量子力学试卷

05级2学分A
一、回答下列问题（每题5分，共30分）
1 十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象？
2 什么是束缚态？什么是定态？
3 试述电子具有自旋的实验证据。

4 写出量子力学五个基本假设中的任意三个。

5 表示力学量的厄米算符有哪些特性？
6一维空间两粒子体系的归一化波函数为),(21x x ψ，写出下列概率： 发现粒子1的位置介于x 和dx x +之间（不对粒子2进行观测） 二、本题满分10分
设单粒子定态波函数为 )(1)(ikr ikr
k
be e r
r +=-ψ，试利用薛定谔方程确定其势场。

三、本题满分12分
利用厄米多项式的递推关系和求导公式：
()()()02211=+--+x nH x xH x H n n n ，()()x nH x H n n
12-=' 证明：一维谐振子波函数满足下列关系：
)](2
1
)(2[
1
)(11x n x n x x n n n +-++=
ψψαψ /)],(2
1
)(2[)(11ωαψψαψm x n x n dx x d n n n =+-=+-
已知一维谐振子的波函数为：()()2
121
2
!2,
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-
n N x H e
N x n n n x
n n πααψα
四、本题满分12分
一粒子在一维无限深势阱⎪⎩
⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ,,0,0,
0,)（ 中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。

五、本题满分12分
已知氢原子的电子波函数为)(),()(4
1
),,,(2/11131z z nlmm s Y r R s r s χϕθϕθψ=
)(),()(4
3
2/12032z s Y r R -+χϕθ。

求在ψ态中测量氢原子能量E 、2
L 、z L 、2
s 、z s 的可能值和这些力学量的平均值。

六、本题满分14分
一维运动的粒子处于状态⎪⎩⎪⎨
⎧<≥=-0
,
00)(,
x x Axe x x λψ 之中, 其中0>λ, A 为待求的归一化常数, 求：
(1) 归一化常数;
(2) 粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值; (3) 粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。

七、本题满分10分
附：氢原子能量本征值：2220241
32n
e E n επμ-=
定积分：
0!
1
>=
+-∞
⎰αα
αn x n n dx e x ，n 为正整数
球坐标系中：ϕ
θθθθθ22
222222sin 1)(sin sin 1)(1∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇r r r r r r 05级2学分B
一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1 考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？
2 （1）德布罗意关系式是仅适用于基本粒子如电子、中子，还是同样适用于具有内部结构的复合体系？ （2）粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度更大？二者之间是否有必然联系？ 3量子力学中角动量是如何定义的？地球自转是否与量子力学中的自旋概念相对应？
4具有完备的共同本征函数系的两个力学量算符有什么特征？球谐函数),(ϕθlm Y 是哪两个算符的共同本征函数？ 5具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如何表示？
6 什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求？ 二、本题满分14分
设氢原子处于状态1212102
3
21),,(--=ψψϕθψr nlm ,求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可
能值出现的概率和这些力学量的平均值。

三、本题满分15分
证明：)x 3x 2(e
3)x (33x
21
2
2ααπ
αψα
-=-是一维线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。

已知
μωα=。

四、本题满分8分
证明在z l 的本征态下，0=x l 。

五、本题满分15分
设粒子限制在矩形匣子中运动，即
0(,,){V x y z ∞=，0<x<a , 0<y<b , 0<z<c
其余区域，求粒子的能量本征值和本征波函数。

六、本题满分10分
求下列算符对易关系式：
1) ?ˆˆˆˆ=-x x x x L P P L 2) ?ˆˆˆˆ=-y x x y L P P L
七、本题满分8分定义Pauli 算符σˆ 与自旋角动量算符S ˆ 的关系为σ
ˆ2
ˆ =S ，证明： i z y x =σσσˆˆˆ 附：氢原子能量本征值：2220241
32n
e E n επμ-=
06级2学分A
一、填空（每空3分，共45分）
1 一维线性谐振子的能量本征值为 。

2 动量的三个分量)p ,p ,(p p ˆz
y x
的共同本征函数为 。

3自旋角动量算符S
ˆ在空间任意方向上的投影只能取值为 ； 2
S = 。

4
=ϕθθϕϕ''π
π⎰⎰d d )sin ,(θ)Y ,(θY m l *lm 20
0 。

5 德布罗意关系为 。

6 波函数的标准条件为 。

7 写出量子力学五个基本假设中任意两个_____________。

8 费米子和玻色子所组成的全同粒子体系的波函数分别具有_________性和_______性。

9不考虑电子的自旋时，氢原子能级n E 的简并度为 。

10 电子具有自旋的实验证据包括 。

11 坐标和动量的对易关系为[]=x p ˆ,x
ˆ ___ ___。

12 测不准关系≥∆⋅∆2x 2)p ()x (_______。

13 一维空间两粒子体系的归一化波函数为)x ,x (21ψ，x 1和x 2分别表示两粒子的空间位置，那么，发现粒子1的位置
介于x 和dx x +之间（不对粒子2进行观测）的概率 。

