第6章 参数估计习题答案

解：总体 X 的数学期望为 E ( X ) = mp ， D( X ) = mp(1 − p) ， 二阶原点矩为 E ( X 2 ) = D( X ) + [E ( X )]2 = mp(mp − p + 1) 。
64
课
后
解：总体 X 的数学期望为 E ( X ) = ∫
ww
w.
2x θ (θ − x)dx = ，令 E ( X ) = X 可得 θ 2 3 0θ
（ 2 ） 设 总 体 X ~ N ( µ , σ 2 ) ， 参 数 µ 已 知 ， σ 2 （ σ 2 >0 ） 未 知 ，
x1 , x 2 ,L, x n 为一相应的样本值。求 σ 2 的最大似然估计值。
( x −µ ) ⎡ 1 − i 2 L( µ ) = Π ⎢ e 2σ i =1 2 π σ ⎢ ⎣ − i =1
⎤ ⎥= ⎥ ⎦
w.
1 5 。 = x 26
n
n ⎞ ln L( p ) = ⎛ ⎜ ∑ xi − n ⎟ ln(1 − p ) + n ln p 。 ⎝ i =1 ⎠
ˆ= （2）根据（1）中结论， p 的最大似然估计值为 p
x1 , x 2 ,L, x n 是来自 X 一个样本值。求 µ 的最大似然估计值。
2 ∑ ( xi − µ )
n
2σ
2
− ln 2π σ 。
(
)
n
令对数似然函数对 µ 的一阶导数为零，得到 µ 的最大似然估计值为
n
∑x
ˆ= µ
i =1
i
n
= x。
n
（2）似然函数为 对数似然函数为
n ⎡ − 1 L(σ 2 ) = Π ⎢ e i =1 ⎢ ⎣ 2π σ
( xi − µ ) 2 2σ 2
答 案
7，设 X 1 , X 2 , L, X n 是总体 X 的一个样本，x1 , x 2 ,L, x n 为一相应的样本值 。
x>0 ，0 <θ < ∞ ， 其 他
后
网
ww
1 n ∑ ( xi − µ ) 2 。 n i =1
w.
kh
n
令对数似然函数对 σ 2 的一阶导数为零，得到 σ 2 的最大似然估计值为
网
答 案
似然函数为
L (λ ) = Π
λ xi e −λ λ i =1 e − nλ = n ，相应的对数似然函数为 i =1 ( x ) i ! Π ( xi )!
n i =1
令对数似然函数对 λ 的一阶导数为零，得到 λ 的最大似然估计值为
n ˆ = 1 x = x。 λ ∑ i n i =1
ˆ = x = 7.2 。 （2）根据（1）中结论， λ 的最大似然估计值为 λ
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第6章
参数估计习题解答
第 6 章 参数估计
1，设总体 X ~ U (0, b), B > 0 未知， X 1 , X 2 , L, X 9 是来自 X 的样本。求 b 的矩估计量。今测得一个样本值 0.5，0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7， 0.9，1.0，求 b 的矩估计值。 解：因为总体 X ~ U (0, b) ，所以总体矩 E ( X ) = b / 2 。根据容量为 9 的样 本得到的样本矩 X =
68
第6章
参数估计习题解答
8，设总体 X 具有分布律
X pk
1
θ2
2
2θ (1 − θ )
3
(1 − θ ) 2
其中参数 θ (0 < θ < 1) 未知。已知取得样本值 x1 = 1, x 2 = 2, x3 = 1 ，试求 θ 的最大似然估计值。
L(θ ) = Π P{ X = xi } = θ 2 × 2θ (1 − θ ) × θ 2 = 2θ 5 (1 − θ ) ，
的矩估计量为 θˆ = 3 X 。
3 ，设总体 X ~ B(m, p ), 参数 m, p(0 < p < 1) 未知， X 1 , X 2 , L, X n 是来自 X
ˆ 不是整数 ， 的样本，求 m, p 的矩估计量（对于具体样本值，若求得的 m
ˆ 最接近的整数作为 m 的估计值） 则取与 m 。
n
1
7
4
9
解： （ 1）似然函数为 似然函数为
L( p) = Π (1 − p ) xi −1 p = (1 − p) i =1
i =1
n
[
]
∑ xi − n
p n ，相应的对数
ˆ= p
n
ww
∑x
i =1
w.
