二次函数与几何图形动点问题

A 专题九 二次函数与几何图形动点问题

中考目标：

1、 灵活运用二次函数、特殊三角形和四边形相关性质、判定、定理，确定二次函数，判定线与线关系、特殊三角形、四边形及相应的周长、面积、还有存在、最值等问题；

2、 能够通过数形结合，进行建构模型，联想、猜测，运用分类、转化、从特殊到一般归纳等数学思想解

决问题；

3、 运用“动中求静”，找到、运用不变的数、不变的量、不变的关系，建立函数关系及综合应用代数、

几何知识解决问题。

一．考点归纳：特殊图形的定义、性质、判定等，图形的变化：轴对称、平移、旋转（特殊的是中心对称） 二次函数部分的归纳：

1、二次函数的表达式：一般式 ，顶点（ ， ） 对称轴x= ， 还有 式；

2、二次函数的图象是 ，二次函数的性质： 。

二、考点探究

活动一：二次函数与三角形

例1.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过点B （12,0）和C （0，－6），对称轴为x ＝2．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同

时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直

平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的结论下，直线x ＝1上是否存在点M 使，△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的

坐标，若不存在，请说明理由．

练习：如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-2

1，0)、B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ；

(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；

(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D

点的坐标；

(3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P

点的坐标；若不存在，说明理由。

跟踪练习：《题型专练》P56 T1；P58 T5

中考考点：二次函数与四边形

例1. 如图，抛物线2

23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物

线交于A 、C 两点，其C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；

（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最值；

（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶

点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

跟踪练习：《题型专练》P57 T3；P59 T7

中考考点：二次函数与三角形、四边形的面积 y A B C

O x

例1.已知抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此

抛物线的表达式；

（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），

过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，

求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，

请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存

在，请说明理由．

例2.如图，已知抛物线P ：y=ax 2+bx+c(a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的

正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别

在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： (1) 求A 、B 、

C 三点的坐标；

(2) 若点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点

M ，使FM=k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围.

练习.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），

点N 的坐标为（－6，－4）．

（1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，

C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）；

（2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；

（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形

BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是

否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

跟踪练习：《题型专练》P56 T1；P57 T4；P59 T8

四、课后作业：

五、选做 如图，已知抛物线C 1与坐标轴的交点依次是A(-4,0)、B(-2,0)、E （0,8）．

（1）求抛物线C 1关于原点对称的抛物线C 2的解析式；

（2）设抛物线C 1的顶点为M ，抛物线C 2与x 轴分别交于C 、D 两点（点C 在点D 的

左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速

度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度

沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积

S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；

（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，

请说明理由． x … -3 -2 1 2 …

y … -52 -4 -52 0 …