函数图像与函数方程(教师版)

函数图像与函数方程【知识要点】 1.函数图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①)(x f y =――→关于x 轴对称)(x f y -=； ②)(x f y =――→关于y 轴对称)(x f y -=； ③)(x f y =――→关于原点对称)(x f y --=；④)10(≠>=a a a y x且――→关于y ＝x 对称)10(log ≠>=a a x y a 且.(3)翻折变换①)(x f y =――――――――――→保留x 轴上方图像将x 轴下方图像翻折上去|)(|x f y =. ②)(x f y =――――――――――――→保留y 轴右边图像，并作其关于y 轴对称的图像|)(|x f y =. (4)伸缩变换①)(x f y = )(ax f y =.②)(x f y = )(x af y =.2.函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． (2)几个等价关系方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根．【例题解析】考点一 函数图象变换【例1】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数()2xf x =的图像经过怎样的变换得到的。

（1）12x y -= （2）2+1x y = （3）2xy =（4）2-1x y = （5）2xy =- （6）2xy -=-【变式训练1】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数()2log f x x =的图像经过怎样的变换得到的。

（1）2log (1)y x =- （2）2log 1y x =+ （3）2log ||y x =（4）2|log 1|y x =- （5）x y 2log -= （6）)(log 2x y --=【变式训练2】函数()y f x =的曲线如图所示，那么方程(2)y f x =-的曲线是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D【变式训练3】函数21x y x -=-的图象大致是 （ ）答案：B解析 将y ＝－1x 的图像向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图像．【变式训练4】(2012湖北)已知定义在区间]2,0[上的函数)(x f y =的图像如图所示，则)2(x f y --=的图像为( )答案 B解析 当x ＝1时，y ＝－f (1)＝－1，排除A 、C. 当x ＝2时，y ＝－f (0)＝0，故选B.考点二 函数的零点 题型一 零点存在性定理【例2】下列各种说法中正确的个数有（ ） ①函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(,)a b 内只有一个零点; ②函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅≤,则函数()y f x =在区间[,]a b 内有零点; ③函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅>,则函数()y f x =在区间(,)a b 内没有零点; ④函数()y f x =在[,]a b 上连续且单调,并满足()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(,)a b 内只有一个零点;⑤函数2()23f x x x =--的零点是(3,0)与(1,0)-.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：B【例3】(2013重庆高考数学(理))若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）A ．(),a b 和(),b cB ．(),a -∞和(),a bC ．(),b c 和(),c +∞D ．(),a -∞和(),c +∞答案：()()()0f a a b a c =-->,()()()0f b b c b a =--<,()()()0f c c a c b =-->, 所以()()0f a f b <,()()0f b f c <,所以函数的两个零点分别在(,)a b 和(,)b c 内,选A ．【例4】函数a ax x f 21)(-+=在区间)1,1(-上存在一个零点,则实数a 的取值范围是________答案：1(,1)3【解析】当0a =时,函数()1f x =在(1,1)-上没有零点,所以0a ≠,所以根据根的存在定理可得(1)(1)0f f -<,即(31)(1)0a a -+-<,所以(1)(31)0a a --<,解得113a <<,所以实数a 的取值范围是1(,1)3【变式训练5】函数2()3log ()x f x x =--的零点所在区间是（ ）A.5,22⎛⎫--⎪⎝⎭B. ()2,1-- C. ()1,2 D.52,2⎛⎫⎪⎝⎭答案：B【例5】已知二次函数2(),f x ax bx c=++满足42c ba+>且0c<，则含有()f x零点的一个区间是（）A．()2,0- B．()1,0- C．()01， D．()02，答案：A【变式训练7】根据表格中的数椐，可以判断2)(--=xexf x的一个零点属于区间（）x-10123xe12,72x+212345A.()1,0- B.()0,1 C.()1,2 D.()2,3答案：C考点三函数与方程题型二方程()f x m=的根的问题【例6】若方程()20f x-=在(,0)-∞内有解,则()y f x=的图象是答案：D【例7】已知函数241,(4)()log,(04)xf x xx x⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若关于x的方程()f x k=有两个不同的实根,则实数k的取值范围是___________________.答案：)2,1(【变式训练9】已知函数⎩⎨⎧≤+->=,0),4(,0|,lg |)(x x x x x x f 则函数()3-=x f y 的零点的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：D题型四 方程()()f x g x =型问题【例8】已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是（ ）A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24) 答案：C【变式训练10】函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B 在同一坐标系中作出1()()2x f x =与0.5|log |y x =。

