19.2.1正比例函数的图像公开课课件
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19.2.1正比例函数的图像公开课课件
(1)求m的取值范围
(2)当x1>x2时，比较 y1与y2的大小,并说明理由.
4.已知:正比例函数 ym 2x m 2 1
那么它的图像经过哪个象限？
5.已知正比例函数图像经过点（2，－
6），⑴求出此函数解析式；⑵若点M
（m，2）、N（ 3，n）在该函数图像上，求
m、n的值；⑶点E（－1，4）在这个图像上吗？试 说明理由；⑷若－2≤x≤5，则y的取值范围是什么； ⑸若点A在这个函数图像上，AB⊥y轴，垂足B的坐
∴比例系数k=8-2a<0
∴a>4 问： 如果正比例函数y=(8-2a)x,y的值随 x的值增大而减少，求a的取值范围。
a>4
例2.已知正比例函数y=(m+1)xm2 ，它的 图像经过第几象限？
解： ∵该函数是正比例函数
{ m10 m2=1
m1
m=±1，
m1
比例系数k=m+1=2>0
一、三象限,那么y = ax 的图像经
过 二、四象限.(源自)已知ab,0则函数哪些象限?
y的图b 像x 经过
a
二、四象限
3.下列图像哪个可能是函数y=-8x
的图像（ B）
AB C D
y
y 3x
yx
y 3x yx
y 1 x 3
1
01
y1x 3
x
补充性质：
当 |k| 越大时，图像越靠近y轴 当 |k| 相等时，图像关于坐标轴对称
1 3
1
03
4…
1
y=3 x
例1 画出下列正比例函数的图象 （2）y＝－1.5x
动动
手
… 3 1.5 0 -1.5 -3 …
(2)当x1>x2时，比较 y1与y2的大小,并说明理由.
4.已知:正比例函数 ym 2x m 2 1
那么它的图像经过哪个象限？
5.已知正比例函数图像经过点（2，－
6），⑴求出此函数解析式；⑵若点M
（m，2）、N（ 3，n）在该函数图像上，求
m、n的值；⑶点E（－1，4）在这个图像上吗？试 说明理由；⑷若－2≤x≤5，则y的取值范围是什么； ⑸若点A在这个函数图像上，AB⊥y轴，垂足B的坐
∴比例系数k=8-2a<0
∴a>4 问： 如果正比例函数y=(8-2a)x,y的值随 x的值增大而减少，求a的取值范围。
a>4
例2.已知正比例函数y=(m+1)xm2 ，它的 图像经过第几象限？
解： ∵该函数是正比例函数
{ m10 m2=1
m1
m=±1，
m1
比例系数k=m+1=2>0
一、三象限,那么y = ax 的图像经
过 二、四象限.(源自)已知ab,0则函数哪些象限?
y的图b 像x 经过
a
二、四象限
3.下列图像哪个可能是函数y=-8x
的图像（ B）
AB C D
y
y 3x
yx
y 3x yx
y 1 x 3
1
01
y1x 3
x
补充性质：
当 |k| 越大时，图像越靠近y轴 当 |k| 相等时，图像关于坐标轴对称
1 3
1
03
4…
1
y=3 x
例1 画出下列正比例函数的图象 （2）y＝－1.5x
动动
手
… 3 1.5 0 -1.5 -3 …
19.2.1 正比例函数(1)【课件】
19.2.1正比例函数（1）
张鑫 忻州师院附中数学教师
中小学一级教师 忻州市教学能手
情景引入
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km．设列 车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站 上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
行程y与运行时间t成正比例关系
情景引入
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km．设列 车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
（3）如果从函数的观点看，京沪高铁列车的行程 y （单位：km）是运行时间 t（单位：h）的函数吗？能写 出这个函数的解析式，并写出自变量的取值范围吗？
y=300t (0≤t≤4.4)
些是函数、常数和自变量．
函数解析式 函数 常数 自变量 这些这函些数函解数析解式都
l =2πr l 2π
r
是常析数式与有自什变么量的 乘积共的同形点式？！
m =7.8V m 7.8 V h = 0.5n h 0.5 n
函数=常数×自变量
T = -2t T -2 t y ＝ k x
一般地，形如 y=kx（k是常数，k≠0）
m 7.8V
活动二：问题再现
（3）每个练习本的厚度为0.5cm， 一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm）随练习本的本数n的
变化而变化．
h 0.5n
（4）冷冻一个0°C的物体，使它每
分钟下降2°C，物体温度T（单位：°C）
随冷冻时间t（单位：min）的变化而变
化．
T 2t
认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪
情景引入
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km．设列 车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
张鑫 忻州师院附中数学教师
中小学一级教师 忻州市教学能手
情景引入
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km．设列 车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站 上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
行程y与运行时间t成正比例关系
情景引入
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km．设列 车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
（3）如果从函数的观点看，京沪高铁列车的行程 y （单位：km）是运行时间 t（单位：h）的函数吗？能写 出这个函数的解析式，并写出自变量的取值范围吗？
y=300t (0≤t≤4.4)
些是函数、常数和自变量．
函数解析式 函数 常数 自变量 这些这函些数函解数析解式都
l =2πr l 2π
r
是常析数式与有自什变么量的 乘积共的同形点式？！
m =7.8V m 7.8 V h = 0.5n h 0.5 n
函数=常数×自变量
T = -2t T -2 t y ＝ k x
一般地，形如 y=kx（k是常数，k≠0）
m 7.8V
活动二：问题再现
（3）每个练习本的厚度为0.5cm， 一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm）随练习本的本数n的
变化而变化．
h 0.5n
（4）冷冻一个0°C的物体，使它每
分钟下降2°C，物体温度T（单位：°C）
随冷冻时间t（单位：min）的变化而变
化．
T 2t
认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪
情景引入
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km．设列 车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
19.2 .1 一次函数与正比例函数公开课课件
2π l =2πr 7.8 m=7.8v
h=0.5n 0.5 T= -2 -2t
这些函数关系有哪些共同的特征：
（1） （2） （3） （4）
l m h T
= = = =
2π 7.8 0.5 -2
r v n t
一般地，形如y=kx（k是常 数，k≠0）的函数，叫做正 比例函数，其中 k 叫做 比 例系数。
一、问题探索 学习新知 某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克， 弹簧长度为y增加0.5厘米。 （1）计算所挂物体质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、 5千克、……x千克 时弹簧的长度，并填入下表：
xÇ §¿ Ë /× Ã yÇ §¿ Ë /× Ã
0
3.5
1
3.5
3.某面包厂现年产值是15万元,计划从今年开始 每年增加产值2万元. (1)写出年产值y(万元)与年数x之间的函数表达 式; (2)求5年后的年产值.
