华师大版七年级数学下册知识点

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七年级数学下册知识点华师大版

七年级数学下册知识点华师大版学习从来无捷径，循序渐进登高峰。

如果说学习一定有捷径，那只能是勤奋，因为努力永远不会骗人。

学习需要勤奋，做任何事情都需要勤奋。

下面是小编给大家整理的一些七年级数学的知识点，希望对大家有所帮助。

七年级数学知识点生活中的轴对称1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2、轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。

可以说成：这两个图形关于某条直线对称。

3、轴对称图形与轴对称的区别：轴对称图形是一个图形，轴对称是两个图形的关系。

联系：它们都是图形沿某直线折叠可以相互重合。

2、成轴对称的两个图形一定全等。

3、全等的两个图形不一定成轴对称。

4、对称轴是直线。

5、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。

2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

6、线段的垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。

2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。

7、轴对称图形有：等腰三角形(1条或3条)、等腰梯形(1条)、长方形(2条)、菱形(2条)、正方形(4条)、圆(无数条)、线段(1条)、角(1条)、正五角星。

8、等腰三角形性质：①两个底角相等。

②两个条边相等。

③“三线合一”。

④底边上的高、中线、顶角的平分线所在直线是它的对称轴。

9、①“等角对等边”∵∠B=∠C∴AB=AC②“等边对等角”∵AB=AC∴∠B=∠C10、角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。

∵OA平分∠CADOE⊥AC,OF⊥AD∴OE=OF11、垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

∵OC垂直平分AB∴AC=BC12、轴对称的性质1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点(对称点)，能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。

2019新华师大版数学七年级下册课件：等式的基本性质

6．2 解一元一次方程
6．2.1 等式的性质与方程的简单变形课堂
华师·七年级下册·数学
知识点❶ 等式的基本性质1 1．等式两边都加上减(或去都______数__)同一个____整_式___或同一个________，所得结果仍是等式；用b字＋母c 表示：如果a b－c＝b，那么a＋c＝________，a－c＝________.
边”“同一个”． 2．在运用等式性质2时要注意左、右两边除以的数不能为 0，特别是将等式两边同时除以一个含有字母的式子时，
会忽略式子的值为0而出现错误．
2．(1)如果m－2＝n－2，n那么m＝________，其依据是
1 等式的基本性质_____2___，将等式的两边都加上
_2 _______；
1
(2)由等式减4x去＝3x＋2可得x＝________，是依据等式的基本性3x质________，将等式两边都________．
3．下列等式的变形：①由a＝b得a＋1＝b＋1；②由m＋
2a＝n＋2a得m＝n；③由x＝y得x＋y＝2y；④由3x＝x＋4
得2x＝A 4；⑤由11x－2＝10x得x＝2.其中正确的有( )
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
知识点❷ 等式的基本性质2 D
y
3
1/3
4
4
1/4
2 2
D
B
C B
D C
b－4
－2b
0
35
a≠0 a≠1
x的值为0
加上2y
6 2x
4
1
5
(1)因为2x2－3＝5，所以2x2＝8，所以x2＝ 4，所以x2＋3＝7，即x2＋3的值为7 (2)因为2m＋3与－5互为相反数，所以2m＋3 ＝5，所以2m＝2，所以m＝1，所以m－2＝－ 1，即m－2的值为－1

华东师大版数学七年级下第9章多边形知识点复习讲解(全)

认识三角形三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．有关三角形的概念：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.④三角形的外角：三角形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角．注意：（1）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.三角形外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．注意：（1）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．三角形的分类：按角分⎩⎨⎧直角三角形斜三角形⎩⎨⎧锐角三角形钝角三角形按边分⎩⎨⎧不等边三角形（不规则三角形）等腰三角形⎩⎨⎧只有两条边相等的等腰三角形等边三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形三个角都是锐角有一个角为直角有一个角是钝角不等边三角形等腰三角形等边三角形三边不相等有两条边相等三条边都相等①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形； ③直角三角形：有一个角为90°的三角形。

①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形。

三角形的三线：三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．这个角的顶点与交点之间的线段．三角形的角平分线：三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线．三角形的高：过三角形顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫做三角形的高．注意：（1）三角形分别有三条高线，三条中线，三条角平分线；（2）任意三角形三条角平分线，三条中线，分别交于一点，且都在三角形的内部；（3）直角三角形的三条高线的交点就是直角顶点，钝角三角形的三条高线的交点在三角形的外部，锐角三角形的三条高线在三角形的内部。

2024年初中数学七年级下册全册华师大版课件汇总

2024年初中数学七年级下册全册华师大版课件汇总一、教学内容1. 第一章实数第一节实数的概念第二节实数的运算2. 第二章代数方程第一节一元一次方程第二节二元一次方程组第三节不等式与不等式组3. 第三章函数及其图像第一节函数的概念第二节正比例函数第三节一次函数4. 第四章三角形第一节三角形的性质第二节三角形的证明第三节三角形的分类5. 第五章四边形第一节四边形的性质第二节矩形、菱形与正方形6. 第六章概率初步第一节概率的基本概念第二节概率的计算二、教学目标1. 理解并掌握实数的概念及其运算，提高学生的数学运算能力。

2. 学会解一元一次方程、二元一次方程组和不等式组，培养学生的逻辑思维能力。

3. 了解函数的概念，掌握正比例函数和一次函数的图像及性质，提高学生的数学建模能力。

4. 掌握三角形的性质、证明方法及分类，增强学生的空间想象力和逻辑推理能力。

5. 理解四边形的性质，认识矩形、菱形和正方形，培养学生的几何图形识别能力。

6. 了解概率的基本概念，掌握概率的计算方法，提高学生的数据分析能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：实数的运算、解方程、函数图像、三角形证明、概率计算。

2. 教学重点：实数的概念、方程的解法、函数性质、三角形性质、四边形性质、概率的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、三角板、直尺、圆规。

2. 学具：练习本、草稿纸、计算器。

五、教学过程1. 实数引入：通过实际生活中的例子，引出实数的概念。

讲解：讲解实数的分类、性质、运算。

练习：进行实数运算的随堂练习。

2. 代数方程引入：通过生活中的问题，引出方程的概念。

讲解：讲解一元一次方程、二元一次方程组和不等式组的解法。

练习：解方程和不等式组的随堂练习。

3. 函数及其图像引入：通过实际例子，引出函数的概念。

讲解：讲解正比例函数和一次函数的图像及性质。

练习：绘制函数图像，分析函数性质。

4. 三角形引入：通过观察生活中的三角形物体，引出三角形的概念。

华东师大初中数学七年级下册多边形内角和与外角和(提高)知识讲解

多边形内角和与外角和（提高）知识讲解【学习目标】1.理解多边形的概念；2.掌握多边形内角和与外角和公式；3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联接结所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。

