方差分析变异分解思路剖析
方差分析(ANOVA)
方差分析（ANOVA）
n4
n3 n2 n1
Y4
Y3 Y2
Y1
例子：某研究者在某单位工作人员中进行了体重指 数（BMI）抽样调查，随机抽取不同年龄组男性受试 者各16名，测量了被调查者的身高和体重值，由此按 照BMI=体重/身高2公式计算了体重指数，请问，不 同年龄组的体重指数有无差异。
… 二、F 值与F分布
本来如自果相各同组总样体本，的无总处体理均因数素相的等作（用H0，成则立组）间，变即异各同，处组理内组变的异样
一样，只反映随机误差作用的大小。组间均方与组内均方的比
值称为F统计量
F MS组间 MS组内
1 组间
2 组内
F值接近于1，就没有理由拒绝H0；反之，F值越大，拒绝 H0的理由越充分。数理统计的理论证明，当H0成立时，F 统计量服从F分布。
组间变异 组内变异
总变异
5
1. 总变异(Total variation): 全部测量值Xij与总 均数 X 间的差异
2. 组间变异(between group variation ): 各组的 均数 Xi 与总均数 X 间的差异
3. 组内变异（within group variation )：每组的 每个测量值 Xij与该组均数 Xi 的差异
均数两两比较方法
仍以例1为例，LSD法的输出格式：
结果分析
均数两两比较方法
仍以例1为例，SNK法的输出格式：
结果分析
❖ 该方法的目的是寻找同质子集，故各组在表格的纵向上，均 数按大小排序，然后根据多重比较的结果将所有的组分为若干 个子集，子集间有差别，子集内均数无差别。
均数两两比较方法
统计学中的方差分析方差分解原理
统计学中的方差分析方差分解原理统计学中的方差分析方差分解原理统计学中的方差分析是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个组别之间的均值差异是否显著。
方差分析可以帮助我们确定自变量对因变量的影响力，同时也可以进行方差分解，从而解释观测数据中的差异。
一、方差分析的基本原理方差分析基于总体均值模型，假设总体均值为μ，而其中的不同组别（A、B、C等）的均值分别为μA、μB、μC等。
我们的目标是确定组别之间的均值差异是否显著，即是否存在统计上的差异。
方差分析通过计算组内方差(SSE)和组间方差(SSA)来判断差异的显著性。
组内方差反映了组别内个体差异对总体差异的贡献，而组间方差则反映了不同组别均值之间的差异。
如果组间方差显著大于组内方差，则可以认为不同组别的均值差异是显著的。
二、方差分解原理方差分解是指将总体方差(总方差)分解为不同来源的方差组成部分。
在方差分析中，总方差可以分解为组内方差和组间方差，从而揭示组别之间的差异贡献。
1. 总方差总方差(SSTotal)表示了观测数据整体的离散程度。
它是每个观测数据与总体均值之差的平方和，即SSTotal = Σ(xi - X)^2，其中xi为第i个观测数据，X为总体均值。
2. 组内方差组内方差(SSE)表示了组别内个体之间的离散程度。
它是每个观测数据与所在组别均值之差的平方和的总和，即SSE = Σ(xi - X i)^2，其中xi为第i个观测数据，X i为第i个组别的均值。
3. 组间方差组间方差(SSA)表示了不同组别之间的离散程度。
它是每个组别均值与总体均值之差的平方和的总和，即SSA = Σ(ni * (X i - X)^2)，其中ni为第i个组别的样本量，X为总体均值，X i为第i个组别的均值。
通过对总方差的分解，我们可以得到方差分析的F值，用于判断组间方差是否显著大于组内方差。
如果F值大于临界值，即说明组别之间的均值差异是显著的。
三、方差分析的假设条件在进行方差分析时，需要满足以下假设条件，以保证结果的可靠性：1. 独立性：样本间相互独立，每个样本在分析过程中不会相互影响；2. 正态性：每个组别的样本符合正态分布；3. 方差齐次性：各组别的方差相等。
方差分析的基本思想和应用
方差分析的基本思想和应用方差分析（ANOVA，Analysis of Variance）是统计学中的一种重要方法，主要用于研究多个样本之间的均值是否存在显著性差异。
方差分析将总的变异分解为几个部分，从而判断这些部分是否具有统计学意义。
本文将详细介绍方差分析的基本思想、类型及应用。
一、方差分析的基本思想方差分析的基本思想是将总的变异分为两部分：组内变异和组间变异。
组内变异是指每个样本内部的变异，组间变异是指不同样本之间的变异。
通过比较组间变异和组内变异的大小，可以判断样本之间的均值是否存在显著性差异。
二、方差分析的类型根据实验设计的不同，方差分析可分为以下几种类型：1. 单因素方差分析（One-Way ANOVA）单因素方差分析是指只有一个因素（或称自变量）影响实验结果的情况。
在这种实验设计中，将样本分为若干个组别，每组只有一种水平的因素。
单因素方差分析的目的是检验这个因素的不同水平是否会导致实验结果的显著性差异。