解:(1)y=2x+15. (2)当x=5时,y=2×5+15=25, 即5年后的年产值为25万元.
小结：
本节课你有什么收获？
讨论：
请找出生活中其他的一 次函数的模型.
课堂小结
正比例函数
形如y=kx (k≠0）的函数
一次函数
形如y=kx+b(k,b是常数， k≠0）的函数
练一练
一、判断下列各函数是否是一次函数？
1 1 (1) y x, (2) y 3x 1 (3) y 5 x
(4) y x 2 x( x 1)
二、y=(k-1) x+ k 2 -1 是一个一次函数， 当k = 是一次函数，当k= 是正比例函数。
19.2.1正比例函数(第2课时)
数学
· 八年级(下)
19.2.1 正比例函数
第2课时
1.什么是正比例函数？请举几个实例。
一般地，形如 y=kx（k是常数， k≠0）的函数，叫做正比例函数 ， 其中k叫做比例系数．
2.画函数图象的一般步骤是什么？ 描点法：① 列表 ② 描点 ③ 连线
用描点法画正比例函数 y =2x 的图象 练习 在同一坐标系中用描点法画出正比例函数 1 y y = x 的图象． y=2x 3
y =k2 x y =k1 x
5. 函数y=－3x的图象过第二、四 象限,经过点
(0, 0 )与点(1,－3 ),y随x的增大而 减小 .
一、三 象限,经过点 6. 函数y= 3 x 的图象过第 2 3 (0, ０ )与点(1, 2 ),y随x的增大而 增大 .
7. 正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、 三象限， 则m的取值范围（ B ）
O
A
x
O C
练习
练习3 对于正比例函数y =kx，当x 增 大时，y 随x 的增大而增大，则k的取值范 围 （ C ）． A．k＜0 B．k≤0 C．k＞0 D．k≥0
练习
练习4 比较大小： （1）k1 ＜ k2；（2）k3 ＜ k4； （3）比较k1， k2， k3， k4大小，并用不等号连接． y y =k4 x 4 k1＜k2 ＜k3 ＜k4 y =k3 x 2 -4 -2 O -2 -4 2 4 x
观察
5 ４ ３ ２ １ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -2 -3 -4 -5
y
y=2x
1 2 3 4 5
x
y 2 x
比较上面两个函数的图象的相同点与不同点, 考虑两个函数的变化规律.
结论:两图象都是经过原点的 直线 ,函数 y 2 x
· 八年级(下)
19.2.1 正比例函数
第2课时
1.什么是正比例函数？请举几个实例。
一般地，形如 y=kx（k是常数， k≠0）的函数，叫做正比例函数 ， 其中k叫做比例系数．
2.画函数图象的一般步骤是什么？ 描点法：① 列表 ② 描点 ③ 连线
用描点法画正比例函数 y =2x 的图象 练习 在同一坐标系中用描点法画出正比例函数 1 y y = x 的图象． y=2x 3
y =k2 x y =k1 x
5. 函数y=－3x的图象过第二、四 象限,经过点
(0, 0 )与点(1,－3 ),y随x的增大而 减小 .
一、三 象限,经过点 6. 函数y= 3 x 的图象过第 2 3 (0, ０ )与点(1, 2 ),y随x的增大而 增大 .
7. 正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、 三象限， 则m的取值范围（ B ）
O
A
x
O C
练习
练习3 对于正比例函数y =kx，当x 增 大时，y 随x 的增大而增大，则k的取值范 围 （ C ）． A．k＜0 B．k≤0 C．k＞0 D．k≥0
练习
练习4 比较大小： （1）k1 ＜ k2；（2）k3 ＜ k4； （3）比较k1， k2， k3， k4大小，并用不等号连接． y y =k4 x 4 k1＜k2 ＜k3 ＜k4 y =k3 x 2 -4 -2 O -2 -4 2 4 x
观察
5 ４ ３ ２ １ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -2 -3 -4 -5
y
y=2x
1 2 3 4 5
x
y 2 x
比较上面两个函数的图象的相同点与不同点, 考虑两个函数的变化规律.
