图像重建资料
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图像处理第7章 图像投影重建
设f(x,y)在以原点为圆心的单位圆Q 外为0，现考虑有一条由发射源到接 收器的直线在平面上与f(x,y)在Q内
相交，这条直线用两个参数来确定： 1，它与原点的距离s；2，它与Y轴 的夹角θ。
7.2.1 投影重建图像示意图
7.2.1 基本模型
沿直线（s, θ ）对 f（x,y)的积分
设Q为单位圆，积分上下限分别为t和-t
7.4 逆投影重建
7.4.1 逆投影重建原理
将从各个方向得到的投影逆向返回到该方向的各个位置，如果对多个 投影方向都进行这样的逆投影并叠加结果，就有可能建立平面上的一 个分布。
（a）分别给出水平投影和逆投影的示意图，发射源发出均匀射线，由 于所穿透物体各处密度不同，各接收器得到的响应不同。
（b）给出垂直投影和逆投影的示意图，与水平方向的效果类似
讨论接收器在一段弧上等角度间隔排列的情况，
用（s, θ）所指定的一条射线可看做是一组用（α，β）指定 的射线中的一条，其中α是该射线与中心射线的离散角，β 是源与原点连线和Y轴夹角，它确定了源的方向。
（7.2.5）
7.2.2 拉东变换
对f(x, y)沿一个固定角度投影结果的1-D傅里叶变换对 应f(x, y)的2-D傅里叶变换中沿相同角度的一个剖面/层， 如图7.2.3.
7.3 傅里叶反变换重建
基于变换的重建方法，它是首先在投影中得到应用的方法
1. 基本步骤和定义
(1) 建立数学模型，其中已知量和未知量都是连续实数的函数 (2) 利用反变换公式（可有多个等价的）解未知量 (3) 调节反变换公式以适应离散、有噪声应用的需求 重建算法： 设图象区被1个直角网格所覆盖，K为X方向上的点数，L为Y方向上的
(7.2.1)
7.2.2 拉东变换
《图像重建》PPT课件
问题：能否从投影中恢复原图？ 答复是肯定的。
一条射线沿S方向穿透物体，投影轴与X轴夹角为θ，建立s、t坐标系，（t,s）与(x,y)关系如下式：
x
t
y
s
Pθ(t)
θ
X射线
沿射线积分组成投影 ：
物理上X射线到人体有个衰减过程： u(x,y)为x,y点的衰减 Nin ：入射X射线（光子）强度 Nd ：X射线穿透物体后被检测到的射线强度 u(x,y)：反映了人体各部组织的性质，在空间上的分布就形成了人体 各部组织的图象，所以u(x,y)实质上反映了图象灰度分布f(x,y)
x
y
θHale Waihona Puke uv由付氏变换旋转不变性： 得： S (w) = F(w, ) = F(u,v) （一般的S(w)=F(u,v)的证明） 证：f(t,s)是f(x,y)在t,s坐标上为函数
x
t
y
s
θ
u
ω
v
θ
实现流程： 极坐标 直角坐标
①
将①带入上式，可得到采样点上的值：
k = 0,1…N-1 共N个（即实际投影范围有限）
3、
当w→0时，G(w)~|w|
4. 当ε→0时，G（w）≈|w|
讨论： 取样点N大则τ小；N小则τ大，混迭严重。 因P(T)有限范围，S(W)为无限带宽，混迭必然。 实现方法多种多样，取决于速度与精度，投影个数，K有关。实用为弧面，几何关系更复杂一些。
目前拓展、超声CT、放射性同位素正电子CT、质子CT。 CT其它领域：电子天文学、电子显微镜。
9.3 滤波——逆投影法 极坐标F的付氏反变换：
F(ω,θ)
v
u
θ
v
u
π
一条射线沿S方向穿透物体，投影轴与X轴夹角为θ，建立s、t坐标系，（t,s）与(x,y)关系如下式：
x
t
y
s
Pθ(t)
θ
X射线
沿射线积分组成投影 ：
物理上X射线到人体有个衰减过程： u(x,y)为x,y点的衰减 Nin ：入射X射线（光子）强度 Nd ：X射线穿透物体后被检测到的射线强度 u(x,y)：反映了人体各部组织的性质，在空间上的分布就形成了人体 各部组织的图象，所以u(x,y)实质上反映了图象灰度分布f(x,y)
x
y
θHale Waihona Puke uv由付氏变换旋转不变性： 得： S (w) = F(w, ) = F(u,v) （一般的S(w)=F(u,v)的证明） 证：f(t,s)是f(x,y)在t,s坐标上为函数
x
t
y
s
θ
u
ω
v
θ
实现流程： 极坐标 直角坐标
①
将①带入上式，可得到采样点上的值：
k = 0,1…N-1 共N个（即实际投影范围有限）
3、
当w→0时，G(w)~|w|
4. 当ε→0时，G（w）≈|w|
讨论： 取样点N大则τ小；N小则τ大，混迭严重。 因P(T)有限范围，S(W)为无限带宽，混迭必然。 实现方法多种多样，取决于速度与精度，投影个数，K有关。实用为弧面，几何关系更复杂一些。
目前拓展、超声CT、放射性同位素正电子CT、质子CT。 CT其它领域：电子天文学、电子显微镜。
9.3 滤波——逆投影法 极坐标F的付氏反变换：
F(ω,θ)
v
u
θ
v
u
π
图像处理中的图像重建算法技巧分享
图像处理中的图像重建算法技巧分享图像重建是图像处理领域的一项重要任务，旨在通过对损坏或模糊的图像进行修复和恢复，提升图像的质量和细节。
在图像重建的过程中，各种算法和技巧被广泛应用，以实现精确和高效的结果。
本文将分享一些图像处理中的图像重建算法技巧，帮助读者更好地理解和实践。
1. 基于插值的算法技巧：插值算法是图像重建中常用的技术之一。
其基本思想是根据已知数据点的值，通过一定的数学模型来估计未知点的值。
常用的插值算法包括最邻近插值、双线性插值和双立方插值。
最邻近插值方法简单快速，但可能引入锯齿状伪像；双线性插值可以减少锯齿状伪像，但在图像尺寸变化较大时效果不佳；双立方插值适用于图像尺寸变化较大和细节丰富的情况。
2. 基于频域分析的算法技巧：频域分析在图像处理中占据重要地位，可用于图像的去噪和恢复。
