机械控制理论基础15、16课时

1(t) , t 0
t , t0
1t2 , t 0 2
(t) , t 0
Asinwt
提问 十人
下面我们就分别以 单位阶跃函数 单位脉冲函数 单位斜坡函数 作为输入信号，来研究一阶系统的时间响应。
Unit-impulse response of first-order systems
机械控制理论基础 主讲教师：程爽
具体定义
提问十人
3.2 一阶系统的时间响应
一阶系统
可用一阶微分方程描述的 系统称为一阶系统。
其微分方程和传递函数的 一般形式为：
T
dx0 (t) dt
x0 (t)
xi
(t)
G(s) X 0 (s) 1 X i (s) Ts 1
在线推导
式中：T称为一阶系统的时间常数，它表达了一阶系统本身的与外界无关 的固有特性，故也称为一阶系统的特征参数。
et /T 是瞬态项，1是稳态项
xou (t) L1[Xo (sFra Baidu bibliotek] 1 et/T (t 0)
1、表示的一阶系统的单位阶跃响应是一条单调上 升指数曲线，稳态值为 xou () 。 曲线有两个重要的特征点。
2、A点：其对应的时间t为T 时，系统的响应xou (t) 达到了稳态值的63.2%；
当输入信号为理想单位脉冲函数时，Xi(s)＝1，输出量的拉氏变 换与系统的传递函数相同，即
W (s) X0(s) G(s)Xi(s)
Xi (s) L[ (t)] 1
W (s) G(s)
这时相同的输出称为脉冲响应记作w(t):
w(t) L1[G(s)] L1[ 1 ] Ts 1
w(t) 1 et /T (t 0) T
1t
1t
c(t) t T (1 e T ) t T Te T
对比可知：
-t
一阶系统在理想的单位斜坡函数作用下，Te T
是瞬态项，t-T是稳态项
分析表明：
1、一阶系统的单位斜坡响应的稳态 分量，是一个与输入斜坡函数斜率相 同但时间滞后T的斜坡函数，因此在 位置上存在稳态跟踪误差，其值正好 等于时间常数T。 2、一阶系统单位斜坡响应的瞬态分 量为衰减非周期函数。
(1) 实际系统的输入信号不可知性 (2) 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系（卷积） (3) 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。
有哪些常用的典型试验(输入)信号 ？
单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数、 正弦函数等。
（单位）阶跃函数（Step function） （单位）斜坡函数（Ramp function） （单位）加速度函数（Acceleration function） （单位）脉冲函数（Impulse function） 正弦函数（Simusoidal function）
的惯性就愈小，系统的响应也就愈快。
Unit-impulse response of first-order systems
输入信号为单位斜坡函数时，即
R(s) 1 S2
C(s)
(s)R(s)
1 TS
1
1 S2
1 S2
T S
T2 1 TS
1t
1t
响应函数的Laplace变换式为：c(t) t T (1 e T ) t T Te T
例题：
解：已知输入是单位脉冲信号，即R(s)=1， 则系统的脉冲响应的拉式变换即系统的闭环传递函数。
(s) L1[k(t)] 0.0125 0.01
s 1.25 0.8s 1
本节作业：
3.3（2）（3） 请同学们按照步骤书写，并在4月20日前提交到群相册中备
查。
3.3 二阶系统的单位阶跃响应 请同学们提前预习
信号
确定性信号和非确定性信号: 确定性信号：变量和自变量之间的关系能够用一确定性函数描述。 非确定性信号：变量与自变量之间的关系是随机的，只服从某些 统计规律。
分析和设计系统:采用典型输入信号，比较其时间响应。
典型试验(输入)信号 Typical test signals
为什么要选取典型输入信号？
w(t) 1 et /T (t 0) T
对比可知： 一阶系统在理想的单位脉冲函数作用下， 其响应函数中只有自然响应项， 没有强迫响应项。
w(t) 1 et /T (t 0) T
分析3.3.1
1、一阶系统的单位脉冲响应函数是一 单调下降的指数曲线。 2、过渡过程： 将指数曲线衰减到初值的2%之前的过 程定义为过渡过程，相应的时间为4T， 记为ts。 3、由2可见，系统的时间常数T越小, 其过渡过程的持续时间越短,系统的惯 性越小，反应的快速性能越好。
3、零点：其对应的t为0 时，xou (t)
的切线斜率（响应速度）等于1/T。
4、指数曲线的斜率，即速率 x&ou (t)
是随时间t的增大而单调减小的，当t为
时，其响应速度为零； 5、当 t 4T
时，响应已达到稳态值的98%以上，过渡过程时间 ts=4T。
6、时间常数T 反映了固有特性，其值愈小，系统
在实际应用时，由于理想的脉冲信号不可能得到， 为了得到近似程度较高的脉冲响应函数， 就要求脉冲宽度h与系统的时间常数T相比足够小，一般为:
h 0.1T
Unit-Step Response of First-order System
输入信号为单位阶跃函数时，即
xi
(t
)
u(t
),
L[u(t
)]
1 s
响应函数的Laplace变换式为：
X
0
(s)
G(s)
Xi
(s)
1• Ts 1
1 s
1 s
T Ts 1
1 s
s
1
1
T
其时间响应函数记为：
xou (t) L1[Xo (s)] 1 et/T (t 0)
xou (t) L1[Xo (s)] 1 et/T (t 0)
对比可知： 一阶系统在理想的单位阶跃函数作用下，