第六章 二次型
二次型
例 6.2 二次型 f (x1, x2 , x3) = (x1 + x2 )2 + (x2 − x3)2 + (x3 + x1)2 ，求该二次型的秩。 【解答】
令 y1 = x1 + x2 ， y2 = x2 − x3 ， x3 = y3 ，则 x1 + x3 = y1 − y2 ，
f
( x1 ,
x2 ,
这样得到的矩阵记为 A1。 ② 如果 A1的第 2 列为零，这步跳过。
如果 A 的第 2 列非零。 (a) 如果 A 的第 2 列主对角元非零，则用初等行变换将主对角元以下元素全消为 零，做对应的初等列变换，将主对角元右边的元素全消为零。 (b) 如果 A 的第 2 列主对角元为零，在该列中寻找一个非零分量，例如，第 i 个， 将第 i 行加到第 2 行，将第 i 列加到第 2 列。(当然，也可以第 2 行减第 i 行，第 2 列 减第 i 列) 再用(a)中的步骤消元。 ③ 和前面一样的办法，一直做下去，直到得到对角阵为止。
只含平方项的二次型
f (x) = λ1x12 + λ2 x22 +" + λn xn2 称为标准二次型，简称标准形，其正平方项的个数称为正惯性指数，负平方项的 个数称为负惯性指数。正负惯性指数之和等于该二次型的秩。
特别地，若平方项的系数只有1, −1, 0 ，称这样的为规范形。
(2) 化二次型为其标准形 任何一个二次型都可以通过合同变换化为标准形。化二次型为标准形的方法
至于用于合同变换的矩阵 P ，也是简单易求的：将 A, E 写成分块矩阵的形
式：( A, E) ，对左边一块进行初等行变换时，对右边的也一起进行，对左边进行
88
二次型
dp d p 1
x 1 x2 xn d n
二次型的矩阵表示
f ( x，y ) ax 2bxy cy
2 2
a b x x y b c y
二次型的矩阵表示
f ( x1，x2， ，xn )
x x
2 1 2 2
x x
2 p
2 p 1
x
2 n
最简单情形：（必要时交换变量的次序）
f ( x1，x2， ，xn )
x x
2 1 2 2
x x
2 p
2 p 1
x
2 n
称之为规范形； p q=n-p 正惯性指数； 负惯性指数。
Q AQ diag (1，2， ，n )
T
Q (1 2
n )
回顾：设 A 为对称矩阵，特征值为 λi，i=1，
2，…，n，αi 为 λi 的单位正交特征向量，则
Q AQ diag (1，2， ，n )
T
Q (1 2
1
n )
定理：设 A 为对称矩阵，特征值为 λi，i=1，
二次型分类：正定、负定、不定。 若二次型 f (x) = xTAx 正定 (负定、不定)，则 称对称矩阵 A 正定 (负定、不定)。
正定二次型
性质：正定(相应地，负定)二次型 f (x) = xTAx 经非退化 (也称作非奇异、可逆) 线性变换仍
正定 (相应地，负定)。 即：若矩阵 P 可逆，x = Py，则二次型
-3 - 1 5
正定二次型
例3：求二次型 f (x) = xTAx 的标准形，其中
5 -3 3 - 3
第六章 二次型
定义2：设A,B为n阶方阵，若存在可逆方阵C，使得
CTAC=B 则称方阵A与方阵B合同，记做A∽B
合同矩阵必相似，但相似不一定合同。
性质： （1）反身性：A∽A
（Hale Waihona Puke ）对称性：若A∽B,则B∽A（3）传递性：若A∽B，B∽C,则若A∽C
8
定理1： 若A与B合同且A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，且R(A)=R(B).