二 本题满分7分
已知角动量的对易关系为z x y y x y x J ˆi J ˆJ ˆJ ˆJ ˆ]J ˆ,J ˆ[ =-=。

证明：若一个算符F ˆ与角动量算符J ˆ 的两个分量x
J ˆ和y J ˆ对易，即满足0]J ˆ,F ˆ[x =和0]J ˆ,F ˆ[y
=，则算符F ˆ必与J ˆ 的第三个分量z J ˆ对易，满足0]J ˆ,F ˆ[z =。

三 本题满分8分
厄密算符F
ˆ的本征方程为λψ=ψF ˆ，试根据厄密算符的定义式τφψ=τφψ⎰
⎰d )F ˆ(d F ˆ**，证明厄密算符F ˆ的本征值λ是实数。

四 本题满分9分
设体系处于202111Y C Y C +=ψ状态（已归一化），求：
（1）z L 的测量可能值及平均值；（2）2
L 的测量可能值及相应的概率。

五 本题满分9分
氢原子处在基态0
a r 3
e
a 1),,r -
π=
ϕθψ（，求在此态中：(1) r 的平均值；(2) 势能r
e 2
-的平均值；
(3) 动量的概率分布函数。

已知定积分 1
n 0
ax n a
!n d x e x +∞-=
⎰。

六 本题满分6分
一个转动惯量为I 的刚性转子绕空间某一固定点转动，叫空间转子，其能量的经典表示式为I
2L H 2
=，L 为角动量。

求与此对应的量子体系的定态能量及波函数。

已知角动量平方算符]sin 1)(sin sin 1[L ˆ2
2
22
2
ϕ∂∂θ+θ∂∂θθ∂∂θ-= 。

七 本题满分8分
在自旋态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=χ01)s z 2
1（中，求x S ˆ和y S ˆ的不确定关系：?)S ()S (2y 2x =∆⋅∆已知算符F ˆ的不确定度为
2
22F ˆF ˆ)F
ˆ(-=∆，平均值ψψ=+F ˆF ˆ。

八 本题满分8分
算符方程ψ=ψa A
ˆ称为算符A ˆ的本征方程，其中常数a 称为算符A ˆ的本征值，函数ψ称为算符A ˆ的本征函数。

试确定下列函数哪些是算符2
2
dx d 的本征函数，若是本征函数，其对应的本征值是什么？
① 2
x ， ② x
e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x cos x sin +
06级2学分B
一、回答下列问题（每小题4分，共24分）
1 十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象？
2 试述电子具有自旋的实验证据。

3 考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？
4 写出量子力学五个基本假设中的任意三个。

5 表示力学量的厄米算符有哪些特性？
6 什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求？ 二、计算题（本题满分12分）
氦原子的动能是kT E 2
3
=，k 是玻耳兹曼常数，求K T 1=时，氦原子的德布罗意波长。

已知普朗克常数秒焦耳⋅⨯=-3410626.6h ，玻耳兹曼常数1231038.1--⋅⨯=K k 焦耳，质子质量kg .m p 2710671-⨯=，氦原子的质量
近似取为质子质量的四倍。

三、计算题（本题满分12分）
一粒子在一维无限深势阱⎪⎩
⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ,,0,0,
0,)（ 中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。

四、计算题（本题满分12分）
设氢原子处于状态),,()(2
3),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r nlm 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的
可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。

已知氢原子的能量本征值为...3,2,1,1
322
2
2024=-=n n e E n επμ 五、证明题（本题满分14分）
利用厄米多项式的递推关系和求导公式：
()()()02211=+--+x nH x xH x H n n n ，()()x nH x H n n
12-=' 证明：一维谐振子波函数满足下列关系：
)](2
1
)(2[
1
)(11x n x n x x n n n +-++=
ψψαψ /)],(2
1
)(2[)(11ωαψψαψm x n x n dx x d n n n =+-=+-
已知一维谐振子的波函数为：
()()2
121
2
!2,
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-
n N x H e
N x n n n x
n n πααψα
六、证明题（本题满分12分）
定义Pauli 算符σˆ 与自旋角动量算符S ˆ 的关系为σˆ2
ˆ =S ，证明： i z y x =σσσˆˆˆ 七、证明题（本题满分14分）
证明：)x 3x 2(e
3)x (33x
21
2
2ααπ
αψα
-=-是一维线性谐振子的能量本征波函数，并求此波函数对应的本征能
量。

已知一维线性谐振子的哈密顿算符为22222212x dx d H ˆμωμ+-= ，参数
μωα=。

07级2学分A
一、问答题（每空5分，共30分）
1十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象。

2写出量子力学五个基本假设中任意三个。

3表示力学量的厄米算符有哪些特性？
4考虑自旋时，描述氢原子需要几个量子数？ 5什么是玻色子？对玻色子的波函数有什么要求？
6具有共同本征函数的两个力学量算符有什么特征？球谐函数),(ϕθlm Y 是哪两个算符的共同本征函数？
二 本题满分10分
一粒子在一维无限深势阱⎪⎩
⎪⎨
⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ,,,,
,)000（ 中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。

