相似相似三角形全部知识点总结附带经典习题和答案.
相似三角形-基本知识点+经典例题(完美打印版)
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相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念（1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.（2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1)如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为,那么就说这两条线段的比是，或写成．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段中，如果的比等于的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项,那么应得比例式为：．②a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项， a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有。
（3）黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项,即，叫做把线段,点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即 简记为：注:黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0）(1） 基本性质：①；②． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式,如,除了可化为，还可化为,,，，，，．(2） 更比性质(交换比例的内项或外项）：（3）反比性质（把比的前项、后项交换)： ．b a ,n m ,n m b a =n m b a::=d c b a,,,b a 和d c 和d c b a ,,,a d c b ,,a d c b =()a c abcd b d ==在比例式：：中，a b bd =：：2b a d =AB )(,BC AC BC AC>AC BC AB 和2AC A B B C =⋅AB C AB AB AC 215-=AB A C B C A B A C =长短＝＝全长bc ad d c b a=⇔=::2::a b b c ba c =⇔=⋅bc ad=d c b a::=d b c a ::=b a d c ::=c a d b ::=c d a b ::=b d a c ::=a b c d ::=a c b d ::=()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项a c b d b d a c =⇔=（4）合、分比性质：．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：等等．（5)等比性质:如果，那么．注：①此性质的证明运用了“设法"（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． ③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：；其中． 知识点4 比例线段的有关定理1。
相似相似三角形全部知识点总结附带经典习题和答案
拔高相似三角形习题集适合人群：老师备课，以及优秀同学拔高使用。
一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
相似三角形-基本知识点+经典例题(完美打印版)
相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形の概念(1)形状相同の图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单の是相似三角形.(2)如果两个边数相同の多边形の对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度の比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段の相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,の长度分别为n m ,，那么就说这两条线段の比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和の比等于d c 和の比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序の，如果说a 是d c b ,,の第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d の比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和の比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB の黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360の等腰三角形。
黄金矩形：宽与长の比等于黄金数の矩形知识点3 比例の性质（注意性质立の条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例の内项或外项)：()()()a bc d a c d c b db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比の前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例の合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比の前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 注：①此性质の证明运用了“设k 法”（即引入新の参数k ）这样可以减少未知数の个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式の每一个比の前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段の有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边の直线截其它两边(或两边の延长线)所得の对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形の一边,并且和其它两边相交の直线,所截の三角形．．．の．三边．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理の逆定理：如果一条直线截三角形の两边(或两边の延长线)所得の对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形の第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线の应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循の原则是不要破坏条件中の两条线段の比及所求の两条线段の比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得の对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理の推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得の线段相等，那么在另一条上截得の线段也相等。
