最优化 多目标优化 惩罚函数法 梯度法 牛顿法
最优化方法
随机梯度下降每次迭代只使用一个样本，迭代 一次计算量为n 2 ，当样本个数m很大的时候， 随机梯度下降迭代一次的速度要远高于批量梯 度下降方法。 两者的关系可以这样理解：随机 梯度下降方法以损失很小的一部分精确度和增 加一定数量的迭代次数为代价，换取了总体的 优化效率的提升。增加的迭代次数远远小于样 本的数量。
2. 牛顿法和拟牛顿法（Newton's method & Quasi-Newton Methods）
牛顿法（Newton's method） 牛顿法是一种在实数域和复数域上近似求解方程 的方法。方法使用函数 f ( x ) 的泰勒级数的前 面几项来寻找方程 f ( x ) = 0 的根。牛顿法最大 的特点就在于它的收敛速度很快。
具体步骤：
首先，选择一个接近函数 f ( x ) 零点的 x 0 ， 计算相应的 f ( x 0 ) 和切线斜率 f ' (x 0 ) （这 里 f ' 表示函数 f 的导数）。然后我们计算穿 过点 (x 0 , f (x 0 )) 并且斜率为 f '(x 0 ) 的直线 和 x 轴的交点的 x 坐标，也就是求如下方程的 解：
批量梯度下降法（Batch Gradient Descent,BGD）
（1）将J(theta)对theta求偏导，得到每个theta对应 的的梯度：
（2）由于是要最小化风险函数，所以按每个参数 theta的梯度负方向，来更新每个theta：
（3）从上面公式可以注意到，它得到的是一个全 局最优解，但是每迭代一步，都要用到训练集 所有的数据，如果m很大，那么可想而知这种 方法的迭代速度会相当的慢。所以，这就引入 了另外一种方法——随机梯度下降。 对于批量梯度下降法，样本个数m，x为n维向 量，一次迭代需要把m个样本全部带入计算， 迭代一次计算量为m*n 2 。
(完整版)机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计
2.黄金分割法（0.618法）
原理：提高搜索效率：1）每次只插一个值，利用一个前次的插值；2）每次的缩短率λ相同。左右对称。
程序：p52
（四）插值方法
1.抛物线法
原理：任意插3点：
算得： ； ；
要求：
设函数 用经过3点的抛物线 代替，有
解线代数方程
解得：
程序框图p57
网格法 ，缩小区间，继续搜索。
Monte Carlo方法 ， ，随机数。
比较各次得到的 得解
遗传算法(专题)
（二）区间消去法（凸函数）
1.搜索区间的确定：高—低--高（ ）则区间内有极值。
2.区间消去法原理：在区间[a, b]内插两个点a1, b1保留有极值点区间，消去多余区间。
缩短率：
（三）0.618法
可行方向—约束允许的、函数减小的方向。（图）约束边界的切线与函数等高线的切线方向形成的区域。
数学模型
用内点法或混合法，取 ，
直接方法
（一）随机方向法
1.在可行域产生一个初始点 ，因 （约束），则
--（0，1）的随机数。
2.找k个随机方向，每个方向有n个方向余弦，要产生kn个随机数 ， ， ，随机方向的单位向量为
3.取一试验步长 ，计算每个方向的最优点
4.找出可行域中的最好点 得搜索方向 。以 为起点， 为搜索方向得 。最优点必须在可行域内或边界上，为此要逐步增加步长。
得
穷举下去得递推公式
3.算例
p73
4.框图p72
5.特点
作业：1. 2.
