第六章参数估计1
第六章参数估计
113第六章 参数估计一、 知识点1. 点估计的基本概念2. 点估计的常用方法(1) 矩估计法① 基本思想：以样本矩作为相应的总体矩的估计，以样本矩的函数作为相应的总体矩的同一函数的估计。
(2) 极大似然估计法设总体X 的分布形式已知，其中),,,(21k θθθθΛ=为未知参数，),,(21n X X X Λ为简单随机样本，相应的),,,(21n x x x Λ为它的一组观测值．极大似然估计法的步骤如下：① 按总体X 的分布律或概率密度写出似然函数∏==ni i n x p x x x L 121);();,,,(θθΛ （离散型）∏==ni i n x f x x x L 121);();,,,(θθΛ （连续型）若有),,,(ˆ21nx x x Λθ使得);,,,(max )ˆ;,,,(2121θθθn n x x x L x x x L ΛΛΘ∈=，则称这个θˆ为参数θ的极大似然估计值。
称统计量),,,(ˆ21nX X X Λθ为参数θ的极大似然估计量。
② 通常似然函数是l θ的可微函数，利用高等数学知识在k θθθ,,,21Λ可能的取值范围内求出参数的极大似然估计k l x x x nl l ,,2,1),,,,(ˆˆ21ΛΛ==θθ 将i x 换成i X 得到相应的极大似然估计量k l X X X nl l ,,2,1),,,,(ˆˆ21ΛΛ==θθ 注：当);,,,(21θn x x x L Λ不可微时，求似然函数的最大值要从定义出发。
3. 估计量的评选标准(1) 无偏性：设),,(ˆˆ21nX X X Λθθ=是参数θ的估计量，如果θθ=)ˆ(E ，则称θˆ为θ的无偏估计量。
(2) 有效性：设1ˆθ，2ˆθ是θ的两个无偏估计，如果)ˆ()ˆ(21θθD D ≤，则称1ˆθ较2ˆθ更有效。
4. 区间估计114 (1) 定义 设总体X 的分布函数族为{}Θ∈θθ),;(x F ．对于给定值)10(<<αα，如果有两个统计量),,(ˆˆ111n X X Λθθ=和),,(ˆˆ122n X X Λθθ=，使得{}αθθθ-≥<<1ˆˆ21P 对一切Θ∈θ成立，则称随机区间)ˆ,ˆ(21θθ是θ的双侧α-1置信区间，称α-1为置信度；分别称1ˆθ和2ˆθ为双侧置信下限和双侧置信上限． (2) 单侧置信区间(3) 一个正态总体下未知参数的双侧置信区间（置信度为α-1）二、 习题 1. 选择题(1) 设n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的一个样本，则以下统计量①)(211n X X + ②)2(14321n X X X X X n ++++-Λ ③)2332(101121n n X X X X +++-作为总体均值μ的估计量，其中是μ的无偏估计的个数是A.0B.1C.2D.3(2) 设321,,X X X 是来自正态总体)1,(μN 的样本，现有μ的三个无偏估计量321332123211216131ˆ;1254131ˆ;2110351ˆX X X X X X X X X ++=++=++=μμμ其中方差最小的估计量是A.1ˆμB.2ˆμC. 3ˆμD.以上都不是 (3) 设0,1,0,1,1为来自0-1分布总体B(1,p)的样本观察值，则p 的矩估计值为 。
概率论与数理统计教材第六章习题
X σ0 n
~ N(0,1)
对于置信水平1- ，总体均值的置信区间为 对于置信水平 -α，总体均值 的置信区间为
X
σ0
n
uα < < X +
2
σ0
n
uα
2
(2)设总体 ～ N(,σ 2 ), 未知 ，求的置信区间。 设总体X～ 未知σ， 的置信区间。 设总体 的置信区间
σ 0 ，则样本函数 t = X ~ t(n 1) 用 S 代替 S n
i =1
n1
n1
F
1
α ∑ Yj 2
2 j =1
n2
(
)
2
n2
10
2 2 及 （1）设两个总体 ～ N(1,σ1 ) 及Y～ N(2 ,σ 2 ), 未知 1 2， ）设两个总体X～ ～
2 σ1 的置信区间。 求 2 的置信区间。 σ2
选取样本函数 选取样本函数
2 2 S1 σ1 F = 2 2 ~ F(n1 1, n2 1) S2 σ2
∑x
i =1
n
i =1
i
n = 0.
