两点边值问题的有限差分法
有限差分法
有限差分法有限差分法（Finite Differential Method, FDM ）什么是有限差分法 有限差分法是指用泰勒技术展开式将变量的导数写成变量，在不同时间或空间点值的差分形式的方法。
按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖分成若干网格，用未知函数在网格结(节)点上的值所构成的差分近似代替所用偏微分方程中出现的各阶导数，从而把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数方程，然后解此线性代数方程组，以求出溶质在各网格结(节)点上不同时刻的浓度。
有限差分法的基本步骤（1）剖分渗流区，确定离散点。
将所研究的水动力弥散区域按某种几何形状(如矩形、任意多边形等)剖分成网络系统。
（2）建立水动力弥散问题的差分方程组。
（3）求解差分方程组。
采用各种迭代法，如点逐次超松驰方法(SOR)、线逐次超松驰方法(LSOR)、迭代的交替方向隐式方法(IADI)及强隐式方法(SID)等。
(1) 现在分别对时间（从0时刻到到期日）和股票价格（S max )为可达到的足够高的股票价格）进行分割，即\triangle S=S_{max}/M,\triangle T/N,这样就分别有N+1个时间段和M+1个股票价格，建立如图(所示的坐标方格，将定解区域网格化，坐标方格上的点（i,j ）对应时刻和股票价格，用变量f i ,j 表示（i,j ）点的期权价格。
2.建立差分格式（1）内含的有限差分方法其步骤可分为以下几步：(1)求前向差分近似:(2) 后向差分格式：(3)将(2),(3)式平均可更加对称地求出的近似，即(4)(2)求用前向差分近似：(5)(3)求(6)(4)将(4),(5),(6)式代入(1)式可得到内含有限差分公式：+ b j f i,j−c j f i,j + 1 = f i + 1,j(7)aj f i,j− 1其中：i=0,1,…，N-1。
j=0,1…，M-1针对看跌期权和看涨期权可分别求出方程的边界条件：看跌期权：看涨期权：(5)利用边界条件和(7)式可以给出M-1个联立方程组：+ b j f N− 1,j + c j f N− 1,j + 1j=1,2…，M-1aj f N− 1,j− 1求解这M-1个联立方程组即可以求出期权价格，但对美式看跌期权时我们必须考虑其提前执行的情况。
两点边值差分算法
while(scanf("%lf",&B)&&B&&n)
{
h=(B-A)/(n+1);
b[1]=(exp(A+1.5*h)+exp(A+0.5*h))/(h*h)+(A+h)*(A+h);
c[1]=2.0*(A+h)/h-exp(A+1.5*h)/(h*h);
n为10时最大误差：0.000937
误差2-范数e[0]：0.000696
输入划分区间的点数n(输入0结束程序）：
20
输入区间左端点的值A：
0
1
xi u(x)的准确值差分法得到的近似值u(i)误差err[i]
0.047619 1.048771 1.048961 0.000190
0.095238 1.099921 1.100161 0.000240
}
a[n]=-exp(A-0.5*h+n*h)/(h*h)-2*(A+n*h)/h;
b[n]=(exp(A+0.5*h+n*h)+exp(A-0.5*h+n*h))/(h*h)+(A+n*h)*(A+n*h);
f[1]=(h*h+(2.0*A+4.0)*h+A*A+4.0*A-2.0*exp(A+h))*exp(A+h)+
void catchup() //用追赶法解对角占优的三对角线方程组
有限差分法基本原理
流体力学
模拟流体在各种情况下的运动和传输现象， 如空气动力学、水力学等。
热传导
用于研究材料中的热传导现象，如传热设 备的设计和材料的热特性分析。
结构力学
分析结构中的应力、应变等力学性质，用 于优化结构设计和评估结构的稳定性。
电磁场