（六）变尺度法
1.引言
坐标变换
二次函数
令 为尺度变换矩阵
数据科学中的最优化方法
数据科学中的最优化方法在数据科学领域，最优化方法是一种重要的数学工具，用于解决各种问题，如参数估计、模型选择、特征选择等。
最优化方法的目标是找到使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。
本文将介绍几种常用的最优化方法，并探讨它们在数据科学中的应用。
一、梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法，它通过迭代的方式逐步优化目标函数。
其基本思想是沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，直到找到最优解。
梯度下降法有多种变体，如批量梯度下降法、随机梯度下降法和小批量梯度下降法等。
在数据科学中，梯度下降法广泛应用于模型参数的估计。
例如，在线性回归中，我们可以使用梯度下降法来估计回归系数，使得模型的预测误差最小化。
此外，梯度下降法还可以用于神经网络的训练、支持向量机的优化等。
二、牛顿法牛顿法是一种迭代的优化算法，它通过近似目标函数的二阶导数来更新变量的取值。
牛顿法的基本思想是通过二次近似来逼近目标函数，并求得使得二次近似函数取得最小值的变量取值。
牛顿法的收敛速度较快，但计算复杂度较高。
在数据科学中，牛顿法常用于解决非线性优化问题。
例如，在逻辑回归中，我们可以使用牛顿法来估计模型的参数，以最大化似然函数。
此外，牛顿法还可以用于求解无约束优化问题、非线性方程组的求解等。
三、拟牛顿法拟牛顿法是一种改进的牛顿法，它通过近似目标函数的梯度来更新变量的取值。
拟牛顿法的基本思想是通过一系列的迭代步骤来逼近目标函数，并求得最优解。
拟牛顿法的计算复杂度较低，收敛速度较快。
在数据科学中，拟牛顿法常用于解决大规模优化问题。
例如，在深度学习中，我们可以使用拟牛顿法来训练神经网络，以最小化损失函数。
此外，拟牛顿法还可以用于求解约束优化问题、非线性方程组的求解等。
四、遗传算法遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化算法，它通过模拟生物进化的过程来求解最优解。
遗传算法的基本思想是通过选择、交叉和变异等操作来不断改进种群的适应度，并逐步逼近最优解。
遗传算法具有全局搜索能力，但计算复杂度较高。
现代电力系统分析-往年试卷与复习资料 (6)
一、潮流计算方法之间的区别联系高斯-赛德尔法：原理简单，导纳矩阵对称且高度稀疏，占用内存小。
收敛速度很慢，迭代次数随节点数直接上升，计算量急剧增加，不适用大规模系统。
牛顿-拉夫逊法：收敛速度快，迭代次数和网络规模基本无关。
相对高斯-赛德尔法，内存量和每次迭代所需时间较多，其可靠的收敛还取决于一个良好的启动初值。
PQ 分解法（快速解耦法）：PQ 分解法实际上是在极坐标形式的牛顿法的基础上，在交流高压电网中，输电线路等元件的R<<X ，即有功功率主要取决于电压相角，而无功功率主要取决于电压幅值，根据这种特性对方程组进行简化，从而实现了有功和无功的解耦。
两大条件：(1)线路两端的相角相差不大(小于10°～20°)，而且||||ij ij G B ≤，于是可以认为：cos 1;sin ij ij ij ij G B θθ≈≤； (2)与节点无功功率相对应的导纳2/i i Q U 通常远小于节点的自导纳ii B ，也即2i i ii Q U B <<。
1. PQ 分解法用一个1n -阶和一个1n m --阶的方程组代替牛顿法中22n m --阶方程组，显著减少了内存需量和计算量。
2. 计算过程中B '、B ''保持不变，不同于牛顿法每次迭代都要重新形成雅可比矩阵，因此显著提高了计算速度。
3.雅可比矩阵J 不对称，而B '、B ''都是对称的，使求逆等运算量和所需的存储容量都大为减少。
4. PQ 分解法的迭代次数要比牛顿法多，但是每次迭代所需时间比牛顿法少，所以总的计算速度仍是PQ 分解法快。
在低压配电网中PQ 分解法不适用。
交流高压电网的输电线路的元件满足R<<X ，PQ 分解法正是基于此条件简化而来；而低电压配电网络一般R/X 比值很大，大R/X 比值病态问题也正是PQ 分解法应用中的一个最大障碍。
约束最优化方法
约束最优化方法
约束最优化方法是指通过给定约束条件，寻找目标函数的最优解。
以下是一些常用的约束最优化方法：
1. 拉格朗日乘子法：将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，通过求解无约束最优化问题得到原问题的最优解。