相似三角形的判定知识点及习题精选
..知识点：相像三角形1、相像三角形1）定义：假如两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比率，那么这两个三角形叫做相像三角形。
几种特别三角形的相像关系：两个全等三角形必定相像。
两个等腰直角三角形必定相像。
两个等边三角形必定相像。
两个直角三角形和两个等腰三角形不必定相像。
增补：关于多边形而言，全部圆相像；全部正多边形相像（如正四边形、正五边形等等）；2）性质：两个相像三角形中，对应角相等、对应边成比率。
3）相像比：两个相像三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相像比。
如△ ABC 与△ DEF 相像，记作△ ABC ∽△ DEF 。
相像比为k 。
4）判断：①定义法：对应角相等，对应边成比率的两个三角形相像。
②三角形相像的预备定理：平行于三角形一边的直线和其余两边订交，所组成的三角形与原三角形相像。
三角形相像的判断定理：判断定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像．简述为：两角对应相等，两三角形相像．( 此定理用的最多)判断定理2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比率，而且夹角相等，那么这两个三角形相像．简述为：两边对应成比率且夹角相等，两三角形相像．判断定理3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比率，那么这两个三角形相像．简述为：三边对应成比率，两三角形相像．直角三角形相像判断定理:○1 . 斜边与一条直角边对应成比率的两直角三角形相像。
○2 . 直角三角形被斜边上的高分红的两个直角三角形与原直角三角形相像，而且分红的两个直角三角形也相像。
增补一：直角三角形中的相像问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相像.射影定理：CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·BA（在直角三角形的计算和证明中有宽泛的应用）.增补二：三角形相像的判断定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相像。
相似三角形经典总复习(含知识点习题)
第23章:相似三角形 第一节:比例线段 知识点:1、相似多边形：从几何直观上来说，两个图形如果形状一致，而大小不同，则称这两个图形相似，具体到多边形，称之为相似多边形。
从严谨定义上来说，如果两个多边形各边成比例，各角相等，则称这两个多边形为相似多边形。
2、比例线段：一、线段的比：如果用同一长度单位量得两条线段a 、b 的长度分别为m ，n ，则m ∶n 就是线段a ，b 的比，记作a ∶b ＝m ∶n 或a mb n=，其中a 叫做比例前项，b 叫做比例后项。
二、比例线段：四条线段，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相同，则称这四条线段成比例线段，简称比例线段。
例如线段a 、b 、c 、d ，如果a cb d=或者（::a b c d =）a 、b 、c 、d 成比例线段，这里要注意，a 、b 、c 、d 必须按顺序写出，不能写成b c a d =或a d b c=。
三、比例外项、比例内项、第四比例项、比例中项：若a cb d=，则称a 、d 为比例外项，b 、c 、为比例内项，d 为第四比例项，如果b ＝c ，则称b 为a 、c 的比例中项，可记做（2b ac =）3、比例性质： 1、基本性质：如果a cb d=，则根据等式的基本性质，两边同时乘以bd 得ad bc =。
2、合比性质：如果a cb d=，则根据等式的基本性质，两边同时加上1或－1得a b c d b d ±±=。
在此处键入公式。
a b c db d±±=3、等比性质：如果a c mb d n===（0b d n +++≠），则a c m a c mb d n b d n+++====+++，运用这个性质时，一定要注意0b d n +++≠的条件。
4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AP 、PB （AP ＞PB ），如果AP 是线段PB 和AB 的比例中项，则线段AP 把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点。
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相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ΛΛ，那么b an f d b m e c a =++++++++ΛΛ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
(完整word版)九年级数学相似三角形知识点及习题
相似三角形要点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点：1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SASSSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。
相似知识点与例题总结
相似知识点与例题总结一、相似三角形的性质及判定定理相似三角形是指有相同形状但大小不同的三角形。
对于两个相似三角形，它们的对应角相等，对应边成比例。
下面是相似三角形的一些性质及判定定理。
1. 相似三角形的性质a) 对应角相等：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。
b) 对应边成比例：如果两个三角形的对应边成比例，则它们是相似三角形。
2. 判定相似三角形的定理a) AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似三角形。
b) SSS相似定理：如果两个三角形的三条边成比例，则它们是相似三角形。
c) SAS相似定理：如果两个三角形的两条边成比例并且夹角相等，则它们是相似三角形。
d) 直角三角形的相似定理：如果两个直角三角形的两个锐角分别相等，则它们是相似三角形。
二、相似三角形的例题1. 已知在△ABC和△A'D'E'中，∠A=∠A', ∠B=∠D, AB=DE，则△ABC ∽△A'D'E'。
(AA相似定理)证明：∠A=∠A', ∠B=∠D，所以△ABC∽△A'D'E'。
2. 已知在△ABC和△A'D'E'中，AB/DE=BC/D'E'=AC/E'F'，则△ABC∽△A'D'E' ∽△A'F'E'。
(SSS相似定理)证明：AB/DE=BC/D'E'=AC/E'F'，根据SSS相似定理可得△ABC∽△A'D'E'，△A'D'E'∽△A'F'E'。
3. 已知在△ABC和△A'D'E'中，∠A=∠A', AC/A'D'=BC/B'C'，则△ABC ∽△A'D'E'。
2023年九年级相似三角形知识点总结及例题讲解
3.相似多边形旳性质：假如两个多边形是相似形，那么这两个多边形旳对应角相等，对应边旳长度成比例。
注意：当两个相似旳多边形是全等形时，他们旳对应边旳长度旳比值是1.
