正比例函数优秀公开课教案(比赛课)
正比例函数公开课教案
14．2 一次函数§14．2．1 正比例函数教学目标１．认识正比例函数的意义．２．掌握正比例函数解析式特点．３．理解正比例函数图象性质及特点．４．能利用所学知识解决相关实际问题．教学重点１．理解正比例函数意义及解析式特点．２．掌握正比例函数图象的性质特点．３．能根据要求完成转化，解决问题．教学难点正比例函数图象性质特点的掌握．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．128天后人们在25600千米外的澳大利亚发现了它．１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？我们来共同分析：一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：25600÷（30×4+7）≈200（km）若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：y=200x（0≤x≤128）这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即y=200×45=9000（km）以上我们用y=200x对燕鸥在128天的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．Ⅱ．导入新课首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？并找出函数关系式中的常量和自变量。
１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．答：１．根据圆的周长公式可得：L=2πr ． ２．依据密度公式p=m V可得：m=7．8V ．３．据题意可知： h=0．5n ． ４．据题意可知：T=-2t ．我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x 的形式一样．一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional func-tion ），其中k 叫做比例系数． Ⅲ．例题讲练：判断下列哪些是正比例函数（1）x y 2= （2）2+=x y （3）3x y =（4）xy 3=（5）12+=x y （6）121+-=xy我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？ [活动一]画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．１．y=2x ２．y=-2x 结论：１．函数y=2x 中自变量x 可以是任意实数．列表表示几组对应值：画出图象如图（1）．２．y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：画出图象如图（2）．３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线．不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；•经过第二、四象限．尝试练习：在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．１．y=1x ２．y=-1x比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=12x•的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=-12x•的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当k>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，•我们可以称它为直线y=kx．[活动二]经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单？为什么？让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理．结论：经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）．因为两点可以确定一条直线．Ⅳ．随堂练习用你认为最简单的方法画出下列函数图象：１．y=32x ２．y=-3xⅤ．课时小结本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．Ⅵ．课后作业1、课本120页习题14．2─1、3题．2、《新课程标准同步练习》VII.活动与探究某函数具有下面的性质：１．它的图象是经过原点的一条直线．２．y随x增大反而减小．请你举出一个满足上述条件的函数，写出解析式，画出图象．解：函数解析式：y=-0．5x板书设计备课资料汽车由天津驶往相距120千米的北京，Ｓ（千米）表示汽车离开天津的距离，•t （小时）表示汽车行驶的时间．如图所示１．汽车用几小时可到达北京？速度是多少？ ２．汽车行驶１小时，离开天津有多远？３．当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？解法一：用图象解答：从图上可以看出4个小时可到达． 速度＝1204=30（千米／时）．行驶１小时离开天津约为30千米． 当汽车距北京20千米时汽车出发了约3．3个小时．解法二：用解析式来解答：由图象可知：Ｓ与t 是正比例关系，设S=kt ，当t=4时S=120 即120=k ×4 k=30 ∴S=30t ．当t=1时 S=30×1=30（千米）． 当S=100时 100=30t t=103（小时）．以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优特点．。
初中数学人教版八年级下册第四单元第2-1课《正比例函数》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
初中数学人教版八年级下册第四单元第2-1课《正比例函数》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
初中数学人教版八年级下册第四单元第2-1课《正比例函数》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1理解正比例函数的概念
2.经历用函数解析式表示函数关系的过程,进一步发展符号意识;经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程,发展数学抽象概括能力
2学情分析
学习本节课之前,学生已经学习了变量和函数等知识。
在描点法的学习中初步感受了通过描点法画出图象,并感知其增感性的过程,为本节课新知识的学习做好准备,所以本节课的学习问题不大。
3重点难点
重点:正比例函数的概念
难点:理解正比例函数的概念
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】情境导入
问题:2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km。
设列车的平均速度为300km/h.思考以下问题:(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站上海虹桥站,约需要多少小时(结果保留小数点后一位)?(2)京沪高铁列车的行程y(单位:km)与运行时间t(单位:h)之间有何数量关系?(3)京沪高铁列车从北京站出发2.5h后,是否已经经过了距始发站1100km的南京南站?
活动2【讲授】温故知新
下列问题中,变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是,请写出函数的解析式。
11.2.1正比例函数(优质课教案)
11.2.1 正比例函数（优质课教案）一、教学目标1.能够理解正比例函数的定义，并能够根据定义筛选出函数中的正比例关系；2.能够通过图像和表格的方式表示正比例函数；3.能够根据给定的数据和框图绘制出对应的正比例函数图像。
二、教学准备1.讲义、课本；2.黑板、白板、彩色笔；3.学生练习册。
三、教学过程1. 导入（5分钟）通过生活中实际例子引入正比例函数的概念，如物体运动的速度与时间的关系、购买图书的单价与数量的关系等，让学生感受到正比例函数在生活中的应用。
2. 概念讲解（10分钟）通过板书和讲解，对正比例函数进行概念的讲解，包括定义、表达方式等。
强调正比例函数中的常数比例关系，即函数的解析式为 y = kx，k为常数。
3. 示范练习（20分钟）通过一些例题的讲解和解答，让学生理解如何筛选出正比例函数，并能够找到解析式中的常数k。
要求学生用图像和表格的方式表示正比例函数，并指导学生如何绘制图像。
4. 学生练习（25分钟）让学生在练习册上练习相关的习题，要求学生使用正确的方法和步骤解答问题，并要求学生通过图表绘制出函数的图像。
5. 提问讨论（10分钟）选择一些典型的习题，提问学生如何判断是否为正比例函数，并让学生用自己的语言解释正比例函数的概念。
鼓励学生积极思考和提问，加深对正比例函数的理解。