1 p
得 p 的极大似然估计值为 p =
n
∑x
i =1
n
1 = x
i
12
1 θ 2. 设总体 服从拉普拉斯分布：f ( x;θ ) = e ,∞< x < +∞, 设总体X 服从拉普拉斯分布： 2θ 求参数 θ 其中 > 0. 如果取得样本观测值为 x1 , x2 ,L, xn , 求参数θ
第六章 参数估计
(一)基本内容
一、参数估计的概念 1 定义：取样本的一个函数θ ( X 1 , X 2 ,L , X n ), 如果以它的观测 定义：
《医学统计学》第六章+参数估计与假设检验
2、该地所有人收缩压的均数可能在什么范围？
医学统计学（第7版）
三、总体均数的区间估计
（一）σ 已知
➢ 如果变量 X 服从均数为 μ、标准差为 的正态分布，则： z
服从标准正态分布。则：
P X 1.96
X 1.96
0.95
（二）σ 未知
1. t 分布
➢ 事实上，总体标准差 通常是未知的，这时我们可以用其估计量S代替 ，但
在这种情况下，( X ) / ( S /
n)
已不再服从标准正态分布，而是服从著名的 t 分布。
William Gosset
不同自由度的t分布图
医学统计学（第7版）
2. 可信区间的计算
S12 S22
n1 n2
2 ,v
医学统计学（第7版）
例题
➢ 例6-4 评价复方缬沙坦胶囊与缬沙坦胶囊对照治疗轻中度高血压的有效性，将102名患
者随机分为两组，其中试验组和对照组分别为54例和48例。经六周治疗后测量收缩压，
试验组平均下降15.77mmHg，标准差为13.17mmHg；对照组平均下降9.53mmHg，标准
样本率的标准差称为率的标准误（standard error of rate），可用来描述样
本率抽样误差的大小。率的标准误越小，则率的抽样误差越小，率的标
准误越大，则率的抽样误差越大。公式为：
p
(1 )
n
2. 率的标准误的估计
在一般情况下，总体率 π 往往是未知的，此时可用样本率 P 来估计总体
标准差与标准误的比较
标 准 差
标 准 误
西北工业大学《概率论与数理统计》课件-第六章 参数估计
(2) 似然函数
定义6.1 设总体X的分布密度(或分布律)为 p(x; ), 其中 (1, 2, ,m )为未知参数. 又设
( x1, x2,, xn ) 为自总体X的样本(X1,X2,…,Xn) 的一 个观察值，则称样本的联合分布
n
L( ) p(x1, x2, … , xn; ) p( xi; )
2º似然估计方程组与最大似然估计之间没有必 然
从中解得 pˆ k n
参数 p的估计值
这时, 对一切 0< p <1, 均有
P{Y k; pˆ } P{Y k; p}
综上所述： 设某试验的可能结果为： A1, A2 , ···, Ai , ···
若在一次试验中，某结果 Ai 出现，则应选择参 数使Ai 出现的概率最大.
以上这种选择一个参数使得实验结果具有
(k 1,2,, m)
(4) 求最大似然估计(MLE)的步骤:
1 写出似然函数
(1, 2 , ,m )
n
L( ) L( x1, x2,, xn; ) p( xi; )
n
i 1
2 取对数 ln L( ) ln p( xi; )
i 1
3 解似然方程(组)
ln L
ln L
2
为来自总体X的简单随机样本. 矩估计法的具体步骤:
1 求出k E( X k ) (1,2,,m )， k 1,2,,m；
2 要求k Ak , k 1,2,, m
这是一个包含 m个未知参数1,2 ,,m的方程组.
3 解出其中1,2,,m , 用ˆ1,ˆ2,,ˆm表示.
