控制论常用的矩阵不等式
%80%a7矩阵不等式及其在控制工程中的应用
［=］ 。 以很好 地 弥 补 H5II905 方 程 方 法 的 上 述 不 足 在解线性矩阵不等式时， 不需要预先调整任何参
[
]
（ "） 是 0 . 0 维的。 假定 ’%% （ "） 是非奇异 式中，’%%
% 1（ 的， 则 ’!! （ " ） 1 ’!% （ "） （ " ）称 为 是 ’%% "） ’%! （ "） 在’ （ "） 中的 ,I8K1 补。下面不加证明地 ’%%
- 基于 !"# 的不确定系统鲁棒控制器与 滤波器的设计
不确定系统的鲁棒控制与滤波问题的提出基 于如下考虑。 !被控对象不是由一个确定的模型来描述 的， 仅仅知道模型属于某个已知的模型集合； "外部信号包括干扰信号和传感器噪声等不 万方数据 是具有已知特性的信号， 仅仅知道其属于某个已
第4期
高金凤等：线性矩阵不等式及其在控制工程中的应用
时域、 从定常系统到时变系统、 从线性系统到非线 性系统、 从连续系统到离散系统、 从无时滞系统到 时滞系统以及从单目标到多目标的控制等发展历 程。 随着不确定系统鲁棒二次镇定和 ! E 状态空 间理论研究所取得的突破性进展， 保成本控制引 起许多学者的极大兴趣并得到了不少成果。一个 实际控制系统仅仅具有稳定性是不够的， 还必须 考虑其他的一些性能。线性二次型最优控制理论 揭示了一个适当的二次型性能指标， 能反映系统
《鲁棒控制》-6-线性矩阵不等式
(≤ 0)
为线性矩阵不等式（LMI）。
当存在实向量 x ，使得 F ( x) < 0(≤ 0) ，则称 LMI F ( x) < 0(≤ 0) 可行或存在可
行解。
LMI 的可行解全体构成一凸集。
令 X 是一实对称矩阵，对于任意给定实数矩阵 A 和实对称矩阵 Q ，则矩阵
不等式
AT X + XA + Q < 0
⎢ ⎣
0
⎡I ⎢⎣0
−S12 I
S −1 22
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢⎣
S11 S21
S12 S22
⎤ ⎥⎦
⎡I ⎢⎣0
−S12 I
S −1 22
⎤T ⎥ ⎦
0
⎤
S22
−
S21S1−11S12
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
S11
⎣
−
S12
S −1 22
S21
S21
0 ⎤⎡ I
S22
⎥ ⎦
⎢⎣−
S −1 22
S
21
0⎤
I
⎥ ⎦
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
假设 D + DT > 0 。 令
H (s) = C (sI − )A −1 B + D
系统无源（passive）: 当 x (0) = 0 时，
∫T 0
uT
(t
)y
(t
)
dt
≥
0
● 系统无源 iff
ALQ
⎤ ⎥
⎥
0 ⎥<0
#
⎥ ⎥
用线性矩阵不等式方法求解控制理论问题_张怡
（ａ）包覆不完全
（ｂ）形成间隙
图 １ 粘结剂对炸药的润湿状况
（２）对于水悬浮法，造粒过程有水存在，此时发生 自动铺展的条件为：△Ｇ＝ γＥＢ＋ γＢＷ－ γＥＷ＜ ０。 式中：γＥＢ、γＢＷ、γＥＷ 分别为炸药－ 粘结剂、粘结剂－ 水、炸 药－ 水界面张力。如果粘结剂满足在空气中能够完全 润湿炸药的条件，则上式可整理为：
－ １／２ － １／２
其中，λｍａｘ （Ｘ，Ｙ） 表示矩阵Ｙ ＸＹ 的最大特征值。
ＧＥＶＰ是半凸（ｑｕａｓｉｃｏｎｖｅｘ） 优化问题。
－１
（４）凸问题 （ＣＰ）：ｍｉｎｌｏｄｅｔ Ａ（Ｘ） ， ｓ．ｔ Ａ（Ｘ） ＞ ０，
Ｂ（Ｘ） ＞ ０。
（９）
这里Ａ、Ｂ是仿射依赖于变量Ｘ的对称矩阵，注意当Ａ＞０
－１
等式问题。
在非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式的许
多问题中，常常用到矩阵的Ｓｃｈｕｒ补性质定理。
# $ 定理（Ｓｃｈｕｒ补）线性矩阵不等式：
Ｑ（Ｘ） Ｓ（Ｔ Ｘ）
Ｓ（Ｘ） Ｒ（Ｘ）
（３）
其中Ｑ（Ｘ）＝Ｑ（Ｘ）Ｔ，Ｒ（Ｘ）＝Ｒ（Ｘ）Ｔ，Ｓ（Ｘ）是等价于非线性矩阵
不等式： Ｒ（Ｘ） ＞ ０，Ｑ（Ｘ）－ Ｓ（Ｘ）Ｒ（Ｘ）－１Ｓ（Ｘ）Ｔ＞ ０。 （４）
该步骤，直至收敛到问题的最优解。该算法虽简单，但
ห้องสมุดไป่ตู้
效率不高，仅适用于较小规模问题。
１９８８年，Ｎｅｓｔｅｒｏｖ和Ｎｅｍｉｒｏｖｓｋｉｉ提出了内点法，用