2. 罚函数法：将约束条件转化为罚函数项，通过不断增加罚函数的权重，使目标函数逐渐逼近最优解。
3. 梯度下降法：通过迭代计算目标函数的梯度，沿着梯度的负方向搜索目标函数的最优解。
4. 牛顿法：通过迭代计算目标函数的Hessian矩阵，使用Hessian矩阵的逆矩阵乘以梯度向量来逼近最优解。
5. 遗传算法：模拟自然界的遗传机制，通过种群迭代的方式搜索最优解。
6. 模拟退火算法：模拟物理退火过程，通过随机搜索的方式搜索最优解。
7. 蚁群算法：模拟蚂蚁觅食行为，通过模拟蚂蚁的信息素传递过程来搜索最优解。
8. 粒子群算法：模拟鸟群、鱼群等群集行为，通过模拟粒子间的相互作用来搜索最优解。
这些方法各有优缺点，应根据具体问题选择合适的方法进行求解。
最优化理论与方法——牛顿法
牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。
结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton Newton’’s s method method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。
牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。
牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
收敛。
牛顿法的几何解释：牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。
如下图：轴的焦点的横坐标。
如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点轴的交点 的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。
鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：x-d gk k×Gg sks×GGd 101x x x -（1）令k k G v I k G -=+，其中：，其中：0k v =，如果k G 正定；0,k v >否则。
否则。
（2）计算_k G 的Cholesky 分解，_T k k k k G L D L =。
（3）解_k k G d g =-得k d 。
（4）令1k k k x x d +=+牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算()()'k k f x f x 及，计算量较大且有时()'k fx 计算较困难，二是初始近似值0x 只在根*x附近才能保证收敛，如0x 给的不合适可能不收敛。
最优化多目标优化惩罚函数法梯度法牛顿法
最优化多目标优化惩罚函数法梯度法牛顿法1、2021-12-0812:30利用梯度法和牛顿法编程求最优解(matlab)f(x)二X「2+4*x2x0二[2;2]e二0.002利用梯度法和牛顿法编程求最优解方法一?梯度法functiony二fun(xl,x2)y二x 「2+4*x22;%定义fun.m函数clcsymsxlx2d;f二x「2+4*x2八2;fxl 二diff(f,xl);fx2=diff(f,，x2,);xl=2;x2=2;forn=l:100fO二subs(f);fl=subs(fxl);f2=subs(fx2);if(double(sqrt(fl2+f22))= 0.002)nvpa(xl)vpa(x2)vpa(fO)break;elseD二fun(xl-d*fl,x2-d*f2);Dd2、=diff(D,，d，);dd二solve(Dd);xl二xl-dd*f1;x2二x2-dd*f2;endend%结果n二10,xl二0.2223e-3,x2二-0.1390e-4,f0=0.5021e-7.方法二?牛顿法clcsymsxlx2;f二x 「2+4*x22;fxl=diff(f,xl);fx2=diff(f,x2);fxlxl=diff(fxl,xl); fxlx2=diff(fxl,x2);fx2xl二diff(fx2,xl);fx2x2二diff(fx2,x2);xl=2;x2=2;forn=l:100fO二subs(f);fl二subs(fxl);f2二subs(fx2);if(double(sqrt(f12+f22))=0.002)nxl=3、vpa(xl,4)x2=vpa(x2,4)f0=vpa(f0,4)break;elseX=[xlx2]-inv([fx lxlfxlx2;fx2xlfx2x2])*[flf2]，;xl=X[l,1];x2二X[2,1];endend%结果n=2,xl=0,x2=0,f0=0.惩处函数法〔内点法、外点法〕求解约束优化问题最优值编程matlab1用外点法求以下问题的最优解用外点法求以下问站的说优解方法一：外点牛顿法:clcm=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);fO=zeros(1, 50);%ab为最优点坐标，fO为最优点函数值，flf2最优点梯度。