三 本题满分7分 设单粒子定态波函数为 )()(ikr ikr
k
be e r
r +=-1ψ，试利用薛定谔方程确定其势场。

四 本题满分10分
算符方程ψ=ψa A
ˆ称为算符A ˆ的本征方程，其中常数a 称为算符A ˆ的本征值，函数ψ称为算符A ˆ的本征函数。

试确定下列函数哪些是算符2
2
dx d 的本征函数，若是本征函数，其对应的本征值是什么？
①2x ， ② x
e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x cos x sin + 五 本题满分10分
氢原子处在基态0
a r 3
e
a 1),,r -
π=
ϕθψ（，求在此态中：
(1) r 的平均值；(2) 势能r
e 2
-的平均值；(3) 动量的概率分布函数。

已知定积分
1
n 0
ax n a
!n d x e x +∞-=
⎰。

六 本题满分8分
已知在2
L
ˆ和 Z L
ˆ的共同表象中，算符x L ˆ的矩阵为 22 =x L
⎝⎛010 101 ⎪⎪
⎪⎭⎫
010，求它的本征值和归一化本征函数。

七 本题满分15分 已知氢原子的电子波函数为)(),()(),,,(/z
z nlmm s Y r R s r s
21113141χϕθϕθψ
=)(),()(/z s Y r R 2120324
3
-+χϕθ。

求在ψ态中测量氢原子能量E 、2
L 、z L 、2
s 、z s 的可能值和这些力学量的平均值。

八 本题满分10分
在自旋态⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=χ01
)s z 2
1（中，求x S ˆ和y S ˆ的不确定关系：?)S ()S (2y 2x =∆⋅∆已知算符F ˆ的不确定度为2
22F ˆF ˆ)F
ˆ(-=∆，平均值ψψ=+F ˆF ˆ。

07级2学分B
一、问答题（每空5分，共30分） 1 那些实验现象揭示了光的波粒二象性？
2 写出角动量算符z L L ˆ,ˆ2、哈密顿算符H ˆ、自旋算符z
S S ˆ,ˆ2的本征值。

3什么是束缚态？什么是定态？
4具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如何表示？ 5试述电子具有自旋的实验证据。

6什么是费米子？费米子所组成的全同粒子体系的波函数有什么要求？ 二 本题满分10分
一维运动的粒子处于状态⎩⎨⎧<≥=-000x x Axe x x ,
)(,λψ 之中, 其中0>λ, A 为待求的归一化常数, 求：
(1) 归一化常数;
(2) 粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值; (3) 粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。

三 本题满分7分
厄密算符F
ˆ的本征方程为λψ=ψF ˆ，试根据厄密算符的定义式τφψ=τφψ⎰
⎰d )F ˆ(d F ˆ**，证明厄密算符F ˆ的本征值λ是实数。

四 本题满分10分
氢原子处在基态0
a r
3
e
a 1),,r -
π=
ϕθψ（，求在此态中：(1) r 的平均值；(2) 势能r
e 2
-的平均值；
(3) 动量的概率分布函数。

已知定积分 1
n 0
ax n a
!n d x e x +∞-=
⎰。

五 本题满分15分
设氢原子处于),,()(),()(),,(ϕθϕθϕθψ
112110
212
3
21--=Y r R Y r R r nlm 求： （1）z L ˆ的测量可能值、相应的概率及平均值；（2）2
L ˆ的测量可能值、相应的概率及平均值；（3）H
ˆ的测量可能值、相应的概率及平均值。

附：氢原子能量本征值：2
22024
132n e E n
επμ-=
六 本题满分8分
定义Pauli 算符σˆ 与自旋角动量算符S ˆ 的关系为σˆˆ 2
=S
，证明： i z y x =σσσˆˆˆ 七 本题满分10分
求⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102 x
S
ˆ及⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=002i i S y ˆ的本征值和所属的本征函数。

八 本题满分10分
在自旋态⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=χ01
)s z 2
1（中，求x S ˆ和y S ˆ的不确定关系：?)S ()S (2y 2x =∆⋅∆已知算符F ˆ的不确定度为2
22F ˆF ˆ)F
ˆ(-=∆，平均值ψψ=+F ˆF ˆ。

05级2学分A 答案
一、回答下列问题（每题5分，共30分）
1 黑体辐射，光电效应，迈克尔逊-莫雷实验，原子的光谱线系，固体的低温比热等
2 当粒子被势场约束于特定的空间区域内，即在无穷远处波函数等于零的态叫束缚态。

