正弦量的相量表示法
第八章相量法
b
A (a + jb)
a = ρcosϕ, b = ρsinϕ ϕ ϕ
二.复数的加减 复数的加减 虚部(+j) 虚部 已知. 已知 A = a1 + jb1 , B = a2 + jb2 A A+B 则: A±B =(a1+jb1)±(a2 + jb2) ± ± ϕ1 =(a1±a2) +j (b1±b2) O ϕ2 实部(+1) 实部 jϕ1 ,B = ρ e-jϕ2 ϕ ϕ 如果. 如果 A = ρ1e 2 B 四边形法则 可用如图表示A± 可用如图表示 ±B
O ϕ -ϕ 虚部(+j) 虚部
A=a+jb
实部(+1) 实部
-b
A*= a–jb
§8-3. 正弦量的相量表示法
复数A 一.复数 =Im ωt + ϕ的旋转矢量表示 +j 复数 任一时刻旋转矢量OA 任一时刻旋转矢量 A 在横轴的投影为: 在横轴的投影为 A ω Imcos(ωt + ϕ) ω ωt+ϕ ϕ 在纵轴的投影为: 在纵轴的投影为 Im ϕ Imsin(ωt + ϕ) ω 复数A= Imcos(ωt + ϕ)+jImsin(ωt + ϕ)O 复数 ω ω 就是旋转矢量 的代数表示 旋转矢量OA的代数表示 的代数表示. 就是旋转矢量 此复数的实部即为正弦量. 此复数的实部即为正弦量 正弦量的复数 旋转矢量表示 复数,旋转矢量 二. 正弦量的复数 旋转矢量表示 ω i=Imcos(ωt + ϕ) = Re[Imej(ωt + ϕ)] ω 式中Re[ ]是取复数实部的意思 式中 是取复数实部的意思. 是取复数实部的意思
4.2 正弦量的相量表示法
(1)2+(2)2
Im
I1m cos 1 I2m cos 2 I1m sin 1 I2m sin 2
2
2
(1)÷(2)
I1m sin 1 I2 m sin 2 arctan I cos I cos 1m 1 2m 2
将本题中 的I1m=100A, I2m=60A, Ψ1=45°, Ψ2=-30°
代入可得：
Im
70.7 52
2
70.7 30 129A
2
70.7 30 ' arctan 18 20 70.7 52
故得
i=129sin(ωt+18°20′)A
4.2 正弦量的相量表示法
i Im
0
T/2
2
T
t
t
-I m
三角函数
u=U m sin (ω t + Ψ) 相量图 复数式（相量式）
正弦量
正弦波形
相量（复数）
4.2.1 旋转有向线段表示正弦量
a. 在 u=U m sin (ω t + Ψ) 中
y A
Um 表示正弦电压的最大值 （A的长度） ω 表示正弦电压的角频率 Ψ 表示正弦电压的初相位
c.复数的三种表示方法： A=a+j b 实部
a2 b2 b arcty a r
b
虚轴 +1 A r
虚部
0 a
实轴 +1
a=r cos ψ
b=r sin ψ
复数的模 复数的辐角
A=a+j b= r cos ψ+j r sin ψ = r (cos ψ + j sin ψ)
第二节正弦量的相量表示法第三节电阻元件伏安关系的向
i(t) 11.18 2 cos(t 10.3) 21
例2 图示电路，已知：
+ u1(t) -
u1(t) 6 2 cos(t 30)
-
u2 (t) 4 2 cos(t 60)
u3(t)Biblioteka u2(t)+
求 u3(t)
解： 正弦量以相量表示，有
•
U1 630
•
U2 460
•
••
U3 U1 U2 (5.19 j3) (2 j3.45)
u(t) 2U cos(t u )
p(t) 2U cos(t u ) 2I cos(t i )
UI cos(2t 90)
2）平均功率: P 1
T
p(t)dt
T0
0
p(t)
UI
3）无功功率: Q UI
X
LI
2
U X
2 L
(Var)
0
意义:反映电感元件与电源进行能量交换的最大速率.
t
12
i(t) 2I cos(t i )
u(t) 2U cos(t u )
p(t) 2U cos(t u ) 2I cos(t i )
UI cos(2t 90)
2）平均功率: P 1
T
p(t)dt
T0
0
3）无功功率: Q UI
XCI 2
U2 XC
(Var)
p(t)
UI
0
意义:反映电容元件与电源进行能量交换的最大速率.