五种最优化方法范文
五种最优化方法范文最优化是一个数学领域，在解决实际问题时，通过寻找最优解的方法，使得目标函数的值最小或最大化。
在最优化问题中，有许多不同的方法可以用来求解。
以下是五种常见的最优化方法。
1.梯度下降法梯度下降法是一种基于梯度信息的迭代算法，用于求解最小化目标函数的最优解。
其基本思想是从初始点开始，根据负梯度方向进行迭代求解，直到达到预定的停止条件或收敛到最优解。
梯度下降法的优点是简单易实现，适用于大规模问题。
缺点是容易陷入局部最优或鞍点，并且收敛速度可能较慢。
2.牛顿法牛顿法是一种基于二阶导数信息的迭代算法，用于求解非线性最优化问题。
其基本思想是通过二阶泰勒展开近似目标函数，以牛顿法的更新方程进行迭代求解。
与梯度下降法相比，牛顿法收敛速度更快。
但牛顿法的缺点是需要计算目标函数的二阶导数矩阵，计算代价较大，并且需要满足一定的收敛条件。
3.拟牛顿法拟牛顿法是一种通过拟合目标函数的局部特征来逼近牛顿法的方法。
常用的拟牛顿法有DFP（Davidon-Fletcher-Powell）方法和BFGS （Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）方法。
拟牛顿法利用目标函数的一阶导数信息来近似目标函数的二阶导数矩阵，从而避免了计算二阶导数的复杂性，且收敛速度比梯度下降法更快。
拟牛顿法的缺点是需要存储和更新一个Hessian矩阵的逆或近似逆。
4.线性规划线性规划是一种最优化问题的形式，其中目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题可以通过线性规划算法求解，如单纯形法、内点法等。
线性规划问题具有良好的理论基础和高效的求解方法。
线性规划在工业、供应链管理、运输问题等方面有广泛的应用。
5.整数规划整数规划是一种最优化问题的形式，其中决策变量只能取整数值。
整数规划问题可以通过整数规划算法求解，如分支定界法、割平面法等。
整数规划在许多实际情况下具有重要的应用，例如在生产计划、线路设计、货物装载等问题中。
五种最优化方式
五种最优化方式1. 最优化方式概述1.1最优化问题的分类1）无约束和有约束条件；2）确信性和随机性最优问题（变量是不是确信）；3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是不是线性）；4）静态计划和动态计划（解是不是随时刻转变）。
1.2最优化问题的一样形式（有约束条件）：式中f(X)称为目标函数(或求它的极小，或求它的极大)，si(X)称为不等式约束，hj(X)称为等式约束。
化进程确实是优选X，使目标函数达到最优值。
2.牛顿法2.1简介1）解决的是无约束非线性计划问题；2）是求解函数极值的一种方式；3）是一种函数逼近法。
2.2 原理和步骤3. 最速下降法（梯度法）3.1最速下降法简介1）解决的是无约束非线性计划问题；2）是求解函数极值的一种方式；3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向；3.2 最速下降法算法原理和步骤4. 模式搜索法(步长加速法)4.1 简介1）解决的是无约束非线性计划问题；2）不需要求目标函数的导数，因此在解决不可导的函数或求导异样麻烦的函数的优化问题时超级有效。
3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。
轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的那么是沿着有利方向加速移动。
4.2模式搜索法步骤5.评判函数法5.1 简介评判函数法是求解多目标优化问题中的一种要紧方式。
在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x))s.t. g(x)<=0传统的多目标优化方式本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处置或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采纳单目标优化技术求解。