2. 多因素方差分析（Multi-Way ANOVA）多因素方差分析是指有两个或两个上面所述的因素同时影响实验结果的情况。
在这种实验设计中，需要考虑多个因素之间的交互作用。
多因素方差分析的目的是检验这些因素及其交互作用是否会导致实验结果的显著性差异。
3. 重复测量方差分析（Repeated Measures ANOVA）重复测量方差分析是指在同一组样本中，对同一因素进行多次测量的情况。
这种实验设计适用于研究因素对样本的影响随时间变化的情况。
重复测量方差分析的目的是检验这个因素在不同时间点上是否会导致实验结果的显著性差异。
三、方差分析的应用方差分析在实际应用中具有广泛性，以下列举几个常见领域的应用：1. 生物学领域在生物学研究中，方差分析常用于比较不同物种、品种或组织类型的生物学特性。
例如，研究不同植物品种的生长速度、不同动物种群的繁殖能力等。
2. 医学领域在医学研究中，方差分析可用于比较不同治疗方法的疗效。
方差分析的基本思路
方差分析的基本思想是：通过分析研究不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
方差分析的基本思想可以归纳为根据研究设计的类型，将全部测量值总的离均差平方和及其自由度分解为两个或多个部分，每个部分的变异都由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）引起。
通过比较不同变异来源的均方，借助F分布做出统计推断，从而推论各种处理因素对研究结果有无影响。
对样本均数进行比较的方差分析方法与研究设计类型有关。
方差分析中分析的数据是按照特定研究设计进行试验所得的数据，不同的研究设计其总变异的分解有所不同。
因此在应用方差分析时，要结合具体的研究设计方法来选择相应的方差分析方法。
常用的设计有：随机单位组设计/拉丁方设计/交叉设计/析因设计/正交设计/嵌套设计/裂区设计/重复测量数据/协方差分析等。
进行方差分析时同样要求资料满足正态分布且方差相等两个基本假设（与独立样本t检验的条件一样一样滴）。
即：各样本组内观察值相互独立，且服从正态分布。
各样本组内观察值总体方差相等，即方差齐性（homogeneity of variance）。
本节只涉及最基本的一种设计形式—完全随机设计。
完全随机设计（Completely Random Design）是指将受试单位随机地分配到各处理组中进行实验研究，或分别从互相独立的不同总体里随机抽取样本进行比较的一种设计方法。
例：某高原研究组将籍贯相同、年龄相同、身高体重接近的30名新战士随机分为3组，对照组按常规训练；锻炼组每天除常规训练外，还接受中速长跑与健身操锻炼；药物组除常规训练外，服用抗疲劳药物，1个月后测量第1秒用力肺活量（L），结果见表1所示。
试比较3组第1秒用力肺活量有无差别。
方差分析
方差分析
▲方差分析的基本思想（思路） ▲试验结果变化原因的分析分解 ▲平方和分解和自由度分解 ▲ F测验
▲多重比较
▲方差分析的基本思想
方差是平方和除以自由度的商。 所谓方差分析(analysis of variance) ,是关于多个样本平均 数的假设测验方法，是将总变异剖分为各个变异来源的相应 部分，从而发现各变异原因在总变异中相对个独立样本，分别求得其均方 s12 和 s22，将 s12 和 s22 的比值定义为F：
2 2 F(1， 2 ) s1 s2
此F值具有s12 的自由度 v1 和 s22 的自由度 v2。 所谓F分布，就是在给定的 v1 和 v2 下按上述方法从正 态总体中进行一系列抽样，就可得到一系列的F 值而作成 一个分布。 F分布下一定区间的概率可从已制成的统计表查出。
表3.3 资料1LSR值的计算(新复极差测验)
p 2 SSR0.05 3.08 SSR0.01 4.32 LSR0.05 4.40 LSR0.01 6.18
3
4
3.23
3.33
4.55
4.68
4.62
4.76
6.51
6.69
当p=2时，
yD yB =6(cm) yB y A =5(cm)
5％水平显著； 5％水平显著；
y A yC =4(cm)
当p=3时，
不显著。
1％水平上显著； 1％水平上显著。 1％水平上显著。
yD y A =11(cm)
yB yC =9(cm)
当p=4时，
yD yC =15(cm)
结论：资料1的4个处理的苗高，除处理A与C差异不显
著外，其余处理间均达显著差异。
SPSS操作—方差分析剖析
224.6
220.4 212.3
实例-单因素方差分析
实例-单因素方差分析(结果输出)
ANOVA WEIGHT Sum of Squares 20538.70 652.159 21190.86 df 3 15 18 Mean Square 6846.233 43.477 F 157.467 Sig. .000
方差分析中的多重比较
• 目的：
– 如果方差分析判断总体均值间存在显著差异，接下来可通过多 重比较对每个水平的均值逐对进行比较，以判断具体是哪些水
平间存在显著差异。
