算法与程序框图教案(高一数学)

第一章 算法初步 §1.1 算法与程序框图

【入门向导】

“孙子问题”最早出现在我国《算经十书》之一的《孙子算经》中．其原文是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？答曰：二十三”．意思是说：今有一些事物，不知道它的数目，三个三个地数它们剩余二个，五个五个地数它们剩余三个，七个七个地数它们剩余二个，问这些事物的数目是多少？

“孙子问题”相当于求关于x ，y ，z 的不定方程组⎩⎪⎨⎪

⎧

m ＝3x ＋2

m ＝5y ＋3

m ＝7z ＋2

的正整数解．

《孙子算经》中给出了具体的解法，其步骤是：选定5×7的一个倍数，被3除余1，即70；选定3×7的一个倍数，被5除余1，即21；选定3×5的一个倍数，被7除余1，即15.然后按下式计算：m ＝70×2＋21×3＋15×2－105P .式中105为3,5,7的最小公倍数，P 为适当的整数，使得0

你能想出一种算法，利用计算机来解决上述问题吗？

1．对算法含义的理解 (1)算法是机械的

算法的设计要“面面俱到”不能省略任何一个小小的步骤，有时可能要进行大量重复计算，但只要按步骤一步一步地执行，总能得到结果．算法的这种机械化的特点，在设计出算法后，便于把具体过程交给计算机去完成．

(2)算法是普遍存在的

实际上处理任何问题都需要算法，如国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判标准，邮寄物品的相关手续，求一个二元一次方程组的解等等．

(3)求解某个具体问题的算法一般是不唯一的

算法实际上是解决问题的步骤和方法，求解问题的出发点不同，就会得到不同的算法．如求二元一次方程组的解有代入消元法和加减消元法，但不同的算法可能会有“优劣”之分．

例1 早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、

泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤．从下列选项中选出最好的一种流程( )

A ．1.洗脸刷牙、2.刷水壶、3.烧水、4.泡面、5.吃饭、6.听广播

B ．1.刷水壶、2.烧水同时洗脸刷牙、3.泡面、4.吃饭、5.听广播

C ．1.刷水壶、2.烧水同时洗脸刷牙、3.泡面、4.吃饭同时听广播

D ．1.吃饭同时听广播、2.泡面、3.烧水同时洗脸刷牙、4.刷水壶

分析 处理问题的算法要求能够一步一步地执行，好的算法还要花费时间少．

解析 A 中洗脸刷牙可以在烧水的过程中进行，听广播可以和吃饭同时进行；D 中吃饭要在刷水壶、烧水、泡面之后．

答案 C

2．算法与数学问题解法的区别与联系 (1)联系

算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系．如教材中由具体的二元一次方程组的求解过程(解法)出发，归纳出了二元一次方程组求解的步骤；同时指出，这样的求解步骤也适合有限制条件的二元一次方程组，这些步骤就构成了二元一次方程组的算法．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般算法解决．

(2)区别

算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也可理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．

例2 给出求解方程组⎩⎪⎨⎪⎧

2x ＋y ＝7. ①

4x ＋5y ＝11 ②

的一个算法．

解 方法一 (消元法)

S1 ②－①×2，得3y ＝－3，③ S2 解③得y ＝－1；④ S3 将④代入①，得x ＝4； S4 输出x ＝4，y ＝－1. 方法二 (公式法)

S1 计算D ＝2×5－4×1＝6； S2 因为D ＝6，所以

x ＝5×7－11×16＝4，y ＝11×2－7×4

6＝－1； S3 输出x ＝4，y ＝－1.

点评本题中的方法二，直接利用高斯消去法的算法步骤，显得更为简捷．3．程序框图

(1)与自然语言相比用程序框图表示算法的优越性

用自然语言表示算法的步骤有明确的顺序性，但在处理条件结构或循环结构这样的问题时比较困难，不够直观、准确．程序框图是表示算法的另一种形式，它的结构清晰，步骤准确，有时能解决自然语言不易表达的问题．

(2)画程序框图的规则

画程序框图的规则应是大家共同遵守的一些规则，目的是为了使大家彼此之间能读懂各自画的框图．

①使用标准的框图符号；

②框图一般按从上到下，从左到右的方向来画；

③除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一个退出点的符号；

④在图形符号内描述语言要简练、清楚．

例3已知圆的半径，设计一个算法求圆的周长和面积的近似值，并用程序框图表示．

分析解答本题可由圆的周长公式和面积公式直接求解，其中圆的半径可由算法输入．

解算法设计：S1输入圆的半径R.

S2计算L＝2πR.

S3计算S＝πR2.

S4输出L和S.

程序框图：

1．算法的确定性理解不到位

例1求2＋4＋6＋8＋…＋100的算法．

错解 算法：

S1 计算2＋4＋6＋8＋…＋100； S2 输出第一步中的结果．

错解辨析 对于连加连乘的问题，不能直接得到答案，应当逐步进行. 正解 算法：

S1 计算2＋4得到6；

S2 将第一步的结果与6相加得到12； S3 将第二步的结果与8相加得到20； S4 如此继续下去，一直加到100；

S5 输出运算结果．

2．程序框图中循环结构功能、条件出错

例2 如图所示是某一算法的程序框图，根据该框图指出这一算法的功能．

错解 求S ＝12＋14＋16＋18＋1

10的值．

正解 在该程序框图中，S 与n 为两个累加变量，k 为计数变量，所以该算

法的功能是求12＋14＋16＋…＋1

20的值.

1．按部就班法

此法是基本方法，要求按问题的解题步骤“按部就班”地做，每一步都有唯一的结果，且在有限步之后得出结果．

例1 写出作∠ABC 的平分线的一个算法．