6. 小结（5分钟）对本节课内容进行小结，强调正比例函数的定义、特点和表达方式，并鼓励学生进行课后的巩固练习。
四、教学反思本节课通过引入生活中的实际例子，让学生对正比例函数有了初步的了解。
通过示范练习和学生练习，让学生掌握了筛选正比例函数的方法和绘制函数图像的技巧。
在提问讨论环节，学生也积极参与，能够较好地运用所学知识进行解答和解释。
整节课教学进程流畅，学生表现活跃，达到了预期的教学目标。
但教学过程中，有些学生还未能真正理解正比例函数和图像的关系，可能需要更多的练习和巩固。
以后教学中需要更加注重巩固和拓展练习的安排，确保学生对知识点的掌握和应用。
正比例函数课教案及教学反思
教案名称：正比例函数优质课教案及教学反思课时安排：1课时教学目标：1. 知识与技能：理解正比例函数的定义，掌握正比例函数的性质和图象特征。
2. 过程与方法：通过实例分析，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和创新精神。
教学重点：正比例函数的定义和性质。
教学难点：正比例函数图象的特征。
教学准备：课件、黑板、粉笔、教学卡片。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的函数知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 通过生活中的实例，如速度与时间的关系，引出正比例函数的概念。
二、探究正比例函数的定义和性质（15分钟）1. 学生分组讨论，总结正比例函数的定义和性质。
2. 各组汇报讨论成果，教师点评并总结。
3. 利用多媒体展示正比例函数的图象，引导学生观察并总结图象特征。
三、实例分析与应用（10分钟）1. 出示一些实际问题，让学生运用正比例函数的知识解决。
2. 学生独立解答，教师巡回指导。
3. 学生汇报解题过程和结果，教师点评。
四、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结正比例函数的定义、性质和应用。
2. 学生分享学习收获，教师给予鼓励和评价。
五、作业布置（5分钟）1. 请学生完成课后练习，巩固正比例函数的知识。
2. 布置一些开放性题目，让学生运用所学知识解决实际问题。
教学反思：本节课通过实例引入正比例函数的概念，引导学生分组讨论，总结正比例函数的定义和性质。
在实例分析环节，学生能够运用所学知识解决实际问题，培养了学生的观察、分析和解决问题的能力。
整节课节奏紧凑，学生参与度高，教学目标基本达成。
但在教学过程中，也发现部分学生在理解正比例函数图象的特征时存在困难。
在今后的教学中，应加强对这部分学生的关注，通过更多的生活实例和练习题，帮助他们更好地理解和掌握正比例函数的知识。
也要注重培养学生的团队合作意识和创新精神，提高他们的数学素养。
《正比例函数》 word版 公开课一等奖教案
当我们在日常办公时,经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料.这些资料因为用的比拟少,所以在全网范围内,都不易被找到.您看到的资料,制作于2021年,是根据最|新版课本编辑而成.我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师,进行集体创作,将日常教学中的一些珍贵资料,融合以后进行再制作,形成了本套作品.本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验,经过创作、审核、优化、发布等环节,最|终形成了本作品.本作品为珍贵资源,如果您现在不用,请您收藏一下吧.因为下次再搜索到我的时机不多哦!正比例函数年级|八年级|课题正比例函数课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.认识正比例函数的意义 .2.掌握正比例函数解析式特点 .3.理解正比例函数图像性质及特点 .4.能利用所学知识解决相关实际问题 .过程方法1.体验数形之间联系 ,逐步学会利用数形结合思想分析解决有关问题 .2.体会解决问题的多样性 .开展实践能力与创新意识 .情感态度1.结合描点作图 ,培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯 .2.通过正比例函数的引入 ,使学生认识到数学与现实世|界密切相关 .同时渗透热爱自然和生活的教育 .教学重点正比例函数的概念教学难点正比例函数的特征教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情境引入用函数关系式表示以下问题中变量之间的关系 .1、正方形的边长为x ,周长为y ,写出y关于x的函数关系式 .2、电报收费标准是每个字元 ,电报费y (元 )与字数x(个 )之间的函数关系 .二、探究新知(一 )出示教材思考(1)圆的周长l随半径r的大小变化而变化；教师给出问题学生观察思考列关系式教师在学生答复后板书学生认真读题思考写体会函数概念的实际背景 ,反映数学与实际的关系通过大量问题 ,让学生对正比例(2)铁的密度为/cm 3,铁块的质量m (单位：g )随它的体积V (单位：cm 3)的大小变化而变化；(3)每个练习本厚 ,一些练习本摞在一起的总厚度h (单位：cm)随这些本的本数n 的变化而变化;(4)冷冻一个0℃的物体 ,使它每分下降2℃ ,物体温度T (单位：℃)随冷冻时间t (单位：分)的变化而变化；(二 )观察所列函数关系式 ,看看有何共同特点 ?y =4x y =0.1x l =2r m =7.8V h =0.5n T =－2t(三 )揭示正比例函数的概念一般地 ,形如y =kx (k 是常数 ,k ≠0 )的函数叫做正比例函数 ,其中k 叫做比例函数 .(四 )揭示正比例函数图象的特征(1 )我们知道了怎样用解析式表示正比例函数 ,能否用图象表示它呢 ?怎样在直角坐标系中画出正比例函数y =2x的图象 ?(2 )观察比拟两个函数的相同点与不同点和变化规律 .(3 )稳固练习 ,在同一坐标系中画y =21x 和y =－21x 图象 .(4 )填表两图象都经过______ ,两图象都是______ ,函数y =2X 和y =21x 的图象从左向右呈_________ ,经过第_______象限 ,函数y =－2x 和y =－21x 的图象从左向右呈_____,经过第_____象限 . (5 )从以上作图过程可发现正比例函数的图象有什么特征 . (6 )思考：正比例函数是过原点的一条直线 ,其变化规律是否与k 有关 . (7 )正比例函数的图象是一条直线 ,怎样画最|简单 ? 三、课堂训练 1、确定各题中的m 的值 . ①函数y = (m －3 )x 是正比例函数 ②函数y =2x m －1是正比例函数 . 2、正比例函数y =2 (m －2 )x 的图象经过一 ,三象限 ,求m 的取值范围 . 四、小结归纳 1、正比例函数的意义 . 2、正比例函数图像的性质 . 3、什么是两点法 . 五、作业设计 (一 )教材98页第1 ,2 出答案 ,并对六个关系式加以比照 .观察所列关系式 ,找它们的共同特点 ,并阐述 .教师引导点拨 ,可从函数自变量 ,常量之间的关系考虑 .学生尝试给正比例函数下定义 ,之后教师给出标准定义 .教师板演用描点法画y =2x 的图象 .注意： (1 )操作标准(2 )师生同画学生独立画y =－2x的图象 ,教师评价学生填表让学生根据讨论和填表两环节 .所得结果概括 ,归纳正比例函数图象特征 ,教师板书写出 . 教师注意： (1 )两点决定一条直线 (2 )取两点的方法 ,两点 (0 ,0 ) (1 ,k )学生分组讨论比拟 . 教师提示：从函数次数考虑 . 注意k ≠0即是正数或负数或整式 ,自变量x 的次数是1 ,自变量的取值为任意实数 .函数形式有初步的认识 .加深对正比例函数性质的理解 .稳固异同为分析正比例函数图象的性质作准备 .让学生自主探究学会总结规律 .稳固理解正比例函数的定义 .板 书 设 计(二 )补充 .1．以下函数关系中 ,是正比例函数的是 ( ) A ．圆的面积S 与它的半径r B ．正方形的周长l 与它的边长m C ．长方形的面积为定值 ,长a 与宽bD ．等腰三角形的顶角度数y 与底角度数x 2．以下函数中 ,是正比例函数的是 ( ) A ．23x y = B ．xy 3= C ．3x y = D ．131+=x y3．关于函数y =8x ,以下说法中错误的选项是 ( ) A ．图象一定经过点 (2 ,4 ) B ．图象一定不过 (0 , -2 )点 C ．图象一定经过第二、四象限 D ．函数值随自变量的增大而增大4．以下点中 ,不在直线y = -4x 上的点是 ( ) A ． (0,0 ) B ． ( -1,4 ) C ． (41 , -1 ) D ． (8,-2 )5．正比例函数x k y )1(2+=(k 为常数 ,且k ≠0)一定经过的两个象限是 ( )A ．一、三B ．二、四C ．一、四D ．二、三 6．正比例函数x k y )2(+= ,且y 随x 的增大而减小 ,那么k 的取值范围是 ( )A ．k >2B ．k > -2C ．k <2D ．k < -27．假设82)3( =m x m y 是正比例函数 ,那么m =_____. 8．假设12)2(-+=m x m y 是正比例函数 ,那么这个函数的解析式是________.9．假设正比例函数32)1( =a x a y 的图象经过点()5,22+ b ,求出a 、b 的值 ,并画出函数图象.