金融数学讲座

20世纪70年代以前计量经济学的 建模方法都是以经济变量平稳这一 假设条件为基础。但在实际中,许多 经济指标的时间序列都是非平稳的, 并不具有固定的期望值,并且呈现出 明显的趋势性和周期性。经济变量 表现出的非平稳性使传统建模遇到 了前所未有的困难。 格兰杰注意到某些经济变量之间似乎不会存在任何均衡 关系,但若干个非平稳经济时间序列的某种线性组合却有 可能是平稳序列。提出了协整的概念及其方法。所谓协 整,是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。 目前,协整分析已成为处理非平稳金融、经济变量相依关 系的行之有效的方法。
min min w w
2 p T w


1
s.t .
2 p
( E ( X ) r1)T w r
2 2
最小方差资产组合的方差为
r c 2rb r a
在均方差-均值坐标系下，它是公共交点为（0， r）的两条射线，其斜率为
c 2rb r a
注
诺贝尔经济奖简介（3）
2003年度诺贝尔经济学奖授予 Robert F.Engle和 Clive Granger。 令Engle 摘取桂冠的是他于1982年提出 的ARCH模型。 Granger因为时间序列的协整分析方法而 获奖,他的贡献将用于研究财富与消费、汇率 与物价水平、以及短期与长期利率之间的关系。
在金融理论中，确定风险资产合理价值主要有两种 方法。一种是基于竞争均衡理论的定价方法，如上 节的CAPM，认为资产的合理价格由所谓的“内在 源”，也就是资产市场中现有的所有资产所共同确 定；另一种是基于一般套利定价理论的定价方法 （GAPT），如Ross的套利定价理论（APT）认为 资产的合理价格由所谓的“外在源”，也就是资本 市场的其他因素所确定。
I
P
0.5
0.5
Var( X M ) 0.09, E ( X M ) 0.2
将上述数据代入风险自行调节收益率定价公式得
1000 0.5 800 0.5 VI (1) 782.6 故每股价格为 0.2 0.1 7.83$ 1 0.1 0.045 26 0.09
3. Ross 套利定价理论（APT）
M.Miller的公司财务理论（1958） 主要研究资本结构与其企业市场 价值的关系。 Miller在《资本 成本、公司理财和投资理论》论 文中证明，在一定假设下，企业 的市场价值与其资本结构无关。 传统观念认为，公司的价值与其资本结构有内在关系， Miller的结论与传统观念大相径庭，一经提出就引起 了广泛的争议。从50年代末到60年代末，经过一轮唇 枪舌战的辩论之后，Miller的公司财务理论开始盛行 于财务学界，逐步确定它在学术界的主流地位。
E ( Pe ) P0 1 r Cov( X j , X M )
E( X M ) r Var ( X M )
24
在风险自行调节收益率定价公式中，将
Pe P0 1 Cov( X j , X M ) Cov( , X M ) Cov( Pe , X M ) P0 P0
诺贝尔经济奖简介（2）
1997年诺贝尔经济奖授予R.Merton 和M.Schole, 以奖励他们和F.Black在确 定衍生证券价值方法方面的贡献，也就是 关于期权定价的著名的Black-Sholes公 式。
注
7
1973年，M.Scholes与已故的经济 学家F.Black发表《期权定价和公 司债务》一文，给出了期权定价的 Black-Sholes公式。指出期权价 格仅依赖于股票价格的波动量、无 风险利率、期权到期时间、执行价 格、股票时价. 其主要贡献是提出用标的股票和无风险资产构 造的投资组合的收益来复制期权的收益。这一复制 法则的重要性在于，它告诉人们可以利用已存在的 证券来复制符合于某种投资目的的新的证券品种， 这成为金融机构设计新的金融产品的思想方法。
2 p 2
a 1T 11, b 1T 1E( X ), c E( X )T 1E( X ), ac b2 其中
注
在方差-均值坐标系下，它是抛物线。
E( X p )

2 p
16
注
在均方差-均值坐标系下，它是双曲线。
E( X p )
p
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可证：任一最小方差资产组合wp都可唯一 地表示为
E( X i ) rf i (E( X M ) rf )
Cov( X i , X M ) 其中 i Var( X M )
称为资产X的beta系数, 表示资产X所面临的风险系数。
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注
XM为市场资产组合——设市场上有n种风险资产，一 种无风险资产。每种资产的价格为pi，i=0,1,…,n, 如果市场上有K位投资者，且在某一时刻，第k位投 资者持有第i种资产的数量为Nik，若记
代入，得确定等价定价公式
E ( Pe ) Cov ( Pe , X M ) P0 1 r
CAPM在资产定价中的应用——— 股票定价 例 某公司I在时期1将发行100股股票，公司I在时期 2的价值为随机变量VI（2）。公司的资金都是通过 发行这些股票而筹措的，已知股票的持有者有资格 获得完全的收益流。现给出有关测算数据如下 Cov( X I , X M ) 0.045, rf 0.1, $800 V （2） $1000
wim N ik pi
k 1
K
则称
w w , w ,...,w
m m 0 m 1

K k N i pi i 0 k 1
n
m n

为该时刻的投资者
市场资产组合。
可以证明，当市场达到均衡，且无风险资产是零净 供应的金融证券时，切点资产组合wt就是市场资产 组合。
14
Markowitz 提出的证券组合均值方差问题，是证券 组合理论的基本问题，可描述为有约束的线性规划问 题
min 2 min w T w p
w


s.t .
1 w 1
T
E( X p ) E( X ) w
T
解上述问题可得最优资产组合w*的表达式，且最 优资产组合的方差为
a 2b c
注
CAPM在资产定价中的应用
一 证券市场线 对任意风险资产的投资组合Xi，由 点 (i , E( X i )) 所形成的轨迹称为证券市场线。
E (X )
E( X i ) rf i (E( X M ) rf )
A B
E( X M )
rf
1

