第五章图像恢复与重建
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第五章 图像复原(恢复)
即满足所谓的齐次性和叠加性条件，则成系统H为线性系统， 对二维空间函数，如果H还满足：
H [ f ( x − α , y − β )] = g ( x − α , y − β )
则成该系统为线性空间（位置）不变系统，即系统在某 点的响应只与该点的值有关，而与其位置无关。 尽管现实世界多为非线性和空间变化系统，但通常难以 直接解决问题。通常须采用线性系统的成熟理论基础， 把系统进行线性空不变近似来解决图像复原问题。
⋯ he ( j,1) ⋯ he ( j,2) ⋯ he ( j,3) ⋱ ⋮ ⋯ he ( j,0)
17
(3)n是MN 维噪声向量，则最后的退化模型为： n
g = Hf + n
因此，图像复原的过程就是在已知退化图像g的情况下，通过 退化参数H和n的有关先验知识，尽可能对原图像对最好最准 确的估计。
7
5.1.2 连续退化模型
根据二维冲激函数δ(x, y)的卷积取样特性，对线性系统H：
f ( x, y ) =
+∞ +∞
−∞ −∞
∫∫
f (α , β )δ ( x − α , y − β )dα d β
g ( x, y ) = H [ f ( x, y )] = H[ ∫ = =
+∞ +∞ +∞ +∞
f. 双极脉冲（椒盐）噪声
Pa for z = a p ( z ) = Pb for z = b 0 otherwise
当Pa或Pb中有一个为零时，则称是单极的；当没有一个为零时，称为双 极的，当二者近似相等时，噪声象散布的椒盐粒子，所以通俗叫椒盐噪 声。由于脉冲噪声相对于图像强度大得多，通常被数字化成图像的极值 （纯黑或白）. 以上几种噪声各有特点，可以用于不同场合的噪声建模，见p226。 21
5-第五章-图像恢复
ge (x, y) = ∑∑fe (m,n)he (x −m, y −n) +ne (x, y)
m=0 n=0
M−1N−1
（5.12） ）
y x＝0， 1， 2， L， M − 1； ＝0， 1， 2， L， N − 1
5.1.4 图像的离散退化模型
并进一步可以将式（5.12）表示成矩阵形式： 并进一步可以将式（5.12）表示成矩阵形式：
g e ( x, y) = ∑∑ f e (m, n)he ( x − m, y − n)
m=0 n=0
M −1 N −1
x＝0， 1， 2， L， M − 1；
（5.11） ）
y＝0， 1， 2， L， N − 1
5.1 图像的退化模型
5.1.4 图像的离散退化模型
如果把式（5.1）中的噪声项n(x,y)也离散化， 如果把式（5.1）中的噪声项n(x,y)也离散化，并周 n(x,y)也离散化 期性地延拓成M 个样本，并记为n (x,y)， 期性地延拓成M×N个样本，并记为ne(x,y)，则退化图像 的二维离散模型就可以表示成： 的二维离散模型就可以表示成：
并可以表示为： 并可以表示为：
g(x, y) = H[ f (x, y)] + n(x, y)
（5.1） ）
5.1 图像的退化模型
5.1.3 离散退化模型 1. 一维离散退化模型
是具有A个均匀采样值的一维离散函数 设f(x)是具有 个均匀采样值的一维离散函数， 是具有 个均匀采样值的一维离散函数， h(x)为具有 个均匀采样值的系统脉冲响应， g(x) 为具有C个均匀采样值的系统脉冲响应 为具有 个均匀采样值的系统脉冲响应， 是系统的输出函数。 是系统的输出函数。 当利用卷积计算时， 当利用卷积计算时，由A个样本表示的函数与由 个样本表示的函数与由 C个样本表示的另一个函数进行卷积将得到 个样本表示的另一个函数进行卷积将得到A+C-1个 个样本表示的另一个函数进行卷积将得到 个 样本序列。 样本序列。
图像复原与重建
图像退化的数学模型 1.线性位移不变成像系统图像退化模型
g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)
g(x,y)—退化图像
f(x,y)--理想图像
h(x,y)--点扩散函数
n(x,y)
n(x,y)--加性噪声
f(x,y)
第五章 图像复原与重建
H
降质系统 12
g(x,y)
2020年9月19日11时43分
第五章 图像复原与重建
h(i)
1 ,if L
L 2
i
L 2
0,
其他
(3). 大气湍流造成的图像降质
这种模糊经常出现在遥感和航空摄影中，由于曝光 时间过长引起的模糊可用高斯点扩散函数来表示：
h(i,
j)
K
exp(
i2
2
j2
2
)
式中K是一个归一化常数，保证模糊的大小为单位 值，σ2可以决定模糊的程度。
找退化原因→建立退化模型→反向推演→ 恢复图像
可见，图像复原主要取决于对图像退化过程 的先验知识所掌握的精确程度，体现在建立的退 化模型是否合适。
4
图像复原和图像增强的区别： 图像增强不考虑图像是如何退化的，而 是试图采用各种技术来增强图像的视觉效果 。因此，图像增强可以不顾增强后的图像是 否失真，只要看得舒服就行。 而图像复原就完全不同，需知道图像退 化的机制和过程等先验知识，据此找出一种 相应的逆处理方法，从而得到复原的图像。 如果图像已退化，应先作复原处理，再 作增强处理。 二者的目的都是为了改善图像的质量。
像，其方法是添加零。即：
f (x, y) fe (x, y) 0
0 x A 1 0 y B 1
其它
第五章+图像恢复与重建
第五章 图像恢复
图像退化的数学模型 无约束恢复方法 有约束恢复方法 常见模糊图像及其恢复
第一节 图像退化的数学模型
卷积与光学成像系统 图像退化模型 图像恢复过程
一、卷积与成像光学系统