定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。

若势场恒定，0=∂∂t
V ，则体系处于定态。

3 电子具有自旋的实验证据：
1） 斯特恩-盖拉赫实验 2） 光谱精细结构 3） 反常塞曼效应 4 五个基本假定：
1）微观体系的状态被一个波函数完全描述。

2）力学量用算符表示。

3）将体系的状态波函数用力学量算符的本征函数展开，则在该态上测量该力学量的结果是力学量算符的一个本征值，
测量概率是相应本征函数前展开系数的模方。

4）体系的状态波函数满足薛定谔方程。

5）在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。

5 厄米算符具有如下特性：
1）厄米算符的本征值为实数 2）厄米算符在任何态中的平均值均为实数
3）厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交 4）描写力学量的厄米算符的本征函数是完全系
6 概率dx x x dx p ]),([2
22ψ⎰
+∞∞
-=
二、本题满分10分
将已知波函数代入球坐标系的波动方程k k k
E r V dr
d r dr d r m ψψψ=+-)()(1222
2 可得
k k k E r V m k ψψψ=+)(22
2 所以const m
k E r V =-=2)(2
2 故不妨令其为零，则所给波函数乃是自由粒子波函数 三、本题满分12分 已知
()()()02211=+--+x nH x xH x H n n n
()()2
121
2
!2,
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛==-
n N x H e
N x n n n x n n πααψα
()()2
1
121
1
12
11)!1(2,
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛+==+++-
++n N x H e
N x n n n x n n πααψα
()()2
1121
1
12
11)!1(2,
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-==----
--n N x H e
N x n n n x n n πααψα
所以
)(),(!
21
1
)(2/4/1x n n n e M x xH n M
x x απαααα
ψ--==
)}()(2
1
{!211
11x nH x H n M
n n n
ααα
-++=
)(2)!1(211
11x H n n M
n n αα
---=
)(2
1
)!1(21111
x H n n M n n αα+++++ )](2
1)(2[
1
11x n x n n n +-++=
ψψα
利用
()()x nH x H n n
12-=' )(2)!
2()(22/12
1
x x e H n n dx x d n x n n
n ψααπαψα-=-- )](2
1
)(2[1221121x n x n n n n n +--++-=ψψααψα
)](2
1)(2[
11x n x n n n +-+-=ψψα 四、本题满分15分
解：t x U 与)(无关，是定态问题。

其定态SE 方程)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d m ψψψ=+- 在各区域的具体形式为
Ⅰ： )()()()(2 011122
2x E x x U x dx d m x ψψψ=+-
< ① Ⅱ： )()(2 0 222
2
2x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 3332
2
2x E x x U x dx d m a x ψψψ=+-
> ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须 0)(1=x ψ 0)(2=x ψ 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

方程(2)可变为0)(2)(222
22=+x mE
dx x d ψψ 令2
2
2
mE k =，得0)()(22
222=+x k dx x d ψψ
其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤
)()(32a a ψψ=⑥
⑤ 0=⇒B
0sin =⇒ka A )
,3 ,2 ,1( 0
sin 0
==⇒=∴≠n n ka ka A π
∴x a
n A x π
ψsin )(2= 由归一化条件
1)(2
=⎰
∞
dx x ψ
得 1sin 0
2
2
=⎰
a
xdx a
n A
π
由
mn a
b a xdx a n x a m δππ⎰=*2sin sin
x a
n a x a
A πψsin 2)(22=
∴=
⇒
22
2
mE k =
),3,2,1( 222
2
2 ==
⇒n n ma E n π可见E 是量子化的。

对应于n E 的归一化的定态波函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧><≤≤=-a x a x a x xe a
n a t x t
E i
n n , ,0 0 ,sin 2),( πψ 五、本题满分10分
解：E 的可能值 22024288 επμe - 22024
288
επμe E -=
2
L 的可能值2
2 ,2
6 2222
564
3
241 =⨯+⨯=
L
z L 的可能值 0, 4
1=
z L 2
S 的可能值
243 224
3 =S z S 的可能值
2,2 - 4
1)2(43241-=-⨯+⨯=z S 六、本题满分15分 解：1）由归一化条件
1)(2
=⎰+∞
∞
-dx x ψ，有143
2
2220
==
-∞
+⎰
λλA
dx e
x A x
2/32λ=A
2）坐标的平均值为：dx x x x 2
)(ψ⎰+∞
∞
-=
λ
λλ23
42330
=
=-∞
+⎰
dx e x x 坐标平方的平均值为：22430
2
3
4λ
λλ==
-∞
+⎰dx e x x x
3）动量平均值为：dx x dx d i x p )())((*0
ψψ
-=
⎰∞
+dx xe dx
d
i xe x x ))((430λλλ--∞+-=⎰
dx xe i x λλ203[4-+∞⎰
-= ]220
dx e x x λλ-+∞
⎰
-0=
动量平方的平均值为：dx x dx
d
x p )())((2
2
2*
2
ψψ
-=
⎰∞
+dx xe dx
d
xe
x
x
))((42
2
230
λλλ--∞
+-=⎰
dx e x xe x x )2(4222230
λλλλλ--+∞
-=⎰
22 λ=
七、本题满分8分
解：①不是 ②是，1。

③是，－1。

④是，－1。

⑤是，－1。

05级2学分答案B
一、回答下列问题（每题5分，共30分）
1 主量子数n ，角动量量子数l ，磁量子数m ，自旋磁量子数m s
2 德布罗意关系式是适用于一切物质的普遍关系，是波粒二象性的反映而与物质具体结构无关，因此，不仅适用于基本粒子也适用于具有内部结构的复合体系。