来求解具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题，取得
了良好的效果。其基本思想是：运用约束集定义一个
凸的障碍函数，将其附加到原问题的目标函数中，以
一个无约束优化问题代替原有的约束优化问题，运用
线性矩阵不等式
则应用引理 2.1.2，可以将矩阵不等式（2.1.6）的可行性问题转化成一个等价的矩阵不等 式
AT P PA Q PB
BT P
R0
（2.1.7）
的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量P的线性矩阵不等式。
2.3一些标准的线性矩阵不等式问题
例2.1.1 稳定性问题 考虑线性自治系统
x(t) Ax(t)
setlmis([]) X=lmivar(1,[61]) S=lmivar(1,[20;21]) ﹪lst LMI lmiterm([111x],1,A,’s’) lmiterm([111s],c’,c) lmiterm([112x],1,B) lmiterm([122s],-1,1) ﹪2nd LMI lmiterm([-211X],1,1) ﹪3rd LMI lmiterm([-311s],1,1) lmiterm([3110],1) lmisys=getlmis
m 是一组给定的实对称矩阵，（2.1.1）中的不等号“＜”指的是矩阵 F(x)是负定的，即对所有
非零的向量 v Rm , vT F (x)v0 或者 F(x)的最大特征值小于零。
在许多系统与控制问题问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例如 Lyapunov 矩阵 不等式：
F ( X ) AT X XA Q0
lmivar 函数lmivar用来描述出现在线性矩阵不等式系
统中的矩阵变量，每一次只能描述一个矩阵变 量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。 该函数的一般表达是：
X=lmivar(type,struct) 这一函数定义了一个新的矩阵变量X。函数中
的第一个输入量type确定了矩阵变量X的类型， 第二个输入量struct进一步根据变量X的类型给 出该变量的结构。变量的类型分成三类：
矩阵不等式理论及其在控制理论中的应用
矩阵不等式理论及其在控制理论中的应用矩阵不等式理论是现代数学中的一个重要分支，其在控制理论领域中扮演着重要角色。
本文将介绍矩阵不等式理论的基本概念，讨论其在控制理论中的应用，并探讨相关研究的前沿发展。
一、矩阵不等式理论的基本概念1.1 矩阵基础知识在讨论矩阵不等式理论之前，我们首先需要了解一些矩阵的基础知识。
矩阵是由一些数构成的矩形阵列，可以表示为$m\times n$的矩阵$A$：$A=[a_{ij}]_{m\times n}$，其中$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列元素。
1.2 矩阵不等式定义矩阵不等式是对矩阵中元素的一种约束条件。
常见的矩阵不等式有大于等于不等式、小于等于不等式、严格大于不等式和严格小于不等式。
比如对于两个矩阵$A$和$B$，$A\geq B$表示对应元素满足$a_{ij}\geq b_{ij}$。
二、矩阵不等式理论在控制理论中的应用2.1 线性矩阵不等式线性矩阵不等式是矩阵不等式理论的重要应用之一。
在控制理论中，通过线性矩阵不等式可以描述线性系统的性能和稳定性。
线性矩阵不等式的求解可以通过线性矩阵不等式方法或凸优化方法来实现。
2.2 非线性矩阵不等式除了线性矩阵不等式，非线性矩阵不等式也在控制理论中起到关键作用。
非线性矩阵不等式可以描述非线性系统的性能和稳定性。
然而，非线性矩阵不等式的求解相较于线性矩阵不等式更加复杂，需要运用数值计算和最优化等方法。
2.3 随机矩阵不等式随机矩阵不等式是指矩阵不等式中包含随机变量的情况。
在控制理论中，随机矩阵不等式可用于描述带有随机干扰的系统的性能和鲁棒稳定性问题。
随机矩阵不等式的求解方法包括最优化方法和随机矩阵计算方法。
三、矩阵不等式理论的前沿发展矩阵不等式理论在控制理论中的应用仍在不断发展。
近年来，针对矩阵不等式理论的研究趋势主要体现在以下几个方面：3.1 非线性矩阵不等式的求解算法改进由于非线性矩阵不等式的求解复杂度较高，需要运用数值计算和最优化等方法。
矩阵不等式
(5.1.3) (5.1.4)