• 常用方法备选：
– LSD法：t检验的变形，在变异和自由度的计算上利用了整个样本信息。
– Duncan 新复极差测验法
– Tukey 固定极差测验法 – Dunnett最小显著差数测验法 等
析中剔除
实例-单因素方差分析各处理重复数不等的方差分析
用四种饲料喂养19头猪比较，四种饲料是否不同。
饲料 A 133.8 B 151.2 C 193.4 D 225.8
125.3
143.1 128.9 135.7
149.0
162.7 143.8 153.5
185.3
182.8 188.5 198.6
• 如果进行先验对比检验，则应在Coefficients后依次输入系 数ci，并确保∑ci＝0。应注意系数输入的顺序，它将分别与 控制变量的水平值相对应。 • 例如，当k＝4时， 即有A、B、C、D 4个处理组，如果只将 B组和D组比较，则线性组合系数依次为0、-1、0、-1；如果 C组与其他3组的平均水平比较，则线性组合系数依次为-1、1、3、-1，余类推。线性组合系数要按照分类变量水平的顺 序依次填入Coefficients框中。
统计学中的变异性分析方法及其应用
统计学中的变异性分析方法及其应用统计学是一门研究数据收集、处理、分析和解释的学科，而变异性分析则是统计学中一项重要的研究方法。
变异性分析主要用于研究数据集中的差异和变化程度，帮助我们理解数据的分布规律和趋势，从而做出更准确的预测和决策。
本文将介绍几种常见的变异性分析方法及其应用。
一、方差分析（ANOVA）方差分析是一种比较不同组之间差异的统计方法。
它通过计算组内变异和组间变异的比值，来判断不同组之间是否存在显著差异。
方差分析广泛应用于实验设计和质量控制等领域。
例如，在医学研究中，我们可以使用方差分析来比较不同药物治疗组的疗效差异；在工程领域，方差分析可用于比较不同工艺参数对产品质量的影响。
二、回归分析回归分析是一种用于研究变量之间关系的方法。
它通过建立数学模型来描述自变量与因变量之间的关系，并通过分析模型中的残差来评估模型的拟合程度。
回归分析广泛应用于经济学、社会学、市场营销等领域。
例如，在经济学中，我们可以使用回归分析来研究GDP与就业率之间的关系；在市场营销中，回归分析可用于预测销售额与广告投入之间的关系。
三、方差分量分析方差分量分析是一种用于研究多个因素对总体变异的贡献程度的方法。
它将总体变异分解为不同因素的变异成分，并通过计算各个因素的方差比例来评估其对总体变异的影响程度。
方差分量分析常用于遗传学、生态学等领域。
例如，在遗传学研究中，我们可以使用方差分量分析来估计基因型、环境和遗传环境交互作用对某一性状的贡献程度。
四、时间序列分析时间序列分析是一种用于研究时间相关数据的方法。
它通过分析数据的趋势、季节性和周期性等特征，来预测未来的发展趋势。
时间序列分析广泛应用于经济学、气象学、股市预测等领域。
例如，在经济学中，我们可以使用时间序列分析来预测未来几个季度的经济增长率；在气象学中，时间序列分析可用于预测未来几天的气温变化。
综上所述，统计学中的变异性分析方法在各个领域都有着广泛的应用。
通过方差分析、回归分析、方差分量分析和时间序列分析等方法，我们可以更好地理解数据的差异和变化程度，从而做出更准确的预测和决策。
方差分析解读范文
方差分析解读范文方差分析（analysis of variance, ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个组之间的平均数是否存在显著差异。
它通过将总体的方差分解为组内变异和组间变异，来评估组间的差异是否超过随机差异所带来的误差。
方差分析的基本原理是通过比较组内差异与组间差异，来确定变量的差异是否受到不同组别的影响。
通过计算不同组别之间的平均方差和误差方差来确定组间差异和组内差异的相对大小。
如果组间差异显著大于组内差异，则可以认为不同组别的平均数存在显著差异。
方差分析可以用于比较两个或多个组别的平均数差异，并可以扩展到多个因素和多个水平的组别间比较。
具体来说，方差分析有三种类型：单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析适用于只有一个因素（即一个自变量）的情况下，用于比较不同组别间的平均数是否存在差异。
在单因素方差分析中，需要计算组间平均方差和组内平均方差，并通过计算F值来确定差异的显著性。
双因素方差分析适用于有两个因素（即两个自变量）的情况下，用于比较两个自变量对平均数差异的影响。
在双因素方差分析中，需要计算主效应（每个因素对平均数的影响）和交互效应（两个因素交互作用对平均数的影响）。
多因素方差分析适用于有多个因素（即多个自变量）的情况下，用于比较多个因素对平均数差异的影响。
多因素方差分析可以同时分析多个因素的主效应和交互效应，揭示不同因素之间的关系。
方差分析的结果通常通过F值和p值来解读。
F值表示组间差异和组内差异相对大小的比例。
F值越大，说明组间差异相对于组内差异越大，即不同组别的平均数差异越显著。