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注
二 风险自行调节收益率定价公式 CAPM对个别资产提供了一种可量化的风险测 度，所以CAPM可以用于确定未来收益率概率 分布假设为已知的风险资产在当前的价值。设 市场上第j种资产期终风险收益为Pe，当前价格 为P0，其收益率 X j Pe P0 P0 其中 则风险自行调节收益率定价公式为
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对收益率的建模研究一直在计 量经济学中占据很重要的位置。显 然对于一阶矩的刻画是比较容易的, 所以人们将注意力都放在了对二阶 矩的建模上,也就是对收益率波动 的计量建模。为了寻求对股票市场 价格波动行为更为准确的描述和 分析方法,许多金融学家尝试了不同的模型。其中, Engle于1982年提出的ARCH模型,被认为是最集中 反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序 列分析的模型。
2


1 2
19
E( X p )
r c 2rb r 2a
wt
a 2b c
2 p 2

两基金分离定理的表现形式为：所有最小方差资 产组合都是无风险资产和不含任何无风险资产的 所谓“切点”资产组合的组合。
2.资本资产定价模型
资本资产定价模型（CAPM）是在理想的资本市场 中,根据两基金分离定理建立的。它的基本结论是 (Sharp-Lintner-Monssin)假设市场上可以获得无 风险资产，当市场达到均衡时，任意资产的超额收益 率与风险资产的市场资产组合超额收益率成正比，即 有关系式
主要内容：




投资组合理论 Ross套利定价理论 衍生证券的定价理论 二叉树模型 Black-Scholes模型 ARCH模型及其应பைடு நூலகம் 利率期限结构理论 公司资本结构 保险精算学
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1.投资组合理论简介
在投资活动中，人们发现，投资者手中持有多种不同 风险的证券，可以减轻风险带来的损失，对于投资若 干种不同风险与收益的证券形成的证券组称为证券投 资组合。 证券投资组合的原则是，组合期望收益愈大愈好，组 合标准差愈小愈好，但在同一证券市场中，一般情形 是一种证券的平均收益越大，风险也越大，因而最优 投资组合应为一个条件极值问题的解，即对一定的期 望收益率，选择资产组合使其总风险最小。
2
诺贝尔经济奖简介（1）
1990年诺贝尔经济奖授予H.Markowitz， W.Sharpe 和M.Miller，奖励他们在金融经济 学中的先驱工作—— H.Markowitz 的投资组合理论、 W.Sharpe的 资本资产定价理论 M.Miller 的公司财务理论。
注
3
H.Markowitz 在《资产组合 选择》一文中，第一次从风 险资产的收益率和风险之间 的关系出发，讨论了不确定 经济环境中最优资产组合的 选择问题。 其主要成就是将大量的不同资产的投资组合选 择的复杂的多维问题，简化为平衡两个因素，即投 资组合的期望回报及其方差，最终化为一个概念清 晰的、简单的二次规划问题，即均值－－方差分析； 并且给出了最优投资组合问题的实际计算方法。
注
1973年R.Merton在《经济和管理 科学杂志》上发表了《理性期权定 价理论的文章》，对BlackSholes公式的假定条件做了进一 步削弱，在许多重要方面都对 Black-Sholes的研究做了推广． Merton对Black-Sholes原用的分析方法进行了 改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发 点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价 格跳到另一个价格而不经历其间的价格．这样推导出 的公式更加现实．
金融研究中的数学方法
－－金融数学的理论及应用
2006.9.28
1
引言
金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金融学 的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发 展起来的，其核心问题是不确定环境下的最优投资 策略的选择理论和资产的定价理论。本次讲座将简 述了金融数学的主要内容，并展望了其进一步发展 的前沿课题及前景。 简单地说，金融数学就是用数学的方法解决金融问 题。在金融数学的发展史上，一些诺贝尔经济学奖 的获奖工作，对金融数学的研究起着决定性的作用。 可以说，金融数学的主流研究方向就是以这些获奖 工作为基础的。
W.Sharpe 的资本资产定价理论， 在较强的市场假设下，给出了 Markowitz 均值方差模型的均 衡版本，即资本资产定价模型。 （CAPM）[2] 其主要贡献是在有价证券理论方面对不确定条件 下金融决策的规范分析，以及资本市场理论方面关于 以不确定性为特征的金融市场的实证性均衡理论。 Markowitz的分析方法进一步发展为著名的"资本资产 定价模型"，用来说明在金融市场上如何建立反映风 险和潜在收益有价证券价格。
w Awg (1 A)wd
* p
其中
A (ac ab)
称为全局最小方差资产组合。
11 wg T 1 1 1
1E ( X ) wd T 1 称为全局可分散化资产组合。 1 E( X )
这就是著名的两基金分离定理。
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注
上述结论还可推广到具有无风险资产的均值 -方差模型，此时模型为
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基于上述思想，被誉为美国“金融神童”的Ross 在1976年《Journal of Economic Theory》上发 表的《Arbitrage Theory of Capital Assert Pricing》一文中十分武断地指出：任何资产的价格 可以表示为一些“共同因素”的线性组合。这些 “共同因素”可以是通货膨胀率，人口出生率，工 业增长指数，证券市场综合指数，外汇汇率等等各 种因素，然后利用套利定价方法给出了资产收益率 的一般表达式。 记资产市场中第i种资产的收益率为Xi，可通过 统计方法测算的影响资产收益率的因素收益率记为随 机变量fk,k=1,…,K,不能通过统计方法测算或未知的 影响资产收益率的因素收益率记为随机变量i ,并假定 资产收益率由以下线性多因子模型所描述：