解三角形基础题

2016 解三角形基础题
一•选择题(共5小题)
1.设△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.若a=2, c=2 7, cosA=-.且b v c,
2
则b=( )
A. 3
B. 2 匚
C. 2
D. 7
2.在锐角△ ABC中,角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若二二，a=2, _ 7, 则b的值为( )
A.二B^ C. 匚D. U
2
3.在△ ABC中, a, b, c分别是角A, B, C的对边，且满足acosA=bcosB,那么△ ABC的形
状一定是( )
A.等腰三角形B .直角三角形
C•等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形
4.在锐角△ ABC中,若C=2B则£的范围( )
b
A. 4?厂】
B. 「
C. (0, 2)
D. ■ ■-
5.在△ ABC中，若(a+c) (a-c) =b (b+c),则/A=( )
A. 90°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
二.解答题(共7小题)
6.已知直线I经过点P(丄，1),倾斜角a =.，圆C的极坐标方程为p = .：cos( 0 -).
2 6 4
(1)写出直线I的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；
(2)设I与圆C相交于两点A, B,求点P到A, B两点的距离之积.
7.在锐角厶ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2asinB=二b.
(I)求角A的大小；
(U)若a=6, b+c=8,求厶ABC的面积.
8.设△ ABC的内角A, B, C所对边分别为a, b, c,且a+c=6, b=2, cosB=.
9
(1)求a, c的值；
(2)求sin (A- B)的值.
9.在△ ABC中，A B C的对边分别为a、b、c,己知c-b=2bcosA.
(1)若a=2 :, b=3,求c;
(2)若CJ，求角B.
2
10.已知△ ABC三个内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 2ccosB=2a- ^b.
(I)求C；
(U)若cosB—，求cosA的值.
3
".△ ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,且bcosC+ccosB=2acosB
(1)求角B的大小；
(2)若；d 一一1,求厶ABC的面积.
12.设锐角三角形ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, a=2bsinA
(I)求B的大小；
(U)若二W, c=5,求b.
2016解三角形基础题
参考答案与试题解析
一.选择题(共5小题)
1.(2015?广东)设厶ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.若a=2, c=2二，cosA=.且2
b v c,则b=( )
A. 3
B. 2 匚
C. 2
D.二
【考点】正弦定理.
【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2- 2bccosA，解关于b的方程，结合b v c,即可得到b=2. 【解答】解：a=2, c=2 二，cosA=g .且b v c,
£
由余弦定理可得，
2 2 2
a =b+c —2bccosA,
即有4=b2+12- 4 Ub,
2
解得b=2或4,
由b v c,可得b=2.
故选：C.
【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题.
2.（2016?太原校级二模）在锐角△ ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若虽皿二型2,
■_:l
a=2, 厂「，则b的值为（）
A.二
B.
C. 匚
D. U
2
【考点】正弦定理.
【分析】在锐角△ ABC中，利用sinA=亠二,S^ABC=匚，可求得bc，再利用a=2,由余弦定
3
理可求得b+c,解方程组可求得b的值.
【解答】解：•••在锐角厶ABC中, sinA=Al, S^B=匚，
3
bcsinA~bc—-—=.:,
2 2 3
二bc=3,①
又a=2, A是锐角，
•••cosA=打_ -、-=，
•••由余弦定理得：a2=b2+c2- 2bccosA,
即（b+c）2=a2+2bc （1+cosA）=4+6 （1 + ：）=12,
• b+c=2 甘.:②
由①②得：‘',
lbc=3
解得b=c=.
故选A.
【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题.
3.（2016?大连一模）在厶ABC中, a, b, c分别是角A, B, C的对边，且满足acosA=bcosB, 那么△ ABC的形状一定是（）
A.等腰三角形B •直角三角形
C•等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形
【考点】正弦定理.
【分析】根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理
得sin2A=sin2B，进而推断A=B 或A+B=90°答案可得.
【解答】解：根据正弦定理可知I bcosB=acosA
• sin BcosB=s in AcosA
sin 2A=si n2B ••• A=B 或2A42B=180 即A+B=90° ,
即有△ ABC为等腰或直角三角形.
故选C.
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，考查二倍角公式及诱导公式的运用，考查计算
能力，属基础题.