分析电磁场的分布和变化规律，用于电磁 波传播、电路设计等领域。
有限差分法的优缺点
有限差分法在实际工程中的应用
流体动力学
模拟流体在航空、航天等领 域的流动性能，评估气动设 计和分 析材料的热传导特性、预测 温度场的分布。
结构分析
评估结构的稳定性和强度， 优化结构设计，分析材料的 力学性能。
3 差分法程式
利用节点上的差分近 似替代连续的偏微分 方程，从而得到离散 的差分方程。
有限差分法的基本步骤
网格划分
将求解域划分为离散的节 点，构建求解网格。
边界条件
明确边界上的条件，用于 确定差分方程的边界值。
离散方程
利用节点上的差分近似， 将偏微分方程转化为离散 的差分方程。
有限差分法的应用领域
有限差分法基本原理
有限差分法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值逼近解。它通 过将连续的偏微分方程转化为差分方程，从而实现数值求解。
有限差分法的概述
1 定义
有限差分法是一种将 连续的偏微分方程离 散化为差分方程的数 值方法。
2 离散化
通过在网格上对偏微 分方程进行离散化， 将求解域划分为有限 个离散的节点。
隐式-显式格式
结合了显式和隐式格式的 优点，兼顾计算速度和稳 定性。
有限差分法的误差分析
1
稳定误差
2
主要由数值格式和边界条件的选择 引起，不会随网格精度改变而改变。
两点边值问题的有限差分法
学生实验报告实验课程名称偏微分方程数值解开课实验室数统学院学院数统年级2021专业班信计2班学生姓名学号开课时间2021 至2021学年第2学期数学与统计学院制开课学院、实验室：数统学院实验时间：2021年月日1,...,1i N =-，网点处准确解记为[]i u ，1,...,1i N =-。
然后计算相应的误差[]0max Ni i ci Ne u u <<=-，[]121N Ni i i e h u u -==-∑及收敛阶()2ln ln 2NNe e ，将计算结果填入第五局部的表格，并对表格中的结果进展解释？4. 将数值解和准确解画图显示，每种网格上的解画在一图。
三．实验原理、方法〔算法〕、步骤1. 差分格式：=-1/h^2(-()+)+()/2h+=A,2. 局部阶段误差： (u)=O(h^2)3.程序clear allN=10; a=0;b=1;p=(x) 1; r=(x) 2; q=(x) 3; alpha=0;beta=1;五．实验结果及实例分析NN ce收敛阶N e收敛阶10 0.00104256 …… 0.00073524 …… 20 0.00026168 1.9341 0.00018348 1.4530 40 0.00006541 2.0001 0.00004585 2.0000 80 0.00001636 1.9993 0.00001146 2.0000 1600.000004092.00000.000002872.0000N 越大 只会使绝对误差变小，方法没变，所以收敛阶一致。
图示为：(绿线为解析解，蓝线为计算解)N=10N=20N=40N=80N=160。
边值问题的有限差分法
1.1 1.2
用有限差分法求解微分方程必须把连续 问题进行离散化，为此首先要对求解区域作 网格剖分。
1、剖分区域－－建立差分网格
将区间 a, b 分成 N 等分，分点为
h b a / N xi a ih, i 0,1, ,N
2.3
uij 表示 u x, y 在 xi , yi 的近似值，f ij f xi , yi , h 其中，
称为Laplace差分算子。差分方程（2.3）称为五点 差分格式，它的截断误差为 O h12 h22 。
若考虑的微分方程是Laplace方程，则相应的差分 方程为
Lh vi fi , v0 vN 0.
1.8
如果存在与网格剖分及右端 f h f h xi fi 无关的 正常数 M 和 h ，使
vh M f h
R
,
0hh
1.9
R
则称差分方程（1.8）关于右端稳定。其中， fh
vh xi vi , i =1,2, ,N-1.