教师组织学生回忆本节知识 . 师生交流 .课题 一次函数一、一次函数定义： 二、例1、 三、练习 举例图象教 学 反 思本课教学反思英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力.写作是综合性较强的语言运用形式, 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进.因此, 写作教案具有重要地位.然而, 当前的写作教案存在" 重结果轻过程〞的问题, 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上,无视了语言的输入.这个话题很容易引起学生的共鸣,比拟贴近生活,能激发学生的兴趣, 在教授知识的同时,应注意将本单元情感目标融入其中,即保持乐观积极的生活态度,同时要珍惜生活的点点滴滴.在教授语法时,应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心,因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句,一个清晰的脉络能为后续学习打下根底.此教案设计为一个课时,主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括,下一个课时那么对语法知识进行讲解.在此教案过程中,应注重培养学生的自学能力,通过辅导学生掌握一套科学的学习方法,才能使学生的学习积极性进一步提高.再者,培养学生的学习兴趣,增强教案效果,才能防止在以后的学习中产生两极分化.在教案中任然存在的问题是,学生在"说〞英语这个环节还有待提高,大局部学生都不愿意开口朗读课文,所以复述课文便尚有难度,对于这一局部学生的学习成绩的提高还有待研究.。
正比例函数优秀公开课教案(比赛课)
正比例函数优秀公开课教案(比赛课)删除明显有问题的段落和格式错误：一次函数第一课时正比例函数教学目标：知识与技能：初步理解正比例函数的概念。
能够根据所给条件写出简单的正比例函数表达式，并且能够判断两个变量是否构成正比例函数关系。
过程与方法：通过对实际问题的研究，体会建立函数模型的思想，以及体验从特殊到一般的辩证关系。
情感态度价值观：通过分析变量间的关系，发展学生的数学思维；通过正比例函数概念的引入，使学生进一步认识数学是来源于生活并用于生活，同时渗透热爱自然和生活的教育。
教学重点：正比例函数的概念及关系；会根据已知信息写出正比例函数的表达式。
教学难点：会根据已知信息写出正比例函数的表达式。
教具：PPT课件教学方法：尝试教学法教学过程：一、复旧知1、教师让学生回忆前面学过的函数的定义，并指名学生回答。
2、学生回忆小学学过的正比例关系。
我们在日常生活中，会去买东西，如果某人去买苹果，苹果4元钱一斤，下面我们看到这些数量与价格之间的关系。
数量/斤价格/元1 42 83 124 16教师引导学生得出价格与数量成正比例关系。
二、小组合作（观察与思考）XXX骑自行车去上学，行驶时间和路程之间的关系如下表：时间/分钟路程/公里1 0.22 0.43 0.64 0.81.5 0.32.5 0.53.5 0.74.5 0.91）XXX行驶的路程和时间成正比例吗？为什么？2）如果用t（分钟）表示时间，s（公里）表示路程，那么s与t之间的函数关系式具有什么特征？学生以小组为单位合作交流完成上题，并主动回答。
三、尝试练（开动脑筋）1）XXX每小时读20页书，若读书时间用字母t（小时）表示，读过的页数用字母m（页）表示，则用t表示m的函数表达式为m=20t。
2）小米去给学校运动会买奖品，每支铅笔0.5元，若购买铅笔的数量用n（支）表示，花钱总数用w（元）表示，则用n表示w的函数表达式为w=0.5n。
3）拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升。
初中八年级数学：正比例函数（优质课教案）
初中八年级数学：正比例函数（优质课教案）新修订初中阶段原创精品配套教材正比例函数(优质课教案)教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改Proportional function (quality lesson plan)教师：风老师风顺第二中学编订：FoonShion教育正比例函数(优质课教案)11．2．1正比例函数教案教学目标知识技能1、理解正比例函数的概念及正比例函数图象特征。
2、知道正比例函数图象是直线，会画正比例函数的图象；进一步熟悉作函数图象的主要步骤。
数学思考1、通过“燕鸥飞行路程问题”的探究和学习，体会函数模型的思想。
2、经历运用图形描述函数的过程，初步建立数形结合，体会函数的三种表示方法的相互转换。
经历探索正比例函数图象形状的过程，体验“列表、描点、连线”的内涵。
问题解决能从数学角度提出问题，运用y= kx中，x、y的关系等知识解决问题。
情感态度1、结合描点作图培养学生认真细心严谨的学习态度和学习习惯。
2、培养学生积极参与数学活动，勇于探究数学现象和规律，形成良好的质疑和独立思考的习惯。
教学重点探索正比例函数图形的形状，会画正比例函数图象教学难点正比例函数图象性质教学过程安排活动过程活动内容和目的活动1、问题引入通过“燕鸥飞行路程问题”建立数学模型，理解行程与时间的对应函数关系，为导出正比例函数做铺垫。
活动2、正比例函数概念的学习通过若具体实例，概括归纳出一类有共性的函数关系表达式，导入正比例函数概念。
活动3、画正比例函数的图象通过师生共同活动，学会运用描点法画出正比例函数图象活动4、正比例函数图象特征的探究通过对若干实例的观察分析、比较、概括归纳出正比例函数图象的特征。
活动5、小结、布置作业回顾和重现本节重点内容加深本节知识范围的理解，通过巩固性练习尝试运用本节知识解决问题。
教学过程设计问题与情境师生行为设计意图情境1、问题（1）你知道候鸟吗？它们在每年的迁徙中能飞多远？（2）燕鸥的飞行路程与时间之间有什么样的数量关系？教师用课件展示问题。
正比例函数教学设计一等奖
正比例函数教学设计一等奖教学设计：介绍正比例函数教学目标：1.学生能够理解正比例函数的概念；2.学生能够识别正比例函数的特点和图像；3.学生能够解决与正比例函数相关的实际问题；4.学生能够应用正比例函数进行数据分析和预测。
教学准备：1.教师准备教学PPT和教材相关内容；2.学生准备纸、铅笔和计算器。
教学步骤：一、导入（10分钟）1.教师出示一张PPT，上面写有“正比例函数”的字样，询问学生对正比例函数是否了解；2.学生提出自己对正比例函数的理解；3.教师就学生的回答进行点评和澄清，确保学生对正比例函数有一个基本的认识。
二、讲授正比例函数（30分钟）1. 教师向学生介绍正比例函数的定义和符号表示：若两个变量x和y满足y=kx（其中k为常数），则称y与x成正比例关系，此时函数y=kx称为正比例函数。
2.教师出示一些关于正比例函数的例子，要求学生用计算器计算相应的数值并写出(x,y)的对应关系；3.教师引导学生思考：正比例函数的特点是什么？让学生发表观点，并带领学生总结正比例函数的特点。
4.教师讲解正比例函数的图像，并画出标准的正比例函数图像（直线通过原点）；5.学生根据所给的两个点，绘制相应的正比例函数图像。
三、实例解析（30分钟）1.教师向学生展示一些实际问题，并解释如何应用正比例函数进行求解；2.学生在教师的指导下，用正比例函数解决实际问题，比如：购买水果的问题、货币兑换的问题等；3.学生进行小组讨论，互相交流并总结出解决实际问题时的一般步骤。
四、练习与巩固（30分钟）1.学生在教师的指导下，进行一些练习题的解答，巩固对正比例函数的理解和应用；2.学生互相交流答案，并向教师提问，教师进行点评；3.教师出示一些掌握正比例函数的技巧和技巧，让学生积极思考并复习。
五、拓展和总结（10分钟）1.教师展示一些拓展题目，引导学生对正比例函数的思考；2.学生学习反比例函数的基本概念，并与正比例函数进行比较；3.教师总结本课的内容，并向学生展示上课所带来的收获。
正比例函数公开课教案
第十四章一次函数14.2.1正比例函数教学目标：知识与技能：①通过对不同背景下函数模型(关系式)的比较,接受正比例函数的概念.②在用描点法画正比例函数图象的过程中发现正比例函数的性质.③利用发现的性质简便地画出正比例函数的图象.过程与方法：①经历思考，探究过程、培养总结归纳的能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。
②体验数形之间的联系，逐步学会利用数学结合思想分析解决问题。
情感态度价值观：①积极参与数学好活动，对其产生好奇心和求知欲。
②形成合作交流、独立思考的学习习惯。
教学重点与难点：重点: 理解正比例函数的概念、图象与性质.难点：体验研究函数的一般思路与方法。
教学方法：探究-交流、归纳-总结教学准备：教师准备：作图工具、小黑板.学生准备：作图工具、纸若干张.教学过程：（一）：提出问题，创设情境一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环，大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它。
