金融数学讲座

注
1973年R.Merton在《经济和管理 科学杂志》上发表了《理性期权定 价理论的文章》，对BlackSholes公式的假定条件做了进一 步削弱，在许多重要方面都对 Black-Sholes的研究做了推广． Merton对Black-Sholes原用的分析方法进行了 改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发 点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价 格跳到另一个价格而不经历其间的价格．这样推导出 的公式更加现实．
I
P
0.5
0.5
Var( X M ) 0.09, E ( X M ) 0.2
将上述数据代入风险自行调节收益率定价公式得
1000 0.5 800 0.5 VI (1) 782.6 故每股价格为 0.2 0.1 7.83$ 1 0.1 0.045 26 0.09
3. Ross 套利定价理论（APT）
min min w w
2 p T w


1
s.t .
2 p
( E ( X ) r1)T w r
2 2
最小方差资产组合的方差为
r c 2rb r a
在均方差-均值坐标系下，它是公共交点为（0， r）的两条射线，其斜率为
c 2rb r a
在金融理论中，确定风险资产合理价值主要有两种 方法。一种是基于竞争均衡理论的定价方法，如上 节的CAPM，认为资产的合理价格由所谓的“内在 源”，也就是资产市场中现有的所有资产所共同确 定；另一种是基于一般套利定价理论的定价方法 （GAPT），如Ross的套利定价理论（APT）认为 资产的合理价格由所谓的“外在源”，也就是资本 市场的其他因素所确定。
2


1 2
19
E( X p )
r c 2rb r 2a
wt
a 2b c
2 p 2

两基金分离定理的表现形式为：所有最小方差资 产组合都是无风险资产和不含任何无风险资产的 所谓“切点”资产组合的组合。
2.资本资产定价模型
资本资产定价模型（CAPM）是在理想的资本市场 中,根据两基金分离定理建立的。它的基本结论是 (Sharp-Lintner-Monssin)假设市场上可以获得无 风险资产，当市场达到均衡时，任意资产的超额收益 率与风险资产的市场资产组合超额收益率成正比，即 有关系式
W.Sharpe 的资本资产定价理论， 在较强的市场假设下，给出了 Markowitz 均值方差模型的均 衡版本，即资本资产定价模型。 （CAPM）[2] 其主要贡献是在有价证券理论方面对不确定条件 下金融决策的规范分析，以及资本市场理论方面关于 以不确定性为特征的金融市场的实证性均衡理论。 Markowitz的分析方法进一步发展为著名的"资本资产 定价模型"，用来说明在金融市场上如何建立反映风 险和潜在收益有价证券价格。
wim N ik pi
k 1
K
则称
w w , w ,...,w
m m 0 m 1

K k N i pi i 0 k 1
n
m n

为该时刻的投资者
市场资产组合。
可以证明，当市场达到均衡，且无风险资产是零净 供应的金融证券时，切点资产组合wt就是市场资产 组合。
E( X i ) rf i (E( X M ) rf )
Cov( X i , X M ) 其中 i Var( X M )
称为资产X的beta系数, 表示资产X所面临的风险系数。
21
注
XM为市场资产组合——设市场上有n种风险资产，一 种无风险资产。每种资产的价格为pi，i=0,1,…,n, 如果市场上有K位投资者，且在某一时刻，第k位投 资者持有第i种资产的数量为Nik，若记
金融研究中的数学方法
－－金融数学的理论及应用
2006.9.28
1
引言
金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金融学 的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发 展起来的，其核心问题是不确定环境下的最优投资 策略的选择理论和资产的定价理论。本次讲座将简 述了金融数学的主要内容，并展望了其进一步发展 的前沿课题及前景。 简单地说，金融数学就是用数学的方法解决金融问 题。在金融数学的发展史上，一些诺贝尔经济学奖 的获奖工作，对金融数学的研究起着决定性的作用。 可以说，金融数学的主流研究方向就是以这些获奖 工作为基础的。
代入，得确定等价定价公式
E ( Pe ) Cov ( Pe , X M ) P0 1 r
CAPM在资产定价中的应用——— 股票定价 例 某公司I在时期1将发行100股股票，公司I在时期 2的价值为随机变量VI（2）。公司的资金都是通过 发行这些股票而筹措的，已知股票的持有者有资格 获得完全的收益流。现给出有关测算数据如下 Cov( X I , X M ) 0.045, rf 0.1, $800 V （2） $1000
w Awg (1 A)wd
* p
其中
A (ac ab)
称为全局最小方差资产组合。
11 wg T 1 1 1
1E ( X ) wd T 1 称为全局可分散化资产组合。 1 E( X )
这就是著名的两基金分离定理。
18
注
上述结论还可推广到具有无风险资产的均值 -方差模型，此时模型为
20世纪70年代以前计量经济学的 建模方法都是以经济变量平稳这一 假设条件为基础。但在实际中,许多 经济指标的时间序列都是非平稳的, 并不具有固定的期望值,并且呈现出 明显的趋势性和周期性。经济变量 表现出的非平稳性使传统建模遇到 了前所未有的困难。 格兰杰注意到某些经济变量之间似乎不会存在任何均衡 关系,但若干个非平稳经济时间序列的某种线性组合却有 可能是平稳序列。提出了协整的概念及其方法。所谓协 整,是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。 目前,协整分析已成为处理非平稳金融、经济变量相依关 系的行之有效的方法。
2 p 2
a 1T 11, b 1T 1E( X ), c E( X )T 1E( X ), ac b2 其中
注
在方差-均值坐标系下，它是抛物线。
E( X p )