傅里叶变换是频域分析的基础工具，将图像从空域转换到频域，可以提取图像的频域信息。
常见的频域滤波器有低通滤波器和高通滤波器，用于去除图像中的低频和高频噪声。
此外，利用反傅里叶变换，可以将频域图像恢复到空域，实现图像重建。
3. 基于图像去噪的算法技巧：在图像重建过程中，去噪是一个重要的步骤。
图像噪声可能由于成像设备的限制、传输过程中的干扰或其他因素引起。
去噪算法可以有效减少图像中的噪声，并提高图像的质量。
常见的图像去噪算法包括中值滤波、均值滤波、小波去噪和基于总变分的去噪方法。
这些算法可以根据噪声特点和图像内容来选择合适的去噪策略。
4. 基于图像修复的算法技巧：图像修复旨在恢复图像中损坏或缺失的信息。
常见的图像修复算法包括基于边缘保持的方法、基于偏微分方程的方法和基于卷积神经网络的方法。
基于边缘保持的方法能够保护图像的边缘信息，并通过边缘插值来恢复图像；基于偏微分方程的方法能够通过数学模型来恢复图像的细节和结构；基于卷积神经网络的方法能够学习图像的映射函数，实现高质量的图像重建。
5. 增强图像细节的算法技巧：在图像重建过程中，有时需要增强图像的细节，使其更加清晰和鲜明。
图像重建
恢复图像本来面目的处理措施。
④校正技术，即采用几何校正措施，去掉图像上的几何失真
。通过以上技术可以去除图像上的畸变及噪声信息，使图像 更加清晰，以便用目视准确判读和解释。
二 医学CT三维图像重建
二 分割标注 分割标注是保证三维重建准确性的关键技术,分割效果直接影 响三维重构的精确度。图像分割的目标是将图像分解成若干 有意义的子区域(或称对象) 。标注则为了能够识别出各区域 的解剖或生理意义。在医学图像领域,常常简单地将分割标 注的过程称为分割。 可简单的将医学图像分割分为两类:基于边界和基于区域。
例如,手术开窗，通过人机交互工具在重建出的人体器官立体视图上模拟
手术开刀,要求在计算机上迅速显示出模拟手术结果.
二 医学CT三维图像重建
重建流程图
二 医学CT三维图像重建
2 断层扫描原理
二 医学CT三维图像重建
（3）重建方法
在各种图像重建算法中，计算机断层扫描技术又称计算机
层析（CT）占有重要的地位。 计算机断层扫描技术的功能是将人体中某一薄层中的组 织分布情况，通过射线对该薄层的扫描、检测器对透射信 息的采集、计算机对数据的处理，并利用可视化技术在显 示器或其他介质上显示出来。 这项技术的重要基础是投影切片定理： 即对于任何一个三维(二维)物体，它的二维(一维)投影的 傅立叶变换恰好是该物体的傅立叶变换的主体部分。
基于边界的分割寻找感兴趣的封闭区域;
基于区域则是将体数据分为若干不重叠的区域,各区域内部
的体素相似性大于区域之间的体素相似性。
二 医学CT三维图像重建
（5）切片的重组、插值 CT 三维成像的主要方法是:通过多幅等间隔的相继断层图像 重建三维目标,实现人体组织器官的立体显示、操作和分析. CT 扫描仪得到的断层图像序列在空间三个正交的方向上分 辨率通常不同,例如,CT 切片中,层内像素距离通常在015 到 2mm之间,而层间距则位于1 到15mm 之间,断层内象素空间分 辨率远远高于各断层间的空间分辨率.如果直接用这种图像 进行分析处理和显示,由于三个方向空间分辨率不一致,使显 示结果呈阶梯状. 因此,要实现物体的三维显示和处理必须形成等分辨率的数 据,而内插是三维重建中必不可少的环节,内插效果直接影响 重建的质量.
(医学课件)医学图像重建算法概述
基于卷积神经网络的医学图像重建算法是最常用的深度学习 算法之一。
CNN算法通过一系列卷积、池化和全连接层等基本组件，对 输入医学图像进行特征提取、降噪和细节强化等操作，最终 实现高质量的重建。
基于生成对抗网络（GAN）的图像重建算法
GAN是一种竞争性的深度学习模型，通过 训练两个神经网络进行对抗竞争，生成高质 量的医学图像。
03
基于深度学习的医学图像重建算法
深度学习在医学图像重建的应用
深度学习技术应用于医学图像重建，旨在提高图像质量，降低噪声干扰，简化图 像处理流程，提高诊断准确性和效率。
深度学习技术可以通过学习大规模标注的医学图像数据，提取特征并建立从原Βιβλιοθήκη 图像到高质量重建图像的映射关系。
基于卷积神经网络的图像重建算法
医学影像的处理是指对得到的医学影像进行进一步的处理， 包括去噪、增强、分割等操作，以满足临床医生的需求。
医学影像的三维重建
医学影像的三维重建是指将得到的医学影像数据进行三维 重建，得到更为真实、立体的医学图像。
医学影像的三维重建常用的算法包括体素渲染、表面渲染 、体素重建等算法，这些算法可以有效地提高图像的可视 化和直观性。
MRI图像重建
MRI图像重建是将得到的医学影像数据进行处理，得到更为清晰、准确的MRI图 像。
MRI图像重建常用的算法包括傅里叶变换、空间编码、压制噪声等算法，这些算 法可以有效地提高图像的质量和准确性。
医学影像的质量评估与处理
医学影像的质量评估是指对得到的医学影像进行质量评估， 包括分辨率、对比度、噪声等指标。
基于深度学习的特征提取算法
基于深度学习的特征提取算法通过训练深度神经网络从大 量医学图像中自动学习图像特征，具有强大的特征表达能 力和鲁棒性。
CNN算法通过一系列卷积、池化和全连接层等基本组件，对 输入医学图像进行特征提取、降噪和细节强化等操作，最终 实现高质量的重建。
基于生成对抗网络（GAN）的图像重建算法
GAN是一种竞争性的深度学习模型，通过 训练两个神经网络进行对抗竞争，生成高质 量的医学图像。
03
基于深度学习的医学图像重建算法
深度学习在医学图像重建的应用
深度学习技术应用于医学图像重建，旨在提高图像质量，降低噪声干扰，简化图 像处理流程，提高诊断准确性和效率。
深度学习技术可以通过学习大规模标注的医学图像数据，提取特征并建立从原Βιβλιοθήκη 图像到高质量重建图像的映射关系。
基于卷积神经网络的图像重建算法
