2020辽宁省高考数学试题(理数)
2021年辽宁省高考数学试卷(理科)
2021年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的模长为（）A．B．C．D．22．（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，2]C．（1，2） D．（1，2]3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p45．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．606．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A．B．C． D．7．（5分）使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A．b=a3B．C．D．10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣1612．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．14．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=．15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．三、解答题：解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．18．（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率差不多上，答对每道乙类题的概率差不多上，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．21．（12分）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范畴．请考生在21、22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分。
2021高考数学 复数历年来高考习题荟萃（2020-2021）（含解析）(1)
zi，+2=2z设=2a+2bi在复平面内对应的．第四象限，故答案为D．对应的点的坐标是( ) ()(+为虚数单位1i iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】 B【解析】 z = i·(1+i) = i – 1,因此对应点(-1,1).选B 选B9.【2021山东】（1）复数z 知足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为( D )A. 2+i C. 5+i10.【2021上海理】设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，那么________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩11.【2021四川理】2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，那么图中表示z 的共轭复数的点是（ ）（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D 12.【2021全国新课改II 】设复数z 知足(1i )z = 2 i ，那么z =（A ）1+ i（B ）1 i（C ）1+ i（D ）1 i答案：A【解法一】将原式化为z =2i 1- i ,再分母实数化即可.【解法二】将各选项一一查验即可.13.【2021课标1】假设复数z 知足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为()A 、－4（B ）－45（C ）4（D ）45【命题用意】此题要紧考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【点评】此题考查复数代数形式的四那么运算及复数的大体概念，考查大体运算能力.先把Z 化成标准的(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数概念得出1z i =--. 10.【2021高考湖北文12】.若=a+bi （a ，b 为实数，i 为虚数单位），那么a+b=____________. 【答案】3【点评】此题考查复数的相等即相关运算.此题假设第一对左侧的分母进行复数有理化，也能够求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，大体概念（共轭复数），大体运算等的考查.11.【2021高考广东文1】设i 为虚数单位，那么复数34ii+= A. 43i -- B. 43i -+ C. 43i + D. 43i - 【答案】D12.【2102高考福建文1】复数（2+i ）2等于 +4i +4i +2i +2i 【答案】A.【解析】i i i 43)22()14()2(2+=++-=+，应选A.13.【2102高考北京文2】在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 A ． (1 ,3) B ．(3,1) C ．(-1,3) D ．(3 ,-1) 【答案】A14.【2021高考天津文科1】i 是虚数单位，复数534i i+-=（A ）1-i （B ）-1+i （C ）1+i （D ）-1-i【答案】C或,复数a+为纯虚数0,0b00b,应选B.=+(i为虚数单位年高考（山东理））假设复数)117i-i D．3--B．35i【解析】1iz i-=2021年高考（大纲理）【考点定位】此题要紧考查复数的代数运算在复平面内所对应的图形的面积为__8__.3416．（2021年高考（上海春））假设复数z 知足1(iz i i =+为虚数单位),那么z =1i -_______.34（江苏））设a b ∈R ，,117ii 12ia b -+=-(i 为虚数单位),那么a b +的值为____. 7. 【考点】复数的运算和复数的概念.【分析】由117ii 12ia b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++,因此=5=3a b ，,=8a b + .2020年高考复数1.【2020安徽理】 设 i 是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，那么实数a 为 （A ）2 (B) -2 (C) 1-2(D) 12A. 【命题用意】此题考查复数的大体运算，属简单题.【解析】设()aibi b R i1+∈2-=，那么1+(2)2ai bi i b bi =-=+，因此1,2b a ==.应选A. 2.【2020北京理】复数i 212i-=+ A. i B. i - C. 43i 55-- D. 43i 55-+【解析】：i 212ii -=+，选A 。
2020年全国卷Ⅰ理数高考试题(附答案word版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若z =1+i ，则|z 2–2z |=A ．0B ．1CD ．22．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a = A ．–4B ．–2C ．2D ．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A ．14B ．12C ．14D ．124．已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2B ．3C ．6D ．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+6．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为 A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+7．设函数()cos π()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π28．25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为A ．5B ．10C ．15D ．209．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=AB ．23C ．13D10．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为 A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=12．若242log 42log a ba b +=+，则A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省沈阳市(新版)2024高考数学统编版真题(综合卷)完整试卷
辽宁省沈阳市（新版）2024高考数学统编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(2)题已知命题若，则，命题：若是锐角三角形，则，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．第(3)题已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A．B．C．D．第(4)题对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶商数列，再令，则数列是数列的二阶商数列．已知数列为，，，，，，且它的二阶商数列是常数列，则（）A．B．C．D．第(5)题已知集合，，．若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(6)题，两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若去甲城市的概率为，去甲城市的概率为，则，不去同一城市上大学的概率为（）A．0.3B．0.56C．0.54D．0.7第(7)题设x，y满足约束条件则的最大值是（）A．-3B．-6C．-7D．12第(8)题已知，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到，，，四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（）A．不同的安排方法共有240种B．甲志愿者被安排到学校的概率是C．若学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种D．在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是第(2)题已知函数的图像关于点中心对称，则（）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C ．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线在处的切线第(3)题已知定义域为的函数满足，则（）A．B．C．是奇函数D．存在函数以及，使得的值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图，是直线上的三点，是直线外一点，已知，，．则=_________.第(2)题抛物线的焦点坐标为，则的值为__________.第(3)题设函数，，，取，，，，则，，的大小关系为________.（用“”连接）四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点．(1)求多面体的体积；(2)求点到平面的距离；(3)在线段上是否存在点，使得平面？第(2)题已知数列中，.(1)求；(2)设，求证：.第(3)题已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若对恒成立，求的取值范围.第(4)题已知函数，．（1）若在上的最大值为，求实数的值；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点、，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．第(5)题如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且.(1)求证：；(2)求点到侧面的距离；(3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的余弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.。
辽宁省锦州市(新版)2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷
辽宁省锦州市（新版）2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若函数有三个零点，则k的取值范围为（）A．B．C．D．第(2)题若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（）A．B．C．D．第(3)题过抛物线焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，则（）A．B．C．1D．16第(4)题设实数满足，，，则的最小值为（）A．B．C．D．第(5)题算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50的概率为（）A．B．C．D．第(6)题若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（）A．B．C．D．第(7)题已知是虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(8)题双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数若，且，则下列关系式一定成立的为（）A．B．C．D．第(2)题已知，若不等式在上恒成立，则a的值可以为（）A．B．C．1D．第(3)题下列说法正确的是（）A．残差图中若样本数据对应的点分布的带状区域越狭窄，说明该模型的拟合精度越高B．在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于各组的频数C．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为9D．某校共有男女学生1500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为100人的样本，若样本中男生有55人，则该校女生人数是675人三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，则使得成立的x的取值范围是___________.第(2)题若实数、满足，则目标函数的取值范围为______.第(3)题已知函数的定义域为R，且图象关于中心对称；当时，，则曲线在处的切线方程为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列满足，且(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和（用具体数值作答）.第(2)题已知函数，．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：．第(3)题已知函数，．(1)若，求证：；(2)若关于的不等式的解集为集合，且，求实数的取值范围．第(4)题如图，在中，，，，点M､N是边AB上的两点，.(1)求的面积；(2)当，求MN的长.第(5)题在高中课本中，我们研究导数是在实数上研究的．实际上，求导（微分）是一个局部性质．那么我们能不能在某些范围内推广导数这一种局部性质．我们在高中课本中讲到：若在附近连续，且若存在，则为点处的导数．我们能不能将概念推广到复数域上呢？显然，我们是可以做到的．此时考虑函数，若在附近连续（实际上可以考虑一个非常非常小的圆），且若存在，则为点处的导数．(1)按此定义，验证导数的除法公式在复函数求导下仍然成立．(2)更一般地，若在某个区域上均可导，我们称为上解析的函数．考虑复函数，其中为一个模长小于的复数，为一个模长为的复数．证明：①该复函数将上的点映为上的点，且将上的点映为上的点．②为上的解析函数．(3)已知：（ⅰ）若函数为上的解析函数，且值域在中，满足，则有：．（ⅱ）若函数，分别为，上的解析函数，则为上的解析函数．此时若为上的解析函数，且值域在中，满足，证明：．。