【变式训练11】函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：B【变式训练12】函数[]x x f =)(的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[]4-5.3-=，[]21.2=，当(]时5.4,3∈x ，x x f =)(，的解集为（ ）A ．{}4,3B ．{}4C ．{}3D ．]5.4,3( 答案：B【变式训练13】 []x 表示不超过x 的最大整数，定义函数()[]f x x x =-．则下列结论中正确的有___________________.①函数()f x 的值域为[]0,1 ②方程()12f x =有无数个解 ③函数()f x 的图像是一条直线 ④函数()f x 是R 上的增函数 答案：②【变式训练14】（2015-2016武汉重点中学期中联考）定义函数()[[]]f x x x =，其中][x 表示不超过x 的最大整数，如：1]5.1[=，2]3.1[-=-，当),0[n x ∈，*∈N n 时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数为t ，则t 为（ ）A ．212n n-- B ．22n n - C ．212n n -+ D ．222n n-+ 答案：C题型五 复合函数零点问题【例9】已知定义在[2,2]-上的函数)(x f y =和)(x g y =，其图象如下图所示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确命题的序号（ ）A ．①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 答案：D【例10】设函数()()()220log 0x x f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为______.【变式训练15】（2015-2016武汉14中期中）对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,,1a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩． 设函数22()(2)()f x x x x =-⊗-，x ∈R ，若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．3(,2](1,)2-∞-- B ．3(,2](1,)4-∞---C ．11(1,)(,)44-+∞D ．31(1,)[,)44--+∞答案：B【变式训练16】定义域和值域均为[]a a ,-（常数0>a ）的函数()x f y =和()x g y =的图像如图所示，给出下列四个命题： （1）方程()[]0=x g f 有且仅有三个解； （2）方程()[]0=x f g 有且仅有三个解； （3）方程()[]0=x f f 有且仅有九个解； （4）方程()[]0=x g g 有且仅有一个解。

那么，其中正确命题的个数是 。

答案：（1）（4）【2015高考真题】1.【2015高考湖南，文14】若函数()|22|xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.【答案】02b <<【解析】由函数()|22|x f x b =--有两个零点，可得|22|x b -=有两个不等的根，从而可得函数|22|x y =-函数y b =的图象有两个交点，结合函数的图象可得，02b <<，故答案为：02b <<.【考点定位】函数零点【名师点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．2.【2015高考安徽，文14】在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 . 【答案】12-【解析】在同一直角坐标系内，作出12--==a x y a y 与的大致图像，如下图：由题意，可知2112-=⇒-=a a 【考点定位】本题主要靠数形结合思想，函数与方程、零点等基础知识.【名师点睛】本题根据题意作出函数1--=a x y 的大致图象是解决本题的关键，本题主要考查学生的数形结合的能力.【期中期末考试真题】1.（2015-2016武汉重点中学期中联考）函数x xx f 261)(+-= 的零点一定位于区间（ ） A. )4,3( B.)3,2( C. )2,1( D.)6,5(答案：B2.（2015-2016武汉外校期中）已知0x 是函数xx f x -+=112)(的一个零点，若),1(01x x ∈，),(02+∞∈x x ，则（ ）A.0)(1<x f ，0)(2<x fB.0)(1<x f ，0)(2>x fC.0)(1>x f ，0)(2<x fD.0)(1>x f ，0)(2>x f 答案：B 4.（2015-2016武汉19中期中）若0x 是方程1312x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解,则0x 属于区间（ ） A .2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ D .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：C6.（2015-2016武汉三中期中联考）[]x 表示不超过x 的最大整数，定义函数()[]f x x x =-. 则下列结论中正确的是 （填正确的序号）.①函数()f x 的值域为[0,1)；②方程1()2f x =有无数个解；③方程1()2f x x =有二个解； ④若关于x 的方程()f x kx k =+有3个不同的实根，则实数k 的取值范围是111(1,][,)243--. 答案：。