知识点二：比例线段有关概念及性质
（1）有关概念
1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b旳长度分别是m、n，那么就说这两条线段旳比是a：b＝m：n（或 ）
②两个位似图形旳位似中心只有一种。
③两个位似图形也许位于位似中心旳两侧，也也许位于位似中心旳一侧。
④位似比就是相似比。
2）性质：①位似图形首先是相似图形，因此它具有相似图形旳一切性质。
②位似图形是一种特殊旳相似图形，它又具有特殊旳性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心旳距离等于位似比（相似比）。
③每对位似对应点与位似中心共线，不通过位似中心旳对应线段平行。
3.推论旳逆定理：假如一条直线截三角形旳两边(或两边旳延长线)所得旳对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形旳第三边. (即运用比例式证平行线)
4.定理:平行于三角形旳一边,并且和其他两边相交旳直线,所截旳三角形旳三边与原三角形三边对应成比例.
5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,假如在一条直线上截得旳线段相等，难么在另一条直线上截得旳线段也相等。
三角形相似旳鉴定定理：
鉴定定理1：假如一种三角形旳两个角与另一种三角形旳两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用旳最多)
鉴定定理2：假如一种三角形旳两条边和另一种三角形旳两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)
相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
3.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．4.相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两角对应相等的两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示：（1）判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行，可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。
（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。
（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。
(完整版)相似三角形知识点及典型例题,推荐文档
相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
（6）判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC， （2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC 。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
典型例题：例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2，即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CEEF∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。
(完整word版)相似三角形_基本知识点+经典例题(完美打印版)
第四章《图形的相似》知识点与经典题型（2015.7.28）知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =．②()a ca b c d b d ==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c ba =⇔=::；②2::ab b cb ac =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a cd cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)：a cb d b da c=⇔=．．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 注：性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:)所得的对应线段成比例. 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例②平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 【典型例题示范】1、若2x －5y=0，求yx y x 5332+-的值。
相似三角形性质完整的题型+答案
相似三角形性质知识精要一、相似三角形的性质1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。
4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。
二、相似三角形的应用例题讲解:例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000__m2。
变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。
A.1:5000000B.1:500000C.1:50000D.1:5000答案：B例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。
(2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。
变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。
(A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9(2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。
(A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2答案：(1) C (2)D。
例题:如图，已知DE//BC，AD:DB=2:3，那么S△ADE:S△ECB= 4:15。
变式:如图，在ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。
