好用的高中数学椭圆解题方法
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .椭圆方程12222=+by a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=∴2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，∴12AB y -==∴()2222221ab AB m b m a=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1tan m θ=，则有： ()2222222222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-……②. （2）若=90θ，则0m =，带入()2222221ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由()222232222222222222222222()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2cos b x a c θ=-，在12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2cos b y a c θ=+，则弦长2222222=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：由解法一知22212121222222222=()22m cb a cx x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-故222221212222222222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：利用仿射性，可做如下变换''x xa y yb =⎧⎪⎨=⎪⎩，则原椭圆变为222(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为ak b.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为212''1()a A B k x x b=+-，带入，得变换前后弦长关系为22221=''b k AB A B b a k++……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()ay k x c b=-，圆心到直线的距离为21()a kc bd a k b=+，根据半径为a ，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b+-=++，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k++++++++，由tan k θ=，带入得 22222cos ab AB a c θ=-.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cos ab AB a c θ=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521x y +=的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3a b c πθ===，,带入22222cos ab AB a c θ=-得=10AB . 例2已知点3(1,)2P -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MNAB ，2ABW MN=,试判断W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得221914a b+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. （2）假设(,)A m n，则AB =，设倾斜角为θ，则cos θ=，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos 12()4abm n MN m a c m n m n θ+===-+-+，故222=443ABm n W MN =+（）=4. 例3如图，已知椭圆22143x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且1234F PF π∠=，求四边形ABCD 的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234F PF π∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cos AC θ=-, 2124cos ()4BD πθ=--，221221212=2244cos 4cos ()4S AC BD πθθ⋅⋅⋅=⋅⋅---, 设22()(4cos )(4cos ())4f πθθθ=---71714971(cos 2)(sin 2)sin 2+cos 2+sin 42222448θθθθθ=--=-（） 设sin 2cos 2(2,2)t t θθ⎡⎤+=∈-⎣⎦， 则2sin 41t θ=-,带入得24971()+(1)448f t t t =-- 即21797()848f t t t =-+ min 99142()8f t -=,此时2t =， 即sin 2cos 22θθ+=，得到=8πθ.综上，四边形ABCD 的最大值为2882=5.1499142S ≈-.此时=8πθ，得到2l 的倾斜角为78π,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.。
高中数学_椭圆,知识题型总结
陈氏优学教学课题椭圆知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义1．若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是 知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
讲练结合二．利用标准方程确定参数1．椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。
2．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。
知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以椭圆是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a ，|y|≤b 。
（3）顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。
a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。
高中数学：巧用定义求椭圆中的四类最值问题新课标人教A版选修1-1
巧用定义求椭圆中四类最值问题圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解，下面以椭圆为例归纳四类最值问题。
一、的最值若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最小值。
例1. 已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。
分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。
这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。
二、的最值若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。
例2. 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。
解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）图1由椭圆的第一定义得：可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。
故的最大值为，最小值为。
三、的最值若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。
例3. 已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。
解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为图2根据椭圆的第二定义有：，即可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。
故的最小值为10。
四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例4. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB 的中点M到椭圆右准线的最短距离。
解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”⊥于B”，MM”⊥于M”图3则当且仅当AB过焦点F时等号成立。
故M到椭圆右准线的最短距离为。