2 2 2 那么上式就变为f d 1 y1 d 2 y2 ... d n yn
上面的问题就转化为：
求一个正交矩阵 , 使得Q T AQ ,即 Q 将f ( x ) X T AX标准化 求正交矩阵Q将实对称矩阵 对角化 A
7
由前章的内容知，任意实对称矩阵A,一定存在正交矩阵Q，使 QTAQ=，因而实二次型f (x)=XTAX一定可以化为标准型。
例1：将二次型写成矩阵形式
2 2 2 f ( x) 2 x1 3 x2 x3 4 x1 x2 10x2 x3
通常，称二次型
2 2 2 f x1 , x 2 ,... x n d 1 x1 d 2 x 2 ... d n x n
d1 X T X (
4
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( x1 , x 2 ,..., x n ) .......... .......... .......... .. a x a x ... a x n2 2 nn n n1 1 a11 a12 ... a1n x1 a 21 a 22 ... a 2 n x 2 x1 , x 2 ,..., x n ... ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn x n 令 a11 a 21 A ... a n1 则 a12 a 22 ... an2 ... a1n x1 ... a 2 n x2 , x ... ... ... x ... a nn n
二次型
第六章 二次型§1. 二次型的定义二次型就是一个二次齐次多项式，其来源是平面解析几何中的有心二次曲线和空间解析几何中的二次曲面。
一个系数取自数域F 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式：=),,,(21n x x x f n n x x a x x a x x a x a 11311321122111222++++n n x x a x x a x x a x a 22422432232222222+++++ 2n nn x a ++称为数域F 上的一个n 元二次型，简称二次型。
令ji ij a a =，则上述二次型可以写成对称的形式： =),,,(21n x x x f ∑∑==n i nj j i ijx x a11把上式的系数排成一个n 阶方阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a aa a a A 212222111211称这矩阵为二次型),,,(21n x x x f 的矩阵。
由于ji ij a a =，所以矩阵A 是对称矩阵，因此二次型的矩阵都是对称的。
由此二次型可以写成矩阵的形式： AX X x x x f T n =),,,(21 式中()Tn x x x X ,,,21 =。
定理1：若A 、B 为n 阶对称方阵，且AX X T BX X T =，则A=B 。
这定理说明二次型和它的矩阵是相互唯一确定的。
例1：设23322221213214422),,(x x x x x x x x x x f ++++=，则它的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=420221011A例2：设323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=，则它的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011102120A例3：设二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=031331111A ，则对应的二次型为：32223121213216322),,(x x x x x x x x x x x f --+-= 和在几何中一样，在处理许多其它问题时也经常希望通过变量的线性替换来简化有关的二次型。
第六章_二次型简介
2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
23
从而得特征值 2．求特征向量
1 9, 2 3 18.
1 (1 2,1,1)T . 将2 3 18代入 A E x 0, 得基础解系 T T 2 ( 2,1,0) , 3 ( 2,0,1) .
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 a12 a1n x1 x a22 a2 n 2 an 2 ann xn
7
a11 a 令 A 21 a n1
11
－2 A 例2：求对称矩阵 A 所对应的二次型。 3 1 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 解：
1 3 2 1 0 0 －1
2 x x x 2 3 x1 x2 x1 x3
2 1 2 2 2 3
例3：已知二次型 f 的秩为2，求参数c。
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
x1 x2 X xn
则 f X T AX
二次型的矩阵表示
其中 A 为对称矩阵。
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 3 x3 2 4 x1 x2 x2 x3 例如：二次型
1 -2 ( x1 , x2 , x3 ) -2 0 1 0 2 0 x1 1 x2 2 x3 -3 8
在二次型的矩阵表示中， 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型． 这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
第六章二次型
第六章-二次型————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ第六章 二次型二次型就是二次齐次多项式,它的研究起源于解析几何中化二次曲线与二次曲面方程为标准形式的问题。
不仅在几何中,而且在数学的其它分支及物理、力学和网络计算中也常会碰到二次型问题。
在本章中,我们将利用矩阵工具讨论二次型的化简、惯性定理及正定二次型等基本理论。