辽宁省大连市(新版)2024高考数学部编版真题(强化卷)完整试卷
辽宁省大连市（新版）2024高考数学部编版真题(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数．给出下列命题：①为奇函数；②，对恒成立；③，若，则的最小值为；④，若，则．其中的真命题有（ ）A．①②B．③④C．②③D．①④第(2)题已知，则（）A．B．C．D．第(3)题已知，是空间内两条不同的直线，，，是空间内三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则或第(4)题已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（）A．B．C．D．第(5)题已知，，若在向量上的投影为，则向量（）A．B．C．D．第(6)题已知复数，满足，，则（）A．B．C．i D．第(7)题已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．B．C．D．第(8)题正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（）A．直线与是异面直线B．平面平面C．该几何体的体积为D．平面与平面间的距离为二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知数列是等比数列，公比为，前项和为，下列判断错误的有（）A．为等比数列B．为等差数列C．为等比数列D．若，则第(2)题如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（）A．水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状B．水面四边形EFGH的面积不改变C．棱始终与水面EFGH平行D．当时，是定值第(3)题已知一组数据为-1，1，5，5，0，则该组数据的（）A．众数是5B．平均数是2C．中位数是5D．方差是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知集合，，则等于_______．第(2)题已知内角，，的对边分别为，，，那么当______时，满足条件“，”的有两个．（仅写出一个的具体数值即可）第(3)题已知双曲线的左､右焦点分别为，，点P是双曲线左支上一点且，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得分，否则得0分．已知学生甲能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若学生甲先回答A类问题，，，，，记X为学生甲的累计得分，求X的分布列和数学期望．(2)从下面的两组条件中选择一组作为已知条件．学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最大？并证明你的结论．①，；②，．第(2)题已知为函数的极值点．(1)求；(2)证明：当时，．第(3)题如图，在平面四边形ABCD中，E为AD边上一点，，，.(1)若，求的值；(2)若，求BE的长.第(4)题如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)若，求二面角的余弦值．第(5)题如图，在四棱柱中，(1)求证：平面平面；(2)设为棱的中点，线段交于点平面，且，求平面与平面的夹角的余弦值.。
2023年辽宁省高考数学真题及答案解析
2023年辽宁省高考数学真题及参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （）．A.2B.1C.23D.1-3.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）．A .4515400200C C ⋅种B.2040400200C C ⋅种C .3030400200C C ⋅种D.4020400200C C ⋅种4.若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （）．A.1- B.0C.12D.15.已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B两点，若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍，则m =（）．A.23B.3C.23-D.23-6.已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（）．A.2e B.eC.1e -D.2e -7.已知α为锐角，15cos 4α+=，则sin 2α=（）．A.358B.158- C.354- D.154-+8.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（）．A.120B.85C.85- D.120-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为45°，则（）．A.该圆锥的体积为πB.该圆锥的侧面积为C.AC =D.PAC △的10.设O 为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）．A.2p = B.83MN =C.以MN 为直径的圆与l 相切 D.OMN 为等腰三角形11.若函数()()2ln 0b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）．A.0bc > B.0ab > C.280b ac +> D.0ac <12.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D.当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年全国高考甲卷理数真题试卷含答案
2024年高考全国甲卷数学（理）一、单选题1．设5i z =+，则()i z z +=（ ）A ．10iB ．2iC ．10D ．2-2．集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则∁A (A ∩B )=（ ）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,53．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2-D ．72-4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ）A ．2-B ．73C ．1D ．25．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．3C ．2D6．设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．237．函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A．1B．1-CD．19．已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件10．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B=，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A．32B C D 12．已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．二、填空题13．1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是 ．14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙．15．已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ．16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是 ．三、解答题17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．19．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M为AD 的中点．(1)证明：//BM 平面CDE ；(2)求二面角F BM E --的正弦值．20．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．21．已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．(1)当2a =-时，求()f x 的极值；(2)当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于AB 、两点，若2AB =，求a 的值.23．实数,a b 满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a -+-≥．2024年高考全国甲卷数学（理）一、单选题1．设5i z =+，则()i z z +=（ ）2．集合{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则∁A (A ∩B )=（ ）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,53．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2-D ．72-根据5z x y =-可得1155y x z =-，即则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ）A ．2-B ．73C ．1D ．25．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）6．设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．237．函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1-C D ．19．已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“ ”的必要条件10．设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【解析】①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，①正确；②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，②错误；③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，③正确；④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，④错误；①③正确，故选A.11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A ．32B C D12．已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）故选C二、填空题13．1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是 ．14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙．15．已知1a >，115log log 42a -=-，则=a ．16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是 ．三、解答题17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．(1)证明：//BM 平面CDE ；20．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得(34+()(42Δ102443464k k k =-+21．已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．(1)当2a =-时，求()f x 的极值；0f x ≥a．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于AB 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】(1)221y x =+满足．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a -+-≥．【答案】(1)见解析(2)见解析。
辽宁省沈阳市(新版)2024高考数学苏教版真题(综合卷)完整试卷