3 j4
8 j6
例2：写出下列正弦量的时域形式：
•
U1 3 j4
•
U 2 8 j6
u1(t) 5 2 cos(t 126.9)
正弦量的相量表示法
第九讲 正弦量的相量表示法一、相量法的引入1、相量法的概念：的用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。
2、正弦量的复数表示法：假设正弦电压为 )sin()(m ψω+=t U t u 复数的形式：ψψ∠==∠+=+=m 22Y e Y ab arctg b a bi a Y j m 复数的模：表示电压的振幅；复数的幅角：表示电压的初相。
正弦波电压的相量表示法：ψψ∠==m j m m e U U U 二、相量1、概念：在复数平面上表示正弦电压和电流的复数的方有向线段。
3-2-1 正弦电压和电流的相量2、正弦电压相量与正弦电压的关系（1）正弦电压量的实质：电压的旋转相量在坐标轴（实轴或虚轴）上的投影。
（2）电压的旋转相量：当电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，即为旋转相量。
实轴上的投影：)cos(m ψω+t U 属于时间函数虚轴上的投影：)sin(m ψω+t U 属于时间函数图3-2-1 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影（3）正弦量与相量表示法的相互关系三、实例分析【例3-2-1】正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i ， A )120314cos(10)(2︒--=t t i ，求电流相量，画出相量图，并求出i (t )=i 1(t)+i 2(t)。
解：表示正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i 的相量为A 605A e 560j m1 ∠==I用相量法分析电路时，各正弦量的瞬时表达式用正弦函数(余弦函数)表示。
将电流相量A 6051m ∠＝I 和A 15010m 2 ∠=I 画在一个复数平面上，就得到相量图3-2-2。
从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。
i m m i m u m m u m ) cos()() cos()(ψψωψψωωω∠=−→←+=∠=−→←+=I I t I t i U U t U t u A 15010A )150314sin(10 A)180********sin(10A )120314cos(10)(m 22 ∠=−→−+=+︒+-=--=I t t t t i图3-2-2 例3-2-1相量图电压电流相量：可为最大值相量，也可为有效值相量（U 及I ）。
正弦量的相量描述
《电工技术》知识点：正弦量的相量描述u U t =+ωϕ1112sin)(u U t =+ωϕ 2sin 222)(已知： =+u u u 12求：正弦量的表示法：三角函数表示 波形表示 相量表示tϕ1ϕ2u 1u 2u=U m sin(ωt +ϕ) 反映正弦量的全貌包括三个要素11222sin 2sin 2sin u U t U t U t =+++=+ωϕωϕωϕ)()()(频率不变=+++U U U U U ϕϕϕϕ(cos cos )(sin sin )1122211222幅度变化=++U U U U ϕϕϕϕϕarctansin sin cos cos 11221122相位变化u U t =+ωϕ1112sin)(u U t =+ωϕ 2sin 222)(已知： =+u u u 12求：启示：在讨论同频率正弦量时，只要知道幅度与初相位即可。
综上所述：同频率正弦量相加，其结果仍是同一频率的正弦量。
▲ 正弦量的波形图及三角函数式表示法比较直观，但用于运算很繁琐！▲相量表示法是基于复数表示正弦量的一种方法相量表示法相量图相量式（复数式）相量表示法反映正弦量两个要素相量图 1、用旋转矢量表示正弦量表示方法：yxOA U m ϕωu U t =+ωϕ2sin)(在直角坐标系中取有向线段OA OA 的长度等于正弦量的幅值OA 与水平方向的夹角等于正弦量的初相角 以正弦量的角速度逆时针方向旋转 ω为什么能表示正弦量?ω正弦量的瞬时值 旋转向量在纵轴上的投影高度ϕω t+jϕω+1U mOOU mu U t =+ωϕ2sin)(对于每一个正弦量都可以找到与其对应的旋转向量。
因此对正弦量的分析,可以用与之对应的旋转向量进行。
综上所述：在实际应用中，正弦量的大小一般采用有效值表示，其表示符号为 。