医学影像的处理是指对得到的医学影像进行进一步的处理， 包括去噪、增强、分割等操作，以满足临床医生的需求。
医学影像的三维重建
医学影像的三维重建是指将得到的医学影像数据进行三维 重建，得到更为真实、立体的医学图像。
医学影像的三维重建常用的算法包括体素渲染、表面渲染 、体素重建等算法，这些算法可以有效地提高图像的可视 化和直观性。
MRI图像重建
MRI图像重建是将得到的医学影像数据进行处理，得到更为清晰、准确的MRI图 像。
MRI图像重建常用的算法包括傅里叶变换、空间编码、压制噪声等算法，这些算 法可以有效地提高图像的质量和准确性。
医学影像的质量评估与处理
医学影像的质量评估是指对得到的医学影像进行质量评估， 包括分辨率、对比度、噪声等指标。
基于深度学习的特征提取算法
基于深度学习的特征提取算法通过训练深度神经网络从大 量医学图像中自动学习图像特征，具有强大的特征表达能 力和鲁棒性。
CT原理部分 CT图像重建 CT图像重建
• 头部CT采用256×256或320×320矩阵； • 全身CT图像选320×320或512×512矩阵； • 显示脊椎骨等结构的细节采用512×512或
640×640矩阵。
（三）投影
• 投照受检体后出射的X线束强度 I 称投影 (projection，P) ，投影值的分布称为投影 函数。
• 1．近似单能X线束获取 • 使发射的X线束中主要是标识辐射的X线；
•基本原理：是将所测得的投影值按其原路 径平均的分配到每一点上，各个方向上投影 值反投影后，在影像处进行叠加，推断出原 图像。
•缺点：影像边缘处不清晰。
CT机装置
• 探测器：碘化钠、锗酸铋—高压氙气电离 室—稀土陶瓷探测器—平板探测器(非晶 硅、非晶硒）
（二）傅里叶变换法
• 是基于使图像矩阵的求解与图像投影的 傅里叶变换间建立确定的关系；或为修 正反投影法中模糊因子，从频域上校正 图像模糊部分的图像重建方法。
★(一) 反投影法
• 缺点：影像边缘处不清晰。 • 如果在一均匀的组织密度内，存在吸收系
数极不均匀的部分时，反投影图像与原图 像会出现伪影(image artifact)。 • 如圆柱形单密度体，利用反投影法所重建 图像的结果呈现出星形伪影。 • 反投影数量愈多，重建图像愈接近于原图 像，但由于存在星形伪影，而使得重建图 像的边缘部分模糊不清。
地滤波，达到满意的重建图像效果。 卷积函数h（t）选取是卷积计算的关键， h（t）称为卷积核(convo1ution kernet)。
（四）卷积反投影法
• 与滤波反投影法相比，卷积反投影法避 免了FT运算。
（四）卷积反投影法
卷积的滤波作用
（四）卷积反投影法
x cos y sin R
640×640矩阵。
（三）投影
• 投照受检体后出射的X线束强度 I 称投影 (projection，P) ，投影值的分布称为投影 函数。
• 1．近似单能X线束获取 • 使发射的X线束中主要是标识辐射的X线；
•基本原理：是将所测得的投影值按其原路 径平均的分配到每一点上，各个方向上投影 值反投影后，在影像处进行叠加，推断出原 图像。
•缺点：影像边缘处不清晰。
CT机装置
• 探测器：碘化钠、锗酸铋—高压氙气电离 室—稀土陶瓷探测器—平板探测器(非晶 硅、非晶硒）
（二）傅里叶变换法
• 是基于使图像矩阵的求解与图像投影的 傅里叶变换间建立确定的关系；或为修 正反投影法中模糊因子，从频域上校正 图像模糊部分的图像重建方法。
★(一) 反投影法
• 缺点：影像边缘处不清晰。 • 如果在一均匀的组织密度内，存在吸收系
数极不均匀的部分时，反投影图像与原图 像会出现伪影(image artifact)。 • 如圆柱形单密度体，利用反投影法所重建 图像的结果呈现出星形伪影。 • 反投影数量愈多，重建图像愈接近于原图 像，但由于存在星形伪影，而使得重建图 像的边缘部分模糊不清。
地滤波，达到满意的重建图像效果。 卷积函数h（t）选取是卷积计算的关键， h（t）称为卷积核(convo1ution kernet)。
（四）卷积反投影法
• 与滤波反投影法相比，卷积反投影法避 免了FT运算。
（四）卷积反投影法
卷积的滤波作用
（四）卷积反投影法
x cos y sin R
(数字图像处理)第七章图像重建
带通滤波器
允许一定频率范围内的信号通 过，阻止其他频率的信号通过 ，用于提取图像的特定频率成 分。
陷波滤波器
阻止特定频率的信号通过，其 他频率的信号不受影响，用于 消除图像中的周期性噪声。
傅里叶反变换实现图像恢复过程
01
傅里叶反变换定义
将频率域的信号转换回时间域或空间域的过程，是傅里叶变换的逆操作。
80%
模型评估指标
使用峰值信噪比（PSNR）、结构 相似性（SSIM）等指标，客观评 价重建图像的质量。
实例
1 2
超分辨率技术介绍
利用低分辨率图像重建出高分辨率图像的技术， 广泛应用于图像增强和修复领域。
CNN在超分辨率技术中的应用
通过设计多层的卷积神经网络，实现对低分辨率 图像的特征提取和重建，生成高分辨率图像。
频率混叠现象
当采样频率低于信号最高频率的两倍时，会出现频率混叠现象，即高频信号成 分会折叠到低频区域，导致重建出的图像出现失真和伪影。
离散信号与连续信号转换关系
离散信号到连续信号的转换
在图像重建中，需要将离散的采样点转换为连续的图像信号 。这通常通过插值算法实现，如最近邻插值、线性插值、立 方插值等，以在离散采样点之间生成平滑的过渡。
稀疏表示与字典学习的关系
稀疏表示是字典学习的目标，而字典学习是实现稀疏表示的手段。
实例：基于CS-MRI技术医学图像重建
CS-MRI技术
基于压缩感知理论的磁共振成像技术，通过减少采样数据 量和优化重建算法，实现高质量医学图像的快速重建。
实现步骤
首先，利用MRI系统的部分采样数据构建测量矩阵；然后， 通过稀疏表示和字典学习方法得到图像的稀疏系数；最后， 利用重建算法恢复出原始图像。
图像重建