4 用方程组的解ˆ1, ˆ2 , ,ˆm 分别作为 1,2 ,,m的估计量,这个估计量称为
第六章 时间序列分析-参数估计
例:求MA(1)模型系数的矩估计
MA(1)模型 方程 xt t 1 t 1
0 (1 12 ) 2 1 1 1 2 矩估计 0 1 12 1 1
ˆ 1 1 4 12 ˆ1 ˆ 2 1
f X1 , X 2 , X3 x1 , x2 , x3 ; , 2 f X1 , X 2 x1 , x2 ; , 2 f X3 X 2 , X1 x3 x2 , x1 ; , 2
24
极大似然估计
一般地，样本中第 t 个 X t 在前 t-1 个已知的条件下，由于模 型的特点，实际上前 t-1 个 X t 1 ,, X1 只有 X t 1 作用于 X t ，因此 有
ˆ 其中 k y
ˆˆ ˆ
i 0 j 0 i
p
p
j i j k
, k 0,1,, q
13
对矩估计的评价
优点
估计思想简单直观 不需要假设总体分布 计算量小（低阶模型场合）
缺点
信息浪费严重 只用到了p+q个样本自相关系数信息，其他信息都被忽
15
极大似然估计
本节将要讨论的是根据极大似然原理，给出模型参数 1 ,, p ，
1 ,,q 和白噪声方差 2 的极大似然估计。为此，首先需要给定样本
x1,, xT 的联合分布，
F x1,, xT ; θ
θ 1 , , p , 1 , , q , 2 。 其中
3. ARMA模型的矩估计 第一步，先给出AR部分的参数 估计。
1 ,, p
的矩
q1 q 12 q p 1 p q 1 q 1 1 q 2 q p 2 p q 2 q p 11 q p 22 q p q p
第6章 参数估计
较 的样本容量
θ
B A
较 的样本容量
θ
ˆ θ
一致性： 一致性：
随着样本容量增大， 随着样本容量增大，估计量会越来越接近被估计 的参数。 的参数。即对任意的
→∞→ n
ε >0
，有
ˆ lim P{| θ −θ |< ε} =1
则称 θ 是参数θ的一致估计量。 ˆ 是参数θ的一致估计量。
X
µ -1.96 σx
+1.96σ µ +1.96σx
90%的样本 90%的样本 95% 的样本 99% 的样本
置信水平
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置信 将构造置信区间的步骤重复很多次， 区间包含总体参数真值的次数所占的比例 称为置信水平. 称为置信水平. 2. 表示为 1 - a 是总体参数未在区间内的比例 3. a是总体参数未在区间内的比例 是总体参数未在区间内的比例 常用的置信水平值有 99%,
• 如某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95% 如某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95% 75 之间 95
5.1.3. 评价估计量的标准
1.无偏性： 无偏性：
ˆ ˆ 如果 E(θ ) =θ ，即估计量 θ 的数学 期望等于被估计的总体参数， 期望等于被估计的总体参数，我们称估计量
（35）4 35） （45）4.5 45） （55）5 55）
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数. 估计的总体参数 .
ˆ P(θ)
偏 偏
A
B
ˆ θ
θ
样本平均数是总体平均数的无偏估 样本平均数是总体平均数的无偏估 计量。 计量。
以无偏性来评判估计量是很合理的。一 以无偏性来评判估计量是很合理的。 个好的估计量就某一个具体的估计值而言 可能不等于总体参数值， ，可能不等于总体参数值，但平均来看有 向估计的总体参数集中的趋势。 向估计的总体参数集中的趋势。
概率论与数理统计 茆诗松 第二版课后 习题参考答案
ai
Xi
⎟⎟⎠⎞
=
n Cov⎜⎛ 1
i=1
⎝n
X
i
,
ai
X
i
⎟⎞ ⎠
=
n i=1
ai n
Cov( X
i
,
X
i
)
=
σ2 n
n
ai
i=1
=σ2 n
，
因 Var(X ) = 1 Var(X ) = σ 2 = Cov(X , T ) ，
n
n
故 X 与 T 的相关系数为 Corr(X , T ) = Cov(X , T ) =
n
∑ 4． 设总体 X ~ N (µ , σ 2)，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本．试确定常数 c 使 c ( X i+1 − X i )2 为σ 2 的无 i=1
偏估计． 解：因 E[(Xi + 1 − Xi )2 ] = Var (Xi + 1 − Xi ) + [E(Xi + 1 − Xi )]2 = Var (Xi + 1) + Var (Xi ) + [E(Xi + 1) − E(Xi )]2 = 2σ 2，
n1 + n2
n1 + n2
n1 + n2
8． 设总体 X 的均值为µ ，方差为σ 2，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本，T (X1, …, Xn)为µ 的任一线性