A.12cm 2B.15cm 2C.24cm 2D.54cm 2 答案：D 。
例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5， 求:(1)S △AOD :S △BOC 的值； (2)S △AOB :S △AOD 的值。
答案:(1)9:25 (2)5:3。
九年级相似三角形知识点总结材料及例题讲解
知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a =4、比例外项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a bb a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bcad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积）2.反比性质： c da b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a ．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ΛΛ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ΛΛ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
相似三角形知识点整理及习题
相似三角形知识点整理及习题相似三角形知识点整理本章的两套定理：第一套（比例的有关性质）：ac/bd = ad/bc (比例基本定理)bd/ac = dc/ab 或者 bacd = a±bc±d (合比性质)bd/ac = ma+c+…+ma/(b+d+…+n) (等比性质)涉及概念：第四比例项、比例中项、比的前项、后项、内项、外项、黄金分割等。
有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：1) 与全等的判定方法的联系列表如下：类型全等三角形的判定相似三角形的判定SAS 两边对应成比例夹角相等SSS 三边对应成比例AAS（ASA）两角对应相等HL 一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出，只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”，就可得到相似三角形的判定定理。
6.直角三角形相似：1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：1)相似三角形的对应角相等。
2)相似三角形的对应边成比例。
3)相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
4)相似三角形的周长比等于相似比。
5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性：如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2.注意：相似三角形的基本定理是相似三角形的一个判定定理，也是后面研究的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“8”型。
相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)
相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)相似三角形基本知识点+经典例题一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
它们的对应角度相等，对应边长成比例。
以下是相似三角形的基本知识点和性质：1. 相似三角形的定义：如果两个三角形对应角相等，且对应边成比例，则它们是相似三角形。
2. 相似三角形的性质：a. 对应角相等：两个相似三角形的对应角是相等的。
b. 对应边成比例：两个相似三角形的对应边的比值相等。
3. 相似三角形的判定条件：a. AA判定：如果两个三角形的两对对应角相等，则它们是相似三角形。
b. AAA判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。
二、相似三角形的比例关系相似三角形的对应边长之间存在一定的比例关系。
如果两个三角形是相似的，则对应边的比值相等。
以∆ABC∼∆DEF为例，A与D为对应顶角，AB与DE、BC与EF、AC与DF分别为对应边长。
则有以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用，下面通过一些经典例题来进一步了解相似三角形的应用。
例题一：已知∆ABC与∆DBC是相似三角形，AB = 3cm, BC = 4cm, AC = 5cm, DB = 2cm，求DC的长度。
解析：根据相似三角形的性质，可以得到以下比例关系：AB/DB = AC/DC3/2 = 5/DCDC = 10/5 = 2cm因此，DC的长度为2cm。
例题二：在平行四边形ABCD中，∠B的度数是∠D的度数的2倍。
若AB= 10cm，BC = 15cm，求AD的长度。
解析：由于ABCD是平行四边形，所以∠B = ∠D。
根据题目条件可得：∠B = 2∠D∠B + ∠D = 180°（平行四边形的内角和为180°）将∠B代入上式得：2∠D + ∠D = 180°3∠D = 180°∠D = 60°由相似三角形的性质可得AB/AD = BC/CD，代入已知值可得：10/AD = 15/CD将CD表示为AD的式子，并代入已知条件可得：10/AD = 15/(2AD)10AD = 30AD = 3cm因此，AD的长度为3cm。
相似三角形经典练习题及答案
相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4，则它们的周长之比为（）A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案：A解析：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比。
因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4，所以相似比为 1∶2，那么它们的周长之比为 1∶2。
2、如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，若 AD∶DB ＝ 1∶2，则下列结论中正确的是（）A AE∶EC ＝ 1∶2B AE∶EC ＝ 1∶3 C DE∶BC ＝ 1∶2 DDE∶BC ＝ 1∶3答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。