p值表示差异的显著性水平，通常设置一个显著性水平（如0.05），当p值小于显著性水平时，认为差异显著，否则认为差异不显著。
除了F值和p值，方差分析的结果还可以通过效应大小（effect size）来解读。
效应大小是指组间差异和总变异（组间变异加上组内变异）之间的比例。
方差分析原理
方差分析原理方差分析（ANOVA）是一种统计学方法，用于比较三个或三个以上组的平均值是否存在显著差异。
它是通过比较组内变异和组间变异的大小来判断组间差异是否显著。
方差分析可以用于不同实验设计和数据类型，是许多统计分析的基础。
首先，我们来了解一下方差分析的基本原理。
方差分析的核心思想是将总体的方差分解为组内变异和组间变异两部分。
组内变异是指同一组内个体之间的差异，而组间变异是指不同组之间的差异。
通过比较组内变异和组间变异的大小，我们可以判断组间差异是否显著。
在进行方差分析时，我们需要计算F值来判断组间差异是否显著。
F值是组间均方与组内均方的比值，它反映了组间变异与组内变异的相对大小。
当F值大于1时，表示组间差异较大，我们可以拒绝原假设，认为组间差异显著。
方差分析有不同的类型，包括单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析。
在单因素方差分析中，我们只考虑一个自变量对因变量的影响；在双因素方差分析中，我们考虑两个自变量对因变量的影响；而在多因素方差分析中，我们考虑多个自变量对因变量的影响。
除了了解方差分析的基本原理，我们还需要注意方差分析的假设条件。
方差分析的假设包括正态性假设、方差齐性假设和独立性假设。
正态性假设是指因变量在各组内呈正态分布；方差齐性假设是指各组的方差相等；独立性假设是指各组之间相互独立。
在进行方差分析前，我们需要对这些假设进行检验，以确保分析结果的可靠性。
在实际应用中，方差分析常常与其他统计方法结合使用，如回归分析、协方差分析等。
通过综合运用不同的统计方法，我们可以更全面地分析数据，得出更可靠的结论。
总之，方差分析是一种重要的统计方法，它可以用于比较多个组的平均值是否存在显著差异。
通过了解方差分析的基本原理、假设条件和应用范围，我们可以更好地应用这一方法，从而更准确地分析数据，得出科学的结论。
方差分析理解ANOVA的原理
方差分析理解ANOVA的原理方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或两个以上样本均值之间的差异是否显著。
通过对不同组之间的方差进行比较，判断样本均值是否存在显著差异。
ANOVA的原理主要基于总体方差的分解和均值之间的比较，下面将详细介绍方差分析的原理及其应用。
一、总体方差的分解在进行方差分析之前，首先需要了解总体方差的分解。
总体方差可以分解为组内变异和组间变异两部分。
组内变异是指同一组内个体之间的差异，反映了个体之间的随机误差；组间变异是指不同组之间的差异，反映了不同组之间的均值差异。
总体方差的分解可以用以下公式表示：总体方差 = 组间变异 + 组内变异通过对总体方差进行分解，可以帮助我们理解不同来源的变异对总体方差的影响，从而进行均值比较。
二、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组间变异与组内变异的大小，判断样本均值之间是否存在显著差异。
如果组间变异显著大于组内变异，说明不同组之间的均值存在显著差异；反之，如果组间变异与组内变异的差异不显著，则说明不同组之间的均值差异不显著。
在进行方差分析时，需要计算各组的平方和、自由度、均方和F 值等统计量，然后通过F检验来判断均值之间的差异是否显著。
F值越大，说明组间差异相对于组内差异越显著，从而可以拒绝原假设，认为样本均值存在显著差异。
三、方差分析的应用方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中，特别适用于多组数据的比较。
例如，在医学研究中，可以利用方差分析比较不同药物治疗组的疗效是否存在显著差异；在工程实验中，可以利用方差分析比较不同工艺参数对产品质量的影响等。
此外，方差分析还可以用于控制实验误差、优化实验设计、验证假设等方面。
通过对不同组之间的均值差异进行比较，可以帮助研究人员更好地理解数据背后的规律，从而做出科学合理的结论。
总之，方差分析作为一种重要的统计方法，通过对总体方差的分解和均值之间的比较，帮助我们理解不同组之间的差异是否显著。
方差分析（AnalysisofVariance,简称ANOVA）,又称“变异数分析”或...
方差分析(Analysis of V ariance，简称ANOV A)，又称“变异数分析”或“F检验”，是R.A.Fisher 发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。
造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
