关于垃圾运输问题的解决

垃圾运输问题的解决

校内数学建模竞赛C题

摘要

费用，若要把所有的垃圾运回垃圾处理站，这部分有效工的费用为∑1.8＊|Xi|＊Yi(|Xi|为垃圾点Xi到原点的距离,Yi为垃圾点的垃圾量)，是恒定不变的。只要我们能保证空载路线最小，则所花的时间和费用都最小。因此解题的关键在于找出一个调度方案，使空载行驶的线路最小。

第三阶段则是编制程序阶段，我们结合下山法逐点搜索，并引入随机生成

器。在出现后继点权值相等难以判断以哪点继续搜索时，由随机生成器确定。为了让算法更接近人的思维，我们让更靠近父点的子点有更高的几率被作为下一个将去的垃圾点，这也与我们的算法原则对应。

问题的解答如下：第一问，求得所需总费用为2338元，所需总时间为21。6小时，路线分配图见正文；第二问，求得需3辆铲车，铲车费用为81。6元，分配图及运输车调度表见正文；第三问，8吨，4吨运输车个需一辆。

垃圾运输问题的解决

(一)问题重述

某城区有36个垃圾集中点，每天都要从垃圾处理厂（第37号节点）出发将垃圾运回。现有一种载重6吨的运输车。每个垃圾点需要用10分钟的时间装车，运输车平均速度为40km/h(夜里运输，不考虑塞车现象)；每台车每日平均工作4小时。运输车重载运费1.8元/吨公里；运输车和装垃圾用的铲车空载费用0.4元/公里

1．要投入多少辆运输车，每台车的行走路线，方案的运营总费用

2．要投入多少辆铲车，每台铲车的行走路线，铲车的运营费用

3．如果有载重量为4吨，6吨，8吨三种运输车，应该怎样调度

(二)基本假设

1．运输车行走拐弯的时间，路上的意外事故的耽搁时间忽略。

2．各垃圾点的垃圾必须当天及时清除完，不允许滞留

3．晚上9：00后不堵车

4．每天各垃圾点的垃圾量基本相同

5．每个垃圾点无论其中垃圾是否清理完全都需要10分钟装车时间

6．每个垃圾点都在路口，便于垃圾的集中、运输

7．垃圾只在晚上运输，基本保证运完后，当天不会再有新的垃圾产生

(三) 基本变量，符号和用语

|A| 表示A点到原点的距离，恒正

|B| 表示B点到原点的距离，恒正

|A-B| 表示A,B两点之间的距离,恒正

Ta表示A点所在地的垃圾量

Spend 花费钱的数量

Time 花费的时间

装的足够多运输车当前的载重离限载不大于0.55吨(垃圾点的最小垃圾量)

序数号所在点的编号

父点本点的上一点

子点本点的下一点

(四) 问题分析和数学模型的建立

垃圾运输问题最终可以归结为最优路径搜索问题，但注意到此图为森林而不是树，不能直接套用Krusal，Prim等现成算法，于是根据具体问题设计出随机下山法，用计算模拟搜索，可以搜寻到令人满意的可行解。

先注意到两点的情况，设两点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)。

主要有以下两种情况：

一．A,B明显有先后次序。--递减状态（如图1）

不妨设x1>x2, y1>y2,不难看出A在B的后方,即A比B远。对于前方参考点O,要将A,B对应垃圾点的垃圾全部取回再返回O,一共有三种方式：

1．O→A→O, O→B→O

单独运输。这种情况下，总的路程消费等于空载运行费用(0.4元/公里)与装载时运行费用（1.8元/公里吨）的总和。所需的总时间等于车辆所走过的总路程与速度（40公里/小时）的比值再加上在A,B两点停留的时间(每个垃圾点上停留了10分钟，1/6小时)，于是有：

Spend = 0.4*|A| + 1.8*|A|*Ta + 0.4*|B| + 1.8*|B|*Tb

Time = (2*|A| + 2*|B|)/40 + 1/6*2

2. O→A→B→O

先远点再近点，即先空载至最远处，装完A点垃圾后再返回至B,再回O点，有：

Spend = 0.4*|A| + 1.8*|A-B|*Ta +1.8*|B|*(Ta+Tb)

= 0.4*|A| + 1.8*|A|*Ta + 1.8*|B|*Tb

Time = 2*|A|/40 + 1/6*2

3. O→B→A→O

先近点在远点，即先装B点垃圾，然后载着B点的垃圾奔至A点，再回O点，有：

Spend = 0.4*|B| + 1.8*|A-B|*Tb + 1.8*|A|*(Ta+Tb)

= 0.4*|B| + 1.8*|A|*Ta + 1.8*|B|*Tb + 1.8*|A-B|*2*Tb

Time = 2*|A|/40 + 1/6*2

比较以上三种情况，远近点的遍历顺序，可以看出，“先远后近”绝对比“先近后远”在花费钱的数量上要少的多，省出1.8*|A-B|*2*Tb这部分的钱主要是车载着B点的垃圾奔到A点再返回B点。而又注意到两者的时间花费是相等的。所以在其余同等的情况下选择“先远后近”。考虑到时间上单独运输比其余的两种运输要大的多，多一一倍，而且花费的钱仍不比“先远后近”省，还多了0.4*|B|，所以一般情况下，不采用单独运输。

二．A，B两点没有明显先后顺序。 --并邻状态（如图2）

还是一共有三种情况：

1．O→A→O, O→B→O

单独运输。这种情况下，跟A,B两点有先后顺序中的情况完全相同，即有：

spend = 0.4*|A| + 1.8*|A|*Ta + 0.4*|B| + 1.8*|B|*Tb

time = (2*|A| + 2*|B|)/40 + 1/6*2

2．O→A→B→O

Spend = 0.4*|A| + 1.8*|A-B|*Ta + 1.8*|B|*(Ta+Tb) ----〈1〉

Time = (|A| + |A-B| + |B|)/40 + 1/6*2

3.O→B→A→O

Spend = 0.4*|B| + 1.8*|A-B|*Tb + 1.8*|A|*(Ta+Tb) ----〈2〉

Time = (|A| + |A-B| + |B|)/40 +1/6*2

相比之下，清晰可见并邻状态下的单独运输所花的费用最少，所以在不要求时间的情况下对于并邻两点，采用单独运输的方式最节约钱。用<1>式与<2>式相减除以1.8，得到如下判断式：

|A-B|*(Ta-Tb) + (Ta+Tb)*(|B|-|A|) ----<3>

上式 < 0时，选0→A→B→O;

上式 > 0时，选 O→B→A→O;

上式 = 0时，任意选上述两路线。