推论: Hermite 矩阵的特征值都是实数; 反 Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数。 事实上，当 A 为 Hermite 矩阵时，由式（5.1.4） 知 Im( )=0,即 为实数； 当 A 为反 Hermite 矩阵时，由式（5.1.3）知 Re( )=0,即为 为零或纯虚数。 定义.5.1 设 A (ars ) C
a1
h
p O q ak
定理 5.5 （Schur’s inequality） 设 A=(ars)Cn×n 的特征值为1，…，n，则有
| r |2
r 1
n
r ,s 1
| a
n
rs
|2 || A ||2 F
(5.1.9)
证明：根据定理 1.43,存在酉矩阵 U 使得 A=UTUH 其中 T 为上三角矩阵。因此 T 的对角元素为 A 的特征值，且有
b
i 1 j i
n 1
ij
( xi y j x j yi ) |2
2
n (2M) | xi y j x j yi | i 1 j i
2
(利用(a1+a2+…+an)2 n((a1)2+(a2)2+…+(an)2)
n 2 (2M) (n(n1)/2) | xi y j x j yi | i 1 j i
xT x yT x
(求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (xTx+yTy)=xTAx+yTAy (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： (xTx+yTy)=xT(AAT)y 1). 记 B=AAT,则 |xTBy|||x||2 ||B||2||y||2 从而 ||||x||2 ||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y||2)2) 利用 ab/(a2+b2)1/2 可得 ||||B||2 /2. 2). 由于|xTBy|||Bx||1 ||y||||B||1||x||1 ||y|| 从而 ||||B||1 ||x||1 ||y|| /((||x||2)2 +(||y||2)2) 易证明 ||x||1 ||y|| /((||x||2)2 +(||y||2)2) n /2. (显然，不妨假设(||x||2)2 +(||y||2)2=1, 设||y||=t=cos(), 则 y 必为 t ej 的形式（为什么？） ， 从而极值转化为求解如下最大值问题： max ||x||1, 满足约束(||x||2)2=1t2 这样有均值不等式||x||1 n ||x||2=
矩阵不等式
如果A按行严格对角占优，则
(5.1.5)
且当ars=0(s>r)时，式(5.1.5)中等号成立。
证明：由于A按对角占优，所以det(A)0.
考虑方程组
因为A按行对角占优，因此A1也按行对角占优。
从而A1可逆。上述线性方程组有唯一解
x(1)=(2,…,n)T.
可以证明|k|=max {|2|,…,|n|} <1,
则|yHBy| .
定理5.2设ACn×n，则A的任一特征值 满足
| | ||A||
(5.1.3)
(5.1.4)
推论:Hermite矩阵的特征值都是实数;
反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数。
事实上，当A为Hermite矩阵时，由式（5.1.4）
知Im( )=0,即 为实数；
当A为反Hermite矩阵时，由式（5.1.3）知
4). |xTBy|=| |
而 (xTx)1/2(yTy)1/2
由此可以有||(1/2)
思考题：对于(1)式，利用定理特征值都是实数。
事实上，当A这实对称矩阵时，M=0.
由定理5.1可得Im( )=0,即 为实数。
引理1设BCn×n,列向量yCn满足||y||2=1,
易证明||x||1||y||/((||x||2)2+(||y||2)2) /2.
(显然，不妨假设(||x||2)2+(||y||2)2=1,
设||y||=t=cos(),则y必为tej的形式（为什么？），
从而极值转化为求解如下最大值问题：
max||x||1,满足约束(||x||2)2=1t2
这样有均值不等式||x||1 ||x||2= (1t2)1/2,
线性矩阵不等式2
应用Schur 补,即得定理3.3成立。
y w
2 2
即得闭环系统(3-3)的L2增益小于γ。 再由
V x yT y 2wT w 0
知，当闭环系统(3-3)满足H∞性能指标γ时， V x 0.