Lui ui 1 2ui ui 1 qi ui fi 2 h
1.4
为例。记方程
u xi 1 2u xi u xi 1 h
2
q xi u xi Ri u f xi
Lh 称为差分算子。 为 Lhu xi fi Ri u ，其中，
光滑曲线。 首先对求解区域G作网格剖分：
取沿x轴和y轴方向的步长为 h1 和 h2 ，作两族分别与 x轴和y轴平行的直线
x xi x0 ih1 , i 0, 1, 2, y yi y0 jh2 , i 0, 1, 2, , ,
有限差分法基本原理PPT课件
uin1
uin
a
t x
(uin
un i 1
)
ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
u a u 0 t x u(x,0) u(x)
FTFS格式（时间向前差分、空间向前差分）
uin1 uin uin1 uin 0
t
x
ui0 u (xi )
uin 1
uin
a
t x
(uin1
uin )
ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
FTBS格式（时间向前差分、空间向后差分）
限差分方程的解是收敛T的(i。, n)
lim
x0,t
0
Ti
t
一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。
3.稳定性 稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。
在 数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差， 因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其 他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影 响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不 稳定的。
Von Neumann稳定性分析方法简介
分析例题
T n1 i
Ti n
t x 2
(Ti
n 1
2Ti n
Ti
n 1
),
S
t x 2
Ti n1
STi n1
(1
2S )Tin
STi
n 1
上式T中i n 近似数值
有限差分法
有限差分法有限差分法finite difference method微分方程和积分微分方程数值解的方法。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。
此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。
对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。
另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。
此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。
因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。
前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。
只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。
关于差分格式的构造一般有以下3种方法。
最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。
另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。
此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。
有限差分法 快速傅里叶变换
有限差分法快速傅里叶变换有限差分法和快速傅里叶变换是两种在科学计算中常用的数值计算方法。
它们在不同领域有着广泛的应用，可以提高计算效率，减少计算成本，是求解偏微分方程和信号处理的重要工具。
首先，让我们来了解有限差分法。
有限差分法是一种常见的数值计算方法，用于解决偏微分方程。
它的核心思想是将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程。
通过将偏微分方程在空间和时间上进行离散化，可以将其转化为一个线性代数方程组，然后使用数值计算方法求解。
有限差分法在植物生长模拟、地球物理学、金融工程等领域得到广泛应用。
以偏微分方程的边值问题为例，有限差分法首先将问题的定义域进行网格化，然后使用差分近似替代连续的导数，得到一个离散的差分方程。
通过对差分方程进行迭代求解，可以得到偏微分方程的数值解。
有限差分法的优点是简单易实现，计算较为直观，但相对精度较低。
接下来，我们来介绍快速傅里叶变换。
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算傅里叶变换的方法。
傅里叶变换是将信号在时域和频域之间进行转换的方法，它在信号处理、图像处理和数据压缩等领域有着重要应用。
FFT通过将离散时间傅里叶变换（DFT）分解成多个较小的DFT，从而大大提高了计算效率。
它的基本原理是将长度为N的序列分为两个长度为N/2的子序列，然后对子序列进行递归运算，最终将结果合并得到最终的频谱。
FFT的时间复杂度为O(NlogN)，相较于直接计算DFT的O(N^2)，计算速度大大提高。
需要注意的是，FFT要求输入序列的长度是2的整数次幂，不满足条件时需要进行数据填充或截断。
此外，FFT还有许多变种和优化算法，如快速Hadamard变换和快速余弦变换等。
有限差分法和快速傅里叶变换是数值计算中两个重要的方法。
它们分别在不同领域展现出强大的计算能力。
有限差分法在模拟偏微分方程和求解边值问题中有着广泛应用，而快速傅里叶变换在信号处理和频谱分析等方面发挥着重要作用。
熟练掌握这两种方法，可以提高计算效率，解决实际问题，并在科学研究中发挥更大的作用。
有限差分法
有 限 差 分 法流体运动的控制方程多为偏微分方程，在复杂的情况下不存在解析解。
但是对于一些简单的情况存在解析解，偏微分方程的解析解可用精确的数学表达式表示，该表达式给出了因变量在整个定义域中的连续变化状况。
有限差分法（Finite Difference Method ,FDM ）是数值计算中比较经典的方法，由于其计算格式直观且计算简便，因此被广泛地应用在计算流体力学中。