结论:两图象都是经过原点的 直线 ,函数 y 2 x
19.2.1正比例函数(课件)-2023—-2024学年人教版数学八年级下册
ℎ
2
7.9
0.5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
−2
= 7.9
ℎ = 0.5
= −2
这些函数
解析式有
什么共同
点？
常数与自变量的乘积的形式
函数=常数×自变量
=
·
①
②
一般地，形如 = (是常数， ≠ 0)的函数，叫做正比例函数，
③
其中叫做比例系数.
想一想，为什么 ≠ ?
=0·
=0
≠
正比例函数解析式的一般式：
(是常数， ≠ 0)
=
是自变量且它的指数是1
正比例函数解析式 = ( ≠ 0)的结构特征：
①是常数， ≠ 0
②自变量的指数是1，取值范围是一切实数;
③与是乘积的形式;
④若 = ,则与成正比例；
若与成正比例，则 = .
正比例函数（1）
问题1：下列问题中，变量之间的对应关系可用怎样的函数表示？
(1)圆的周长随半径的变化而变化？
r
l
=
（2）铁的密度是7.9g/3 , 铁块的质量m(单位：g)随它的体
积 (单位： 3 )的变化而变化.
= .
(3)每个练习本的厚度为0.5,一些练习本摞在一起的总厚
1.已知与 − 3成正比例，且当 = 2时， = −5.
(1)求与之间的函数关系式；
(2)当 = 3时， 的值；
2
(3)当 = 时， 的值.
3
2.自编一道正比例函数的题目与同学们交流.
老
师
赠
言
高斯（数学王子）说：“数学是科学之王”；
《正比例函数的图像和性质》 人教版 八年级下册 (示范课课件)
用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括 正比 例函数的图象特征及性质．
y =2x
6
4
y= 1 x
2
3
-5
O
-2
5
x
三.类比学习
当k＜0 时，正比例函数的图象特征及 性质又怎样呢？
请各小组画出函数y =-3x 和y =-1.5x 的 图象，进行小组合作研究．
总结提升
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过 原点的直线
函数 大致图象 经过的象限 从左 y随x的 向右 增大而
y=kx k＞0
第三、一象限 上升 增大
y=kx k＜0
第二、四象限 下降 减小
现在，我们有画正比例函数图象的简便 画法了吗？
四.正比例函数的性质
正比例函数的图象都是经过原点的一条直线 （1）当k>0时，函数y=kx的图象经过三、一象限
从左到右上升，即函数y随x的增大而增大 （2）当k<0时，函数y=kx的图象经过二、四象限，
点（0, 0 ）与点（ 1,-3 ）， y随x的增大 而 减小 。 3.下列图象哪个可能是函数y=-1.2x的图象（ B）
A
B
C
D
你一定行！
4.请用两点画出直线 y 4x 的图象。
5.若点 （-1，m）,(2,n)都在直线y=-4x上， 试比较m,n的大小
你一定行！
五、知识回顾 谈谈本节课你的收获。
六、分层作业
必做题：Ｐ１２０第一、二题。 选做题：若点 （-1，a）,(2,b)都在 直线y=kx上，试比较a,b的大小
课件说明
本课是在上一节课学习正比例函数概念的基础上，进 一步研究其图象及其性质．
学习目标： 1.会画正比例函数的图象； 2.能根据正比例函数的图象和表达式 y =k（k≠0）
y =2x
6
4
y= 1 x
2
3
-5
O
-2
5
x
三.类比学习
当k＜0 时，正比例函数的图象特征及 性质又怎样呢？
请各小组画出函数y =-3x 和y =-1.5x 的 图象，进行小组合作研究．
总结提升
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过 原点的直线
函数 大致图象 经过的象限 从左 y随x的 向右 增大而
y=kx k＞0
第三、一象限 上升 增大
y=kx k＜0
第二、四象限 下降 减小
现在，我们有画正比例函数图象的简便 画法了吗？
四.正比例函数的性质
正比例函数的图象都是经过原点的一条直线 （1）当k>0时，函数y=kx的图象经过三、一象限
从左到右上升，即函数y随x的增大而增大 （2）当k<0时，函数y=kx的图象经过二、四象限，
点（0, 0 ）与点（ 1,-3 ）， y随x的增大 而 减小 。 3.下列图象哪个可能是函数y=-1.2x的图象（ B）
A
B
C
D
你一定行！
4.请用两点画出直线 y 4x 的图象。
5.若点 （-1，m）,(2,n)都在直线y=-4x上， 试比较m,n的大小
你一定行！
五、知识回顾 谈谈本节课你的收获。
六、分层作业
必做题：Ｐ１２０第一、二题。 选做题：若点 （-1，a）,(2,b)都在 直线y=kx上，试比较a,b的大小
课件说明
本课是在上一节课学习正比例函数概念的基础上，进 一步研究其图象及其性质．
学习目标： 1.会画正比例函数的图象； 2.能根据正比例函数的图象和表达式 y =k（k≠0）
《正比例函数的图像和性质》 人教版 八年级下册 公开课课件
第二、四象限，求m的值。 m=2
随堂练习
5.函数y=－7x的图象在第 二、四 象限内,经过点(0, 与点(1,－7),y随x的增大而 减少 .