定理得证。
Question
为什么考虑零初始条件？若非零初始 条件，系统H∞性能指标不满足。 V x 0 的证明太过牵强。
（3-3）
y Cx
A = A BK MF t E1 E2 K 系统(3-2)的L2 增益定义为：
Tyw s
sup
w 2 0
y w
2 2
定理3.2 针对闭环系统(3-3)和给定的一个常数γ >0,若 存在对称矩阵P>0,使得如下矩阵不等式成立
AT P PA C T C DT P PD 0 2 I
M , E1 和 E 2
是反映不确定性结构的常数矩阵，
。
F t 是时变的不确定矩阵，且满足 F T t F t I
设计状态反馈控制律
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u t Kx t
闭环系统可写为 x A BK MF t E1 E 2 K x Dw = Ax + Dw
记X=γP CT T D 0 I
AT X XA XB BT X 2 I C D
CT T D 0 I
矩阵的几个不等式
矩阵的几个不等式1. 矩阵的不等式定义：矩阵的不等式指的是一组矩阵的元素之间的比较，它可以是大于、小于或等于关系。
矩阵的不等式可以表示为A≤B，其中A和B分别是两个矩阵，A≤B表示A中的每个元素都小于等于B中的对应元素。
## 2. 矩阵的不等式性质1. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥A；2. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤2A；3. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠A；4. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠2A；5. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥2A；6. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤A；7. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠0；8. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠-A；9. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥0；10. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤-A。
3. 矩阵的不等式应用矩阵的不等式应用可以用于多种情况，如矩阵的范数估计、矩阵的特征值估计、矩阵的迹估计、矩阵的奇异值估计、矩阵的乘积估计等。
此外，矩阵的不等式应用还可以用于求解线性方程组、求解矩阵的逆等问题。
此外，矩阵的不等式应用还可以用于矩阵的正定性判断、矩阵的正交性判断等。
#### 4. 矩阵的不等式推导1. 对于矩阵A，若A的行列式不为零，则有A的逆矩阵存在；2. 若A的行列式为零，则A的逆矩阵不存在；3. 对于任意矩阵A，有A+A的逆矩阵存在；4. 对于任意矩阵A，有A*A的逆矩阵存在；5. 对于任意矩阵A，有A*A+A的逆矩阵存在；6. 对于任意矩阵A，有A*A*A的逆矩阵存在；7. 对于任意矩阵A，有A*A*A+A的逆矩阵存在；8. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A的逆矩阵存在；9. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A+A的逆矩阵存在。
5. 矩阵的不等式变换：矩阵的不等式变换是指将一个矩阵中的不等式变换为另一个矩阵，这样可以更容易地解决矩阵的不等式问题。
变换的方法有很多，比如可以使用行列式，矩阵乘法，矩阵加法，矩阵转置等。
鲁棒控制理论与设计 第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式
第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式本章介绍本书中所用到的必要矩阵论方面数学知识，集中建立和证明一些常用的矩阵方程，不等式以及与线性矩阵不等式(LMI)有关的基本公式，这些公式与引理在后续各章中均有引用。
3.1 矩阵运算基础3.1.1 矩阵运算本小节给出矩阵运算中得一些基本定理和算法。
定理3.1.1 考虑一般的阶分块方阵m n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A A A (3.1.1)式中和分别为阶和阶可逆矩阵，则有如下两个矩阵求逆公式，即11A 22A n m 111211121112122121111111211221211][][−−−−−−−−+=−A A A A A A A A A A A A A (3.1.2)和122121211221211112111212212111][][−−−−−−−=−A A A A A A A A A A A A(3.1.3)证明：略。
定理3.1.2 （矩阵求逆引理）111111][][−−−−−−+−=+CA B CA I B A A BC A(3.1.4)证明：在(3.1.2)式中，令I A C A B A A A ====22211211,,,,便得(3.1.4)式。
定理 3.1.3 如果A 是按式(3.1.1)分块划分，则有]A det[det det 21-122121122A A A A A −⋅=(3.1.5) 和]A det[det det 12-111212211A A A A A −⋅=(3.1.6)证明：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−I A A A A A A A A A IA A A A 00122122112212111222112222211211 (3.1.7)所以有]det[det det 211221211122A A A A A A −−−=⋅注意到22122det 1det A A =−，便得(3.1.5)式。
性矩阵不等式及在控制理论中的应用
3 期 张家凡 ,郑 晓 ,胡志刚 : 线性矩阵不等式及在控制理论中的应用
57
algorit hm) [ 13 ] ; 还有功能与 Matlab 类似的免费软件 Scilab ( 该软件可以从其网页 http :/ / www - rocq. inria. f r/ scilab 上下载) ,其采用一种原 - 对偶内点法 (primal - dual interior - point algorit hm) 。 这二种软
m
) y ) = F0 + F (λ x + (1 - λ
i =1
∑(λx
i i
i
+ (1 -
λ ) y i ) Fi
m
) F0 + λ = λF0 + ( 1 - λ
m
j =1
∑x F
) + (1 - λ
i =1
∑y F
i
i
) F ( y ) > 0 证毕 。 = λF ( x ) + ( 1 - λ
x 的仿射函数 。 这是一个准凸 ( quasiconvex) 问题
[6 ]
1 . 2 . 2 性质 ( 2) 有限个 L M I 凸集的交集也是凸
集 , 并可以等价地用一个 L M I 表示 。 以两 个 L M I 凸 集 为 例 说 明 。 设 F( x) > 0 ,
G ( x ) > 0 , 它们的交集表示为{ x | F ( x ) > 0 } ∩ { x | G ( x ) > 0 } , 它可等价地由单个 L M I 表示 , 即 x: F( x) O O G( x)
56
武 汉 工 业 学 院 学 报 2002 年
Linear Matrix Inequalities in Control [控制中的线性矩阵不等式]
![Linear Matrix Inequalities in Control [控制中的线性矩阵不等式]](https://img.taocdn.com/s3/m/0960769cdd88d0d233d46a96.png)
is equivalent to the single LMI 1 F0 0 .. . + 0
m F0
n
xk
1 Fk
0 .. .