按照电子学中系统分析的观点，任何信号处理单 元都可以描述为一个系统，该系统的特性可由其脉冲 响应函数决定，对应于一个输入信号，其输出信号为 输入信号与系统脉冲响应函数的累积积分。光学成像 系统也可以采用这样的描述方式，只不过将脉冲响应 函数换成点扩展函数（Point Spread Function，PSF）。
二、约束最小二乘恢复
约束最小二乘恢复方法要求恢复过程必须同时满足以 下条件：
min{|| g(x, y) f (x, y) h(x, y) ||2 || n(x, y) ||2}
和
min{|| C f (x, y) ||2}
其中C通常选Laplace算子。
利用Lagrange乘数法求解上述优化问题可以得到约 束最小二乘恢复的滤波函数：
• 实测 • 利用点、线物估计 • 利用既有模型估计 • 利用统计方法估计 • 利用图像频谱分析
选择恢复方法
• Wiener Filter • Inverse Filter • ME • ……
f(x,y)
二、常见图像模糊PSF的数学模型
1、离焦模糊
由于拍摄时对焦不准而导致的图像模糊称之为离焦 模糊。离焦模糊的PSF通常用一个圆盘函数近似：
第三节 有约束恢复
由于噪声的存在，直接进行逆滤波往往不可行。为了 在恢复图像的同时对噪声进行平滑，对恢复过程添加一些 人为设置的约束条件，这样的恢复方法称为有约束恢复 （constrained restoration）。有约束滤波的方法有很多种， 因约束条件的不同而不同。
图像退化的数学模型 无约束恢复方法 有约束恢复方法 常见模糊图像及其恢复
第一节 图像退化的数学模型
卷积与光学成像系统 图像退化模型 图像恢复过程
一、卷积与成像光学系统
按照电子学中系统分析的观点，任何信号处理单 元都可以描述为一个系统，该系统的特性可由其脉冲 响应函数决定，对应于一个输入信号，其输出信号为 输入信号与系统脉冲响应函数的累积积分。光学成像 系统也可以采用这样的描述方式，只不过将脉冲响应 函数换成点扩展函数（Point Spread Function，PSF）。
二、约束最小二乘恢复
约束最小二乘恢复方法要求恢复过程必须同时满足以 下条件：
min{|| g(x, y) f (x, y) h(x, y) ||2 || n(x, y) ||2}
和
min{|| C f (x, y) ||2}
其中C通常选Laplace算子。
利用Lagrange乘数法求解上述优化问题可以得到约 束最小二乘恢复的滤波函数：
• 实测 • 利用点、线物估计 • 利用既有模型估计 • 利用统计方法估计 • 利用图像频谱分析
选择恢复方法
• Wiener Filter • Inverse Filter • ME • ……
f(x,y)
二、常见图像模糊PSF的数学模型
1、离焦模糊
由于拍摄时对焦不准而导致的图像模糊称之为离焦 模糊。离焦模糊的PSF通常用一个圆盘函数近似：
第三节 有约束恢复
由于噪声的存在，直接进行逆滤波往往不可行。为了 在恢复图像的同时对噪声进行平滑，对恢复过程添加一些 人为设置的约束条件，这样的恢复方法称为有约束恢复 （constrained restoration）。有约束滤波的方法有很多种， 因约束条件的不同而不同。
数字图象处理-Chapter5 图像复原与重建
对任意的 f(x，y)与任意的a，b
退化模型
？ g(x, y) H f (x, y) n(x, y)
g(x, y) f (x, y)* h(x, y) n(x, y)
G(u,v) F(u,v)H u,v N(u,v)
Interpretation
f (x, y) f , x a, y dd
直方图均衡化效果
引言
图像增强与图像复原
图像复原（Restoration）？
原图
退化结果（Degradation）
原图
退化结果（Degradation）
退化 复原
Adobe最新去模糊技术
主要内容
退化模型 噪声模型 空间域去噪方法 频率域图像复原方法 图像重建
图像复原
图像复原方法分类 技术：无约束和有约束 策略：自动和交互 处理所在域：频域和空域 从广义的角度上来看： 几何失真（退化 ）---- 校正（恢复 ） 投影（退化 ）---- 重建（恢复 ）
噪声模型
噪声
最常见退化原因之一：对讲机，手机通话， 电视上的雪花点，手机对音响、电视的干 扰
随机性、规律性
How to acquire H(u,v)?
Estimation by Modeling
H u, v e k u2 v2 5/6
Motion Bluring
g x,
y
T
0
f
x
x0
t,
y
y0
t dt
How to acquire H(u,v)?
H u, v T e j2 ux0tvy0tdt 0
退化模型
？ g(x, y) H f (x, y) n(x, y)
g(x, y) f (x, y)* h(x, y) n(x, y)
G(u,v) F(u,v)H u,v N(u,v)
Interpretation
f (x, y) f , x a, y dd
直方图均衡化效果
引言
图像增强与图像复原
图像复原（Restoration）？
原图
退化结果（Degradation）
原图
退化结果（Degradation）
退化 复原
Adobe最新去模糊技术
主要内容
退化模型 噪声模型 空间域去噪方法 频率域图像复原方法 图像重建
图像复原
图像复原方法分类 技术：无约束和有约束 策略：自动和交互 处理所在域：频域和空域 从广义的角度上来看： 几何失真（退化 ）---- 校正（恢复 ） 投影（退化 ）---- 重建（恢复 ）
噪声模型
噪声
最常见退化原因之一：对讲机，手机通话， 电视上的雪花点，手机对音响、电视的干 扰
随机性、规律性
How to acquire H(u,v)?
Estimation by Modeling
H u, v e k u2 v2 5/6
Motion Bluring
g x,
y
T
0
f
x
x0
t,
y
y0
t dt
How to acquire H(u,v)?
