以Ｏ，Ｎ,Ｔ三点共线,从而OT平分线段PQ,故得证.②由两点间距离公式得，由弦长公式得＝＝,所以,令，则（当且仅当ｘ2＝2时,取“=”号),所以当最小时,由x２＝2＝m2＋1,得ｍ＝1或m=﹣1,此时点T的坐标为（﹣３,1)或（﹣3,﹣1）．点评:本题属相交弦问题,应注意考虑这几个方面:1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程,利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题.21．（14分)(2014•四川)已知函数f(x）=eｘ﹣aｘ2﹣ｂｘ﹣1，其中a,b∈R，e=2．７1828…为自然对数的底数．(1)设g(x）是函数f(x)的导函数,求函数g（ｘ）在区间[0，1］上的最小值;(2)若f(１）＝０,函数f（ｘ)在区间（0，１)内有零点,求a的取值范围.考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点．专题: 导数的综合应用．分析:（1)求出f(x)的导数得g(x),再求出ｇ（x）的导数,对它进行讨论,从而判断g(x）的单调性，求出g(x)的最小值；(2）利用等价转换,若函数f（x）在区间（0,1)内有零点，则函数f（x）在区间（０,1)内至少有三个单调区间，所以g(ｘ)在（0，１)上应有两个不同的零点.解答：解:∵f(x)=eｘ﹣ax2﹣bｘ﹣1，∴g(x）=f′(ｘ）＝ｅx﹣2ax﹣ｂ，又g′（x）=e x﹣2a,x∈[0,1]，∴1≤ｅｘ≤e,∴①当时，则2a≤１,g′(x）＝e x﹣2a≥０，∴函数g(x)在区间[0，1］上单调递增,g（x)min=g（０）=1﹣b;②当,则1<2ａ<e,∴当0<x＜lｎ（2a)时，ｇ′（x）=e x﹣２a<0,当lｎ(2a）＜x＜1时，g′(x）＝eｘ﹣2ａ＞0,∴函数g(x）在区间[０，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a）,1］上单调递增，ｇ(x)mｉn＝g[ln（２a）］=2a﹣2ａln（２a)﹣b；③当时,则２a≥e，g′（x)=e x﹣2a≤0,∴函数g(x)在区间[0,１]上单调递减，g（x)min=ｇ（1)＝e﹣2a﹣b,综上：函数g(ｘ）在区间［0,1]上的最小值为；（2)由f（１)=0，⇒e﹣ａ﹣b﹣1＝0⇒b＝ｅ﹣a﹣1，又ｆ（0)=0,若函数ｆ(x)在区间（０，1)内有零点，则函数f（x）在区间(０,1）内至少有三个单调区间，由（1)知当a≤或ａ≥时，函数g（x）在区间[0,１]上单调,不可能满足“函数ｆ（x)在区间(0,1）内至少有三个单调区间”这一要求．若，则g min(x)=2a﹣2aln（2ａ）﹣b=３a﹣2aｌn（2a)﹣e+１令h（ｘ）=（1<ｘ<ｅ)则.由＞0⇒x＜∴h(x)在区间(１,）上单调递增,在区间（，e）上单调递减,=+＜0，即gｍiｎ（x）<０恒成立, ∴函数f(x)在区间（0，1)内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣２<a＜1,综上得:e﹣2<a＜1．点评:本题考查了,利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题,难度较大.ﻬ参与本试卷答题和审题的老师有:任老师；王老师；孙佑中;刘长柏;qisｓ；尹伟云;翔宇老师;sｚjzl；caoqz；清风慕竹;静定禅心；mａths（排名不分先后)菁优网201４年6月24日。