《连续体力学》习题及解答4分析

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4 守恒定律 应力 场方程

(一) 概念、理论和公式提要

4-1 质量守恒定律

物体)()(B M B M B ，所包含的质量记作只与物体有关，与物体的变形运动无关。假定质量在物体内是连续分布的，不存在集中质量；当物体的体积趋于零时，0)(≥B M 。

物体的质量)(B M 是与观察者无关的客观的量。从以上关于)(B M 的特性，应有

0)(d d

=B M t

(4-1-1) 这是质量守恒质量的总体形式。又有

v

M

t v △△，△0lim )(→=x ρ (4-1-2)

⎰

=)

(d )()(t K v t B M ，x ρ (4-1-3)

)()(B M t K B 则于内的质量密度或密度。在构形是物体ρ与构形无关，即

⎰

⎰=)

(00

d )(d )(t K K V t v t ，，X x ρρ (4-1-4)

V K V K d d 0000和内体元的体积。显然是内的密度，是物质在ρρ都独立于时间。式(4-1-4)对任意大小的构形都成立，于是可以引出

00d d ρρρρ==J V v 或

， (4-1-5)

上式是质量守恒定律的局部形式，称为Lagrange 连续性方程。

对式(4-1-5)求物质导数，可得

0div =+v ρρ

& (4-1-6) 上式是质量守恒定律的动力局部形式，称为Euler 连续性方程。

4-2 体积分的时间导数 输运定理

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(1) 设ψ为单位质量所具有(或携带)的力学(热学)量，)(t K 为ρ内的质量密度，则⎰

)

(d t R v ρψ是区域))((R t R 以下简记为内所包含的总力学量。时间变化，

R 及、ψρ都变化。此处所谓体积分的时间导数是R 内所包含的总力学量的时间变率。这个变率有两种不同的情况。

如果区域的边界R ∂是物质边界，即位在R ∂上的质点始终不变，从而R 内的总质量不变，称这类体积分的时间导数为体积分的物质时间导数，简称为体

积分的物质导数，记作⎰⎰•

R R v v t )d (d D D ρψρψ或，边界的运动速度等于边界上 质点的速度。

如果区域R R ∂的边界是空间边界，位在边界上的质点不总在边界上，从而

R 内的总质量不固定或不守恒；边界的运动速度g 正交于边界，n g g =，它不 等于边界上质点的速度v 。称此类体积分的时间导数为体积分的空间时间导数，

简称为体积分的空间导数，记作⎰R

v t d d d

ρψ。两种时间导数有如下的关系

⎰⎰⎰∂-+=R R

R s v t v t d ])([d D D

d d d n v g ρψρψρψ (4-2-1) 式中横线表示先将n v g 与中的)(][-点乘。

(2) 输运定理 体积分的物质导数对应于物体或其任何部分所占区域R 内包含的质量不变，即有V v d d 0ρρ=。于是可证 ⎰⎰=R R v v t d d D D

ψρρψ& (4-2-2) 上式称为输运定理；其适用条件为：R 内的质量守恒，R 在及ψρ内连续，以及被积函数具有形式ρψ。

4-3 应力张量

(1) 应力矢 Cauchy 应力张量 变形体内任一点处方向n 上的应力矢为

s s v △△△△p

p n 0

0)(lim

→→= (4-3-1)

此处认为变形体内任一物质面元上所传递的内力可合成一合力，这一看法或假

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定设称为Euler-Cauchy 应力原理，它适用于非极性物质。按此原理定义的应力称为Cauchy 应力。

假定在给定点处任一方向n p n p n n n 是的函数，并可证明只是上的应力矢)()(的线性矢量值张量函数，从而有

n T p n ⋅=)( (4-3-2)

n x T T 是与)(=无关的Euler 型二阶张量，称为Cauchy 应力张量，其分量式为

j i ij T e e T ⊗=

或者按一般习惯，记ij ij T σ为。Cauchy 应力是实际存在于t K 内的应力，一般地它是t ，x 的函数。将后可以证明，对于非极性物质，T 是对称张量。 (2) Pila-Kirchhoff 应力张量 Cauchy 应力是实际存在于t K 内的应力。有时，我们要在0K 内讨论问题，为此要导出0K 内与Cauchy 应力等价的应力。记此等价应力张量为∏，等价的条件是0K 内面元A d 的内力A d d )(N A p n ∏=等于

内该t K 面元上的内力a a d d )(Tn p n =，根据式(3-2-30)A F a d d 1

-=T

J ，可以导出

1-=T

J F T ∏

∏是不对称的两点张量，称为第一Piola-Kirchhoff 应力张量或Piola 应力张量。

有些作者将S 称为名义应力，记作T ∏

T F S 1

-==J T

∏

(4-3-4)

为了得到0K 内对称的应力张量，取

11

1

---==T

J F T F F ∏∑ (4-3-5)

∑是对称的Lagrange 型张量，称为第二Pila-Kirchhoff 应力张量或Pila-Kirchhoff 应力张量。记

T T

J =ˆ (4-3-6) T

ˆ称为Kirchhoff 应力张量。由于∏∑是对称张量，所以应满足 1

1

--=T

T

F F ∏∏ (4-3-7)

T

S T ˆ及、、、∑∏是文献中常用到的，用以量度应力状态的应力张量。

4-4 动量守恒定律

(1) 线动量守恒定律常称为动量守恒定律，它可陈述为：系统的总动量的