评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要 ：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即AB = 1 k 2x 1 x 2或者 AB= 1+( k 1)2y 1 y 2 ，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公 式： 2ab2AB 2 2a 2b 2 ，如果记住公式，可以给我们解题带来方便 .a2 c 2 cos 2下面我们用万能弦长公式， 余弦定理， 焦半径公式， 仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式， 这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用 .解法一 ：根据弦长公式直接带入解决 .22题：设椭圆方程为 x2 y2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab圆于A( x 1 , y 1), B ( x 2 , y 2 )两点，求弦长 AB .22椭圆方程 x2 y 2 1可化为b 2x 2a 2y 2 a 2b 2⋯⋯①， a2b 2直线 l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c ( 斜率不存在即为 m 0时 ) ，代入①得：(b 2m 2a 2)y 2 2mcb 2 y b 2c 2 a 2b 2 0 ，整理得， (b 2m 2 a 2)y 22mcb 2y b 4∴y1y 2b 2m 22mcb 22 ,y 1y 2 a b 4b 2m 2aAB = 1+( k 1)2y 1y 21 m2(2 2 bm 2mcb 2 )2 2)a4b 42 2 2b m a1 m 24a 2b 4(1 m 2)2 2 2 2(b m a )∴ AB2ab 22 2 2 b m a1m1)若直线 l 的倾斜角为，且不为 90o ,则1 tan ，则有：ABb 2m 2a 2b a 2 1 m 2b m a2ab 22 1 2 b 2 atan1tan 2由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为AB2ab 22 2 2 a c cos②.2)若 =90o ，则 m 0，带入 AB2 2ab 22 2 2 b m a1 m 2,得通径长为 2b 2，同样满足②式 .并且由a解法二 ：根据余弦定理解决22题：设椭圆方程为 x 2 y2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab 圆于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，求弦长 AB .AB2ab 21 m2 =2a(b 2m 2a 2) 2a 32ab 22 2 21 m =2 2 2b m a b m a2a2a 2(a 22 b 22) 2a2a(a 22 b 2) 2b 2b m a a,当且仅当 m 0 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为2b 22b，故可知通径是最短的焦点弦， a综上，焦点弦长公式为 AB2ab 22 2 2 a c cos22题：设椭圆方程为 x 2 y 2 a 2 b21，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭圆于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，求弦长 AB .解：如右图所示，连结 F 1 A, F 1B ，设 F 2A=x, F 倾斜角为 ，则由椭圆定义可得AF 1F 2 中，由余弦定理得cos( )(2c)2x 2(2a x)2，化简可得4cxBF 1F 2 中，由余弦定理同理可得b 2a ccosABb 2b 2ya ccos a ccos2ab 2222a c cos解法三：利用焦半径公式解决 解：由解法一知x 1x 2=my 1 c my 2 c m(y 1 y 2 ) 2c22 2m 2cb 2 2 2 2bm a 2c22a 22c2 .由椭圆b 2m 2a 2的第二定义可得焦半径公式，那么 F 2A a ex 1, F 2B aex 2，则弦长2 F 1A =2a x中 结 得AB③2 abkc为a2果带入③将此b 1 k 22 2 2 a 2b 2(1 k 2)2 2 2 b 2 a 2k 2b2 a 2k2 A'B'b 2m2 A'B' =b 2 a 2k 22 2 2b 2 a 2k 22 2 2b 2 a 2k 2后面分析同解法解法四 ：利用仿射性解决22题：设椭圆方程为 x 2 y 2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab圆于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，求弦长 AB .b 1 k 2a 2b 2(1 k 2) 2ab 2(1 k 2)，由 k tan ，带入得AB = b 1 k 2AB =b 2 a 2k 22ab 2m 2 2ab 2 故AB =a ex 1 a ex 2 2a e(x 1 x 2)2 2 2b m ax' x解：利用仿射性， 可做如下变换 a ，则原椭圆变为 (x')2 (y')2 y' ya 2，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆 . 假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为 bak .椭圆中弦长 AB = 1 k 2x 1 x 2 ，经过 变换后变为 A'B' 1 (a k)2 x 1x 2 ，带入，得变换前后弦长关系为AB =(akc )2 b 1 (a bk )2bA'B' =2 a 22ab 2a 2 c 2 cos 22ab 2(1 m 2)勾股定理求得弦长为而我们知道圆的弦长可以用垂径 定理求得 .如图所示，假设直线y a k(x c) ，圆心到直线的距 b离为 d，根据半径1 (a bk)2a4上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为： 记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明 22 例 1已知椭圆 x y25 21 AB2ab 2，2 2 2，a c cos1，过椭圆焦点且斜率为 3 的直线交椭圆于 A, B 两点，求 AB . 分析：如果直接用弦长公式解决， 因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解解：由题， a 5,b 2 21,c 24， = , 带入 AB 3 2ab 2 222a c cos 得 AB =10. 例 2已知点 P(1, 3) 在椭圆 C ：x2 2 a 22y2 1(a> b> 0)上，过椭圆 C 的右焦点 F 2 (1,0)的直线 l与b 椭圆 C 交于 M,N 两点 . 1)求椭圆的标准方程； 2)若AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦，且MN PAB ，W AB MN 2,试判断 W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由 . 分析：因为 l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单 9 2 2 2 21 ，又 a b c 4b2 1 解：(1)由题知 c 1，将点 P 带入得 12 a 2 ，解得 a 2 4,b 23 ，故椭 22 圆方程为 x y1. 43 2)假设 A(m,n) ，则 AB 2 m 2 n 2，设倾斜角为 ，则 cos m m 2 n 2 ，根据过焦点的弦长公式则 MN 2ab 22 a 22 c cos 12 2 m 22 mn3m 212(m 2 4n 2 ，故 W n 2) AB MN m 2 =4( 4 2 n )=4. 3 例3如图，已知椭圆 1的左右焦点为 F 1,F 2， 过 F 2 的直线 l 1 交椭圆于 A,C 两点，过 F 1 的直线 l 2交椭圆于 B,D 两点， l 1,l 2交于点 P ( P 在x 轴下方)，且 F 1PF 2 43 ，求四边形 ABCD 的 面积的最大值 . 分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成F 1PF 23的点 P 在圆 内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值2解：假设 l 1 的倾斜角为,则 l 2的倾斜角为 3+，由椭圆的焦点弦长公式得： AC12 4 cosBD 12 S=1 2ACBD12 12 cos ( )4 2cos4 cos 2() 4设 f( (4 cos )(4 cos ( 7(72 cos2 )( 1 12sin 2 )4))49 7 ( sin2 44+cos 21)+ sin4 8设 sin2 cos2t(t2, 2 ) ，则sin4 t 21,带入得 f(t)49 7t+1(t 2 4481)即f(t)1t 28 7t 97 48f (t)min 99 14 2,此时 t 2，即 sin2 cos22 ，得到 综上，四边形 ABCD 的最大值为 288 2 S=99 14 2 = 8 ，得到l 2的倾斜角为 8 ,刚好两直线关于 y 轴对称，如 右图所示 .5.14 .此时。
高中数学破题致胜微方法(椭圆的基本性质)11.椭圆中焦点三角形的周长问题 Word版含答案
高中数学破题致胜微方法（椭圆的基本性质）11.椭圆中焦点三角
形的周长问题 Word版含答案
今天我们研究椭圆中焦点三角形的周长问题。
利用椭圆的第一定义，过椭圆一个焦点
的弦与另一个焦点构成的三角形周长为定值，即长轴的倍。
先看例题：例：如图,椭圆:的左焦点为,过的直线交椭圆于两点,求△的周长.
