高中数学最值问题

最值问题

一、点击高考

最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面。以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。因此，它在高考中占有比较重要的地位。

回顾近几年高考，从题型分布来看，大多数一道填空或选择题，一道解答题；从分值来看，约占总分的10%左右。特别是2003年北京卷，选择、填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题一道，解答题也是两道，总分值有近30分，两份试卷中均有一道实际应用问题。

由此看来，最值问题虽然是老问题，但一直十分活跃，尤其导数的引入，更是为最值问题的研究注入了新的活力。

可以预见：2005年的高考命题中，有关最值问题，题型、题量、分值将保持稳定，题目的背景会更贴近学生的实际生活，更关注社会热点问题，难度不会太难。

二、考点回顾:

分析已有考法，最值问题的呈现方式一般有以下几种：

1、函数的最值；

2、学科内的其它最值，如三角形的面积最值问题、几何体的体积最值问题、数列的最大项等等；

3、字母的取值范围；

4、不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，例如：

f(x)≥0对x∈R恒成立⇔f(x)的最小值≥0成立，

f(x)≤0对x∈R恒成立⇔f(x)的最大值≤0成立；

5、实际应用问题：

实际应用问题中，最优化问题占的比例较大，通过建模可化为最值问题。这类题已成为这几年高考的热点。可以肯定，这个热度会继续保持。

三、知识概要

1、求函数最值的方法：

“数”和“形”，数形结合：

配方法 直接法 均值不等式法

单调性

代数方法 导数法

判别式法

间接法

有界性

函数的图像

平面几何知识

几何方法 线性规划

解析几何 斜率

两点间距离

2、求几类重要函数的最值方法；

（1）二次函数：配方法和函数图像相结合；

（2）),0()(R a a x

a x x f ∈≠+=:均值不等式法和单调性加以选择； （3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数。

3、实际应用问题中的最值问题一般有下列三种模型：

能直接判断

线性规划

建立目标函数

曲函数的最值

四、典型例题分析

例1(2002·全国卷·理·21) 设a 为实数，)(1)(2R x a x x x f ∈+-+=，

（1）讨论)(x f 的奇偶性；

（2）求)(x f 的最小值。

【考查目的】

本题主要考查函数的概念，函数的概念，函数的奇偶性和分段函数的最值等基础知识，考查分类讨论的思路和逻辑思维能力。

【例题详解】

(1)解法一：常规思路：利用定义。

2)(x x f =-＋1++a x ，

2)(x x f -=-.1---a x

若22),()()(x x f x f x f 即为奇函数，则-=-R x a x a x ∈=+-++此等式对＋.02 都不成立，故)(x f 不是奇函数；

若)(x f 为偶函数，则)()(x f x f =-，即2x ＋21x a x =++,1+-+a x 此等式对R x ∈恒成立，只能是0=a .

故0=a 时，)(x f 为偶数；

0≠a 时，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数。

解法二：从特殊考虑： ,1)0(+=a f

又R x ∈，故)(x f 不可能是奇函数。

若0=a ，则=)(x f 1)(2++=-x x x f ，)(x f 为偶函数；

若0≠a ，则12)(,1)(22++=-+=a a a f a a f ，知)()(a f a f ≠-，故)(x f 在0≠a 时，既不是奇函数又不是偶函数。

（2）当a x ≤时，4

3)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f ，由二次函数图象及其性质知： 若2

1≤a ，函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ； 若21>a ，函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为43)21(=f ，且)()2

1(a f f ≤。

当a x ≥时，函数4

3)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f 。 若21-≤a ，函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为a f -=-4

3)21(，且)()2

1(a f f ≤-； 若2

1->a ，函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f 。 综上所述，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值是a -43；当2

121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a ；当21>a 时，函数)(x f 的最小值是4

3+a 。 【特别提示】

1．研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及

)(x f 与)(x f -是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证。

2．二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，考察图像的对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论。

3．本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论。

例2、已知函数x

a x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x （1）当2

1=a 时，求函数)(x f 的最小值； （2）若对任意0)(),,1[〉+∞∈x f x 恒成立，试求实数a 的取值范围。

【考察目的】

本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想。

【例题详解】

（1）当21=a 时，211)(',221)(zx

x f x x x f -=++=。 1≥x ，

∴ 0)(>x f 。