有限差分法首先将求解区域划分为差分网格，变量信息存储在网格节点上，然后将偏微分方程的导数用差商代替，代入微分方程的边界条件，推导出关于网格节点变量的代数方程组，通过求解代数方程组，获得偏微分方程的近似解。
偏微分方程被包含离散点未知量的代数方程所替代，这个代数方程能求出离散节点处的变量，这种离散方法叫做有限差分法。
2.1有 限 差 分 逼 近2.1.1 有限差分网格 由于有限差分法求解的是网格节点上的未知量值，因此首先介绍有限差分网格。
图2.1 – 1是x-y 平面上的矩形差分网格示意图。
在x 轴方向的网格间距为△x ，在y 轴方向的网格间距为△y ，网格的交点称为节点，计算变量定义在网格节点上。
称△x 和△y 为空间步长，△x 一般不等于△y ，且△x 和△y 也可以不为常数。
取各方向等距离的网格，可以大大简化数学模型推导过程，并且经常会取得更加精确的数值解。
本章作为计算流体力学入门知识，假设沿坐标轴的各个方向网格间距分别相等，但是并不要求各方向的网格间距一致。
例如假设△x 和△y 是定值，但是不要求△x 等于△y 。
在图2.1 - 1中，网格节点在x 方向用i 表示，在y 方向用j 表示。
因此，假如（i ，j ）是点P 在图2.1 – 1中的坐标，那么，点P 右边的第一个点的就可以用（i+1，j ）表示；在P 左边的第一个点的就可以用（i —1，j ）表示；点P 上边的第一个点的就可以用（i ，j+1）表示；点P 下边的第一个点的就可以用（i ，j —1）表示。
泰勒公式在二阶两点边值问题求解方法上的应用
本科毕业设计常熟理工学院本科毕业设计(论文)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业设计(论文)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
本人签名：日期：常熟理工学院本科毕业设计(论文)使用授权说明本人完全了解常熟理工学院有关收集、保留和使用毕业设计(论文)的规定，即：本科生在校期间进行毕业设计(论文)工作的知识产权单位属常熟理工学院。
学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业设计(论文)被查阅和借阅；学校可以将毕业设计(论文)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业设计（论文），并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。
保密的毕业设计(论文)在解密后遵守此规定。
本人签名：日期：导师签名：日期：泰勒公式在二阶两点边值问题求解方法上的应用摘要本文主要讨论利用泰勒展开公式求解二阶线性常微分方程问题. 首先介绍泰勒公式的相关知识；其次，基于泰勒展开公式，提出一种求解线性二阶线性常微分方程问题初值问题的新方法；然后，通过结合提出的求解线性二阶线性常微分方程问题初值问题的方法和打靶方法, 提出一种求解线性二阶线性常微分方程问题边值问题的数值方法；最后通过数值算例来验证所提数值方法的有效性.关键词：泰勒展开式二阶线性常微分方程两点边值问题近似解Taylor formula in the second order two-point boundary value problemsolving the application of the methodAbstractThis thesis mainly discusses numerical methods for solving second order linear ordinary differential equations by using Taylor's expansion formula. Firstly, some theory of Taylor's expansion formula is introduced. Secondly, a numerical method for solving second order linear initial value problems is proposed. Thirdly, a numerical method for solving second order linear two-point boundary value problems is developed by combining the method for initial value problems and shooting method. Finally, numerical examples are provided to show the validity of the present methods.Key Words: Taylor's expansion; Second order linear ordinary differential equations; Two–point boundary value problems; Approximate solution目录1. 引言 (1)1.1微分方程边值问题的介绍 (1)1.2 二阶两点边值问题的介绍 (2)2. 泰勒公式简介 (4)2.1泰勒公式简介 (4)2.2泰勒公式的应用 (5)3.二阶线性初值问题 (7)3.1求解方法 (7)3.2数值算例 (8)4.二阶线性两点边值问题的求解方法 (10)4.1求解方法 (10)4.2数值算例 (11)结语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)1 引言1.1微分方程边值问题的介绍微分方程是现代数学中的一个很重要的分支，从早期的微积分时代起，这个学科就成为了理论研究和实践应用的一个重要领域。
第二章 有限差分法
xr
(u x ) r =
ur +1 − u r −1 2h
xr
h % % − 2 u xx x = x = o(h) , (xr < x < xr + h) h % Er = u xx x = x = o(h) , (xr − h < x < xr ) % 2 h2 % − u xxx x = x = o(h 2 ) , (xr −1 < x < xr +1 ) % 6
第二章 有限差分法
不同算子间关系
∆ur = ur +1 − ur = Eur − ur = ( E − 1)ur
∆ = E −1
∇ur = ur − ur −1 = ur − E ur = (1 − E )ur
−1
−1
∇ = 1 − E −1
µ (δ ur ) =
δ ur +1/2 +δ ur −1/2
xr
xr
+L
ux r
ur +1 − ur −1 h2 = - uxxx r +L 2h 3!