无偏估计量．证明： X 与 T 的相关系数为 Var( X ) Var(T ) ．
n
∑ 证：因 T (X1, …, Xn)为µ 的任一线性无偏估计量，设 T ( X1, L, X n ) = ai X i ， i=1
第六章 参数值的估计
第六章 参数值的估计 第一节 参数估计的一般问题一、估计量与估计值参数估计就是用样本统计量去估计总体参数，如用X 估计μ，用S2估计2σ，用p 估计π等。
总体参数可以笼统地用一个符号θ表示。
参数估计中，用来估计总体参数的统计量的名称，称为估计量，用θ表示，如样本均值、样本比例等就是估计量。
用来估计总体参数时计算出来的估计量的具体数值，叫做估计值。
二、点估计与区间估计——参数估计的两种方法 1、点估计用样本估计量θ的值直接作为总体参数θ的估计量值。
2、区间估计它是在点估计基础上，给出总体参数估计的一个区间，由此可以衡量点估计值可靠性的度量。
这个区间通常是由样本统计量加减抽样误差而得到。
以样本均值的区间估计来说明区间估计原理：根据样本均值的抽样分布可知，重复抽样或无限总体抽样情况下，样本均值，由此可知，样本均值落在总体均值两侧各为一个标准误差范围内的概率为0.6827，两个标准误差范围0.9545，三个标准误差范围0.9973，并可计算出样本均值落在μ的两侧任何一个标准误差范围内的概率（根据已知的μ，σ计算）。
但实际估计时，μ是未知的，因而不再是估计样本均值落在某一范围内的概率，而只能根据已设定的概率计算这个范围的大小。
例如：约有95%的样本均值会落在距μ的两个标准误差范围内，即约有95%的样本均值所构造的两个标准误差的区间会包括μ。
在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间，称为置信区间，区间的最小值为置信下限，最大值为置信上限。
例如，抽取了1000个样本，根据每个样本构造一个置信区间，其中有95％的区间包含了真实的总体参数，而5%的没有包括，则称95％为置信水平／置信系数。
构造置信区间时，可以用所希望的值作为置信水平，常用的置信水平是90％，95％，99％，见下表：α称为显著性水平，表示用置信区间估计的不可靠的概率，1-为置信水平。
如何解释置信区间：如用95%的置信水平得到某班学生考试成绩的置信区间为（60，80），即在多次抽样中有95%的样本得到的区间包含了总体真实平均成绩，（60，80）这个区间有95%的可能性属于这些包括真实平均成绩的区间内的一个。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考解答-1
n
∑ 4． 设总体 X ~ N (µ , σ 2)，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本．试确定常数 c 使 c ( X i+1 − X i )2 为σ 2 的无 i=1
偏估计． 解：因 E[(Xi + 1 − Xi )2 ] = Var (Xi + 1 − Xi ) + [E(Xi + 1 − Xi )]2 = Var (Xi + 1) + Var (Xi ) + [E(Xi + 1) − E(Xi )]2 = 2σ 2，
( X i+1
−
Xi
)2
是σ
2
的无偏估计．
5． 设 X1, X2, …, Xn 是来自下列总体中抽取的简单样本，
p(x; θ ) = ⎪⎨⎧1,
θ − 1 ≤ x≤θ + 1;
2
2
⎪⎩0, 其他.
证明样本均值
X
及
1 2
( X (1)
+
X (n) )
都是θ
的无偏估计，问何者更有效？
证：因总体 X ~ U ⎜⎛θ − 1 , θ + 1 ⎟⎞ ，有 Y = X − θ + 1 ~ U (0, 1) ，
1 6
X1
+
1 6
X
2
+
2 3
X3．
证：因
E ( µˆ1 )
=
1 2
E(X1)
+
1 3
E(X
2)
+
1 6
E(X3)
=
1 2
µ
+
1 3
µ
+1 6来自µ=µ
第六章 参数估计
宁波工程学院
理学院
第六章 参数估计
第12页 12页
6.1.2 极(最)大似然估计
定义6.1.1 设总体的概率函数为P(x;θ )，将样本 的联合概率函数看成θ 的函数
L (θ ) = L (θ ; x1 ,⋯ , xn ) = p ( x1 ; θ ) ⋅ p ( x2 ; θ ) ⋅⋯ ⋅ p ( xn ; θ )
宁波工程学院
理学院
第六章 参数估计
第9页
例6.1.3 x1, x2, …, xn 是来自(a,b)上的均匀分布 U(a,b)的样本，a与b均是未知参数，这里k=2， 由于
a+b EX = , 2 (b − a ) 2 Var( X ) = , 12
不难推出
a = EX − 3Var( X ), b = EX + 3Var( X ),
第7页
二、概率函数P 二、概率函数P(x,θ)已知时未知参数的矩法估计 设总体的分布含有k个未知参数 θ ,⋯,θ ，那么 1 k 它的前k阶矩 µ1, µ2 ,⋯, µk 都是这k个参数的函数
µi = gi (θ1,⋯,θk ) 从这k个方程中解出 θ = θ (µ ,⋯, µ ) j j 1 k