m Fk
≺ 0.
k=1
0
Assuming single LMI constraint causes no loss of generality. Good solvers exploit diagonal structure for computational efficiency!
8/23
Carsten Scherer
Siep Weiland
Truss Topology Design
250
200
150
100
50
0 0 50 100 150 200 250 300 350 400
9/23
Carsten Scherer
Siep Weiland
Example: Truss Topology Design
1/23
Introduction
• Overview: What can be expected from LMI techniques? • What are LMI’s and what are they good for? • Example: Truss topology design • Software • Some aspects of linear algebra
Linear Matrix Inequalities in Control
Carsten Scherer Delft Center for Systems and Control (DCSC) Delft University of Technology The Netherlands Siep Weiland Department of Electrical Engineering Eindhoven University of Technology The Netherlands
控制论中的矩阵运算及其应用
控制论中的矩阵运算及其应用当我们谈到控制论时，很多人会感到困惑，可能是因为控制论的应用范围非常广泛，而我们在平时的生活中并没有直接接触过。
控制论是指在包含各种自然科学和社会科学研究的一个学科体系，它不仅仅是一个科学，它还是一个哲学，是一个人工智能的基础。
其中，矩阵运算是控制论中的基础工具之一，接下来，我们着重探讨控制论中的矩阵运算及其应用。
一、矩阵的定义及性质在控制论中，矩阵是关键的工具之一。
矩阵可以定义为一个表格，其中的元素可以是数字、符号或函数。
一个$ m × n$的矩阵由$m$行和$n$列构成，通常记作$A_{m×n}$，其中$A_{i,j}$表示在第$i$行和第$j$列的元素。
例如，下面是一个$ 2×3$的矩阵：$$\begin{bmatrix} 1& 2& 3\\ 4& 5& 6 \end{bmatrix}$$矩阵的迹是指对角线上的元素之和，它可以用Tr（$A$）表示。
对于一个$n×n$的矩阵$A$，如果对于每个$i=1,2,…,n$，$A_{i,j}=A_{j,i}$，那么它就是一个对称矩阵。
如果一个矩阵$A$的元素全为0，那么它就是一个零矩阵，一般记作$0_{m×n}$。
矩阵的加法和减法是按照相同位置的元素相加或相减。
例如，对于两个$ m × n $的矩阵$A$和$B$，它们的加法$A+B$可以表示为：$$(A+B)_{i,j} = A_{i,j}+B_{i,j}$$矩阵还可以进行常数乘法，即将一个常数$k$与矩阵的每个元素相乘。
例如，对于一个$m × n$的矩阵$A$和一个常数$k$，它们的乘积$ kA$可以表示为：$$kA_{i,j} = k \cdot A_{i,j}$$二、矩阵乘积的定义和性质在控制论中，矩阵乘积是非常重要的一种运算，它可以表示多个线性变换的复合运算。
对于两个矩阵$A_{m × n}$和$B_{n × p}$，它们的乘积$C_{m × p}$定义为：$$ C_{i,j} = \sum ^{n}_{k=1} A_{i,k}B_{k,j} $$例如，对于两个矩阵：$$ A = \begin{bmatrix} 1& 2\\ 3& 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 3& 4\\ 5&6 \end{bmatrix} $$它们的乘积$AB$可以表示为：$$ AB = \begin{bmatrix} 1& 2\\ 3& 4 \end{bmatrix} \begin {bmatrix} 3& 4\\ 5&6 \end{bmatrix} = \begin {bmatrix}23&34\\ 53&70 \end{bmatrix}$$矩阵乘积还有很多重要的性质。
线性矩阵不等式课件
min s.t.G(x) I
H (x) 0
➢ 广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数的不等式优化问 题