2 p
16
注
在均方差-均值坐标系下，它是双曲线。
E( X p )
p
17
可证：任一最小方差资产组合wp都可唯一 地表示为
注
诺贝尔经济奖简介（3）
2003年度诺贝尔经济学奖授予 Robert F.Engle和 Clive Granger。 令Engle 摘取桂冠的是他于1982年提出 的ARCH模型。 Granger因为时间序列的协整分析方法而 获奖,他的贡献将用于研究财富与消费、汇率 与物价水平、以及短期与长期利率之间的关系。
27
基于上述思想，被誉为美国“金融神童”的Ross 在1976年《Journal of Economic Theory》上发 表的《Arbitrage Theory of Capital Assert Pricing》一文中十分武断地指出：任何资产的价格 可以表示为一些“共同因素”的线性组合。这些 “共同因素”可以是通货膨胀率，人口出生率，工 业增长指数，证券市场综合指数，外汇汇率等等各 种因素，然后利用套利定价方法给出了资产收益率 的一般表达式。 记资产市场中第i种资产的收益率为Xi，可通过 统计方法测算的影响资产收益率的因素收益率记为随 机变量fk,k=1,…,K,不能通过统计方法测算或未知的 影响资产收益率的因素收益率记为随机变量i ,并假定 资产收益率由以下线性多因子模型所描述：
10
对收益率的建模研究一直在计 量经济学中占据很重要的位置。显 然对于一阶矩的刻画是比较容易的, 所以人们将注意力都放在了对二阶 矩的建模上,也就是对收益率波动 的计量建模。为了寻求对股票市场 价格波动行为更为准确的描述和 分析方法,许多金融学家尝试了不同的模型。其中, Engle于1982年提出的ARCH模型,被认为是最集中 反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序 列分析的模型。
2
诺贝尔经济奖简介（1）
1990年诺贝尔经济奖授予H.Markowitz， W.Sharpe 和ler，奖励他们在金融经济 学中的先驱工作—— H.Markowitz 的投资组合理论、 W.Sharpe的 资本资产定价理论 ler 的公司财务理论。
注
3
H.Markowitz 在《资产组合 选择》一文中，第一次从风 险资产的收益率和风险之间 的关系出发，讨论了不确定 经济环境中最优资产组合的 选择问题。 其主要成就是将大量的不同资产的投资组合选 择的复杂的多维问题，简化为平衡两个因素，即投 资组合的期望回报及其方差，最终化为一个概念清 晰的、简单的二次规划问题，即均值－－方差分析； 并且给出了最优投资组合问题的实际计算方法。 Nhomakorabea要内容：




投资组合理论 Ross套利定价理论 衍生证券的定价理论 二叉树模型 Black-Scholes模型 ARCH模型及其应用 利率期限结构理论 公司资本结构 保险精算学
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1.投资组合理论简介
在投资活动中，人们发现，投资者手中持有多种不同 风险的证券，可以减轻风险带来的损失，对于投资若 干种不同风险与收益的证券形成的证券组称为证券投 资组合。 证券投资组合的原则是，组合期望收益愈大愈好，组 合标准差愈小愈好，但在同一证券市场中，一般情形 是一种证券的平均收益越大，风险也越大，因而最优 投资组合应为一个条件极值问题的解，即对一定的期 望收益率，选择资产组合使其总风险最小。
ler的公司财务理论（1958） 主要研究资本结构与其企业市场 价值的关系。 Miller在《资本 成本、公司理财和投资理论》论 文中证明，在一定假设下，企业 的市场价值与其资本结构无关。 传统观念认为，公司的价值与其资本结构有内在关系， Miller的结论与传统观念大相径庭，一经提出就引起 了广泛的争议。从50年代末到60年代末，经过一轮唇 枪舌战的辩论之后，Miller的公司财务理论开始盛行 于财务学界，逐步确定它在学术界的主流地位。