如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n ；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形．知识点二、多边形内角和定理 n边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．凸多边形凹多边形要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn°；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念1．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗?【答案与解析】解：这个问题，我们可以用图来说明．按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．举一反三：【变式1】如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD 中，∠1+∠2＝。

(师用)七年级数学下册-期末复习提纲-华东师大版剖析

七年级数学下期期末复习纲要第六章一元一次方程一、基本观点（一）方程的变形法例法例 1：方程两边都或同一个数或同一个，方程的解不变。

比如：在方程7-3x=4 左右两边都减去7，获得新方程：-3x+3=4-7 。

在方程 6x=-2x-6左右两边都加上4x，获得新方程：8x=-6 。

移项：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边挪动到另一边，这样的变形叫做移项，注意移项要变号。

比如： (1)将方程 x－ 5＝7 移项得： x＝ 7+5即x＝ 12(2)将方程 4x ＝ 3x－4 移项得： 4x － 3x＝－ 4 即x ＝－ 4法例 2：方程两边都除以或同一个的数，方程的解不变。

比如： (1)将方程－ 5x＝2两边都除以 -5得： x=-25(2) 将方程3x ＝1两边都乘以2得： x=22339最后去大括号的方法去括号，每去一层括号归并同类项一次，以简易运算。

（ 2）“去分母”指去掉方程两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。

去分母时，不要忘掉不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母）（三）一元一次方程的应用1．纯数学上的应用：（ 1）一元一次方程定义的应用；（ 2）方程解的观点的应用；（ 3）代数中的应用；（ 4）公式变形等。

2．实质生活上的应用：（ 1）分配问题；（2）行程问题；（ 3）工程问题；（ 4）利息问题；（ 5）面积问题等。

3．探究性应用：这种问题与上边的几类问题有联系，但也有差别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。

二、练习1．以下各式哪些是一元一次方程。

(1)x+1=3x— 4 (2)2x 3 = x 1(3) — x=o252系数化为1，得 x=5方法三：移项1(x 一 3)+1(x 一 3) ＝ 222即x 一 3= 2∴x ＝5第 (2) 小题有两重括号，一般状况是先去小括号，再去中括构造特别，应先去中括号简易，注意去中括号时，要把小括号看作个整体，中括号里先当作 2 项。

七年级下册数学第8章知识点归纳(华师大版)

故本题选择 D。
一一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一
次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。一元一次
不等式组的概念可以从以下几个方面理解：
组成不等式组的不等式必须是一元一次不等式 ;
从数量上看，不等式的个数必须是两个或两个以上
;
每个不等式在不等式组中的位置并不固定，它们是并列
的
二一元一次不等式组的解集及解不等式组：在一元一次
七年级下册数学第 8 章知识点归纳（华师大版）
一般地，用符号 =连接的式子叫做等式。
注意：等式的左右两边是代数式。
一般地，用符号， , 连接的式子叫做不等式不等式中可
以含有未知数，也可以不含。 )
用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数
都是 1，系数不为 0，左右两边为整式的式子叫做一元一次
不等式组中，各个不等式的解集的公共部分就叫做这个一元
一次不等式组的解集。求这个不等式组解集的过程就叫解不
等式组。解一元一次不等式组的步骤：
先分别求出不等式组中各个不等式的解集 ;
利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，也就是得到
了不等式组的解集
三不等式的解集的数轴表示：
一元一次不等式组知识点
用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向
未知数范围扩大 ;
对含字母的不等式，没有对字母取值进行分类讨论。
时，我们可以不关注这个等号，这样就这类不等式组化归为
上述四种基本不等式组中的某一种类型。但是，在解题的过
程中，这个等号要与不等号相连，不能分开。
四求一些特解：求不等式的正整数解，整数解等特解，
解这类问题的步骤：先求出这个不等式的解集，然后借助于
数轴，找出所需特解。

七年级数学下册第六章一元一次方程华东师大版

第六章一元一次方程应知一、基本概念方程：含有未知数的等式叫做方程。

一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。

方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程：求方程解的过程叫做解方程。

【注意】解方程时，要用到等式的性质：（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

二、基本法则列一元一次方程的步骤：①弄清题意(设未知数)：求什么？用字母表示适当的未知数；②分析条件(找等量关系)：找出已给出的数量及未知数之间的等量关系；③组织方程(列方程)：对等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系得到方程。

【注意】此三步骤适用于列各种方程。

2. 解一元一次方程的步骤：①去分母。

②去括号。

③移项。

(根据等式性质推出：a.方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变；2)方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变)。

④合并同类项。

⑤化未知项的系数为1。

⑥检验方程的解(一般不需答出，但要养成检验的习惯)。

应会列一元一次方程。

解一元一次方程。

用一元一次方程解答实际问题。

【注意】1.判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像21=x，()1222+=+xx等都不是一元一次方程.2.解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.例题1. 解下列方程：（1）10x－4（3－x）－5（2＋7x）=15x-9（x－2）（2）3（2－3x）－3[3（2x－3）＋3]=5（3）()()()3413231121+-=-+++xxx2. 一个黑白足球的表面一共有32个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形，黑、白皮块的数目之比为3：5，问黑色皮块有多少？3. 小明和小红做游戏，小明拿出一张日历：“我用笔圈出了2×2的一个正方形，它们数字的和是76，你知道我圈出的是哪几个数字吗？”你能帮小红解决吗？4. 有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人，如果送还了一条船，正好每条船坐9人，问这个班共多少同学？5. 丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一。