规律整理：椭圆
的左焦点为，右焦点为，
过的直线交椭圆于，两点，则的周长为
椭圆的左焦点为，右焦点为，
过的直线交椭圆于，两点，则的周长为
注意：这类三角形周长为定值，与直线的倾斜角无关。
再看一个例题，加深印象例：在平面直角坐标系
中，椭圆的中心为原点，焦点
在轴上，离心率为
.过的
直线交于，两点，且的周长为，那么的方程为（）
即.
又,所以,所以.故椭圆的方程是. 练习：
. 设，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，△的周长为，求；若，求椭圆的离心率.
. 已知椭圆：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于、两点，若△的周长为，则的方程为( ) . . . .
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学椭圆秒杀技巧
高中数学椭圆秒杀技巧
椭圆是平面几何中的重要概念，也是高中数学中常见的几何图形之一。
在学习
椭圆的过程中，很多同学可能会觉得难以掌握，但实际上只要掌握一些技巧，就能轻松秒杀椭圆相关问题。
本文将介绍几个高中数学中秒杀椭圆题目的技巧。
技巧一：理解椭圆的定义
在学习椭圆之前，首先要对椭圆的定义有一个清晰的认识。
椭圆是平面上到两
个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
这个定义看起来有点抽象，但理解了这个定义之后，我们就能更好地解决与椭圆相关的问题。
技巧二：熟练掌握椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是一个常见的形式，即$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} =
1$。
掌握这个标准方程可以帮助我们快速识别椭圆，并在解题过程中更加得心应手。
技巧三：利用对称性简化问题
椭圆具有很强的对称性，可以利用这一特点简化问题。
分析题目中给出的条件，找到椭圆的对称轴和对称中心，可以帮助我们更快地找到解题思路。
技巧四：化简方程，消减未知数
有些椭圆相关的问题可能会涉及复杂的方程式，我们可以通过一系列化简操作，将方程转化为更简单的形式。
在这个过程中，适当的代换和方程变换是非常有帮助的。
技巧五：灵活运用性质和定理
掌握椭圆的相关性质和定理是解题过程中的利器。
比如椭圆的离心率性质、焦
点定理等，都可以帮助我们更好地理解题目和解题。
通过掌握上述技巧，我们就能更好地应对高中数学中关于椭圆的问题，轻松秒
杀各种椭圆相关题目。
希望同学们能够在练习中不断提升解题能力，取得更好的成绩！。
高中数学 破题致胜微方法(椭圆的参数方程)四 利用椭圆的参数方程求轨迹(1)
利用椭圆的参数方程求轨迹今天我们研究利用椭圆的参数方程求轨迹问题.已知椭圆的标准方程，则可以将椭圆的方程改写成参数方程，通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标，利用动点与椭圆上已知点的关系，建立坐标等式，消去参数化简得到动点的轨迹方程. 先看例题例：定点(0,2)A 与椭圆2221x y +=上的动点M 相连线段的中点的轨迹的参数方程为？注意椭圆的参数方程：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：焦点在x 轴上的椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>，cos ,()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数. 焦点在y 轴上的椭圆：22221(0)y x a b a b +=>>，cos ,()sin x b y a θθθ=⎧⎨=⎩为参数. 以上的[)0,2θπ∈.例2：点P 为椭圆221691x y +=上异于长轴端点的任意一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，求 12PF F 重心的轨迹方程.总结：1.一般处理此类问题，先利用椭圆的参数方程,设出椭圆上点的坐标，注意：如果是椭圆的一部分，要注意参数方程中参数θ的范围.2.利用动点与已知点的关系，建立有关动点的等式，得到参数方程.消去参数后得到动点的普通方程轨迹方程.练习题：1.已知点A在椭圆22114436x y+=上运动，点B（0，9）、点M在线段AB上，且12AMMB=，试求动点M的轨迹方程.2.已知椭圆方程为22221x ya b+=，椭圆长轴的左、右顶点分别为A1，A2，P是椭圆上任一点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，且A1Q与A2Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程. 练习题解析：1.已知点A在椭圆22114436x y+=上运动，点B（0，9）、点M在线段AB上，且12AMMB=，试求动点M的轨迹方程.2.已知椭圆方程为22221x y a b+=，椭圆长轴的左、右顶点分别为A 1，A 2，P 是椭圆上任一点， 引 A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，且A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求点Q 的轨迹方程. 解：设椭圆的参数方程为cos ,(2sin x a y b θθθπθ=⎧≤<⎨=⎩为参数,且0). 则P 点坐标为 ()cos ,sin a b θθ ，由题意知，cos θ≠1，sin θ≠0 . ∵1sin cos A P b k a a θθ=+，2sin cos A P b k a a θθ=-， ∴111(cos 1),sin A Q A P a k k b θθ-+==- 221(cos 1).sin A Q A P a k k b θθ--==- ∴A 1Q 的方程为(cos 1)()sin a y x a b θθ+=-+ ① A 2Q 的方程为(cos 1)()sin a y x a b θθ-=-- ② ①×② ，得()()22222222222(cos 1)sin a a y x a x a b b θθ-=⋅-=-⋅-. 化简整理，得224221(0),x y y a a b +=≠即为所求的轨迹方程.。
椭圆知识梳理和应用和解题方法步骤
圆锥曲线圆锥曲线分三大部分：椭圆，双曲线和抛物线 （一）椭圆椭圆分三大部分：基本量的应用、利用椭圆的基本量解决焦点三角形问题、直线和椭圆的相交问题一、椭圆的知识梳理二、椭圆的标准方程和统一方程三、椭圆的离心率 e= c/a ( 0<e<1)说明：1、同学们要牢记椭圆的定义，这是同学们经常想不到要用的，要记住。