§1 二次型定义１ n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式nn n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121222),,,(++++=+nn x x a x x a x a 223223222222++++…+)1.1(2nnn x a称为一个ｎ元二次型, 简称二次型。
当所有系数ij a 为复数时,f 称为复二次型;当ij a 都为实数时, f 称为实二次型。
本章中只讨论实二次型。
取ji a ＝ij a (n j i j i ,,2,1,, =<）则有i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2从而(1.1）式可写成∑==nj i j i ijn x x ax x x f 1,21),,,(＝n n x x a x x a x a 1121122111+++ n n x x a x a x x a 2222221221++++ ＋ (2)2211n nn n n n n x a x x a x x a ++++=)(12121111n n x a x a x a x +++ )(22221212n n x a x a x a x +++++…)(2211n nn n n n x a x a x a x ++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x22112222121121211121),,,( ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2121222211121121),,,( 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n n n n x x x X a a a a a a a a a A21212222111211则用矩阵将二次型(1．1)可写成AX X x x x f n '=),,,(21 (1.２) 其中n n ij a A ⨯=)(为实对称矩阵,它的主对角线元素ii a 是二次型),,,(21n x x x f 中平方项2i x 的系数, 其余元素)(j i a a jiij ≠= 正是f 中交叉项j i x x 系数的一半。
第六章 二次型
a12 = a21 1 ∴ A = 2 0
= 2, a13 = a 31 = 0 , a 23 = a 32 = −3. 2 0 2 − 3 . − 3 − 3
1 2 0 x1 f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 , x2 , x3 ) 2 2 −3 x2 = X T AX 0 −3 −3 x 3
称 x1, x2,⋯ xn的 个 二 型 为 , 一 n元 次
实 次 ： 数 ij为 数 二 型 简 二 型 二 型 系 a 实 的 次 ， 称 次
2 2 例：f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + 4 x2 + 5 x3 − 4 x1 x3 是二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3
第六章
二次型
第一节 二次型的概念 第二节 化二次型为标准型 第三节 第四节 惯性律、 惯性律、二次型的规范形 二次型的正定性
第一节 二次型的概念
定 6.1 义 n元 次 二 型
含 个 量 1, x2,⋯ xn的 次 次 项 n 变 x , 二 齐 多 式
2 f (x1, x2,⋯ xn ) = a11x1 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 +⋯+ 2a1nx1xn , 2 + a22x2 + 2a23x2x3 +⋯+ 2a2nx2xn 2 +⋯+ 2annxn
是二次型
令 aij = aji
(i < j)
2 a x1 + a12x1x2 +⋯+ a nx1xn 11 1 2 + a21x2x1 + a22x2 +⋯+ a2nx2xn
线性代数课件：第六章实二次型
目录 Contents
• 实二次型的定义与性质 • 实二次型的标准型 • 实二次型的正定性 • 实二次型与矩阵的关系 • 实二次型的几何意义
01
实二次型的定义与性质
定义
实二次型
对于一个实数域上的线性空间V，如果存在一个由V上的线性函数f组成的双线 性函数Q，使得对于V中的任意元素x和y，有Q(x,y)=f(x)*f(y)，则称Q为V上的 一个实二次型。
实二次型的正定性的应用
判断矩阵的正定性
通过判断矩阵对应的二次型是否正定，可以确定矩阵的正定性。
判断向量组的线性无关性
如果一个向量组在正定二次型下线性无关，则该向量组一定是线性 无关的。
优化问题
在优化问题中，正定二次型常常被用作目标函数的约束条件，以保 证优化问题的解是唯一的。
04
实二次型与矩阵的关系
实二次型的性质
实二次型的矩阵表示
实二次型可以表示为一个矩阵和向量 的乘积，其中矩阵是二次型中各项系 数的矩阵，向量是变量构成的向量。
实二次型具有对称性，即对于任意两 个变量x和y，x和y的系数相等。
实二次型的标准型转换
线性变换
通过线性变换可以将实二次型转 换为标准型。线性变换是通过一 个可逆矩阵左乘原二次型矩阵得
二次型的矩阵表示
对于任意向量x=[x1,x2,...,xn]^T，如果将f(x)表示为矩阵A与向量x的乘积形式 f(x)=Ax，那么二次型Q(x,y)可以表示为Q(x,y)=x^TAy。
性质
实对称性
实二次型总是实对称的，即对于 任意向量x和y，有Q(x,y)=Q(y,x)
。
正定性
如果对于所有的非零向量x，都有 Q(x,x)>0，则称实二次型为正定的 。
第六章 二次型
则
2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi
于是可将二次型（4）写成
6.1 二次型及其矩阵表示
或写成 其中
f (x1, x2 , , xn ) x1 (a11x1 a12 x2 a1n xn )
x2 (a21x1 a22 x2 a2n xn )
)
，
nn
x
x2 x
（3） （4）
6.1 二次型及其矩阵表示
因为当i j 时有aij a j，i 所以 A 为对称矩阵. 称（4）式为二次型f(x ) f
(x1,x 2, ,x n ) 的矩阵表示式，对称矩阵A则称为二次型 f (x) 的矩阵.
