量子力学(第1-4章)考试试题

第一至四章 例题
一、单项选择题
1、普朗克在解决黑体辐射时提出了 【 】
A 、能量子假设
B 、光量子假设
C 、定态假设
D 、自旋假设
2、若n
n n a A ψψ=ˆ，则常数n a 称为算符A ˆ的 【 】 A 、本征方程 B 、本征值 C 、本征函数 D 、守恒量
3、证实电子具有波动性的实验是 【 】
A 、 戴维孙——革末实验
B 、 黑体辐射
C 、 光电效应
D 、 斯特恩—盖拉赫实验
4、波函数应满足的标准条件是 【 】
A 、 单值、正交、连续
B 、 归一、正交、完全性
C 、 连续、有限、完全性
D 、 单值、连续、有限 5、已知波函数 )exp()()exp()(1Et i
r Et i r
ϕϕψ+-
=, )exp()()exp()(22112t E i r t E i r
ϕϕψ+-=,
)exp()()exp()(213Et i
r Et i r
-+-=ϕϕψ,
)exp()()exp()(22114t E i
r t E i r
-+-=ϕϕψ
其中定态波函数是 【 】 A 、ψ2 B 、ψ1和ψ2 C 、ψ3 D 、3ψ和ψ4
6、在一维无限深势阱⎩
⎨⎧≥∞<=a x a
x x U ,,0)(中运动的质量为μ的粒子的能级为 【 】
A. πμ222
22 n a B. πμ22224 n a C. πμ22228 n a D. πμ2222
16 n a
. 7、量子力学中用来表示力学量的算符是 【 】 A 、线性算符 B 、厄米算符 C 、幺正算符 D 、线性厄米算符
8、]ˆ ,ˆ[x p x
= 【 】 A 、0 B 、 i C 、 i - D 、
2
9、守恒量是 【 】
A 、处于定态中的力学量
B 、处于本征态中的力学量
C 、与体系哈密顿量对易的力学量
D 、其几率分布不随时间变化的力学量
10、某体系的能量只有两个值1E 和2E ，则该体系的能量算符在能量表象中的表示为【 】
A 、⎥⎦⎤⎢
⎣⎡1221
E E E E B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡21
00E E C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡00
21E E D 、⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2211
E E E E 11、)(r nlm
ψ为氢原子归一化的能量本征函数，则=''⎰
τψψd m l n nlm 【 】
A 、0
B 、1
C 、m m l l ''δδ
D 、m l lm ''δδ 二、填空题 1、19世纪末
20世纪初，经典物理遇到的困难有（举三个例
子） 。

2、平方可积的波函数ψ的归一化因子为 。

3、定态薛定谔方程的解析表达式为 。

4、线性谐振子的零点能为 。

5、角动量平方算符2ˆ
L 的本征值为 。

6、已知∧
∧
∧
=K i G F ],[，则符F
ˆ和G ˆ的测不准关系是 。

7、量子体系的守恒量，在任何态ψ中， 都不随时间改变。

8、一维动量算符的解析表达式为=x
P ˆ 。

9、用平方可积波函数ψ和φ定义厄密算符F
ˆ时，定义式为 。

三、简答题
1、、简要说明波函数的波恩统计解释。

2、力学量基本假设中，关于测量假设的基本内容是什么？
3、微观粒子的运动状态与经典粒子的运动状态有何区别？
4、简要介绍光电效应的实验现象及其遇到的困难。

5、简述态叠加原理的基本内容。

6、简述德布罗意假设的基本内容。

7、简述普朗克能量子假设的基本内容。

四、证明题
1、证明：对于非简并情况，厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此正交。

2、试证明：如果两算符A
ˆ和B ˆ有完全的共同本征函数系，则0]ˆ,ˆ[=B A 。

3、试证明kx A x cos )(=ψ是动能算符2
222ˆdx d T x
μ -=的本征函数，但不是动量算符dx
d
i p
x -=ˆ的本征函数。

4、试证明i k x
Ae x =)(ψ既是动能算符2
222ˆdx d T x
μ -=的本征函数，也是动量算符dx
d
i p
x -=ˆ的本征函数。

五、计算题1、一粒子处于势场⎩⎨⎧≥∞
<=a
x a
x U x U 0)(中，求其能量本征值和本征态。

2、粒子绕定点转动，哈密顿为I
L H 2ˆˆ2 =，求粒子能量本征函数和本征值。

3、粒子在哈密顿为U x dx d H ++-=222
22212ˆωμμ 的力学系统中运动，其中U 为常数。

试
求粒子的能量本征态和本征值。

4、求⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=002ˆi i S y
的本征值和所属本征函数。

5、粒子处于态)()()()(321100121r r r r
ψψψψ++=-中，分别求z L L E ,,2
的可能值，各可能
值的几率和平均值。

其中)(r nlm
ψ为氢原子的归一化的能量本征态。

6、粒子处于态)(3)(2)()(100132211r r r r
ψψψψ++=-中，分别求z L L E ,,2
的可能值，各可
能值的几率和平均值。

其中)(r nlm
ψ为氢原子的归一化的能量本征态。