因为 AD∶DB ＝1∶2，所以 AD∶AB ＝ 1∶3。
因为相似三角形对应边成比例，所以AE∶AC ＝ AD∶AB ＝ 1∶3，所以 AE∶EC ＝ 1∶2。
3、已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3∶4，△ABC 的周长为 6，则△A'B'C'的周长为（）A 8B 7C 9D 10答案：A解析：因为相似三角形周长的比等于相似比，所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。
设△A'B'C'的周长为x，则6∶x ＝3∶4，解得 x ＝ 8。
4、如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且DE∥BC，如果 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，AE ＝ 15cm，则 EC ＝（）A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以 AD∶AB ＝AE∶AC。
因为 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，所以 AB ＝ 3cm。
所以 2∶3＝ 15∶（15 ＋ EC)，解得 EC ＝ 1cm。
5、下列各组图形一定相似的是（）A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案：B解析：等边三角形的三个角都相等，都是 60°，所以两个等边三角形一定相似。
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拔高相似三角形习题集适合人群:老师备课,以及优秀同学拔高使用.一、基础知识（不局限于此)(一)．比例1.第四比例项、比例中项、比例线段； 2。
比例性质:(1）基本性质:bc ad d c b a =⇔=ac b c bb a =⇔=2 (2）合比定理:d dc b b ad c b a ±=±⇒= (3）等比定理:)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3。
黄金分割:如图,若AB PB PA ⋅=2,则点Ｐ为线段AB 的黄金分割点．4.平行线分线段成比例定理（二)相似1.定义：我们把具有相同形状的图形称为相似形。
2．相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例，对应角相等. 3.相似三角形的判定● （１)平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
● （２)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。
● (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. ● (４)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
4。
相似三角形的性质● (1)对应边的比相等,对应角相等。
● (2)相似三角形的周长比等于相似比。
● (3)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质： 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
6。
梯形的中位线定义:梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线。
梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半。
7.相似三角形的应用：1、利用三角形相似，可证明角相等;线段成比例(或等积式）; ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似,可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
（三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形,而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。
这个点叫做位似中心。
这时的相似比又称为位似比。
位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比二、经典例题例1.如图在４×4的正方形方格中,△ABC 和△D ＥＦ的顶点都在长为1的小正方形顶点上．B（1）填空：∠ABC=＿_____，BC=__＿____． （２）判定△ABC 与△ＤEF 是否相似?[考点透视］本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力. ［参考答案]①１３5°,２2②能判断△ABC 与△D ＥF 相似,∵∠ABC ＝∠ＤEF=•135°,AB BCDE EF==2 【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断. 例２。
如图所示，D 、E 两点分别在△ABC 两条边上，且ＤE 与B Ｃ不平行,请填上一个你认为适合的条件＿＿_＿＿＿__＿，使得△ADE ∽△A ＢC. [考点透视]本例主要是考查相似的判定[参考答案］∠1＝∠B 或∠２=∠C,或AD AEAB AC= 点评：结合判定方法补充条件.例3． 如图，王华晚上由路灯Ａ下的B 处走到C 处时,测得影子ＣＤ•的长为1米，继续往前走2米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米,已知王华的身高是１.5米,那么路灯Ａ的高度等于（ ) Ａ．4.５米 Ｂ．6米 C ．7.2米 Ｄ．８米 [考点透视]本例主要是考查相似的应用 [参考答案］ B例4。
如图，△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=１20m ｍ,高AD=80mm,•要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在ＡB 、AC 上，•这个正方形零件的边长是多少?［考点透视]本例主要是考查相似的实际应用 ［参考答案］ 48mm【点评】解决有关三角形的内接正方形(或矩形)的计算问题,•一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．例5。