1. 方差分析的假定条件为：（1）各处理条件下的样本是随机的。
（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。
（3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。
（4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。
2. 方差分析的假设检验假设有K个样本，如果原假设H0样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ，则K个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。
如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。
否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。
应用条件各样本是相互独立的随机样本各样本均来自正态分布总体3. 各样本的总体方差相等，即具有方差齐性4.在不满足正态性时可以用非参数检验（一）单因素方差分析概念理解步骤是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。
这里，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素方差分析。
单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。
单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。
方差分析认为：观测变量值得变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。
据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两部分，用数学形式表述为：SST=SSA+SSE。
单因素方差分析的第三步是通过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
（二）单因素方差分析原理总结容易理解：在观测变量总离差平方和中，如果组间离差平方和所占比例较大，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平方和所占比例小，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同水平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。
论方差分析的原理及应用
论方差分析的原理及应用方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）是一种用于比较两个或多个组之间差异的统计方法，它通过比较组间变异与组内变异的大小来判断不同组之间的均值是否存在显著差异。
其原理和应用如下：1. 原理：方差分析的基本原理是将总变异分解为组间变异和组内变异。
组间变异是指不同组之间由于不同处理所导致的差异，而组内变异则是指同一组内由于个体差异或随机误差所导致的差异。
通过比较组间变异与组内变异的大小，可以判断组之间的均值是否有显著差异。
具体而言，方差分析通过计算F值来判断差异是否显著，F值越大说明差异越显著。
2. 应用：方差分析广泛应用于实验设计与分析、质量控制与品质改进、行业比较、社会科学研究等领域。
以下列举几个常见的应用场景：（1）实验设计与分析：在实验设计中，可以使用方差分析比较不同处理组的均值差异，以确定不同处理对实验结果的影响。
例如，药物疗效实验可以使用方差分析来比较不同药物组的治疗效果。
（2）质量控制与品质改进：方差分析可以用于比较不同生产批次、不同工厂或不同操作者之间的品质差异。
通过该方法可以确定是否存在显著差异，并进行改进措施。
（3）行业比较：在市场调查和企业竞争分析中，可以使用方差分析比较不同行业或不同企业之间的关键指标的差异情况。
这有助于了解行业趋势和发现优秀的企业经营模式。
（4）社会科学研究：方差分析可以用于比较不同组群之间的差异，如教育背景对收入的影响、不同地区对人口流动的影响等。
该方法可以帮助研究者理解社会现象，提供决策支持。
总之，方差分析是一种常用的统计方法，通过比较组间变异与组内变异的大小来判断不同组之间的均值是否存在显著差异。
它在实验设计与分析、质量控制与品质改进、行业比较、社会科学研究等领域都有重要的应用价值，帮助人们深入了解数据背后的差异及原因，并提供决策支持。
方差分析(1)
例：黑龙江某地淋溶土上玉米氮肥品种肥效试 验，每亩施N6斤，小区面积54m2 ，随机区组设计， 重复四次，玉米产量见下表.请对不同品种氮肥的 肥效进行分析.