由基本假设
p h /=λ，波长仅取决于粒子的动量大小而与粒子本身线度无必然联系。

3 量子力学中角动量按下式定义：J i J J ˆˆˆ =⨯
任何满足此式的算符所代表的力学量，都可以认为是角动量，此定义较之角动量的仿经典定义p r
L ˆˆˆ ⨯=更具普遍性，后者只适用于轨道角动量而不能适用于自旋。

自旋是量子力学中的特有概念，无经典对应，是微观粒子的内禀属性。

地球自转实际上仍然是地球各质点的轨道运动，应与轨道角动量相对应，而不是与自旋相对应。

4具有完备的共同本征函数系的两个力学量算符对易。

球谐函数),(ϕθlm Y 是L 2和Lz 的共同本征函数 5 在其自身表象中表示为对角矩阵：
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=............0...0ˆ21λλF ，,...,21λλ为F
ˆ诸本征值 本征矢量为单元素的一列矩阵：
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=...0011ϕ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=...0102ϕ，...
6 自旋为 的半奇数倍的微观粒子，要求费米子的波函数是交换反对称的。

二、本题满分14分
设氢原子处于状态1212102
3
21),,(--=ψψϕθψr ,求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值
出现的概率和这些力学量的平均值。

解：1112
41443441E E E E C E n n
n =+=
=
∑，可能值14
1E ，几率1； 22222
2224
3
241 =⋅+⋅=
=∑n n
n L C L ，可能值 22 ，几率1； 43430412
-=-⋅+⋅=
=∑z n
n z L C L ，可能值- ，几率43；可能值0，几率4
1 三、本题满分15分
试证明)x 3x 2(e
3)x (33x
21
2
2ααπ
αψα
-=-是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。

证：一维线性谐振子的薛定鄂方程为
)()(2
1
)(22222x E x x x dx d ψψμωψμ=+- ①
把)(x ψ代入上式，有
)
392(3)]36()32([3)]32(3[)(234521
2
1
233323321
2
22
22
2αααπ
ααααααπ
αααπ
αψα
αα-+-=-+--=-=---x x e
e x x x x x x e dx d x dx d x
x
x
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-=-)3x 9x 2(e 3dx d dx )x (d 2
345x 21
2
222αααπαψα
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+-+--=
--)x 18x 8(e )3x 9x 2(xe
3335x 2
12345x 2122222ααααααπ
ααα )()7()32(3)7(2243321
2
2
4
2
2x x x x e
x x
ψααααπ
αααα
-=--=-
把)(22
x dx
d ψ代入①式左边，得 )
()(27
)(21)(21)(27 )(2
1
)(2)(27 )(2
1)(2)(27)(21)(22222222422222422
222222x E x x x x x x x x x x x x x x x x x x dx x d ψωψψμωψμωωψψμωψμωμψμμωψμωψαμψμαψμωψμ==+-=
+-⋅⋅=+-=+-=右边）（左边
当ω 27
=E 时，左边 = 右边。

n = 3
)32(3)(3321
2
2x x e
dx
d x x
ααπαψα-=-，是线性谐振子的波函数，其对应的能量为ω 2
7。

四、本题满分8分
证明在z l 的本征态下，0=x l 。

证明：由于〉=〉m m m l z ；x y z z y l i l l l l =-；所以01
=〉-〈=m l l l l m i l y z z y x
五、本题满分15分
设粒子限制在矩形匣子中运动，即
0(,,){V x y z ∞=，0<x<a , 0<y<b , 0<z<c
其余区域
，求粒子的能量本征值和本征波函数。

解：匣内2
22E m
ψψ-
∇= 2mE
k =
2
2
()0k ψ∇+= (3分)
采用直角坐标系，方程的解可以分离变量， 边界条件(0,0,0)0x y z ψ====
本征函数(,,)sin sin sin x y z x y z A k x k y k z ψ= (4分)
(,,)0x a y b z c ψ====,可得
312,,x y z n n n K k k a b c
πππ
=
==， 1231,2,3n n n =，， (4分)
123
22
2
2
2312
[]2n n n n n n E E m a b c
π==++ (2分)
归一化能量本征函数为31222
(,,)sin sin n n n x y z x y z a b c abc
πππψ=⋅⋅123n n n
六、本题满分10分
求下列算符对易关系式：
1) ?ˆˆˆˆ=-x x x x L P P L 2) ?ˆˆˆˆ=-y x x y L P P L 解： )ˆˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆy z x x y z x x x x P z P y P P P z P y L P P L ---=-
y x z x x y x z P z P P y P P P z P P y ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ+--=0ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ=+--=x y x z x y x z P P z P P y P P z P P y 5分
)ˆˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆz
x x x z x y x x y P x P z P P P x P z L P P L ---=- )ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2z x x x x z x P x P P z P P P x P z +--= )ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ22z x x x z x P x P P z P P x P z +--=z x x P x P P x ˆ)ˆˆˆˆ(--=z P i ˆ -= 5分
七、本题满分8分
证明i z y x =σσσ
ˆˆˆ 证明：z x y y x i σσσσσ
ˆ2ˆˆˆˆ=- （1） 0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ （2） （1）+（2）得：z y x i σσσ
ˆˆˆ= （3） （3）右乘z σˆ：i i z z y x ==2ˆˆˆˆσσσσ 06级2学分考试答案及评分标准A
一、本题共13小题，15空，每空3分，满分45分 1. （共3分）要点：,...2,1,0n ,)2
1
n (E =ω+=
注：该题为基本题，考核对量子力学中谐振子能量量子化问题的掌握情况。