4 December 2010
宁波工程学院
理学院
第六章 参数估计
第20页 20页
§6.2 点估计的评价标准
6.2.1 相合性
点估计量不可能等同于参数的真实取值。但根据 格里纹科定理，完全可以要求估计量随着样本量 的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性
ˆ ˆ 定义6.2.1 θn = θn ( x1,⋯, xn ) 是θ 的一个估计量，若对 任何一个ε>0，有
假设检验
第六章 参数估计一、点估计（一）点估计的定义 （二）良好估计量的标准 1.无偏性样本平均数的无偏估计。
是总体平均数（期望）μX 样本方差。
是总体方差的无偏估计21-n S 而样本方差。
是总体方差的有偏估计2n S 2.有效性当无偏估计不止一个时，无偏估计变异（方差）小者有效性高。
3.一致性当样本容量越来越大时，估计值应越来越接近它所估计的总体参数，估计会越来越精确。
4.充分性样本统计量是否充分反映了样本的充分信息。
二、区间估计（一）区间估计的定义 （二）置信区间与显著性水平显著性水平：估计总体参数落在某一区间时，可能犯错误的概率。
用α表示。
置信度：对总体参数估计正确的概率。
用1-α表示。
置信区间：在一定置信度的要求下，所估计的总体参数落入的区间。
（三）区间估计的原理样本分布是区间估计的理论根据。
根据样本统计量分布的形态和分布的标准误，和根据置信度查出的临界值，可以计算出置信区间。
三、总体平均数的区间估计（一）总体平均数区间估计的一般步骤（二）总体平均数估计1：总体正态分布，总体方差已知，不论样本容量n 大小，样本平均数的抽样分布为正态分布。
其平均数就等于总体平均数，即μ=)(X E为样本容量为总体标准差，准误，为样本平均数分布的标其中n nX X σσσ=σ {}{}9,.82.8.5,.61.6.---,,905520109099105011111022222222=σ⋅≤μ≤σ⋅-=α=σ⋅≤μ≤σ⋅-=αα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧σ⋅-≥μ≥σ⋅+α-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧σ⋅-≤μ≤σ⋅-α-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧σ⋅≤μ≤σ⋅α-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤σμ≤σμααααααααX X X X X X X X X X X XX X P X X P Z X Z X P Z X Z X P Z X Z P Z X Z P N X ＋时，有当显著性水平＋时，有当显著性水平＋———从而）（～—因而..例：已知总体分布为正态，σ=7.07,从这个总体中随机抽取n 1=10和n 2=36的两个样本，分别计算出,,797821==X X 试求总体参数μ的0.95和0.99的置信区间。
第六章抽样与参数估计
第六章 抽样与参数估计学习目标知识目标：理解抽样与估计的基本原理；掌握抽样推断、抽样分布、统计量和参数估计的基本概念和计算方法。
能力目标：能够根据统计研究目的和统计对象的特点组织抽样调查，计算样本指标（样本均值和样本方差），并依据样本对总体的数量特征（总体均值和总体比例）作出估计。
参数估计是统计推断的一种重要形式之一，包括参数的点估计和区间估计两类。
在本章中我们介绍统计推断的基本原理，抽样和抽样分布的基本概念，参数的点估计与几种重要的区间估计方法，参数估计量的优良性标准也在本章作简要叙述。
第一节 抽样与抽样分布关键词：总体和样本；抽样及抽样推断；参数和统计量；抽样分布一、抽样推断的基本概念（一）总体和样本抽样推断是从统计总体中抽取部分单位组成样本进行调查的。
统计总体，简称为总体，它是指所要研究的客观现象的全体，组成总体的每一个元素称为个体。
例如我们要研究某市居民的家庭收入水平，那么该市所有居民的家庭收入便构成研究总体，而每一户居民的家庭收入就是个体。
一般来说，我们所研究的总体，即研究对象的某项数量指标X ，是一个随机变量，它的取值在客观上有一定的分布。
实际上，我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X 的分布的研究。
因此，今后将不区分总体和相应的随机变量。
为了推断总体的某些数量特征，我们一般是从总体中抽取一部分个体进行观察，即随机抽样。
随机抽样就是按照机会均等的原则（即随机原则）从总体中抽取一部分个体的过程。
假如我们抽取了n 个个体，且这n 个个体的某一指标为),,,,(21n X X X 我们称这n 个个体的指标),,,(21n X X X 为一个子样或样本，并且一般称为简单随机样本（即子样的每个分量都机会均等的来自同一总体，各个分量之间是相互独立的），n 称作子样的容量。
在一次抽样之后，观察到子样),,,(21n X X X 的一组确定的值),,,(21n x x x ，称为容量为n 的子样的观察值（或数据）。