重复 1 2 3 4 Ts
CK 126.8 148.7 121.9 83.1 480.2
碳铵 233.8 231.1 226.0 221.3 911.9
(Fisher’s protected D, 或FPLSD)
13
L.S.D法是t检验法，其只适用于二个相 互独立的平均数间的比较。而复因素试验的 互比时，由于交互作用的存在，平均数间失 去了独立性，从而增大了二个平均数间的差 值，用t检验时易产生a错误。
14
（二）最小显著极差法：LSＲ法，采用不 同平均数间用不同的显著差数标准进行比 较。又根据标准的严格，分为新复极差法 和q法
2
二．平方和与自由度的可加性与分解性
方差分析就是将总平方和以及总自由度划分成若 干个分量，而每一个分量与试验设计中的一个因素相 关联，所以方差分析的第一步就是从总变异中分解平 方和与自由度开始。
全部资料的总平方和可以分解成组内平方和与组 间平方和两部分）——平方和的分解性。 平方和与 自由度的分解性与可加性就是方差分析的数学基础。
第一节 方差分析的基本原理
方差分析是将一个试验的总变异分解为各变因的相应部 分，以误差作为统计假设检验的依据，对其它可控变因进 行显著性检验，并判断各变因的重要性。
将总变异剖分为各个变异来源的相应部分，从而发现 各变异原因中相对重要程度的一种统计分析方法。
1
一．变异因素的划分 处理间变异：组间变异——试验效应 处理内变异：组内变异——试验误差
氯铵 264.6 252.9 267.5 150.3 935.2
3变异源分析-方差分析
-方差分析
?例如：
?比较各省籍(台湾、大陆、客家人)人 士在收入及教育年数上的差异。
?大学中各年级的同学智商是否有别？
?三种不同的教学方法对于学生的成 绩是否有影响？
变异源
分析的一般方法
变异源分析是指通过对过程的有关数据的统计分析，得出变异由哪几部 分原因组成，并且定量给出每部分原因所产生的变异在总变异中占的比 例。主要是分析问题，尚未考虑解决问题。主要统计工具就是“方差分 析”和更深入的有关差分量的计算。
即 F 值则接近1，各组均数间的差异 没有统计学意义；反之，如果处理有 作用，则组间变异不仅包含随机误差， 还有处理因素引起的变异 ( 组间变异 主要反映处理因素的作用 )，此时组
间均方
MS组间远大于组内均方 MS组内，则F
值远大于1，各组均数间的差异有统 计学意义。故依据 F 值的大小可判断
各组之间有无差别。
1
2
3
4
Scores
1%
5
6
ANOVA的原理 (7) – 例题
离均差平方和只能反映变异的绝对大小。变异程 度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有 关，由于各部分自由度不相等，因此各部分离均差平 方和不能直接比较，须除以相应的自由度，该比值称 均方差，简称均方 （MS）。
MS组间 ? SS组间 / v组间
MS组内 ? SS组内 / v组内
MS的大小就反映了各部分变异的平均大小。
? ? SS组间
?
g
ni ( Xi ?
i?1
X)2
?