辽宁省沈阳市（新版）2024高考数学苏教版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知向量，满足，，则（）A．1B．C．2D．第(2)题命题“，”的否定为（）A．，B．，C．，D．，第(3)题过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（）A．B．C．D．第(4)题已知，，则（）A．B．C．D．第(5)题已知点C（2，0），直线kx－y＋k=0（k≠0）与圆交于A，B两点，则“△ABC为等边三角形”是“k=1”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件第(6)题已知复数z满足，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．2第(7)题已知为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若直线和的倾斜角分别为和，且，则双曲线的离心率为（）A．B．5C．2D．第(8)题若直线与圆交于A、B两点，则（）A．B．12C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）A．B．C．D．第(2)题在长方体中，，则下列命题为真命题的是（）A．若直线与直线所成的角为，则B．若经过点的直线与长方体所有棱所成的角相等，且与面交于点，则C．若经过点的直线与长方体所有面所成的角都为，则D．若经过点的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则第(3)题已知平面内两个给定的向量，满足，，则使得的可能有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则的反函数________.第(2)题圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0，则圆的半径是_______________．第(3)题已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，．当取得最大值时，的值为____．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如图所示.（1）从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；（2）从2011年至2020年中任选两年，设为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数，求的分布列和数学期望；（3）将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为，试比较的大小.（只需写出结论）第(2)题已知四棱锥如图所示，其中四边形为梯形，为等边三角形，且平面，平面，M为棱的中点，.(1)求证：平面；(2)求点M到平面的距离.第(3)题已知离心率为的双曲线：过椭圆：的左，右顶点A，B.(1)求双曲线的方程；(2)是双曲线上一点，直线AP，BP与椭圆分别交于D，E，设直线DE与x轴交于，且，记与的外接圆的面积分别为，，求的取值范围.第(4)题已知是椭圆的一个顶点，圆经过的一个顶点.(1)求的方程；(2)若直线与相交于两点（异于点），记直线与直线的斜率分别为，且，求的值.第(5)题已知椭圆过点，且．(1)求椭圆C的方程：(2)过点的直线l交椭圆C于点，直线分别交直线于点．求证：．。
2020年高考理数真题试卷(新课标Ⅲ)
2020年高考理数真题试卷（新课标Ⅲ)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(共12题；共60分)1．（5分）已知集合 A ={(x,y)|x,y ∈N ∗,y ≥x} ， B ={(x,y)|x +y =8} ，则 A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．62．（5分）复数11−3i的虚部是（ ）A ．−310B ．−110C ．110D ．3103．（5分）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 p 1,p 2,p 3,p 4 ，且 ∑p i 4i=1=1 ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A ．p 1=p 4=0.1,p 2=p 3=0.4 B ．p 1=p 4=0.4,p 2=p 3=0.1 C ．p 1=p 4=0.2,p 2=p 3=0.3D ．p 1=p 4=0.3,p 2=p 3=0.24．（5分）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型： I(t)=K 1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I( t ∗ )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t ∗ 约为（ ）（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．695．（5分）设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C的焦点坐标为（ ）A ．（ 14，0）B ．（ 12，0） C ．（1，0）D ．（2，0）6．（5分）已知向量a ，b 满足 |a →|=5 ， |b →|=6 ， a →⋅b →=−6 ，则 cos⟨a →,a →+b →⟩= （ ）A ．−3135B ．−1935C ．1735D ．19357．（5分）在△ABC 中，cosC= 23，AC=4，BC=3，则cosB=（ ） A ．19B ．13C ．12D ．238．（5分）下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A ．6+4 √2B ．4+4 √2C ．6+2 √3D ．4+2 √39．（5分）已知2tanθ–tan(θ+ π4 )=7，则tanθ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．210．（5分）若直线l 与曲线y= √x 和x 2+y 2= 15都相切，则l 的方程为（ ）A ．y=2x+1B ．y=2x+ 12C ．y= 12 x+1D ．y= 12 x+ 1211．（5分）设双曲线C ： x 2a 2−y 2b2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 √5 ．P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．812．（5分）已知55<84，134<85．设a=log 53，b=log 85，c=log 138，则（ ）A ．a<b<cB ．b<a<cC ．b<c<aD ．c<a<b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考理数全国卷3 试题详解
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（）A.2 B.3C.4D.6【答案】C【解析】∵A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，∴满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),∴A B 中元素的个数为4.故选C.2.复数113i-的虚部是（）A.310-B.110-C.110D.310【答案】D 【解析】∵1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，∴113z i =-的虚部为310.故选D.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.14230.1,0.4p p p p ====B.14230.4,0.1p p p p ====C.14230.2,0.3p p p p ====D.14230.3,0.2p p p p ====【答案】B【解析】对于A 选项，数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.综上，B 选项这一组的标准差最大.故选B.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A.60 B.63C.66D.69【答案】C 【解析】()()0.23531t K I t e--=+ ，∴()()0.23530.951t KI t K e **--==+，则()0.235319t e *-=，∴()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈.故选C.5.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（）A.1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C.(1,0)D.(2,0)【答案】B【解析】∵直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，∴()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，∴其焦点坐标为1(,0)2，故选B.6.已知向量,a b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （）A.3135-B.1935-C.1735D.1935【答案】D【解析】∵5a = ,6b = ,6a b ⋅=-，∴()225619a a b a a b ⋅+=+⋅=-= .∴7a b +=，∴()1919cos ,5735a a b a a b a a b⋅+<+>===⨯⋅+ .故选D.7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（）A.19B.13C.12D.23【答案】A【解析】∵在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =根据余弦定理2222cos AB AC BC AC BC C=+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯,可得29AB =,即3AB =22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯,故1cos 9B =.故选A.8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AD DB ==∴ADB △是边长为根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S ABAD =⋅⋅︒=⋅△∴该几何体的表面积是632=⨯++ C.9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A.–2B.–1C.1D.2【答案】D【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ,∴tan 12tan 71tan θθθ+-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选D.10.若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A.y =2x +1 B.y =2x +12 C.y =12x +1 D.y =12x +12【答案】D【解析】设直线l 在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =的导数为y '=，则直线l的斜率k=，设直线l 的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l与圆2215x y+==，两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.故选D.11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】∵5ca=，∴5c a =，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，∵12F P F P ⊥，∴()22212||2PF PF c +=，∴()22121224PF PF PF PF c -+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（）A.a <b <c B.b <a <c C.b <c <a D.c <a <b 【答案】A【解析】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，58log 3lg3lg8log 5lg5lg5a b ==⋅()22221lg3lg8lg3lg8lg 24122lg5lg 25lg5⎛⎫⎛⎫++⎛⎫<⋅==<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴a b <；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，∴54b <，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，∴54c >，可得45c >.综上所述，a b c <<.故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【解析】不等式组所表示的可行域如图∵32z x y =+，∴322x z y =-+，易知截距2z越大，则z 越大，平移直线32xy =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，∴max 31227z =⨯+⨯=.故答案为7.14.262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240【解析】 622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,其二项式展开通项()62612rrr r C x x T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅，令1230r -=得4r =,∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于AM =，∴122S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，则ABC AOB BOC AOCS S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得r =，其体积34233V r π==.故答案为3.16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】∵152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭,则66ff ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；∵函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，∴函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；∵当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.∴答案为②③.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+，证明如下：当1n =时，13a =成立；假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.∴对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立；（2）由（1）可知，2(21)2n nn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，①23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，②由①-②得()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，P (K 2≥k )0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【解析】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：人次400≤人次400>空气质量不好3337空气质量好228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）427.