统计学,刘照德06-1第六章 参数估计
第一节 点估计
点估计的求解方法主要有 ： • 矩估计法 • 最大似然估计法
第一节 点估计
一 、矩估计法
• 矩估计法是一种常用的估计方法，其基本 思想是，用样本原点矩作为总体原点矩的 估计。
第一节 点估计
• 设k个参数 ( , , )，求 k个参数 ˆ (ˆ ,ˆ ,ˆ ) 矩估计 需要建立k个方程，方法是：设总体 的一个样本观测值是 (x , x ,, x ) ，其l阶原点 1 A x 矩 ，总体观测量X的l阶原点矩 n ml E( X l ) ml ( ) ，用样本原点矩Al作为总体 原点矩ml的估计，得出k个方程Al =ml(θ )(l =1,…,k)，解此方程组得出的 即为参数 的矩 估计。
对于给定的抽样方法 ，不同的抽样，就有不同的 ˆ , ˆ) 估计区间 ( 1 2
在用同样方法构造的总体参数的多个估计区间 中，包含总体参数真值的区间所占的比例称为 置信水平，表示为 (1 - 。 2.为是未包含总体参数的区间所占的比例。 •
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
第一节点估计??????????222221???xexdxemxem??????2221??????aa??????21221??aaa????????????????niiniixxnxxnx12122211?????二最大似然估计法?最大似然方法的基本思想是固定样本观测值在可能的取值中挑选使似然函数达到最大从而概率p达到最大的作为参数的估计
1 2
ˆ) P(
ˆ 的抽样分布 1
B A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
第一节 点估计
• 3．一致性 依 设 为 的一个估计量，若当 n 时， ，则称 为 的一致估计量。此即 概率收敛于 随着样本容量n的增大，点估计量 越来越接近 被估总体参数 。
第六章---参数估计ppt课件
1、条件分析：总体分布为正态，且总体方差已 知，用正态法进行估计。 2、计算标准误 3、确定置信水平为0.95，查表得
51
4、计算置信区间 D=0.95时 D=0.99时
52
解释：总体均数μ落在75.61-84.39之间的可 能性为95%，超出这一范围的可能只有5%。而 作出总体μ落在74.22-85.78之间结论时的正 确概率为99%，犯错误的可能性为1%。
38
( 二)、 分布法， 未知 1、前提条件： 总体正态分布， n不论大小，
2、使用 t分布统计量
D=0.95时 D=0.99时
39
例：总体正态， 未知，
，
，
，
，
平均数0.95的置信区间是多少？
，
，试问总体
40
解： 1、条件分析：总体正态， 未知，
小
于30，只能用 分布
2、计算标准误
3、计算自由度
9
一、点估计
(一)意义 含义：直接用样本统计量的值作为总体参数的估 计值 无偏估计量：恰好等于相应总体参数的统计量。
例8-1；假设某市六岁男童平均身高110.7cm,随机 抽取113人测得平均身高110.70cm.总体的平均数, 标准差是多少
10
(二)良好点估计的条件
无偏性： 一致性： 有效性： 无偏估计量的变异性问题。
47
1 、条件分析：总体分布为非正态， 未知， ＞30，只能用近似正态估计法。
2、计算标准误
3、确定置信水平为0.95，查表得
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4、计算置信区间
5、结果解释：该校的平均成绩有95%的可能落 在50.2~54.0之间。
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课堂练习
已知某总体为正态分布，其总体标准差为10。 现从这个总体中随机抽取n1=20的样本，其平 均数分别80。试问总体参数μ在0.95和0.99的 置信区间是多少。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案
习题 6.1
1． 设 X1, X2, X3 是取自某总体容量为 3 的样本，试证下列统计量都是该总体均值µ 的无偏估计，在方差存 在时指出哪一个估计的有效性最差？
（1） µˆ1
=
1 2
X1
+
1 3
X
2
+
1 6
X3 ；
（2） µˆ2
=
1 3
X1
+
1 3
X
2
+
1 3
X
3
；
（3） µˆ3
=
n1 + n2
n1 + n2
n1 + n2
8． 设总体 X 的均值为µ ，方差为σ 2，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本，T (X1, …, Xn)为µ 的任一线性
无偏估计量．证明： X 与 T 的相关系数为 Var( X ) Var(T ) ．
n
∑ 证：因 T (X1, …, Xn)为µ 的任一线性无偏估计量，设 T ( X1, L, X n ) = ai X i ， i=1
2． 设 X1, X2, …, Xn 是来自 Exp(λ)的样本，已知 X 为 1/λ的无偏估计，试说明1/ X 是否为λ的无偏估计． 解：因 X1, X2, …, Xn 相互独立且都服从指数分布 Exp(λ)，即都服从伽玛分布 Ga(1, λ)，