1． 真实感显示 近年来，计算机图形学的发展极大的促进了图 像三维重建技术的发展。图像三维重建技术与 计算机图形学的结合使得重建的三维图像极具 真实感。真实感显示的关键技术是浓淡层次和 光照模型的运用。
三维重建中的光照模型主要有二个主要成分， 重建物体的表面特性与照明特性。表面特性又 包括物体的表面反射特性和透明特性。 反射特性确定照射到物体表面的光有多少被 反射，当物体表面对不同波长的光具有不同的 反射系数时，就会出现不同的颜色。
所以，具有1024级灰度的图像
每像素可包含10比特的信息量。
• 由于像素之间的相关性，实际的信息量将比这 一最大信息量小得多。我们可以用计算每一像 素的水平直方图的方法估计在一幅图像中的一 阶熵，即：
H P i log2 P i
i 1 2M
• 此外，我们还要考虑到分辨率N和每像素比特
数之间并不是线性关系，然而，某些心理视觉
资料表明对于相同的图像质量，M与N之间的 关系必须加以修正。同时，在重建图像的显示 方法中必须考虑人的视觉系统对灰度范围和精 确度的限制。
• 尽管定量描述有些困难，但实验表明，在最好 的观察条件下，人类仅能分辨几十种灰度、几 千种不同的颜色和几秒的弧度，而大多数情况 下视觉条件都难于达到最佳条件，因此，人眼
能分辨的灰度级和颜色都是有限的。
7．7．2 单色显示
• 实际应用中阴极射线管（ CRT
）及液晶等
平板显示器是典型的输出设备。在图像显示中 的线性、量化、开窗口和增强（如平滑、锐化、 高通滤波）处理是提高显示质量的必要技术。
• 线性处理是首先考虑的预处理技术。给定一幅 数字重建图像，数据和显示器灰度间具有非线 性特性，为了获得数据与灰度之间的线性关系， 必须考虑视觉条件和人的视觉系统。
图像的复原与重建
数据集标注
对数据集进行准确、全面的标注有助 于提高算法的训练效果，需要投入大 量人力和时间进行标注工作。
计算效率与实时性
计算效率
在保证算法性能的同时，应尽可能提 高计算效率，以适应大规模图像处理 的需求。
实时性
对于实时性要求较高的应用场景，如 视频监控、无人机等，算法应具备较 好的实时性。
多模态融合与跨领域应用
图像复原的目标是尽可能地减 少或消除这些退化的影响，从 而得到更清晰、更准确的图像。
图像重建的定义
图像重建是指根据一组或多组低 质量的图像，通过一定的算法和 技术手段，生成一幅高质量的图
像。
常见的应用场景包括医学成像、 遥感图像处理等。
图像重建需要利用先验知识或模 型来估计原始图像中的细节和纹
理信息。
多模态融合
将图像与其他模态的信息进行融合，如文本、音频等，有助于提高图像复原与重建的效 果。
跨领域应用
将图像复原与重建技术应用于其他领域，如医学影像、安全监控等，有助于拓展技术的 应用范围。
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05 图像复原与重建的挑战与 展望
算法鲁棒性与可扩展性
鲁棒性
面对不同程度降质、噪声和失真 的图像，算法应具备较好的鲁棒 性，能够准确恢复原始图像。
可扩展性
随着图像处理技术的发展，算法 应具备可扩展性，能够适应不同 分辨率、不同格式的图像处理需 求。
数据集的获取与标注
数据集获取
获取大规模、多样性的图像数据集是 提高算法性能的关键，需要利用互联 网资源、公开数据集等途径获取。
广泛应用于图像处理、计算机视觉和机器学习等 领域。
三维重建技术
通过多视角图像或立 体视觉技术，获取物 体的三维几何信息。
对数据集进行准确、全面的标注有助 于提高算法的训练效果，需要投入大 量人力和时间进行标注工作。
计算效率与实时性
计算效率
在保证算法性能的同时，应尽可能提 高计算效率，以适应大规模图像处理 的需求。
实时性
对于实时性要求较高的应用场景，如 视频监控、无人机等，算法应具备较 好的实时性。
多模态融合与跨领域应用
图像复原的目标是尽可能地减 少或消除这些退化的影响，从 而得到更清晰、更准确的图像。
图像重建的定义
图像重建是指根据一组或多组低 质量的图像，通过一定的算法和 技术手段，生成一幅高质量的图
像。
常见的应用场景包括医学成像、 遥感图像处理等。
图像重建需要利用先验知识或模 型来估计原始图像中的细节和纹
理信息。
多模态融合
将图像与其他模态的信息进行融合，如文本、音频等，有助于提高图像复原与重建的效 果。
跨领域应用
将图像复原与重建技术应用于其他领域，如医学影像、安全监控等，有助于拓展技术的 应用范围。
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05 图像复原与重建的挑战与 展望
算法鲁棒性与可扩展性
鲁棒性
面对不同程度降质、噪声和失真 的图像，算法应具备较好的鲁棒 性，能够准确恢复原始图像。
可扩展性
随着图像处理技术的发展，算法 应具备可扩展性，能够适应不同 分辨率、不同格式的图像处理需 求。
数据集的获取与标注
数据集获取
获取大规模、多样性的图像数据集是 提高算法性能的关键，需要利用互联 网资源、公开数据集等途径获取。
广泛应用于图像处理、计算机视觉和机器学习等 领域。
三维重建技术
通过多视角图像或立 体视觉技术，获取物 体的三维几何信息。
CT图像重建知识要点概述
CT图像重建知识要点概述CT图像是一种医学影像技术，常用于诊断和评估疾病。
CT图像重建是指通过计算机算法对原始CT扫描数据进行处理和转换，生成人体内部的三维图像。
一、CT图像的原理与技术CT（Computed Tomography）即计算机断层扫描，是一种通过X射线和计算机重建技术来获取人体内部组织和器官的横断面图像。
它相比传统X射线摄影，能够提供更详细的组织结构信息。
在CT图像的获取过程中，患者平躺在扫描床上，通过旋转的X射线管和探测器阵列，以不同角度连续扫描患者的身体部位。
X射线经过患者体表后，被探测器接收到，并根据接收到的射线强度转换为电信号。
