人教版高一数学必修四第一章弧度制

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高中数学人教A版必修4：第一章 1.1 1.1(1).2 弧度制

1．1.2 弧度制
预习课本P6～9，思考并完成以下问题
(1)1 弧度的角是如何定义的？ (2)如何求角 α 的弧度数？ (3)如何进行弧度与角度的换算？ (4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金榜题名！
1
[新知初探]
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14
[活学活用] 1．将－1 125°表示成2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z的形式
为________．
解析：因为－1 125°＝－4×360°＋315°， 315°＝315×1π80＝74π，所以－1 125°＝－8π＋74π. 答案：－8π＋74π
2019年8月10日
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题点二：利用公式求半径和弧度数
2．扇形OAB的面积是4 cm2，它的周长是8 cm，求扇形的半径和圆心角．解：设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)，弧长为 l cm，半径为 r cm，
l＋2r＝8，
2
(3)角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0 .如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，
l 那么角α的弧度数的绝对值|α|＝ r .
[点睛] 用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2 rad的单位“rad”可省略不写，只写2.
1．角的单位制 (1)角度制：
1 规定周角的 360 为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是 rad，读作弧度，通常略去不写．

新人教版必修四第一章第一节弧度制课件

2
(k Z )
6)已知0 2 , 且与7终边相同，求
7).已知P x|2k x (2k 1) , k Z , Q x | 5 x 5 求P Q
例3：利用弧度制推导扇形的公式：
1 1 S lr r 2 2 2
变式1：已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm² , 求扇形的中心角.
变式2：当扇形的中心角为600，半径为10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积
变式3 :已知一扇形的周长20cm,当扇形的中心角为多大时, 它有最大的面积 ? 并求出这个最大值.
解：设扇形的中心角为 , 半径为r, 则 20 2r 2r r 20, r 1 2 1 20 2r 2 r (10 r )r 10r r 2 S扇形 r 2 r 2 10 当r 5时, S扇形 25, 此时 2 max 2 (1) 答 : 扇形的半径为5cm,圆心角为2rad时, 扇形面积最大
小结：
1、弧度制的意义——角与实数一一对应；
2、换算公式及方法； 3、弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及应用作业：课本P9题A 、B组思考作业：扇形的周长L为定值，问它的圆心角θ取和值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ θ =2，S大=1/16· L2
一、复习回顾
1、1弧度的角规定：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角； l
R
2、弧长公式、
l R
3、换算公式
1

180
rad 0.01745 rad
1rad 1）用弧度制写出与300同终边的角的集合； S { | 2k k z} 6 2）用弧度制写出终边在第一象限角的集合；

人教A版必修四第一章.2 弧度制

但量数相同（都是0）
(2)用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
角度与弧度间的换算
360=2rad 180 =rad
把角度换成弧度
1= ra d0.017r4a5d
180
把弧度换成角度
1ra= d180 57 .30 =5718'
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度。
•
2.但与此同时，诗歌批评庸俗化的趋势越来越明显，不少诗歌批评为了应酬需要，违心而作，学术含量可疑，甚至堕落为诗人小圈子里击鼓传花的游戏道具。这类批评对诗歌创作来说类同饮鸩止渴，还不如索性没有的好。
•
3.批评文章却写得天花乱坠，一再上演“皇帝的新衣”闹剧。这些批评牵强附会、肆意升华，外延无限扩张，乃至另起炉灶，使批评成为原创式的畅想，早已失去了与原作品的联系。
•
4.评庸俗化表现为概念代替文本，行为代替写作。较之个体性的埋头创作，不少诗人似乎更喜欢混个脸熟，在这样的背景和语境下，诗歌批评基本沦为诗人间的交际和应酬。哪怕是纷纷攘攘的流派或主义之争，也往往是你方唱罢我登场，名目噱头不少，却未见得与文学和读者有何关系。
解：∵
67
30
=
135 2
∴ 6730=rad135=3rad
180 2 8
例2
把
4 rad 5
化成度．
解： 4rad =4180=144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
特殊角的弧度数