min s.t.G(x) F (x)
F(x) 0 H (x) 0
系统性能分析
连续时间系统
3.1.1系统增益指标
考虑 x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
➢系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信 号激励下的稳态输出方差来解释。(EP)
对于SISO系统 T(s) 2 ie ep
用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
H∞性能
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
f 2 也称为信号 f 的 L2 范数
L∞范数
• 对幅值有界的信号 f ，定义
f sup f (t) t0
当 f 是一个标量信号时， f 等于f 的峰值。
将所有幅值有界的信号全体记成 L
即 L { f : f (t) }
f 也称为信号f 的 L 范数。
四个性能指标
• IE(Impulse-to-Energy)增益： ie sup
严格真传递函数阵的H∞范数与矩阵不等式的等价关系
•增益 ee有一个频率域的解释：它恰好等于传
递函数 的T(s) 范数H，即
ee T(s)
用线性矩阵不等式刻画系统的H∞范数
• 定理：针对系统(3.1.1)和给定的一个常数γ >0,若 存在对称矩阵P>0,使得如下线性矩阵不等式成立
控制论常用的矩阵不等式
控制论常用的矩阵不等式1. 引言控制论是研究如何通过调节输入信号以改变和稳定系统行为的理论。
矩阵不等式是控制论中常用的分析工具之一。
它是由一组矩阵构成的不等式关系，用于描述系统的稳定性、性能和鲁棒性等方面的要求。
本文将介绍控制论常用的矩阵不等式及其应用领域。
首先，我们将介绍矩阵不等式的基本概念和定义。
然后，我们将讨论矩阵不等式在系统稳定性分析、性能指标设计和鲁棒控制中的应用。
最后，我们将总结矩阵不等式的优缺点，并展望其未来的发展方向。
2. 矩阵不等式的基本概念和定义矩阵不等式是一种关于矩阵的不等式关系，常用于描述系统的稳定性和性能等要求。
下面是一些常见的矩阵不等式的定义：定义1：对于给定的实对称矩阵A和正定矩阵P，不等式A^T P + PA < 0称为Lyapunov不等式。
Lyapunov不等式在系统稳定性分析中特别重要。
通过求解Lyapunov不等式，可以判断系统的稳定性，并设计稳定控制器。
定义2：对于给定的实对称矩阵A、B和正定矩阵Q，不等式A^T Q + QA - B^T B < 0称为Riccati不等式。
Riccati不等式广泛应用于线性二次型控制问题中。
通过求解Riccati不等式，可以设计最优的状态反馈控制器，使系统具有最小的性能指标。
定义3：对于给定的实对称矩阵A和不等式约束矩阵C，不等式AC + CA^T < 0称为LMI不等式。
LMI不等式是一种常见的矩阵不等式形式，广泛应用于鲁棒控制和优化问题中。
通过求解LMI不等式，可以设计稳定控制器，并满足一定的性能指标和鲁棒性要求。
3. 矩阵不等式在系统稳定性分析中的应用系统稳定性是控制论中的一个重要问题。
矩阵不等式在系统稳定性分析中起到关键作用。
下面介绍两种常见的矩阵不等式在系统稳定性分析中的应用。
Lyapunov不等式的应用在系统稳定性分析中，Lyapunov不等式常用于判断系统的渐进稳定性。
对于给定的系统描述矩阵A，存在一个实对称矩阵P满足Lyapunov不等式，当且仅当系统是渐进稳定的。
赫德尔矩阵不等式
赫德尔矩阵不等式赫德尔矩阵不等式是数学中的一个重要不等式，它与矩阵的特征值、行列式以及迹等概念密切相关。
这个不等式在控制论、优化理论、统计学以及其他许多领域都有着广泛的应用。
下面我们将对赫德尔矩阵不等式进行详细的分析和讨论。
一、赫德尔矩阵不等式的定义赫德尔矩阵不等式给出了矩阵的行列式与其主子式之间的关系。
具体地，对于一个n阶实对称矩阵A，如果它的所有主子式都大于零，则A是正定的，且满足赫德尔矩阵不等式。
二、赫德尔矩阵不等式的性质1.矩阵的正定性：根据赫德尔矩阵不等式的定义，如果一个矩阵的所有主子式都大于零，则这个矩阵是正定的。
正定矩阵在控制论、优化理论等领域有着广泛的应用。
2.行列式与特征值的关系：赫德尔矩阵不等式揭示了矩阵的行列式与其特征值之间的关系。
具体地，一个正定矩阵的行列式等于其特征值的乘积。
这一性质在求解矩阵的特征值问题时具有重要意义。
3.迹与特征值的关系：赫德尔矩阵不等式还表明，一个正定矩阵的迹（即主对角线上的元素之和）等于其特征值之和。
这一性质为我们提供了计算矩阵迹的方法，进而可以求出矩阵的平均特征值。
三、赫德尔矩阵不等式的应用1.控制论：在控制论中，赫德尔矩阵不等式被用来判断系统的稳定性。