计算机通过处理这些电信号，并利用重建算法恢复出患者的切面图像。
二、CT图像重建的基本步骤CT图像重建过程涉及多个步骤，包括原始数据的预处理、滤波处理、投影重建和图像后处理。
下面将对这些步骤逐一进行概述。
1. 原始数据的预处理原始CT扫描数据通常是一系列的投影数据，需要经过预处理才能用于图像重建。
预处理的主要目标是去除扫描过程中的伪影和噪声，提高图像的质量和准确性。
2. 滤波处理滤波处理是CT图像重建的重要步骤之一，旨在对原始投影数据进行平滑处理，同时保留图像中的边缘信息。
常用的滤波算法包括卷积滤波和傅里叶变换等，通过选择适当的滤波核函数和参数，可以得到清晰且准确的图像。
3. 投影重建投影重建是CT图像重建的核心步骤，其主要目的是根据经过滤波处理的投影数据，恢复出患者体内的切面图像。
常见的投影重建算法包括直接反投影法、滤波反投影法、迭代重建法等，每种算法都有其优缺点，需要根据实际应用场景选择合适的方法。
4. 图像后处理图像重建后，还需进行后处理来进一步增强图像的质量和显示效果。
后处理的方法包括灰度变换、锐化和边缘增强等。
通过这些方法，可以使图像更清晰、更易于观察和分析。
三、CT图像重建的应用领域CT图像重建广泛应用于临床医学和科学研究领域，对疾病的诊断和治疗起到了重要作用。
CT图像重建
二、问题引入
• 复杂投影问题
如果断层成像问题再复杂一点我们怎么办呢? 比如说，公园里有很 多很多树。仅靠两张照片就能画出一张公园地图吗? 如果我们考虑 的矩阵远远大于两行两列，仅仅靠知道每一行的和及每一列的和， 我们能解出原矩阵吗? 一般来说，不能。
二、问题引入
• 复杂投影问题
我们需要更多的数据。这些数据从何而来呢? 我们需要从更多不同 的角度来采集数据。类似于上面谈到的“猜猜矩阵”的问题，我们 需要从不同的角度对矩阵求和。这样一来，就需要用到更复杂的数 学来解决一个实际的断层成像问题。
统计迭代重建算法：统计迭代重建质量被普遍认为要优于 FBP 算法，但其 仍未得到推广，一个原因是由于统计迭代自身仍然存在不足，主要是重建时 间较长和适应性较差。
四、图像重建的数学方法
X-CT图像重建方法总结
代数重建法 ( ART )
迭代法
联合迭代重建法 (SIRT )
图像重建方法
基于统计学的优化方法
四、图像重建的数学方法
1、联立方程式法
2、迭代法
2、反投影法
断层平面中某一点的密度值可以看作是这一平面内所有经过该 点的射线的投影值之和（的均值）
• 设x1=5,x2=0,x3=2,x4=18
(3)
(4)
• p1=x1+x2=5, p2=x3+x4=20 • p3=x1+x4=7, p4=x2+x4=18 • p5=x3=2, p6=x1+x4=23,p7=x2=0
5 3.3 4.1 8.7
3、滤波反投影法（Filtered back projection) 也称为卷积反投影法(convolution back projection,CBP)
CT图像重建(X线成像系统)
ED=D×Wr
当辐射有多个种类和能量时，在一个组织或器官的 当量剂量就是各个辐射所致的当量剂量的和。
CT剂量
ED给出了不同辐射条件下人体发生生物效应的定量描述，但 人体不同组织或器官对辐射的敏感性和给人体造成的危害是 不同的。 因此又提出组织权重因子Wt（tissue weighting factor） 对上述的ED进行进一步修正。由Wr 和Wt两个因子修正后的 吸收剂量称为有效剂量（effective dose，ED）
伦琴表达照射量只用于能量低于3MeV的X线或 射线辐射，不 适合粒子辐射或能量高于3MeV的光子。 只适用于描述射线对空气的照射，并不能准确表达患者对辐射 的吸收。
பைடு நூலகம்
CT剂量
吸收剂量
描述组织吸收的射线能量 国际单位为：戈瑞（Gy） 1Gy=1J/kg 定义：1kg物质（人体组织）吸收1焦耳能量时的辐射量 吸收剂量D：质量为m（kg）的物质在辐射中吸收的能量 为E（J）时，其吸收剂量 D=E/m （Gy）
CT图像重建
直接反投影法的局限：
容易产生星形伪影
产生原因：反投影法把取 自有限物体空间的投影均 匀地回抹（反投影）到了 射线所及的无限空间的各 个像素上，包括原来像素 值为0的点。
CT图像重建
中心切片定理
CT图像重建
中心切片定理：某断层（或它对应的图像）f（x，y）在视角为 时 得到的平行投影（函数）的一维傅里叶变换，等于f（x，y）二维傅 里叶变换F（w1，w2 ）过原点的一个垂直切片，且切片与轴w1相交成
CT剂量
CT剂量
CT剂量
CT剂量
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建模，投 影信号中任意一点由 沿着直线 x cosk y sin k j 的射线和给出。工作在 连续变量情况下，线 求和变成了积分 g ( j ,k ) f ( x, y) (x cos k y sin k j )dxdy
第七代(G7)多切片CT扫描器：即将问世，采用 “厚”的扇形射线束与平行检测器族相配合同 时收集CT数据，即三维横截“厚片层”，而不 是每个X射线脉冲产生单一的横截面图像。优 点是使用的X射线管更经济，从而降低了成本 并降低了剂量。
3. 关于计算机断层成像 对于医学上的应用来 说被计算的特性是组织的 衰减系数µ，人体虽大部分 软组织是水，但仍有足够 的差异以产生不同的衰减 系数，这样就可以给出一 幅解剖横截面图像。计算 机成像示意图如右侧：
0 1 ln d
假如一条直线上有n个体素， 第一个体素的衰减为:
1 0e
1d
第二个体素衰减为：
2 1e
2d
0e
1d
e
2d
0e
( 1 2 )d
对于第n个体素有：
n 0e
( 1 2 n )d
1 0 1 2 n ln d n