、I m. U. 把这种仅反映正弦量大小和初相位的有向线段称为相量，其图形为相量图，符号 U m. 、I.2、用复数表示正弦量---相量式+j+1oUU mϕ.A = a +jb 代数式+j+1 oAϕab rr =a 2+b 2ϕ =arctan baA = r ϕ极坐标式=+θθθecos jsin j 由欧拉公式=+++ωϕωϕU U t t cos()j sin()m m +ωϕU t em j()t =+θωϕ令 ，则+ωϕU t e m j()设一复数为 如何用复数式表示正弦量u U t =+ωϕ2sin)(=ϕωU t e e Im[2]j j =ωU t e Im[2]j =+ωϕU e t Im[])m j(=+ωϕu U t sin()m 称该复数为正弦量u 的相量式。
相量表示法
解:
+1
0
30 -60
i1 和 i2 对应的电流向量 表达式分别为
10 30 A I1 5 60 A I2
I2
I 1的长度是 I 2的二倍。
三、复数
复数的四则运算 加减运算用代数式，实部与实 部，虚部与虚部分别相加减。 乘除运算用指数式或极坐标式， 模相乘或相除，幅角相加或相减。
二、正弦量的相量表示法
一般我们研究的是同频率的正弦量， 用相量表示时,它们同以ω速度旋转,相 对位置保持不变。因此，在同一相量图 中，以t＝0时刻的相量表示正弦量。 相量的写法为:大写字母的上方加一 个“.”。
我们知道一个相量可以用复数表示， 而正弦量又可以用相量表示，因此正弦量 可以用复数表示。 １. 复数表示法： A= a+j b 代数式 j A A= r(cosψ +j sinψ ) 三角式 b 根据欧拉公式: r
这样，表示正弦电压 u U m sin t 的相量为
U e j U Um m m
为了使计算结果能直接表示正弦量的有 效值，通常使相量的模等于正弦量的有效 值，即可以表示为：
Ue j U U
注意！
（１）只有正弦量才能用相量表示；
（２）几个同频率正弦量可以画在同一 相量图上；
0
a
e j= cosψ+ j sinψ A = r e jψ 指数式 +1 A = r∠ψ 极坐标式
其中
a = r cosψ b = r sinψ
r
ψ
a b
2
2
= arctg ( b/a )
2. 正弦量的相量
一个复数的幅角等于正弦量的初相角， 复数的模等于正弦量的最大值或有效值， 该复数称为正弦量的相量.
电工电子技术基础知识点详解2-1-正弦量的相量表示法(1)
电压的有效值相量
注意:
(1) 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量，两者只有对应关系。
？ i Imsin(ωt ψ) = Imejψ Im ψ
正弦量是时间的函数，而相量仅仅是表示正弦量的复数，两者不 能划等号！
(2) 只有正弦周期量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。 因此，只有表示正弦量的复数才能称之为相量。
三角式
r a2 b2b ψ arctan
复数的模 复数的辐角
a
A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
2. 正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量。
+j
b
A
r
(1) 复数表示形式
O
a +1
由欧拉公式:
ej ψ ej ψ
cos ψ
,
2
可得: ej ψ cosψ jsin ψ
1.正弦量的表示方法
u
波形图
O
t
瞬时值表达式 u Umsin( t )
相量 U Uψ V
必须
重点
小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
正弦量的相量表示法
2. 正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量 (1) 复数表示形式
设A为复数
代数式 A =a + jb
+j b
r
O
A a +1
式中: a r cos ψ b r sinψ
正弦量的相量表示法
3. 相量的两种表示形式
相量式: U Uejψ Uψ U(cos ψ jsin ψ)
相量图: 把相量在复平面中用有向线段表示出来
U1 220 20V U2 110 45V
2.2正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法一、正弦量的表示方法1、波形图表示法下图给出了不同初相角的正弦交流电的波形图。
2、瞬时值表达式 i (t ) = I m sin(ω t + ϕi 0)u (t ) = U m sin(ω t + ϕu 0)e (t ) = E m sin(ω t + ϕe 0)3、相量表示实质：用复数表示正弦量①正弦量用旋转有向线段表示相量法就是用相量来表示正弦量。
相量的数学基础是复数。
采用这种表示方法使得描述正弦交流电路由原来的微(积)分方程转化为代数形式的方程，大大地简化了正弦交流电路的分析与计算。
我们知道一个带有方向的线段可以表示一个矢量，下面先来看一个例子，讨论旋转有向线段与正弦量的关系。
图 正弦交流电的波形图举例 ψU U ∠=设正弦量U= U m sin(ωt +ψ)若: 有向线段长度 = Um有向线段与横轴夹角 = 初相位ψ有向线段以速度ω按逆时针方向旋转则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。
