函数图像与函数方程(教师版)

函数图像与函数方程

【知识要点】 1.函数图象变换 (1)平移变换

(2)对称变换

①)(x f y =――→关于x 轴对称

)(x f y -=； ②)(x f y =――→关于y 轴对称

)(x f y -=； ③)

(x f y =――→

关于原点对称

)(x f y --=；

④)10(≠>=a a a y x

且――→

关于y ＝x 对称

)10(log ≠>=a a x y a 且.

(3)翻折变换

①)(x f y =――――――――――→保留x 轴上方图像

将x 轴下方图像翻折上去|)(|x f y =. ②)(x f y =――――――――――――→保留y 轴右边图像，并作其

关于y 轴对称的图像|)(|x f y =. (4)伸缩变换

①)(x f y = )(ax f y =.

②)(x f y = )(x af y =.

2.函数的零点 (1)函数零点的定义

对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． (2)几个等价关系

方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根．

【例题解析】

考点一 函数图象变换

【例1】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数()2x

f x =的图像经过怎样的变换得到

的。 （1）1

2x y -= （2）2+1x y = （3）2x

y =

（4）2-1x y = （5）2x

y =- （6）2x

y -=-

【变式训练1】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数()2log f x x =的图像经过怎样的变换得到的。

（1）2log (1)y x =- （2）2log 1y x =+ （3）2log ||y x =

（4）2|log 1|y x =- （5）x y 2log -= （6）)(log 2x y --=

【变式训练2】函数()y f x =的曲线如图所示，那么方程(2)y f x =-的曲线是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

答案：D

【变式训练3】函数2

1

x y x -=

-的图象大致是 （ ）

答案：B

解析 将y ＝－1x 的图像向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－

1

x －1的图像．

【变式训练4】(2012湖北)已知定义在区间]2,0[上的函数)(x f y =的图像如图所示，则

)2(x f y --=的图像为( )

答案 B

解析 当x ＝1时，y ＝－f (1)＝－1，排除A 、C. 当x ＝2时，y ＝－f (0)＝0，故选B.

考点二 函数的零点 题型一 零点存在性定理

【例2】下列各种说法中正确的个数有（ ） ①函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(,)a b 内只有一个零点; ②函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅≤,则函数()y f x =在区间[,]a b 内有零点; ③函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅>,则函数()y f x =在区间(,)a b 内没有零点; ④函数()y f x =在[,]a b 上连续且单调,并满足()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间

(,)a b 内只有一个零点;

⑤函数2

()23f x x x =--的零点是(3,0)与(1,0)-.

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

答案：B

【例3】(2013重庆高考数学(理))

若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）

A ．(),a b 和(),b c

B ．(),a -∞和(),a b

C ．(),b c 和(),c +∞

D ．(),a -∞和(),c +∞

答案：()()()0f a a b a c =-->,()()()0f b b c b a =--<,()()()0f c c a c b =-->, 所以()()0f a f b <,()()0f b f c <,所以函数的两个零点分别在(,)a b 和(,)b c 内,选A ．

【例4】函数a ax x f 21)(-+=在区间)1,1(-上存在一个零点,则实数a 的取值范围是________

答案：1(,1)3

【解析】当0a =时,函数()1f x =在(1,1)-上没有零点,所以0a ≠,所以根据根的存在定理可得(1)(1)0f f -<,即(31)(1)0a a -+-<,所以(1)(31)0a a --<,解得

1

13

a <<,所以实数a 的取值范围是1(,1)3

【变式训练5】函数2()3log ()x f x x =--的零点所在区间是（ ）