0
)
6.函数y=
3 2
x的图象在第
一、三 象限内,经过点
(0,
０
)与点(1,
3 2
),y随x的增大而 增大
.
7、正比例函数y=(k+1)x的图像中y随x 的增大而增
x
函数解析式 y=kx（K 0）
函数图象 过（0，0),（1 ，
的形状 k）的一条直线
y
函数 图象
的 位置
K>0 位于第三、一象
限 K<0 位于第二、四象
限
x
y 1 x 2
函数 性质
K>0 y随x的增大而增大 K<0 y随x的增大而减小
（三）夯实基础:
用你认为最简单的方法画出下列 函数的图象:
(1)y=1.5x
图象相 同吗?
-3
-4
?…
-5
观察
比较刚才两个函数的图象的相同点和 不同点,考虑两个函数的变化规律.
思考:经过原y5点和 (1,k)的直线是4 哪个
y=2x 发现:两个函数 图象都正是比经例过
函数的图象?3画正比 例函数的图象12 时,怎 -样5 -画4 -最3 -简2 单-1 ?为1什么2 ?3 4 5
2、正比例函数y=kx的图象的画法：
3、正比例函数的性质： 1）正比例函数图象是经过原点的一条直线； 2）当k>0时它的图象经过第一、三象限， y随x的增大而增大， 当k<0时它的图象经过第二、四象限， y随x的增大而减小。
(五）小结：
随堂练习
5.函数y=－7x的图象在第 二、四 象限内,经过点(0, 与点(1,－7),y随x的增大而 减少 .
0
)
6.函数y=
3 2
x的图象在第
一、三 象限内,经过点
(0,
０
)与点(1,
3 2
),y随x的增大而 增大
.
7、正比例函数y=(k+1)x的图像中y随x 的增大而增
x
函数解析式 y=kx（K 0）
函数图象 过（0，0),（1 ，
的形状 k）的一条直线
y
函数 图象
的 位置
K>0 位于第三、一象
限 K<0 位于第二、四象
限
x
y 1 x 2
函数 性质
K>0 y随x的增大而增大 K<0 y随x的增大而减小
（三）夯实基础:
用你认为最简单的方法画出下列 函数的图象:
(1)y=1.5x
图象相 同吗?
-3
-4
?…
-5
观察
比较刚才两个函数的图象的相同点和 不同点,考虑两个函数的变化规律.
思考:经过原y5点和 (1,k)的直线是4 哪个
y=2x 发现:两个函数 图象都正是比经例过
函数的图象?3画正比 例函数的图象12 时,怎 -样5 -画4 -最3 -简2 单-1 ?为1什么2 ?3 4 5
2、正比例函数y=kx的图象的画法：
3、正比例函数的性质： 1）正比例函数图象是经过原点的一条直线； 2）当k>0时它的图象经过第一、三象限， y随x的增大而增大， 当k<0时它的图象经过第二、四象限， y随x的增大而减小。
(五）小结：
人教版八年级下册 19.2.1 正比例函数 公开课一等奖优秀课件
T 2t
探究 （1）以上对应关系都是函数关系吗？其变量和常量分别是什么？ （1）L= 2πr 进一步指出谁是自变量，谁是函数？ （2）m=7.8V
（3）h= 0.5n （4）T= -2t
（2）认真观察自变量和常量运用什么运算符号连接起来的？这 些常量可以取哪些值？ 乘号、不为0的常数 （3）这4个函数表达式与问题1的函数表达式 y=300t有何共同特 征？请你用语言加以描述．
解： 1）满足正比例函数，而且图像经过点（5,4），将该点带入正比例函数，解得k值， k=0.8，所以满足题意的正比例函数是y=0.8x。 2）当x=8时，y=8*0.8=6.4
问题2：若y关于x-3成正比例函数，当x=4时，y=-4.试求出y与x的函数
关系式.
解：根据题意，题干满足的正比例函数为y=k（x-3 ） （ k ≠ 0 ），该函数 经过点（4，-4）带入方程的k=-3/4，所以正比例函数为y=-3/4（x-3）
难点： 正比例函数图象性质特点的掌握
问题
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列 车平均速度为300km/h.考虑以下问题：
1）乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站海虹 桥站，约需要多少小时（结果保留小数点后一位）？ t=s/v=1318/300≈4.4（h） 2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t （单位：h）之间有何数量关系？ t y 0 0 1 300 2 600 3 900 4 1200 4.4 1318
函数y=（ 1/3 ）x
x
…
…
-3
-2
-2
-2/3
-1
-1/3
0
0
11/32Fra bibliotek2/3
人教版八年级下册19.2.1正比例函数第2课时正比例函数的图象和性质课件
∴ y与∵x之当间x=函8时数，关y系=6式是∴：7yk==676 （∴x-1k ） 76
当x=4时，y=
6 7
×（4－1）= 18
7
当x=-3时，y=
6 7
×（-3－1）=
24 7
的图象？
y=-2x
y
2
y1x 2
5
4 -2小却更陡，说明
3 2 1
是k的绝对值越大， 函数图像越陡！
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3
-4
-5
练一练
1. 正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、三象限， 则m的取值范围是（ B ） A. m=1 B. m＞1 C. m＜1 D. m≥1
当k ＞0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升, 即随着x的增大y也增大;
当k ＜0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降， 即随着x的增大y反而减小. 我们称它为直线y=kx.
