相似相似三角形全部知识点总结附带经典习题和答案.

拔高相似三角形习题集

适合人群:老师备课,以及优秀同学拔高使用.

一、基础知识（不局限于此)

(一)．比例

1.第四比例项、比例中项、比例线段； 2。比例性质:

(1）基本性质:

bc ad d c b a =⇔=ac b c b

b a =⇔=2 (2）合比定理:d d

c b b a

d c b a ±=

±⇒= (3）等比定理:)0.(≠+++=++++++⇒==n d b b

a

n d b m c a n m d c b a

3。黄金分割:如图,若AB PB PA ⋅=2

,则点Ｐ为线段AB 的黄金分割点．

4.平行线分线段成比例定理

（二)相似

1.定义：我们把具有相同形状的图形称为相似形。

2．相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例，对应角相等. 3.相似三角形的判定

● （１)平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ● （２)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。

● (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. ● (４)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。 4。相似三角形的性质

● (1)对应边的比相等,对应角相等。 ● (2)相似三角形的周长比等于相似比。

● (3)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质： 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。 6。梯形的中位线定义:梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线。

梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半。 7.相似三角形的应用：

1、利用三角形相似，可证明角相等;线段成比例(或等积式）; ２、利用三角形相似，求线段的长等

3、利用三角形相似,可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 （三)位似:

位似:如果两个图形不仅是相似图形,而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。

位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

二、经典例题

例1.如图在４×4的正方形方格中,△ABC 和△D ＥＦ的顶点都在长为1的小正方形顶点上．

B

（1）填空：∠ABC=＿_____，BC=__＿____． （２）判定△ABC 与△ＤEF 是否相似?

[考点透视］本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力. ［参考答案]①１３5°,２2②能判断△ABC 与△D ＥF 相似,

∵∠ABC ＝∠ＤEF=•135°,AB BC

DE EF

=

=2 【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断. 例２。 如图所示，D 、E 两点分别在△ABC 两条边上，且ＤE 与B Ｃ不平行,请填上一个你认为适合的条件＿＿_＿＿＿__＿，使得△ADE ∽△A ＢC. [考点透视]本例主要是考查相似的判定

[参考答案］∠1＝∠B 或∠２=∠C,或

AD AE

AB AC

= 点评：结合判定方法补充条件.

例3． 如图，王华晚上由路灯Ａ下的B 处走到C 处时,测得影子ＣＤ•的长为1米，继续往前走2米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米,已知王华的身高是１.5米,那么路灯Ａ的高度等于（ ) Ａ．4.５米 Ｂ．6米 C ．7.2米 Ｄ．８米 [考点透视]本例主要是考查相似的应用 [参考答案］ B

例4。 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=１20m ｍ,高AD=80mm,•要把它加工成正方

形零件,使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在ＡB 、AC 上，•这个正方形零件的边长是多少?

［考点透视]本例主要是考查相似的实际应用 ［参考答案］ 48mm

【点评】解决有关三角形的内接正方形(或矩形)的计算问题,•一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．

例5。如图所示,在△ABC 中,AB=ＡＣ=1，点D 、E 在直线BC 上运动，设BD=ｘ,CE=y ． （1）如果∠BAC=30°，∠ＤAE ＝1０5°,试确定y 与x 之间的函数关系式；

（2)如果∠B ＡC 的度数为α,∠ＤA Ｅ的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时,(1)中y 与ｘ•之间的函数关系式还成立,试说明理由.

[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用。

[参考答案]解：在△ABC 中,AB=AC=1，∠BAC=30°,∠AB Ｃ=•∠ACB=7５°，∠ABD=

∠A ＣE=105°．

又∠DAE=105°，∴∠D ＡB+∠CAE ＝7５°.• 又∠ＤA Ｂ+•∠AD Ｂ=∠A ＢC=75°, ∴∠CAE ＝∠A ＤB,∴△ADB ∽△EA Ｃ,

∴

1,1AB BD x EC AC y ==即，∴y=1

x

. 当α1β满足β—2

α

=90°,y=1x 仍成立．

此时∠ＤA Ｂ+∠ＣAE=β—α，∴∠DA Ｂ+∠ＡDB ＝β—α,

∴∠ＣAE=∠A ＤB ．

又∵∠ＡBD=∠ACE ，∴△ＡD Ｂ∽△E ＡC ，∴ｙ=

1x

. 【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系. 例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为:３。5cm ×3.5ｃm ，放映的荧屏的规格为２m ×2m ，若放映机的光源距胶片2０cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方,放映的图象刚好布满整个荧屏？ 解析:胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答.