容易看出，a
ii
是
x
2 i
项的系数，aij
a ji（当 i
B CT AC
则称矩阵 A 与B是合同的.
6.2 二次型的标准形
合同是矩阵之间的关系，容易看出，合同关系具有以下性质：
（i）反身性：每个方阵与自己合同.
（ii）对称性：如果矩阵A与 B 合同，则矩阵B与A也合同.
（iii）传递性：如果矩阵A与B 合同，且B与C合同，则矩阵A与 C 合同.
事实上，（i）因为有 A ET AE，所以反身性成立.
6.1 二次型及其矩阵表示
6.1.1 二次型的定义
在解析几何中，为了便于研究二次曲线
ax2 2bxy cy 2 1
（1）
的几何性质，我们可以选择适当的坐标旋转变换
x xcos ysin
y
x s in
yc
os
把方程化为标准方程
1x2 2 y2 1
从而判定曲线的类型，研究曲线的性质.
别 地 ， 如 果 矩 阵C 为 正 交 矩 阵 ， 则 （ 1 ） 式 就 称 为 正 交 的 线 性 替 换 .
第六章 二次型
解： （1）写出二次型的矩阵
理学院田宝玉
(第 4 页/共 11 页)
第六章
二次型
⎛ 1 − 2 − 4⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 2 4 − 2⎟ ⎜− 4 − 2 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ λ1 ⎜ ⎜ T （2）求正交矩阵 P ，使得 P AP = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
λ2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ λn ⎟ ⎠
易验证，这是一个可逆线性变换，其逆变换为
⎛1 ⎜ ⎜0 ，记 P = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
1 −1 1 1 0 1 0 0
0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎠
2 2 2 则二次型经过可逆变换 x = Py ，有 f = y12 − 2 y2 − y3 − y4 .
例 2．用配方法化二次型
f = −2 x1 x 2 + 2 x1 x3 + 2 x 2 x3 为标准形，并写出所用变换矩阵.
f ( x1 , x2 ,
, xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 +
2 a22 x2 +
+ 2a1n x1 xn + + 2a2 n x2 xn +
2 + ann xn
（6.1.1）
称为含变量 x1 , x 2 ,
, x n 的二次型， aij (i < j ) 为常数.
2 如： f ( x1 , x 2 , x3 ) = x12 + 3x 2 + 2 x1 x 2 + 5 x1 x3（未出现交叉项 x 2 x3 ，可以认为其系
数为 0，不能有一次项和常数项） 为研究方便，引进矩阵来表示二次型. 令 aij = a ji ，则 2aij xi x j = aij xi x j + a ji x j xi ， （6.1.1）可写为
第六章 二次型
第六章 二次型·矩阵的合同§1 二次型和它的标准形二次型是二次曲线和二次曲面概念的推广。
如22341x xy y -+= 代表平面内的一条二次曲线；22244841x y z xy xz yz ++---= 代表三维空间内的一张二次曲面。
它们都有一个共同的特点: 就是除了常数项外，其余各 项的次数都是2，都是二次项。
一般地，将变元的个数从2个、3个推广到n 个就有1. 二次型的定义 系数在数域K 中取值的n 个变元12,,,n x x x 的一个二次齐次多项式，称为数域K 上的一个元二次型。
它的一般形式是2121111212131311(,,,)222n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++2222223232222.n n nn n a x a x x a x x a x ++++++ （1）2. 二次型的矩阵 （1）式可以写成如下形式 2121111212131311(,,,)n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++22121222232322n n a x x a x a x x a x x ++++++2112233n n n n n n nn n a x x a x x a x x a x +++++11nnij i j i j a x x ===∑∑，（2）其中 ,1,.ji ij a a i j n =≤≤把（2）式中的系数排成一个n 阶矩阵A （注意ji ij a a =）：1112112222122n n nsn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 称A 为二次型1211(,,,)nnn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的矩阵。