随堂练习 画出正比例函数 y 2x , y 1 x
的图象？
y
2
这两个正比例函 比较上面两个函数的图象的相同点与不同点,考虑
的图象从左向右下降，经过第二、四象限．
么影响？ ∴ y与x之间函数关系式是：y= （x-1）
当k＞0时,图象(除原点外)在一,三象限， 就是函数y= x 的图象
2 1
K代表一次函数的斜率即倾斜程度，k的值越大函数图像越陡！
则m的取值范围是（ ）
-5 -4 x增大时,y的值也增大；
-3 -2 -1 0
x
-1
-2
-3
-4
-5
y 2x
y y=2x
最新人教版初中八年级下册数学【第十九章一次函数 19.2.1 正比例函数】教学课件
回答
按道理来说，只要落在函数图象上的任意两点都能确定这条直线.但是为了便捷，我们一般选用原点 (0,0),另一个点可以选择在坐标系中容易标记的.
y1x 3
x …0 3… y …0 1…
y 6
5
4
3
y1x
2
3
1
–4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 –5 –6
1 2 3 4 5x
回答
自变量的取值范围一旦不是全体实数，那函数图象就不是整一条直线，我们就要根据自变量的取值范 围来确定函数图象了.
解：(1)因为函数图象经过一、三象限;
y
所以3a-6>0
解得 a>2
Ox
1.已知正比例函数y=(3a-6)x. (2)当a为何值时，该函数图象经过点(2,6);
解：(2) 函数图象经过点(2,6) 即当x=2时，y=6， 因此6=2(3a-6) 解得a=3
1.已知正比例函数y=(3a-6)x.
(3)图象上有两点(1,y1),(-2,y2),且y1<y2 ,求a的取值范围.
方法一：图象法
y
从图象观察可得，
y2
y随x的增大而减小
所以3a-6<0
1
-2
O
y1
解得 a<2
方法二：代数法 点(1,y1),(-2,y2)在函数图象上 所以y1=3a-6，y2=-2(3a-6)
x
又因为y1<y2 所以3a-6<-2(3a-6)
解得 a<2
2.一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm， 体积为ycm3. (1)求体积y与高x之间的函数关系式; (2)写出自变量x的取值范围; (3)画出函数的图象.
19.2.1 正比例函数（第2课时）课件2021—2022学年人教版数学八年级下册
；（2）y=-1.5x，y=-4x.
解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.
①列表如下：
x
…
3
2
1
0
1
2
3
…
y
…
6
4
2
0
2
4
6
…
探究新知
②描点；
y=2x
③连线.
同样可以画出
1
函数y=3 的图象.
y=
观察发现：
①这两个图象都是经过原点的 直线 ．而且
都经过第 一、三
象限；
作业
内容
必做题：练习册第2课时正比
例函数的性质基础达标
选做题：练习册第2课时正比
例函数的性质能力提升
解：k1＜k2 ＜0＜k3 ＜k4
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴.
x
O
y =k2 x
y =k1 x
课堂小结
图象：
经过原点的直线.
正比例函数的
图象及性质
性质：
当k>0时，图像经过第一、三象限，y的值随
着x值的增大而增大;
当k<0时，图像经过第二、四象限，y的值随
着x值的增大而减小.
课后作业
又∵y的值随着x值的增大而减小，
∴m<0，故m=－2
巩固练习
1.已知正比例函数y=(k+5)x.
k<-5
（1）若函数图象经过第二、四象限，则k的取值范围是_______.
解析：因为函数图象经过第二、四象限，所以k+5<0，解得k<-5.
=-8
（2）若函数图象经过点（3，-9），则k_____.
人教版八年级数学下册19.2.1正比例函数正比例函数的图象和性质课件
学习难点：会运用正比例函数的性质
练习 在同一坐标系中用描点法画 3、在k＞0 的情况下，图象是左低右高还是左高右低？当自变量x的值增大时，对应的函数值y怎样变化？
3、在k＞0 的情况下，图象是左低右高还是左高右低？当自变量x的值增大时，对应的函数值y怎样变化？
下列图像哪个可能是函数y=-8x的图像（ ）
19.2.1正比例函数（第2课时）
正比例函数的图象和性质
• 学习目标：会画正比例函数的图象，知道 和运用正比例函数的性质.
