中考数学一轮复习 函数及其应用教案

函数及其应用教案
【课标要求】
1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.
2.函数
(1)通过简单实例，了解常量、变量的意义.
(2)能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例.
(3)能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.
(4)能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值.
(5)能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系.
(6)结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测.
3.一次函数
(1)结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式.
(2)会画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解其性质(k＞0或k＜0时，图象的变化情况).
(3)理解正比例函数.
(4)能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.
(5)能用一次函数解决实际问题.
4.反比例函数
(1)结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式.
(2)能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式 (k≠0)探索并理解其性质(k ＞0或k＜0时，图象的变化情况).
(3)能用反比例函数解决某些实际问题.
5.二次函数
(1)通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义.
(2)会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质.
(3)会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题.
(4)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【课时分布】
函数部分在第一轮复习时大约需要8个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排(仅供参考).
【知识回顾】
1.知识脉络
2.基础知识
(1)一次函数的图象：函数y=kx b(k、b是常数，k≠0)的图象是过点(0，b)且与直线y=kx平行的一条直线.
一次函数的性质：设y=kx b(k≠0)，则当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小.
正比例函数的图象：函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是过原点及点(1，k)的一条直线.当k＞0时，图象过原点及第一、第三象限；当k＜0时，图象过原点及第二、第四象限.
正比例函数的性质：设y=kx(k≠0)，则当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.
(2)反比例函数的图象：函数 (k≠0)是双曲线.当k＞0时，图象在第一、第三象限；当k＜0时，图象在第二、第四象限.
反比例函数的性质：设 (k≠0)，则当k＞0时，在每个象限中，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每个象限中，y随x的增大而增大.
(3)二次函数
一般式：.
图象：函数的图象是对称轴平行于y轴的抛物线.
性质：设
①开口方向：当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下；
②对称轴：直线；
③顶点坐标(；
④增减性：当a＞0时，如果，那么y随x的增大而减小，如果，那么y随x的增大而增大；当a＜0时，如果，那么y随x的增大而增大，如果，那么y随x的增大而减小.
顶点式.
图象：函数的图象是对称轴平行于y轴的抛物线.
性质：设
①开口方向：当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下；
②对称轴：直线；
③顶点坐标；
④增减性：当a＞0时，如果，那么y随x的增大而减小，如果，那么y随x的增
大而增大；当a＜0时，如果，那么y随x的增大而增大，如果，那么y随x的增大而减小.
3.能力要求
例1如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与轴相交于负半轴．
给出四个结论：①；②；③；
④．其中正确结论的序号是．
【分析】利用图象的位置可判断a、b、c的符号，结合图象对称轴的位置，经过的点可推断出正确结论.
【解】由图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0；
∵对称轴x＝在(1，0)的左侧，∴＜1，∴；
∵图象过点(－1，2)和(1，0)，∴，∴，b＝－1；
∴a＝1－c＞1.
∴正确的序号为：②③④．
【说明】函数图象是研究函数性质的有力工具，是数形结合思想方法的重要运用.本题通过形(图象及其位置)的条件得出数(相等和不等关系)的结论.教师在复习总要加强这种思想方法的渗透.
例2 设直线与抛物线的交点为A(3，5)和B．
⑴求出b、c和点B的坐标；
⑵画出草图，根据图像回答：当x在什么范围时．
【分析】与一次函数、二次函数的图象交点有关的问题，可通过转化为方程(组)的思路解决.借助于函数图象可直观地解决函数值的大小比较.
【解】(1)∵直线与抛物线的交于点A(3，5)，
∴，∴，∴，.
由得∴B(-2,0).
(2)图象如图所示，
由图象可知：当或时，．
【说明】本题着重考查与函数图象交点有关的问题及函数值的大小比较问题，要求学生能够利用数形结合思想，沟通函数和方程(组)、不等式的联系和相互转化.
例3 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(1,-4)，且抛物线在x轴上截得的线段长为4，求抛物线的解析式.
【分析】由于抛物线是轴对称图形，因此抛物线在x轴上截得的线段被抛物线的对称轴垂直平分，从而可求得抛物线与x轴的两个交点坐标.
【解】∵抛物线的顶点为(1,，∴设抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
又∵抛物线在x轴上截得的线段长为4，
∴抛物线与x轴的交点为(,0)，(3,0)，
∴0＝4a，∴a＝1，
∴抛物线的解析式为，即.
【说明】抛物线的对称性常常是解题的切入口，本题也可以通过设抛物线与x轴的交点为，则，利用根与系数的关系来求解，但这样显然比较繁琐.
例4 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月销售量为p(吨)，月利润为y(元)，月销售额为w(元)，．
(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；求出p与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
【分析】根据题意，月销售量p是每吨售价x的一次函数，月利润y是每吨售价x的二次函数，月销售额w也是每吨售价x的二次函数，通过配方可解决(3)、(4)问题. 【解】(1)当每吨售价是240元时，此时的月销售量p＝吨；
由题意得：p＝，即p＝.
(2)y＝，即y＝.
(3)配方得：y＝，∴当x＝210时，y max＝9075(元).
(4)w＝，即w＝，
∴当x＝160时w max＝19200.∴y与w不是同时取得最大值，小静说法不对.
【说明】本题是一次函数和二次函数在实际生活中的综合运用，学生关键要理解商品经济中的进价(成本价)，售价，单位利润(每件商品的利润)，销售数量，总利润，销售额的概念及其关系.单位利润＝售价－进价，总利润＝单位利润×销售数量，销售额＝售价×销售数量.
例5如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为，动点分别从同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于，连结，已知动点运动了秒．
(1)点的坐标为( ，)(用含的代数式表示)；
(2)试求面积的表达式，并求出面积的最大值及相应的值；
(3)当为何值时，是一个等腰三角形？简要说明理由．
【分析】求P点坐标，由图可知，就是要求线段OM，PM，由△APM∽△ACO可得；求△NPC的面积的关键是用x的代数式表示边CN上的高PQ；△NPC是等腰三角形有三种情形，不能遗漏.
【解】(1)由题意可知，，，点坐标为．
(2)设的面积为，在中，，边上的高为，其中．
．
的最大值为，此时．
(3)延长交于，则有．
①若，
．，．
②若，则，
．
③若，则．
，
在中，．，．
综上所述，，或，或．
【说明】本题为双动点综合题，是中考的压轴题，有较大的难度.(1)(2)两小题与函数有关，解题的关键在于把握动点的运动规律，用x的代数式表示出动点的路程，从而结合相似形的知识把其它有关线段也用x的代数式表示出来为解题服务.(3)要用到分类讨论的思想方法.
【复习建议】
1.立足教材，打好基础，学生通过复习，应熟练掌握函数的基本知识、基本方法和基本技能.
2.重视问题情境的创设和实际问题的解决，强化函数思想和方法的渗透、总结和升华.增强学生自觉运用函数模型解决现实生活中的数学问题的意识和能力.
3.加强函数知识与方程(组)，不等式(组)知识、相似三角形知识等的联系，提高学生综合运用数学知识的水平，促进学生更快、更好地构建数学知识网络.
4.重视学科间知识、方法的渗透，复习中可综合物理、化学等学科相关知识及其特点，用数学的视角来加强相关知识的学习与巩固。