人教版高一数学必修四第一章弧度制

1．1.2弧度制考点学习目标核心素养弧度制了解弧度制的概念数学抽象角度制与弧度制的换算能进行角度与弧度之间的互化数学运算扇形的弧长与面积公式理解弧度制下弧长与面积公式数学运算问题导学预习教材P6－P9，并思考下列问题：1．1弧度的角是如何定义的？2．如何进行弧度与角度的换算？3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？1．度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的1360为1度角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad(rad可省略不写)(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3.5 rad可写成α＝－3.5.而用角度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略.(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．2．弧度数的计算与互化(1)弧度数的计算(2)弧度与角度的互化3．弧度制下的弧长与扇形面积公式公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制l＝nπr180S＝nπr2360弧度制l＝|α|·r(0＜|α|＜2π)S＝12lr＝12|α|r2(0＜|α|＜2π)(1)在应用扇形面积公式S＝12|α|r2时，要注意α的单位是“弧度”．(2)由α，r，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1弧度指的是1度的角．()(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．()(3)不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关．()(4)1°的角是圆周的1360，1 rad的角是周角的12π.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√8π5弧度化为角度是( ) A ．278° B ．280° C ．288° D ．318°答案：C半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( )A.4π3 B ．π C.2π3 D.π3答案：C(1)18°＝________rad ；(2)310π＝________．答案：(1)π10(2)54°角度制与弧度制的互化将下列角度与弧度进行互化： (1)37°30′；(2)－216°；(3)7π12；(4)－11π5.【解】 (1)37°30′＝37.5°＝⎝⎛⎭⎫752°＝752×π180＝5π24. (2)－216°＝－216×π180＝－6π5.(3)7π12＝⎝⎛⎭⎫7π12×180π°＝⎝⎛⎭⎫712×180°＝105°. (4)－115π＝⎝⎛⎭⎫－115π×180π°＝－396°. 角度制与弧度制的互化原则(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝⎝⎛⎭⎫α·180π°；n °＝n ·π180rad.1．把下列角度化为弧度．(1)－1 500°＝________． (2)67°30′＝________．解析：(1)－1 500°＝－1 500×π180＝－253π.(2)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝3π8.答案：(1)－25π3 (2)3π82．把下列弧度化为角度． (1)23π6＝________．(2)－13π6＝________．解析：(1)23π6＝⎝⎛⎭⎫23π6×180π°＝690°. (2)－13π6＝－⎝⎛⎭⎫13π6×180π°＝－390°. 答案：(1)690° (2)－390°用弧度制表示终边相同的角把－1 480°写成2k π＋α(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？【解】－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9＝－10π＋16π9，其中0≤16π9<2π，因为16π9是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．[变设问]若本例的条件不变，在[－4π，4π)范围内找出与α终边相同的角的集合．解：与α终边相同的角为2k π＋169π(k ∈Z )．由－4π≤2k π＋169π<4π知k ＝－2，－1，0，1.所以所求角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－209π，－29π，169π，349π.用弧度制表示终边相同角的两个关注点(1)用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍．(2)还要注意角度制与弧度制不能混用．1．在区间(0，2π)内，与－34π5终边相同的角是( )A.π5B.2π5C.4π5D.6π5解析：选D.因为－34π5＝－8π＋6π5，则－34π5与6π5终边相同，选D.2．已知α＝1 690°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0，2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π.(2)因为θ与α终边相同，所以θ＝2k π＋2518π(k ∈Z )，又θ∈(－4π，4π)，所以－4π<2k π＋2518π<4π(k ∈Z )．解得－9736<k <4736(k ∈Z )，所以k ＝－2，－1，0，1.所以θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.扇形的弧长与面积的计算(1)已知扇形的圆心角为120°，半径为 3 cm ，则此扇形的面积为________ cm 2. (2)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数．【解】 (1)设扇形弧长为l ，因为120°＝120×π180 rad ＝2π3(rad)，所以l ＝αR ＝2π3×3＝23π3(cm)．所以S ＝12lR ＝12×23π3×3＝π(c m 2)．故填π.(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2R ＝10，①12lR ＝4.②①代入②得R 2－5R ＋4＝0，解得R 1＝1，R 2＝4. 当R ＝1时，l ＝8(cm)，此时，θ＝8 rad ＞2π rad 舍去．当R ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12 (rad)．综上可知，扇形圆心角的弧度数为12rad.扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lR ＝12αR 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用扇形弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解．1．已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则该扇形的周长为________cm.解析：因为1°＝π180rad ，所以54°＝π180×54＝3π10，则扇形的弧长l ＝3π10×20＝6π(cm)，故扇形的周长为(40＋6π)cm.答案：(40＋6π)2．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ，所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝－(r －10)2＋100.