例如：在t =t 0时，U 0=U m sin(ωt 0+ψ)在t=t l 时，U 1=U m sin ；(ωt 1+ψ)正弦量可用有向线段表示，而有向线段又可用复数表示，所以正弦量可用复数来表示。
② 复数的几种表示形式在一个直角坐标系中，设：横轴为实轴，单位用+1表示；纵轴为虚轴，单位用+j 表示，则构成复数平面(又称复平面)。
图所示的有向线段A ，其复数表示式为：a ．代数式 A=α+ jba=rcosψ ，b=rsinψb ． 三角式根据欧拉公式：c ．指数式 A= re j ψd ． 极坐标式一个复数可用代数式、三角式、指数式和极坐标式四种表示形式，四者可以互相 ψr A =ψψψsin j cos e j +=可得:ab ψarctan =22b a r +=复数的模 复数的辐角 )sin j (cos sin j cos ψψr ψr ψr A +=+=,e e 2cos j j ψψψ-+=2j sin j j ψψψ--=e e转换。
正弦量的相量表示法
ψ
0
_
t
试写出表示uA=220 √2 sin314t V, uB=220 √2 sin(314t–120 ) V, uC=220 √2 sin(314t+120 ) V, 的相量，并画出相量图。
解Leabharlann 分别用有效值相量UA、 UB和UC
UC
表示uA、 uB和uC
120° U A 120°
UB
它们的相量图为：(右图)
§3-3. R、L及C的交流电路 、 及 的交流电路
在考虑电阻、电感或电容元件时，都将 它们看成是理想元件。即只考虑其主要 因素而忽略其次要因素。 交流电路与直流电路对电阻、电感或电 容的作用结果都不同。 电容对直流电路相当于开路；电感对直 流电路相当于短路。 而在交流电路中电容有充放电现象存在， 有电流通过电感有自感电动势出现而阻 碍电流变化。
§3-2. 正弦量的相量表示法
正弦量具有幅值、频率及初相位三个基 本特征量，表示一个正弦量就要将这三 三 要素表示出来。 要素 表示一个正弦量可以多种方式，这也正 是分析和计算交流电路的工具。
①三角函数表示法： u = Um sin ωt + ψ) ( ②正弦波形图示法: (见右图) u +
相量表示法。 ③ 相量表示法。
第19讲 正弦量的相量表示法
j 1 虚数单位
+j 复平面 b A 式中: a r cos ψ 虚 r b r sin ψ 轴 a +1 0 实轴 r a 2 b 2 复数的模
A=a + jb
b ψ arctan 复数的辐角 a
（二）复数的三角函数形式
A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ j sin ψ )
j 0 1900
故可把＋j看成是一个模为1，辐角为900的复 数，所以， jA1=1 900· A1=A1 ψ1+900 任一复数乘以＋j时，其模不变，幅角增大 900，相当于在复平面上把复数矢量逆时针方向旋 转900。 同理： -jA1=A1 ψ1-900
（五） “j”的数学意义和物理意义
（三）复数的指数形式
A re
由欧拉公式:
jψ
e j ψ e j ψ e j ψ e j ψ cos ψ , sin ψ 2 2j
可得:
e
jψ
cos ψ j sin ψ
A r ψ
jψ
（四）复数的极坐标形式
A a jb r cos j r sin re r ψ
• 【能力训练】 已知正弦电流，，求其电流相量， 画出相量图，并求出i(t)=i1(t)+i2(t)。 • 解：表示正弦电流 i1(t ) 5 sin(314t 60)A 的相量 为 I 5e j60 A 560 A
1m
•
i2 (t ) 10 cos(314t 120 )A 10sin(314t 120 90 180 )A 10150 A 10sin(314t 150 )A I
正弦量的相量表示法
第九讲 正弦量的相量表示法一、相量法的引入1、相量法的概念：的用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。
2、正弦量的复数表示法：假设正弦电压为 )sin()(m ψω+=t U t u 复数的形式：ψψ∠==∠+=+=m 22Y e Y ab arctgb a bi a Y j m 复数的模：表示电压的振幅；复数的幅角：表示电压的初相。
正弦波电压的相量表示法：ψψ∠==m j m m e U U U 二、相量1、概念：在复数平面上表示正弦电压和电流的复数的方有向线段。
3-2-1 正弦电压和电流的相量2、正弦电压相量与正弦电压的关系（1）正弦电压量的实质：电压的旋转相量在坐标轴（实轴或虚轴）上的投影。
（2）电压的旋转相量：当电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，即为旋转相量。