• 学习重点：正比例函数的图象和性质 • 学习难点：会运用正比例函数的性质
和运1用正.什比例函么数的是性质正. 比例函数？请你写出两个具体的正比
一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
我们把正比例函数y=kx的图象叫做直线y=kx；
例函数. 学习重点：正比例函数的图象和性质
1正比例函数（第2课时）
3、在k＞0 的情况下，图象是左低右高还是左高右低？当自变量x的值增大时，对应的函数值y怎样变化？
一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函 观察图像，思考以下问题：
下列图像哪个可能是函数y=-8x的图像（ ）
3.正比例函数研究过程中，你感受最深的是什么？
的增大而增大，则k的取值范围 （ ）．
A．k＜0
B．k≤0
C．k＞0
D．k≥0
3.下列图像哪个可能是函数y=-8x的图像（ ）
A
B
C
D
1.本节课，我们研究了什么，得到了哪些成果？ 2.正比例函数的图象及性质怎样？
1）正比例函数y=kx的图象是一条经过原点的直线；我们把正 比例函数y=kx的图象叫做直线y=kx； 2）当k>0时，它的图象从左向右上升，经过第一、三象限，y 随x的增大而增大； 3） 当k<0时，它的图象从左向右下降，经过第二、四象限，y 随x的增大而减小
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A.a>b>c
y ③
② ① x
B.c>b>a
C.b>a>c D.b>c>a
例1. 如果正比例函数y=(8-2a)x的图像 经过二、四象限，求a的取值范围。 解：∵该函数图像经过二、四象限
∴比例系数k=8-2a<0
∴a>4 问： 如果正比例函数y=(8-2a)x,y的值随 x的值增大而减少，求a的取值范围。
二、四象限
3.如果 y (1 m) x 是正比例函数,且y 随x的增大而减小,试求m的值
m 2 2
例3.在水管放水的过程中，放水的时 间x（分）与流出的水量y（立方米）是 两个变量，已知水管每分钟流出的水量 是0.2立方米，放水的过程持续10分钟， 写出y与x之间的函数解析式，并指出函 数的自变量取值范围，再画出函数的图 像
a>4
2 m 例2.已知正比例函数y=(m+1)x ，它的
图像经过第几象限？
解：
∵该函数是正比例函数
{ m2=1
m 1 0
m 1
m=±1，
m 1
根据正比例函数的性质，k>0可得
该图像经过一、三象限。
比例系数k=m+1=2>0
2.已知:正比例函数y= (2-k)x的图像 经过第二.四象限,则函数y=-kx的图 像经过哪些象限？
x … -3 -1 0
动动
…
手
y
… -1
1 3
0
1 1 3
2
4
…
1 y=3x
例1 画出下列正比例函数的图象 （2）y＝－1.5x
x y … -2 -1 0 1 2
动动
…
手
… 3
1.5 0 -1.5 -3
…
y=-1.5x
例1 画出下列正比例函数的图象 （2）y＝－4x
x y … -1 -0.5 0 0.5 1
标是（0，－12），求△ABO的面积.
本节总结
1、正比例函数y=kx的图象是经过（0，0）（1，k）的一条直线， 我们把正比例函数y=kx的图象叫做直线y=kx； 2、正比例函数y=kx的图象的画法； 3、正比例函数的性质： 1）图象都经过原点； 2）当k>0时，它的图象从左向右上升，经过第一、二象限，y随x 的增大而增大； 当k<0时，它的图象从左向右下降，经过第二、四象限，y随x 的增大而减少。 4、正比例函数y=kx在实际应用中、自变量、函数值受实际 条件的制约。
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1
y
O1
2 3 4
4 3 2 1
y
O1
2 3 4
-1
-2 -3 -4
x
-4
-3
-2
-1 -1 -2 -3 -4
x
正比例函数y kx(k 0)的性质：
(1) 当k>0时，直线 y=kx的图像经过一、三象限，从 左向右呈上升趋势,自变量x逐渐增大时，y的值也随着 逐渐增大。 (2) 当k<0时，直线y=kx的图像经过第二、四象限， 从左向右呈下降趋势, 自变量x逐渐增大时，y的值则 随着逐渐减小。
⑵求甲、乙两个函数解析式,并写出自变量的取值范围 ⑶当t= 4时，甲、乙两人行程相差多少？
s（千米） 15 10 甲 5 乙
0
j1
2
3
t（小时）
已知直线y=(a-2)x+a2-9经过 原点，且y随x的增大而增大， 求y与x的关系式.
经过原点 X=0且Y=0
1.已知正比例函数
y mx
m2
它的图像除原点外在二、四 象限内，求m值.
1 y 3x y x y x y 3
y=3x y=x
3
当k>0 时，它的图 像 经过第 一、三象 限,y随x的 增大而增大
1
o
1
3
x
什么时候正比例函数图像经过第二四象限？
y=-3x
y=-x
y
1 y 3x y x y x 3
1 y=- 3 x
o
1
x
当k<0 时，它的 图像经过 第二、四 像限,y随x 的增大而 减小
2 (3) y x y 随x的增大而减小 二、四象限 3
看谁反应快
填空 (1)正比例函数 y=kx(k≠0) 的图像是 一条直线 ，它一定经过点 (0，0) 和 (1，k).
(2)函数 y=4x 经过 一、三 增大 . y随x y x的增大而 的减小而减小
象限，
(3)如果函数 y= - ax 的图像经过 一、三象限,那么y = ax 的图像经 过 二、四象限 . b (4)已知ab 0 , 则函数y x 的图 a 像经过哪些象限?
y
k y= kx (k＞0)
y= kx (k＜0)
y
0 1
x
0
k
1
x
口答：看谁反应快
1.由正比例函数解析式（根据 k的正、负）， 2.由函数解析式，请你说出下列函数 来判断其函数图像分布在哪些象限 的变化情况
2 (1) y x 3
(2) y 2x
y 随x的增大而增大 一、三象限
y 随x的增大而增大 一、三象限
思考
通过以上学习，画正比例函数图象 有无简便的办法？
y
1 2
1 y x 2
1 y x 2
y
0 1
x
0
1 2
1x如何画正比例源自数的图像？因为正比例函数的图像是一条直线， 而两点确定一条直线
画正比例函数的图像时，只需描两 个点，然后过这两个点画一条直线
结论
正比例函数图象经过点(0,0)和点(1,k)
(1)求m的取值范围
(2)当x1>x2时，比较 y1与y2的大小,并说明理由.