【解析】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，∵112C G CG =，12BF FB =，∴112233CG CC BB BF ===且CG BF =，∴四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，∴1//C E DG 且1C E DG =，∴1//C E AF 且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，∴点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点,11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ，()0,1,1AE =-- ，()2,0,2AF =-- ，()10,1,2A E =- ，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由00m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，cos ,7m n m n m n⋅<>===⋅，设二面角1A EF A --的平面角为θ，则cos 7θ=，∴sin 7θ==.∴二面角1A EF A --的正弦值为7.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52.【解析】（1） 222:1(05)25x y C mm +=<<,∴5a =，bm =，∴离心率4c ea ====，解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）不妨设P ,Q 在x 轴上方，点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =,BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵||||BP BQ =,BP BQ ⊥,90PMB QNB ∠=∠=︒，又 90PBM QBN ∠+∠=︒,90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠,∴PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得21612525P x +=，解得3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，∴Q 点为(6,2)，画出图象，如图 (5,0)A -,(6,2)Q ,∴直线AQ 的直线方程211100x y -+=，∴P 到直线AQ的距离为5d ===，∴AQ ==，APQ ∆面积为15252⨯=；②当P 点为(3,1)-时，5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，∴Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为811400x y -+=，∴P 到直线AQ 的距离为：d===，AQ ==，∴APQ ∆面积为522=，综上所述,APQ ∆面积为52.21.设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b =-；（2）证明见解析【解析】（1）因为'2()3f x x b =+，由题意，'1()02f =，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则34b =-；（2）由（1）可得33()4f x x x c =-+，'2311()33()()422f x x x x =-=+-，令'()0f x >，得12x >或21x <-；令'()0f x <，得1122x -<<，∴()f x 在11(,22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(,(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f ->或(1)0f <，即14c >或14c <-.当14c >时,111(1)0,()0424f c f c -=->-=+>，111(0,(1)0244f c f c =->=+>又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=-++=-<，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c --上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c <-时,111(1)0,()0424f c f c -=-<-=+<，111()0,(1)0244f c f c =-<=+<又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=++=->，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c -上存在唯一一个零点0x '，即()f x 在(1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．2020年全国卷3理数第11页共11页（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.∴AB ==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，∴()22212ab bc ca a b c ++=-++.∵1abc =,∴,,a b c 均不为0，∴2220a b c ++>，∴()222210ab bc ca a b c ++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，∵1,a b c a bc =--=，∴()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，∴a ≥max{,,}a b c .。
2022年辽宁省高考数学试卷(新高考II)附答案解析
2022年辽宁省高考数学试卷(新高考II)附答案解析一、选择题1. 题目：设函数 $ f(x) = \sqrt{x^2 + 1} $，求 $ f'(0) $。
答案：$ f'(0) = \frac{1}{2} $。
解析：根据导数的定义，我们有 $ f'(0) = \lim_{x \to 0}\frac{f(x) f(0)}{x 0} $。
将 $ f(x) $ 和 $ f(0) $ 代入，得到$ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 1} 1}{x} $。
由于$ \sqrt{x^2 + 1} $ 在 $ x = 0 $ 附近可近似为 $ 1 +\frac{x^2}{2} $，所以 $ f'(0) $ 可近似为 $ \lim_{x \to 0}\frac{1 + \frac{x^2}{2} 1}{x} = \frac{1}{2} $。
2. 题目：已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为$d$，求 $a_5$。
答案：$a_5 = a_1 + 4d$。
解析：根据等差数列的定义，我们有 $a_5 = a_1 + (5 1)d =a_1 + 4d$。
3. 题目：已知函数 $f(x) = x^3 3x$，求 $f(x)$ 的极值点。
答案：极小值点为 $x = 1$，极大值点为 $x = 1$。
解析：求导数 $f'(x) = 3x^2 3$，令 $f'(x) = 0$，解得 $x = \pm 1$。
然后求二阶导数 $f''(x) = 6x$，当 $x = 1$ 时，$f''(1) = 6 > 0$，所以 $x = 1$ 是极小值点；当 $x = 1$ 时，$f''(1) = 6 < 0$，所以 $x = 1$ 是极大值点。
4. 题目：已知函数 $f(x) = \frac{1}{x}$，求 $f(x)$ 的反函数。
2020全国一卷高考理科数学试题及答案
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率。
20.(12 分)
已知
A，B
分别为椭圆
E：
x2 a2
y2
1(a
1)
的左、右顶点，G
为
E
的上顶点，
AG
GB
＝8。P
为直
线 x＝6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D。
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x(单位：℃)的关系，在 20 个不同的温度条
件下进行种子发芽实验，电邮实验数(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在 10℃40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的
。
15.已知 F 为双曲线
C：
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的右焦点，A
为
C
的右项点，B 为
C
上的点，且
BF
垂直
于 x 轴。若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为
。
16.如图，在三棱锥 P－ABC 的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝ 3 ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，
是
A.y＝a＋bx
B.y＝a＋bx2
C.y＝a＋bex
D.y＝a＋blnx
6.函数 f(x)＝x4－2x3 的图像在点(1，f(1))处的切线方程为
A.y＝－2x－1
B.y＝－2x＋1
C.y＝2x－3
2020年高考数学【真题母题解密】直线与圆的位置关系（理）（全国Ⅱ卷）（原卷版）
『高考真题·母题解密』『分项汇编·逐一击破』专题05 直线与圆的位置关系【母题来源】【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为230x y --=A B C D 【答案】B【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准(),,0a a a >a 方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求圆心到直线的()2,1a 230x y --=距离.【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，()2,1则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.(),a a a ()()222x a y a a -+-=由题意可得，可得，解得或，()()22221a a a -+-=2650a a -+=1a =5a =所以圆心的坐标为或，()1,1()5,5圆心到直线的距离均为1d圆心到直线的距离均为2d圆心到直线的距离均为；230x y --=d所以，圆心到直线.230x y --=故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.【命题意图】（1）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.（3）初步了解用代数方法处理几何问题的思想.【答题模板】1．判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是：（1）明确圆心C 的坐标（a ,b ）和半径长r ，将直线方程化为一般式；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ；（3）比较d 与r 的大小，写出结论.2．判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是：（1）确定两圆的圆心坐标和半径长；（2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求；1212||r r r r +，－（3）比较的大小，写出结论.1212,,||d r r r r +－3．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理求解；222(2ld r +=二是若斜率为k 的直线l 与圆C 交于两点，则.1122,,()()A x yB x y ，12||||AB x x =-4．求两圆公共弦长一般有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.5．求过圆上的一点的切线方程：00(,)x y 先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则由图形可写出切线方程为;若,则由图形可写y y =0k =出切线方程为;若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可求切线方程.x x =1k -6．求过圆外一点的圆的切线方程：00(,)x y （1）几何方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为，即.由圆心到直线的距00()y y k x x -=-000kx y y kx -+-=离等于半径长，即可得出切线方程. （2）代数方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为，即,代入圆的方程，得到一00()y y k x x -=-00y kx kx y =-+个关于x 的一元二次方程，由,求得k ,切线方程即可求出.0∆=7．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．8．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．9．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．10．求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.11．解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.12．求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.【方法总结】1．圆的方程圆的标准方程圆的一般方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径方程222()()(0)x a y b r r -+-=>22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->圆心(,)a b (,)22D E--注：当D 2+E 2－4F = 0时，方程x 2+y 2+Dx +Ey +F = 0表示一个点；当D 2+E 2－4F ＜0时，方(,22D E --程x 2+y 2+Dx +Ey +F = 0没有意义，不表示任何图形．2．直线与圆的三种位置关系（1）直线与圆相离，没有公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相交，有两个公共点．3．直线与圆的位置关系的判断方法判断方法直线与圆的位置关系d r>直线与圆相离d r =直线与圆相切几何法：由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断d r<直线与圆相交∆<0方程无实数解，直线与圆相离∆=0方程有唯一的实数解，直线与圆相切代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断∆>0方程有两个不同的实数解，直线与圆相交4．