H u, v T e j2 ux0tvy0tdt 0
06_第五章-图像复原与重建
高斯噪声
高斯随机变量z 的概率密度函数：
p(z)
1
e( z z )2 / 2 2
2
z 表示灰度值，z 表示z 的平均值， 表示z 的标准差
z的70%落在范围 (z ),(z ) z的95%落在范围 (z 2 ),(z 2 )
瑞利噪声
瑞利噪声的概率密度函数：
p(
z)
2 b
(
z
• 带阻滤波器 理想
巴特沃思
高斯
• 带通滤波器
HBP (u, v) 1 H BR (u, v)
noise pattern
• 陷波滤波器
• 最佳陷波滤波
• 当存在几种干扰分量时，之前介绍的方法有时就不能采用了 ，因为他们在滤波过程中可能会消除太多的图像信息 • 另外，干扰成分通常不是单频脉冲，他们通常携带干扰模式 信息的宽边缘，从正常的变换背景中不容易检测到这些边缘
Harmonic Q=1.5
Harmonic Q=-1.5
Wrong Q!
Harmonic Q=-1.5
Harmonic Q=1.5
统计排序滤波器
中值滤波器：f (x, y) mediang(s,t) ( s,t )Sxy
最大值滤波器：f (x, y) max g(s,t) ( s,t )Sxy
f (, )H (x , y )dd
f ( , )h(x,, y, )d d
系统H的 冲激响应
如果 H 是线性、位置不变算子
H (x , y ) h(x , y )
g(x, y) H f (x, y)
f (, )H (x , y )dd
令 ps (zi ), i 0, 1, ..., L -1, 表示 S 中像素灰 度的概率估计（归一化直方图值），
第五章图像恢复和重建
第三节
硬件实现方法
图像重建
为了获得P(t)平行线投影数据，设投影射线为x射线，当x射线
穿过物体时，由于物体内部组织的吸收、散射、反射等作用，会 使射线强度衰减，射线的衰减规律可表达为
N out N in exp( u ( x, y )ds )
s
(5.1)
S为射线方向，u(x,y)为射线穿过物体时的衰减系数，它正好反 映了物体内部的组织性质，这样，u(x,y)表征了物体断面的图象 f(x,y)的组织信息，Nin是射线入射剂量，Nout是穿过物体后射线 的剂量，他们都可以通过物理测量而得到。式(*)可变换为
4）卷积-逆滤波法
第 五 章 图 像 恢 复 和 重 建 第 三 节 图 像 重 建
第三节
解联立方程组法
图像重建
设的步进长度为，t的步进长度为t，令P(i,j)=P(i ,jt)， 则经过扫描投影后，可得矩阵
P (0,1) P (0,0) P (1,1) P (1,0) P (n 1,0) P ( n 1,1)
A D E 10 o 0 B C F 9 解联立方程组 D C F 15 o 60 A B C 6 A B D 7 o 120 E F C 14
把以上方法推广到多像素多扫描线的情况，便可以得到重建图象的 一般解联立方程组方法。
0
第 五 章 图 像 恢 复 和 重 建 第 三 节 图 像 重 建
第三节
图像重建
令
Q( , t ) F ( , ) | | exp( j 2 ( x cos y sin ))d
则
数字图像处理第五章图像复原与重建
第五章 图像复原与重建
主要内容
背景知识 图像退化/复原过程的模型 代数恢复(选) 频域恢复(选) 几何校正
背景知识
光学 系统 的像 差
摄影 胶片 的非 线性
传感 器非 线性 畸变
产生原因
大气 流的 扰动 效应
光学 系统 中的 衍射
几何 畸变
图像 运动 造成 的模 糊
背景知识
F (u, v) N (u, v) H (u, v)
做傅里叶反变换得复原图像
fˆ(x, y) f (x, y)
N (u, v)H源自1(u,v)e
j2 (uxvy)dudv
退化图像中噪声问题：在H(u,v)为零或很小，N(u,v)/H(u,v)
会变得很大，会对逆滤波恢复的图像产生很大的影响，使
去除匀速直线运动造成的模糊
获取图像过程中，由于景物和摄像机之间 的相对运动造成的图像模糊
去除匀速直线运动造成的模糊
去除匀速直线运动造成的模糊
退化模型估计：
设f(x,y)进行平面运动， x0(t)和y0(t)分别是在 x和y方向上随时间变化的运动参数, g(x,y)为 模糊图像，t为运动时间， T为快门打开到关 闭的总曝光时间，模糊图像表示为
基准图像f
几何畸变图像g
空间坐标变换（数学模型）
根据两图像中的连接点，建立函数关系，进 行坐标变换，通常函数关系用二元多项式近 似
n ni
x '
aij xi y j
G(u,v) F(u, v)H (u, v) N(u, v)
无噪声理想情况下
G(u, v) F(u, v)H (u, v) 则F(u, v) G(u, v) / H (u, v)
主要内容
背景知识 图像退化/复原过程的模型 代数恢复(选) 频域恢复(选) 几何校正
背景知识
光学 系统 的像 差
摄影 胶片 的非 线性
传感 器非 线性 畸变
产生原因
大气 流的 扰动 效应
光学 系统 中的 衍射
几何 畸变
图像 运动 造成 的模 糊
背景知识
F (u, v) N (u, v) H (u, v)
做傅里叶反变换得复原图像
fˆ(x, y) f (x, y)
N (u, v)H源自1(u,v)e
j2 (uxvy)dudv
退化图像中噪声问题：在H(u,v)为零或很小，N(u,v)/H(u,v)
会变得很大，会对逆滤波恢复的图像产生很大的影响，使
去除匀速直线运动造成的模糊
获取图像过程中，由于景物和摄像机之间 的相对运动造成的图像模糊
去除匀速直线运动造成的模糊
去除匀速直线运动造成的模糊
退化模型估计：
设f(x,y)进行平面运动， x0(t)和y0(t)分别是在 x和y方向上随时间变化的运动参数, g(x,y)为 模糊图像，t为运动时间， T为快门打开到关 闭的总曝光时间，模糊图像表示为
基准图像f
几何畸变图像g
空间坐标变换（数学模型）
根据两图像中的连接点，建立函数关系，进 行坐标变换，通常函数关系用二元多项式近 似
n ni
x '
aij xi y j
G(u,v) F(u, v)H (u, v) N(u, v)
无噪声理想情况下
G(u, v) F(u, v)H (u, v) 则F(u, v) G(u, v) / H (u, v)
数字图像处理与分析 第5章 图像复原ppt课件
运动方向 也可由图像的频谱估计出来
.