二次型的矩阵是一个对称矩阵，它由二次型唯一决定：它的主对角元依次是22212,,,n x x x 的系数；它的(,)i j 元素是i j x x 的系数的一半，其中i j ≠。
第六章二次型
第六章二次型6.1二次型的概念及其标准型 6.1.1二次型的概念n n(1)含有n个变量X1,X2,…，X n的二次齐次多项式：f(X1,X2,…，X n )=2送a j X j X j，7 y其中a j =aji，则称为n元二次型.⑵二次型的矩阵形式为f(X1,X2,…，X n )=X T A X，其中X =(X1,X2,…,X n J , A是n阶实对称矩阵.⑶ 矩阵A的秩r(A称为二次型f的秩，记作r(f ).6.1.2二次型的标准形(1)标准形的概念如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项 XjXjU H j)的系数全为零，即:T 2 2 2f(X1,X2,…，X n )=x Ax^dx + d2X2 屮…+d n X n，其中 dj(i=O,1,…，n)为实数,则称这样的二次型为标准形.(2)标准形的惯性指数在标准形中，正平方项的个数P称为正惯性指数；负平方项的个数q称为负惯性指数.(3)二次型的标准形转化任意的n元二次型x T Ax都可以通过坐标变换X = Cy ( C 是可逆矩阵)化为标准形，即：X T Ax^=Cy(Cy T A(Cy )= y T(C T AC k = y T A y =4』1+d2y2 中…^皿.注：特别地，存在正交矩阵C，二次型x T Ax可以通过正交变换x=Cy化为标准形，即：X T A X —(Cy T A(Cy )= yTQ’AC k = y T A y =人％+入2y2 屮"+几Pn，其中2,…入为矩阵A的特征值.6.1.3惯性定理实二次型的标准形中，非零平方项的个数是唯一确定的，它等于这个二次型矩阵 的秩；正平方项的个数（正惯性指数）或负平方项的个数（正惯性指数）也是唯一确 定的，即：实二次型的标准形的正负惯性指数与所选取的坐标变换无关 . 【例6.1】寻找适合的旋转变换，将椭圆5洛2-4x 4X 2 +5X 22 =48化为标准形式■解：根据题意有二次型矩阵为A =[: ：2 由于"E -A 卜y ；5 、2J=（几-3皿—7）=0，所以特征值为几1=3，心=7,2 A — 5 I所以得到特征向量为 旳=（1,1T ,单位化为必得到标准形为3y^ + 7y^ =48.2 2【例 6.2 】化二次型 f (x 1,x 2,X 3 )=2x 1 +x 2 -472 -4X 2X 3 为标准形. 解：方法1:正交变换法A 的特征值入 1 =4，S =1，為=-2，相应的单位特征向量为口1二丄心-?」『,3“知如宀中2,2）】对于几=3，由 |3E _Ax=0，|3E -A =|r-2 I 22 1~「-2 I = I -2」〔0 21 0」，对于入=7，由7E — A X = 0，7E - A J 2 口 [2 2 2」[0口 2 21，■ 0」，所以得到特征向量为。
第六章 二次型
线性代数
第6章 二次型
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
i 令 i , i 1,2,3, i
得
1 1 2 2
2 5 2 45 3 3 , 2 1 5 , 3 4 45 . 0 5 45 3
x n (a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n ) a11 x1 a12 x 2 a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n ( x1 , x 2 ,, x n ) a n 2 x 2 a nn x n a n 1 x1
2. 求出A的所有特征值1 , 2 ,, n ; 3. 求出对应于特征值的特征向量 1 , 2 ,, n ;
4. 将特征向量 1 , 2 ,, n正交化, 单位化, 得
1 , 2 ,, n , 记C 1 , 2 ,, n ;
2 2 f 1 y1 n y n .
a ij x i x j .