如图所示,在△ABC 中,AB=ＡＣ=1，点D 、E 在直线BC 上运动，设BD=ｘ,CE=y ． （1）如果∠BAC=30°，∠ＤAE ＝1０5°,试确定y 与x 之间的函数关系式；（2)如果∠B ＡC 的度数为α,∠ＤA Ｅ的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时,(1)中y 与ｘ•之间的函数关系式还成立,试说明理由.[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用。
[参考答案]解：在△ABC 中,AB=AC=1，∠BAC=30°,∠AB Ｃ=•∠ACB=7５°，∠ABD=∠A ＣE=105°．又∠DAE=105°，∴∠D ＡB+∠CAE ＝7５°.• 又∠ＤA Ｂ+•∠AD Ｂ=∠A ＢC=75°, ∴∠CAE ＝∠A ＤB,∴△ADB ∽△EA Ｃ,∴1,1AB BD x EC AC y ==即，∴y=1x. 当α1β满足β—2α=90°,y=1x 仍成立．此时∠ＤA Ｂ+∠ＣAE=β—α，∴∠DA Ｂ+∠ＡDB ＝β—α,∴∠ＣAE=∠A ＤB ．又∵∠ＡBD=∠ACE ，∴△ＡD Ｂ∽△E ＡC ，∴ｙ=1x. 【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系. 例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为:３。
5cm ×3.5ｃm ，放映的荧屏的规格为２m ×2m ，若放映机的光源距胶片2０cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方,放映的图象刚好布满整个荧屏？ 解析:胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答.[考点透视]本例主要是考查位似的性质.[参考答案］807m【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形,因此位似图形具有相似图形的所有性质.三．适时训练(一)精心选一选1.梯形两底分别为m 、ｎ,过梯形的对角线的交点,引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为( )（Ａ)mn n m + (Ｂ)n m mn +2 (Ｃ）n m mn + (D)mnnm 2+ 2.如图，在正三角形ＡBC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上,且AC AD =31，ＡＥ＝ＢE ,则( ) （A ）△ＡED ∽△ＢE Ｄ(B)△A ＥＤ∽△ＣBD (C ）△ＡED ∽△ABD (Ｄ)△ＢＡD ∽△BCD题２ 题4 题53．Ｐ是Rt △ABC 斜边BC 上异于B 、C 的一点,过点P 作直线截△A ＢＣ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( )(A)１条 （B)2条 (C)３条 (D)4条４.如图,∠ＡＢＤ＝∠ＡCD ，图中相似三角形的对数是( )(A ）２ (Ｂ）3 （Ｃ）4 （D)55．如图，AB ＣD 是正方形,Ｅ是CD 的中点,P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是( ）(Ａ)∠AP Ｂ＝∠EPC (B)∠ＡＰE ＝90°(C)Ｐ是ＢC 的中点（Ｄ)BP ︰ＢC =２︰３ 6.如图,△ＡＢC 中,ＡＤ⊥BC 于D ,且有下列条件: (１)∠B ＋∠DA Ｃ＝９0°;(2)∠Ｂ＝∠D ＡC ；(３）AD CD =ABAC;(4）AB 2=B Ｄ·BC 其中一定能够判定△A ＢC 是直角三角形的共有（ ) （Ａ)３个 (B)2个 （C ）１个 （D)０个题６ 题7 题87．如图,将△AD Ｅ绕正方形ABCD 顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结ＥF 交ＡB 于H ,则下列结论中错误的是（ ）(A)A Ｅ⊥AF (B ）E Ｆ︰ＡＦ＝2︰1（C ）ＡF ２＝ＦH ·F Ｅ (Ｄ)FB ︰FC ＝H Ｂ︰ＥC 8.如图,在矩形A ＢＣD 中,点E 是AD 上任意一点，则有（ ）(A ）△ABE 的周长+△C ＤE 的周长＝△BCE 的周长 (B ）△A ＢE 的面积+△CD Ｅ的面积＝△BCE 的面积 (C)△ＡＢE ∽△DEC (D)△ABE ∽△EBC９.如图,在□ABCD 中,E 为AD 上一点,DE ︰CE ＝2︰3,连结AE 、BE 、BD ,且ＡE 、B Ｄ交于点F ,则Ｓ△ＤEF ︰Ｓ△EBF ︰Ｓ△A ＢＦ等于( )(A)4︰１0︰２5 (B ）4︰9︰25 （Ｃ)2︰3︰５ （D)2︰5︰25题9 题10 题1１ 10．如图，直线a ∥b ,AF ︰FB ＝3︰5，ＢC ︰CD ＝3︰1，则ＡE ︰E Ｃ为（ ）.（A ）5︰12 (Ｂ）9︰5 （C)12︰5 (D)3︰2 11．如图,在△ABC 中,M 是AC 边中点,E 是AB 上一点，且ＡE ＝41ＡＢ,连结EM 并延长,交BC 的延长线于Ｄ,此时BC ︰ＣD 为( )（A)2︰1 (Ｂ）3︰２ (C)3︰１ （D)５︰2１2．如图,矩形纸片A ＢC Ｄ的长ＡD =9 cm,宽ＡＢ=3 ｃｍ,将其折叠，使点D 与点Ｂ重合,那么折叠后D Ｅ的长和折痕ＥF 的长分别为（ )(A)4 cm 、10 cm （B ）5 cm 、10 cm(C)４ ｃm 、23 cm （D ）５ c ｍ、23 ｃm题１2(二)细心填一填1３.已知线段a =6 ｃm ，ｂ=2 cm ，则ａ、b 、a ＋b 的第四比例项是___＿＿c ｍ，a ＋ｂ与a -b 的比例中项是＿____c ｍ． 1４.若cb a +＝ac b +＝b ca +＝－m 2，则m =_＿＿_＿_.15．如图，在△ABC 中,A Ｂ=AC =27,D 在AC 上，且BD=ＢC ＝18，DE ∥BC 交A Ｂ于Ｅ，则D Ｅ=____＿__．16．如图,□ＡＢCD 中,E 是AB 中点，Ｆ在A Ｄ上，且ＡF ＝21FD ,ＥF 交AC 于Ｇ，则AG ︰AC ＝__＿＿__.题１6 题１7 题18 1７．如图，AB ∥CD ,图中共有____对相似三角形.18.如图，已知△ＡBC ,Ｐ是ＡＢ上一点，连结CP ，要使△ACP ∽△ＡBC ,只需添加条件______（只要写出一种合适的条件)．19.如图，A Ｄ是△ABC 的角平分线,DE ∥AC ,ＥF ∥BC ,ＡＢ=１5,AF ＝4,则ＤE 的长等于＿_＿＿____.题１9 题20 题２1 20．如图,△ＡB Ｃ中，AB =AC ，AD ⊥B Ｃ于Ｄ,ＡE ＝EC ,AD ＝1８,ＢE ＝15,则△AB Ｃ的面积是__＿＿__．21．如图,直角梯形AB ＣＤ中，AD ∥BC ,A Ｃ⊥ＡB ，ＡD ＝8,BC ＝10,则梯形ＡＢCD面积是_＿___＿___.２２.如图,已知AD ∥ＥF ∥BC ,且ＡＥ=2ＥB ，AD =8 cm,AD ＝８ cm,B Ｃ=１4 ｃm ，则Ｓ梯形A ＥFD ︰Ｓ梯形B ＣFE ＝____＿_＿__＿__．（三）认真答一答23。