4.已知:正比例函数 y m
2x
m2 1
那么它的图像经过哪个象限？
5.已知正比例函数图像经过点（2，－ 6），⑴求出此函数解析式；⑵若点M （m，2）、N（ 3，n）在该函数图像上，求
m、n的值；⑶点E（－1，4）在这个图像上吗？试 说明理由；⑷若－2≤x≤5，则y的取值范围是什么； ⑸若点A在这个函数图像上，AB⊥y轴，垂足B的坐
2、已知正比例函数y=(1+2m)x， 若y随x的增大而减小，则m的取值 范围是什么？
3. 若正比例函数图像又y=(3k-6)x的图像经过点A（x1,x2）和B（y1，y2）， 当x1 x2时 A.k>2
<
， y1>y2,则k的取值范围是 （
C.k=2 D.无法确定
）
B.k<2
B
4.正比例函数y=(3m-1)x的图像经过点A（x1,x2）和B（y1，y2），且该图 像经过第二、四象限.
二、四象限
3.下列图像哪个可能是函数y=-8x 的图像（ B ）
A
B
C
D
y
1
0
1
x
补充性质：
当 |k| 越大时，图像越靠近y轴 当 |k| 相等时，图像关于坐标轴对称
y
1
0
1
x
思考
如图,三个正比例函数的图 像分别对应的解析式是 ① y=ax② y=bx ③ y=cx, 则a、b、c的大小关系是 ( ) C
正比例函数的图象和性质
1.正比例函数的定义
一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函 数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
2.画函数图象的步骤
列表、描点、连线
例1 画出下列正比例函数的图象 （1）y＝2x；
x … -2 -1 0 1 2
动动
…
手
y
… -4
-2
0
2
y=2x
4
…
例1 画出下列正比例函数的图象 1 （1）y＝ 3 x
动动
…
手
… 4
2
0 -2
-4
…
y=-4x
y=2x
1 y=3 x
y=-1.5x
相同点：两图象都是经过原点的一条直线y=-4x
不同点：
1 函数y=2x、y= 3 x的图象经过第 一、三 象限，从左向右 呈上升趋势
函数y=-1.5x、y=-4x的图象经过第 二、四 象限.从左向右 呈下降趋势 ， 。
什么时候正比例函数图像经过第一三象限？
能力提高：
想一想：
点燃蜡烛，蜡烛长度按照与时间成正比变短，长 为21厘米的蜡烛，已知点燃6分钟后，蜡烛变短3.6 厘米，设蜡烛点燃x分钟后变短y厘米，求 (1）用x表示函y数的解析式； （2）自变量x的取值范围； (3) 此蜡烛几分钟燃烧完？
1.如图是甲、乙两人的行程函数图，根据图像回答：
⑴谁走得快？
y ③
② ① x
B.c>b>a
C.b>a>c D.b>c>a
例1. 如果正比例函数y=(8-2a)x的图像 经过二、四象限，求a的取值范围。 解：∵该函数图像经过二、四象限
∴比例系数k=8-2a<0
∴a>4 问： 如果正比例函数y=(8-2a)x,y的值随 x的值增大而减少，求a的取值范围。
二、四象限
3.如果 y (1 m) x 是正比例函数,且y 随x的增大而减小,试求m的值
m 2 2
例3.在水管放水的过程中，放水的时 间x（分）与流出的水量y（立方米）是 两个变量，已知水管每分钟流出的水量 是0.2立方米，放水的过程持续10分钟， 写出y与x之间的函数解析式，并指出函 数的自变量取值范围，再画出函数的图 像
a>4
2 m 例2.已知正比例函数y=(m+1)x ，它的
图像经过第几象限？
解：
∵该函数是正比例函数
{ m2=1
m 1 0
m 1
m=±1，
m 1
根据正比例函数的性质，k>0可得
该图像经过一、三象限。
比例系数k=m+1=2>0
2.已知:正比例函数y= (2-k)x的图像 经过第二.四象限,则函数y=-kx的图 像经过哪些象限？
x … -3 -1 0
动动
…
手
y
… -1
1 3
0
1 1 3
2
4
…
1 y=3x
例1 画出下列正比例函数的图象 （2）y＝－1.5x
x y … -2 -1 0 1 2
动动
…
手
… 3
1.5 0 -1.5 -3
…
y=-1.5x
例1 画出下列正比例函数的图象 （2）y＝－4x
x y … -1 -0.5 0 0.5 1
标是（0，－12），求△ABO的面积.
本节总结
1、正比例函数y=kx的图象是经过（0，0）（1，k）的一条直线， 我们把正比例函数y=kx的图象叫做直线y=kx； 2、正比例函数y=kx的图象的画法； 3、正比例函数的性质： 1）图象都经过原点； 2）当k>0时，它的图象从左向右上升，经过第一、二象限，y随x 的增大而增大； 当k<0时，它的图象从左向右下降，经过第二、四象限，y随x 的增大而减少。 4、正比例函数y=kx在实际应用中、自变量、函数值受实际 条件的制约。
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1
y
O1
2 3 4
4 3 2 1
y
O1
2 3 4
-1
-2 -3 -4
x
-4
-3
-2
-1 -1 -2 -3 -4
x
正比例函数y kx(k 0)的性质：
(1) 当k>0时，直线 y=kx的图像经过一、三象限，从 左向右呈上升趋势,自变量x逐渐增大时，y的值也随着 逐渐增大。 (2) 当k<0时，直线y=kx的图像经过第二、四象限， 从左向右呈下降趋势, 自变量x逐渐增大时，y的值则 随着逐渐减小。
⑵求甲、乙两个函数解析式,并写出自变量的取值范围 ⑶当t= 4时，甲、乙两人行程相差多少？
s（千米） 15 10 甲 5 乙
0
j1
2
3
t（小时）
已知直线y=(a-2)x+a2-9经过 原点，且y随x的增大而增大， 求y与x的关系式.