i , j 1
4 2013年8月7日12时57分
n
线性代数
第6章 二次型
2．用矩阵表示
2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n x1 (a11 x1 a12 x 2 a1n x n ) x 2 (a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 二 次 型I 考试大纲要求1、考试内容：二次型及其矩阵；标准二次型和规范二次型；二次型的秩；矩阵的合同变换和合同等价；惯性定理；用正交变换和配方法把二次型化为标准二次型；正定二次型和正定矩阵。
2、考试要求：1）掌握二次型及其矩阵，了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准化和规范化的概念以及惯性定理。
了解矩阵的合同变换和合同等价。
2）掌握用正交变换和配方法把二次型化为标准二次型的方法。
3）了解正定二次型和正定矩阵及其性质和判别法。
II 重要知识点一、二次型及其矩阵表示1、二次型的定义：以数域P 中的数为系数，关于n x x x ,,,21 的二次齐次多项式n n n n n n n nn n x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 113223112112222222111212222),,,(称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。
2、二次型的矩阵表示 设n 阶对称矩阵nn n nn n a a a a a a a a a A212221211211则n 元二次型可表示为下列矩阵形式：AX X x x x a a a a a aa a a x x x x x x f Tn nn n nn n n n212122212112112121),,,(),,,( 其中T n x x x X ),,,(21 。
对称矩阵A 称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。
矩阵A 的秩称为二次型),,,(21n x x x f 的秩。
二次型与非零对称矩阵一一对应。
即，给定一个二次型，则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之，给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵。
3、线性变换设n x x x ,,,21 和n y y y ,,,21 为两组变量，关系式nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 其中),,2,1,(n j i c ij 为实数域R (或复数域C )中的数，称为由n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 线性变换，简称线性变换。
线性变换的矩阵表示，设n 阶矩阵nn n n n n c c c c c c c c c C212222111211，则从n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 线性变换可表示为下列矩阵形式：CY X ，其中T n x x x X),,,(21 ，T n y y y Y ),,,(21 ，C 称为线性变换的系数矩阵。
1) 当0 C 时，线性变换CY X 称为可逆或非退化的线性变换。
2) 当C 是正交矩阵时，称CY X 为正交线性变换，简称正交变换。
3) 线性变换的乘法。
设Y C X 1 是由n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的非退化的线性变换，而Z C Y 2 是n y y y ,,,21 到n z z z ,,,21 的非退化的线性变换，则由n x x x ,,,21 到n z z z ,,,21 的非退化的线性变换为：Z C C X )(21 。
二次型AX X x x x f T n ),,,(21 经过非退化的线性变换CY X 化为BY Y x x x f T n ),,,(21 (其中AC C B T ) 是一个关于变量n y y y ,,,21 的二次型。
同时称二次型AX X x x x f T n ),,,(21 和二次型BY Y y y y g T n ),,,(21 等价。
4、矩阵的合同关系：对于数域P 上的两个n 阶矩阵A 和B ，如果存在可逆矩阵C ，使得AC C B T 则称A 和B 是合同的，记为B A 。
显然：二次型AX X x x x f T n ),,,(21 和二次型BY Y y y y g T n ),,,(21 等价与对称矩阵A 和B 合同等价。
合同关系性质： 1) 反身性：A A ；2) 对称性：B A ，则A B ；3) 传递性：B A ，且C B ，则C A 。
5、二次型的标准形1) 实数域R (或复数域C )上的任意一个二次型都可经过系数在实数域R (或复数域C )中的非退化线性变换化成平方和形式：2222211nn y d y d y d其中非零系数的个数唯一确定，等于该二次型的秩。
上述形式的二次型称为二次型的标准形。
实数域R (或复数域C )上的二次型AX X x x x f T n ),,,(21 化成标准形：2222211n n y d y d y d 等价于A 合同于对角形矩阵：n d d d21。
2) 任何对称矩阵都与一个对角矩阵合同。
例如：对于任意n 阶实对称矩阵A ，都存在n 阶正交矩阵Q ，使得n T AQ Q AQ Q211，i 是A 的特征值。