第二章 有限差分法
不同形式一阶导数差分公式及其截断误差
ux ux = (u x ) r ≈ = (u x ) r ≈ u ( xr + h) − u ( xr ) u r +1 − ur = h h u ( xr ) − u ( xr − h) ur − ur −1 = h h
xr
h2 + u xx 2!
−L
xr
h3 − u xxx 3!
xr
+L
ux
xr
ux
xr
由两点边值问题谈数值计算方法
方法 ， 文从 有 限差分 方 法和有 限元方 法讨论 入手 ， 本
求ｕ ＥＶ， Ｕ＝ａｕｖ ＝ｆｖ ， ｖ 强解 Ｕ一 即 （ ，） （）Ｖ ＥＶ，
定 是 后面 的弱解。
于是 Ｕ ａｕｖ ＝ ｕｖ ｘ 『ｌ【 ｖ ＝ （，） 砧 ｄ ＝６ｒ ， ＥＶ ｆ ）Ｖ ｄ
术创 新 大 门的钥匙 。这就 使得 社会 对其成 员数 学能
弱形式方程｛（） ＯＵ（） ０ ｕＯ ＝ ， Ｏ ＝
ｔ（ ） ， Ｏ ＝０ ｖ Ｏ ＝０ ｖ（ ）
力 的要 求不 断提 高 ， 期望 涌现 出更 多数学基 础扎 实、
两边对方程进行积分 一ｏ＂ｄ＝ ｆｘＶ Ｓ ． ｖｘ ￣ｖ ，ｖ ｌ ｕ ｄ ｕｖ ｘ ｕ ３＝ ｆ ｘ ｄ一［， ｏ ￣ｖ ｖ￣ ａ 于是变为求 ｕ ， ＝ （，） 砧 ＝ ｆｘ ＥＶ Ｕ ａｕｖ ＝ ｕｖｄ ￣ｖ ｘ ｄ
Ｖｖ Ｖ ∈
创新能力较强、 知识 面宽广、 综合 素质佳 的数学人 才。随着计算机技术 的飞速发展， 由于在 生命科 也
学 、 学 、 理 、 学 、 制、 化 物 力 控 经济 等领 域 有 不少 现 象
（（ ，） 于 ｕｖ双 线 性且 对称 ， ａｕｖ关 ， ｖ＝｛ＥＬ ， ｖ ２ｏ ｒ
・
４０ ・
维普资讯
由 两 点边 值 问题 谈 数 值 计 算 方 法
若ｗ ＃Ｏ则 一定 ｊ一个 区间， ｘ，１ ｃ［ ，］ 使 Ｗ ［ｏＸ］ ０ １ ，
（ ） ０或 ｗ ｘ ＜０ Ｘ＞ （）
假 设 Ｉ Ｎ １ ＞ ＩＮＩ 一 Ｕ Ｉ Ｕ
＝
两 边 问 ｉ０ 点 界 题－ｕ ｕ＂ （
ｆ
两点边值问题的三类边值条件的有限元解法实现
两点边值问题的三类边值条件的有限元解法实现作者：卢仁洋于陆洋江山来源：《高教学刊》2018年第05期摘要：文章研究二阶微分方程的两点边值问题，使用有限元方法对三类不同的边值条件具体进行讨论和处理。
对于可齐次化的Dirichlet、Neumann边值，给出相应分析以简化和规范计算步骤。
对于Robin边值，基于之前的分析给出实现技巧以达到有效的数值模拟。
关键词：有限元方法；Dirichlet边值；Neumann边值；Robin边值中图分类号：O172 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2018）05-0058-03Abstract： A two-point boundary value problem of the second-order ordinary differential equation is studied in this paper， and a finite element method is used to deal with three kinds