5.4.1 模糊模型
2．由图像中的点或线估计（后验知识）
1）原始景物中有一清晰的点或点光源。由所成的像得到退化 系统的PSF 2）原始景物中确定一条线，成像，由直线产生模糊，根据模 糊可以测定在于边缘垂直方向上的PSF断面曲线，得出一维 PSF，如果PSF对称，旋转一维PSF得到二维PSF
有效方法：针对特定条件，用特定模型处理
.
5.2.2 离散的退化模型
对于图像降质过程进行数学建模
MN
y(i,j) h(i,j;k,l)f(k,l)n(i,j) k1l1
f(i, j)：原始图像 y(i, j)：降质图像 h(i, j; k, l)：点扩散函数 图像为M×N维 假设为空间移不变h(i, j; k, l)，则：
.
5.4.2 水平匀速直线运动引起模糊的复原
a) 原始图像
b) 模糊图像
c) 复原图像
M N
y ( i ,j) h ( i k ,j l)f( k ,l) n ( i ,j) h ( i ,j) f( i ,j) n ( i ,j) k 1 l 1
.
5.3 图像复原的方法
寻找滤波传递函数，通过频域图像滤波得到 复原图像的傅立叶变换，再求反变换，得到 复原图像
非约束还原 有约束还原 非线性约束还原
原因
维纳滤波是基于平稳随机过程模型，且假设退化模 型为线性空间不变系统的原因，这与实际情况存在 一定差距。另外，最小均方误差准则与人的视觉准 则不一定匹配
.
5.3.2 约束还原法
最大平滑复原
准则：以函数平滑为基础
1）使函数的二阶导数为最小。二阶导数是突出图像边缘、
轮廓约束条件：
.
5.4.1 模糊模型
2．由图像中的点或线估计（后验知识）
1）原始景物中有一清晰的点或点光源。由所成的像得到退化 系统的PSF 2）原始景物中确定一条线，成像，由直线产生模糊，根据模 糊可以测定在于边缘垂直方向上的PSF断面曲线，得出一维 PSF，如果PSF对称，旋转一维PSF得到二维PSF
有效方法：针对特定条件，用特定模型处理
.
5.2.2 离散的退化模型
对于图像降质过程进行数学建模
MN
y(i,j) h(i,j;k,l)f(k,l)n(i,j) k1l1
f(i, j)：原始图像 y(i, j)：降质图像 h(i, j; k, l)：点扩散函数 图像为M×N维 假设为空间移不变h(i, j; k, l)，则：
.
5.4.2 水平匀速直线运动引起模糊的复原
a) 原始图像
b) 模糊图像
c) 复原图像
M N
y ( i ,j) h ( i k ,j l)f( k ,l) n ( i ,j) h ( i ,j) f( i ,j) n ( i ,j) k 1 l 1
.
5.3 图像复原的方法
寻找滤波传递函数，通过频域图像滤波得到 复原图像的傅立叶变换，再求反变换，得到 复原图像
非约束还原 有约束还原 非线性约束还原
原因
维纳滤波是基于平稳随机过程模型，且假设退化模 型为线性空间不变系统的原因，这与实际情况存在 一定差距。另外，最小均方误差准则与人的视觉准 则不一定匹配
.
5.3.2 约束还原法
最大平滑复原
准则：以函数平滑为基础
1）使函数的二阶导数为最小。二阶导数是突出图像边缘、
轮廓约束条件：
第五章图像复原与重建
he ( −1) he (0) he (1) M he ( M
L he ( − M + 1) ⎤ ⎡ f e (0) ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ f (1) ⎥ L he ( − M + 2) ⎥⎢ e ⎥ ⎥⎢ L he ( − M + 3) ⎥ f e ( 2) ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ M M ⎥⎢ M ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ f e ( M − 1)⎥ he (0) ⎦ ⎣ − 2) L ⎦
• 图像复原的一般过程
分析退化原因 建立退化模型 反向推演 恢复图像
3
第五章 图像复原与重建
• 图像复原与图像增强
目的： 都是为了改善图像的质量。 不同之处： 图像复原是试图利用退化过程的先验知识使已退化的图像恢 复本来面目，即根据退化的原因， 分析引起退化的环境因 素，建立相应的数学模型， 并沿着使图像降质的逆过程恢复 图像。从图像质量评价的角度来看， 图像复原就是提高图像 的可理解性。 而图像增强不考虑图像如何退化，只通过试探各种技术来提 高视觉效果，图像增强的过程基本上是一个探索的过程， 它 利用人的心理状态和视觉系统去控制图像质量， 直到人们的 视觉系统满意为止。
he (1)⎤ ⎥ he (0) L he (2) ⎥ ⎥ he (1) L he (3) ⎥ ⎥ M L L ⎥ ⎥ he ( M − 2) he (0) ⎥ ⎦ he ( M − 1) L
16
第五章 图像复原与重建
⎡ g (0) ⎤ ⎡ he (0) ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ g (1) ⎥ ⎢ he (1) ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ g ( 2) ⎥ = ⎢ h ( 2) ⎥ ⎢ e ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ M ⎢ M ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ g ( M − 1)⎥ ⎢ he ( M − 1) ⎦ ⎣ ⎣
第五章图像恢复和重建
• 运动模糊图像的恢复主要是消除匀速直线运动模糊，采用照相机摄影。