2. （共3分） 要点：
/32
1(2)
i p r e π⋅ （或
()/
32
1(2)
x y z i P x P y P z e
π++）
注：该题为综合题，考核的知识点包括动量本征函数、平面波波函数和力学量的共同本征函数等，要求学生综合考虑这些知识点后作答。

3. （共6分） 要点：
2
113,,224
-
注：该题为基本题，考核对自旋角动量的理解和掌握情况。

4. （共3分） 要点：ll mm δδ''
注：该题为基本题，考核的知识点是量子力学中非常重要的概念-球谐函数的正交性问题。

5. （共3分） 要点：k n h P h E
====λ
ων
注：该题为基本题，考核对量子力学中最重要的基本概念-德布罗意波的理解和掌握程度。

6. （共3分） 要点：连续性、有限性、单值性
注：该题为基本题，考核对量子力学中波函数的理解和掌握情况。

7. （共3分） 要点：
（1）波函数的统计解释。

（2）力学量用厄密算符表示。

（3）λλλd C C n n ΦΦψ⎰
+
∑= (4) 薛定谔方程 ψψ
H t
i =∂∂ （5）全同性原理
注：该题为基本题，考核量子力学理论框架的基本假定，考生答出其中的任意二项即可。

8. （共6分） 要点：反对称 对称
注：该题为基本题，考核对量子力学中全同粒子体系特性的理解情况。

9. （共3分） 要点：2
n
注：该题为基本题，考核氢原子能级和简并度等问题。

10.（共3分） 要点： 1） 斯特恩-盖拉赫实验 2） 光谱精细结构 3） 反常塞曼效应 注：该题为基本题，考核对自旋假设的实验依据的掌握情况。

11. （共3分） 要点：[] i p x x =,
注：该题为基本题，考核知识点是量子力学中重要的一个基本对易关系。

12. （共3分） 要点：4
2
2
2
≥⋅)p ()x (x ∆∆
注：该题为基本题，考核量子力学中的不确定关系。

13. （共3分） 要点：概率dx ])x ,x (dx [
p 2
22ψ=⎰
+∞
∞
-
注：该题为基本题，考核概率和概率密度等知识点。

二、本题满分7分 证明：设算符
F
ˆ与角动量算符
x J ˆ及y J ˆ皆对易，即[][]0J ˆ,F ˆJ ˆ,F ˆy
x == ┈┈ 2分 则[][][[][
]
0J ˆJ ˆ,F ˆi 1J ˆJ ˆ,F ˆi 1J ˆ,J ˆ,F ˆi 1J ˆ,F ˆx y y x y x z =-== ┈┈ 3分
同理可知，若算符F ˆ与角动量算符x J ˆ及z J ˆ皆对易，则算符F ˆ必与y J ˆ对易；若算符F ˆ与角动量算符y J ˆ及z J ˆ皆对易，则算符F ˆ必与x
J ˆ对易，于是，问题得证。

┈┈ 2分 注：该题为基本题，考核学生对算符运算规则和角动量算符性质的掌握情况。

三、本题满分8分
证明：厄密算符的本征值方程为λψψ=F
ˆ： ┈┈ 2分 由厄密算符的性质
dx F dx F φψφψ⎰
⎰=**)ˆ(ˆ，若取φψ=， ┈┈ 3分 即本征值是实数。

，得****,λλψψλψψλ==⎰⎰dx dx ┈┈ 3分 注：该题为基本题，考核学生对一维谐振子波函数的理解和应用能力。

四、本题满分9分
解： 由于 112
1122Y Y L =，2022026Y Y L = ┈┈ 2分
1111Y Y L z =，020=Y L z ┈┈ 2分
所以（1）z L 的可能值为0, ；相应的概率为2
22
1,C C ；平均值为2
1C ┈┈ 3分
（2）2L 的可能值为2
2
6,2 ；相应的概率为2
221,C C 。

