函数与方程【高三重点复习】PPT课件

(2)用二分法求函数零点近似值的步骤 第一步：确定区间［a,b］,验证_f_(_a_)_·__f_(_b_)_＜__0_,给定精确度ε; 第二步：求区间(a,b)的中点c;
第三步:计算f(c)； ①若f(c)=0,则c就是函数的零点； ②若f(a)·f(c)＜0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)); ③若f(c)·f(b)＜0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). 第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a-b|＜ε,则得到零点 近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步.
第九节 函数与方程
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三年12考 高考指数:★★★ 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判 断一元二次方程根的存在性及根的个数. 2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
1.函数零点个数、存在区间及方程解的确定与应用是高考的热 点. 2.常与函数的图象与性质交汇命题，主要考查函数与方程、转 化与化归、数形结合思想. 3.题型以选择题和填空题为主，若与导数综合，则以解答题形 式出现，属中、高档题.
1.函数的零点 (1)定义：若实数x是函数y=f(x)的零点，则需满足条件_f_(_x_)_=_0_. (2)三个等价关系：
实数解
交点
零点
【即时应用】
(1)函数f(x)=x3-x的零点是______.
(2)函数f(x)=lgx- 1 的零点个数是______.
x
【解析】(1)令f(x)=0，即x3-x=0解得x=0,1,-1,
【解析】(1)∵c=f(0),∴a·c=a·f(0)<0,即a和f(0)异号，
即af(0)00,或∴af(函0)0数0必, 有两个零点. (2)当a=0时，则f(x)=-x-1,易知函数只有一个零点.
当a≠0时，则函数为二次函数，仅有一个零点， 即Δ=1+4a=0,∴a= 1 ，
4
综上，当a=0或a= 1 时，函数只有一个零点.
∴f(x)的零点为-1，0，1.
(2)由等价关系，零点个数转化为方程lgx- 1=0的根的个数
x
lgx= 1,即又转化为函数y=lgx与y= 1图象交点个数，由图象
x
x
得：有一个交点.
答案：(1)-1，0，1 (2)1
2.函数零点的存在性定理
条件
结论
函数y=f（x）
在a ,b 上
(1)图象是连续不断的 (2)f(a)·f(b)<0
③若f(a)f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0( ) ④若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b)使得 f(c)=0( )
(2)已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点，则此零点所在的最 短区间为_______.(区间端点为整数) (3)函数f(x)=mx-1在(0，1)内有零点，则实数m的取值范围是 _______.
4
答案：(1)2 (2){a|a=0或 }1
4
4.二分法 (1)二分法的定义 ①满足的条件： 在区间[a,b]上_连__续__不__断__的函数y=f(x)在区间端点的函数值满 足：_f_(_a_)_·__f_(_b_)_<_0_. ②操作过程： 把函数f(x)的零点所在的区间_一__分__为__二__，使区间的两个端点逐 步逼近_零__点__，进而得到零点的近似值.
3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
△>0
△=0
△<0
二次函数y =ax2 +bx +c(a>0) 的图象
y
x1 o
x2 x
y
o
x1=x2
x
y
o
x
与x 轴的 交点
零点
(x1,0),(x2,0）
x1,x2
(x1,0)
x1
无交点 无
【即时应用】 (1)若二次函数f(x)=ax2+bx+c中，a·c<0,则其零点个数是 _______. (2)若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点，则实数a的取值范围是 _______.
x
的大致区间是( )
(A)(1，2)
(B)(2，3)
2
(2)令f(x)=x3-2x-5验证知f(2)<0,f(2.5)>0,f(3)>0，所以下一
个有根的区间是(2，2.5). 答案：(1)求区间(1，2)的中点为 3
2
(2)(2，2.5)
确定函数零点所在的区间 【方法点睛】 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程，再看求 得的根是否落在给定区间上；
(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间 ［a,b］上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有， 则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点. (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间 上是否有交点来判断.
【例1】(1)(2012·汕头模拟)函数f(x)=ln(x-2)- 2 的零点所在
【即时应用】 (1)已知f(x)=x3+x2-2x-2,f(1)·f(2)<0,用二分法求f(x)在(1， 2)内的零点时，第一步是_______. (2)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间［2，3］内的实根， 取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是_______.
【解析】(1)根据二分法求函数零点近似值的步骤，已知 f(1)·f(2)<0后，应该求区间(1，2)的中点为 .3
y=f(x)在(a,b)内 有零点
【即时应用】 (1)若函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象为连续不断的一条曲 线，判断下列命题是否正确(请在括号中填写“√”或“×”) ①若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0( ) ②若f(a)f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得 f(c)=0( )
【解析】(1)如图甲的情况可判断①错③正确，如图乙的情况可 判断②不正确，由零点存在性定理可知④不正确.
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(2)由于f(0)=-1<0，f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0, f(4)=59>0,故只有区间(1，2)满足. (3)由f(0)f(1)<0,得(-1)·(m-1)<0， ∴m>1. 答案：(1)①× ②× ③√ ④× (2)(1，2) (3)m>1