具体地，如果一个系统的状态矩阵满足赫德尔矩阵不等式，则该系统是渐近稳定的。
2.优化理论：在优化理论中，赫德尔矩阵不等式被用来判断目标函数的凸性。
如果一个目标函数的Hessian矩阵满足赫德尔矩阵不等式，则该函数是凸函数，进而可以利用凸优化方法进行求解。
3.统计学：在统计学中，赫德尔矩阵不等式被用来判断样本协方差矩阵的正定性。
如果样本协方差矩阵满足赫德尔矩阵不等式，则可以利用该矩阵进行多元统计分析。
4.图像处理：在图像处理中，赫德尔矩阵不等式被用来进行图像降噪和增强等操作。
具体地，可以利用该不等式对图像进行滤波处理，去除噪声并增强图像的对比度。
四、赫德尔矩阵不等式的证明方法证明赫德尔矩阵不等式的方法有多种，其中最常用的是数学归纳法和拉格朗日乘子法。
正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用
正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用正定矩阵的判定方法是通过特征值判断的。
特征值是指矩阵A经过线性变换后，向量x所在的直线方向仍然不变的那些实数λ，即满足方程Ax=λx的λ值。
具体来说，对于一个n阶方阵A，如果所有特征值均大于零，那么A就是正定矩阵。
正定矩阵在三个不等式证明中有广泛的应用。
这三个不等式分别是半正定矩阵不等式、正定矩阵不等式和负定矩阵不等式。
1.半正定矩阵不等式：给定一个n阶半正定矩阵P，对于任意非零向量x，都有x^TPx≥0，其中x^T表示x的转置。
如果要证明一个矩阵是半正定的，只需要证明它所有的特征值均大于等于零即可。
应用：在工程和经济领域中，半正定矩阵不等式常用于设计稳定的控制系统和优化问题的约束条件。
例如，在线性规划问题中，通过引入半正定矩阵不等式将约束条件加到目标函数中，可以得到更加准确和可行的优化结果。
2.正定矩阵不等式：给定一个n阶正定矩阵P，对于任意非零向量x，都有x^TPx>0。
证明一个矩阵是正定的，需要确保它所有的特征值均大于零。
应用：正定矩阵不等式在数学分析和最优化理论中有广泛的应用。
例如，在函数的变分法中，通过使用正定矩阵不等式可以得到最小化函数的解。
另外，正定矩阵也常用于计算机科学、图像处理和机器学习等领域中的算法设计中。
3.负定矩阵不等式：给定一个n阶负定矩阵P，对于任意非零向量x，都有x^TPx<0。
证明一个矩阵是负定的，需要确保它所有的特征值均小于零。
应用：负定矩阵不等式在控制论、信号处理和优化问题中有重要的应用。
例如，在模拟电路设计中，通过使用负定矩阵不等式可以保证电路的稳定性。
此外，负定矩阵也常用于设计纠错码和密码算法等领域。
总之，正定矩阵的判定方法是通过特征值判断的，特征值大于零时为正定矩阵。
正定矩阵的应用在半正定矩阵不等式、正定矩阵不等式和负定矩阵不等式中。
它在控制系统、优化问题、信号处理和机器学习等领域中有广泛应用，具有重要的理论和实际意义。
线性矩阵不等式在控制工程中的应用
线性矩阵不等式在控制工程中的应用线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，简称LMI）是一种常见且重要的数学工具，它在控制工程领域中得到广泛应用。
本文将着重介绍LMI的基本概念、应用场景以及在控制工程中的具体应用。
一、LMI的基本概念LMI是一种线性约束条件下的矩阵不等式，一般形式为：P > 0（表示矩阵P是正定的），或F(A, B, C) > 0（表示关于矩阵A、B、C的函数F大于零）。
LMI的解集是所有满足该矩阵不等式条件的矩阵组成的集合。
LMI问题通常可以通过利用凸优化方法进行求解。
二、LMI的应用场景LMI广泛应用于控制工程领域，其中最主要的应用场景包括：1. 系统稳定性分析与设计：通过构建LMI来分析系统的稳定性，并设计稳定控制器，以确保系统在不同工况下具有良好的稳定性。
2. 鲁棒控制设计：在存在不确定性或测量噪声的情况下，通过LMI技术设计鲁棒控制器，使系统具有鲁棒性能。
3. 最优控制设计：通过最小化LMI问题的目标函数，优化控制设计，实现系统的最优性能。
4. 过程控制与优化：利用LMI技术设计控制器，通过对系统的状态变量、输入变量进行优化，实现过程控制与优化。
5. 非线性控制器设计：通过线性化方法将非线性系统线性化，并将其表示为LMI形式，从而设计出最优的线性控制器。
三、LMI在控制工程中的具体应用1. 鲁棒控制：对于具有不确定性的系统，通过建立LMI，设计鲁棒控制器，以提高系统的稳定性和鲁棒性能。
2. H∞控制：利用LMI方法设计H∞控制器，使系统对不确定性和噪声具有良好的鲁棒性能，同时最小化系统对外界干扰的敏感度。
3. 状态反馈控制：通过LMI技术设计状态反馈控制器，实现系统状态的稳定性和快速响应。
