变异数(方差)分析

3. 组内变异（within group variation )：每组的 每个测量值Yij与该组均数 Y 的差异
i
下面用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)反映变异的大小
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1. 总变异: 所有测量值之间总
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ANOVA 由英国统 计学家R.A.Fisher首 创，为纪念Fisher， 以F命名，故方差分析 又称 F 检验 （F test）。用于推断多 个总体均数有无差异
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4
第十章 单向方差分析
组 内 自 由 度 2 = 4 × ( 6 - 1 ) = 2 0 , 组 内 均 方 MS 组内 ＝
447.67 ＝ 22.38。 20
22
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三、计算F值
F＝
189.44 ＝ 8.46 22.38
分 子 分 母 自 由 度 分 别 为 ： 3， 20
=
+
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方(mean square，MS)。组 间均方和组内均方的计算公式为:
Yi
18.5 28.0 18.7 14.8 20.0

Yij2 j
2233.0 4790.0 2162.0 1431.0 10616.0
四 种 解 毒 药 的 解 毒 效 果 是 否 相 同 ？
Si 值
S1 5.99
S2 4.15
S3 3.78
S4 4.71
合计 6.65
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方差分析
Analysis of Variance （ANOVA )
因素也称为处理因素（factor）（名义分类变量），每 一处理因素至少有两个水平(level)（也称“处理组”）。
——单向方差分析 （第十章） 两个因素（水平间独立或相关）——双向方差分析 （第十一章） 一个个体多个测量值——重复测量资料的方差分析 ANOVA与回归分析相结合——协方差分析 一个因素（水平间独立） 目的：用这类资料的样本信息来推断各处理组间多个总 体均数的差别有无统计学意义。
二、 计算离均差平方、自由度、均方
a ni
1 ． 总 离 均 差 平 方 和 SS 总 =
Yij2 C = 1 0 6 1 6 － ( 4 8 0 ) 2 / 2 4 ＝ 1 0 1 6 . 0 。
i 1 j 1
或 SS 总 ＝ ( 2 4 - 1 ) × 6 . 6 5 2 = 1 0 1 6 . 0 2． 组 间 离 均 差 平 方 和
i 1
a
2 i
组内 N a
三种“变异”之间的关系
离均差平方和分解：
SS总 = SS组间 + SS组内 ，
且
ν总 =ν组间 +ν组内
组内变异 SS 组内： 随机误差 组间变异 SS 组间：处理因素 + 随机误差
One-Factor ANOVA Partitions of Total Variation
ni
6 6 6 6 24

Y j ij
111 168 11 2 89 480
Yi
18.5 28.0 18.7 14.8 20.0

Yij2 j
2233.0 4790.0 2162.0 1431.0 10616.0
四 种 解 毒 药 的 解 毒 效 果 是 否 相 同 ？
Si 值
S1 5.99
S2 4.15

( Yij )
i, j
N
2
N
2．组间变异：各组均数与总均数的
离均差平方和，计算公式为
SS组间 ni (Yi Y )
2 i 1 i 1
a
a
( Yij )
j 1
ni
2
组间 a 1
ni
C
SS组间反映了各组均数 Yi 的变异程度
组间变异＝①随机误差+②处理因素效应
的 效 果 是 不 同 的 。 解 毒 药 物 A 和 C 与 空 白 对 照 组 D 相 近 。 B 组 血 中 胆 硷 脂 酶 含 量 较 其 他 组 为 高 。
注意：当组数为2时，完全随机设计的方 差分析结果与两样本均数比较的t检验结果等 价，对同一资料,有：
S3 3.78
S4 4.71
合计 6.65
2
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例 8-1 一 个 因 素 （ factor） 解 毒 药 ： 四 个 水 平 （ level） a=4 个 处 理 组 ） A、 Ｂ 、 （ ： Ｃ 、 空 白 对 照 D， i=1,2,3,4 分 别 代 表 A、 B、 C、 D 每 水 平 有 ni=６ 只 大 白 鼠 ， 分 别 表 示 为 j=1,2,…,6 应 变 量 用 Yij 表 示 ， 即 第 i 组 第 j 号 大 白 鼠 的 血 中 胆 硷 脂 酶 含 量 (μ /ml) 按 完 全 随 机 化 设 计 方 法 将 Ｎ ＝ 24 只 动 物 随 机 等 分成４个组 （ 将 动 物 编 成 1~24 号 ， 用 计 算 器 （ 机 ） 对 每 一个动物产生一个随机数，然后按随机数从小到 大的顺序排序，前面 6 个动物分为第一组，紧接着的 6 个 动 物 分 成 第 二 组 ， …）
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表 8-1
不 同 解 毒 药 对 应 的 大 白 鼠 血 中 胆 硷 脂 酶 含 量 (μ
/ml)
组 号 i 1 2 3 4 合 计
23 28 14 8 73
胆 硷 脂 酶 含 量 (Yij) 12 31 24 12 79 18 23 17 21 79 16 24 19 19 78 28 28 16 14 86 14 34 22 15 85
Total Variation SST
Variation Due to Treatment SSB Commonly referred to as: Sum of Squares Among, or Sum of Squares Between, or Sum of Squares Model, or Among Groups Variation Variation Due to Random Sampling SSW Commonly referred to as: Sum of Squares Within, or Sum of Squares Error, or Within Groups Variation
总变异
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对于例8-1（完全随机设计） 资料，共有三种不同的变异
1. 总变异（Total variation）：全部测量值Yij与 总均数 Y 20.0 间的差异 2. 组间变异（ between group variation ）：各 组的均数 Yi 与总均数 Y 间的差异
1
5 230 5764 19.30
6 234 5859 19.33
1
2 25
98.49
4.24 7.77
99.00
3.39 5.57
99.17
2.99 4.68
99.25
2.76 4.18
99.30
2.60 3.85
99.33
2.49 3.63
16
F 分布曲线下面积与概率
17
18
第二节 实例8.1的方差分析
/ml)
组 号 i 1 2 3 4 合 计
23 28 14 8 73
胆 硷 脂 酶 含 量 (Yij) 12 31 24 12 79 18 23 17 21 79 16 24 19 19 78 28 28 16 14 86 14 34 22 15 85
ni
6 6 6 6 24