n
∑ 由伽玛分布的可加性知 Y = X i 服从伽玛分布 Ga(n, λ)，密度函数为 i=1
=
(n
2 + 1)(n
+
2)
，
E(Y(2n) )
=
1 y 2 ⋅ nyn−1dy = n ，
参数估计
§4 均值的置信区间的分析(2)：一对矛盾
区间估计中的一对矛盾
精度
区间长度越长，精度越低 区间长度越短，精度越高 n越大，精度越高
置信度越高，区间长度越长 置信度越低，区间长度越短
置信度
样本容量n固定时，精度与置信度不能同时提高！
先保证置信度，再提高精度
§4 均值的置信区间的分析(3)：一个特殊应用
§3 参数的区间估计：引例
抛一枚均匀的硬币10000次， ？问题1：出现正面的次数可能达到5500次吗？
可能。但可能性非常小，与摸彩票（36选7）中特等奖的 概率类似的小。 有68.3%的可能在（4950，5050）之间； 有95.4%的可能在（4900，5100）之间； 有99.7%的可能在（4850，5150）之间；
§3 参数的区间估计
在估计参数 时，构造一个置信区间，其置信系 数为95%，下面哪一种说法最正确（ ） A.落在该置信区间的概率为95% B.不落在该区间的风险为5% C. 有95%的随机置信区间会包括 D. 这一估计的误差不超过5%
§4 均值的区间估计——大样本结果
x z / 2 n
在参数估计中利用t分布构造置信区间的条件是 （ ） A. 总体分布需服从正态分布且方差已知 B. 总体分布为正态分布，方差未知 C. 总体不一定是正态分布但须大样本 D. 总体不一定是正态分布，但需要方差已知
§4 正态总体均值的区间估计
为管理的需要，银行要测定在业务柜台上每笔业 务平均所需的时间。假设每笔业务所需时间服从 正态分布，现随机抽取样本量为16，测得平均时 间为13分钟，标准差为5.6分钟，要求以99%的 置信系数确定置信界限。若置信系数改为90%， 其置信界限有何区别？
《卫生统计学》第六章 参数估计基础
二、总体概率可信区间的计算
1.查表法：n≤50，特别是p接近0或100%时，可查 附表6（P478-480)，二项分布概率的置信区间表， 例6-4。
注意：附表6中X值只列出了X≤n/2部分，当X>n/2 时，应以n - X值查表，然后用100减去查得的数 值，即为所求的区间。
2.正态近似法**：当n较大且np和n（1-p）均大于5 时，二项分布接近正态分布，则总体率的双侧 （1-α）可信区间为： P ± Ζα/2· Sp
f(t)
0.4
υ=∞
υ＝5
0.3
υ＝1
0.2
0.1
0.0
t
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
图6-4 自由度为1、5、∞的t分布
.
t分布的特征：只有一个参数ν 以0为中心，左右对称的单峰分布； t分布是一簇曲线，形态变化与n（即自由度）大
小有关。自由度ν越小，t分布曲线越低平；自 由度ν越大，t分布曲线越接近标准正态分布 （Ζ分布）曲线。 t分布峰部较矮，尾部翘得较高，说明远侧的t值 的个数相对较多，即尾部面积（概率P）较大。 自由度ν越小这种情况越明显，ν渐大时，t分 布渐逼近标准正态分布；当ν=∞时，t分布就成 为标准正态分布了。 附表2，t界值表P467
.
均数的抽样误差——指由抽样而造成的样本均数 与总体均数之间的差异。
x 称标准误，它说明均数抽样误差的大小。
x / n
n越大，标准误越小，样本均数的抽样误差亦越小 实际工作中，σ常未知，而是用样本标准差s来估
计，则有 sx s/ n
常用来说明均数的抽样误差的大小。
.
即使从偏态总体抽样，当n足够大时， 样本均数也近似正态分布（见实验6-2， 观察图6-1及图6-2的变化）。
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原点矩 vk （k 1,2,L ,l ）分别作为总体前l 阶原
点矩 ak （k 1,2,L ,l）的估计量，建立方程组
a1(1,2, ,l ) v1
a2(1,2, ,l ) v2 a(1,2, ,l ) vl
（6.1）
这是一个包含未知参数1,2,L ,l 的联立方程
组，称为矩方程组．
解方程组 , 得 m 个统计量：
6.1.1 点估计的概念
设总体 X 的分布函数形式已知, 但它的一 个或多个参数为未知, 借助于总体 X 的一个样 本来估计总体未知参数的值的问题称为点估计 问题.
一般地，设总体 X 的分布中含有未知参数 ， 且 X1, X 2,L , X n 是 来 自 总 体 X 的 一 个 样 本 ，
x1, x2,L , xn是相应的一个样本值．
估计降雨量
… …
参数估计 问题分为点估计问题与区间估计问题
点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的 估计值；区间估计就是对于未知参数给出一个范围， 并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数 的真值.