实轴上的投影：)cos(m ψω+t U 属于时间函数虚轴上的投影：)sin(m ψω+t U 属于时间函数图3-2-1 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影（3）正弦量与相量表示法的相互关系三、实例分析 【例3-2-1】正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i ， A )120314cos(10)(2︒--=t t i ，求电流相量，画出相量图，并求出i (t )=i 1(t)+i 2(t)。
解：表示正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i 的相量为A 605A e 560j m1 ∠==I用相量法分析电路时，各正弦量的瞬时表达式用正弦函数(余弦函数)表示。
将电流相量A 6051m ∠＝I 和A 15010m2 ∠=I 画在一个复数平面上，就得到相量图3-2-2。
从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。
im m i m u m m u m ) cos()() cos()(ψψωψψωωω∠=−→←+=∠=−→←+=I I t I t i U U t U t u A 15010A )150314sin(10 A)180********sin(10A )120314cos(10)(m 22 ∠=−→−+=+︒+-=--=I t t t t i图3-2-2 例3-2-1相量图 电压电流相量：可为最大值相量，也可为有效值相量（U 及I ）。
《电工电子技术》课件——正弦量的相量表示法
正弦量用相量表示
同频率正弦量相加——平行四边形法则
由勾股定理得： U
UR2
U
2 L
因。UR IR UL IXL
U
(IR)2 (IX L)2 I
R2
X
2 L
arct an
XL R
正弦量用相量表示
串联电路电流相等。假设i Im sin t
电阻两端的电压：
uR Ri I m R sin t U m sin t
m
sin(t
2
)
电路两端的总电压：u uR uL
正弦量如何进行求和运算？
相量法
正弦量用相量表示
1. 描述正弦量的有向线段称为相量。若其长度用最大值表示，则用
•
•
符号：Um Im ，称为最大值相量。
2. 在实际应用中，长度更多采用有效值，则用符号：U•
•
I
称为有效值相量。
表示，
正弦量用相量表示
相量的复数表示
将相量U• 放到复平面上，如表所示： 相量前端点所对应的复数可以表示这个相量。
相量的复数表示
该相量长度 U 称为复数的模，模总是取正值。相量的模 = 正弦量 的有效值。
该相量与实轴正方向的夹角 称为复数的辐角。相量辐角 = 正弦
量的初相角。
相量的复数表示
•
U a jb
U (cos j sin )
正弦量的相量表示法
引入
电感线圈是由导线绕成的，导线有一定的直流电阻。因此，实际电 感可等效成一个理想电感与电阻串联。
引入 串联电路电流相等。假设i Im sin t
，则：
电阻两端的电压：
uR Ri I m R sin t U m sin t
正弦量的相量表示
4.相量图
只有同频率的相量才能在 同一复平面内作相量图
例1.指出下列各表达式那些是正确的，那些 是错误的。
1) i 5 sin(t 30 ) 5e
j 30
2) I 1030
10045 100 2 sin(t 45 ) 3) U
4)
20 I 20e
5 I 2 4 6
1)
I 1 4 6
2)
i1 4 2 sin( 314t
6
)
5 i 2 4 2 sin( 314t ) 6
例4.写出电流
i1 ( t ) 5 sin(t 45 ) A, i2 ( t ) 10 2 sin(t 120 ) A
iu 1, i
角频率 有效值 初相位
I1 o
i1
i2
i 2 I2
i1+i2 i3
I t
3
i3
1
2
3
结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，
所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 正弦量 复数 变换的思想
3. 正弦量的相量表示
造一个复函数
j( t Ψ )
无物理意义
A(t ) 2 Ie 2 Icos(t Ψ ) j 2 Isin( t Ψ )
的相量形式，求解i1(t)+i2(t)。 5 I 10 120 A I 45 A 解： 2 1 2
5 I1 I 2 45 10120 2 5 (cos 45 j sin 45 ) 10(cos 120 j sin 120 ) 2 5 2 1 5 2 3 ( 10 ) j ( 10 ) 2 2 2 2 2 2 2.5 j 6.16 6.65112.1 A
正弦量的相量表示
正弦量的相量表示————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：正弦量的相量表示根据欧拉公式，复指数函数可见其虚部和实部都是正弦量，所以一个正弦量就可以表示为与之对应的复指数函数的虚部。