4. 参数估计：利用LMI方法设计参数估计器，对系统的未知参数进行在线估计，以提高系统的自适应性能。
5. 面向网络控制系统的设计：通过LMI技术，设计满足网络控制系统带宽约束的控制器，以保证系统的稳定性和性能。
线性矩阵不等式
2.4.1线性矩阵不等式及相关术语
考虑H∞控制中的一个线性矩阵不等式：
AT X XA XC T B
N
T
CX
I
D
N
0
BT
DT I
其中：A、B、C、D、N 是给定的矩阵，X=XT∈Rn×n 和 ∈R 是问题的变
N 称为外因子，块矩阵
AT X XA XC T B
L（X
Fk (x)0 同时成立当且仅 F (x)0 。因此，一个线性矩阵不等式系统也可以用一个单一的线性
矩阵不等式来表示。
2、 在许多一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式的问题中，我们常常用到矩阵的
Schur 补性质。考虑一个矩阵 S Rnn ,并将 S 进行分块：
S
S11 S21
S12
S22
其中：函数lmivar定义了两个矩阵 变量X和S，lmiterm则描述了每一 个线性矩阵不等式中各项的内容。 getlmis回到了这个线性矩阵不等 式系统的内部表示lmisys，lmisys 也称为是储存在机器内部的线性 矩阵不等式系统的名称。以下将 详细介绍这几个函数的功能和用 法。
setlmis和getlmis 一个线性矩阵不等式系统的描述以setlmis开始，以
表示 2×2 维的单位矩阵。 可以应用 lmivar 来定义这些矩阵变量：
setlmis([]) X1=lmivar(1,[3 1]) X2=lmivar(2,[2 4]) X3=lmivar(1,[5 1;1 0;2 0])
lmiterm
在确定了矩阵变量之后，还需要确定每一个线性矩阵不等式中各 项的内容。线性矩阵不等式的项指构成这个线性矩阵不等式的块 矩阵中的求和项。这些项可以分成三类：
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控制论常用的矩阵不等式
控制论是一门研究如何通过控制手段来实现系统稳定、优化和鲁棒性的学科，而矩阵不等式则是控制论中常用的数学工具之一。
本文将介绍控制论中常用的几种矩阵不等式，并讨论其在控制系统设计中的应用。
1. 线性矩阵不等式(LMI)
线性矩阵不等式是控制论中最常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：
$$A(x)X+B(x)Y+C^{T}(x)YC(x)<0$$
其中，$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$均为实系数矩阵函数，$X$、$Y$均为矩阵变量。
该不等式表示的是矩阵函数$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$构成的线性系统对应的闭环系统是渐进稳定的，即对任意的初值$x_0$，系统的输出$y(t)$都会收敛到零。
2. Lyapunov矩阵不等式
Lyapunov矩阵不等式是控制论中另一种常用的矩阵不等式。
它的形式为：
$$A^{T}P+PA<-Q$$
其中，$A$为系统的状态转移矩阵，$P$为对称正定矩阵，$Q$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的Lyapunov函数
$V(x)=x^{T}Px$满足$V(x)leqslant-alpha x^{T}x$，其中$alpha$是正常数。
3. Riccati矩阵不等式
Riccati矩阵不等式也是控制论中常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：
$$A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P<-Q$$
其中，$A$、$B$为系统的状态转移矩阵和输入矩阵，$P$为对称正定矩阵，$R$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的最优控制输入满足线性方程$u=-R^{-1}B^{T}Px$。
4. Schur矩阵不等式
Schur矩阵不等式是控制论中最基本的矩阵不等式之一。
它的形式为：
$$Mprec N$$
其中，$M$、$N$为两个对称矩阵，$prec$表示矩阵的部分序。
该不等式表示的是矩阵$N-M$是正定的。
总之，矩阵不等式在控制论中具有广泛的应用，可以用于系统稳定性分析、最优控制设计和鲁棒性分析等领域。
掌握矩阵不等式的基本理论和方法，对于控制系统设计和分析具有重要的意义。