圆与圆的位置关系两圆的位置关系外切内切相切⎫⎬⎭两圆有唯一公共点内含外离相离⎫⎬⎭两圆没有公共点相交两圆有两个不同的公共点5．圆与圆位置关系的判断圆与圆的位置关系的判断方法有两种：（1）几何法：由两圆的圆心距d 与半径长R ，r 的关系来判断（如下图，其中）．R r >（2）代数法：设圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0 ①，圆C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0 ②，联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离； 如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切； 如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．6．两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0 ①，圆C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0 ②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D 1－D 2）x +（E 1－E 2）y +F 1－F 2=0 ③．方程③表示圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线的方程．7．距离问题（1）平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x2，y 2)间的距离|P 1P 2|（2）点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d （3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ．1．（2020·北京高三一模）设则以线段为直径的圆的方程是()()2141A B -，，，，AB A ．B ．22(3)2x y -+=22(3)8x y -+=C ．D ．22(3)2x y ++=22(3)8x y ++=2．（2020·西藏自治区山南二中高三一模）若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是A ．1B ．-3C ．1或D ．-3或531733．（2020·西藏自治区高三二模）圆心为且和轴相切的圆的方程是()2,1x A ．B ．()()22211x y -+-=()()22211x y +++=C ．D ．()()22215x y -+-=()()22215x y +++=4．（2020·天津高三开学考试）已知过点P(2,2)的直线与圆相切,且与直线垂22(1)5x y -+=10ax y -+=直,则a =A ．B ．1C ．2D ．12-125．（2020·浙江省镇海中学高三三模）已知是正实数，则“”是“圆与圆m 16m ≥221x y +=有公共点”的()()2243x y m-++=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2020·天津市南开中学滨海生态城学校高三月考）圆的圆心到直线22:(1)1C x y -+=，则a 的值为:0(0)l x y a a -+=>A ．0B ．1C ．2D ．37．（2020·河南省高三二模）圆关于直线对称的圆的方程为22(2)(12)4x y ++-=80-+=x y A ．B ．22(3)(2)4x y +++=22(4)(6)4x y ++-=C ．D ．22(4)(6)4x y -+-=22(6)(4)4x y +++=8．（2020·河北省高三二模）设直线l ：ax +by +c ＝0与圆C ：x 2+y 2＝4相交于A ，B 两点，且，AB =则“a 2+b 2＝2”是“的c =A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2020·江西省高三二模）圆上恰有两点到直线，22440x y y +--=0(0)x y a a -+=>则的取值范围是a A ．B ．C ．D ．()4,8[4,8)()0,4(0,4]10．（2020·山西省高三月考）圆上到直线的距离为1的点的个数为2266x y x y +=+ 2 0x y +-=A ．1B ．2C ．3D ．411．（2020·浙江省高三三模）已知直线，圆C ：则“”是“直线与:0l ax by b +-=2220,x y x +-=0a =l 圆相切”的C A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．（2018·福建省厦门外国语学校高三开学考试）若直线与圆有公共点，则10x y -+=22()2x a y -+=实数的取值范围是a A ．B ．[3,1]--[1,3]-C ．D ．[3,1]-(,3][1,)∞-+∞ 13．（2020·天津高三一模）已知直线与圆相交于，两点，若:l 2x ay +=:C 224x y +=M N，则直线的斜率为MN =lAB ．CD．14．（2020·北京高三）已知坐标原点到直线的距离为，且直线与圆相切，则l 2l ()()223449x y -+-=满足条件的直线有条l A ．B ．C ．D ．123415．（2020·山东省高三三模）已知抛物线的准线恰好与圆2:4C x y =相切，则()()()222:340M x y r r -+-=>r =A ．3B ．4C ．5D ．616．（2020·银川唐徕回民中学高三三模）圆截直线所得的弦长为2228130+--+=x y x y 10ax y +-=a =A ．B ．CD ．243-34-17．（2020·辽宁省抚顺一中高三二模）已知抛物线的准线与圆2:2(0)C x py p =>l 相切，则22:(1)(2)16M x y -+-=p =A ．6B ．8C ．3D ．418．（2020·广东省高三月考）已知集合，，则集合中(){}22,1M x y x y =+=(){},N x y y x ==M N ⋂元素的个数为A ．0B ．1C ．2D ．419．（2020·山东省高三期末）已知圆关于直线对称，则圆C 中22:240C x y x y +-+=32110x ay --=以为中点的弦长为,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．1B ．2C ．3D ．420．（2020·辽宁省大连二十四中高三）在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以A B x y 为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为AB C 330x y +-=CA ．B ．C ．D ．45π109π34π940π21．（2020·麻城市实验高级中学高三）圆被直线截得的弦22:2430C x y x y +--+=: 10l a x y a +--=长的最小值为A．B ．C D1222．（2020·山东省高三二模）已知直线过点P (3，0)，圆，则l 22:40C x y x +-=A ．与C 相交B ．与C 相切l l C ．与C 相离D ．与C 的位置关系不确定ll 23．（2020·四川省高三二模）若过点的直线是圆的一条对称轴，将直线)Pl (22:4C x y-+=绕点P 旋转30°得到直线，则直线被圆C 截得的弦长为l l 'l 'A．4B ．C ．2D ．124．（2020·四川省高三二模）已知直线经过圆的圆心，与圆C 的一个交点为l (22:4C x y-+=l P ，将直线绕点P 按顺时针方向旋转30°得到直线，则直线被圆C 截得的弦长为l l 'l 'A．4B ．C ．2D ．125．（2020·四川省石室中学高三一模）若直线与圆相交于A ，B 两点，当1y kx =-22:220C x y x y +--=时，2AB =k =A ．-1B ．C ．D ．12-343226．（2020·河南省高三三模）已知圆:与直线相切，则圆C 22()4(2)x a y a -+=≥20x y -+-=与直线相交所得弦长为C 40x y --=A ．1B ．C ．2D ．27．（2020·河南省高三月考）与圆相交所得的弦长为2，且在轴上截距为的直线方2240x y y +-=y 1-程是A ．B10y ++=10y --=C ．D10y --=10y --=28．（2020·福建省高三）若过直线上一点M 向圆Γ：作一条切线于3420x y +=-22(2)(3)4x y -++=切点T ，则的最小值为MTA B ．4C ．D．29．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模）已知圆C 与直线和圆20x y ++=都相切，则半径最小的圆C 的标准方程为221212540x y x y ++++=A ．B ．22222x y +++=()()22(2)(2)2x y -+-=C ．D ．22(4)(4)4x y -+-=22(4)(4)4x y +++=30．（2020·辽宁省大连二十四中高三一模）在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x +my ﹣1=0上存在点P ，使得|PA |=2|PB |，则正实数m 的最小值是A ．B ．3C D1331．（2020·陕西省高三一模）唐代诗人李欣的是古从军行开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交《》河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，221x y +≤若将军从出发，河岸线所在直线方程，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军()2,0A 40x y +-=营，则“将军饮马”的最短总路程为A B．C ．D1-1-32．（2020·江西省高三）圆C 的半径为5，圆心在x 轴的负半轴上，且被直线截得的弦长3440x y ++=为6，则圆C 的方程为A ．B ．22230x y x +--=2216390x x y +++=C ．D ．2216390x x y -+-=2240x y x +-=33．（2020·甘肃省兰州一中高三）过三点，，的圆截直线所得弦长(1,3)A (4,2)B (1,7)C -20x ay ++=的最小值等于A ．B ．CD．34．（2020·北京高三一模）已知圆与轴的正半轴相切于点，圆心在直线上，若点在直线Cx A 2y x =A ，则圆的标准方程为40x y --=C A ．B ．22(2)(4)4x y -++=22(2)(4)16x y +++=C ．D ．22(2)4)(4x y -+-=22(2)(4)16x y -+-=35．（2020·河南省高三月考）直线l ：x ﹣y 0将圆O ：分成的两部分的面积之比为=224x y +=A ．(4π):(8πB ．(4ππ+3)C ．(2π):(10π)D ．(2π):(10π36．（2020·辽宁省高三二模）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12②当时，直线y ＝ax +2a 与白色部分有公共点；32a =-③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x ，y ），则x +y 的最大值为2；④设点P （﹣2，b ），点Q 在此太极图上，使得∠OPQ ＝45°，b 的范围是[﹣2，2]．其中所有正确结论的序号是A ．①④B ．①③C ．②④D ．①②37．（2020·安徽省高三）已知双曲线的左右焦点分别为，．离心率．若动点222:41y x a Γ-=1F 2F e 2=满足，则直线的倾斜角的取值范围为．P 12PF PF =1PF θA ．B ．30,,424πππ⎡⎤⎛⎤⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦3,,424ππππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 38．（2020·重庆八中高三月考）直线与圆相交于两点，为坐标原点，0x a -+=222x y +=,A B O 若，则1OA OB ⋅=-a =A ．B．C ．D．±139．（2020·四川省高三月考）圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为224x y +=2y =+A ．B ．C ．D ．30°60︒90︒120︒40．（2020·湖北省高三二模）设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与圆相切于点P ，且22:1C x y +=P 位于第一象限，O 为坐标原点，则的面积的最小值为AOB A A ．1BCD ．241．（2020·西藏日喀则区南木林高级中学高三月考）已知圆：，点，若上存在两C 221x y +=(),2M t C点，满足，则实数的取值范围是A B MA AB=t A ．B ．C ．D ．[]22-,[]3,3-⎡⎣[]5,5-42．（2020·甘肃省高三二模）某人以的速度向北偏东方向徒步前进，某一时刻收到短信提示，1/km h 60︒在其正东方，则该人在接下来4小时中，随机拿出手机拨3km 打电话，不被干扰的概率为ABCD43．（2020·辽宁省高三二模）圆心都在直线上的两圆相交于两点，，则0x y m ++=(),3M n ()1,1N -m n +=A ．B ．1C ．D ．21-2-44．（2020·天津高三二模）若直线被圆所截得的弦长为则实数的值为2x y -=22()4x a y -+=a A ．或B ．或C ．或D ．04132-61-45．（福建省三明市2019-2020学年普通高中高三毕业班质量检查A 卷（5月联考））已知、分别是M N 曲线：，：上的两个动点，为直线1C 222410x y x y ++-+=2C 226290x y x y +--+=P 上的一个动点，则的最小值为220x y ++=PM PN +A ．B ．3C ．D ．43-146．（2020·甘肃省西北师大附中高三月考）若直线始终平分圆20(,0)ax by a b +-=>的周长，则的最小值为2224160x y x y +---=12a b +A ．B ．C ．D ．7249247．（2020·天津高三三模）已知直线与圆相交于两点,点:1l x y -=22:2210x y x y Γ+-+-=,AC 分别在圆上运动,且位于直线两侧,则四边形面积的最大值为,B D ΓlABCD A B ．C D ．48．（2020·河北省正定中学高三月考）圆关于直线224610x y x y ++-+=对称，则的最小值是()800,0ax by a b -+=>>32a b +A ．B ．3C ．D 15449．（2020·白银市第一中学高三）P 是直线x +y -2=0上的一动点，过点P 向圆引22C (2)(8)4x y ++-=：切线，则切线长的最小值为A ．B ．C ．2D．2-50．（2020·陕西省洛南中学高三）已知直线与圆相交于两点，280x my +-=22:()4C x m y -+=,A B 且为等腰直角三角形，则＝ABC ∆m A ．2B ．14C ．2或14D ．151．（2020·山东省高三月考）已知直线与圆相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，20x y a -+=22:2O x y +=则“”是“”的a =0OA OB ⋅=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件52．