华东师范大学出版社七年级(下册)数学知识点总结

华东师范大学出版社七年级(下册)数学知识点总结华东师范大学出版社七年级(下册)数学知识点总结数学是一门重要的学科，对于学生的综合素质培养具有重要意义。

下面是华东师范大学出版社七年级(下册)数学课程的知识点总结，帮助学生巩固所学的数学知识。

一、有理数与整数运算1. 有理数的概念2. 整数的运算法则：加法、减法、乘法、除法3. 数轴的运用4. 分数的乘法与除法二、代数式与代数方程1. 代数式的概念2. 代数式的运算法则：合并同类项、展开3. 代数方程的概念4. 代数方程的解法三、比例与比例运算1. 比例的概念2. 比例的性质与判断方法3. 比例的运算法则：比例的四则运算4. 比例与实际问题的应用四、图形的认识和性质1. 点、线、面的概念2. 角的概念与分类3. 直线、线段和射线的性质4. 多边形的性质与分类五、平面图形的运动1. 平移、旋转和翻转的概念2. 平移、旋转和翻转的规律与性质3. 图形的对称性与判断方法4. 平移、旋转和翻转的应用六、面积与体积1. 长方形、正方形和三角形的面积计算2. 圆的面积计算3. 立体图形的表面积和体积计算4. 面积和体积在实际问题中的应用七、统计与概率1. 数据的收集和整理2. 数据的图表表示：条形图、折线图、饼图3. 数据的分析与解读4. 概率的概念与计算八、简便计算方法1. 乘法的简便计算方法2. 除法的简便计算方法3. 小数的简便计算方法4. 分数的简便计算方法以上是华东师范大学出版社七年级(下册)数学课程的知识点总结。

通过对这些知识点的掌握和理解，学生可以提高数学水平，为更高层次的学习打下坚实的基础。

希望同学们能够认真学习并灵活运用这些数学知识，取得更好的成绩。

初中数学华东师大七年级下册(2023年新编)第9章多边形多边形的内角和

多边形的内角和与外角和一、教材的地位和作用：本节课内容是华东师大版七年级数学下册第九章第二节《多边形的内角和与外角和》第1课时，它是多边形相关知识的重点。

教材从复习三角形的定义、内角和到学习探究多边形的定义、内角和，环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性、类比性都比较强。

通过这节课的学习，培养了学生积极参与课堂探究的习惯及探索与归纳的能力，在探究中体会从简单到复杂，从特殊到一般，以及类比、转化等重要的数学思想方法。

二、学情分析：本章的第一节学习的是三角形的有关知识，学生已经经历了三角形定义、边、角、外角及内角和的探究过程，对这些知识已经有了一定的认识，并且具备了一些探究和归纳的能力，这为本节课的学习打下了很好的基础。

因此对于学习本节内容的知识条件已经具备，通过自学、互学、小组探究，学生将会自主探究出所学的知识，轻松、愉快地完成本节课的学习任务。

三、教学目标1.知识与技能目标：学会主动探索、归纳和掌握多边形的内角和公式，并会运用其解决相关问题。

并通过多边形内角和公式的推导，体验数学中的“转化”思想。

2.过程与方法目标：经历探索多边形内角和公式等的过程，在实践中培养学生的推理能力以及主动探究意识．3.情感态度与价值观目标：经历多边形内角和的探索过程，感受从特殊到一般的类比的学习方法，初步体会转化的数学思想，在学习中感受研究数学的乐趣。

四、教学重、难点1.重点：多边形的内角和定理及运用。

2.难点：多边形的内角和定理的推导过程（数学转化思想）。

五、教学过程1.情境导入：全世界瞩目的2023年冬奥会将在中国北京举行。

如果设计师能设计一个内角和为2023度的多边形图案，那该多有纪念意义呀！那么可能吗？它会是几边形呢？2.预习提问：问题1 ：什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形、多边形吗？通过类比，总结出多边形的定义。

（学生回答）问题2：说一说下面所指的是多边形的什么（顶点、边、角）？（学生独立回答）三角形如何表示？四边形和五边形又是怎样表示呢？（通过课前预习，学生独立回答），同时通过出示多边形的图片，让学生认识凸多边形和凹多边形（不在现在的研究范围），并强调，如果教材没有特别指明，多边形都指的是凸多边形。

华师大版初中数学知识点总结

华师大版初中数学知识点总结
初中数学（华师大版）知识点总结：
一、代数：
1、定义：代数是学习数的一个重要分支，通过讨论各种各样的数量
的静态变化，记号法，定义，性质，运算，解决实际问题的技术，来把数
学研究的内容概括为一个整体。

2、术语：代数术语包括：变量、常数、基本运算、表达式、方程和
不等式、根、函数、因式和因子、和、积、分式、幂和指数、比率、比值、百分数、数列和级数、立体几何体等。

3、类型：代数中常见的几种题型有：简单方程组、一元二次方程、
分式、幂指数与根式、比值等。

4、思想：代数是通过思维推理，综合运用符号表达式、数学公式和
算法，来解决问题和实践领域中的应用问题。

二、几何：
1、定义：几何是以形体的几何特性，以及相关的空间几何关系来研
究实物形状、大小和位置的数学学科。

2、类型：几何问题可以分为：图形结构类、运动类、测量类和计算
类问题。

3、概念：常见的几何性质和概念有：
（1）图形的属性：角、平行线、平行四边形、锐角三角形等；
（2）图形大小关系：直角和锐角三角形、正方形等；
（3）空间图形关系：棱和面、相交、相切等；。

华师大版七年级下册初一数学(提高版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)

