函数图像、函数与方程

【解析】因为定义在 R 上的奇函数 f (x) 在 (, 0) 上单调递减，且 f (2) 0 ，
所以 f (x) 在 (0, ) 上也是单调递减，且 f (2) 0 ， f (0) 0 ， 所以当 x (,2) (0,2) 时， f (x) 0 ，当 x (2, 0) (2, ) 时， f (x) 0 ，
m
y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则i1 (xi+yi)= (
)
A.0 B.m C.2m D.4m
答案
B
由f(-x)=2-f(x)可知f(x)的图象关于点(0,1)对称,又易知y=
x 1
x =1+
1x的图象关于点(0,
1)对称,所以两函数图象的交点成对出现,且每一对交点都关于点(0,1)对称,∴
2
2
方法总结 函数图象的识辨方法 函数图象识辨问题,通常是利用排除法解决.根据函数的定义域、值域、单调性、周期性、奇 偶性、对称性、特殊值等进行识辨.
函数图象的应用
x 1
(2016课标Ⅱ,12,5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y= x 与y=f(x)图象的交点为(x1,
m
(xi+yi)=0×
i1
m+2
2
× m=m.故选B.
2
思路分析 分析出函数y=f(x)和y= x 1 的图象都关于点(0,1)对称,进而得两函数图象的交点成
x
对出现,且每一对交点都关于点(0,1)对称,从而得出结论.
（2014 新课标 2）偶函数 f (x) 的图像关于直线 x 2 对称， f (3) 3 ，则 f (1) =__．
2.(2018课标Ⅲ,7,5分)函数y= -x4+x2+2的图象大致为 ( )
答案 D 本题考查函数图象的识辨.
∵f(x)=-x4+x2+2,∴f '(x)=-4x3+2x,令f '(x)>0,解得x<- 2 或0<x< 2 ,此时, f(x)递增;令f '(x)<0,解得-
2
2
2 <x<0或x> 2 ,此时, f(x)递减.由此可得f(x)的大致图象.故选D.
ln
x,
x
0,
g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围
是( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
答案 C 本题主要考查函数的零点及函数的图象.
g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数f(x)=
e
x
,
x
0,
与h(x)=-x-a的图象存在2个交点,如图,
（2020 山东 8）若定义在 R 上的奇函数 f (x) 在 (,0) 单调递减，且 f (2) 0 ，则满足 xf (x 1) 0 的 x 的取
值范围是
A．1,1 3 ,
B．3 , 1 0 ,1
C．1, 0 1,
（）
D．1, 0 1, 3
【答案】D 【思路导引】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 f (x) 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大 于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果．
(2018
全国卷Ⅰ)设函数
f
(x)
2x ,
x≤0
，则满足
f
(x 1)
f
(2x)
的
x
的取值范围是
1, x 0
A． (, 1] B． (0, )
C． (1, 0)
D． (, 0)
【答案】D【解析】当 x ≤0 时，函数 f (x) 2x 是减函数，则 f (x)≥ f (0) 1，作出 f (x) 的大致图象如
【答案】3【解析】∵函数 f (x) 的图像关于直线 x 2 对称，所以 f (x) f (4 x) ， f (x) f (4 x) ，又
f (x) f (x) ，所以 f (x) f (4 x) ，则 f (1) f (4 1) f (3) 3 ．
.(2018课标Ⅱ,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1) +f(2)+f(3)+…+f(50)= ( ) A.-50 B.0 C.2 D.50
答案 C 本题主要考查函数的奇偶性和周期性. ∵f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,∴f(0)=0, f(-x)=-f(x),① 又∵f(1-x)=f(1+x),∴f(-x)=f(2+x),② 由①②得f(2+x)=-f(x),③ 用2+x代替x得f(4+x)=-f(2+x).④ 由③④得f(x)=f(x+4), ∴f(x)的最小正周期为4. 由于f(1-x)=f(1+x), f(1)=2,故令x=1,得f(0)=f(2)=0, 令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0, 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.
函数图象的识辨
1.(2018课标Ⅱ,3,5分)函数f(x)=
ex
ex x2
的图象大致为
(
)
答案 B 本题主要考查函数的图象.
因为f(x)的定义域关于原点对称且f(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数,排除A选项;
由f(2)=
e2
1 e2
>1,排除C、D选项.故选B.
4
方法总结 函数图象的识辨方法 (1)由函数的定义域判断图象的左右位置,由函数的值域判断图象的上下位置; (2)由函数的单调性判断图象的变化趋势; (3)由函数的奇偶性判断图象的对称性; (4)由函数的周期性识辨图象; (5)由函数图象上的特征点排除不符合要求的图象.
所以由
xf
(x
1)
0
可得：
x 0 2
x
1
0或x
1
2
或
x 0
0 x
1
2或x
1
2
或
x
0
解得 1 x 0或1 x 3 ，所以满足 xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是1, 0 1, 3 ，故选 D．
由函数零点求参数的取值范围
ex , x 0,
(2018课标Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=
图所示，结合图象可知，要使
f
(x
1)
f
(2x)
，则需
x 1 0
2x
0
2x x 1
或
x 1≥ 2x 0
0
，所以
x
0
，故选
D．
y
x O
方法总结 若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有 (1)f(x+a)=-f(x)(a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.
(2)f(x+a)= 1 (a≠0, f(x)≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.
6 4
-log24=
3 2
-2<0,∴选项中包含f(x)零点的区间是(2,4).
f (x)
(3)f(x+a)=- 1 (a≠0, f(x)≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.
f (x)
当x=0时,h(0)=-a, 由图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点, 需要-a≤1,即a≥-1.故选C.
方法总结 已知函数零点的个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数 问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.
ln x, x 0
数零点个数及所在区间的判断
1.(2014北京,6,5分)已知函数f(x)=
6 x
-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是
(
)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)
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答案 C 易知f(x)是单调递减函数.∵f(1)=6-log21=6>0, f(2)=3-log22=2>0, f(3)=2-log23>0, f(4)=