所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad.1．1 920°的角化为弧度数为( ) A.163 B.323 C.163π D.323π 解析：选D.因为1°＝π180 rad ，所以1 920°＝1 920×π180 rad ＝323π rad.2．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( )A.403π cm B.203π cm C.2003π cm D.4003π cm 解析：选A.根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3(cm)．3．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 725°；(2)64π3.解：(1)因为－1 725°＝－5×360°＋75°，所以－1 725°＝－10π＋5π12.所以－1 725°角与5π12角的终边相同．又因为5π12是第一象限角，所以－1 725°是第一象限角．(2)因为64π3＝20π＋4π3，所以64π3角与4π3角的终边相同．又因为4π3是第三象限角，所以64π3是第三象限角．[A 基础达标]1.3π4对应的角度为( ) A ．75° B ．125° C ．135°D ．155°解析：选C.由于1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°，所以3π4＝34π×⎝⎛⎭⎫180π°＝135°，故选C.2．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝－5π6＋2k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋k ·360°，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝2π3＋2k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z 解析：选 D.150°＝150×π180＝5π6，故与150°角终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z .3．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为( )A.π2 B.π3 C. 2D. 3解析：选C.设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ，所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角α＝l r ＝a22a ＝2，故选C.4．钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143 π B ．－143πC.718π D ．－718π解析：选B.显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )A ．扇形的圆心角大小不变B ．扇形的圆心角增大到原来的2倍C ．扇形的圆心角增大到原来的4倍D ．扇形的圆心角减小到原来的一半解析：选A.设扇形原来的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则变化后半径为2r ，弧长为2l ，圆心角为β，所以α＝l r ，β＝2l 2r ＝lr＝α，即扇形的圆心角大小不变．6．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角α的集合为__________．解析：若角α的终边落在x 轴上方，则2k π＜α＜2k π＋π(k ∈Z )．答案：{α|2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z }7．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．解析：|α|＝l r ＝128＝32rad ，S ＝12lr ＝12×12×8＝48. 答案：32488．如图所示，用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为________．解析：由题图知，终边落在射线OA 上的角为2k π＋π4(k ∈Z )，终边落在射线OB 上的角为－π3＋2k π(k ∈Z )，即5π3＋2k π(k ∈Z )，所以终边落在题图中阴影部分的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α.则2r ＋l ＝4.根据扇形面积公式S ＝12lr ，得1＝12lr .联立⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝4，12lr ＝1.解得r ＝1，l ＝2，所以α＝l r ＝21＝2.故所求圆心角的弧度数为2.10．把下列角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式： (1)16π3；(2)－315°.解：(1)16π3＝4π＋4π3.因为0≤4π3＜2π，所以16π3＝4π＋4π3.(2)因为－315°＝－315×π180＝－7π4＝－2π＋π4.因为0≤π4＜2π，所以－315°＝－2π＋π4.[B 能力提升]11．(2019·重庆巴蜀中学月考)设角α的终边为射线OP ，射线OP 1与OP 关于y 轴对称，射线OP 2与OP 1关于直线y ＝－x 对称，则以OP 2为终边的角的集合是( )A ．{β|β＝k ·2π＋α，k ∈Z }B ．{β|β＝(2k ＋1)·π＋α，k ∈Z }C ．{β|β＝k ·2π＋π2＋α，k ∈Z }D ．{β|β＝k ·2π＋32π＋α，k ∈Z }解析：选C.依题意，射线OP 1所对应的角γ满足α＋γ＝k 1·2π＋π，k 1∈Z ，① 射线OP 2所对应的角β满足γ＋β＝k 2·2π－π2，k 2∈Z ，② ②－①得β－α＝(k 2－k 1)·2π－32π，即β＝k ·2π＋π2＋α，k ∈Z . 12．如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝π6，则劣弧AB ︵的长为________．解析：连接AO ，OB ，因为∠ACB ＝π6，所以∠AOB ＝π3，又OA ＝OB ，所以△AOB 为等边三角形，故圆O 的半径r ＝AB ＝4，劣弧AB ︵的长为π3×4＝4π3. 答案：4π313．已知扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求该扇形的圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB 的长度．解：(1)设该扇形AOB 的半径为r ，圆心角为θ，面积为S ，弧长为l .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2.所以圆心角θ＝l r ＝61＝6或θ＝l r ＝23，所以该扇形的圆心角的大小为23rad 或6 rad. (2)θ＝8－2r r，所以S ＝12·r 2·8－2r r＝4r －r 2＝－(r －2)2＋4，所以当r ＝2，即θ＝8－42＝2时，S max ＝4 cm 2. 此时弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)．所以扇形面积最大时，圆心角的大小等于2 rad ，弦AB 的长度为4sin 1 cm.14．(选做题)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：如题图(1)，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z . 如题图(2)，因为30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z .。