对于求焦点三角形的面积，或者给了焦点弦之差、之积这些情况，第一想到的要用椭圆的定义。
例题：（1）已知△ABC 的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A ，B 的坐标分别为（-1，0），（1，0）．求顶点C 的轨迹W 的方程解析：1、等差数列 得到，线段之和为定值，为椭圆方程、利用椭圆的定义来求解方程，确定a 2 、确定焦点在哪个轴3、列出椭圆标准方程，带值整理2、若椭圆两个焦点为12(40)(40)F F -，，，，椭圆的弦的AB 过点1F ，且2ABF △的周长为20，那么该椭圆的方程为 ． 出现周长，想到定义。
2、求椭圆的方程，1.、确定焦点在哪个轴，用标准方程、不确定焦点在哪个轴，用统一方程。
2.一．设方程、二、带点、三、解法方程得解得结论、{}无轨迹时点的轨迹是线段时点得轨迹是椭圆是点椭圆的定义：P a P a a )22(2|)1(212121c F F c P c a c F F a MF MFM P <=><==+=22222222222c b a c 2 b 2 a 2c -0c ,0y )0(10c -0,c x )0(1+====>>=+>>=+焦距短轴长轴），）和（轴上（焦点坐标在），）和（轴上（焦点坐标在椭圆的方程：b a b x a y b a b y a x 轴上时焦点在轴上时焦点在x y ),0,0(122B A B A B A B A By Ax <>≠>>=+1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点（- 32，52）．（3） 焦点在y 轴且经过两个点（0、2）（1、0）（4） 经过p （-23、1）q （3、2）（5） 方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( )(A)-16<m<25 (B)-16<m<29 (C)29<m<25 (D)m>29（6） 与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是 _______________（7） 椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的( )(A)3倍 (B)2倍 (C)2倍 (D)32倍9)、对于求离心率问题，重要的应用abc 三者的平方关系，导出a 与c 的关系。
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练第一部分：复运用的知识一）椭圆几何性质椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。
两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。
椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。
这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里（封闭曲线）。
该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。
椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。
长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。
椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关。
当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。
椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。
二）运用的知识点及公式在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：1、两条直线.2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。
1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.2.弦长公式：如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上，则y1=kx1+b，y2=kx2+b。
高中数学破题致胜微方法(椭圆的进阶性质)：椭圆中的定点问题 Word版含答案
代入并整得
，
化简整理得到
均满足判别式大于0，
所以，当
当
今天我们研究椭圆中的定点问题。椭圆中的定点问题往往与椭圆中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。证明直线过定点，一般是先选择一个参数建立直线系方程，然后再根据直线系方程过定点时，方程的成立与参数没有关系，得到一个关于x，y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点。
整理得 ，
所以 .
将 ， 代入上式，
整理得 .
由于上式对任意实数 都成立，所以 .
综上，存在定点 ，使 平分 .
整理：
处理定点问题的方法：
（1）常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；
（2）也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。
再看一个例题，加深印象
例：已知椭圆 的左顶点为A.过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭圆于B,C两点,且k1k2=2,求证:直线BC恒过一个定点.
4.如图,椭圆 的两焦点 ， 与短轴两端点 ， 构成 为 ,面积为 的菱形。
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 与椭圆相交于 、 两点( 、 不是左右顶点),且以 为直径的圆过椭圆右顶点 ．求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标．
答案：
1.
2.
3.
4.
解： 椭圆的方程为
（2）由
，
即
设M ，则有
因为以 为直径的圆过椭圆右顶点 ，所以
3.在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆 的左、右顶点为A,B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA,TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0.