• 假设对平面匀速运动的景物采集一幅图像 f (x,y)，并设x0 (t) 和y0 (t) 分别是景物在x,y方向的运动分量；
•
g(x,y) =∫0T f [x- x0 (t),y- y0 (t)] dt ；T是采集时间长度；
•
g(x,y)即是由于运动而造成的模糊图像；
f（x），x=0,1,…,A-1； h（x），x=0,1,…,B-1；
为了避免卷积的周期重叠，取M A+B-1；
将f（x）和h（x）用零扩展补齐；(M周期)
ge（x）= fe（m）h（x-m） ； x, m=0,1,…,M-1； 用矩阵形式表示的卷积为 g（x）= H f ，展开得
ge（0） = he（0） ge（1） = he（1）
HM-1 … H1 H0 … H2
fe（0） fe（1）
ge（M-1）= HM-1 HM-2 … H0
fe（MN-1）
其中每个块Hi 是由扩展函数he (x,y)的第i行而来，是块循环矩阵。
HUAZHONG UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
Wuhan,430074, P.R. China
HUAZHONG UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
Wuhan,430074, P.R. China
中华人民共和国 湖北 武汉
§5.1 退化的数学模型和对角化
•
退化：图像质量的降低；
•
失真可看作是退化，校正是恢复；
•
投影可看作是退化（三维到二维平面），重建是恢复；
he（-1） … he（-M+1） fe（0） he（0） … he（-M+2） fe（1）
第5章图像复原和重建yjw-68页精选文档
理想带阻滤波器
H(u,v)
1,D(u,v )
D0
W
2
0,D 0
W 2
D(u,v )
D0
W 2
1,D(u,v )
D0
W
2
1
D(u,v )
u
M
2
2
v
N
2
2
2
W是频带的宽度，D0是频带的中心半径 （即频带的中心到矩形中心的距离）， M/2和N/2是矩形区域的中心
几何均值滤波器
f(x ,y ) g(s,t )
S (s ,t ) xy
几何均值滤波器所达到的平滑度可以与算 术均值滤波器相比。
但几何均值滤波器在滤波过程中，与算术 均值滤波器相比，会丢失更少的图像细 节—相对锐化。
谐波均值滤波器
f(x ,y )
mn
瑞利噪声
瑞利噪声的PDF由下式给出
p z
2 (z b
a)e (z a)2
b
0
,z a
,z a
u a b / 4
2
b(4 )
4
距离原点的位移是a 函数曲线向右变形
伽马（爱尔兰）噪声
伽马噪声的PDF由下式给出
p(z)=
abz b 1 e az ,z (b 1)!
g(s ,t )
结合了统计排序和求平均 对于高斯和均匀随机分布这类噪声有最好的效果。
修正后的阿尔法均值滤波器
g
f
1
第五章 图像复原与重建
1 mn
1 ˆ f ( x, y ) g ( s, t ) m n ( s ,t )S xy
20
21
谐波均值滤波器
ˆ ( x, y ) f mn
( s ,t )S xy
1 g ( s, t )
逆谐波均值滤波器
ˆ ( x, y ) f
( s ,t )S xy Q 1 g ( s , t ) Q g ( s , t )
ˆ ( x, y ) min g ( s, t ) f
( s ,t )S xy
25
中间点滤波器
1 ˆ f ( x, y ) max g ( s, t ) min g ( s, t ) ( s ,t )S xy 2 ( s ,t )S xy
修正均值滤波器
4
5.1 图像退化／恢复过程的模型
退化 过程
f(x,y)
h(x,y) 退化 函数
S
g(x,y)
(x,y)
噪声
Degradation Model: g(x,y) = h(x,y)*f(x,y ) + (x,y)
G(u, v) H (u, v) F (u, v) N (u, v)
5
复原模型
a b 1 ( x, y ) {[ g ( x s, y t ) (2a 1)(2b 1) s at b 2
( x s, y t ) ( x s, y t )] [ g ( x, y ) ( x, y ) ( x, y )]}2
( x, y ) 0
g ( x, y ) H [ f ( x, y )]
线性 可加性
H af1 ( x, y) bf2 ( x, y ) aH f1 ( x, y ) bH f 2 ( x, y ) H f1 ( x, y) f 2 ( x, y) H f1 ( x, y ) H f 2 ( x, y) H af1 ( x, y ) aH f1 ( x, y )
1 ˆ f ( x, y ) g ( s, t ) m n ( s ,t )S xy
20
21
谐波均值滤波器
ˆ ( x, y ) f mn
( s ,t )S xy
1 g ( s, t )
逆谐波均值滤波器
ˆ ( x, y ) f
( s ,t )S xy Q 1 g ( s , t ) Q g ( s , t )
ˆ ( x, y ) min g ( s, t ) f
( s ,t )S xy
25
中间点滤波器
1 ˆ f ( x, y ) max g ( s, t ) min g ( s, t ) ( s ,t )S xy 2 ( s ,t )S xy
修正均值滤波器
4
5.1 图像退化／恢复过程的模型
退化 过程
f(x,y)
h(x,y) 退化 函数
S
g(x,y)
(x,y)
噪声
Degradation Model: g(x,y) = h(x,y)*f(x,y ) + (x,y)
G(u, v) H (u, v) F (u, v) N (u, v)
5
复原模型
a b 1 ( x, y ) {[ g ( x s, y t ) (2a 1)(2b 1) s at b 2