在断层扫描时，生成大量的数据，根据该数 据再计算出每个体素的衰减系数，然后把这些衰 减系数按一定的函数关系显示在屏幕上，这样， 就产生了断层图像。 设某一物体体素对X射线的衰减系数为μ ， 体素厚度为d ， 0和 为穿透物体前后的X射线的 辐射强度。射线遵循如下的衰减定律：
0e d
由冲击函数性质，积分只有沿着直线进行才会不为零
给出沿xy平面中任意一条线的f(x,y)的投影(线积分) 的公式就是雷登变换，符号 R{ f ( x, y)}, R{ f }, g ( , ) 都可以用来表示f的雷登变化，雷登变换是投影重建 的基石。离散情况下：
g ( , ) f ( x, y) ( x cos y sin )
假如某断层有2X2个体素，相应的衰减系数 为 11 , 12 , 21 , 22 ， 分别从X和Z方向投影， 测得的衰减系数为A， B，C，D，即：
11 12 21 22 11 21 12 22
A B C D
从而可以解出 , , , 的值来。我们 11 12 21 22 用一定的函数关系在屏幕上显示出来就可以得 到相应的断层图像。
第四代(G4):圆环检测 器5000个左右，布满 整个360。 固定不动， X线源旋转扫描。约2 秒，仅射线源转动。 G3，G4扫描速度快， 主要缺点是造价高和 较大的X射线散射。需 要比G1,G2扫描器更高 的剂量才能达到可以 比拟的信噪比特性。
第五代(G5)：电子束计算机断层(EBCT)扫描器， 排除了所有机械运动，使用电磁控制电子束， 通过触发环绕病人的钨极板,电子束产生X射线， 然后X射线被整形为通过病人的扇形射线束， 并激发G4扫描器那样的检测器环。 第六代(G6)螺旋CT：G3，G4扫描器使用一种 所谓滑动环来配置，不需要在源/检测器和处理 单元之间的电气和信号连接。然后，源/检测器 对连续旋转360度，同时病人在垂直于扫描的 方向恒速移动，结果是连续的螺旋数值，这些 数据经过处理后就可以得到各幅切片图像。
(3)反射断层重建成像(Reflection Computed Tomography,RCT) 常用于雷达系统。雷达图像通常是由物体 反射的回波产生的。例如光线、电子束、雷达， 激光或超声波等都可以用来进行这种测定。
（4）核磁共振重建图像(Megnetic Resonance Imaging,MRI) MRI是由于具有奇数个质子或中子的原子核 包含有一定的磁动量或旋量的质子，一般情况下 质子在磁场中任意排列，当有适当强度和频率的 共振场作用于物体时，质子吸收能量并转向与磁 场相交的方向。如果此时把共振磁场去掉，质子 吸收的能量会被释放并被检测器收集，根据检测 的信号就可以确定质子的密度。通过控制共振磁 场强度，可检测一条直线上的信号，从而通过该 信号数据可以重建出物体图像。
如果图像的分辨率为512X512，则图像有
262144个独立阵元，需要解262144元的方程 组，计算出μ值，重建出图像。
7.3 投影和雷登变换
下面详细推导根据X射线计算机断层重建图像所需要 的数学问题： 笛卡尔坐标系中一条直线可以用斜截式来表示， y=ax+b，也可以用法线来表示-极坐标
x cos y sin
x 0 y 0 M 1 N 1
本章内容
3 1 2 3 4 5
概述
计算机断层(CT)原理 投影和雷登变换
傅里叶切片定理 使用平行射线束滤波反投影重建
7.1 概述
1.图像重建原理的直观 定性描述： 假设右图是人体三维 区域的一个横断面。 图中背景表示均匀的 软组织，它所环绕的 物体是一个肿瘤，肿 瘤也是均匀的，但有 较高的吸收特性。
0度和180度投影互为镜像
注意到“光晕” 模糊效果
例1：包含两个不同吸收特性物体的简单平面的反 投影
2.在三维重建中的数据 形式有： 透射模型 ； 发射模型 ； 反射模型
(1)透射断层重建成像(Transmission Computed Tomography,TCT)： TCT是射线源的射线穿过物体或者人体组 织，然后由接收器接收经过物体或人体组织吸 收后的剩余射线，由于不同的物质或组织对射 线的吸收不同，剩余射线反映了物体内部的状 况和人体内部的不同组织，通过这些数据再重 建图像，从而发现物体内部欠缺或人体内部病 变。 如光，x射线。
第二代(G2)：与第 一代原理相同，窄 角扇束射线束扫描， 张角10～20度， 20～30个探测器相 配合。扫描时间18 秒左右。允许使用 多个检测器，因此 检测器的平移较少。
第三代(G3)：广角扇 束扫描方式，张角 为30度左右，探测 器增加到250～1000 个，射线源和探测 器同步旋转扫描， 每个角度都产生完 整的投影，消除了 部分平移需要，扫 描时间可缩短2.5秒。
(1) CT发展历史： CT 理论基础源于1917年，奥地利数学家约翰· 雷 登(Radon)所发表的论文。证明了二维或三维物体能够 通过其无限多个投影来确定，但限于当时技术条件没 能实现。
45年后，Tufts大学的物理学者埃兰· M· 考玛克重 新发现了这些概念，并应于与CT，在1963和1964年发 表了他的最初发现，并说明了如何从不同角度方向得 到的X射线图像重建人体横截面图像，给出了数学公 式，并构建了一个用于展示其概念的实际CT原型。
数字图像处理学
第7章 图像重建
（Image Reconstruction） 医学信息与图像教研室 李明彩
引言
图像重建核心:由一系列投影重建一幅图像 理论基础：二维或者三维物体能够通过其无限 多个投影确定。 二维图像重建 一个物体的多个轴向投影图重建目标图像 三维物体重建 由物体的图像重建三维物体模型 问题：能否从投影中恢复原图？ 答复是肯定的。
投影显示的仅仅是立体 的“横断面” 设想一个[平头改锥（螺 丝刀）]的头部 投影只截取到物体所具 有的信息中属于较低维 度的一部分信息。例如 “测量身高”，是将三 维降低为一维的投影。