高中数学解椭圆方程的常见方法和注意事项
高中数学解椭圆方程的常见方法和注意事项椭圆方程是高中数学中的重要内容，解椭圆方程需要掌握一些常见的方法和注意事项。
本文将介绍几种常见的解椭圆方程的方法，并给出相应的例题进行说明。
一、配方法解椭圆方程配方法是解椭圆方程的一种常用方法，它的基本思想是通过变量代换将椭圆方程转化为标准形式，从而求解出方程的解。
例题一：解方程$x^2-3xy+2y^2=7$解法：首先，我们将方程进行配方，即将$x^2-3xy+2y^2$转化为$(x-y)(x-2y)$的形式。
因此，原方程可写为$(x-y)(x-2y)=7$。
接下来，我们可以尝试令$u=x-y$和$v=x-2y$，则方程可以进一步转化为$uv=7$。
这样，我们就将原方程转化为了一个更简单的形式，可以通过求解$u$和$v$的值来得到方程的解。
假设$u=1$，则$v=7$；假设$u=7$，则$v=1$。
因此，原方程的解为$(x-y,x-2y)=(1,7)$和$(7,1)$。
二、直接求解椭圆方程直接求解椭圆方程是一种简单直接的方法，需要将方程转化为标准形式，然后根据标准形式进行求解。
例题二：解方程$4x^2+9y^2-24x+36y=0$解法：首先，我们将方程进行配方，即将$4x^2-24x$转化为$4(x^2-6x)$，将$9y^2+36y$转化为$9(y^2+4y)$。
然后，我们再将方程进行分组，即$4(x^2-6x)+9(y^2+4y)=0$。
接下来，我们可以将$x^2-6x$转化为$(x-3)^2-9$，将$y^2+4y$转化为$(y+2)^2-4$。
将这些转化代入方程，得到$(x-3)^2-9+9(y+2)^2-36=0$。
整理后，得到$(x-3)^2+9(y+2)^2=45$。
这是一个标准的椭圆方程，可以根据标准形式求解。
通过对方程进行分析，我们可以得到椭圆的中心坐标为$(3,-2)$，长轴长度为$\sqrt{45}$，短轴长度为$\sqrt{5}$。
高中数学破题致胜微方法(椭圆的进阶性质)：椭圆焦点三角形的一个面积公式
1今天我们研究椭圆焦点三角形的一个面积公式。
椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。
椭圆大小确定后，椭圆焦点三角形的面积只和焦半径的夹角有关。
先看例题：例：在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆.证明：如图，记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ2 .cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆ 同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.归纳整理：焦点三角形的面积公式：2211||,||r PF r PF ==，12F PF θ∠=；2tan 221θb S PF F =∆。
再看一个例题，加深印象例：已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若3 21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C.3 D. 33 解：设θ=∠21PF F ，则21cos 2121==θ，.60︒=∴θ 利用整理出的焦点三角形面积公式，直接可得：.3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F所以本题选A.总结： 1.椭圆焦点三角形是一个很重要的三角形，相关的知识有椭圆的定义、余弦定理等.2.椭圆大小确定后，椭圆焦点三角形的面积只和焦半径的夹角有关.练习：1.椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 242.椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 64答案： 1. 解：24,90221=︒==∠b PF F θ， ∴2445tan 242tan 221=︒==∆θb S PF F .故答案选D.2. 解：设θ=∠21PF F ， 12tan 2tan 221===∆θθb S PF F ， ∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF . 故答案选A.。
一些好用的高中数学椭圆解题方法
一些好用的高中数学椭圆解题方法一些好用的高中数学椭圆解题方法一、设点或直线做题一样都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有专门多种。
其中点能够设为等，假如是在椭圆上的点，还能够设为。
一样来说，假如题目中只涉及到唯独一个椭圆上的的动点，那个点能够设为。
还要注意的是，专门多点的坐标差不多上设而不求的。
关于一条直线，假如过定点同时不与y轴平行，能够设点斜式,假如不与x轴平行，能够设，假如只是过定点，能够设参数方程，其中是直线的倾斜角。
一样题目中涉及到唯独动直线时能够设直线的参数方程。
二、转化条件有的时候题目给的条件是不能直截了当用或直截了当用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。
关于一道题来说这是至关重要的一步，假如转化得巧，能够极大地降低运算量。
比如点在圆上能够转化为向量点乘得零，三点共线能够转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则那个角的两条边斜率和是零。
有的题目可能不需要转化直截了当带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估量一下哪种方法更简单。
三、代数运算转化完条件就剩算数了。
专门多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目差不多上如此。
有的题目可能需要算弦长，能够用弦长公式，设参数方程时，弦长公式能够简化为解析几何中有时要求面积，假如O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为和，AB与x轴交于D，则(d是点O到AB的距离；第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用)。
解析几何中专门多题都有动点或动直线。
假如题目只涉及到一个动点时，能够考虑用参数设点。
若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。
在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。
高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论