Y j ij
111 168 11 2 89 480
568.33 ＝ 189.44 。 3
3 ． 组 内 离 均 差 平 方 和 SS 组内 ＝ 1 0 1 6 . 0 － 5 6 8 . 3 3 ＝ 4 4 7 . 6 7 ，
SS 组内 ＝ ( 6 - 1 ) × 5 . 9 9 2 ＋ ( 6 - 1 ) × 4 . 1 5 2 + ( 6 - 1 ) × 3 . 7 8 2 + ( 6 - 1 ) × 4 . 7 1 2
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一、 建立检验假设
H0： 1 2 3 4 即4个试验组总体均数相等 H1：4个试验组总体均数不全相等 检验水准 0.05
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表 8-1
不 同 解 毒 药 对 应 的 大 白 鼠 血 中 胆 硷 脂 酶 含 量 (μ
MS组间
SS组间
组间
MS组内
SS组内
组内
二、F 值与F分布
，
1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0
f ( F)
1 1, 2 5
1 1 2 1 / 2 2 / 2 2 1 F 1 2 2 f (F ) 1 2 1 2 ( 1 F 2 ) 2 2 2
列 于 方 差 分 析 表 中 (见 表 8-2)。
表 8-2 大 白 鼠血 中 胆硷 酯 酶含 量 方 差分 析表
变异来源 组间 组内 总
SS 568.33 447.67 1016.00
ν 3 20 23
MS 22.38
F
P 0.00079
189.44 8.46
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四、下结论
查 附 表 5 F 界 值 表 ， 得 F0.05(3,20)=3.10。 由 于 F＞ F0.05(3,20)， 故 有 概 率 P＜ 0.05， 根 据 式 (8.5)的 推 断 规 则 拒 绝 无 效 假 设 ， 接 受 备 择 假 设 。 处 理 因 素 的 4 个 水 平 中 至 少 有 一 个 组 的 总 体 平 均 值 不 同 于 其 他 各 组 。 从 表 8 . 1 所 示 的 各 Yi 值 可 见 ， 不 同 解 毒 药 物
One-way analysis of variance 第一节 方差分析的基本思想
将所有测量值间的总变异按照其变异的 来源分解为多个部份，然后进行比较，评价 由某种因素所引起的变异是否具有统计学意 义。
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一、离均差平方和的分解
组间变异 组内变异
a
总 自 由 度 总 = 2 4 - 1 ＝ 2 3 。
SS组间
i 1
(
Y )
ij j 1
ni
2
ni
116 2 168 2 112 2 89 2 C 6 6 6 6
480 2 568.33 。 24
组 间 自 由 度 1 = 4 - 1 = 3 ， 组 间 均 方 MS 组间 ＝
3．组内变异： 在同一处理组内，虽然每
个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，
这种变异称为组内变异，也称SS误差。 用各组内各测量值 Yij 与其所在组的均数差值的 平方和来表示，反映随机误差的影响。计算公式为
SS组内 (Yij Yi )
i 1 j 1
a
niBaidu Nhomakorabea
2
( ni 1) S

1 5, 2 5
1 10, 2 10
1 2 3 4
15
F 分布曲线
F
F 界值表
5
附表5 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
分母自由度 υ 2 分子的自由度，υ 1 161 4052 18.51 2 200 4999 19.00 3 216 5403 19.16 4 225 5625 19.25
的变异程度，计算公式
SS总 Yij Y Y C
a ni 2 a ni i 1 j 1 i 1 j 1 2 ij
Y C＝(N 1) S
2 ij i, j
N
2
总 N 1
2
校正系数： C
( Yij )
i 1 j 1
a ni
N