（2020·肥城市教学研究中心高三）是直线与圆相切的1a b +=20x y +-=()()2212x a y b -+-=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件53．（2020·四川省高三月考）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的(4,0)A l 22(2)1xy -+=l 取值范围为A ．B ．C ．D．⎡⎣(⎡⎢⎣⎛ ⎝54．（2020·广西壮族自治区高三二模）直线是圆在处的切线，点P 是圆l 224x y +=(1,-上的动点，则P 到的距离的最小值等于22430x xy -++=l A B ．C ．D ．23455．（2020·山东省邹城市第一中学高三）若圆与轴，轴均有公共点，则实数22420x y x y a +-++=x y 的取值范围是aA ．B ．C ．D ．(,1]-∞(,0]-∞[0,)+∞[5,)+∞56．（2020·山东省高三）设曲线上的点到直线的距离的最大值为，最小值为x =20x y --=a ，则的值为b -a b ABCD ．2157．（2020·湖北省高三三模）已知直线过圆的圆心且与直线垂直.l 226260x y x y +--+=10x y ++=则的方程是__________．l 58．（2020·四川省泸县五中高三二模）圆关于直线对称的圆的标准方程为()2215x y ++=y x =__________．59．（2020·北京高三二模）若直线将圆的圆周分成长度之比为1∶3的两段弧，:l y x a =+22:1C x y +=则实数的所有可能取值是__________．a 60．（2020·黑龙江省大庆四中高三月考）已知圆：，直线上动点，过点O 221x y +=250x y -+=P 作圆的一条切线，切点为，则的最小值为__________．P O A PO PA ⋅61．（2020·遵义市南白中学高三）已知圆，斜率为的直线过定点22:68210C x y x y +--+=k 1l 且与圆相切，则的方程为__________．()1,0A C 1l62．（2020·天津市宁河区芦台第一中学高三二模）设直线与圆：2y x a =+C 相交于，两点，若，则__________．()222200x y ay a +--=>A B AB =a=63．（2020·三亚华侨学校高三开学考试）已知圆，直线与圆交于，22:1O x y +=:0l mx y -+=O A 两点，，则__________，分别过，两点作直线的垂线交轴于，两点，则B 1AB =m =A B l xCD __________．CD =64．（2020·天津高三二模）若直线与圆相切，则实数__________．34x y m +=22x y m +=m =65．（2020·山东省高三二模）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线(1,2)-l 222210x y x y +--+=2的斜率为__________．l66．（2020·重庆高三月考）已知圆C 的方程为，过直线()()22341x y -+-=l ：（）上任意一点作圆C l 的斜率为350x ay +-=0a >__________．67．（2020·四川省阆中中学高三）过定点的直线：与圆：相切M 120kx y k -+-=22(1)(5)9x y ++-=于点，则__________．N ||MN =68．（2020·天津高三二模）圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为30x y -=x 0x y -=__________．69．（2020·江苏省高三）在平面直角坐标系与圆xOy 60y +-=交于A ，B 两点，则直线与直线的倾斜角之和为__________．(()2214x y +-=OA OB 70．（2020·石嘴山市第三中学高三）已知直线与圆相交于两点y ax =222220:x y ax y C +--+=A B ，（为圆心），且为等腰直角三角形，则实数的值为__________．C ABC ∆a71．（2020·天津高三二模）过点的直线l 与圆相切，则直线l 在y 轴上的截距为(224x y +=__________．72．（2020·江苏省盐城中学高三三模）在平面直角坐标系中，直线与圆xOy :50l kx y k -+=交于点，为弦的中点，则点的横坐标的取值范围是__________．22:100C x y x +-=,A B M AB M 73．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模）已知圆被直线截得22:20(0)A x y ax a +-=>20x y +-=，则圆A 与圆的位置关系是__________．22:4450B x y x y +++-=74．（2020·安徽省高三三模）过点且倾斜角为的直线l 与圆相交的弦长为()1,2M -135︒228x y +=__________．75．（2020·河北省高三期末）已知圆，当圆的面积最小时，直线2222210x x y my m -+-+-=被圆截得的弦长为__________．1y x =+76．（2020·湖北省高三二模）直角坐标系xOy 中，已知MN 是圆C ：(x ﹣2)2+(y ﹣3)2=2的一条弦，且CM ⊥CN ，P 是MN 的中点.当弦MN 在圆C 上运动时，直线l ：x ﹣y ﹣5=0上总存在两点A ，B ，使得恒成立，则线段AB 长度的最小值是__________．2APB π∠≥77．（2020·浙江省高三三模）已知直线与圆相交于，，若当1y kx =+222:()(0)C x a y r r -+=>A B 时，有最大值4，则__________，__________．1k =-||AB r =a =78．（2020·天津高三）已知直线与圆交于、两点，直线21y x =+22210x y ax y ++++=A B 垂直平分弦，则的值为____________，弦的长为____________.20mx y ++=AB m AB 79．（2020·山东省高三）已知直线l ：3x +4y +m =0，圆C ：x 2+y 2－4x +2=0，则圆C 的半径r =__________；若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得∠APB =90°，则实数m 的取值范围是__________．80．（2020·浙江省高三三模）已知圆：，若直线：C ()()22124x y -+-=l 与圆交于，两点，则弦长的最小值为()()()2122410m x m y m m R -++--=∈C A B AB__________，若圆心到直线，则实数__________．C l m =。
2024年辽宁省高考数学真题及参考答案
2024年辽宁省高考数学真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知1i z =--，则||z =().A.0B.1D.22.已知命题:R p x ∀∈，|1|1x +>；命题:0q x ∃>，3x x =.则().A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.已知向量a ，b 满足||1a = ，|2|2a b += ，且(2)b a b -⊥ ，则||b =().A.12B.22C.32D.14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理如下表所示.根据表中数据，下列结论正确的是()A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 到300kg 之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 到1000kg 之间5.已知曲线22:16(0)C x y y +=>，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为().A.221(0)164x y y +=> B.221(0)168x y y +=>C.221(0)164y x y +=> D.221(0)168y x y +=>6.设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =和()y g x =恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.27.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为().A.12 B.1C.2D.38.设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为().A.18B.14C.12D.1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 函数与导数 大题(含答案解析)
【高考复习】2020年高考数学(理数)函数与导数 大题1.已知函数f(x)=ln xx ＋a (a∈R)，曲线y=f(x)在点(1，f(x))处的切线与直线x ＋y ＋1=0垂直．(1)试比较2 0172 018与2 0182 017的大小，并说明理由；(2)若函数g(x)=f(x)-k 有两个不同的零点x 1，x 2，证明：x 1x 2>e 2.2.已知函数f(x)=kx-ln x-1(k>0)．(1)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k 的值；(2)证明：当n∈N *时，1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)．3.已知函数f(x)=ax-ln x ，F(x)=e x＋ax ，其中x>0，a<0.(1)若f(x)和F(x)在区间(0，ln 3)上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围；(2)若a∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1e 2，且函数g(x)=xe ax-1-2ax ＋f(x)的最小值为M ，求M 的最小值．4.已知函数f(x)=ln x ＋tx-s(s ，t∈R)．(1)讨论f(x)的单调性及最值；(2)当t=2时，若函数f(x)恰有两个零点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，求证：x 1＋x 2>4.5.已知函数f(x)=(2＋x ＋ax 2)·ln(1＋x)-2x.(1)若a=0，证明：当-1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0； (2)若x=0是f(x)的极大值点，求a.6.已知函数f(x)=ln x ＋2ax ＋1(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a=1时，求证：f(x)≤x ＋12.7.已知函数f(x)=ln x-a(x ＋1)，a∈R 的图象在(1，f(1))处的切线与x 轴平行．(1)求f(x)的单调区间；(2)若存在x 0>1，当x∈(1，x 0)时，恒有f(x)-x 22＋2x ＋12>k(x-1)成立，求k 的取值范围．8.已知函数f(x)=xe x－a 3x 2－a 2x ，a≤e，其中e 为自然对数的底数．(1)当a=0，x>0时，证明：f(x)≥ex 2； (2)讨论函数f(x)极值点的个数．9.已知函数f(x)=x-1-alnx(其中a 为参数)．(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若对任意x ∈(0，＋∞)都有f(x)≥0成立，求实数a 的取值集合；(3) 证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n <e<⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＋1(其中n ∈N *，e 为自然对数的底数)．10.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x－ax ，x ≥0，其中常数a∈R .(1) 当a=2时，求函数f(x)的单调区间；(2) 若方程f(-x)＋f(x)=e x-3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围； (3) 若存在实数m ，n ∈[0，2]，且|m-n|≥1，使得f(m)=f(n)，求证：1≤ae －1≤e.答案解析1.解：(1) 20172 018>2 0182 017.理由如下：依题意得，f′(x)=x ＋ax－ln x ＋2，因为函数f(x)在x=1处有意义，所以a≠-1.所以f′(1)=1＋a ＋2=11＋a， 又由过点(1，f(1))的切线与直线x ＋y ＋1=0垂直可得，f′(1)=1，即11＋a=1，解得a=0.此时f(x)=ln x x ，f′(x)=1－ln xx2， 令f′(x)>0，即1-ln x>0，解得0<x<e ； 令f′(x)<0，即1-ln x<0，解得x>e.所以f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．所以f(2 017)>f(2 018)，即ln 2 0172 017>ln 2 0182 018，则2 018ln 2 017>2 017ln 2 018，所以2 0172 018>2 0182 017.(2)证明：不妨设x 1>x 2>0，因为g(x 1)=g(x 2)=0， 所以ln x 1-kx 1=0，ln x 2-kx 2=0.可得ln x 1＋ln x 2=k(x 1＋x 2)，ln x 1-ln x 2=k(x 1-x 2)，要证x 1x 2>e 2，即证ln x 1＋ln x 2>2，也就是k(x 1＋x 2)>2，因为k=ln x 1－ln x 2x 1－x 2，所以只需证ln x 1－ln x 2x 1－x 2>2x 1＋x 2，即ln x 1x 2>1－x 2x 1＋x 2，令x 1x 2=t ，则t>1，即证ln t>－t ＋1.令h(t)=ln t-－t ＋1(t>1)．由h′(t)=1t -4＋2=－2＋2>0得函数h(t)在(1，＋∞)上是增函数，所以h(t)>h(1)=0，即ln t>－t ＋1.所以x 1x 2>e 2. 2.解：(1) f(x)=kx-ln x-1，f′(x)=k-1x =kx －1x(x>0，k>0)，当x=1k 时，f′(x)=0；当0<x<1k 时，f′(x)<0；当x>1k时，f′(x)>0.∴f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1k 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞上单调递增， ∴f(x)min =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k =ln k ， ∵f(x)有且只有一个零点， ∴ln k=0，∴k=1.(2)证明：由(1)知x-ln x-1≥0，即x-1≥ln x，当且仅当x=1时取等号，∵n∈N *，令x=n ＋1n ，得1n >ln n ＋1n，∴1＋12＋13＋…＋1n >ln 21＋ln 32＋…＋ln n ＋1n =ln(n ＋1)，故1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．3.解：(1)由题意得f′(x)=a-1x =ax －1x，F′(x)=e x＋a ，x>0，∵a<0，∴f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 当-1≤a<0时，F′(x)>0，即F(x)在(0，＋∞)上单调递增，不合题意， 当a<-1时，由F′(x)>0，得x>ln(-a)，由F′(x)<0，得0<x<ln(-a)， ∴F(x)的单调递减区间为(0，ln(-a))，单调递增区间为(ln(-a)，＋∞)． ∵f(x)和F(x)在区间(0，ln 3)上具有相同的单调性， ∴ln(-a)≥ln 3，解得a≤-3， 综上，a 的取值范围是(-∞，-3]．