4.(2014?萧山区模拟)在锐角△ ABC中,若C=2B则£的范围( )
b
A. 「-
B. 「•
C. (0, 2)
D. ‘
【考点】正弦定理；函数的值域.
【分析】由正弦定理得•，再根据厶ABC是锐角三角形，求出B, cosB
b sinB sinB
的取值范围即可.
【解答】解：由正弦定理得；「'：」「，•••△ ABC是锐角三角形，•三个内角
b sinB sinB
均为锐角，
即有••「一，0V n —C- B=n - 3B＜ '
2 2 2
解得丄；-■丄，又余弦函数在此范围内是减函数.故一＜cosB＜丄—
6 4 2 2
•匚＜＜二
b
故选A
【点评】本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质.易错点是B角的范围确定不准确.
5.(2016?马鞍山)在厶ABC中，若(a+c) (a-c) =b (b+c)，则/ A=( )
A. 90°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
【考点】余弦定理.
【分析】把已知的等式左边利用平方差公式化简，右边去括号化简，变形后得到a，b及c
的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式代入即可求出cosA的值，由A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数.
【解答】解：由(a+c) (a- c) =b (b+c)变形得：
a2- c2=b2+bc，即a2=c2+b2+bc
根据余弦定理得cosA=；' 匚=I'=—
2bc 2bc 2
因为A 为三角形的内角，所以/ A=120 . 故选C
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理的结构特点 是解本题的关键. 二•解答题（共7小题）
6. （2015?商丘一模）已知直线I 经过点P （丄，1）,倾斜角a 』，圆C 的极坐标方程为
2 6
p =1「_：COS （ 0 — ）.
（1） 写出直线I 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （2） 设I 与圆C 相交于两点A ，B ,求点P 到A ，B 两点的距离之积. 【考点】直线和圆的方程的应用；点的极坐标和直角坐标的互化.
【分析】（1）由已知中直线I 经过点.，倾斜角：'，利用直线参数方程的定义，
2 6
我们易得到直线I 的参数方程，再由圆C 的极坐标方程为「…一厂；，利用两角差 的余弦公式，我们可得 p =cos 0 +sin 0，进而即可得到圆C 的标准方程.
（2）联立直线方程和圆的方程，我们可以得到一个关于t 的方程，由于|t|表示P 点到A,
B 的距离，故点P 到A ，B 两点的距离之积为|t 1?t 2|，根据韦达定理，即可得到答案.
由「一 _, : -1 . - -
【解答】解：（1）直线I 的参数方程为】
（t 为参数）•••（ 2分）
尸T
所以p 2= p cos 0 + p sin 0・・・（4 分）得・-'-•••（6分）
得- I 4 •••( 8分)川J「[ •••( 10分)
【点评】本题考查的知识点是直线与圆的方程的应用，点的极坐标和直角坐标的互化，其
中准确理解直线参数方程中参数的几何意义，极坐标方程中p，9的几何意义，是解答本
题的关键.
7.(2013?浙江)在锐角△ ABC中，内角A，B, C的对边分别为a，b，c,且2asinB=二b.
(I)求角A的大小；
(U)若a=6，b+c=8,求厶ABC的面积.
【考点】正弦定理；余弦定理.
【分析】(I)利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
(U)由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求
出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积.
【解答】解：(I)由2asinB= _；b，利用正弦定理得：2sinAsinB= _；sinB，
■/ sinB 工0，二sinA=—-，
2
又A为锐角，
则A=—;
3
2 2 2 2 2 2
(U)由余弦定理得：a =b +c - 2bc?cosA，即36=b +c - bc= (b+c) - 3bc=64-3bc，
••• bc= ，又sinA=—-，
3 2
贝U S^AB(= bcsinA=——
2 3
【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
8.(2013?山东)设厶ABC的内角A，B, C所对边分别为a，b，c，且a+c=6, b=2, cosB=「.
9
(1)求a, c的值；
(2)求sin (A- B)的值.
【考点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；正弦定理.
【分析】(1)利用余弦定理列出关系式，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，
求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可;
(2)先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a, b及sinB 的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值.