┈┈ 2分
注：该题为综合题，考核轨道角动量算符的本征值问题以及力学量的测量值及分布概率等问题。

五、本题满分9分
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0
220
/230
2
0⎰⎰⎰
⎰
∞
-=
=
⎰
∞
-=
/2330
04dr a r a a r 04
03023
2!34a a a =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
┈┈ 3分
2
2
03020
/23
20
20
/23
02
20
2
/23
2
2214 4 sin sin 1)()2(0
00a e a a e dr r e
a e d drd r e a e d drd r e r
a e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
∞
-∞
-∞
-πππ
π
ϕθθπϕθθπ ┈┈ 3分
（3） τϕθψψd r r p c p ),,()()(*
⎰=
⎰⎰⎰
-∞
-=
π
π
θϕ
θθππ20
cos 0
2
/30
2
/3 sin 1
)2(1
)(0
d d e
dr r e
a
p c pr i
a r
⎰⎰
-=
-∞
-π
θθπππ0
cos 0
/230
2
/3)
cos ( )
2(20d e
dr e r a
pr i
a r
⎰
∞
--=
cos /230
2
/30
)
2(2πθπππpr i
a r e ipr
dr e
r a
⎰∞---=
/30
2
/3)()2(20dr e e re ip a pr i
pr
i
a r πππ ])1(1)1(1[)2(2202030
2
/3p i a p i a ip a
+--=
πππ22
22
00330)1(421
p a a ip
ip a +=π 2
222
044003
3
)
(24
+=
p a a a a π2
22202/30)
()2(
+=
p a a π
动量几率分布函数4222025302
)
p a (a 8)p (c )p ( +π==ω ┈┈ 3分 注：该题为综合题，考核氢原子的波函数的意义以及力学量的测值概率和平均值等知识点。

六、本题满分6分
解：22222
11ˆ[
(sin )]sin sin L θθθθθϕ∂∂∂=-+∂∂∂
而2
22211[(sin )](,)(,)2sin sin E I θψθϕψθϕθθθθϕ
∂∂∂-+=∂∂∂ 则222
2
112[(sin )](,)(,)sin sin IE
θψθϕψθϕθθθθϕ∂∂∂-+=∂∂∂ ┈┈ 2分 为使(,)ψθϕ在θ变化的整个区域(0~)π内都是有限的， 必须有
2
2(1)IE
l l =+ （0,1,2
l =）
2
(1)2l l E I
+=
（0,1,2
l =） ┈┈ 2分
(,)(,)lm Y ψθϕθϕ= (0,1,2
m l =±±±) ┈┈ 2分
注：该题为基本题，考核角动量平方算符的本征值问题。

七、本题满分8分
解：由0010110)01(22
12
1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+
χχx x S S ，同理0=y S ， ┈┈ 2分 ()4
011001)01(4)()(22
2122
12
2
22
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===-=∆+z x
z x
x
x
x S S S S S S S χχ ┈┈ 2分 ()4
)()(2
2122
12
2
22
===-=∆+z y
z y
y
y
y S S S S S S S χχ ┈┈ 2分
()()
16
42
2
=∆⋅∆y x S S ┈┈ 2分 注：该题为综合题，考核的知识点包括：波函数归一化，力学量平均值的计算以及力学量算符等。

八、本题满分8分
解： ①2)(22
2=x dx d ∴ 2
x 不是22dx d 的本征函数。

┈┈ 1分 ②
x x e e dx d =22∴ x
e 是22dx d 的本征函数，其对应的本征值为1。

┈┈1分 ③x x dx d x dx
d sin )(cos )(sin 2
2-== ∴可见，x sin 是2
2
dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。

┈┈ 2分
④
)cos 3(cos 3)sin 3()cos 3(2
2x x x dx
d
x dx
d -=-=-=
∴ x cos 3 是22
dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。

┈┈ 2分
⑤)cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x x x x x dx d
x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是2
2
dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。

┈┈ 2分
注：该题为基本题，考核算符的本征函数和本征值的概念
06级2学分考试答案及评分标准B
一、本题共6小题，每小题4分，满分24分 1. （共4分）要点：
黑体辐射，光电效应，迈克尔逊-莫雷实验，原子的光谱线系，固体的低温比热等。

注：该题为基本题，考核对量子力学发展过程的了解情况。

要求考生至少答出其中三项。

2. （共4分）要点：
电子具有自旋的实验证据：
1） 斯特恩-盖拉赫实验 2） 光谱精细结构 3） 反常塞曼效应 注：该题为基本题，考核对自旋假设的实验依据的掌握情况。

3. （共4分）要点：
主量子数n ，角动量量子数l ，磁量子数m ，自旋磁量子数m s 注：该题为基本题，考核描述氢原子所需的量子数这一知识点。

4. （共4分）要点： 五个基本假定：
1）微观体系的状态被一个波函数完全描述。

2）力学量用算符表示。

3）将体系的状态波函数用力学量算符的本征函数展开，则在该态上测量该力学量的结果是力学量算符
的一个本征值，测量概率是相应本征函数前展开系数的模方。

4）体系的状态波函数满足薛定谔方程。

5）在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。

注：该题为基本题，考核量子力学理论框架的基本假定，考生答出其中的任意三项即可。

5. （共4分）要点：
厄米算符具有如下特性：
1）厄米算符的本征值为实数。

┈┈ 1分 2）厄米算符在任何态中的平均值均为实数。

┈┈ 1分 3）厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。

┈┈ 1分 4）描写力学量的厄米算符的本征函数是完全系。

┈┈ 1分 注：该题为综合题，考核量子力学中一个概念--厄米算符的性质。

6. （共4分）要点：
自旋为 的半奇数倍的微观粒子。

┈┈ 2分 要求费米子的波函数是交换反对称的。

┈┈ 2分 注：该题为基本题，考核自旋、费米子和波函数反对称化等知识点。

二、计算题（本题满分12分）
解：根据 eV .K k 4
10862501-⨯=⋅ ┈┈ 3分
知本题氦原子的动能为： eV .kT E 4102937512
3
-⨯==
┈┈ 3分 显然远小于氦原子的静止能量2
mc 。