高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论【名师综述】在高考中，圆锥曲线肯定要出一至两道小题，难度在中等偏上，所以，为了节省时间，记住一些重要的结论，到时候就可以直接用了！下面小数老师给大家带来8条出题率最高的结论，一定要记住哦;【典例剖析】 例题1. 椭圆＝1上存在n 个不同的点P 1，P 2，…，P n ，椭圆的右焦点为F ．数列{|P n F |}是公差大于的等差数列，则n 的最大值是（ ） A ．16B ．15C ．14D ．13【分析】（|P n F |）min ≥|a ﹣c |＝，（|P n F |）max ≤a +c ＝3，|P n F |＝|P 1F |+（n ﹣1）d ．再由数列{|P n F |}是公差大于的等差数列，可求出n 的最大值． 【解答】解：∵（|P n F |）min ≥|a ﹣c |＝，（|P n F |）max ≤a +c ＝3，||P n F |＝|P 1F |+（n ﹣1）d∵数列{|P n F |}是公差d 大于的等差数列，∴d ＝＞，解得n ＜10+1，则n 的最大值为15 故选：B ．例题2.已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．解法一：基本解题法【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，利用斜率计算公式可得＝＝．于是得到，化为a2＝2b2，再利用c＝3＝，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝﹣2，＝＝．∴，化为a 2＝2b 2，又c ＝3＝，解得a 2＝18，b 2＝9．∴椭圆E 的方程为．故选：D ．解法二：结论解题法 【典例剖析】 例题3. 椭圆C ：＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】由题意求A1、A2的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA1斜率的取值范围．【解答】解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为A1（﹣2，0）、A2（2，0），设点P（a，b）（a≠±2），则＝1…①，＝，＝；则＝＝，将①式代入得＝﹣，∵∈[﹣2，﹣1]，∴∈．故选：D．解法二：结论解题法【典例剖析】例题4.已知P是椭圆+＝1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若＝，则△F1PF2的面积为（）A．3B．2C．D．【分析】先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F1F2|，设F1P＝m，F2P＝n，再根据条件求出∠F1PF2＝60°，然后利用余弦定理可求得mn的值，je利用三角形面积公式求解．【解答】解：由题意可得：a＝5，b＝3，所以c＝4，即F1F2＝2c＝8．设F1P＝m，F2P＝n，所以由椭圆的定义可得：m+n＝10…①．因为，所以由数量积的公式可得：cos＜＞＝，所以．在△F1PF2中∠F1PF2＝60°，所以由余弦定理可得：64＝m2+n2﹣2mn cos60°…②，由①②可得：mn＝12，所以．故选：A．解法二：结论解题法【典例剖析】例题5. 已知椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角∠F 1PF 2渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点P 0处时，张角∠F 1PF 2达到最大值，由此可得结论．【解答】解：如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角∠F 1PF 2渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点P 0处时，张角∠F 1PF 2达到最大值．由此可得：∵椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2是钝角，∴a 2﹣c 2＜c 2，可得a 2＜2c 2， ∴e ＞，∵0＜e ＜1， ∴＜e ＜1．故选：B ．解法二：结论解题法【典例剖析】例题6. 已知圆的方程为x 2+y 2＝1，则经过圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为x 0•x +y 0•y ＝1，类比上述性质，可以得到椭圆x 2+4y 2＝8上经过点的切线方程为； ．【分析】已知圆的方程为x 2+y 2＝1，则经过圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为x 0•x +y 0•y ＝1，类比上述性质，可以得到：椭圆mx 2+ny 2＝c （m ，n ，c 同号，且m ≠n ）经过椭圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为：．【解答】解：已知圆的方程为x 2+y 2＝1，则经过圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为x 0•x +y 0•y ＝1，类比上述性质，可以得到：椭圆mx 2+ny 2＝c （m ，n ，c 同号，且m ≠n ）经过椭圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为：故椭圆x 2+4y 2＝8上经过点的切线方程为：2x ﹣4y ＝8，即；，故答案为：．【典例剖析】例题7. 已知两定点A （﹣1，0），B （1，0），若直线l 上存在点M ，使得|MA |+|MB |＝3，则称直线l 为“M 型直线”，给出下列直线：①x ＝2；②y ＝x +3；③y ＝﹣2x ﹣1；④y ＝1；⑤y ＝2x +3．其中是“M 型直线”的条数为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】点M的轨迹方程是，把①，②，③，④，⑤分别和联立方程组，如果方程组有解，则这条直线就是“M型直线”．【解答】解：由题意可知，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其方程是，①把x＝2代入，无解，∴x＝2不是“M型直线”；②把y＝x+3代入，无解，∴y＝x+3不是“M型直线”；③把y＝﹣2x﹣1代入，有解，∴y＝﹣2x﹣1是“M型直线”；④把y＝1代入，有解，∴y＝1是“M型直线”；⑤y＝2x+3代入，有解，∴y＝2x+3是“M型直线”．故选：C．解法二：结论解题法数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论】【典例剖析】例题8.过点(0,2)P 的直线l 交椭圆22:142x y E +=于,M N 两点，且OM ON ⊥，则直线l 的方程为 ；20y -+=或20y +-=，则有OA OB ⊥，第１１页，共１１页。
高中数学必修2椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归纳考点一 椭圆的定义椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=ac(0<e<1)的动点M 的轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数e 是椭圆的离心率.注意：当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F =的点的轨迹是线段12FF ; 当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F <的点的轨迹不存在. 例 动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为 （ ） A 、椭圆 B 、线段12,F F C 、直线12,F F D 、不能确定考点二 椭圆的标准方程一 标准方程1焦点在x 轴上 标准方程是：22221x y a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(,0),(,0)c c -2焦点在y 轴上 标准方程是：22221y x a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(0,),(0,)c c -3焦点位置判断 哪项分母大焦点就在相应的轴上 如 求22179x y +=的焦点坐标 4 椭圆过两定点，焦点位置不确定时可设椭圆方程为221mx ny +=（其中0,0m n >>）例 已知椭圆过两点1),(2)A B -，求椭圆标准方程5 与12222=+b y a x （a ＞b ＞0）共焦点的椭圆为12222=+++kb y k a x二 重难点问题探析: 1.要有用定义的意识例 已知12,F F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B += 则AB =________。