我们所见到的是否是真 实的立体？ 位于眼球深处的“视网 膜”是接受来自外界光 线的一个屏幕。左右眼 球相隔一定的距离，同 一物体映照在左眼和右 眼视网膜上的二维图像 并不相同。大脑会根据 这种微小的差异补上远 近信息。
英国EMI公司中央研究所工程师高德弗里·N ·豪 斯菲尔德（Godfrey N.Hounsfield），经四年努力，在 1972年研制成诊断头颅用的第一台计算机X线断层摄 影装置，这一新设备在1974年5月蒙特利尔(Montreal) 召开第一次国际CT会议上，正式命名为“电子计算机 断层摄影技术”简称CT。 1979年EMI公司又研制出全身CT。
1979年为了表章这些学者的贡献，考玛克和豪斯 菲尔德共同获得这项技术的诺贝尔医学奖。
(2) 几代产品简介（按扫 描方式的改进）: 第一代(G1)：单束扫描 方式，”铅笔型”X射线 管与单探测器沿所示线 性方向增量式平移，0度180度内所有期望的角度 重复，生成完整投影， 反投影获得一张切片图 像，堆积切片生成人体 截面三维体。G1时间长， 一周需3-5分钟左右
(2)放射断层重建成像（Emission Computed Tomograhpy,ECT） ECT是在物体中注入放射性物质，然后从 物体外部检测通过物体后放射出来的能量，由 于物体内部不同的物质或人体不同的组织对放 射能量有不同的吸收或衰减，由此可以获取不 同的数据，用这些数据可以重建出所需要的图 像，从而达到检测物体内部的分布情况或人体 内部病变的目的。
衰减系数的单位H—(豪斯费尔德Hounsfield)， 豪斯费尔德将线性衰减系数分为2000个单位，称为 CT值，一个豪斯费尔德等于水的衰减系数的0.1%，标 度上选择H（水）=0 (组织) (水) H 1000 (水)
对于空气 H=-1000 衰减最小（不衰减） 骨骼 H=+1000 衰减最大
1 0 1 2 n ln d n 即：
0 1 i ln d n i 1
n
一 般 情 况 探 测 器 只 能 测 到 n ， 而 不 能 测 n1 ，因此，不能直接记 到1 , 2 , 录各个体素的衰减系数。但是，我们可以用数 学方法求解衰减系数。
复制矩形图像中所有列 中的一维信号创建
源-检测器 对旋转90 度。重复 刚才的步 骤，得到 第二幅反 投影图像。
将两次的反投影结果相 加，我们感兴趣的物体 已经包含在右图所示的 正方形中了，其幅度是 单个投影幅度的两倍多。 随着投影数量的增加， 不相交反投影的强度相 对于多个反投影相交区 域的强度降低。 反投影相交处的亮度是各 个反投影的亮度的两倍
第七代(G7)多切片CT扫描器：即将问世，采用 “厚”的扇形射线束与平行检测器族相配合同 时收集CT数据，即三维横截“厚片层”，而不 是每个X射线脉冲产生单一的横截面图像。优 点是使用的X射线管更经济，从而降低了成本 并降低了剂量。
3. 关于计算机断层成像 对于医学上的应用来 说被计算的特性是组织的 衰减系数µ，人体虽大部分 软组织是水，但仍有足够 的差异以产生不同的衰减 系数，这样就可以给出一 幅解剖横截面图像。计算 机成像示意图如右侧：
0 1 ln d
假如一条直线上有n个体素， 第一个体素的衰减为:
1 0e
1d
第二个体素衰减为：
2 1e
2d
0e
1d
e
2d
0e
( 1 2 )d
对于第n个体素有：
n 0e
( 1 2 n )d
1 0 1 2 n ln d n
在断层扫描时，生成大量的数据，根据该数 据再计算出每个体素的衰减系数，然后把这些衰 减系数按一定的函数关系显示在屏幕上，这样， 就产生了断层图像。 设某一物体体素对X射线的衰减系数为μ ， 体素厚度为d ， 0和 为穿透物体前后的X射线的 辐射强度。射线遵循如下的衰减定律：
0e d
由冲击函数性质，积分只有沿着直线进行才会不为零
给出沿xy平面中任意一条线的f(x,y)的投影(线积分) 的公式就是雷登变换，符号 R{ f ( x, y)}, R{ f }, g ( , ) 都可以用来表示f的雷登变化，雷登变换是投影重建 的基石。离散情况下：
g ( , ) f ( x, y) ( x cos y sin )
假如某断层有2X2个体素，相应的衰减系数 为 11 , 12 , 21 , 22 ， 分别从X和Z方向投影， 测得的衰减系数为A， B，C，D，即：
11 12 21 22 11 21 12 22
A B C D
从而可以解出 , , , 的值来。我们 11 12 21 22 用一定的函数关系在屏幕上显示出来就可以得 到相应的断层图像。
第四代(G4):圆环检测 器5000个左右，布满 整个360。 固定不动， X线源旋转扫描。约2 秒，仅射线源转动。 G3，G4扫描速度快， 主要缺点是造价高和 较大的X射线散射。需 要比G1,G2扫描器更高 的剂量才能达到可以 比拟的信噪比特性。
第五代(G5)：电子束计算机断层(EBCT)扫描器， 排除了所有机械运动，使用电磁控制电子束， 通过触发环绕病人的钨极板,电子束产生X射线， 然后X射线被整形为通过病人的扇形射线束， 并激发G4扫描器那样的检测器环。 第六代(G6)螺旋CT：G3，G4扫描器使用一种 所谓滑动环来配置，不需要在源/检测器和处理 单元之间的电气和信号连接。然后，源/检测器 对连续旋转360度，同时病人在垂直于扫描的 方向恒速移动，结果是连续的螺旋数值，这些 数据经过处理后就可以得到各幅切片图像。
(3)反射断层重建成像(Reflection Computed Tomography,RCT) 常用于雷达系统。雷达图像通常是由物体 反射的回波产生的。例如光线、电子束、雷达， 激光或超声波等都可以用来进行这种测定。
（4）核磁共振重建图像(Megnetic Resonance Imaging,MRI) MRI是由于具有奇数个质子或中子的原子核 包含有一定的磁动量或旋量的质子，一般情况下 质子在磁场中任意排列，当有适当强度和频率的 共振场作用于物体时，质子吸收能量并转向与磁 场相交的方向。如果此时把共振磁场去掉，质子 吸收的能量会被释放并被检测器收集，根据检测 的信号就可以确定质子的密度。通过控制共振磁 场强度，可检测一条直线上的信号，从而通过该 信号数据可以重建出物体图像。