华师大版七年级下册数学重难点突破全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习从实际问题到方程（提高）知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及代数式的区别与联系；2. 理解并掌握等式的两个基本性质；3. 掌握方程的变形规则并能解简单的方程.【要点梳理】【从算式到方程三、解方程的依据——等式的性质】要点一、等式1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边都加（或减去）同一个数（或整式），所得的等式仍然成立．即：如果，那么 (c表示任意数或整式) .等式的性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是0），所得的等式仍然成立.即：如果，那么；如果，c≠0，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立；如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立；(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【从算式到方程一、方程的有关概念】要点二、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它（或它们）是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（或未知数）.5．方程的变形规则：方程两边都加（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变．方程两边都乘以（或都除以）同一个不等于0的数，方程的解不变.6．移项：在解方程的过程中，等号的两边加上（或减去）方程中某一项的变形过程，相当于将这一项改变符号后，从方程的一边移到另一边.这种变形过程叫做移项.要点诠释：移项通常是指把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，但无论是移含有未知数的项还是其他项都要改变符号，然后再进行移项.【典型例题】类型一、方程的概念1．（2014秋•越秀区期末）下列方程中，是一元一次方程的是（）A. x+y=1B. x2﹣x=1C.+1=3xD.+1=3【答案】C解：A、是二元一次方程，故本选项错误；B、是二元二次方程，故本选项错误；C、符合一元一次方程的定义，故本选项正确；D、是分式方程，故本选项错误．【总结升华】方程是含有未知数的等式，方程和等式的关系是从属关系，且具有不可逆性，方程一定是等式，但等式不一定是方程，区别在于是否含有未知数．2．下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是( )．A．2x-1＝3 (2，-1) B．5118xx+=- (3，-3)C. (x-1)(x-2)＝0 (1，2) D．2(y-2)-1＝5 (5，4)【答案】C.【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边，使左边＝右边的是方程的解，若左边≠右边的，则不是方程的解．【总结升华】检验一个数是否为方程的解，只要把这个值分别代入方程的左边和右边：若代入后使左边和右边的值相等，则这个数是方程的解；若代入后使方程左右两边的值不相等，则这个数不是方程的解．举一反三：【变式】（2015•大连）方程3x+2（1﹣x）=4的解是（）A．x=B．x=C．x=2 D．x=1【答案】C．类型二、等式的性质3．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪条性质，以及怎样变形得到的．(1)若4a＝8a-5，则4a+________＝8a．(2)若163x-=，则x＝________．(3)13132x y y-=-，则112x+＝________．(4)ax+by＝-c，则ax＝-c________．【思路点拨】根据等式的基本性质观察式子进行判断．【答案与解析】解：(1) 5 ；根据等式性质1，等式两边同时加上5．(2)118-；根据等式性质2，等式两边同时除以-6．(3) 2 ；根据等式性质1，等式两边都加上(1+3y) ．(4) –by；根据等式性质1，等式两边都加上-by．【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．举一反三：【变式】下面方程变形中，错在哪里？（1）由2+x=-4, 得x=-4+2.（2）由9x=-4, 得94x=-.（3）由5=x-3, 得x=-3-5.（4）由3241155x x-+=-，得3x-2=5-4x+1.(5)方程2x=2y两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y). 方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.(6)由3721223x xx-+=+，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x.【答案】（1）不正确.错在数2从方程的等号左边移到右边时没有变号.（2）不正确，错在被除数与除数颠倒（或分子与分母颠倒了）.（3）不正确，错在移项或等号两边的项对调时把符号弄错，正确的变形是：由5=x-3，得5+3=x, 即x=5+3.（4）不正确，没有注意到分数415x+中的“分数线”也起着括号的作用，因此当方程两边的各项都乘以5时，+1没有变号.（5）不正确，错在第二步，方程两边都除以x-y，由等式性质2要除以不为零的数. （6）不正确，错在2x没乘以公分母6.类型三、等式或方程的应用4．观察下面的点阵图形(如图所示)和与之相对应的等式，探究其中的规律：(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式．……(2)通过猜想，写出与第n 个图形相对应的等式．【思路点拨】通过观察图像可得：图形呈放射状，四条线上每变化一次各增加一个点，第n 个图形每条线上应该是n 个点；再观察对应的等式即可求解．【答案与解析】解：等式的左右两边都是表示对应图形中点的个数，等式的左边是从1个点开始的，第2个图形增加4个点表示为4×1+1，第3个图形又增加4个点，表示为4×2+1，…，第n 个图形共增加(n-1)个4个点，表示为4(n-1)+1；等式的右边，把第一个图形看作4点重合为一个点，表示为4×1-3，第2个图形增加4个点，表示为4×2-3，第3个图形又增加4个点，表示为4×3-3，…，第n 个图形看作n 个4个点少3个点，表示为4n-3，所以有4(n-1)+1＝4n-3．(1) ④4×3+1＝4×4-3 ⑤4×4+1＝4×5-3 (2)4(n-1)+1＝4n-3 【总结升华】设出未知量并用此未知量表示出题中的数量关系．举一反三：【变式】小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km ，可早到10分钟，每小时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km ？设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的方程是（）A.10515601260x x +=-B. 10515601260x x -=+C. 10515601260x x -=-D. 1051512x x +=-【答案】A类型四、利用方程的变形规则解方程5．解方程：12(31)37xx --+（12）= 【答案与解析】解：方程两边都乘以21，得7(12)32(31)x x --=⨯+ 乘法分配律乘开，得 714186x x -+=+ 移项，得 413x -=方程两边都除以-4，得 134x =-【总结升华】此题主要考查了利用方程的变形规则解一元一次方程，关键是注意此变形规则的依据是等式的基本性质．【巩固练习】一、选择题1．下列各式是方程的是( ). A ．533x y + B ．2m-3＞1 C ．25+7＝18+14 D ．73852t t -=+ 2．（2015•秦淮区一模）如果用“a=b ”表示一个等式，c 表示一个整式，d 表示一个数，那么等式的第一条性质就可以表示为“a ±c=b ±c ”，以下借助符号正确的表示出等式的第二条性质的是（）A. a •c=b •d ，a ÷c=b ÷dB. a •d=b ÷d ，a ÷d=b •dC. a •d=b •d ，a ÷d=b ÷dD. a •d=b •d ，a ÷d=b ÷d （d ≠0）3．有一养殖专业户，饲养的鸡的只数与猪的头数之和是70，而鸡与猪的腿数之和是196，问该专业户饲养多少只鸡和多少头猪？