高中数学破题致胜微方法(椭圆的参数方程)二利用椭圆的参数方程求最值
利用椭圆的参数方程求最值今天我们研究利用椭圆的参数方程求最值问题.已知椭圆的标准方程，则可以将椭圆的方程改写成参数方程，这时椭圆上的点的坐标可记作（cos ,sin a b θθ），将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识处理一些最值问题.下面举例说明椭圆参数方程的应用. 我们通过例题来看：例1：若),(y x P 为曲线C ：2214x y +=上的动点，求点P 到直线l ：4x -3y +12=0的距离d的最大值和最小值.. 注意椭圆的参数方程：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：焦点在x 轴上的椭圆：22221(0)x ya b a b +=>>，cos ,()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数. 焦点在y 轴上的椭圆：22221(0)y x a b a b +=>>，cos ,()sin x b y a θθθ=⎧⎨=⎩为参数. 以上的[)0,2θπ∈.例2：已知定点Q （0，－4），P （6，0），动点C 在椭圆22194x y +=上运动（如图）， 求△QPC 面积的最大值和最小值.显然，当θ=34π时，d 最大，且d =最大值通过本题解答，我们可以总结做此类习题：1.根据椭圆的参数方程，把椭圆上的点的坐标写成参数形式，代入相应的表达式中. 例如本题，将点到直线的距离用含参数的式子表示出来.2.将问题转化成三角函数的问题.3.利用三角函数的有界性，解决所求问题的最值.例如本题，在求距离时含有绝对值，所以求最值时，要注意脱绝对值时表达式的符号. 练习题：1. 在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S =x +y 的最 大值.2.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为2221sin ρθ=+，直线l 的极坐标方程为ρ=.(Ⅰ)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值.3.已知曲线C ：x 2+y 2=1，将曲线C 上的点按坐标变换2,3x x y y '=⎧⎨'=⎩得到曲线C ′；以直角坐标系原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标系方程是 ρ(2cos θ+sin θ)=10.(1)写出曲线C ′和直线l 的普通方程；(2)求曲线C ′上的点M 到直线l 距离的最大值及此时点M 的坐标.4.已知直线l的参数方程为1,22x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(其中t 为参数)，曲线1C ：03sin 3cos 2222=-+θρθρ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位.(1)求直线l 的普通方程及曲线C 1的直角坐标方程；(2)在曲线C 1上是否存在一点P ，使点P 到直线l 的距离最大?若存在，求出距离最大值及点P .若不存在，请说明理由.5.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，求椭圆内接矩形面积的最大值.练习题解析：1. 在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S =x +y 的最 大值.2.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 1的极坐标方程为2221sin ρθ=+，直线l的极坐标方程为ρ=.(Ⅰ)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值.3.已知曲线C ：x 2+y 2=1，将曲线C 上的点按坐标变换23x xy y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C ′；以直角坐标系原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标系方程是ρ(2cos θ+sin θ)=10.(1)写出曲线C ′和直线l 的普通方程；(2)求曲线C ′上的点M 到直线l 距离的最大值及此时点M 的坐标.4.已知直线l的参数方程为12x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(其中t 为参数)，曲线1C ： 03sin 3cos 2222=-+θρθρ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系， 两种坐标系中取相同长度单位.(1)求直线l 的普通方程及曲线C 1的直角坐标方程；(2)在曲线C 1上是否存在一点P ，使点P 到直线l 的距离最大?若存在，求出距离最大值及点P .若不存在，请说明理由.5.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，求椭圆内接矩形面积的最大值.。
椭圆知识点梳理总结高中
椭圆知识点梳理总结高中椭圆是一个非常重要的数学概念，它在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
椭圆的性质和应用涉及到许多重要的知识点，掌握这些知识点对于提高数学水平和解决实际问题都是非常有益的。
本文将对椭圆的基本概念、性质和应用进行梳理总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用椭圆的知识。
一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和为常数2a的点P的轨迹。
称为椭圆，其中a是椭圆的半长轴的长度。
1.2 椭圆的几何特征椭圆的轨迹是一个闭合的曲线，且是对称的。
它的长轴与短轴之间的长度差异是2a，短轴的长度是2b。
1.3 椭圆的标准方程椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标。
1.4 椭圆的离心率椭圆的离心率e定义为e=c/a，其中c是椭圆的焦点距离，a是椭圆的半长轴长度。
1.5 椭圆的参数方程椭圆的参数方程是x=h+a*cosθ，y=k+b*sinθ，其中θ是参数，范围在[0,2π]。
二、椭圆的性质2.1 椭圆的焦点性质椭圆的焦点是F1和F2，椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和是常数2a。
2.2 椭圆的顶点性质椭圆的长轴与短轴的两个端点分别是椭圆的顶点，它们与中心的连线都垂直于长轴。
2.3 椭圆的对称性椭圆关于长轴和短轴都是对称的，具有轴对称和中心对称性质。
2.4 椭圆的直径性质椭圆上的任意一条直径都经过椭圆的中心，并且以中心为对称轴。