如果图像的分辨率为512X512，则图像有
262144个独立阵元，需要解262144元的方程 组，计算出μ值，重建出图像。
7.3 投影和雷登变换
下面详细推导根据X射线计算机断层重建图像所需要 的数学问题： 笛卡尔坐标系中一条直线可以用斜截式来表示， y=ax+b，也可以用法线来表示-极坐标
x cos y sin
x 0 y 0 M 1 N 1
本章内容
3 1 2 3 4 5
概述
计算机断层(CT)原理 投影和雷登变换
傅里叶切片定理 使用平行射线束滤波反投影重建
7.1 概述
1.图像重建原理的直观 定性描述： 假设右图是人体三维 区域的一个横断面。 图中背景表示均匀的 软组织，它所环绕的 物体是一个肿瘤，肿 瘤也是均匀的，但有 较高的吸收特性。
0度和180度投影互为镜像
注意到“光晕” 模糊效果
例1：包含两个不同吸收特性物体的简单平面的反 投影
2.在三维重建中的数据 形式有： 透射模型 ； 发射模型 ； 反射模型
(1)透射断层重建成像(Transmission Computed Tomography,TCT)： TCT是射线源的射线穿过物体或者人体组 织，然后由接收器接收经过物体或人体组织吸 收后的剩余射线，由于不同的物质或组织对射 线的吸收不同，剩余射线反映了物体内部的状 况和人体内部的不同组织，通过这些数据再重 建图像，从而发现物体内部欠缺或人体内部病 变。 如光，x射线。
第二代(G2)：与第 一代原理相同，窄 角扇束射线束扫描， 张角10～20度， 20～30个探测器相 配合。扫描时间18 秒左右。允许使用 多个检测器，因此 检测器的平移较少。
第三代(G3)：广角扇 束扫描方式，张角 为30度左右，探测 器增加到250～1000 个，射线源和探测 器同步旋转扫描， 每个角度都产生完 整的投影，消除了 部分平移需要，扫 描时间可缩短2.5秒。
(1) CT发展历史： CT 理论基础源于1917年，奥地利数学家约翰· 雷 登(Radon)所发表的论文。证明了二维或三维物体能够 通过其无限多个投影来确定，但限于当时技术条件没 能实现。
45年后，Tufts大学的物理学者埃兰· M· 考玛克重 新发现了这些概念，并应于与CT，在1963和1964年发 表了他的最初发现，并说明了如何从不同角度方向得 到的X射线图像重建人体横截面图像，给出了数学公 式，并构建了一个用于展示其概念的实际CT原型。
数字图像处理学
第7章 图像重建
（Image Reconstruction） 医学信息与图像教研室 李明彩
引言
图像重建核心:由一系列投影重建一幅图像 理论基础：二维或者三维物体能够通过其无限 多个投影确定。 二维图像重建 一个物体的多个轴向投影图重建目标图像 三维物体重建 由物体的图像重建三维物体模型 问题：能否从投影中恢复原图？ 答复是肯定的。
投影显示的仅仅是立体 的“横断面” 设想一个[平头改锥（螺 丝刀）]的头部 投影只截取到物体所具 有的信息中属于较低维 度的一部分信息。例如 “测量身高”，是将三 维降低为一维的投影。
我们所见到的是否是真 实的立体？ 位于眼球深处的“视网 膜”是接受来自外界光 线的一个屏幕。左右眼 球相隔一定的距离，同 一物体映照在左眼和右 眼视网膜上的二维图像 并不相同。大脑会根据 这种微小的差异补上远 近信息。
英国EMI公司中央研究所工程师高德弗里·N ·豪 斯菲尔德（Godfrey N.Hounsfield），经四年努力，在 1972年研制成诊断头颅用的第一台计算机X线断层摄 影装置，这一新设备在1974年5月蒙特利尔(Montreal) 召开第一次国际CT会议上，正式命名为“电子计算机 断层摄影技术”简称CT。 1979年EMI公司又研制出全身CT。
1979年为了表章这些学者的贡献，考玛克和豪斯 菲尔德共同获得这项技术的诺贝尔医学奖。
(2) 几代产品简介（按扫 描方式的改进）: 第一代(G1)：单束扫描 方式，”铅笔型”X射线 管与单探测器沿所示线 性方向增量式平移，0度180度内所有期望的角度 重复，生成完整投影， 反投影获得一张切片图 像，堆积切片生成人体 截面三维体。G1时间长， 一周需3-5分钟左右
(2)放射断层重建成像（Emission Computed Tomograhpy,ECT） ECT是在物体中注入放射性物质，然后从 物体外部检测通过物体后放射出来的能量，由 于物体内部不同的物质或人体不同的组织对放 射能量有不同的吸收或衰减，由此可以获取不 同的数据，用这些数据可以重建出所需要的图 像，从而达到检测物体内部的分布情况或人体 内部病变的目的。
衰减系数的单位H—(豪斯费尔德Hounsfield)， 豪斯费尔德将线性衰减系数分为2000个单位，称为 CT值，一个豪斯费尔德等于水的衰减系数的0.1%，标 度上选择H（水）=0 (组织) (水) H 1000 (水)
对于空气 H=-1000 衰减最小（不衰减） 骨骼 H=+1000 衰减最大
1 0 1 2 n ln d n 即：
0 1 i ln d n i 1
n
一 般 情 况 探 测 器 只 能 测 到 n ， 而 不 能 测 n1 ，因此，不能直接记 到1 , 2 , 录各个体素的衰减系数。但是，我们可以用数 学方法求解衰减系数。
复制矩形图像中所有列 中的一维信号创建
源-检测器 对旋转90 度。重复 刚才的步 骤，得到 第二幅反 投影图像。
将两次的反投影结果相 加，我们感兴趣的物体 已经包含在右图所示的 正方形中了，其幅度是 单个投影幅度的两倍多。 随着投影数量的增加， 不相交反投影的强度相 对于多个反投影相交区 域的强度降低。 反投影相交处的亮度是各 个反投影的亮度的两倍