设鸡的只数为x ，则列出的方程应是( )． A ．2x+(70-x)＝196 B ．2x+4(70-x)＝196 C ．4x+2(70-x)＝196D ．2x+4(70-x)＝19624.已知关于y 的方程324y m +=与41y +=的解相同，则m 的值是（）. A ．9 B ．-9 C ．7 D ．-85. 一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的108）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（）.A ．x ·40%×108=240B ．x （1+40%）×108=240C ．240×40%×108=xD ．x ·40%=240×1086. 将103.001.05.02.0=+-xx 的分母化为整数，得( )． A ．1301.05.02=+-xxB ．1003505=+-x x C ．100301.05.020=+-xxD ．13505=+-x x 二、填空题 7．（2014•嘉峪关校级期末）在 ①2+1=3，②4+x=1，③y 2﹣2y=3x ，④x 2﹣2x+1中，方程有（填序号）8．已知x=3是方程22(1)6x m x +-=的解，则=m ________.9. 如果关于x 的方程（a 2-1）x=a+1无解，那么实数a= .10.将方程63242-=+x x 的两边同乘以 ______得到3(x+2) =2(2x －3)，这种变形的根据是_____ _．11.一个个位数是4的三位数，如果把4换到左边，所得数比原数的3倍还多98，若这个三位数去掉尾数4，剩下的两位数是x ，求原数，则可列方程为__________________. 12. 观察等式：9-1＝8， 16-4＝12，25-9＝16，36-16＝20，……这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n ≥1)表示自然数，用关于n 的等式表示这个规律为________．三、解答题13.（2014秋•忠县校级月考）下列方程的变形是否正确？为什么？（1）由3+x=5，得x=5+3．（2）由7x=﹣4，得x=．（3）由，得y=2．（4）由3=x ﹣2，得x=﹣2﹣3． 14．阅读理解：若p 、q 、m 为整数，且三次方程x 3+px 2+qx+m=0有整数解c ，则将c 代入方程得：c 3+pc 2+qc+m=0，移项得：m=﹣c 3﹣pc 2﹣qc ，即有：m=c×（﹣c 2﹣pc ﹣q ），由于﹣c 2﹣pc ﹣q 与c 及m 都是整数，所以c 是m 的因数．上述过程说明：整数系数方程x 3+px 2+qx+m=0的整数解只可能是m 的因数．例如：方程x 3+4x 2+3x ﹣2=0中﹣2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程x 3+4x 2+3x ﹣2=0进行验证得：x=﹣2是该方程的整数解，﹣1，1，2不是方程的整数解．解决问题：（1）根据上面的学习，请你确定方程x 3+x 2+5x+7=0的整数解只可能是哪几个整数？（2）方程x 3﹣2x 2﹣4x+3=0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由．15.某市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨部分按0.45元/吨收费，超过10吨而不超过20吨部分按0.80元/吨收费，超过20吨部分按1.5元/吨收费，现已知老李家六月份缴水费14元，问老李家六月份用水多少吨？ 16.观察下面的图形(如图所示)(每个正方形的边长均为1)和相应的等式，探究其中的规律：(1)写出第五个等式，并在下图给出的五个正方形上画出与之对应的图示；(2)猜想并写出与第n 个图形相对应的等式．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D.【解析】判断一个式子是不是方程，首先看它是不是等式，若是等式，再看它是否含有未知数，两条都满足了就是方程．A 、B 不是等式；C 中没有未知数． 2.【答案】D . 3.【答案】B.【解析】本题的相等关系为：鸡的腿数+猪的腿数＝196． 4.【答案】A.【解析】由41y +=得3y =-，将其代入324y m +=可得：9m =．5.【答案】B.【解析】标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；实际售价＝标价×打折率． 6.【答案】D.【解析】将分母变为整数用的是分数的基本性质而非等式的性质．二、填空题7. 【答案】②、③【解析】∵①不含未知数，①不是方程；∵②、③含有未知数的等式，②、③是方程；④不是等式，④不是方程.8.【答案】-3【解析】将x ＝3代入原方程得183(1)6m +-=，所以3m =-．9. 【答案】-1【解析】∵方程（a 2-1）x=a+1无解，∴a 2-1=0，且a+1≠0，解得：a=1． 10.【答案】12，等式的性质2 11.【答案】x x +=++40098)410(3【解析】原数应表示为：104x +，再根据题意即可得出答案． 12.【答案】 (n+2)2-n 2＝4(n+1)【解析】通过观察可以看出：题中各等式左边的数字都是完全平方数，右边的数字都是4的倍数．即：32-12＝4×2，42-22＝4×3，52-32＝4×4，62-42＝4×5，…．设n(n ≥1)表示自然数，把第一个等式中的l 换成n ，3换成(n+2)，2换成(n+1)，得(n+2)2-n 2＝4(n+1)，就是第n 个等式．三、解答题 13.【解析】解：（1）由3+x=5，得x=5+3，变形不正确， ∵方程左边减3，方程的右边加3， ∴变形不正确；（2）由7x=﹣4，得x=，变形不正确， ∵左边除以7，右边乘，∴变形不正确；（3）由，得y=2，变形不正确，∵左边乘2，右边加2， ∴变形不正确；（4）由3=x ﹣2，得x=﹣2﹣3，变形不正确， ∵左边加x 减3，右边减x 减3， ∴变形不正确．14.【解析】（1）由阅读理解可知：该方程如果有整数解，它只可能是7的因数，而7的因数只有：1，﹣1，7，﹣7这四个数．（2）该方程有整数解．方程的整数解只可能是3的因数，即1，﹣1，3，﹣3，将它们分别代入方程x 3﹣2x 2﹣4x+3=0进行验证得：x=3是该方程的整数解．15.【解析】∵ 0.45×10+0.80×(20-10)＝12.5，12.5＜14，∴ 老李家六月份用水超过了20吨．设老李家六月份用水x 吨，根据题意得 0.45×10+0.80×(20-10)+1.5(x-20)＝14．16.【解析】 (1) 通过观察可以看出：第n 个等式，首起数字是n ，第2个数的分子是n ，分母比分子大1，等式的右边与左边不同的是，左边两数之间是乘号，右边两数之间是减号，同时，有几个小正方形，就把每个小正方形平分为几加1份，其中空白1份．如图所示：555566⨯=-． (2)11n nn n n n ⨯=-++解一元一次方程（提高）知识讲解【学习目标】1. 了解一元一次方程及其相关概念，熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3. 会求解含字母系数的一元一次方程及含绝对值的一元一次方程. 【要点梳理】要点一、一元一次方程的有关概念只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 要点诠释：（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①是一个方程．②必须只含有一个未知数．③含有未知数的项的最高次数是1．④分母中不含有未知数．（2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a ≠0，a,b 是常数) . （3）一元一次方程的最简形式是： ax ＝b （其中a ≠0，a,b 是常数）.要点二、解一元一次方程的一般步骤要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点三、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，然后再分类讨论：(1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-. 2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论：（1）当a ≠0时，b x a=；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解．【典型例题】类型一、一元一次方程的相关概念1．已知下列方程：①210x +=；②x ＝0；③13x x +=；④x+y ＝0；⑤623xx =-；⑥0.2x ＝4；⑦2x+1-3＝2(x-1)．