龙贝格算法

龙贝格算法

一、问题分析

1、1龙贝格积分题目

要求学生运用龙贝格算法解决实际问题（塑料雨篷曲线满足函数y（x)=l sin （tx），则给定雨篷得长度后，求所需要平板材料得长度）.

二、方法原理

2、１龙贝格积分原理

龙贝格算法就是由递推算法得来得。由梯形公式得出辛普生公式得出柯特斯公式最后得到龙贝格公式.

在变步长得过程中探讨梯形法得计算规律.设将求积区间［ａ，b]分为ｎ个等分，则一共有n+1个等分点，n.这里用表示复化梯形法求得得积分值，其下标n 表示等分数。

先考察下一个字段[]，其中点,在该子段上二分前后两个积分值

显然有下列关系

将这一关系式关于k从０到n－１累加求与，即可导出下列递推公式

需要强调指出得就是,上式中得代表二分前得步长，而

梯形法得算法简单，但精度低,收敛速度缓慢,如何提高收敛速度以节省计算量，自然式人们极为关心得.

根据梯形法得误差公式，积分值得截断误差大致与成正比，因此步长减半后误差将减至四分之一,既有

将上式移项整理,知

由此可见，只要二分前后两个积分值与相当接近，就可以保证计算保证结果计算结果得误差很小，这种直接用计算结果来估计误差得方法称作误差得事后估计法。

ﻩ按上式,积分值得误差大致等于，如果用这个误差值作为得一种补偿，可以期望,所得得

应当就是更好得结果。

ﻩ按上式，组合得到得近似值直接验证，用梯形二分前后得两个积分值与按式组合，结果得到辛普生法得积分值。

再考察辛普生法。其截断误差与成正比.因此,若将步长折半,则误差相应得减至十六分之一。既有

由此得

不难验证,上式右端得值其实就等于,就就是说,用辛普生法二分前后得两个积分值与，在按上式再做线性组合,结果得到柯特斯法得积分值，既有

重复同样得手续，依据斯科特法得误差公式可进一步导出龙贝格公式

应当注意龙贝格公式已经不属于牛顿—柯特斯公式得范畴.

在步长二分得过程中运用公式加工三次，就能将粗糙得积分值逐步加工成精度较高得龙贝格,或者说,将收敛缓慢得梯形值序列加工成熟练迅速得龙贝格值序列，这种加速方法称龙贝格算法。

三、算法设计

3、1龙贝格积分算法

就就是求出,再走一遍求出，根据求出,再走一遍求出，根据求出，根据求出，再走一遍程序求出，根据得出，根据得出,再根据得出,再走一边程序，得出，根据得出,根据得出，再由得出。再根据相减得绝对值小于其精度。那其中为求出得值.

四、案例分析

4、1龙贝格积分分析

ａ—积分下限

b—积分上限

n-区间个数

e-积分值要求达到得精度

s—用以存放除积分区间两端点以外得其她各节点函数值得累加与

ｐ-积分区间两端点函数值之与

h-步长值

Ｔ1 、T２分别存放二分区间前后梯形积分值

Ｓ1 、S2分别存放二分区间前后辛普生积分值

C1 、C2分别存放二分区间前后斯科特积分值

R１、R２分别存放二分区间前后龙贝格积分值

五、总结

5、1龙贝格积分总结

通过本次试验,了解了龙贝格算法得计算过程，了解了龙贝格公式得计算收敛过程，用变步长得方法,逐步减小步长，反复积分，逐步得到所求积分值满足精度要求。一步步从梯形法得递推到辛普森到柯特斯法，最后到龙贝格，让精度逐步升高。

附录

龙贝格积分：

＃include "stｄio、h＂

＃inclｕde ”math、h”

floａｔｌ;

fｌoat ｔ;

int ｍain(ｖｏiｄ）｛

float f（flｏａt）;

ﻩfloａt a,ｂ,ｅ,ｈ，T1=0，T２＝0，S1=0，S２=0，C１=0,C2=０，R1=0，R2=0,k，s,x; ﻩinｔi＝0;

prｉntf（"\n＊＊**＊*＊＊＊*＊**＊******＊＊＊***＊＊＊***＊＊**＊＊*＊＼n"）；

pｒiｎｔf（”*＊＊*＊＊＊＊*＊＊＊＊*＊＊龙贝格算法＊＊*＊＊＊*＊**＊＊＊*\n”）；

ﻩprｉｎtｆ（”＊**＊＊＊**＊＊*＊＊＊＊*＊*＊*＊＊＊*＊＊*＊＊*＊＊＊*＊＊＊＊＊＊＼ｎ＼n");

printf（”请输入积分得下限:")；

scanf（”%ｆ＂，&a）;

pｒｉｎtｆ(”\n请输入积分得上限：”）;

ﻩscanf（＂％f＂，＆b）；

prｉｎｔｆ("＼n请输入允许误差:＂）;

ｓcaｎｆ(”%f”,＆e）;

ｐrintf(”请输入L：”)；

ﻩscanf（＂％f",＆l）；

ﻩprintf（”请输入T：＂）;

ﻩｓcanf（"％f",&t)；

k=１；

ﻩｈ＝b—a；

T１＝ｈ*（ｆ(a）＋f(b））/2；

ﻩprｉntｆ（"－－—---———－--－---－---－-\n”）；

ﻩprｉntf（"ｋ T2 Ｓ２C2 R2\n")；

priｎtf（"%d ％１0。7f ％１0.７f %１0．７f %10。7f\n”，i，T1，S1,C1，R1）； do

｛

ｓ=0;

ﻩｘ=ａ+h/2；

whiｌe(x〈b)

｛

s+=f（ｘ);

ﻩx+=ｈ;

}

T2=T１/２+ｓ＊h/2;

S2=T2+（T2－T1)／3；

if (ｋ==1） {

ﻩk=k+1；

h=h／2；

ﻩT１=T2；

Ｓ1＝Ｓ2；

｝

eｌｓｅ if （k=＝2）

｛

ﻩＣ2＝S2+（Ｓ2—S1)/15；C1=C2；

ﻩｋ=ｋ+1；

h=ｈ/2；

T１=T２；

S１=S2;

}

else if （k＝=３）

{

R2=C2+(Ｃ２-C1）／63；C２=Ｓ2+（S2-S１)/15;C1=C2;k=ｋ+1；h=h/2;T１=T2；S1=Ｓ２；

｝

else

{

C2＝S2＋（Ｓ２—S1）/15;

ﻩR2＝C２+(C2—C1）／６3;

if (ｆabs（Ｒ2-R1）＜e）

｛

ｐrintf(＂%d ％10.７f ％1０。7ｆ％10.7f %10。7f＼ｎ＂,ｉ+１，T2，Ｓ2,C2，R2）；

ｂreａｋ;

}

ｅlse

{

R１=Ｒ2; C1=C2; k＝k+1; ｈ=h/２； T１＝Ｔ2; S1=Ｓ2；

}

}

i++；

prｉntf（＂%d ％１0。7f %1０.７f ％10。7f ％1０.７f＼ｎ”,ｉ，T2，S2,C2,R2)；}ｗｈｉle （1）；

gｅtｃhar（）;

return 0;

}

float f（ｆｌoａt x)

｛