请问：（1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？（2）这只燕鸥的行程Y（单位：千米）与飞行时间X（单位：天）之间有什么关系？（3）这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？（小黑板）注:问题的解决可由一位学生回答,其他学生补充进行.说明：以上我们用函数y=200x对燕鸥的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.注:此问题源于真实背景,难度又不大,在使全体学生进入学习状态的同时,也进一步体会到函数是反映现实世界的一种数学模型.（二）导入新课（1）概念的引出此类模型在生活中广泛存在.出示教科书P.111的问题：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?这些函数有什么共同点?注:在变化的背景中寻找不变之处,经历对一类对象共同本质特征的抽象过程,促进概念的形成.小组可以讨论，合作交流探究问题。
通过讨论、归纳形成共识,教师引导给出正比例函数的概念.我们观察发现这些函数关系式L=2 R、m=7.8r、h=0.5n、T=-2t,这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和一般地,形如y=kx(k k叫做比例系数.注:这里不补充正反例的比较来进行概念的辨析这部分内容放入下一节.上述问题中各正比例函数的比例系数分别是什么注:认识的扩大.请学生列举日常生活中的正比例函数模型？例如：①某本书的单价不变，销售额随着售出图书的数量的变化而变化。
正比例函数优秀公开课教案(比赛课)
正比例函数教案（教学设计）一、概述1．《正比例函数》是人教新版课标初中八年级上册第十四章第二节；2.本节课所需课时为一课时，45分钟；3.正比例函数是建立在上一节《变量与函数》的基础认识上进一步学习的内容；是函数概念及其表达形式中第一个具体的函数，在中学阶段数学学习中具有重要地位。
正比例函数是《一次函数》章节的开篇，且是特殊的一次函数，为下一步学好“一次函数的性质”奠定基础。
因此，具有承上启下的作用。
4．函数思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，体现了数学的建模思想和数形结合思想，对于初次接触到正比例函数的学生而言，理解函数的意义是个难点。
二、教学目标依据以上分析，制定如下三维目标：1.知识与技能目标（1）能理解正比例函数概念；（2）识别正比例函数，能根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系，能根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数；（3）在认识正比例函数图像的基础上，掌握正比例函数图像及其简单性质。
2.过程与方法目标（1）经历正比例函数概念的探究过程，在探究中学会观察归纳正比例函数的概念，培养观察能力以及语言表达能力；（2）通过正比例函数性质的探究过程，比较不同的函数图像，找出函数变化的规律，培养识图能力，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的数学思想；（3）通过现实生活中的具体事例引入正比例关系，通过画图像的操作实践，体验“描点法”。
3.情感态度与价值观（1）在正比例函数概念及其性质的探究过程中，培养学生勇于探索的良好学习习惯，使学生形成主动探究的意识，感受数学的严谨性和数学结论的确定性。
（2）在合作与交流活动中发展学生的合作意识和团队精神；在数学学习活动中形成自主、自信、健康的心理；在探究活动中体验探索的乐趣，获得成功的体验。
三、教学重点、难点1.重点：理解正比例和正比例函数的意义；2.难点：判定两个变量之间是否存在正比例的关系，及通过探索正比例函数图像的变化规律得出正比例函数性质。
14正比例函数(公开课教案)
14.2.1 正比例函数学习目标：知识与技能：使学生理解正比例函数的概念，会用描点法画正比例函数图象，掌握正比例函数的性质．过程与方法：培养学生数学建模的能力．情感态度与价值观：实例引入，激发学生学习数学的兴趣．教过程学一、问题探究1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它．(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？(2) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？(3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？解：(1) 25 600÷128 = 200（km）．(2) y=200x （0≤x≤128）．(3) 当x=45时，y = 200×45=9 000（km）．强调注意自变量的取值范围．二、讨论与思考下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？（1）圆的周长l 随半径r的大小变化而变化；（l = 2πr）（2）铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的大小变化而变化；（m = 7.8V）（3）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；（h=0.5 n）（4）冷冻一个0℃物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化．（T = －2t）观察与发现认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数这些函数有什么共同点？发现：它们都是常数与自变量的乘积的形式．一般地，形如y=kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．三、做一做指出下列函数是否是正比例函数？比例系数是多少？(1)3y x = 是，比例系数k=3；2(2)y x= 不是； (3)2x y = 是，比例系数k=12；（4）S = πr 2 不是r 的正比例函数．例1 画出下列正比例函数的图象：请你画出正比例函数y=2x 的图象．请你画出正比例函数y =－2x 的图象．归纳观察 比较两个函数的相同点与不同点．两图象都是经过原点的 ．函数y =2x 的图象从左向右 ，经过第 象限；函数y =－2x 的图象从左向右 ，经过第 象限．2y x =练习： 在同一坐标系中，画出 和 的函数图象，并说出它们的异同．一般地，正比例函数 y=kx (k 是常数，k ≠0 )的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx .当k >0时，直线y=kx 经过第三、一象限，从左向右上升，即函数值y 随x 的增大而增大；当k <0时，直线y=kx 经过第二、四象限，从左向右下降，即函数值y 随x 的增大而减小．四、巩固与检测1、经过原点与点（1，k ）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？2、经过原点与点（1，k ）的直线是正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象，由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点（0，0），点（1，k ），两点连线即可．3、已知某种小汽车的耗油量是每100 km 耗油15升．所使用的90#汽油今日涨价到5元/升．（1）写出汽车行驶途中所耗油费 y （元）与行程 x （km ）之间的函数关系式；（2）在平面直角坐标系内描出大致的函数关系图；（3）计算娄底到长沙220 km 所需油费是多少？12y x =12y x =-。
初中八年级数学教案-正比例函数(全国一等奖)
《正比例函数（第一课时）》教学设计一、内容和内容分析1.内容正比例函数的概念2.内容分析一次函数是最基本的初等函数，是初中函数学习的重要内容，正比例函数是特殊的一次函数，也是初中学生接触到的第一种函数，这节课要通过对正比例函数的学习，为后面类比学习一般的一次函数打好基础，了解研究函数的基本思路和方法，积累研究一般一次函数乃至其他各种函数的基本经验。
对正比例函数概念的学习，既要借助具体的函数进一步加深对函数概念的理解，即实际问题的两个变量中，当一个变量变化时，另一个变量随着它的变化而变化，而且对于这个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一的值与之对应，这是正比例函数的核心；也要加强对正比例函数基本特征的认识，即根据实际问题构建的函数模型中，函数和自变量每一对对应值的比值是一定的，等于比例系数，反应在函数解析式上，这些函数都是常数与自变量的积的形式，这是正比例函数的基本特征。
本节课主要通过对生活中大量实际问题的分析，写出变量间的函数关系式，观察比较概括出这些函数关系式具有的共同特征，根据共同特征抽象出正比例函数的基本模型，归纳得出正比例函数的概念，再用正比例函数的概念对具体函数进行辨析，对实际事例进行分析，根据已知条件写出正比例函数的解析式。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：正比例函数的概念。
二、目标和目标解析1.教学目标（1）经历正比例函数概念的形成，理解正比例函数的概念；（2）能根据已知条件确定正比例函数的解析式，体会函数的建模思想。