其中一元一次方程的个数是( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】方程①中未知数x 的最高次数是2，所以不是一元一次方程；方程③中的分母含有未知数x ，所以它也不是；方程④中含有两个未知数，所以也不是一元一次方程；⑦经化简后为-2＝-2，故它也不是一元一次方程；方程②⑤⑥满足一元一次方程的条件，所以是一元一次方程．【总结升华】方程中的未知数叫做元，只含有一个未知数称为“一元”，“次”是指含有未知数的项中次数最高项的次数，判断一个方程是不是一元一次方程，看它是否具备三个条件：①只含有一个未知数；②经过整理未知数的最高次数是1；③含未知数的代数式必须是整式（即整式方程）．举一反三：【变式】（2014秋•莒县期末）已知x=5是方程ax ﹣8=20+a 的解，则a= ．【答案】7把x=5代入方程ax ﹣8=20+a 得：5a ﹣8=20+a ，解得：a=7．故答案为：7．类型二、去括号解一元一次方程2. 解方程：112[(1)](1)223x x x --=- 【答案与解析】解法1：先去小括号得：11122[]22233x x x -+=-再去中括号得：1112224433x x x -+=-移项，合并得：5111212x -=-系数化为1，得：115x =解法2：两边均乘以2，去中括号得：14(1)(1)23x x x --=-去小括号，并移项合并得：51166x -=-，解得：115x =解法3：原方程可化为：112[(1)1(1)](1)223x x x -+--=-去中括号，得1112(1)(1)(1)2243x x x -+--=-移项、合并，得51(1)122x--=-解得115 x=【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．3．解方程：111111110 2222x⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．【答案与解析】解法1：(层层去括号)去小括号11111110 2242x⎧⎫⎡⎤----=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，去中括号1111110 2842x⎧⎫----=⎨⎬⎩⎭，去大括号111110 16842x----=，移项、合并同类项，得115168x=，系数化为1，得x＝30．解法2：(层层去分母)移项，得11111111 2222x⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭，两边都乘2，得1111112 222x⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，移项，得111113 222x⎡⎤⎛⎫--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，两边都乘2，得11116 22x⎛⎫--= ⎪⎝⎭移项，得1117 22x⎛⎫-=⎪⎝⎭，两边都乘2，得1114 2x-=，移项，得115 2x=，系数化为1，得x＝30．【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．类型三、解含分母的一元一次方程4．(2015.三台县期末)解方程：1213 0.20.5x x+-+=【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．【答案与解析】解：将分母化为整数得：101020103 25x x+-+=去分母，得：50x+50+40x-20=30移项，合并得：x=0．【总结升华】解此题一般是先将分母变为整数，再去分母，移项合并，把系数化为1，求出解.举一反三：【变式】解方程0.40.90.30.210.50.3y y++-=．【答案】解：原方程可化为49321 53y y++-=．去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括号，得 12y+27-15-10y＝15．移项、合并同类项，得 2y＝3．系数化为1，得32y=．类型四、解含绝对值的方程5．解方程：|x-1|+|x-3|=3【思路点拨】分别讨论①x＜1，②1＜x＜3，③x＞3，根据x的范围去掉绝对值符号，解方程即可．【答案与解析】解：当x＜1时，原方程就可化简为：1-x+3-x=3，解得：x=0.5；第二种：当1＜x＜3时，原方程就可化简为：x-1-x+3=3，不成立；第三种：当x＞3时，原方程就可化简为：x-1+x-3=3，解得：x=3.5；故x的解为0.5或3.5．【总结升华】解含绝对值的方程的关键，就是根据绝对值的定义或性质去掉绝对值符号，把它化为为一般的方程，从而解决问题，注意讨论x的取值．举一反三：【变式】关于x的方程||x-2|-1|=a有三个整数解，求a的值．【答案】解：①若|x-2|-1=a，当x≥2时，x-2-1=a，解得：x=a+3，a≥-1；当x＜2时，2-x-1=a，解得：x=1-a；a＞-1；②若|x-2|-1=-a，当x≥2时，x-2-1=-a，解得：x=-a+3，a≤1；当x ＜2时，2-x-1=-a ，解得：x=a+1，a ＜1；又∵方程有三个整数解，∴可得：a=﹣1或1，根据绝对值的非负性可得：a ≥0．即a 只能取1．类型五、解含字母系数的方程6. 解关于x 的方程：1mx nx -= 【答案与解析】解：原方程可化为：()1m n x -=当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解为：1x m n=-；当0m n -=，即m n =时，方程无解．【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再根据x 系数a 是否为零进行分类讨论．【一元一次方程的解法388407解含字母系数的方程】举一反三：【变式】若关于x 的方程(k-4)x=6有正整数解，求自然数k 的值. 【答案】解：∵原方程有解，∴ 40k -≠ 原方程的解为：64x k =-为正整数，∴4k -应为6的正约数，即4k -可为：1，2，3，6 ∴k 为：5，6，7，10答：自然数k 的值为：5，6，7，10.【巩固练习】一、选择题1．若方程（m 2-1）x 2-mx -x+2=0是关于x 的一元一次方程，则代数式|m-1|的值为（）.A ．0B ．2C ．0或2D ．-2 2．（2015秋•榆阳区校级期末）关于x 的方程3x+5=0与3x+3k=1的解相同，则k=（）A.-2B.43 C.2 D. 43- 3．下列说法正确的是 ( ).A ．由7x ＝4x -3移项得7x -4x ＝-3B ．由213132x x --=+去分母得2(2x -1)＝1+3(x -3) C ．由2(2x -1)-3(x -3)＝1去括号得4x -2-3x -9＝4D ．由2(x -1)＝x+7移项合并同类项得x ＝5 4．将方程211123x x ---=去分母得到方程6x -3-2x -2＝6，其错误的原因是( ).A ．分母的最小公倍数找错B ．去分母时，漏乘了分母为1的项C ．去分母时，分子部分的多项式未添括号，造成符号错误D ．去分母时，分子未乘相应的数5．小明在做解方程作业时，不小心将方程中一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：11222y y -=+■，怎么办呢?小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是53y =，于是小明很快补上了这个常数，并迅速完成了作业．同学们，你们能补出这个常数吗?它应是( )．A ．1B ．2C ．3D ．46. “△”表示一种运算符号，其意义是2a b a b ∆=-，若(13)2x ∆∆=，则x 等于（）. A ．1 B ．12 C ．32D ．2 7.关于x 的方程(38)70m n x ++=无解，则mn 是（）. A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数二、填空题8. 当x= _____ 时，x －31x+的值等于2. 9．已知关于x 的方程的3322x a x -=+解是4，则2()2a a --=________．10．若关于x 的方程ax+3=4x+1的解为正整数，则整数a 的值是．11．（2014秋•高新区校级期末）如果5x+3与﹣2x+9是互为相反数，则x ﹣2的值是．12．a 、b 、c 、d 为有理数，现规定一种新的运算：a bad bc c d =-，那么当241815x =-时，则x ＝______．13. 设a ，b 是方程||2x -1|-x|=2的两个不相等的根，则22a b a b++的值为 .三、解答题14．解下列方程: （1） 521042345102y y y --+-=-+．