【解答】解：(1)：a+c=6①，b=2，cosB=，
9
•••由余弦定理得：b2=a2+c2- 2accosB= (a+c) 2- 2ac-宀ac=36--二ac=4，
9 9
整理得：ac=9②，
联立①②解得：a=c=3;
(2)v cosB=，B为三角形的内角，
9
• sinB= - =- 二，
••• b=2, a=3, sinB「亠，
3><W2
•••由正弦定理得：sin A= = '二一，
b 2 3
I a=c，即A=C • A为锐角，
•••cosA= 「=；，
则sin (A- B)=sinAcosB - cosAsinB= F -「-"厂
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
9. (2016?贵阳一模)在厶ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c,己知c - b=2bcosA.
(1)若a=2 :, b=3，求c;
(2)若C=，求角B.
【考点】正弦定理；余弦定理.
【分析】(1)由余弦定理化简已知等式，整理可得：a2=b2+bc，代入已知即可解得c的值. (2)由题意A+B=，可得sinA=cosB, cosA=sinB，由正弦定理化简已知等式可得：
2sin 2B+sinB - 1=0,解得sinB，即可求B=—.
6
【解答】解：(1)v c - b=2bcosA.
•由余弦定理可得：
,2 . 2 2
c - b=2bx ' -，整理可得：a2=b2+bc,
2bc
-a=2 , b=3,
••• 24=9+3c,解得：c=5.
(2)v C= ,.•. A+B=，可得sinA=cosB , cosA=sinB ,
2 2
.・c - b=2bcosA,由正弦定理可得：sin (A+B =2sinBcosA+sinB ,
可得: sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA+sinB ,
解得: cos2B+sin2B=2sin2B+sinB=1,即：2sin 2B+sinB- 1=0,
可得: sinB=】或-1 (舍去).即B=i .
2 6
【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了一元二次方程的解法，诱导公式的应用，属于基础题.
10. (2015?邢台模拟)已知△ ABCE个内角A, B, C的对边分别为a，b，c，2ccosB=2a-迓b.
(I)求C；
(U)若cosB^，求cosA的值.
3
【考点】正弦定理；余弦定理.
【分析】(I )已知等式利用正弦定理化简，把sinA=sin (B+Q代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理求出cosC的值，即可确定出C的度数；
(U)由cosB的值，求出si nB的值，cosA变形为-cos (B+Q，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值.
【解答】解：(I)由正弦定理得2sinCcosB=2sinA - _；sinB ,
即2sinCcosB=2sin (C+B - ；sinB ,
.2sinCcosB=2sinCcosB+2cosCsinB - ■:sinB，即2cosCsinB —、：：?：sinB=0 , ■/ sinB 工0,
.2论-二=0,即cosC：, •/ 0v C v n ,
.C=；
cosB= , 0v C v n ,
.sinB=*「u_F=，，
二cosA=- cos (B+C =-( cosBcosC- sinBsinC ) =-dE x Z =晶-2胰.
3 2 3 2 6
【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
11.(2016秋?秀山县校级期中)△ ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,且
bcosC+ccosB=2acosB
(1)求角B的大小；
(2)若；一一】，求厶ABC的面积.
【考点】正弦定理；余弦定理.
【分析】(1)利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角B的大小；
(2)利用余弦定理求出ac的值，代入三角形的面积公式即可.
【解答】解：(1)v bcosC+ccosB=2acosB
•••由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosBsinA=2sinAcosB ,
■/ si nA > 0,
• -
■/ O v B v n ,•：.
'D3
(2)v : 1 ：'；< al
• b2=a2+c2- 2accosB=a2+c2- ac= (a+c) 2- 3ac
即13=16- 3ac,
解得ac=1,
，J
【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键.
12.(2007?全国卷I)设锐角三角形ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, a=2bsinA
(I)求B的大小；
(U)若一c=5,求b.
【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用.
【分析】(1)根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ ABC为锐角三角形可得答案.
(2)根据(1)中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值.
【解答】解：(I)由a=2bsinA,
根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以计■，‘ ,
2
由厶ABC为锐角三角形得」一_
(U)根据余弦定理，得b2=a2+c2- 2accosB=27+25- 45=7.
所以，.二
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用•在解三角形中正余弦定理应用的很广泛，一定要熟练掌握公式.。