(2)g′(x)=e ax-1＋axe ax-1-a-1x =(ax ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫e ax －1－1x ，由e ax-1-1x =0，解得a=1－ln x x ，设p(x)=1－ln x x ，则p′(x)=ln x －2x 2， 当x>e 2时，p′(x)>0，当0<x<e 2时，p′(x)<0，从而p(x)在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，p(x)min =p(e 2)=-1e2，当a≤-1e 2时，a≤1－ln x x ，即e ax-1-1x≤0，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 时，ax ＋1>0，g′(x)≤0，g(x)单调递减， 当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞时，ax ＋1<0，g′(x)≥0，g(x)单调递增，∴g(x)min =g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a =M ， 设t=-1a ∈(0，e 2]，M=h(t)=t e2-ln t ＋1(0<t≤e 2)，则h′(t)=1e 2-1t ≤0，h(t)在(0，e 2]上单调递减，∴h(t)≥h(e 2)=0，即M≥0， ∴M 的最小值为0. 4.解：(1)f′(x)=x －tx2(x>0)，当t≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无最值； 当t>0时，由f′(x)<0，得x<t ，由f′(x)>0，得x>t ， f(x)在(0，t)上单调递减，在(t ，＋∞)上单调递增，故f(x)在x=t 处取得最小值，最小值为f(t)=ln t ＋1-s ，无最大值． (2)∵f(x)恰有两个零点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，∴f(x 1)=ln x 1＋2x 1-s=0，f(x 2)=ln x 2＋2x 2-s=0，得s=2x 1＋ln x 1=2x 2＋ln x 2，∴2－x 1x 1x 2=ln x 2x 1，设t=x 2x 1>1，则ln t=－tx 1，x 1=－tln t，故x 1＋x 2=x 1(t ＋1)=2－tln t ，∴x 1＋x 2-4=2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－1t －2ln t ln t，记函数h(t)=t 2－1t-2ln t ，∵h′(t)=－2t2>0，∴h(t)在(1，＋∞)上单调递增， ∵t>1，∴h(t)>h(1)=0，又t=x 2x 1>1，ln t>0，故x 1＋x 2>4成立．5.解：(1)证明：当a=0时，f(x)=(2＋x)ln(1＋x)-2x ，f′(x)=ln(1＋x)-x1＋x. 设函数g(x)=ln(1＋x)-x 1＋x ，则g′(x)=x＋2. 当-1<x<0时，g′(x)<0；当x>0时，g′(x)>0， 故当x>-1时，g(x)≥g(0)=0， 且仅当x=0时，g(x)=0，从而f′(x)≥0，且仅当x=0时，f′(x)=0. 所以f(x)在(-1，＋∞)上单调递增． 又f(0)=0，故当-1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0. (2)①若a≥0，由(1)知，当x>0时，f(x)≥(2＋x)ln(1＋x)-2x>0=f(0)， 这与x=0是f(x)的极大值点矛盾． ②若a<0，设函数h(x)=2＋x ＋ax 2=ln(1＋x)-2x2＋x ＋ax2.由于当|x|<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时，2＋x ＋ax 2>0， 故h(x)与f(x)符号相同． 又h(0)=f(0)=0，故x=0是f(x)的极大值点，当且仅当x=0是h(x)的极大值点．h′(x)=11＋x -＋x ＋ax 2－＋＋x ＋ax 22=x 22x 2＋4ax ＋6a ＋＋2＋x ＋2.若6a ＋1>0，则当0<x<-6a ＋14a， 且|x|<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时，h′(x)>0， 故x=0不是h(x)的极大值点．若6a ＋1<0，则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1=0存在根x 1<0，故当x∈(x 1,0)，且|x|<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时，h′(x)<0，所以x=0不是h(x)的极大值点．若6a ＋1=0，则h′(x)=x 3－＋2－6x －2，则当x∈(-1,0)时，h′(x)>0； 当x∈(0,1)时，h′(x)<0. 所以x=0是h(x)的极大值点， 从而x=0是f(x)的极大值点．综上，a=-16.6.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=x 2＋－＋1＋2.考虑y=x 2＋2(1-a)x ＋1，x>0.①当Δ≤0，即0≤a≤2时，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当Δ>0，即a>2或a<0时，由x 2＋2(1-a)x ＋1=0，得x=a-1±a 2－2a.若a<0，则f′(x)>0恒成立，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增；若a>2，则a-1＋a 2－2a>a-1-a 2－2a>0，由f′(x)>0，得0<x<a-1-a 2－2a 或x>a-1＋a 2－2a ，则f(x)在(0，a-1-a 2－2a)和(a-1＋a 2－2a ，＋∞)上单调递增．由f′(x)<0，得a-1-a 2－2a<x<a-1＋a 2－2a ，则f(x)在(a-1-a 2－2a ，a-1＋a 2－2a)上单调递减．综上，当a≤2时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a>2时，f(x)的单调递增区间为(0，a-1-a 2－2a)，(a-1＋a 2－2a ，＋∞)，单调递减区间为(a-1-a 2－2a ，a-1＋a 2－2a)．(2)证明：当a=1时，f(x)=ln x ＋2x ＋1.令g(x)=f(x)-x ＋12=ln x ＋2x ＋1-x ＋12(x>0)， 则g′(x)=1x -2＋2-12=2－x －x 3＋2=－－2＋x ＋＋2. 当x>1时，g′(x)<0，当0<x<1时，g′(x)>0，∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 即当x=1时，g(x)取得最大值，故g(x)≤g(1)=0，即f(x)≤x ＋12成立，得证．7.解：(1)由已知可得f(x)的定义域为(0，＋∞)．∵f′(x)=1x -a ，∴f′(1)=1-a=0，∴a=1，∴f′(x)=1x -1=1－xx，令f′(x)>0得0<x<1，令f′(x)<0得x>1，∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)不等式f(x)-x 22＋2x ＋12>k(x-1)可化为ln x-x 22＋x-12>k(x-1)，令g(x)=ln x-x 22＋x-12-k(x-1)，则g′(x)=1x -x ＋1-k=－x 2＋－＋1x，令h(x)=-x 2＋(1-k)x ＋1，则h(x)的对称轴为直线x=1－k 2，①当1－k 2≤1，即k≥-1时，易知h(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴x∈(1，＋∞)时，h(x)<h(1)=1-k ， 若k≥1，则h(x)<0，∴g′(x)<0， ∴g(x)在(1，＋∞)上单调递减， ∴g(x)<g(1)=0，不符合题意． 若-1≤k<1，则h(1)>0，∴存在x 0>1，使得x∈(1，x 0)时，h(x)>0，即g′(x)>0， ∴g(x)在(1，x 0)上单调递增，∴g(x)>g(1)=0恒成立，符合题意．②当1－k 2>1，即k<-1时，易知存在x 0>1，使得h(x)在(1，x 0)上单调递增，∴h(x)>h(1)=1-k>0， ∴g′(x)>0，∴g(x)在(1，x 0)上单调递增，∴g(x)>g(1)=0恒成立，符合题意． 综上，k 的取值范围是(-∞，1)． 8.解:(1)证明：依题意，f(x)=xe x ，故原不等式可化为xe x ≥ex 2，因为x>0，所以只要证e x－ex≥0即可，记g(x)=e x－ex(x>0)，则g′(x)=e x－e(x>0)，当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)≥g(1)=0，即f(x)≥ex 2，原不等式成立．(2)f′(x)=e x －13ax 2－12ax ＋xe x －23ax －12a=(x ＋1)e x －ax(x ＋1)=(x ＋1)(e x－ax)，记h(x)=e x －ax ，h′(x)=e x－a.(ⅰ)当a<0时，h′(x)=e x－a>0，h(x)在R 上单调递增，h(0)=1>0，h 1a =e 1a－1<0，所以存在唯一的x 0∈1a，0，使h(x 0)=0，且当x<x 0时，h(x)<0；当x>x 0，h(x)>0.①当x 0=－1，即a=－1e时，对任意x≠－1，f′(x)>0，此时f(x)在R 上单调递增，无极值点；②若x 0<－1，即－1e<a<0时，此时当x<x 0或x>－1时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，x 0)，(－1，＋∞)上单调递增；当x 0<x<－1时，f′(x)<0，即f(x)在(x 0，－1)上单调递减， 此时f(x)有一个极大值点x 0和一个极小值点－1.③若－1<x 0<0，即a<－1e时，此时当x<－1或x>x 0时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－1)，(x 0，＋∞)上单调递增；当－1<x<x 0时，f′(x)<0，即f(x)在(－1，x 0)上单调递减，此时f(x)有一个极大值点－1和一个极小值点x 0.(ⅱ)当a=0时，f(x)=xe x ，所以f′(x)=(x ＋1)e x ，显然f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，此时f(x)有一个极小值点－1，无极大值点．(ⅲ)当0<a<e 时，由(1)可知，对任意x≥0，h(x)=e x －ax>e x －ex≥0，从而h(x)>0，而对任意x<0，h(x)=e x －ax>e x >0，所以对任意x ∈R ，h(x)>0，此时令f′(x)<0，得x<－1，令f′(x)>0，得x>－1，所以f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，此时f(x)有一个极小值点－1，无极大值点．(ⅳ)当a=e 时，由(1)可知，对任意x ∈R ，h(x)=e x －ax=e x －ex≥0(当且仅当x=1时，取等号)，此时令f′(x)<0，得x<－1，令f′(x)≥0，得x≥－1，所以f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增，此时f(x)有一个极小值点－1，无极大值点．综上所述，①当a<－1e 或－1e<a<0时，f(x)有两个极值点； ②当a=－1e时，f(x)无极值点； ③当0≤a≤e 时，f(x)有一个极值点．9.解：(1) f ′(x)=1-a x =x －a x(x>0)， 当a ≤0时，f ′(x)=1-a x =x －a x>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数； 当a>0时，所以f(x)的增区间是(a ，＋∞)，减区间是(0，a)．综上所述， 当a ≤0时，f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间是(a ，＋∞)，单调递减区间是(0，a)．(2) 由题意得f(x)min ≥0.当a ≤0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，当x →0时，f(x)→-∞，故不合题意；(6分)当a>0时，由(1)知f(x)min =f(a)=a-1-alna ≥0.令g(a)=a-1-alna ，则由g ′(a)=-lna=0，得a=1，所以g(a)=a-1-alna ≤0，又f(x)min =f(a)=a-1-alna ≥0，所以a-1-alna=0，所以a=1，即实数a 的取值集合是{1}．(10分)(3) 要证不等式1＋1n n <e<1＋1nn ＋1， 两边取对数后，只要证nln1＋1n <1<(n ＋1)ln1＋1n ，即只要证1n ＋1<ln1＋1n <1n，令x=1＋1n ，则只要证1-1x<lnx<x-1(1<x ≤2)． 由(1)知当a=1时，f(x)=x-1-lnx 在(1,2]上递增，因此f(x)>f(1)，即x-1-lnx>0，所以lnx<x-1(1<x ≤2)令φ(x)=lnx ＋1x -1(1<x ≤2)，则φ′(x)=x －1x 2>0， 所以φ(x)在(1,2]上递增，故φ(x)>φ(1)，即lnx ＋1x -1>0，所以1-1x<lnx(1<x ≤2)． 综上，原命题得证．10.解：(1) 当a=2时，f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x －2x ，x ≥0. ①当x<0时，f ′(x)=-3x 2＋2x<0恒成立，所以f(x)在(-∞，0)上递减；②当x ≥0时，f ′(x)=e x -2，可得f(x)在[0，ln2]上递减，在[ln2，＋∞)上递增．因为f(0)=1>0，所以f(x)的单调递减区间是(-∞，0)和[0，ln2]，单调递增区间是[ln2，＋∞)．(2) 当x>0时，f(x)=e x -ax ，此时-x<0，f(-x)=-(-x)3＋(-x)2=x 3＋x 2.所以可化为a=x 2＋x ＋3x在区间(0，＋∞)上有实数解． 记g(x)=x 2＋x ＋3x ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x)=2x ＋1-3x 2=（x －1）（2x 2＋3x ＋3）x 2. 可得g(x)在(0，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，且g(1)=5，当x →＋∞时，g(x)→＋∞. 所以g(x)的值域是[5，＋∞)，即实数a 的取值范围是[5，＋∞)．(3) 当x ∈[0，2]时，f(x)=e x -ax ，有f ′(x)=e x -a.若a ≤1或a ≥e 2，则f(x)在[0，2]上是单调函数，不合题意．所以1<a<e 2，此时可得f(x)在[0，lna]上递减，在[lna ，2]上递增．不妨设0≤m<lna<n ≤2，则f(0)≥f(m)>f(lna)，且f(lna)<f(n)≤f(2)．由m ，n ∈[0，2]，n-m ≥1，可得0≤m ≤1≤n ≤2.(12分)因为f(m)=f(n)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1<a<e 2，f （0）≥f （m ）≥f （1），f （2）≥f （n ）≥f （1），得⎩⎪⎨⎪⎧1<a<e 2，1≥e －a ，e 2－2a ≥e －a ，即e-1≤a ≤e 2-e ，所以1≤a e －1≤e.。