( x s, y t ) ( x s, y t )] [ g ( x, y ) ( x, y ) ( x, y )]}2
( x, y ) 0
g ( x, y ) H [ f ( x, y )]
线性 可加性
H af1 ( x, y) bf2 ( x, y ) aH f1 ( x, y ) bH f 2 ( x, y ) H f1 ( x, y) f 2 ( x, y) H f1 ( x, y ) H f 2 ( x, y) H af1 ( x, y ) aH f1 ( x, y )
图像的恢复与重构ppt课件
定义于不在原点 的二维δ函数
因此，
由于f(α,β )与x，y
令h(x,α;y,β) =T[δ (x-α,y-β) ]，则有： 没有关系
2
称 h(x,α;y,β) 为点扩散函数(PSF)或系统冲击响 应。多数情况下它表现为时不变的，反映在图像中为 位移不变的，则 h(x,α;y,β) 可以表示为h(x-α,y -β)
沿L方向
s 的微分
ty
s
θ
x
L
f(x,y)
X
射
其中，T=0。可以写成F(S,T)=F(S,0)
线
方
角度θ固定后，p(s,θ)的傅立叶变换＝s轴上各
向
点的傅立叶变换。
43
4)、寻找f(x,y)与p(s,θ)、f(s,t) 之间的关系 由于吸收值与座标系统无关(仅差坐标变换系数)，有： 对f(x,y)和f(s,t)的傅立叶变换为：
假设为空间不移变h(i, j; k, l)， 则：
4
线性位移不变的图像退化模型则表示为： g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)
f(x,y)
h(x,y)
g(x,y)
+
n(x,y)
结论：如果已知g(x,y)、 n(x,y)、 h(x,y)，则
f(x,y)可以计算出来。对等式两端取傅立叶变换有：
50
7、核函数是什么样子 根据|S|= (X2+Y2)1/2，可知
|S| |S|
Y
X
|S|
X
|S|
h(s)
s
|S|
X
X
X
h(s)
h(s)
h(s)
s
s
s
51
因此，
由于f(α,β )与x，y
令h(x,α;y,β) =T[δ (x-α,y-β) ]，则有： 没有关系
2
称 h(x,α;y,β) 为点扩散函数(PSF)或系统冲击响 应。多数情况下它表现为时不变的，反映在图像中为 位移不变的，则 h(x,α;y,β) 可以表示为h(x-α,y -β)
沿L方向
s 的微分
ty
s
θ
x
L
f(x,y)
X
射
其中，T=0。可以写成F(S,T)=F(S,0)
线
方
角度θ固定后，p(s,θ)的傅立叶变换＝s轴上各
向
点的傅立叶变换。
43
4)、寻找f(x,y)与p(s,θ)、f(s,t) 之间的关系 由于吸收值与座标系统无关(仅差坐标变换系数)，有： 对f(x,y)和f(s,t)的傅立叶变换为：
假设为空间不移变h(i, j; k, l)， 则：
4
线性位移不变的图像退化模型则表示为： g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)
f(x,y)
h(x,y)
g(x,y)
+
n(x,y)
结论：如果已知g(x,y)、 n(x,y)、 h(x,y)，则
f(x,y)可以计算出来。对等式两端取傅立叶变换有：
50
7、核函数是什么样子 根据|S|= (X2+Y2)1/2，可知
|S| |S|
Y
X
|S|
X
|S|
h(s)
s
|S|
X
X
X
h(s)
h(s)
h(s)
s
s
s
51
第5章_图像恢复
第5章 图像恢复
则数字图像经线性位移不变系统后的降质数字图像为
M 1 N 1 m 0 n 0
g e ( x, y) f e (m, n)he ( x m, y n) ne ( x, y ) f ( x, y) * h( x, y) ne ( x, y )
式中：x=0, 1, 2, …, M-1； y=0, 1, 2, …, N-1。
2 T ˆ ˆ ˆ) || n || n n || g hf || ( g hf ) ( g hf 2 T
第5章 图像恢复
上式的极小值为
2 ˆ ˆ L( f ) || g hf ||
如果我们在求最小值的过程中，不做任何约束，称这种复原为非约束复原。 由极值条件
ˆ) L( f ˆ) 0 0 H T ( g hf ˆ f
•图像数字化引入的误差
第5章 图像恢复
图像复原
采取一定的方法尽可能地减少或消除图像质量的下降，恢复图像的本来
面目的过程称为图像复原， 也叫图像恢复。 图像复原的目的： 尽可能准确地恢复图像本来面目
第5章 图像恢复
同图像增强的对比： •相同点：
都是为了改善图像质量。
•不同点： 目的不同---图像增强目的是提高视感质量，不考虑图像是否失真，是一个 主观的过程。而图像复原是试图利用退化过程的先验知识使已退化的图像恢 复本来面目，即根据退化的原因， 分析引起退化的环境因素，建立相应的数 学模型， 并沿着使图像降质的逆过程恢复原图像 ，是一个客观的过程。 质量评价不同---图像增强的过程基本上是一个探索的过程， 它利用人的心 理状态和视觉系统去控制图像质量， 直到人们的视觉系统满意为止。图像复 原有客观的评价指标，即接近真实图像的程度。
第5章 图像复原(08) 数字图像处理课件
图5.7给出了H(u, v)、H-1(u, v)应用这种改进的滤波 特性或恢复转移函数的一维波形，从中可以看出它与 正常滤波的差别。
第五章 图 像 复
幅值
幅值
幅值
O
频率 O
频率 O
频率
图5.7 (a) 退化系统的传递函数； (b) 逆滤波器传递函数； (c) 改进的逆滤波器传递函数
第五章 图 像 复
退化系统H(x, y)： H(x, y)概括了退化系统的物理过程， 就是所要寻找的退化数学模型。