（2） 111233234324x x x x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．（3）0.150.1330200.30.110.07300.2x x x +++-=+.15. 解关于x 的方程：（1）48x b ax +=-；（2）(1)(1)(2)m x m m -=--；（3）(1)(2)1m m x m --=-.16. （2015•裕华区模拟）定义一种新运算“⊕”：a ⊕b=a ﹣2b ，比如：2⊕（﹣3）=2﹣2×（﹣3）=2+6=8．（1）求（﹣3）⊕2的值；（2）若（x ﹣3）⊕（x+1）=1，求x 的值．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】A【解析】由已知方程，得（m 2-1）x 2-（m+1）x+2=0．∵方程（m 2-1）x 2-mx -x+2=0是关于x 的一元一次方程，∴m 2-1=0，且-m -1≠0，解得，m=1，则|m -1|=0．故选A ． 2.【答案】C ．【解析】解第一个方程得：x=﹣，解第二个方程得：x=∴=﹣解得：k=2.3．【答案】 A ．【解析】由7x ＝4x -3移项得7x -4x ＝-3；B ．213132x x --=+去分母得2(2x -1)＝6+3(x -3)；C ．把2(2x -1)-3(x -3)＝1去括号得4x -2-3x+9＝1；D ．2(x -1)＝x+7，2x -2＝x+7，2x -x ＝7+2，x ＝9 4．【答案】C 【解析】把方程211123x x ---=去分母，得3(2x -1)-2(x -1)＝6，6x -3-2x+2＝6与6x -3-2x -2＝6相比较，很显然是符号上的错误．5．【答案】B【解析】设被污染的方程的常数为k ，则方程为11222y y k -=+，把53y =代入方程得1015326k -=+，移项得5110623k -=+-，合并同类项得-k ＝-2，系数化为1得k ＝2，故选B ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：“△”表示2倍的第一个数减去第二个数，由此可得：132131∆=⨯-=-，而(13)(1)212x x x ∆∆=∆-=+=，解得：12x =7．【答案】B【解析】原方程可化为：(38)7m n x +=-，将“38m n +”看作整体，只有380m n +=时原方程才无解，由此可得,m n 均为零或一正一负，所以mn 的值应为非正数．二、填空题 8．【答案】213=x 9．【答案】24【解析】把x ＝4代入方程，得344322a -=+，解得a ＝6，从而(-a )2-2a ＝24． 10．【答案】2或3【解析】由题意，求出方程的解为：314-=-x ax 2)4(-=-x a ， 42--=a x ，因为解为正整数，所以214a --=-或，即2a =或3． 11.【答案】-6.【解析】由题意得：5x+3+（﹣2x+9）=0，解得：x=﹣4， ∴x ﹣2=﹣6．12．【答案】3【解析】由题意，得2×5-4(1-x )＝18，解得x ＝3． 13．【答案】4112【解析】∵||2x -1|-x|=2，∴|2x -1|-x=2或-2，∴|2x -1|=x+2或|2x -1|=x -2，当2x -1≥0时，2x -1=x+2，解得x=3；当2x -1＜0时，2x -1=-x -2，解得x=﹣13；或当2x -1≥0时，2x -1=x -2，解得x=-1（舍去）；当2x -1＜0时，2x -1=-x+2，解得x=1（舍去）；∴a=3，b=-13，∴224112a b a b +=+. 三、解答题14. 【解析】解：（1）原方程可化为：212y +-=解得： 4y =-（2）原方程可化为： 11233234322x x x x ⎡⎤⎛⎫----=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 移项，合并得： 123943x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭解得： 229x =- （3）原方程可化为：151332311732x x x +++-=+去分母，化简得： 1513x -= 解得： 1315x =- 15. 【解析】解：(1)原方程可化为：(4)8a x b -=+ 当4a ≠时，方程有唯一解：84b x a +=-；当4a =，8b ≠-时，方程无解；当4a =，8b =-时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解． (2)(1)(1)(2)m x m m -=--当10m -≠，即1m ≠时，方程有唯一的解：2x m =-；当10m -=，即1m =时，原方程变为00x ⋅=．原方程的解为任意有理数，即有无穷多解．(3) (1)(2)1m m x m --=-当1,2m m ≠≠时，原方程有唯一解：12x m =-；当1m =时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解；当2m =时，原方程无解． 16.【解析】解：（1）根据题中的新定义得：原式=﹣3﹣4=﹣7；（2）已知等式变形得：x ﹣3﹣2（x+1）=1，去括号得：x ﹣3﹣2x ﹣2=1，移项合并得：﹣x=6，解得：x=﹣6．实际问题与一元一次方程（一）（提高）知识讲解【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．【要点梳理】知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．知识点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）1．和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．2．行程问题（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间（2）基本类型有：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．3．工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．4．调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．【典型例题】类型一、和差倍分问题1．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？【答案与解析】解：设油箱里原有汽油x公斤，由题意得：x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40% .解得：x=10.答：油箱里原有汽油10公斤.【总结升华】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油. 举一反三：【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票? 【答案】解：设这个班有x 名学生，根据题意得： 3x+24＝4x-26 解得：x ＝50.所以3x+24＝3×50+24＝174（张）.答：这个班有50名学生，一共展出了174张邮票．类型二、行程问题 1.车过桥问题2. 某桥长1200m ，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s ，而整个火车在桥上的时间是30s ，求火车的长度和速度．【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义．【答案与解析】解：设火车车身长为xm ，根据题意，得：120012005030x x+-=，解得：x ＝300，所以12001200300305050x ++==．答：火车的长度是300m ，车速是30m/s ．【总结升华】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A 点表示火车头)：(1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长． (2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度．举一反三：【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？【答案】解：设从第一排上桥到排尾离桥需要x 分钟，列方程得：6928611864x ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭，。