高中人教版数学必修4课件：第1章 1.1.2 弧度制

当k＝1时，θ＝432°＝152π，
所以在[2π，4π]中与72°角终边相同的角是152π.]
用弧度制表示角
【例2】 (1)把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α＜ 2π，并判断它是第几象限角？
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ 的集合．
思路点拨：(1) 把角度换成弧度 → 再转化为2kπ＋αk∈Z形式 → 利用终边相同的角判断出象限 (2) 写出终边为OA的锐角 → 写出终边落在AOy内范围 → 加kπk∈Z表示角积公式时，若已知的角是以 “度”为单位，需注意什么问题？
角度制与弧度制互化的关键与方法 1关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键； 2方法：度数×1π80＝弧度数；弧度数×1π80°＝度数； 3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
[跟进训练]
1．(1)将－157°30′化成弧度为________；
(2)将－115π化为度是________．
第一章三角函数
§1 数列 1.1.2 弧度制
学习目标 1.体会引入弧度制的必要性，了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2．能进行弧度与角度的换算、掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点) 3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)
核心素养 1.通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，提升学生数学抽象素养． 2．在类比和数学运用过程中，培养学生数学建模和数学运算素养.
4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
[解] 30°＝π6，150°＝56π.
终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是
βπ6＋kπ＜β＜56π＋kπ，k∈Z

高中数学必修四第1章三角函数课件 1.1.2 弧度制

高中数学必修四
第一章三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z

Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z

类型一角度制与弧度制的换算【例 1】将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．

(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳

三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。

人教A版-数学-高一必修4-第一章-1经典.1经典.1-弧度制第1课时-课件-(1)经典.ppt

【解】 (2)①1 690°＝1 440°＋250° ＝4×360°＋250°＝4×2π＋2158π.
..分割..
23
②∵θ 与 α 终边相同，
∴θ＝2kπ＋2158π(k∈Z).
又 θ∈(－4π，4π)，
∴－4π＜2kπ＋2158π＜4π，
∴－9376＜k＜4376(k∈Z).
∴k＝－2，－1,0,1.
..分割..
16
跟踪训练 1 将下列角按要求转化： (1)300°＝________rad； (2)－22°30′＝________rad； (3)85π＝________度．
答案
5π (1) 3
(2)－π8
(3)288
..分割..
17
类型 2 用弧度表示终边相同的角
【例 2】已知角 α＝2 010°. (1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出 α 是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与 α 终边相同的角.
设扇形的半径为 R，弧长为 l，α (0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位
类别
α 为角度制 α 为弧度制
απR 扇形的弧长 l＝ 180
l＝ αR
扇形的面积
απR2 S＝ 360
S＝
12αR2
＝
1 2lR
(1)弧度数公式：α＝
l r
；
(2)弧长公式：l＝αr ；
1 (3)扇形面积公式：S＝..2分l割r ..
(2)(2014·绵阳高一月考)经过一刻钟，长为 10 cm 的分针旋转过程中所扫过的面积是________.
..分割..
28
【解析】 (1)设扇形的半径为 r cm，圆心角为 α rad，弧长为 l cm，

人教A版高中数学必修四第一章：1.1.2弧度制课件

5
(2) 112º30′=112.5× 180 = 8 .
“角化弧”时, 将α乘以；
180
2024/11/3
例2. 把
8
5
化成角度。
解：1rad=
(180 )
8 8 (180) 55
288
“弧化角”时，将α乘以
180；0
2024/11/3
填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角度
0 30
2024/11/3
复习回顾：正角：射线按逆时针方向旋
1.任意角
转形成的角负角：射线按顺时针方向
的概念旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)把角的顶点放在原点 2.象限角 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与角ａ相同的角
2024/11/3 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}
2024/11/3
证明:由公式 =得rl l=αR
而圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公
式分别是 l n R , S n R2
180
360
R nR 得： n 180 n
180
180
代入面积公式，得 S 1 R2 S 1 lR
2
2
2024/11/第5题做在书上
2024/11/3
P5练习1、2、3、4、5
角度制
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角，如下图：
1°的角
O
2024/11/3
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？