2.5 椭圆的焦点方程椭圆的焦点方程是x²/a²+ y²/b²= 1，它表示椭圆上的点到两个焦点的距离之和是常数2a。
三、椭圆的参数方程3.1 参数方程的概念参数方程是用参数表示函数的自变量和因变量的一种方法，它将一个平面曲线的横纵坐标都表示成参数的函数。
3.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程是x=h+a*cosθ，y=k+b*sinθ，其中θ是参数，范围在[0,2π]。
高中数学破题致胜微方法(椭圆的参数方程)四利用椭圆的参数方程求轨迹(1)
利用椭圆的参数方程求轨迹今天我们研究利用椭圆的参数方程求轨迹问题。
已知椭圆的标准方程,则可以将椭圆的方程改写成参数方程，通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标,利用动点与椭圆上已知点的关系，建立坐标等式，消去参数化简得到动点的轨迹方程。
先看例题例：定点(0,2)A 与椭圆2221x y +=上的动点M 相连线段的中点的轨迹的参数方程为?注意椭圆的参数方程：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：焦点在x 轴上的椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>，cos ,()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数。
焦点在y 轴上的椭圆：22221(0)y x a b a b +=>>，cos ,()sin x b y a θθθ=⎧⎨=⎩为参数。
以上的[)0,2θπ∈。
例2：点P 为椭圆221691x y +=上异于长轴端点的任意一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，求 12PF F 重心的轨迹方程.总结：1。
一般处理此类问题,先利用椭圆的参数方程,设出椭圆上点的坐标，注意：如果是椭圆的一部分，要注意参数方程中参数θ的范围.2.利用动点与已知点的关系，建立有关动点的等式，得到参数方程.消去参数后得到动点的普通方程轨迹方程。
练习题：1。
已知点A在椭圆22114436x y+=上运动,点B（0，9）、点M在线段AB上,且12AMMB=,试求动点M的轨迹方程。
2。
已知椭圆方程为22221x ya b+=,椭圆长轴的左、右顶点分别为A1，A2，P是椭圆上任一点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，且A1Q与A2Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程.练习题解析:1。
已知点A在椭圆22114436x y+=上运动，点B（0，9)、点M在线段AB上，且12AMMB=,试求动点M的轨迹方程.2。
已知椭圆方程为22221x ya b+=，椭圆长轴的左、右顶点分别为A1，A2，P是椭圆上任一点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，且A1Q与A2Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程。
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一些好用的高中数学椭圆解题方法
一、设点或直线
做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。
其中点可以设为
,
等，如果是在椭圆
上的点，还可以设为。
一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为。
还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。
对于一条直线，如果过定点
并且不与y轴平行，可以设点斜式
,如果不与x轴平行，可以设
，如果只是过定点，可以设参数方程
，其中α是直线的倾斜角。
一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。
二、转化条件
有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。
对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极降低运算量。
比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。
有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。
三、代数运算
转化完条件就剩算数了。
很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。
有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式
，设参数方程时，弦长公式可以简化为
解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为
和
，AB与x轴交于D，则
(d是点O到AB的距离；第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用)。
解析几何中很多题都有动点或动直线。
如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。
若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。
在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。
四、能力要求
做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。
在做题过程中可能遇到会一大长串的式子要化简，这时候，只要你方向没错，坚持算下去肯定能看到最终的结果。
另外运算速度和准确率也是很重要的，在真正考试的时候肯定不像平时做题的时候能容你慢慢做题，因此需要有一定的做题速度，在做题的时候运算准确也是必须要保证的，因为一旦算错数，就很可能功亏一篑。
五、理论拓展
这一部分主要说一些对做题有帮助的公式、定理、推论等容
关于直线：
1、将直线的两点式整理后，可以得到这个方程:。
据此可以直接写出过
和
两点的直线，至于这两点连线是否与x轴垂直，是否与y轴垂直都没有关系。
对于一些坐标很复杂的点，可以直接代入这个方程便捷的得到过两点的直线。
2、直线一般式Ax+By+C=0表示的这条直线和向量（A,B）垂直；过定点
的直线的一般式可以写为。
根据这两条推论可以快速地写出两点的垂直平分线的方程。
关于椭圆：
3、椭圆
的焦点弦弦长为
（其中α是直线的倾斜角，k是l的斜率）。
右焦点的焦点弦中点坐标为
，将横纵坐标都取相反数可得左焦点弦的中点坐标。
4、根据椭圆的第二定义，椭圆上的点到焦点的距离与到同一侧的准线的距离之商等于椭圆的离心率。
椭圆
的准线是。
上面给出的几个容大都是教材中没有的，但这不代表这些东西在考场上不能用。
比如前两条容，用的时候稍稍变换一下，老师也不一定知道你是在套结论。
如果想用第三条的话，可以装模作样地算算，实际上再套用结论，估计老师也未必能看出来。
至于第4个容，直接用有一定风险，如果用上能解题的话，不到山穷水尽也最好还是别用。
用这些结论，都能或多或少地减小运算量，降低算错的几率。
下面看几道例题。
建议大家看解题过程之前最好先自己做一做。
就算不做也一定要看啊，里面涉及到有好多方法的！
例1
例2
例3
例4
例5。