例如一个正弦电流就可以表示为观察式（4-11）的最后一个表达式可发现，该表达式中含有这一因子，而这一因子正是一个相量（复数）的极坐标的表达式，其中I为相量的模，为相量的辐角。
考虑到I和又分别是正弦量的有效值和初相，所以定义：以正弦量的有效值为模，初相为辐角构成的复数就称为该正弦量的有效值相量。
即对于任意一个正弦量，都能找到一个与之相对应的复数，由于这个复数与一个正弦量相对应，把这个复数称作相量。
在大写字母上加一个点来表示正弦量的相量，有效值相量符号分别为、。
设某一正弦电压，则该正弦量的有效值相量为当然，也可以用正弦量的最大值为模，初相为辐角构建出正弦量的最大值相量，如电流、电压，最大值相量符号为、，即作为一个复数，相量也可以在复平面上用有向线段表示，相量在复平面上的图示称为相量图。
如下图所示。
图中相量和是表示同频率正弦量的相量。
例题4-4试用相量表示，，并绘出相量图。
解：温馨提示：相量用大写字母上面加一点来表示、、，以便和普通复数相区别。
但相量运算和普通的复数一样，同样遵守普通复数的加、减、乘、除的运算规则。
相量和普通的复数一样也可以在复平面上用一有向的线段（即相量）来表示，表示这种相量的图称为相量图；只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。
相量只是表示正弦量，而不等于正弦量，它是分析和计算交流电路的一种方法；相量的两种表示形式：相量式、相量图；只有表示同频率正弦量的相量才能画在同一相量图上（可以不画坐标轴，参考相量画在水平方向）。
正弦量的基本概念正弦量的相量表示法电容元件
3.旋转因子及旋转相量
相量与ejwt相乘是一个随时间变化的函数，它随时
间的推移而旋转，且旋转速度为ω。我们把相量乘
以ejwt再乘以常数 2 称为旋转相量，旋转相量在虚 轴上的投影Imsin(ωt+φi)为正旋量的瞬时值。 Imsinφi为i(t)的初始值，如图3-2-1（b）所示。
所以也可以用正弦相量来表示正旋量。
0
2T
I
Im 2
0.707Im
U
Um 2
0.707Um
Um 220 2 311V
例 3-4 一个正弦电流的初相角为60°,在T/4 时 电流的值为5A，试求该电流的有效值。
解 该正弦电流的解析式为
it I m sin wt 60 A
代入已知量有：5
Im
sin wT 4
60 A
5
Im
sin
2
3
A
则有：I
＝
m
5
sin5
/ 6
5 1
10A
2
I I m 7.07A 2
3.2 正弦量的相量表示法
复数及四则运算
1.复数 在数学中常用A=a+bi表示复数。其中a为实部, b为虚部,
i 1 称为虚单位。在电工技术中, 为区别于电流的符
号, 虚单位常用j表示。 ＋j
3
A
O
确定φ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点
i i1＝Imsint
i i2＝Imsin(t＋ 2)
i i3＝Imsin(t＋ 6)
i
i4＝Imsin(t－
6)
0
t 0
t 0
t 0
t
2
6
6
3.2 正弦量的相量表示法
所以：i sin(t 30 ) sin(t 150 )
3、 = 2–1=90°正交
(1)用相量图叠加
如： i1 =3sin(ωt +30°) i2 =4sin(ωt +120°)
求和
则： Im= Im12 + Im22 = 5
θ =arctan(对边/邻边) = 53°
(本例）=1+θ =83° i=5sin(ωt+83°)
现有复数A =|A| e j
相量图
A
+1
若令：A• j =|A| e j ·e j 90° 则有：A• j = |A|e j ( + 90°)
由此知，A j使A逆时针旋转90°
相量图 Aj
90°
A
同理， A（- j）使A顺时针旋转90° 故：复平面中，j 是旋转90°的算子符。
+1
接3.3
4.复数的极坐标形式 A = A
复数的四种表示形式，是相量表示法的基础。
3.2.2 正弦量的相量表示法 +j
一、正弦量的相量表示法
b(t)
若，令复数A绕原点， 以ω的角速度、 逆时针方向旋转，
A
ω
A ωt
+1
则，任何时刻(t)，其虚部的表达式为：
b(t)=|A|sin(ωt +)
形式完全相同
i(t)=Imsin(ωt +)
但当由相量式写解析式时，必须将频率写入。
三、相量表示法举例 例1. i=5 2 sin(ωt+30 °) 极大值相量式： Im=5 2∠30° 有效值相量式： I =5∠30°
相量图
5 Iω
30°
+1
正弦量的相量表示
b| A| sinθ
图解法
复数运算
Im
(1)加减运算——采用代数形式
A2
若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2
0
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
则: A 1A 2A 1ej1A 2ej2A 1A 2ej(12)
等于初相位之差
规定： |j | (180°)。