2023年辽宁高考数学题
2023年辽宁高考数学题2023年辽宁高考数学题一、选择题（每小题3分，共计45分）1. 已知函数f(x)满足f(0)=1，对任意实数x，f(x)的导数为f'(x)=3x^2-2x+4，则f(2)的值是多少？A. 1B. 6C. 11D. 142. 设△ABC的内角A为60°，边BC的中点为D，若BD=6，CD=8，则△ABC的周长等于多少？A. 24B. 26C. 28D. 303. 函数y = ax^2 + bx + c 的图像经平移变换后成为y = (a+1)x^2 + (b+1)x + (c+1)，则原函数的a、b、c满足下列哪个条件？A. a+b+c=0B. a=b=cC. a^2+b^2+c^2=0D. a+b+c=14. 设集合A={x | x>0, x^2+x+1=0}，则A中有多少个元素？A. 0B. 1C. 2D. 无穷多个5. 设数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2 = an+1 + an（n≥1），则a10的值等于？A. 55B. 89C. 144D. 233二、填空题（每小题4分，共计28分）6. 已知正方体ABCD-EFGH的棱长为10cm，点P是BC的中点，点Q 是GH的中点，连接PQ并延长交AD于点M，则PM的长度为_______ cm。
7. 直线y = kx+1，经过坐标原点O，与抛物线y = 4-x^2相切于点T，若k的值为正数，则k的值是 _______。
8. 三角形ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=3cm，点M是BC的中点，连接AM并延长交BD于点N，则MN的长度为_______ cm。
9. 已知数列{an}满足a1=1，an+2 = an+1 + an（n≥1），则a100的值为_______。
10. 设函数f(x)=3x^2+ax+b，其中a和b为常数，若f(1)=12，f'(1)=6，则函数f(x)在x=1处的极值是 _______。
辽宁省辽阳市(新版)2024高考数学人教版真题(评估卷)完整试卷
辽宁省辽阳市（新版）2024高考数学人教版真题(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知圆上两点，，O为坐标原点，若，则的最大值是（）A．8B．C．D．12第(2)题已知集合，，则=（）A．B．C．D．第(3)题已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为（）A．存在无穷多个，满足B．对任意有理数，均有C．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数D．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数第(4)题已知实数a，b，，且，，，则（）A．B．C．D．第(5)题已知定义在上的函数满足，当时，，则（）A．1B．2C．D．-2第(6)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(7)题已知函数，若，则的值为（）A．B．C．2D．4第(8)题设为虚数单位，若复数为纯虚数，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数对任意的，，都有，且，，则（）A．B．是奇函数C．的周期为4D．，第(2)题“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即为“牟合方盖”，他提出“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为定值．南北朝时期祖暅提出理论：“缘幂势既同，则积不容异”，即“在等高处的截面面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，并算出了“牟合方盖”和球的体积．其大体思想可用如图表示，其中图1为棱长为的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为的正方体的八分之一，图3是以底面边长为的正方体的一个底面和底面以外的一个顶点作的四棱锥，则根据祖暅原理，下列结论正确的是：（）A．若以一个平行于正方体上下底面的平面，截“牟合方盖”，截面是一个圆形B．图2中阴影部分的面积为C．“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为D．由棱长为的正方体截得的“牟合方盖”体积为第(3)题在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论错误的是（）A．B．三棱锥的体积为C．线段最小值为D．的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为___________，若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为____________．(，)第(2)题双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，点在轴上，，平分，则的渐近线方程为______．第(3)题在空间直角坐标系Oxyz中，已知点，，，若平面轴，且，则直线与平面所成的角的正弦值为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.小赵同学对某品牌新能源汽车近5年的广告费投入（单位：亿元）进行了统计，具体数据见下表：年份代号12345广告费投入 4.8 5.6 6.27.68.8并随机调查了200名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表认可不认可50岁以下市7030民50岁以上市6040民(1)求广告费投入与年份代号之间的线性回归方程；(2)是否有90%的把握认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度具有相关性？(3)若以这200名市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度情况估计整体情况，则从全市市民中随机选取20人，记选到认可该品牌新能源汽车且50岁以上的市民人数为，求数学期望与方差.附：①回归直线中，，；②，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828第(2)题已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若在上只有一个极值，且该极值小于，求实数的取值范围.第(3)题如图，在多面体中，四边形和四边形均是等腰梯形，底面为矩形，与的交点为，平面，且与底面的距离为，(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为．若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．第(4)题选修4-1:几何证明选讲如图，0是△ABC的外接圆，AB = AC，延长BC到点D，使得CD = AC，连结AD交O于点E.求证:BE平分ABC第(5)题已知数列的前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(辽
宁卷)
数学(供理科考生使用) 注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
(1)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝， 则()()U U A B ⋂=
(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} (2)复数
22i
i -=+ (A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315
i +
(3)已知两个非零向量a ，b 满足|a+b|=|a -b|，则下面结论正确的是 (A) a ∥b (B) a ⊥b (C){0,1,3} (D)a+b=a -b (4)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f(x 2)-f(x 1)(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是 (A) ∃x 1，x 2∈R ，(f(x 2)-f(x 1)(x 2-x 1)≤0 (B) ∀x 1，x 2∈R ，(f(x 2)-f(x 1)(x 2-x 1)≤0
(C) ∃x 1，x 2∈R ，(f(x 2)-f(x 1)(x 2-x 1)<0 (D) ∀x 1，x 2∈R ，(f(x 2)-f(x 1)(x 2-x 1)<0
(5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！ (6)在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 (7)已知sin cos 2αα-=，α∈(0，π)，则tan α= (A) -1 (B) 22-
(C) 22
(D) 1 (8)设变量x ，y 满足10,
020,015,x y x y y -⎧⎪
+⎨⎪⎩
则2x+3y 的最大值为
(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55
(9)执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是 (A) -1 (B)
23
(C) 3
2
(D) 4
(10)在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 3的概率为
(A) 16 (B) 13 (C) 23 (D) 45
(11)设函数f(x)()x R ∈满足f(x -)=f(x)，f(x)=f(2-x)，且当[0,1]x ∈时，
f(x)=x 3
.又函数g(x)=|xcos ()x π|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在13[,]22
-上
的零点个数为
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (12)若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 (A)21x e x x ++211
1
24x x <-+
(C)21cos 12x x - (D)21
ln(1)8
x x x +-
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。
(14)已知等比数列｛a n ｝为递增数列，且2
5
1021,2()5n n n a a a a a ++=+=，则数列｛a n ｝的
通项公式a n =______________。
(15)已知P ，Q 为抛物线22x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P 、Q
分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为__________。
(16)已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 3PA ，PB ，PC
两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。
角A ，B ，C 成等差数列。
(Ⅰ)求cos B 的值；
(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。
(18)(本小题满分12分)
如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，
/,AB AC AA λ==点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。
(Ⅰ)证明：MN ∥平面//A ACC ;
(Ⅱ)若二面角/A MN C --为直二面角，求λ的值。
(19)(本小题满分12分)
电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查。
下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”。
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22
⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别
有关？
(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率。
现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽
样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X。
若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望()
E X和方差()
D X。
附：
2 211221221
1212
()
, n n n n n
n n n n
χ
++++
-
=
(20)(本小题满分12分)
如图，椭圆0C ：22
221(0x y a b a b
+=>>，a ，b 为常数)，动圆22211:C x y t +=，
1b t a <<。
点12,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点。
(Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;
(Ⅱ)设动圆222
22:C x y t +=与0C 相交于////,,,A B C D 四点，其中2b t a <<，
12t t ≠。
若矩形ABCD 与矩形////A B C D 的面积相等，证明：2212t t +为定值。
(21)(本小题满分12分)
设()ln(1)(,,,)f x x ax b a b R a b =+++∈为常数，曲线()y f x =与 直线3
2
y x =
在(0，0)点相切。
(Ⅰ)求,a b 的值。
(Ⅱ)证明：当02x <<时，9()6
x
f x x <+。
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。
(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲 如图，⊙O 和⊙/O 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E 。
证明 (Ⅰ)AC BD AD AB ⋅=⋅； (Ⅱ) AC AE =。
(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=。
(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方
程，并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求出12C C 与的公共弦的参数方程。
(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式()3f x 的解集为{|2
x -1x ｝。
(Ⅰ)求a 的值；
(Ⅱ)若|()2()|2
x
f x f k 恒成立，求k 的取值范围。