2.目标分析达成目标（1）的标志是：通过对实际问题的分析，知道自变量和函数成正比例的特征，能概括抽象出正比例函数的概念。
达成目标（2）的标志是：能根据实际问题中的已知条件确定变量间的正比例函数关系式，将实际问题抽象为函数模型，体会函数建模思想。
三、教学问题预计与分析正比例函数是初中学生接触到的第一种初等函数，由于函数概念比较抽象，学生对函数基本概念理解未必深刻，在对实际问题进行分析过程中，需进一步强化对函数概念的理解：即实际问题的两个变量中，当一个变量变化时，另一个变量随着它的变化而变化，而且对于这个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一的值与之对应；对正比例函数概念的理解关键是对正比例函数基本特征的认识，要通过大量实例分析，写出变量之间的函数关系式，观察比较发现这些函数具有的共同特征，即函数与自变量的每一对对应值的比值一定，都等于自变量前的常数，这些函数都是常数与自变量的积的形式，再根据共同特征抽象出正比例函数的基本模型，归纳得出正比例函数的概念。
《正比例》教学设计-优质课公开课一等奖
《正比例》教学设计教学设计思考和提出的问题：思考1：如何在概念建立的过程中培养学生的数感？思考2：如何有效设计教学活动使学生经历从具体到抽象，从特殊到一般的概念知识形成过程？一、教材分析教材在北师大版六年级上册安排了比的意义、比的化简与比的应用等内容，让学生体会了生活中存在的变量之间的关系。
由于正比例关系是数学中比较重要的一种数量关系，为此六年级下册第四单元《正比例和反比例》第一课时安排了“变化的量”，密切联系学生已有的生活经验和学习经验，设计系列情景，让学生体会生活中存在着大量相关联的量；第二课时“正比例”则是研究相关联的量之间的关系有共同之处，从而引发学生的讨论与思考，并通过具体的讨论使学生认识成正比例的量以及正比例在生活中的广泛存在，教材从不同的角度（实际生活、图形）提供有利于学生探索并理解正比例意义的情景。
本课是学习第一课时的内容。
二、学情分析上一节课学生通过学习已知生活中存在着大量互相依赖的变化的量，认识了相关联的变量及变量之间相互依存的变化关系，知道两个变量间的变化关系可以用表格、图像来表示，这些都为学生学习正比例、反比例提供了丰富的知识背景。
小学阶段学生通过表格中具体的数据比较容易判断两个量是否成正比例，离开具体数据判断两个量是否成正比例则比较困难。
三、学习目标1.会用数学的眼光观察现实世界结合“正方形的周长与边长，正方形的面积与边长，路程、时间、与速度”两个情境，观察并分析数据，经历正比例的构建过程，能从变化中看到“不变”，认识正比例。
2.会用数学的思维思考现实世界通过任务驱动、小组谈论等方式，在具体情境思考具体问题，认识成正比例的量，初步感受生活中存在很多成正比例的量，并能正确判断成正比例的量。
3.会用数学的语言表达现实世界经历比较、分析、归纳等数学活动，提高分析、归纳概括能力，会用数学的语言表达规律，初步体会函数思想。
四、教学重难点重点：正比例的学习探索过程，能初步运用正比例的意义，会运用正比例的知识去判断两个两是否是正比例。
人教版八年级数学下册《正比例函数》比赛教学设计
人教版八年级数学下册《正比例函数》比赛教学设计一. 教材分析人教版八年级数学下册《正比例函数》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握正比例函数的定义、性质和图象。
通过本节课的学习，学生能够理解正比例函数的概念，会求正比例函数的值域和解析式，并能运用正比例函数解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了函数的基本概念，对函数有一定的认识。
但正比例函数的概念和性质较为抽象，需要通过具体的实例和探究活动让学生深入理解。
此外，学生对于实际问题的解决能力还需加强。
三. 教学目标1.知识与技能目标：理解正比例函数的概念，掌握正比例函数的性质和图象，会求正比例函数的值域和解析式。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生的探究能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队意识和合作精神。
四. 教学重难点1.重点：正比例函数的概念、性质和图象。
2.难点：正比例函数的实际应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入正比例函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习法：引导学生自主探究正比例函数的性质，培养学生的自主学习能力。
3.合作交流法：学生进行小组讨论，分享学习心得，提高学生的团队协作能力。
4.实践操作法：让学生动手绘制正比例函数的图象，加深对正比例函数的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.教学素材：准备相关的实例和练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：准备黑板、粉笔、直尺等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入正比例函数的概念，如“速度与时间的关系”，引导学生思考正比例函数的特点。
2.呈现（10分钟）讲解正比例函数的定义，通过PPT展示正比例函数的图象，让学生直观地感受正比例函数的性质。
3.操练（10分钟）让学生自主探究正比例函数的性质，小组内讨论交流，分享学习心得。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生运用所学知识解决问题。
正比例函数(优质课教案)
正比例函数（优质课教案）一、教学目标•理解正比例函数的概念和性质；•掌握绘制正比例函数的方法；•能够解决与正比例函数有关的实际问题。
二、知识点概述正比例函数是数学中的一种特殊函数，它的特点是变量之间存在着“成比例”的关系。
正比例函数在实际生活中有着广泛的应用，如物体的速度与时间的关系、花费与购买数量的关系等。
学生在初次接触正比例函数时，往往会产生一些困惑。
因此，本节课将通过具体的案例引入正比例函数的概念，以达到让学生全面、准确地理解正比例函数的目的。
三、教学过程1. 导入引入首先，通过一个实际生活中的例子引入正比例函数的概念。
如：假设小明骑自行车到学校的路程是30公里，他分别以10公里/小时和15公里/小时的速度骑行。
请问他分别需要多少时间才能到达学校？通过这个例子，引导学生思考速度和时间之间的关系，进而引出正比例函数的概念。
2. 了解正比例函数的定义和性质对正比例函数的定义和性质进行简要介绍。
如：正比例函数是指变量之间存在着“成比例”的关系。
如果两个变量 x 和 y 的比值始终保持不变，我们可以称它们之间存在正比例关系。
正比例函数的表示形式为 y = kx，其中 k 是常数。
正比例函数有以下性质：•函数图像经过原点；•函数图像是经过原点的直线；•随着 x 的增加，y 也会相应地增加。
3. 绘制正比例函数的图像通过一个绘制正比例函数的图像实例，让学生进一步理解正比例函数的特点和性质。
如：给定一个正比例函数 y = 2x，我们可以通过选取一些点（如 (1, 2)、(2, 4)、(3, 6) 等）并将它们连接起来，得到函数的图像。
请学生跟随教师一起进行实际绘制，让他们直观地感受正比例函数的图像形态。
4. 解决实际问题通过几个具体的实际问题，让学生应用所学的正比例函数知识解决问题。
如：•问题一：某餐厅的每小时能服务30桌客人，如果餐厅准备了300桌餐具，需要多少时间才能用完？•问题二：某班级有30名学生，班长将代表信发给每位同学，如果每份信需要2分钟发完，班长需要多长时间才能完成任务？请学生尝试独立解决这些问题，并将解决过程写成算式，最终求得答案。
正比例函数的概念课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
不是正百分比函
是正百分比函数，正百分比系
数
数为2
第8页
01 例1
已知函数 y=(m-1) 是正百分比函数，求m
xm2
值. 解：∵函数 y (m 1)xm2 是正百分比函
数，
∴ m-1≠0， 即 m≠1，
m2=1，
m=±1，
∴ m=-1.
第9页
01 例2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若y关于x成正百分比函数，当x=1时，y=-2.
第17页
02 随堂训练
4.已知y-3与x成正百分比，而且x=4时，y=7，求 y与x之间函数关系式. 解：依题意，设y-3与x之间函数关系式为y-3=kx. ∵x=4时，y=7，∴7-3=4k，解得k=1. ∴y-3=x，即y=x+3.
第18页
课后回顾
y=kx（k≠0）
1.设
正百分比 函数概念
求正百分比函数解析式
2.代 3.求
4.写 利用正百分比函数处
理简单实际问题
第19页
谢谢观看！
第20页
（1）求出y与x解析式；
（2）当x=9时，求出对应函数值y.
待定系数法
解：（1）设该正百分比函数解析式为y=kx. 把x=1,y=-2代入，得-2=k ， 解得k=-2.
设 代
所以y与x解析式即是正百分比函数：y=-2x.
求
（2）把x=9代入解析式得：y=-2×9=-18.