g Ti 2 i?1 ni
?C
差值各就组越均大数，XSiS组之间 间相越差大越；大反，之它S，S们组间与总越均小数X。 的
8.1方差分析基本思想
方差分析方差分析的基本思想两组样本均数的比较，适合用t检验。
对于多组样本均数的比较，若反复采用t检验将会增大犯I类错误（假阳性错误）的概率。
方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）即变异数分析，是对变异的来源及大小进行分析 。
方差分析由英国著名统计学家R.A.Fisher创立，以Fisher的第一个字母F命名检验统计量，故亦称F检验。
方差分析的基本思路是分析变异，即把数据的总变异分解为各种原因引起的变异和随机误差引起的变异，通过比较可能由某因素所致的变异与随机误差引起的变异，计算F统计量，即可了解该因素对测定结果有无影响。
例8-1观察参苓降脂片对高脂血症模型大鼠甘油三酯（TG）的影响，将高脂血症大鼠随机分为4组，每组9只，对照组不给予任何处理，低剂量组、中剂量组和高剂量组分别灌服参苓降脂片0.41g/kg体重、0.82g/kg体重、1.23g/kg体重，连续给药20天后，测定各组大鼠TG水平，结果如表8-1所示。
试分析不同剂量的参苓降脂片降脂效果是否相同。
1．总变异（total variation）如表8-1，36只大鼠TG水平不同，存在变异，称为总变异。
总变异的大小可以用每个观察值X ij与总均数 差值的平方和来表示，记为SS总。
SS称为离均差平方和（sum of squares of deviationfrom mean）。
SS总反映了所有测量值之间总的变异程度。
自由度 ν总＝N－1如表8-1，4组样本由于接受处理的水平不同，TG均数 也不同，这种变异称为组间变异。
组间变异大小可用各组均数 与总均数 差值平方和表示，记为SS组间，反映了各 间的变异程度。
造成组间变异的原因有：（1）处理因素的效应（如果确实存在）（2）随机误差（包括个体变异和测量误差）ν组间＝k－1如表8-1，在同一处理组中，虽然每只大鼠接受的处理相同，但TG水平不同，这种变异称为组内变异（或误差变异）。
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方差分析变异分解思路剖析
第一部分：方差分析变异分解的整体思想
差分析法是一种在若干能相互比较的资料组中，把产生变异的原因加以区分开来的方法与技术，方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
从变异性分解角度来看，主要是对观测值的总变异进行分解。
分解为两大部分：第一，来自于自变量不同处理效应的影响；第二，来自于误差因素的影响（即包括随机化选择被使过程中所产生的随机因素，也包括一些无法辨别来源的残差）。
以单因素完全随机设计为例。
某心理学家为了考察训练教程对儿童创造思维能力的影响，将20名被试随机分成四个组，每组5人，每组采用一种教程进行训练，一学期后每个被试的创造思维能力评分如下表，试检验训练教程的作用是否有显著的差异。
在这个例子中，自变量为训练教程，一共有四个水平。
因变量为创造性思维能力得分。
那么所有被试在因变量上得分的差异性（即变异）可以分解为两个来源：第一，由于自变量的四个水平所产生的四个组之间的差异性；第二，由于选择被试所导致的组内被试之间的差异性。
第二部分：不同实验设计下变异来源分解剖析
一、单因素完全随机设计
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变异分解的一般逻辑：
首先，计算总变异；
然后，计算处理产生的变异；
最后，用总变异减去处理产生的变异即误差变异。
在单因素完全随机设计中，处理产生的变异即水平组间变异。
利用原始数据计算变异的公式规律：
第一，总平方和和组间平方和的后一项记为CM，矫正数，均为总数据和的平均平方。
求多少和，即对多少平均。
第二，总平方和的前一项为所有原始数据平方的和。
第三，组间平方和的前一项为每组数据和的平方求平均，然后把几个组的计算结果相加。
PS：对我们的启示是在平方和处理变异分解过程中，我们只要搞清楚处理处理是指那几个
组就差异就可以了。
以第一部分中单因素随机实验设计为例。
具体数据见下表：
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总数据和为477，总数据和的平方为：227529，平均的总数据和的平方为：11376.45（有20个数据）。
