高中常见函数图像与基本性质

常见函数性质汇总及简单评议对称变换常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)1)、两种常用的一次函数形式:斜截式——点斜式——2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势：3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R单调性：当k>0时 ；当k<0时奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反 函 数：有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候）。

补充：反函数定义：例题：定义在r 上的函数y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1(x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）=周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法：2、与曲线函数的联合运用xy b Of (x )=bx y Of (x )=kx +b R 2）点关于直线（点）对称，求点的坐标反比例函数 f (x)=xk(k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞Y 值 域：),0()0,(+∞-∞Y单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身补充：1、反比例函数的性质2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此）3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较3）、f (x )=dcx bax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数）（对比标准反比例函数，总结各项容）二次函数一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为②当0>a 时，开口向上，有最低点 当0<a 时。

③当 = >0时，函数图象与x 轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（ ）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。

④)0()(2≠++=a c bx ax x f关系)0()(2≠=a ax x f定 义 域：R 值 域：当0>a 时，值域为（ ）；当0<a 时，值域为（ ）单 调 性：当0>a 时；当0<a 时. 奇 偶 性：b=/≠0 反 函 数：定义域围无反函数，在单调区间有反函数 周 期 性：无 补充：1、a 的正/负；大/小与和函数图象的大致走向（所以，a 决定二次函数的 ）2、xyOf (x )=dcx bax ++ x yOf (x )=c bx ax ++23、二次函数的对称问题：关于x 轴对称；关于y 轴对称；关于原点对称；关于（m ，n ）对称4、二次函数常见入题考法：⑴交点（交点之间的距离） ⑵值域、最值、极值、单调性 ⑶数形结合判断图形走势（选择题）指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x，系数只能为1。

图象及其性质：1、恒过)1,0(，无限靠近x 轴；2、xa x f =)(与xx a ax f -==)1()(关于y 轴对称；但均不具有奇偶性。

3、在y 轴右边“底大图高”；在y 轴左边“底大图低”——靠近关系定 义 域：R 值 域：),0(+∞单 调 性：当0>a 时；当0<a 时。

奇 偶 性：无 反 函 数：对数函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 周 期 性：无 补充： 1、2、图形变换Log 21/x 和Log 2- xln （x-1）和lnx - 1对数函数（和指数函数互为反函数）)1,0(log )(≠>=a a x x f a图象及其性质：①恒过)0,1(，无限靠近y 轴；②x x f a log )(=与x x x f a alog log )(1-==关于x 轴对称；③x ＞1时“底大图低”；0＜x ＜1时“底大图高”（理解记忆）定 义 域：R 值 域：),0(+∞单 调 性：当0>a 时；当0<a 时； 奇 偶 性：无 反 函 数：指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x周 期 性：无 补充：1、xyOf (x )=)1(>a a xf (x )=)10(<<a a xxyOf (x )=)1(log >a x af (x )=)10(log <<a x a双钩函数xx x f 1)(+=（变形式 ） 图象及其性质：①两条渐近线： ②最值计算： 定 义 域： 值 域：单 调 性： 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：定义域无反函数 周 期 性：无注意 :双沟函数在最值、数形结合、单调性的考察中用得较多，需特别注意最值得算法幂函数（考察时，一般不会太难）无论n 取任何实数，幂函数图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

不需要背记，只要能够快速画出n=±1， ±1/2，±3,，1/3，0,的图象就行注意：掌握y=x 3的图像；掌握y=ax 3+bx 2+cx+d 的图像(当a>0,当a<0时)；补充：利用数形结合，判断非常规方程的根的取值围。