• j >0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
O
wt
yuyi
j
• j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
j = (180o ) ，反相：
j ＝ 0， 同相：
u (t)u 1(t)u 2(t)R e( 2U •1ejwt)R e( 2U •2ejwt)
R e( 2U •1ejwt2U •2ejwt)R e( 2(U •1U •2)ejwt)
可得其相量关系为： U U 1U 2 U
故同频正弦量相加减运算变 成对应相量的相加减运算。
i1 i2 = i3
也可借助相量图计算
Im U2
U
U1
41.9
30 60
Re
首尾相接
U
Im
U2
U1
60
41.9
30
Re
2 . 正弦量的微分，积分运算
wy y i 2 I co t s i) (I I i
微分运算:
di d Re 2 Ie jw t
正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法在物理学中，正弦量（sine wave）是一种振荡量，它可以以普遍的正弦函数的形式来表示。
它往往用来表示物理或数学模型中的规律性或周期性变化，因此拥有在物理研究中重要的应用价值。
正弦量也是数字信号处理、生物科技、通信和声学中的重要组成部分。
正弦量的相量（phasor）表示法是对正弦量的一种数学表示方式，用一个复数来表示整个正弦波的大小和相位（即时间延迟）。
正弦量的复数表示法可以将其分解成两个部分，一部分用有理解题目中提到的正弦量的大小（模）来表示，另一部分用相应的正弦量的角度（相角）来表示。
弦量的相量表示法可以用工程学中常见的极坐标和/或复平面形式来表示，可以用曲线图和/或数字示意来表示。
正弦量的相量表示法的基本原理是用一个复数来表示正弦量的实部和虚部，采用极坐标和/或复平面形式来表示。
在极坐标中，我们可以用极径（r）和极角（θ）来表示正弦量：在极坐标中，极径表示正弦量的大小，而极角表示正弦量的相位。
在复平面上，我们可以采用复数的形式来表示正弦量，即复数z的实部和虚部：在复平面上，复数的实部表示正弦量的大小，而复数的虚部表示正弦量的角度。
正弦量的相量表示法有几个优点。
首先，正弦量的相量表示法可以用数字的形式来精确地表示正弦量的相位。
其次，正弦量的相量表示法可以用复数的形式来精确表示正弦量的大小。
最后，正弦量的相量表示法使得正弦量的数学操作变得简单、高效。
正弦量的相量表示法在很多情况下都有重要的应用价值。
例如，在电机控制中，正弦量的相量表示法可以用来描述电机的运动，以及与其相关的特性，如频率、相位和相应的电压、功率等。
此外，正弦量的相量表示法在电子学的元件分析和模拟中也有广泛的应用价值。
由于正弦量的相量表示法的众多优点，在现今的工程学研究中，它得到了越来越广泛的应用。
正弦量的相量表示法为物理学、数字信号处理、生物科技、通信和声学等领域的研究提供了一种新的模型来建立物理模型和模拟信号运行行为，从而改善现有系统的性能。
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※虚单位 j 的数学意义和物理意义
• j= • j×j = j 2 = e j90°× e j90° = e j180°= –1 e j90°
j2 –1 o j3 j
jy
1
j4 x
即
•同理
j 1
–j
j j
3
及
j 1
4
由此，可认为虚单位 j 是复平面上角度 为90°的旋转因子。乘以 j 是向正方向 旋转90°；除以 j 是向负方向旋转90°。
=r/t+
可改写为 A= r e j e jt 其中 A= r e j 相当于初始值。 与前面讨论的复数表示法一致。
通过上面讨论可知 动点A(复数)坐标的为 A(t)=r cos (t+) + j r sin(t+) jy
= r e j(t+) = r / t+
正弦量 u = Um sin(t+) ψ A x
(I1m cos1 I 2m cos 2 ) sint (I1m sin1 I 2m sin 2 ) cost
两个同频率正弦量相加仍得到一个正弦量， 设此正弦量为 则
i I m sin( t ) I m cos sin t I m sin cos t
1
2
I1m sin 1 I 2m sin 2 arctg ( ) I1m cos 1 I 2m cos 2
由此，代入数据I m1=100A, I m2=60A, 1=45,2= –30 则 2 2 2 2
故得
I m (70.7 52) (70.7 30) 122.7 40.7 129A 70.7 30 arctg ( ) 1820 70.7 52
相量表示法
• 用相量表示正弦量，其基础是用复数表示正弦量。
在复数平面建立直角坐标系OX为 实轴、OY为虚轴。 设在复平面上一复数A(a,b). 在直角坐标系上可表示为. jy A a
b
A = a + jb
用极坐标系则表示为.