§6.1 点估计及其求法
6.1.1 点估计的概念 6.1.2 矩估计法 6.1.3 最大似然估计法
ˆ1 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) LLLLLLL ˆm ( X 1 , X 2 ,L , X n )
未知参数
1, ,m
的矩估计量
代入一组样本值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ m 个数:
ˆ1 ˆ1( x1, x2 ,L , xn ) LLLLLLLL ˆm ˆm ( x1, x2 ,L , xn )
未知参数
若 X 的前l阶原点矩ak E(X k )（k 1,2,L ,l）存 在 ， 则 ak E(X k ) （ k 1,2,L ,l ） 均 为 未 知 参 数
1,2,L ,l 的函数，记 ak E(X k )=ak (1,2,L ,l )（k 1,2,L ,l），
根据矩估计法的基本思想，以样本的前l 阶
6.1.2 、矩估计法
它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 .
是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
矩估计法的具体做法如下： 设总体 X 的分布中仅含有l个未知参数
1,2,L ,l ，且 X1, X 2,L , X n是来自总体 X 的一个
样本．
6.1.2 矩估计法
当总体的各阶原点矩未知时，我们可以用样本的 前l 阶原点矩 Ak (k 1, 2,L ,l)作为总体的前l 阶原点矩ak （k 1,2,L ,l）的估计量． 2 进一步，也可以用样本原点矩的连续函数 g( A1, A2,L , Al ) 作 为 总 体 原 点 矩 的 连 续 函 数 g(a1, a2,L , al )的估计量，这就是矩估计法的基本思 想．
CHAP6 参数估计
§6.1 点估计及其求法 §6.2 估计量的评选标准 §6.3 区间估计 § 6.4 样本容量的确定
参数估计
参数在估参计数问估题计是问利题用中从，总假体定抽总样体得分到布的信息 来估形计式总已体知的，某未些知参的数仅或仅者是参一数个的或某几些个函数.
参数. 估计新生儿的体重
估计废品率 估计湖中鱼数
参数估计方法 .
它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的 , 然而，这个方法常归功于 英国统计学家费歇 .
Gauss
费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
这恰好符合大数定律．
矩法的优点是简单易行,并不需要事先知 道总体是什么分布 .
缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 . 一般场合下, 矩估计量不具有唯一性 .
其主要原因在于建立矩法方程时，选取 那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随 意性 .
6.1.3 最大似然估计法
是在总体类型已知条件下使用的一种
若构造一个适当的统计量ˆ X1, X 2,L , X n ，用 其 观 测 值 ˆ x1, x2,L , xn 作 为 的 近 似 值 ， 则 称 ˆ X1, X 2,L , X n 是 的 一 个 估 计 量 ， 并 称 ˆ x1, x2,L , xn 是 的一个估计值．
的估计量与估计值统称估计，并都简记为ˆ．
估计.
例6.2 设总体 X在 [a,b] 上服从均匀分布, a,b 未知.
X 1 , X2,,Xn是来自 X的样本, 试求 a,b 的矩估计
量.
解
a 1E (X ) (a b )/2 ,
a 2 E (X 2 ) D (X ) [E (X )2]
( b a ) 2 /1 ( 2 a b ) 2 /4 ,
设 X1, X 2,L , X10为总体 X 的一个容量为 10 的样本， 按矩估计法，p 的矩估计量为
pˆ X
现在得到的样本值 x1,x2
,L
11,0x10i1中01 X有i ．8
个“0”和
2
个“1”
于是 p 的矩估计值为
pˆ
1 10
10 i1
xi
2． 10
由此可见，次品率的矩估计即为次品出现的频率，
即 ab2a1, ba 12 (a2a12).
解得
注意到 以
v1, v2
aa1 3(a2a12), ba1 3(a2a12).
n 1i n 1X i2X 2n 1i n 1(X iX )2,
代替 a1,a2, 得到 a,b的矩估计量分别为
aˆX
3 n
n i1
(Xi
X)2,
bˆX
3 n
n i1
(Xi
X)2.
例 6．3 设有一大批产品，其次品率 p0 p 1
是未知的．现从中随机抽出 10 件，发现 2 件次
品．试求 p 的矩估计值．
解 若次品用“1”表示，正品用“0”表示，
则总体 X 服从参数为 p 的（0-1）分布，即
PX 1 p, PX 0 1 p．
于是
E X 1 p 01 p p．
1, ,m
的矩估计值
例6.1 设总体 X的概率密度为
(1)x, 0x1
f(x)
0,
, 其它
其中1是未知参数, X 1,X 2 ,X n是取自 X的 样本, 求参数的矩估计.
解 数学期望是一阶原点矩
a1E(X)01(1)xdx
(1)1x1d 0
x 1 2,
其样本矩为 X12, 而 ˆ 21XX1, 即为 的矩