优化结构 巧求最值—— 高中数学一道最值问题的巧解

优化结构巧求最值

——高中数学一道最值问题的巧解

关键词：高中数学、高考数学、解题技巧、结构化思想、均值不等式、对勾函数、最值问题.当我们遇到一个陌生问题时，我们将如何解决？相信此时我们需要结构化的思想，分析陌生问题的结构，研究结构间的关联，并将其变形演化、优化为我们熟知的问题结构.来看下面这个例子:

例:

已知函数()f x =，其中0x >.则 Rom 的最大值是________．分析:这种题目一般出现在压轴的填空题.大家都知道，求最值常用的方法有:配方法、判别式法、函数的单调性、函数的有界性、均值不等式、数形结合等．然而，这道题目的结构和这些方法都不匹配，解题陷入障碍.此时，我们需要认真审视它的结构，去发现结构间的关联，进而合理转化问题结构.

仔细观察，大家可以发现，分子和分母的x 系数中局部有两倍关系，这暗示我们可以通过换元来转化问题的结构.但我们首先必须消除分子分母中x 次数的差别,所以我们分子分母同除x .

解:()364271f x x x x x =++++-令

，由0

x >

得2t ≥+,所以22()1

t f x t =+,令()g t =22211t t t t

=++①，由对勾函数性质知()g t 在t ,

∞m 上单调递减，

所以1()(22g t g ≤+=，此时x ＝ ，所以f (x )≤ ．即f (x )的最大值为 ．

思考:为什么①式不能用均值不等式求最大值?

总结:本题抓住分子和分母的x 系数中局部的两倍关系，对分子分母同除x ，然后换元优化为大家熟悉的对勾函数的结构，问题迎刃而解.

分析并分解问题的结构，寻找结构间的关联，然后变形转化、优化为我们熟知的问题结构是解决陌生问题的主要途径.

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