写
第10页
01 例3
已知某种小汽车耗油量是每100 km耗油15L．所使用汽油为5元/ L ． （1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程 x（km）之间函数关系 式，并指出y是x什么函数；
h=0.5n
人教版八年级数学下册《正比例函数》比赛说课稿
人教版八年级数学下册《正比例函数》比赛说课稿一. 教材分析《正比例函数》是人教版八年级数学下册的一章内容。
这一章节主要介绍了正比例函数的定义、性质和图象。
通过学习正比例函数，学生能够理解变量之间的正比例关系，掌握正比例函数的图象特征，并能运用正比例函数解决实际问题。
在教材中，首先介绍了正比例函数的定义，即两个变量之间的比值保持不变的关系。
接着，教材引导学生通过实例来探究正比例函数的性质，包括函数值的变化规律和图象的特征。
最后，教材提供了大量的练习题，帮助学生巩固所学的知识，并能够将正比例函数应用到解决实际问题中。
二. 学情分析在八年级的学生中，他们已经学习了函数的基本概念和图象，对函数有一定的理解。
但是，对于正比例函数的深入理解和图象的特征，他们可能还不够清晰。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例来感受正比例函数的特点，并通过图象来加深对正比例函数的理解。
同时，八年级的学生在学习过程中，需要教师的引导和激励，才能够积极地参与到学习中来。
因此，在教学过程中，需要设计一些有趣的活动和实例，激发学生的学习兴趣，并引导他们主动探索和发现正比例函数的性质。
三. 说教学目标通过学习正比例函数，学生能够理解正比例函数的定义和性质，能够绘制正比例函数的图象，并能够运用正比例函数解决实际问题。
具体的教学目标包括：1.能够准确地描述正比例函数的定义，并能够找出实际问题中的正比例关系。
2.能够理解正比例函数的性质，包括函数值的变化规律和图象的特征。
3.能够运用正比例函数解决实际问题，并能用数学语言进行表达和解释。
四. 说教学重难点教学重点：正比例函数的定义和性质，正比例函数图象的特征。
教学难点：正比例函数的性质的深入理解，正比例函数图象的特征的把握。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例来感受正比例函数的特点，并通过图象来加深对正比例函数的理解。
同时，我会运用多媒体手段，如PPT和几何画板，来展示正比例函数的图象和性质，帮助学生更好地理解和把握正比例函数的特点。
正比例函数教学设计一等奖
正比例函数教学设计一等奖教学设计主题：正比例函数的概念与解析式教学目标：1.理解正比例函数的概念；2.掌握正比例函数的解析式及其性质；3.能够应用正比例函数解决实际问题。
教学重点：1.正比例函数的定义；2.正比例函数的解析式；3.正比例函数的应用。
教学难点：1.正比例函数的应用；2.实际问题转化为正比例函数的解析式。
教学准备：1.教学课件；2.白板和白板笔；3.学生练习册；4.彩色笔或标记笔。
教学过程：一、导入新课（10分钟）1.引入正比例函数的概念：同学们，上节课我们学习了线性函数，你们还记得线性函数的特点是什么吗？今天，我们要学习另外一种函数，正比例函数，它和线性函数有什么不同呢？2.引导学生回顾线性函数的概念和解析式，并与正比例函数进行比较，引出正比例函数的特点。
二、讲解正比例函数的定义和解析式（20分钟）1.利用教学课件，展示正比例函数的定义和解析式，并解释概念与形式；2.通过例题或实例，引导学生理解正比例函数的特点，及其与线性函数的区别。
三、实例练习（20分钟）1.分发练习册，让学生尝试解答一些基础的正比例函数题目；2.强调解题思路和步骤，鼓励学生自主解答，并辅助答疑。
四、应用拓展（20分钟）1.引导学生用正比例函数解决实际问题，如速度时间图、物品价格等问题；2.分组讨论并展示解决方案，鼓励学生思考其它应用场景。
五、总结归纳（10分钟）1.要求学生总结今天所学的正比例函数的定义、解析式和应用；2.检查学生的理解水平，解答可能存在的问题。
教学延伸：1.推广正比例函数的应用，如图形的相似性质等；2.引导学生发展自主学习的能力，培养解决数学问题的思维方法。
以上教学设计旨在通过理论和实际的结合，让学生掌握正比例函数的概念、解析式及其应用。
通过实例练习和应用拓展，培养学生的问题解决能力和数学思维。
教学过程中，教师应注意互动教学，激发学生的学习兴趣和积极性。
正比例函数 公开课获奖教案
19．2 一次函数19.2.1 正比例函数1．理解正比例函数的概念，并掌握正比例函数图象和性质；(重点) 2．运用正比例函数解决简单的问题．(难点) 一、情境导入 鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它．(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？(2)这只燕鸥飞行一个半月(一个月按30天计算)的行程大约是多少千米？(3)这只燕鸥的行程y (单位：千米)与飞行时间x (单位：天)之间有什么关系？二、合作探究 探究点一：正比例函数 【类型一】 辨别正比例函数下列式子中，表示y 是x 的正比例函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x ＋2 C ．y ＝x 2 D ．y＝2x 解析：选项A ，y ＝2x ，自变量次数不为1，错误；选项B ，y ＝x ＋2，是和的形式，错误；选项C ，y ＝x 2，自变量次数不为1，错误；选项D ，y ＝2x ，符合正比例函数的含义，正确．故选D.方法总结：正比例函数y ＝kx 成立的条件是：k 为常数且k ≠0，自变量次数为1.【类型二】 确定正比例函数中字母的值若函数y ＝(m －3)x |m |－2是正比例函数，则m 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．不能确定 解析：由题意得|m |－2＝1，且m －3≠0，解得m ＝－3.故选B. 方法总结：正比例函数自变量的指数为1，系数不能为0.探究点二：正比例函数的图象和性质【类型一】 正比例函数的图象在下列各图象中，表示函数y ＝－kx (k ＜0)的图象的是()解析：∵k ＜0，∴－k ＞0，∴函数y ＝－kx (k ＜0)的值随自变量x 的增大而增大，且函数为正比例函数．故选C.方法总结：要知道正比例函数的图象是过原点的直线，且当k ＞0时，图象过第一、三象限；当k ＜0时，图象过第二、四象限．【类型二】 正比例函数的性质关于函数y ＝13x ，下列结论中，正确的是( )A ．函数图象经过点(1，3)B ．不论x 为何值，总有y ＞0C ．y 随x 的增大而减小D ．函数图象经过第一、三象限解析：A.当x ＝1时，y ＝13，故A 选项错误；B.只有当x ＞0时，y ＞0，故B 选项错误；C.∵k ＝13＞0，∴y 随x 的增大而增大，故C 选项错误；D.∵k ＝13＞0，∴函数图象经过第一、三象限，故D 选项正确．故选D.方法总结：解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系及其增减性． 【类型三】 正比例函数的图象与系数的关系已知正比例函数y ＝(m －1)x 的图象上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当x 1＜x 2时，有y 1＞y 2，那么m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞1 C ．m ＜2 D ．m ＞0 解析：根据题意，y 随x 的增大而减小，则m －1＜0，即m ＜1.故选A. 方法总结：直线y ＝kx 所在的位置与k 的符号有直接的关系：k ＞0时，直线必经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；k ＜0时，直线必经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小． 【类型四】 正比例函数图象上点的坐标特征点A (5，y 1)和B (2，y 2)都在直线y ＝－x 上，则y 1与y 2的关系是( ) A ．y 1≥y 2 B ．y 1＝y 2 C ．y 1＜y 2 D ．y 1＞y 2 解析：∵点A (5，y 1)和B (2，y 2)都在直线y ＝－x 上，∴y 1＝－5，y 2＝－2.∵－5＜－2，∴y 1＜y 2.故选C. 方法总结：熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 探究点三：求正比例函数的解析式 【类型一】 用定义求正比例函数的解析式已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x －2成正比例，当x ＝1时，y ＝5；当x ＝－1时，y ＝11，求y 与x 之间的函数表达式，并求当x ＝2时y 的值． 解析：设y 1＝kx 2，y 2＝a (x －2)，得出y＝kx 2＋a (x －2)，把x ＝1，y ＝5和x ＝－1，y ＝11代入得出方程组，求出方程组的解即可，把x ＝2代入函数解析式，即可得出答案．解：设y 1＝kx 2，y 2＝a (x －2)，则y ＝kx 2＋a (x －2)，把x ＝1，y ＝5和x ＝－1，y ＝11代入得⎩⎪⎨⎪⎧k －a ＝5，k －3a ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，k ＝2，∴y 与x之间的函数表达式是y ＝2x 2－3(x －2)．把x＝2代入得y ＝2×22－3×(2－2)＝8. 方法总结：用定义求函数解析式，设出解析式是解题的关键一步．【类型二】 用待定系数法求正比例函数的解析式已知正比例函数y ＝kx 图象经过点(3，－6)，求：(1)这个函数的解析式； (2)判断点A (4，－2)是否在这个函数图象上； (3)图象上两点B (x 1，y 1)、C (x 2，y 2)，如果x 1＞x 2，比较y 1，y 2的大小． 解析：(1)利用待定系数法把(3，－6)代入正比例函数y ＝kx 中计算出k 即可得到解析式；(2)将A 点的横坐标代入正比例函数关系式，计算函数值，若函数值等于－2，则A 点在这个函数图象上，否则不在这个函数图象上；(3)根据正比例函数的性质：当k＜0时，y 随x 的增大而减小，即可判断． 解：(1)∵正比例函数y ＝kx 经过点(3，－6)，∴－6＝3·k ，解得k ＝－2，∴这个正比例函数的解析式为y ＝－2x ； (2)将x ＝4代入y ＝－2x 得y ＝－8≠－2，∴点A (4，－2)不在这个函数图象上； (3)∵k ＝－2＜0，∴y 随x 的增大而减小．∵x 1＞x 2，∴y 1＜y 2.方法总结：将A 点的横坐标代入正比例函数关系式，求出函数值，再进一步判定是解决问题的关键．三、板书设计1．正比例函数的图象 2．正比例函数的性质 3．正比例函数解析式的确定本节课在教师引导下使学生通过自己的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来发现问题、解决问题，再通过教师的点拨、总结进行知识归纳，理论提升的教学方法．由学生亲自来发现事物的特征和规律，更能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生自主学习的内在动力，更有利于发展学生的创造性思维能力．17．1勾股定理第1课时勾股定理1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12cm；(2)S△ABC＝12CB·AC＝12×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝12AC·BC＝12CD·AB，∴CD＝AC·BCAB＝6013cm.