人教高中数学必修四第一章1.1弧度制课件(共19张PPT)

设
E { 小于 90 的角｝
M 小于 90 但不小于
o
F { 锐角｝，
0 的角
0
G ＝ { 第一象限的角｝

0
，那么有（）． D
A .F G E B .F E G C .M E G D . G M

F
2、若角、满足下列条件，求它们的关系式？
16 3
；（2） 315 ；（3）
B

11 7
．
２．下列角的终边相同的是（
A． k
4
）．
与 2 k 与
2
4
，k Ζ
B． 2 k C．
k 2
2 3
3
，k Ζ
与 k
，k Ζ
D． 2 k 1 与 3 k ， k Ζ

2k , k, k ZZ 2 k
3 2 2k k ,, k k Z Z 22
1．把下列各角化成 2 k 0 2 ， k Ζ 的形式：（ 1）
4
B B
2
单位符号是 rad,读作弧度
-10 -5
1弧度
O A A
拖动A改拖
-2
弧度把角度单位与长度单位统一起来.
-4
OA 3.10 厘米
长度 AB 3.10 厘米
m Ð AO B 1.00 000 弧度
-6
OA 4.23 厘米
-8
长度 AB 4.23 厘米
m Ð AO B 1.00 000 弧度
弧度制

人教版-高中数学必修4-第一章-1.1.2弧度制-课件

30o
45o
60o
90o 120o
弧度
0
6
4
3
2 23
角度
135o
150o
180o
270o
360o
弧度
第三十五页，共五十页。
特殊(tèshū)角的弧度
角度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧度
0
6
4
3
2 23
角度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 3 度4
第三十六页，共五十页。
180 n rad ．
第二十一页，共五十页。
角度(jiǎodù)与弧度之间的转换
①将角度(jiǎodù)化为弧度：
360 2 ； 180 ； 1 0.01745 rad ；
180
n
n 180 rad ．
第二十二页，共五十页。
角度(jiǎodù)与弧度之间的转换
②将弧度(húdù)化为角度：
角度与弧度(húdù)之间的转换
①将角度(jiǎodù)化为弧度：
360 2 ； 180 ； 1 0.01745 rad ；
180
第二十页，共五十页。
角度(jiǎodù)与弧度之间的转换 ①将角度(jiǎodù)化为弧度：
360 2 ； 180 ； 1 0.01745 rad ；
第七页，共五十页。
讲授新课 (jiǎngshòu)
弧度(húdù)制定义我们规定，长度等于半径的弧所
对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量(dùliàng)角的单位制叫做弧
度制．在弧度制下，1弧度记做1rad. 在实际运算中，常常将rad单位

新人教A版高一数学必修四第一章三角函数1.1.2弧度制

[归纳升华] 角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数.
1．将下列角度与弧度进行互化： (1)5611π；(2)－71π2 rad；(3)10°；(4)－855°.
解析： (1)5611π＝5611×180°＝15 330°；
2．5 弧度的角的终边所在的象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：因为32π<5<2π，因此 5 弧度的角的终边在第四象限．
答案： D
3．扇形圆心角为 216°，弧长为 30π，则扇形半径为________．
解析： 216°＝216×1π80＝6π5 ，l＝α·r＝6π5 r＝30π，∴r＝25. 答案： 25
(3)如图所示，扇形 AOB 的面积是 4 cm2，它的周长是 10 cm，求扇形的圆心角 α 的弧度数及弦 AB 的长．
[边听边记] (1)由公式|α|＝rl，可知圆的半径变为原来的 2 倍，弧长也变为原来的 2 倍时，圆心角大小不变；但扇形面积 S＝12lr，故面积变为原来的 4 倍．
(2)设扇形的弧长为 l，半径为 r，则 l＋2r＝40，则 S＝12lr＝12(40－2r)r＝20r －r2，所以 r＝10 时，扇形面积最大，此时 l＝40－2r＝20，圆心角的弧度数 α＝rl ＝2100＝2.
π (2)如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－ 6 ，
而 75°＝75×1π80＝51π2 ，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
θ|
2kπ－π6 ＜θ＜2kπ＋51π2 ，k∈Z.

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