第五章 图 像 复
几个典型的退化模型： 1.受到孔径衍射造成的图像退化； 2.目标相对运动造成的图像模糊；
匀速直线运动 3.大气湍流造成的图像模糊；p205
第五章 图 像 复
原始图像
运动模糊图像〔31象素，11o〕
J (f ˆ ) |Q |f ˆ|2 | (g | |H f ˆ|2 | |n ||2 ) | 5.88
为最小。式中, Q为 fˆ 的线性算子，α为一常数，称为拉格
朗日乘子。
第五章 图 像 复
对式(5.88)求导得
J(fˆ) 0 f
QTQfˆ HT (g Hfˆ) 0
求解 fˆ得到
fˆ(H TH Q T Q ) 1H Tg
第五章 图 像 复
5.2 无约束图像复原
从最小二乘方准那么出发，推出的一种无约束图像复原方法。
5.2.1
将数学模型写成矩阵形式：gHfn
那么：
ngHf
(5.63)
逆滤波法是指在对n没有先验知识的情况下，可以依据这样
的最优准则：即寻找一个 fˆ，使得H fˆ在最小二乘方误差的意义下
最接近g，即要使n的模或范数（norm）最小：
在频域：G(u, v)求F(u, v)的问题
第五章 图 像 复
幅值
幅值
幅值
O
频率 O
频率 O
频率
图5.7 (a) 退化系统的传递函数； (b) 逆滤波器传递函数； (c) 改进的逆滤波器传递函数
第五章 图 像 复
退化系统H(x, y)： H(x, y)概括了退化系统的物理过程， 就是所要寻找的退化数学模型。
第五章 图 像 复
几个典型的退化模型： 1.受到孔径衍射造成的图像退化； 2.目标相对运动造成的图像模糊；
匀速直线运动 3.大气湍流造成的图像模糊；p205
第五章 图 像 复
原始图像
运动模糊图像〔31象素，11o〕
J (f ˆ ) |Q |f ˆ|2 | (g | |H f ˆ|2 | |n ||2 ) | 5.88
为最小。式中, Q为 fˆ 的线性算子，α为一常数，称为拉格
朗日乘子。
第五章 图 像 复
对式(5.88)求导得
J(fˆ) 0 f
QTQfˆ HT (g Hfˆ) 0
求解 fˆ得到
fˆ(H TH Q T Q ) 1H Tg
第五章 图 像 复
5.2 无约束图像复原
从最小二乘方准那么出发，推出的一种无约束图像复原方法。
5.2.1
将数学模型写成矩阵形式：gHfn
那么：
ngHf
(5.63)
逆滤波法是指在对n没有先验知识的情况下，可以依据这样
的最优准则：即寻找一个 fˆ，使得H fˆ在最小二乘方误差的意义下
最接近g，即要使n的模或范数（norm）最小：
在频域：G(u, v)求F(u, v)的问题
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该方法要比最近邻元法复杂，计算量大。但没有灰 度不连续性的缺点，结果令人满意。它具有低通滤波性 质，使高频分量受损，图像轮廓有一定模糊。
3．三次内插法 该方法利用三次多项式S(x)来逼近理论上的最佳插值 函数sin(x)/x。其数学表达式为：
解求未知参数；然后从畸变图像出发，根据上述关系依次 计算每个像素的校正坐标，同时把像素灰度值赋予对应像 素，这样生成一幅校正图像。 但该图像像素分布是不规则的，会出现像素挤压、疏 密不均等现象，不能满足要求。因此最后还需对不规则图 像通过灰度内插生成规则的栅格图像。
二、间接法
设恢复的图像像素在基准坐标系统为等距网格的交 叉点，从网格交叉点的坐标（x,y）出发，若干已知点， 解求未知数。根据
包含12个未知数，至少需要6个已知点来建立关系式， 解求未知数。
几何校正方法可分为直接法和间接法两种。
一、直接法
利用若干已知点坐标，根据
n ni j i x h1 ( x , y ) a ij x y i0 j0 n ni y h ( x , y ) x i y j b ij 2 i0 j0
几何校正方法
图像几何校正的基本方法是先建立几何校正的数学模型； 其次利用已知条件确定模型参数；最后根据模型对图像进行 几何校正。通常分两步： ①图像空间坐标变换；首先建立图像像点坐标（行、列 号）和物方（或参考图）对应点坐标间的映射关系， 解求映射关系中的未知参数，然后根据映射关系对图 像各个像素坐标进行校正； ②确定各像素的灰度值（灰度内插）。
f ( x, y ) f ( x, y ) ( x, y )
二维线性位移不变系统 如果对二维函数施加运算T[· ，满足 ] ⑴ T f 1 x , y f 2 x , y T f 1 x , y T f 2 x , y ⑵ T af x , y aT f x , y 则称该运算为二维线性运算。由它描述的系统，称为二维 线性系统。
由于间接法内插灰度容易，所以一般采用间接法进行 几何纠正。
5.4.2 像素灰度内插方法 常用的像素灰度内插法有最近邻元法、双线性内插法 和三次内插法三种。 1．最近邻元法
在待求点的四邻像素中，将距离这点最近的相邻像素 灰度赋给该待求点。 该方法最简单，效果尚佳，但校正后的图像有明显锯 齿状，即存在灰度不连续性。
再作傅立叶逆变换得
fˆ ( x , y ) f ( x , y )
若噪声为零，则采用逆滤波恢复法能完全再现原图像。 若噪声存在，而且H(u,v）很小或为零时，则噪声被放 大。这意味着退化图像中小噪声的干扰在H(u,v)较小时，会 对逆滤波恢复的图像产生很大的影响，有可能使恢复的图 像和f(x,y)相差很大，甚至面目全非。
N ( u , v ) H
1
(u , v ) e
j 2 ( ux vy )
dudv
5.4 图像的几何校正
几何失真
图像在获取过程中，由于成像系统本身具有非线性、 拍摄角度等因素的影响，会使获得的图像产生几何失真。 几何失真 系统失真
非系统失真。