0
x
变换关系为：
A=r/ r
a2 b2
b arctg a
复数量 A= r( cos + j sin )
0
A = r e j
至此，定义用复平面上的静止量(复数)表示正弦 量，记为 j U m U m e (幅值电压相量) 或 Ue j (有效值电压相量) U
※ 幅值相量与瞬时值之间的关系
• 旋转相量： A=r cos (t+) + j r sin(t+) = r e j(t+) = r t + • 相量(复数)： A= r( cos + jsin) = r e j • 交流电瞬时值：u = Um sin( t+) •将相量(r e j )乘上一个时间因子(e j t)， 得到复数圆的轨迹，对其取虚部的结果就 是正弦量的瞬时值。
例 试写出表示uA=220 2 sin314t V, 题 uB=220 2 sin(314t–120º ) V, 3-3 uC=220 2 sin(314t+120º ) V, 的相量，并画出相量图。 C 表示uA、 uB和uC A U B U 解 分别用有效值相量 U
则
A 220 / 0 220V U 1 3 U B 220 / 120 220 ( jБайду номын сангаас)V 2 2 1 3 UC 220 / 120 220( j )V 2 2
a r cos 或： b r sin
代入后，可得 考虑欧拉公式：
A=r (cos + j sin )
e e sin 2j A = r e j
j j
e e cos 2
可改写为：
j
j
jy
b
A a
也可简记为：
A=r
0
x
•由此可得到复数的三种表示法，即直 角坐标式、指数式及极坐标式，三者可以互换。 •其中直角坐标式便于进行加减运算、指数式及 极坐标式便于进行乘除运算。
现令有向线段OA绕原点O以角速度ω作逆时针旋 转，可得A点在纵轴上的投影坐标为 jy y = |OA| sin ( t+ ) A y 比较正弦电压 u = Um sin ( t+ )
A点的轨迹在复平面上的位 置用复数可表示为：
0
x
A= r [cos( t+)+j sin( t+)] = r e j( t+ )
它们的相量图为：(右图)
C U
120 120
A U
B U
• 对如图电路，设 i1 I1m sin( t 1) 100 sin( t 45) A
i 2 I 2m sin( t 2 ) 60 sin( t 30) A
试求总电流 i 。
例3-4
I m cos I1m cos 1 I 2m cos 2 I m sin I1m sin 1 I 2m sin 2
i i2
因此，总电流 i 的幅值为
I m (I1m cos 1 I 2m cos 2 ) 2 (I1m sin 1 I 2m sin 2 ) 2
i i2
i1
解
本题可用几种方法求解计算。
i i1 i 2 I1m sin ( t 1 ) I 2m sin ( t 2 )
1. 用三 I (sint cos cost sin ) 1m 1 1 角函数 式 求 解 I 2m (sint cos 2 cost sin 2)
i 129 sin(t 1820) A
2. 用正弦波求解
i
129sin (t–18.3)
0
60sin (t–30)
t
100sin (t+45)
2. 用相量图求解
45° 18.3° 30°
总电流 i 的初相位为
i1
1
2
I1m sin 1 I 2m sin 2 arctg ( ) I1m cos 1 I 2m cos 2
I m (I1m cos 1 I 2m cos 2 )
2 2
(I1m sin 1 I 2m sin 2 )