经过原点 X=0且Y=0
1.已知正比例函数
y mx
m2
它的图像除原点外在二、四 象限内，求m值.
1 y 3x y x y x y 3
y=3x y=x
3
当k>0 时，它的图 像 经过第 一、三象 限,y随x的 增大而增大
1
o
1
3
x
什么时候正比例函数图像经过第二四象限？
y=-3x
y=-x
y
1 y 3x y x y x 3
1 y=- 3 x
o
1
x
当k<0 时，它的 图像经过 第二、四 像限,y随x 的增大而 减小
2 (3) y x y 随x的增大而减小 二、四象限 3
看谁反应快
填空 (1)正比例函数 y=kx(k≠0) 的图像是 一条直线 ，它一定经过点 (0，0) 和 (1，k).
(2)函数 y=4x 经过 一、三 增大 . y随x y x的增大而 的减小而减小
象限，
(3)如果函数 y= - ax 的图像经过 一、三象限,那么y = ax 的图像经 过 二、四象限 . b (4)已知ab 0 , 则函数y x 的图 a 像经过哪些象限?
y
k y= kx (k＞0)
y= kx (k＜0)
y
0 1
x
0
k
1
x
口答：看谁反应快
1.由正比例函数解析式（根据 k的正、负）， 2.由函数解析式，请你说出下列函数 来判断其函数图像分布在哪些象限 的变化情况
2 (1) y x 3
(2) y 2x
y 随x的增大而增大 一、三象限
y 随x的增大而增大 一、三象限
思考
通过以上学习，画正比例函数图象 有无简便的办法？
y
1 2
1 y x 2
1 y x 2
y
0 1
x
0
1 2
1x如何画正比例源自数的图像？因为正比例函数的图像是一条直线， 而两点确定一条直线
画正比例函数的图像时，只需描两 个点，然后过这两个点画一条直线
结论
正比例函数图象经过点(0,0)和点(1,k)
(1)求m的取值范围
(2)当x1>x2时，比较 y1与y2的大小,并说明理由.
4.已知:正比例函数 y m
2x
m2 1
那么它的图像经过哪个象限？
5.已知正比例函数图像经过点（2，－ 6），⑴求出此函数解析式；⑵若点M （m，2）、N（ 3，n）在该函数图像上，求
m、n的值；⑶点E（－1，4）在这个图像上吗？试 说明理由；⑷若－2≤x≤5，则y的取值范围是什么； ⑸若点A在这个函数图像上，AB⊥y轴，垂足B的坐
2、已知正比例函数y=(1+2m)x， 若y随x的增大而减小，则m的取值 范围是什么？
3. 若正比例函数图像又y=(3k-6)x的图像经过点A（x1,x2）和B（y1，y2）， 当x1 x2时 A.k>2
<
， y1>y2,则k的取值范围是 （
C.k=2 D.无法确定
）
B.k<2
B
4.正比例函数y=(3m-1)x的图像经过点A（x1,x2）和B（y1，y2），且该图 像经过第二、四象限.
二、四象限
3.下列图像哪个可能是函数y=-8x 的图像（ B ）
A
B
C
D
y
1
0
1
x
补充性质：
当 |k| 越大时，图像越靠近y轴 当 |k| 相等时，图像关于坐标轴对称
y
1
0
1
x
思考
如图,三个正比例函数的图 像分别对应的解析式是 ① y=ax② y=bx ③ y=cx, 则a、b、c的大小关系是 ( ) C
正比例函数的图象和性质
1.正比例函数的定义
一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函 数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
2.画函数图象的步骤
列表、描点、连线
例1 画出下列正比例函数的图象 （1）y＝2x；
x … -2 -1 0 1 2
动动
…
手
y
… -4
-2
0
2
y=2x
4
…
例1 画出下列正比例函数的图象 1 （1）y＝ 3 x
动动
…
手
… 4
2
0 -2
-4
…
y=-4x
y=2x
1 y=3 x
y=-1.5x
相同点：两图象都是经过原点的一条直线y=-4x
不同点：
1 函数y=2x、y= 3 x的图象经过第 一、三 象限，从左向右 呈上升趋势
函数y=-1.5x、y=-4x的图象经过第 二、四 象限.从左向右 呈下降趋势 ， 。
什么时候正比例函数图像经过第一三象限？
能力提高：
想一想：
点燃蜡烛，蜡烛长度按照与时间成正比变短，长 为21厘米的蜡烛，已知点燃6分钟后，蜡烛变短3.6 厘米，设蜡烛点燃x分钟后变短y厘米，求 (1）用x表示函y数的解析式； （2）自变量x的取值范围； (3) 此蜡烛几分钟燃烧完？
1.如图是甲、乙两人的行程函数图，根据图像回答：
⑴谁走得快？