华东师大版七年级数学下册代数公式与法则

华东师大版七年级代数公式与法则相反数：两个数互为相反数，和为0。

即a+b=0倒数：乘积为“ 1”的两个数互为倒数。

即ab =1绝对值：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

a (a＞0)，即对于任何有理数a，都有|a|＝ 0（a＝0）–a(a＜0)任何数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。

非负数性质：几个非负数的和为零，则每一个非负数都得零。

数轴：：数轴上右边的数总比左边的数大。

有理数的加法法则：1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2、绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3、一个数同零相加，仍得这个数；4、互为相反数的两个数相加得0。

有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

有理数的乘法法则：1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2、任何数同0相乘，都得0；有理数的除法法则：1、除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

3、0除以任何一个不等于0的数，都得0。

乘方的符号法则：1、正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；有理数的混合运算顺序：1、先乘方，再乘除，最后加减；2、同级运算，从左到右进行；3、有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同。

合并同类项的法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

（一加两不变）去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变符号；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号。

添括号法则：在括号前面添上“＋”号，括进括号里各项都不变号；在括号前面添上“－”号，括进括号里各项都改变符号。

方程与方程组：1．解一元一次方程的一般步骤：（不是标准形式需整理方程），（1）去分母：（不漏乘无分母的项；分子是多项式要添括号）（2）去括号：（乘法分配律不漏乘括号内的每一项；括号前是负号，去掉括号，括号内每一项都改变符号）（3）移项：（含未知数的项移到方程的左边，常数项移到右边；移项要变号）（4）合并同类项：（一加两不变：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变）（5）系数化为1：（方程两边都乘以未知数系数的倒数，或除以未知数系数本身）2、二元一次方程组的解法：基本思路是消元法，即把二元变为一元。

华东师大初中数学七年级下册二元一次方程组的相关概念(基础)知识讲解

二元一次方程（组）的相关概念（基础）知识讲解【学习目标】1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.【要点梳理】要点一、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.要点二、二元一次方程的解一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．要点诠释：(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：2,5.x y =⎧⎨=⎩． (2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．要点三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如⎩⎨⎧=-=+52013y x x 也是二元一次方程组.要点四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成x a y b=⎧⎨=⎩的形式． (2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2526x y x y +=⎧⎨+=⎩无解，而方程组1222x y x y +=-⎧⎨+=-⎩的解有无数个．【典型例题】类型一、二元一次方程1．已知下列方程，其中是二元一次方程的有________．(1)2x-5＝y ； (2)x-1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x-4y ＝7；(6)102x +=；(7)251x y +=；(8)132x y +=；(9)280x y -=；(10)462x y +=．【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验．【答案】(1)(4)(5)(8)(10)【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)满足二元一次方程的概念．(2)为一元一次方程，方程中只含有一个未知数；(3)中含未知数的项的次数为2；(6)只含有一个未知数；(7)不是整式方程；(9)中未知数x 的次数为2．【总结升华】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义，对于比较复杂的方程，可以先化简，再根据定义进行判断．举一反三：【变式】（2015春•桃园县校级期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（）A ．=y+5xB ．3x+2y=2x+2yC ．x=y 2+1D ．【答案】D ．类型二、二元一次方程的解2.（2016春•吴兴区期末）下列数组中，是二元一次方程x+y=7的解的是（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】二元一次方程x+y=7的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．【答案】B【解析】解：A 、把x=﹣2，y=5代入方程，左边=﹣2+5≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；B 、把x=3，y=4代入方程，左边=右边=7，所以是方程的解；故本选项正确；C 、把x=﹣1，y=7代入方程，左边=6≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；D 、把x=﹣2，y=﹣5代入方程，左边=﹣7≠右边，所以不是方程的解．故本选项错误．故选B ．【总结升华】考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x ，y 的值代入原方程验证二元一次方程的解．【高清课堂：二元一次方程组的概念409142 例2（2）】举一反三：【变式】若方程24ax y -=的一个解是21x y =⎧⎨=⎩，则a= . 【答案】33.已知二元一次方程3142x y +=． (1)用含有x 的代数式表示y ；(2)用含有y 的代数式表示x ；(3)用适当的数填空，使2_______x y =-⎧⎨=⎩是方程的解．【思路点拨】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，就是把要表示的未知数当未知数，把其他的未知数当已知数，然后再将方程变形．【答案与解析】解：(1)将方程变形为3y ＝22x -，化y 的系数为1，得236x y =-． (2)将方程变形为232x y =-，化x 的系数为1，得46x y =-． (3)把x ＝-2代入236x y =-得， y ＝1．【总结升华】用含x 的代数式表示y ，其实质表示为“y ＝含x 的代数式”的形式．在进行方程的变形过程中，有效地利用解一元一次方程的方法技巧很重要．举一反三：【变式】已知：2x +3y =7，用关于y 的代数式表示x ，用关于x 的代数式表示y ．【答案】解：（1）2x =7－3y ， 732y x -=；（2）3y =7－2x ，723x y -= 类型三、二元一次方程组及方程组的解 4.（2015春•道外区期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C ．【解析】解：A 是二元二次方程组，故A 不是二元一次方程组；B 是三元一次方程组，故B 不是二元一次方程组；C 是二元一次方程组，故C 是二元一次方程组；D 不是整式方程，故D 不是二元一次方程组；【总结升华】本题考查了二元一次方程组，含有两个未知数，且每个未知数的次数都是1的方程式二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组．5.判断下列各组数是否是二元一次方程组4221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①②的解．（1）35x y =⎧⎨=-⎩ （2）21x y =-⎧⎨=⎩【答案与解析】解：（1）把35x y =⎧⎨=-⎩代入方程①中，左边＝2，右边＝2，所以35x y =⎧⎨=-⎩是方程①的解．把x ＝3，y ＝-5代入方程②中，左边＝3(5)2+-=-，右边＝1-，左边≠右边，所以35x y =⎧⎨=-⎩不是方程②的解．所以35x y =⎧⎨=-⎩不是方程组的解．（2）把21xy=-⎧⎨=⎩代入方程①中，左边＝-6，右边＝2，所以左边≠右边，所以21xy=-⎧⎨=⎩不是方程①的解，再把21xy=-⎧⎨=⎩代入方程②中，左边＝x+y＝-1，右边＝-1，左边＝右边，所以21xy=-⎧⎨=⎩是方程②的解，但由于它不是方程①的解，所以它也不是方程组的解．【总结升华】检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.举一反三：【变式】写出解为12xy=⎧⎨=-⎩的二元一次方程组．【答案】解：此题答案不唯一，可先任构造两个以12xy=⎧⎨=-⎩为解的二元一次方程，然后将它们用“{”联立即可，现举一例：∵x＝1，y＝-2，∴x+y＝1-2＝-1．2x-5y＝2×1-5×(-2)＝12．∴12512x yx y+=-⎧⎨-=⎩就是所求的一个二元一次方程组．注：任选的两个方程，只要其对应系数不成比例，联立起来即为所求．。