这样，便有E
mc hc 22=λm .910261-⨯= ┈┈ 6分
注：该题为基本题，考核德布罗意关系。

三、计算题（本题满分12分）
解：t x U 与)(无关，是定态问题。

其定态薛定谔方程)()()()(22
2
2x E x x U x dx d m ψψψ=+-
在各区域的具体形式为
Ⅰ： )()()()(2 01112
2
2x E x x U x dx
d m x ψψψ=+-< ① Ⅱ： )()(2 0 2222
2x E x dx d m a x ψψ=-
≤≤ ② ┈┈ 2分 Ⅲ： )()()()(2 3332
2
2x E x x U x dx
d m a x ψψψ=+-> ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须 0)(1=x ψ 0)(2=x ψ
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

┈┈ 2分
方程(2)可变为0)(2)(222
22=+x mE
dx x d ψψ 令2
2
2
mE
k =，得0)()(22222=+x k dx x d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得
)0()0(12ψψ=⑤ )()(32a a ψψ=⑥
⑤ 0=⇒B 0sin =⇒ka A
)
,3 ,2 ,1( 0
sin 0
==⇒=∴≠n n ka ka A π
∴x a
n A x π
ψsin )(2= ┈┈ 3分 由归一化条件
1)(2
=⎰
∞dx x ψ
得 1sin 0
2
2
=⎰
a
xdx a
n A
π
由
mn a
b
a
xdx a n x a m δππ⎰
=*2
sin sin
x a n a x a A πψsin 2)(22=∴=⇒ ┈┈ 2分
22
2
mE
k =
),3,2,1( 222
2
2 ==
⇒n n ma E n π可见E 是量子化的。

┈┈ 2分
对应于n E 的归一化的定态波函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧><≤≤=-a x a x a x xe a
n a t x t
E i
n n , ,0 0 ,sin 2),( πψ ┈┈ 1分 注：该题为基本题，考核一维无限深势阱问题。

四、本题满分12分 解：111241443441E E E E C
E n n
n
=+==
∑2
2024128
επμe -=，可能值141E ，几率1； ┈┈ 4分 22222
2224
3
241 =⋅+⋅=
=∑n n
n L C L ，可能值 22 ，几率1； ┈┈ 4分 43430412
-=-⋅+⋅=
=∑z n
n z L C L ，可能值- ，几率43；可能值0，几率4
1
┈┈ 4分 注：该题为综合题，考核氢原子的波函数的意义以及力学量的测值概率和平均值等知识点。

五、证明题（本题满分14分）
证明： 已知
()()()02211=+--+x nH x xH x H n n n
()()2
121
2
!2,
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-
n N x H e
N x n n n x
n n πααψα
()()2
1
121
1
12
11)!1(2,
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+==+++-
++n N x H e
N x n n n x n n πααψα
()()2
1
121
1
12
11)!1(2,
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-==----
--n N x H e
N x n n n x n n πααψα
所以
)(),(!
21
1
)(2/4/1x n n
n e M x xH n M
x x απαααα
ψ--==
)}()(2
1
{!211
11x nH x H n M
n n n
ααα
-++=
)(2)!1(211
11x H n n M
n n αα
---=
)(2
1
)!1(21111
x H n n M n n αα+++++ )](2
1)(2[
1
11x n x n n n +-++=
ψψα
┈┈ 7分 利用
()()x nH x H n n
12-=' )(2)!2()(22/12
1
x x e H n n dx x d n x n n
n ψααπαψα-=--)](2
1)(2[1221121x n x n n n n n +--++-=ψψααψα )](2
1
)(2[
11x n x n n n +-+-=ψψα ┈┈ 7分 注：该题为基本题，考核学生对一维谐振子波函数的理解和应用能力。

六、证明题（本题满分12分）
证明：z x y y x i σσσσσ
ˆ2ˆˆˆˆ=- （1）┈┈ 3分 0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ （2）┈┈ 3分 （1）+（2）得：z y x i σσσ
ˆˆˆ= （3）┈┈ 3分 （3）右乘z σˆ：i i z z y x ==2ˆˆˆˆσσσσ ┈ 3分 注：该题为基本题，考核泡利算符的运算。

七、证明题（本题满分14分）
证明：一维线性谐振子的薛定谔方程为)()(2
1)(22222x E x x x dx d ψψμωψμ=+- ①
把)(x ψ代入上式，有
)
392(3)]36()32([3)]32(3[)(23452
1
21
2
33323321
222222αααπ
α
αααααπ
αααπαψααα-+-=
-+--=-=---x x e e x x x x x x e dx d x dx d x x x
⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-+-=-)3x 9x 2(e 3dx d dx )x (d 2
345x 21
2
222αααπαψα
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+-+--=
--)x 18x 8(e )3x 9x 2(xe 3335x 2
12345x 2122222ααααααπ
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