of boundary conditions in detail. The corresponding analysis is provided to simplify and standardize the steps for the homogeneous Dirichlet， Neumann boundary values. For the Robin boundary value，we utilize the previous analyses to present a specific strategy for a good performance in numerical simulations.Keywords： finite element method； Dirichlet boundary； Neumann boundary； Robin boundary一、本文模型及介绍二阶微分方程的两点边值问题是科学工程计算中的经典问题，也是微分数值解法的必要基础[1，2]。
04有限差分法.ppt
n Rj
O t x
2
无条件稳定
2.一维混合问题
u 2u 2 0 t x u x ,0 F x u a, t t u b, t t
0 x b, t 0, 0
对于[a，b]区间的内点，可以构造以上各种格式。 如四点显式
例:驱动腔内的流体流动。
3.网格划分
x h y l xi ih
-----称为步长。
u x, y u i , j
xi , y j i, j
y j jl
4.差分格式 将u在(i,j)附近展成Taylor级数
ui 1, j ui , j ui 1, j ui , j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j
-----中心差分式
O h 表示具有二阶精度。
2
两Taylor展式相加
2u 1 ui 1, j 2ui , j ui 1, j O h 2 x 2 h2 i, j
第5章两点边值问题求解方法介绍
x a, b
y1 y2 z , z 2 其中： 1
解得： y1 ( x; ), y2 ( x; ), z1 ( x; ), z2 ( x; ) 得到的终端值和对α的偏导数： y1 y1 (b; ), (b; )
2018/10/14 航空航天中的计算方法 Page 12
y1 y
( x ) y2 ( x ) y1
y2 (a) 初值问题的解为： y1 ( x; ), y2 ( x; ) y1 (b; ) B 找到α满足： y1 (a) A,
2018/10/14 航空航天中的计算方法
如何求α？
Page 6
5.2 打靶法 打靶法的几何解释：
如果边值条件形式可写为： gL ( y(a)) 0, gR ( y(a)) 0
其中gL和gR的维数之和等于m，则边界条件为分离的。
2018/10/14 航空航天中的计算方法 Page 5
5.2 打靶法 5.2 打靶法 以二阶系统为例，考虑边值问题： y( x ) f ( x, y( x), y( x)), x a, b
迭代求解公式： m 1 m B y1 (b; m )
结束条件：
2018/10/14
y1 (b; m )
y1 (b; ) ?