=
i
n
kh
1 。 x
2
令对数似然函数对 p 的一阶导数为零，得到 p 的最大似然估计值为
da
2
4， （ 1 ）设总体 X ~ π (λ ), λ > 0 未知， X 1 , X 2 , L, X n 是来自 X 的样本，
x1 , x 2 ,L, x n 是相应的样本值。 求 λ 的矩估计量， 求 λ 的最大似然估计值 。
面是 X 的一个样本：
ˆ=X。 解： （ 1）因为总体的数学期望为 λ ，所以矩估计量为 λ
后
ww
n
∑ xi
w.
求 λ 的最大似然估计值。
kh
6
4
9
6
10
11
da
6 3
w.
7 10
co
（2）元素碳-14 在半分钟内放射出到达计数器的粒子数 X ~ π (λ ) ，下
m
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第6章
参数估计习题解答
求 p 的最大似然估计值。 （2）一个运动员，投篮的命中率为 p(0 < p < 1, 未知) ，以 X 表示他投篮 直至投中为止所需的次数。他共投篮 5 次得到 X 的观察值为 5 求 p 的最大似然估计值。
⎧α + β = X ， ⎨ ⎩α − β = Y
（2）设某种小型计算机一星期中的故障次数 Y ~ π (λ ) ，设 Y1 , Y2 ,L, Yn 是来自总体 Y 的样本。①验证 Y 是 λ 的无偏估计量。②设一星期中故 障维修费用为 Z = 3Y + Y 2 ，求 E ( Z ) 。 （3）验证 U = 3Y +
n
m
布
∑ xi
i
2
n
律
为
课
x x P{ X = x} = C m p (1 − p) m − x , x = 0,1,2,L m
n
后
所以，似然函数为
xi xi × p i =1 × (1 − p ) L( p) = Π C m p xi (1 − p ) m − xi = Π C m i =1 i =1
1 9 ∑ X i 。令总体矩等于相应的样本矩：E ( X ) = X ， 9 i =1
答 案
X 1 , X 2 ,L , X n 是来自 X 的样本，求 θ 的矩估计量。
θ
网
⎧2 ⎪ (θ − x) 0 < x < θ 2，设总体 X 具有概率密度 f X ( x) = ⎨θ 2 ，参数 θ 未知， 其 他 ⎪ 0 ⎩
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后
6， （ 1 ）设总体 X ~ N ( µ , σ 2 ) ，参数 σ 2 已知， µ (−∞ < µ < ∞) 未知，
答 案
网
co
∑ ( xi − µ ) 2
2σ 2
解： （ 1）似然函数为 的对数似然函数为
n
1
m
(
2π σ
)
n
e
，相应
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第6章
参数估计习题解答
ln L( µ ) = − i =1
kh
da
ˆ = 1.69 。 把样本值代入得到 b 的矩估计值为 b
w.
ˆ = 2X 。 得到 b 的矩估计量为 b
co
m
第6章
参数估计习题解答
令总体矩等于相应的样本矩：
E ( X ) = X ， E ( X 2 ) = A2 =
ˆ = 1+ X − 得到 p 1 n 2 ∑ Xi n i =1
A2 (X ) ˆ = ，m 。 2 X X + ( X ) − A2
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第6章
参数估计习题解答
相应的对数似然函数为
ln L(α + β ) = − i =1
n
2 ∑(X i −α − β )
n
2σ 2
− ln 2π σ ，
(
)
n
ln L(α − β ) = − i =1
2 ∑ (Yi − α + β )
2σ
2
− ln 2π σ ，
(
)
n
令对数似然函数分别对 α + β 和 α − β 的一阶导数为零，得到
⎤ 1 ⎥= ⎥ ⎦ 2πσ 2
− i =1
∑ ( xi − µ ) 2
2σ 2
(
)
n 2
e
，相应的
ln L(σ 2 ) = − i =1
ˆ2 = σ
求参数 θ 的最大似然估计量和估计值。
⎧ x 2 −x /θ ⎪ e （2）总体 X 的概率密度函数为 f ( x) = ⎨ 2θ 3 ⎪ 0 ⎩