该项即为矫正项。
所有原始数据平方的和为：13309。
因此，总平方和为1932.55。
组间平方和的前一项为每组数据和的平方求平均，然后把几个组的计算结果相加。
即：12930.2。
因此，组间平方和为：1553.75。
组内平方和为总平方和减去组间平方和。
因此，组内平方和为：378.80。
具体结果见下表。
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总结：我们发现，在方差分析不同实验设计的变异分解中，总变异的概念是一致的，矫正项的概念是一致的。
而误差变异又可以通过总变异减去处理变异即可。
因此，只要搞清楚处理变异的计算就可以搞定所有实验设计下方差变异的分解问题。
处理变异计算的关键点：只要搞清楚处理来源涉及到哪几个处理水平之间的差异性即可。
下面以各种其它实验设计的方差分解为例，进一步理解这一思想。
二、单因素随机区组设计
单因素随机区组设计和单因素完全随机设计的区别是单因素区组设计通过区组因素很好的控制了一个无关变量对因变量的影响（即：区组因素是一个无关变量）。
在统计上来说，是通过估计出区组因素所产生的平方和，减少了误差平方和的大小，从而提高了统计检验效力。
单因素随机区组设计的一个前提条件是：区组因素和自变量因素之间不存在交互作用。
否则需要采用两因素析因实验设计。
单因素随机区组设计的总变异被分解为以下的几个部分：
第一，自变量效应所产生的变异；
第二，区组效应所产生的变异；
第三，误差变异。
自变量效应所产生的变异以及区组效应所产生的变异的计算方法同单因素完全随机设计的组间效应的计算。
关键是要搞清楚是在计算哪几个组之间的变异性。
三、单因素重复测量实验设计
单因素重复测量实验设计和单因素完全随机实验设计的区别在于被试分配到处理中的方法是不一样的。
在单因素完全随机设计中，不同处理水平下的被试是不一样的。
而在单因素重复测量实验设计中，所有的被试均接受了所有处理水平的影响。
单因素重复测量实验设计的优点是可以控制被试间差异这一无关变量对因变量所造成的影响。
从统计上来说，是通过把被试间差异所导致的变异从误差变异中区分出来，减少了误差平方和的大小，从而提高了统计检验效力。
单因素重复测量实验设计的总变异可以分解为以下几个部分：
第一，自变量效应所产生的变异；
第二，被试间差异所导致的变异；
第三，误差变异。
下图反映的是三种不同的单因素实验设计的被试分配方案：
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四、多因素析因完全随机实验设计
多因素析因完全随机实验设计属于被试间设计的一个多因素析因实验设计，其优点是可以进行交互作用的分析。
交互作用产生的变异是通过对组间变异分解实现的。
在多因素析因完全随机实验设计中，我们把组间变异分解为主效应和交互作用效应。
已2*3完全随机析因设计为例。
假定存在两个自变量因素A和B，A有两个水平，称为A1,A2，B有三个水平，称为B1,B2,B3。
那么组间总变异是由A因素和B因素相交以后产生的6个处理水平组所产生的变异。
而A因素的主效应和B因素的主效应是分别由A因素2个水平组和B因素的三个水平组所产生的。
交互作用效应即用组间效应减去A因素和B因素的主效应获得的。
2*3完全随机析因设计的总变异可以分解为以下几个部分：
第一，A因素主效应所产生的变异；
第二，B因素主效应所产生的变异；
第三，AB因素的交互作用效应所产生的变异；
第四，误差变异。
五、多因素析因重复测量实验设计
多因素析因重复测量实验设计属于被试内设计，其与单因素重复测量实验设计的差别同多因素完全随机析因设计和单因素完全随机设计的区别。
其优点也是可以进行交互作用的分析。
在此不在赘述。
多因素析因重复测量实验设计的总变异可以分解为以下几个部分：
第一，A因素主效应所产生的变异；
第二，B因素主效应所产生的变异；
第三，AB因素的交互作用效应所产生的变异；
第四，被试间差异所导致的变异；
第五，误差变异。
六、多因素析因混合实验设计
多因素析因混合实验设计即包括了组间因素，也包括了组内因素（即被试内因素）。
因此在分析过程中是最复杂的。
其复杂性只要体现在对于组间因素的效应分析所采用的误差因素和对组内因素的效应分析所采用的误差因素是不一样的。
也可以认为是把组间设计的方差分解和组内因素的方差分解结合起来的一种方差分析技术。
具体分解过程可以参考舒华《多因素实验设计》一书。