系统失真是有规律的、能预测的；非系统失真则是随 机的。 当对图像作定量分析时，就要对失真的图像先进行精 确的几何校正（即将存在几何失真的图像校正成无几何失 真的图像），以免影响定量分析的精度。
采用线性位移不变系统模型的原由： 1）由于许多种退化都可以用线性位移不变模型来近似， 这样线性系统中的许多数学工具如线性代数，能用于 求解图像复原问题，从而使运算方法简捷和快速。 2）当退化不太严重时，一般用线性位移不变系统模型来 复原图像，在很多应用中有较好的复原结果，且计算 大为简化。 3）尽管实际非线性和位移可变的情况能更加准确而普遍 地反映图像复原问题的本质，但在数学上求解困难。 只有在要求很精确的情况下才用位移可变的模型去求 解，其求解也常以位移不变的解法为基础加以修改而 成。
在数学上，点源可以用狄拉克δ 函数来表示。二 维δ 函数可定义为
( x, y ) 0 x 0, y 0 其它
且满足
x , y dxdy
x , y dxdy 1
它的一个重要特性就是采样特性。即
f ( x , y ) ( x , y ) dxdy
对于(i+u,j+v)有 f(i+u,j+v)=[f(i+1,j+v)-f(i,j+v)]u+f(i,j+v) = (1 u )(1 v ) f ( i , j ) (1 u ) vf ( i , j 1) u (1 v ) f ( i 1, j ) uvf ( i 1, j 1)
5.3 频率域恢复方法
5.3.1 逆滤波恢复法
对于线性移不变系统而言
g ( x, y )
f ( , ) h ( x , y ) d d n ( x , y )
f ( x, y ) h( x, y ) n( x, y )
对上式两边进行傅立叶变换得
2．双线性内插法
双线性内插法是利用待求点四个邻像素的灰度在两个方 向上作线性内插。如图，下面推导待求像素灰度值的计算式。 对于(i，j+v)有 f(i，j+v)=[f(i，j+1)-f(i，j)]v +f(i，j) 对于(i+1，j+v)有 f(i+1，j+v)=[f(i+1，j+1)f(i+1，j)]v+f(i+1，j)
x h1 ( x , y ) y h ( x, y ) 2
i0 n i0
n
ni
a ij x y
i
i
j
j0
ni
b ij x y
j
j0
推算出各格网点在已知畸变图像上的坐标(x‘,y’)。由于(x (x‘,y’)一般不为整数，不会位于畸变图像像素中心，因而 不能直接确定该点的灰度值，而只能在畸变图像上，由 该像点周围的像素灰度值通过内插，求出该像素的灰度 值，作为对应格网点的灰度，据此获得校正图像。
5.4.1 空间坐标变换 实际工作中常以一幅图像为基准，去校正另一幅几何 失真图像。通常设基准图像f(x,y)是利用没畸变或畸变较小 的摄像系统获得的，而有较大几何畸变的图像用g(x´,y´)表 示，下图是一种畸变情形。
设两幅图像几何畸变的关系能用解析式
x h1 ( x , y )
y h2 ( x, y )
f ( , )
当α =β =0时
f ( 0 ,0 )
f ( x , y ) ( x , y ) dxdy
它的另一个重要特性就是位移性。
f ( x, y )
f ( , ) ( x , y ) d d
用卷积符号 * 表示为
对于一个二维线性位移不变系统，如果输入为f（x ， y） ， 输出为g (x ， y)，系统加于输入的线性运算为T[ • ]，则有
g ( x , y ) T f ( x , y ) T f ( , ) ( x , y ) d d
进行反傅立叶变换可得到f(x,y) 。以上就是逆滤波复原的 基本原理。1/H(u,v)称为逆滤波器。 逆滤波复原过程可归纳如下: (1)对退化图像g(x，y)作二维离散傅立叶变换，得到G(u,v)； (2)计算系统点扩散函数h(x，y)的二维傅立叶变换，得到 H(u,v); (3)逆滤波计算 (4)计算
5.1.2 图像退化的数学模型
假定成像系统是线性位移不变系统 ,则获取的图像g(x,y) 表示为 g（x，y）= f（x，y）* h（x，y） f(x，y)表示理想的、没有退化的图像，g(x，y)是退化（所 观察到）的图像。
若受加性噪声n(x，y)的干扰，则退化图像可表示为 g（x，y）= f（x，y）* h（x，y）+ n(x，y) 这就是线性位移不变系统的退化模型。退化模型如图所示
当输入为单位脉冲δ (x ， y)时，系统的输出便称为脉冲 响应，用h (x ， y)表示。在图像处理中，它便是对点源的响 应，称为点扩散函数。用图表示为
当输入的单位脉冲函数延迟了α 、β 单位，即当输入为δ （x –α， y –β）时，如果输出为h（x –α， y –β），则称此系统为 位移不变系统。
上述式子中包含a00、a10、a01 、b00、b10、b016个未知数， 至少需要3个已知点来建立方程式，解求未知数。
当n=2时，畸变关系式为
a 00 a 10 x a 01 y a 20 x 2 a 11 xy a 02 y 2 x
b 00 b10 x b 01 y b 20 x 2 b11 xy b 02 y 2 y
找退化原因→建立退化模型→反向推演→恢复图像
可见，图像复原主要取决于对图像退化过程的先验知识 所掌握的精确程度，体现在建立的退化模型是否合适。
图像复原和图像增强的区别： 图像增强不考虑图像是如何退化的，而是试图采用各种 技术来增强图像的视觉效果。因此，图像增强可以不顾增强 后的图像是否失真，只要看得舒服就行。 而图像复原就完全不同，需知道图像退化的机制和过程 等先验知识，据此找出一种相应的逆处理方法，从而得到复 原的图像。 如果图像已退化，应先作复原处理，再作增强处理。 二者的目的都是为了改善图像的质量。 5.1.2 系统的描述 点源的概念 事实上，一幅图像可以看成由无穷多极小的像素所组成， 每一个像素都可以看作为一个点源成像，因此，一幅图像也 可以看成由无穷多点源形成的。