方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝9－5＝4，∴△ABC 的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC 为钝角三角形时，△ABC的周长为32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】勾股定理的证明探索与研究： 方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 的面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC 和Rt △ACD 的面积之和等于Rt △ABD 和△BCD 的面积之和解答．解：方法1：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE ＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋12(b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2；方法2：此图也可以看成Rt △BEA 绕其直角顶点E 顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，S 四边形ABCD＝S △ABD ＋S △BCD ，∴S △ABC ＋S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ，即12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a (b －a )，整理得b 2＋ab ＝c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2＋ab －a 2，∴a 2＋b 2＝c 2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．探究点二：勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E 的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A 、B 的面积和为S 1，正方形C 、D 的面积和为S 2，S 1＋S 2＝S 3，即S 3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A 、B 、C 、D 的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A 、B 、C 、D 的面积和即是最大正方形的面积．三、板书设计 1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b2＝c 2.2．勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．3．勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．。
一次函数与正比例函数 公开课获奖【一等奖教案】 公开课获奖【一等奖教案】
4．2 一次函数与正比例函数1．掌握一次函数的概念，能根据条件写出一次函数的关系式；(重点) 2．掌握正比例函数的概念．(重点)一、情境导入生活中，我们常常见到各式各样的钟表．时钟的秒针每旋转一圈，表示时间过了1min ；旋转两圈，表示时间过了2min ……那么，秒针走过的圈数与经过的时间之间的关系如何表示呢？二、合作探究探究点一：一次函数与正比例函数【类型一】 一次函数与正比例函数的识别下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？(1)y ＝－x －4; (2)y ＝5x 2－6；(3)y ＝2πx; (4)y ＝－x2；(5)y ＝1x； (6)y ＝8x 2＋x(1－8x)．解析：首先看每个函数的表达式能否变形转化为y ＝kx ＋b(k≠0，k 、b 是常数)的形式，如果x 的次数是1，则是一次函数，否则不是一次函数；在一次函数中，如果常数项b ＝0，那么它是正比例函数．解：(1)是一次函数，不是正比例函数； (2)不是一次函数，也不是正比例函数； (3)是一次函数，也是正比例函数； (4)是一次函数，也是正比例函数； (5)不是一次函数，也不是正比例函数； (6)是一次函数，也是正比例函数．方法总结：一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零； 判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．【类型二】 根据一次函数与正比例函数的定义求字母的值已知函数y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1. (1)若它是一次函数，求m 的值；(2)若它是正比例函数，求m 的值．解析：(1)要使函数是一次函数，根据一次函数的定义x 的指数m 2－24＝1，且一次项系数m －5≠0；(2)要使函数是正比例函数，除了满足上述条件外，还需加上m ＋1＝0这个条件．解：(1)因为y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1是一次函数，所以m 2－24＝1且m －5≠0，所以m＝±5且m≠5，所以m ＝－5.所以当m ＝－5时，函数y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1是一次函数．(2)因为y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1是一次函数，所以m 2－24＝1且m －5≠0且m ＋1＝0.所以m ＝±5且m≠5且m ＝－1，则这样的m 不存在，所以函数y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1不可能为正比例函数．方法总结：函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b ＝0时，一次函数为正比例函数．探究点二：一次函数关系式的确定某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用以生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：产品 资源/吨 )甲 乙 矿石 10 4 煤48煤的价格为400元/吨，生产1吨甲产品除需原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x 吨，乙产品m 吨，公司获得的总利润为y 元．(1)写出m 与x 的关系式；(2)写出y 与x 的函数关系式．(不要求写自变量的取值范围)解析：(1)因为矿石的总量一定，当生产的甲产品的数量x 变化时，那么乙产品的产量m 将随之变化，m 和x 是动态变化的两个量；(2)题目中的等量关系为总利润y ＝甲产品的利润＋乙产品的利润．解：(1)因为4m ＋10x ＝300，所以m ＝150－5x2.(2)生产1吨甲产品获利为4600－10×200－4×400－400＝600(元)；生产1吨乙产品获利为5500－4×200－8×400－500＝1000(元)．所以y ＝600x ＋1000m.将m ＝150－5x2代入，得y ＝600x ＋1000×150－5x2，即y ＝－1900x ＋75000.方法总结：根据条件求一次函数的关系式时，要找准题中所给的等量关系，然后求解．三、板书设计一次函数⎩⎪⎨⎪⎧一次函数的概念正比例函数的概念函数关系式的确定经历一般规律的探索过程，培养学生的抽象思维能力，经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，提升学生的数学应用能力．体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣．使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心．4．4一次函数的应用第1课时确定一次函数的表达式1．会确定正比例函数的表达式；(重点)2．会确定一次函数的表达式．(重点)一、情境导入某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了．二、合作探究探究点一：确定正比例函数的表达式求正比例函数y＝(m－4)m2－15的表达式．解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．解：由正比例函数的定义知m2－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0.探究点二：确定一次函数的表达式【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．解析：先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝b ，－5＝2k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝5.∴一次函数的表达式为y ＝－5x ＋5. 方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y ＝kx ＋b 中有两个待定系数k 、b ，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B 为一次函数的图象与y 轴的交点，且OA ＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA 的长，从而可以求出点B 的坐标，根据A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式．解：设正比例函数的表达式为y 1＝k 1x ，一次函数的表达式为y 2＝k 2x ＋b.∵点A(4，3)是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k 1，3＝4k 2＋b.∴k 1＝34，即正比例函数的表达式为y ＝34x.∵OA ＝32＋42＝5，且OA ＝2OB ，∴OB ＝52.∵点B 在y 轴的负半轴上，∴B 点的坐标为(0，－52)．又∵点B 在一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象上，∴－52＝b ，代入3＝4k 2＋b 中，得k 2＝118.∴一次函数的表达式为y 2＝118x －52.方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.数量x/千克售价y/元 1 8＋0.4 2 16＋0.8 3 24＋1.2 4 32＋1.6 5 40＋2.0 ……解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、…… 解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售价y 与数量x 的函数关系式为y ＝8.4x.当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．三、板书设计确定一次函数表达式⎩⎪⎨⎪⎧正比例函数y ＝kx （k≠0）一次函数y ＝kx ＋b （k≠0）经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．2．2 平方根 第1课时 算术平方根1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；(重点) 2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；(重点) 3．了解算术平方根的性质．