3）复二次型的规范形：任何复系数二次型都可经过复数域C 中的非退化线性变换Y C X 1 化成标准形：221222221100n r r r y y y d y d y d ，再经过非退化线性变换：111d y，221d y，rr d y 1,，11 r r z y ，n n z y , ，即：Z C z z z z z d d d y y y y y n r r rn r r 21212112111111化为最简形式平方和：22221r y y y ，其中r 唯一确定，等于该二次型的秩。
上述形式的二次型称为复二次型的规范形。
任何复数域C 上的对称矩阵都合同于一个形如：0011的对角矩阵，其中1的个数等于该矩阵的秩。
4）实二次型的规范形任何实系数二次型都可经过实数域R 中的非退化线性变换Y C X 1 化成标准形：),,2,1,0(0022122112222211r i d y y y d y d y d y d y d i n r r r p p p p ，再经过非退化线性变换：111d y，221d y，rr d y 1,，11 r r z y ，n n z y , ，即：Z C z z z z z d d d y y y y y n r r rn r r 21212112111111化成最简形式平方和：2222122221r p p p y y y y y y ，其中p 和r 唯一确定，r 为二次型的秩。
上述形式的实二次型称为实二次型的规范形，p (正平方项的个数)称为实二次型的正惯性指数，p r (负平方项的个数)称为实二次型的负惯性指数，r p p r p 2)(称为实二次型的符号差。
任何实数域R 上的对称矩阵都合同于一个形如：001111的对角矩阵，其中对角线上非零元素的个数等于矩阵的秩，1和1 的个数由对称矩阵唯一确定，1的个数就是它的正惯性指数，1 的个数就是它的负惯性指数。
6、利用正交变换化实二次型为标准形 设A 是n 阶实对称矩阵，按以下步骤进行： ① 解特征方程0 A E ，求出A 的全部特征值。
② 解齐次线性方程组0)(X A E ，求出基础解系，得到k 重特征值的k 个线性无关的特征向量。
③ 利用施密特正交化方法，使得属于k 重特征值的k 个线性无关向量组正交化，并使其单位化。
④ 将求得的n 个单位化正交特征向量组作为矩阵Q 的列向量，从而得到所需的正交矩阵Q 。
⑤ AQ Q 1 为对角矩阵，其对角元素为A 的全部实特征值，它们在对角矩阵的排列顺序，与其特征向量在Q 中的排列顺序一致。
对于二次型AXX f T，令QY X ，将二次型AX X f T 化成如下形式平方和：2222211n n y y y其中n ,,,21 为二次型的矩阵的全部特征值。
7、化二次型为标准形数域P 上的任一个二次型都可经过非退化的线性替换CY X 化为标准形，即：222221121)()()(),,,(n n T T T T T n y d y d y d BY Y Y AC C Y CY A CY AX X x x x f 。
二次型的标准形不是唯一的，而标准形中系数不为零和系数为正的平方项的个数都是唯一确定的。
化标准形的方法： 1) 配方法。
2) 初等变换法，其要点可简单表示为：C D E A 初等列变换其中A 为二次形的矩阵，D 为对角矩阵，其对角元素依次为n d d d ,,,21 。
注意，在初等变换过程中，作完一次列变换，紧接着作一次相应的行变换，这样一来，矩阵A 的对称性质始终保持不变。
当A 化为对角矩阵A 的同时，即可得到由变量n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的非退化线性变换系数矩阵C 。
于是当作线性变换CYX 时，则可使二次型AX X f T 化为标准形。
3) 正交变换法：先按上一章利用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法求得Q ，使AQ Q 1 为对角矩阵。
由于Q 为正交矩阵，T Q Q 1，所以同时使AQ Q T 为对角矩阵。
于是令正交变换QY X ，则二次型AX X T 化为标准形2222211)(n n T T y y y Y AQ Q Y ，其中n ,,,21 为二次型的矩阵的全部特征值。
化规范形的方法：1) 任一实二次型f 都可经过非退化线性变换)(21C C C CZ X ，化为规范形，即2212222121)()()(),,,(rp p R T T T T T n z z z z z Z Z Z AC C Z CZ A CZ AX X x x x f)(n r ，称p 为二次型的正惯性指数，p r 为二次型的负惯性指数。
任一实二次型的规范形是由二次型的秩与正惯性指数唯一确定的。
2) 任一复二次型都可经过非退化线性变换)(21C C C CZ X ，化为规范形，即：2222121)()()(),,,(r C T T T T T n z z z Z Z Z AC C Z CZ A CZ AX X x x x f )(n r ，任一复二次型的规范形是由其秩唯一确定的。
二、正定二次型和正定矩阵1、基本概念设实二次型),,,(21n x x x f ，如果对于任意一组不全为零的实数n x x x ,,,21 都有0),,,(21 n x x x f (或0 ，或0 ，或0 ，或符号不定)，则称二次型),,,(21n x x x f 为正定的(或负定的，或半正定的，或半负定的，或不定的)。
用矩阵形式表示上述定义：设A 为n 阶实对称矩阵，若对任意非零向量X ，都有0 AX X T (或0 ，或0 ，或0 ，或符号不定)，则称二次型AX X x x x f T n ),,,(21 为正定的(或负定的，或半正定的，或半负定的，或不定的)，其矩阵A 称为正定矩阵(或负定矩阵，或半正定矩阵，或半负定矩阵，或不定的矩阵)。