Page 10
1 y1 (b;m1 ) B
航空航天中的计算方法
5.2 打靶法 差分法求偏导数
y1 (b;1 ) y1 (b; 0 ) y1 (b; 0 ) 1 0
线性近似：按割线求根
2018/10/14 航空航天中的计算方法 Page 9
5.2 打靶法 5.1.2 牛顿法 求解非线性方程（组）： y1 (b; ) B 在已知初值α0的处Taylor展开： y1 2 y1 (b;1 ) y1 (b; 0 ) (b; 0 ) 1 0 O 1 0 B y1 B y ( b ; ) (b; 0 ) 线性近似： 1 0 1 0
第5章---两点边值问题求解方式
i 1, 2, , N 1
y0 A, yN B
yi1 yi1 2 yi h2
2
xi
yi1 yi1 2h
2 xi2
yi
sin(ln xi2
xi
)
y0 1, yN 2
xi 1 ih, i 1, 2, , N 1
2019/11/19
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航空航天中的计算方法
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5.2 打靶法
5.2 打靶法 以二阶系统为例，考虑边值问题：
y(x) f (x, y(x), y(x)), x a,b
y(a) A,
变换：
y1 y
y2 y 考虑初值问题：
y(b) B
y1(x) y2 (x)
微分方程 y(x) f (x, y(x), y(x)), x a,b
y(a) A, y(b) B
离散化，将区间 xa,b 等分为N个子区间：
h ba, N
xi a ih,
i 0,1, 2,
,N
在节点上应用中心差分公式，得到代数方程组：
yi1
yi1 2 yi h2
h ba, N
xi a ih,
i 0,1, 2,
,N
将 y(x)在xi处Taylor展开：
y( x)
y( xi )
y( xi ) x
xi
1 2
y( xi ) x
xi
2
1 3!
y( xi ) x
xi
3
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航空航天中的计算方法
第5讲-边值问题+第6讲-有限差分法
ρ 2 x + Bx + C 2ε 0
ϕ (d ) = U
dϕ ρ =− x+B dx ε0 ρ 2 ⎛U ρ ⎞ x +⎜ ϕ =− ⎜ d + 2ε d ⎟ ⎟x 2ε 0 0 ⎝ ⎠
Ex = − dϕ ρ ρ U = x− − d dx ε 0 d 2ε 0
21
ϕ 2 = −C3 ln ρ + C4
ϕ1 −ϕ2 = 0
D1n = ε 1 E1n = − ε 1 ∂ϕ1 ∂n
在介质分界面上，电 位是连续的
∂ϕ 2 ∂n
D 2 n = ε 2 E 2 n = −ε 2
ε1
∂ϕ1 ∂ϕ 2 −ε2 =σ ∂n ∂n
注意：σ 是自由电荷密度，电 位的导数是不连续的
15
16
反设满足场的解答有两个相异的解答ϕ1和 ϕ2，则差
dn
S
∫ (∇u) dV = 0 ⇒ ∇u = 0 ⇒ ∇(ϕ −ϕ ) = 0 ⇒ ϕ −ϕ
1 2 1
2
= Const
即ϕ1和 ϕ2 相差一个常数，但这不影响电场强度值 （电场强度是电位函数的负梯度）。
dn
结论 结论：规定了第一或者第二类边界条件的泊 ：规定了第一或者第二类边界条件的泊 松方程，其解答（电位函数）相等或者相差 松方程，其解答（电位函数）相等或者相差 一个常数，此时由该电位函数可确定相同的 一个常数，此时由该电位函数可确定相同的 电场强度，此为唯一性定理的物理含意。 电场强度，此为唯一性定理的物理含意。
场u= ϕ1− ϕ2 满足拉普拉斯方程
∇ 2 u = ∇ 2ϕ1 − ∇ 2ϕ 2 = −
对差场u，无穷远S0处电位为零，因此
ρ ρ + =0 ε ε
二、有限差分法
∆t ≤
µε
1 1 + 2 (∆x ) (∆y )2
=
1 1 1 c + 2 (∆x ) (∆y )2
作业：独立完成稳定条件的推导。
二、有限差分法（FDM）
2-3-2 频域分析
v ∂ v v ∇× E = − B ∇•D = ρ ∂t v v ∂D v v v ∇× H = + σE + J i ∇ • B = 0 ∂t v v v & = − jωµH & & =ρ ∇× E ∇•D &
二、有限差分法（FDM）
v v ∂ v ∂ v 2 ∇ (∇ • E ) − ∇ E + µ σE + µ J i = 0 ∂t ∂t v ∂ v ∂ v − ∇ E + µ σE + µ J i = 0 ∂t ∂t
2
v E
v J i 只有z方向分量，只与x坐标有关，
∂ 2 Ez ∂ ∂ − µσ E z = µ J zi 2 ∂t ∂t ∂x