(难点)一、情境导入上一节课我们做过：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a 的大正方形，那么有a 2＝2，a ＝________，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学过若x 2＝a ，则a 叫做x 的平方，反过来x 叫做a 的什么呢？二、合作探究探究点一：算术平方根的概念【类型一】 求一个数的算术平方根求下列各数的算术平方根：(1)64；(2)214；(3)0.36；(4)412－402.解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．解：(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8；(2)∵(32)2＝94＝214，∴214的算术平方根是32；(3)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；(4)∵412－402＝81，又92＝81，∴81＝9，而32＝9，∴412－402的算术平方根是3.方法总结：(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．【类型二】 利用算术平方根的定义求值3＋a 的算术平方根是5，求a 的值．解析：先根据算术平方根的定义，求出3＋a 的值，再求a.解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a ＝25，所以a ＝22. 方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．探究点二：算术平方根的性质【类型一】 含算术平方根式子的运算计算：49＋9＋16－225.解析：首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算． 解：49＋9＋16－225＝7＋5－15＝－3.方法总结：解题时容易出现如9＋16＝9＋16的错误．【类型二】 算术平方根的非负性已知x ，y 为有理数，且x －1＋3(y －2)2＝0，求x －y 的值．解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，a 2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y 的值，进而求得答案．解：由题意可得x －1＝0，y －2＝0，所以x ＝1，y ＝2.所以x －y ＝1－2＝－1. 方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，|a|≥0，a 2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.三、板书设计算术平方根⎩⎨⎧概念：非负数a 的算术平方根记作a 性质：双重非负性⎩⎨⎧a≥0，a ≥0让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．4．4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式1．会确定正比例函数的表达式；(重点) 2．会确定一次函数的表达式．(重点)一、情境导入某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y 与x 之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了．二、合作探究探究点一：确定正比例函数的表达式求正比例函数y ＝(m －4)m 2－15的表达式．解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．解：由正比例函数的定义知m 2－15＝1且m －4≠0，∴m ＝－4，∴y ＝－8x.方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 探究点二：确定一次函数的表达式【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．解析：先设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x ＝0时，y ＝5；当x ＝2时，y ＝－5.由此可以得到两个关于k 、b 的方程，通过解方程即可求出待定系数k 和b 的值，再代回原设即可．解：设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意得，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝b ，－5＝2k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝5.∴一次函数的表达式为y ＝－5x ＋5.方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y ＝kx ＋b 中有两个待定系数k 、b ，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B 为一次函数的图象与y 轴的交点，且OA ＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA 的长，从而可以求出点B 的坐标，根据A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式．解：设正比例函数的表达式为y 1＝k 1x ，一次函数的表达式为y 2＝k 2x ＋b.∵点A(4，3)是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k 1，3＝4k 2＋b.∴k 1＝34，即正比例函数的表达式为y ＝34x.∵OA ＝32＋42＝5，且OA ＝2OB ，∴OB ＝52.∵点B 在y 轴的负半轴上，∴B 点的坐标为(0，－52)．又∵点B 在一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象上，∴－52＝b ，代入3＝4k 2＋b 中，得k 2＝118.∴一次函数的表达式为y 2＝118x －52.方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.数量x/千克售价y/元 1 8＋0.4 2 16＋0.8 3 24＋1.2 4 32＋1.6 5 40＋2.0 ……解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、…… 解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售价y 与数量x 的函数关系式为y ＝8.4x.当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．三、板书设计确定一次函数表达式⎩⎪⎨⎪⎧正比例函数y ＝kx （k≠0）一次函数y ＝kx ＋b （k≠0）经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．。
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21.1一次函数第一课时
正比例函数
一、教学目标：
知识与技能：初步理解正比例了函数的概念。
能根据所给条件写出简单的正比例函数表达式，并且能
够判断两个变量是否构成正比例函数关系。
过程与方法：通过对实际问题的研究，体会建立函数模型的思想，以及体验从特殊到一般的辩证关系。
情感态度价值观：通过分析变量间的关系，发展学生的数学思维；
通过正比例函数概念的引入，使学生进一步认识数
学是来源于生活并用于生活，同时渗透热爱自然和
生活的教育。
教学重点：正比例函数的概念及关系；
会根据已知信息写出正比例函数的表达式。
教学难点：会根据已知信息写出正比例函数的表达式。
教具：ppt课件
教学方法：尝试教学法
教学过程：
一、复习旧知
1、教师让学生回忆前面学过的函数的定义，并指名学生回答。
2、学生回忆小学学过的正比例关系。
我们在元生活中，会去买东西，如果某人去买苹果，苹果4元钱一
斤，下面我们看到这些数量与价格之间的关系。
教师引导学生得出价格与数量成正比例关系。
二、小组合作（观察与思考）
小刚骑自行车去上学，行驶时间和路程之间的关系如下表：
（1）小刚行驶的路程和时间成正比例吗？为什么？
（2）如果用t(min)表示时间，s(km)表示路程，那么s与t之间的函数关系式具有什么特征？
学生以小组为单位合作交流完成上题，并主动回答。
三、尝试练习（开动脑筋)
（1）小亮每小时读20页书，若读书时间用字母t(h)表示，读过的页数用字母m(页)表示，则用t表示m的函数表达式为_________ 。
(2)小米去给学校运动会买奖品，每支铅笔0.5元，若购买铅笔的数量用n(支)表示，花钱总数用w(元)表示，则用n表示w的函数表达
式为___________。
（3）拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05mL。
设t(min)后，水龙头滴水VmL，则用t表示V的表达式_______。
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T(单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）变化的表达式为__________。
认真观察以上出现的五个函数表达式，填写表格
(1)这些函数表达式有什么共同点？
(2)思考K的取值范围是什么？
学生小组合作完成以上问题后，教师引导学生得出正比例函数的概念。
正比例函数：一般地，我们把形如 y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中，非0常数k叫做比例系数．
教师讲解正比例函数的三个结构特征： 比例系数k≠0.
②自变量x 的次数为1. ③k 与x 之间是成绩的形式. 四、自学例1
例1，下列函数中，哪些是正比例函数？如果是，指出正比例函数比例系数是多少？
（1）y=3χ；（2）y=2x+1；2
)3(x y -
=
x
2
(4)y =
x
y π=)5(x
y 3)6(-=
学生自学例1，教师巡视点拨。
自学完例1，完成下列尝试练习：
1.判断下列函数是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？
x 3(1)y =
3
x (2)y =
2
x y 3=）（
x 6y 4-=）（
kx y 5=）（(k 为常数）
52y (6)+=x
五、再次尝试
1、（1）y 与x+1成正比例，且比例系数为2，则y 关于x 的函数解析式是什么？
（2）y-1与x+1成正比例，且比例系数为3，则y 关于x 的函数解析式是什么？
2、下列关系中的两个量成正比例的是( )
A、从甲地到乙地，所用的时间和平均速度；
B、正方形的面积与边长；
C、买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；
D、人的体重与身高；
(1)已知一个正比例函数的比例系数是-2，则它的表达式为_____;
(2)已知：y=(k+1)x+k-1是正比例函数，则k=____;
(3)若
1
m
y x-
=是关于x的正比例函数，则=
m____;
六、小结
谈谈本节课你有哪些收获？
作业：
课本86页
习题A组1题、2题。
板书设计：
21.1一次函数第一课时
正比例函数
正比例函数：一般地，我们把形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中，非0常数k叫做比例系数．正比例函数的三个结构特征：①比例系数k≠0.
②自变量x的次数为1.
③k与x之间是成绩的形式.。