例：P 393，例题10函数)(x f y =图象变换b 个单位y=f x ()+b一．平移变换二．对称变换①y ＝f （－x ）与y ＝f （x ）关于y 轴对称； ②y ＝－f （x ）与y ＝f （x ）关于x 轴对称； ③y ＝－f （－x ）与y ＝f （x ）关于原点对称； ④y ＝f －1（x ）与y ＝f （x ）关于直线y ＝x 对称；⑤y ＝|f （x ）|的图象可将y ＝f （x ）的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．⑥y ＝f （|x |）的图象：可将y ＝f （x ），x ≥0的部分作出，再利用偶函数关于y 轴的对称性．三、伸缩变换①y ＝Af （x ）（A ＞0）的图象，可将y ＝f （x ）图象上每一点的纵坐标伸（A ＞1）缩（0＜A ＜1）到原来的A 倍，横坐标不变而得到． ②y ＝f （ax ）（a ＞0）的图象，可将y ＝f （x ）的图象上每一点的横坐标伸（0＜a ＜1）缩（a ＞1）到原来的a1，纵坐标不变而得到． 四、函数及图象(大致图象) 典型例题精讲例1：已知y ＝f （x ）的图象如图2—7所示，则下列式子中能作为f （x ）的解析式是（ A）A ．1||22+-x xB ．x 2－2|x |＋1C ．|x 2－1|D ．122+-x x解析：当f （x ）＝1||22+-x x 时， =-=-=|1|||)1|(|)(2x x x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+-<≤-+<≤-≥-)1( )1()01(1)10( 1)1(1x x x x x x x x其图象恰好是上图．例2：画出函数y ＝lg|x ＋1|的图象．解析：y ＝lg|x ＋1|⎩⎨⎧-<--->+=)1( )1lg()1( )1lg(x x x x ．例3：要将函数y ＝12--x x 的图象通过平移变换得到y ＝x1的图象，需经过怎样的变换？解析：y ＝11-x －1，先沿x 轴方向向左平移1个单位，再沿y 轴方向向上平移1个单位，即可得到y ＝x1的图象． 例4：方程kx ＝2)2(1--x 有两个不相等的实根，数k 的取值围．解析：设y 1＝kx①y 2＝2)2(1--x②方程①表示过原点的直线，方程②表示半圆，其圆心（2，0），半径为1，如图2—9．易知当OA 与半圆相切时，33=OA k ，故当0≤k ＜33时，直线与半圆有两个交点，即0≤k ＜33时，原方程有两个不相等的实根．例5：作函数f （x ）＝x ＋x1的图象．分析：f （x ）＝x ＋x1不能由已知函数图象变换得到，故需对函数f （x ）的性质进行研究．解析：函数的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），∵f （－x ）＝－f （x ），∴f （x ）是（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函数，又|f （x ）|＝|x ＋x1|＝|x |＋||1x ≥2，当且仅当|x |＝1时等号成立，∴当x >0时y ≥2；当x <0时，y ≤－2；当x ∈（0，1）时函数为减函数，且急剧递减；当x ∈［1，＋∞）时函数为增函数，且缓慢递增，又x ≠0，y ≠0，∴图象与坐标轴无交点，且y 轴是渐近线，作出第一象限的函数的图象， 再利用对称性可得函数在定义域上的图象，如图2—10所示．评述：（1）熟悉各种基本函数图的“原型”是函数作图的一项基本功；先研究函数的性质，再利用性质作图则能减少作图的盲目性，提高图象的准确性．（2）与图象有关的“辅助线”要用虚线作，以起到定形、定性、定位、定量的作用．例6：f （x ）是定义在区间［－c ，c ］上的奇函数，其图象如图所示．令g （x ）＝af （x ）＋b ，则下列关于函数g （x ）的叙述正确的是（B）A ．若a <0，则函数g （x ）的图象关于原点对称B ．若a ＝－1，－2<b <0，则方程g （x ）＝0有大于2的实根C ．若a ≠0，b ＝2，则方程g （x ）＝0有两个实根D ．若a ≥1，b <2，则方程g （x ）＝0有三个实根解析：将f （x ）图象上每点的纵坐标变为原来的a 倍，横坐标不变，再将所得图象向上（b >0）或向下（b <0）平移|b |个单位，得g （x ）＝af （x ）＋b 的图象．例6：(全国Ⅱ)把函数y ＝e x的图象按向量a r ＝(2，3)平移，得到y ＝f(x)的图象，则f(x)＝ ( C )(A)e x －3＋2 (B)e x ＋3－2 (C)e x －2＋3 (D)e x ＋2－3例7：(模拟)如图为函数y ＝m ＋lognx 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的是 ( D )(A)m<0，n>1 (B)m>O ，n>l (C)m>O ，0<n<1 (D)m<0，0<n<1例8：(模拟)函数y ＝e －｜x －1｜的图象大致是( D )例9：在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝0，2x ＋3y ＝30，则△AOB 部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ B）A ．95B ．91C ．88D ．75解析：画出图象，补形做出长方形AOBC ，共有整点数11×16＝176，而六点（0，10），（3，8），（6，6），（9，4），（12，2），（15，0）在长方形的对角线上，所以符合题意的点数为（176＋6）×21＝91．例10：将函数y ＝log 21x 的图象沿x 轴方向向右平移一个单位，得到图象C ，图象C 1与C 关于原点对称，图象C 2与C 1关于直线y ＝x 对称，那么C 2对应的函数解析式是_____．解析：C :y ＝log21（x －1）；由－y ＝log 21（－x －1）得C 1:y ＝log 2（－x －1）；求C 1的反函数得y＝－1－2x ．例11：若函数y ＝｜－x 2＋4x －3｜的图象C 与直线y ＝kx 相交于点M （2，1），那么曲线C 与该直线有 个交点．解析：（数形结合法）作y ＝｜－x 2＋4x －3｜的图象，知其顶点在M （2，1）．过原点与点M （2，1）作直线y ＝kx ，如图．∴曲线C 与直线y ＝kx 有四个交点．例12：作函数y ＝（21）|x －1|的图象．解析:（1）y ＝⎩⎨⎧<≥---).1( 2),1( 21)1(x x x x 故它在区间［1，＋∞）上的图象，可由y ＝2－x （x ≥0）的图象沿x 轴方向向右平移1个单位得到在区间（－∞，1）上的图象，可由y ＝2x （x <0）的图象沿x 轴方向向右平移1个单位得到．例13：已知函数y ＝f （x ）（x ∈R ）满足f （a ＋x ）＝f （a －x ），求证y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝a 对称．证明:设p （x 0，y 0）是y ＝f （x ）图象上的任一点，则有y 0＝f （x 0），设点P 关于直线x ＝a 的对称点为p ′（x ′，y ′），则有⎩⎨⎧='-='002y y x a x ，即⎩⎨⎧'='-=y y x a x 002 由y 0＝f （x 0）⎭⎬⎫-=+'-+='-='⇒)()()]([)2(x a f x a f x a a f x a f y Θ又⇒ y ′＝f ［a －（a －x ′）］＝f （x ′）． 即点p ′（x ′，y ′）也在y ＝f （x ）的图象上．∴y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝a 对称．例14：画出函数y ＝12+x 的图象，并利用此图象判定方程12+x ＝x ＋a 有两个不同的实数解时，实数a 所满足的条件．解析：图象是抛物线y 2＝2x ＋1在y ≥0上的部分．把y ＝x ＋a 代入y 2＝2x ＋1，得（x ＋a ）2＝2x＋1，即x 2＋2（a －1）x ＋a 2－1＝0，由Δ＝0得a ＝1， 此时直线与抛物线相切．又因抛物线顶点是（－21，0）， 可知当直线过点（－21，0）时，即a ＝21时直线与抛物线有两交点， 故当21≤a ＜1时直线与此抛物线有两个交点，即原方程有两不同实数解．。