前向差分公式二有限差分法fdm更好的离散方案二有限差分法fdmtc二有限差分法fdm2二维吸收边界条件sincosaejkcosjk二有限差分法fdm证明jkrefraeaejkraejkaejkraeaejkraejkaejkrerecoscoscoscos二有限差分法fdm无限长接地导电槽二维问题静电场问题边值方程边界条件静电场举例一二有限差分法fdm二有限差分法fdm应用matlab软件编程求解各网格点的电场位设定初值及利用超松弛迭代方法求各网格电位显示计算结果1迭代顺序2迭代过程3迭代结束条件两次迭代之差小于某一给定值迭代次数超过某一给定的值二有限差分法fdmsin100作业
& g = jωµJ z
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fori=2:N-2
H(i,i-1)=-(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h));
H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h);
H(i,i+1)=-(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h));
g(i)=2*h*f(a+i*h);
图示为：(绿线为解析解，蓝线为计算解)
N=10
N=20
N=40
N=80
N=160
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3．给定参数 ， ， ， ，问题(1)的精确解 ，其中将 及 带入方程(1)可得 。分别取 ，用所编写的程序计算问题(1)和(2)。将数值解记为 ， ，网点处精确解记为 ， 。然后计算相应的误差 ， 及收敛阶 ，将计算结果填入第五部分的表格，并对表格中的结果进行解释？
4.将数值解和精确解画图显示，每种网格上的解画在一张图。
三．实验原理、方法（算法）、步骤
1.差分格式：
=-1/h^2( -( ) + )+ ( )/2h+ =
A,
2.局部阶段误差：
(u)=O(h^2)
3.程序
clearall
N=10;
a=0;b=1;
p=@(x) 1;
r=@(x) 2;
q=@(x) 3;
alpha=0;beta=1;
f=@(x) (4*x^2-2)*exp(x-1);
h=(b-a)/N;
H=zeros(N-1,N-1);g=zeros(N-1,1);%
fori=1
H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h);
H(i,i+1)=-(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h));
g(i)=2*h*f(a+i*h)+(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h))*alpha;
成绩
是
一．实验目的
通过该实验，要求学生掌握求解两点问题的有限差分法，并能通过计算机语言编程实现。
二．实验内容
考虑如下的初值问题：
(1)
(2)
其中 ， ， ， ， 是给定常数。
将区间 等分，设 ，网点 。
1．在第三部分写出问题（1）和（2）的差分格式，并给出该格式的局部截断误差。
2．根据你写出的差分格式，编写一个有限差分法程序。将所写程序放到第四部分。
……
20
0.00026168
1.9341
0.00018348
1.4530
40
0.00006541
2.0001
0.00004585
2.0000
80
0.00001636
1.9993
0.00001146
2.0000
160
0.00000409
2.0000
0.00000287
2.0000
N越大只会使绝对误差变小，方法没变，所以收敛阶一致。
学生实验报告
实验课程名称偏微分方程数值解
开课实验室数统学院
学院数统年级2013专业班信计2班
学生姓名学号
开课时间2015至2016学年第2学期
总成绩
教师签名
数学与统计学院制
开课学院、实验室：数统学院实验时间：2016年月日
实验项目
名称
两点边值问题的有限差分法
实验项目类型
验证
演示
综合
设计
其他
指导教师
曾芳
end
u=H\g;
u=[alpha;u;beta];
x=a:h:b;
y=(x.^2).*exp(x-1);
plot(x,u);
holห้องสมุดไป่ตู้on
plot(x,y);
y=y'
z=y-u
四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件
Matlab
五．实验结果及实例分析
N
收敛阶
收敛阶
10
0.00104256
……
0.00073524
end
fori=N-1
H(i,i-1)=-(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h));
H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h);
g(i)=2*h*f(a+i*h)+(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h))*beta;