经常使用的方式有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。
选取其中一种线性加权求合法介绍。
5.2 线性加权求合法6. 遗传算法智能优化方式是通过运算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方式，要紧有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。
优化设计总结最终版
15.参数选择的原则？ ①先易后难的原则：先粗后细、精度先低后高，步长先大后小。尤其工程问题，要根据实际 情况判断，合理、适用即可。②参数选择建议通过试算，再确定。 16.表格数据和图像数据的处理？ ①数据是根据公式计算值列成表格的， 则找出原计算公式； ②数据是根据实验测试值列成表 格的，数据有变化规律，则找拟合曲线，转化成公式；③无规律可循的数据，用数组处理。 求图线的拟合方程，步骤如下：①先等间隔等分，按曲线等分点取值，得离散数据； ②拟合曲线，确定多项式方程，尚有代定系数；③代入离散数据求方程系数，最后得到拟合 方程的公式。 17.程序运行过程中出现死机情况的分析及处理 可能出现分母近似为零的现象；可能超出函数可行域，计算溢出；可能有矛盾约束； 可能 模型有不合理的情况等等 运行出现 “无限循环” ：若设计点来回变化，目标函数值忽大忽小，无规律 ，则属于不 收敛。需要更换算法，或完善数学模型。若计算时间很长，仍未收敛，但目标函数还是在下 降，变化极小，几乎不变。则可能步长太小，或精度太高，需要调整 灵敏度问题：有的参数稍一改变，目标函数值发生很大变化，而有的参数怎么改变，目标函 数几乎不变。运行计算中，有的方向需要作规范化 18.确认最优解？ 1、校核和精确性运算：将未列入约束的设计限制条件 ，作校核；试算后的精确性运算：对 初步运算时，未达到的精度或还不很合理的参数，作进一步调整，再次作精确性优化运算。 2、根据工程实际情况，判断确认最优解：3、根据实用性和合理性，判断确认最优解：4、 复核性运算：(变换初始点，作复核性的优化运算;变换参数，再次作复核性的优化运算；变 换算法，再次作复核性的优化运算。) 19.对不合理运行解的处理? ①可能是局部最优解（改变初始点） ；②可能算法运用不当（变化算法的相关参数） ；③可能 算法选择不合适(重新选择算法)④可能数学模型不完全合适(改善、 完善， 甚至重建数学模型)。 三、各种算法逻辑关系 随机方向 直 统 功 协 接 一 效 调 复合形法 解 多目标 目 系 曲 标 数 线 内点惩罚函数 间 函 法 接 数 有约束转化成无约束 外点惩罚函数 解 数 学 混合惩罚函数 解析法 模 单 有约束 型 维 数值迭代 黄金分割 变 量 插值法 单目标 · 坐标 轮 换 无约束 多 维 变 量 共轭 方 向 梯度法 共轭 梯度 牛顿法 变尺度法
最优化方法 总结
最优化方法总结
最优化方法是一种用于求解最优化问题的数学工具和技术。
最优化问题是指在给定约束条件下寻找使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。
最优化方法主要分为两类：无约束优化和约束优化。
在无约束优化中，最优化方法包括：
1. 梯度下降法：通过不断迭代来寻找函数的最小值点，在每一步迭代中通过计算函数的梯度来确定下降的方向和步长。
2. 牛顿法：使用函数的一阶和二阶导数来近似估计最小值点，通过迭代计算来逐步逼近最小值点。
3. 拟牛顿法：使用函数的梯度信息来估计牛顿法的一阶导数信息，以减少计算二阶导数的复杂性。
4. 共轭梯度法：通过迭代来求解线性最小二乘问题，可以高效地求解大规模问题。
在约束优化中，最优化方法包括：
1. 等式约束优化：利用拉格朗日乘数法将等式约束转化为无约束优化问题，并使用无约束优化方法求解。
2. 不等式约束优化：使用罚函数、投影法或者序列二次规划等方法将不等式约束转化为无约束优化问题，并使用无约束优化方法求解。
3. 信赖域方法：通过构造信赖域来限制搜索方向和步长，以保证在搜索过程中满足约束条件。
4. 内点法：通过转化为等式约束问题，并使用迭代法来逐步逼近约束边界。
总体来说，选择适当的最优化方法取决于问题的性质和约束条件的类型。
不同的最优化方法有不同的优缺点，适用于不同的问题，因此需要在具体应用中进行选择和调整。
求全局最优化的几种确定性算法
求全局最优化的几种确定性算法全局最优化是一个在给定约束条件下寻找函数全局最小或最大值的问题。
确定性算法是指每次运行算法都能得到相同的结果，且结果能确保接近全局最优解。
以下是几种常见的确定性算法：1. 梯度下降法（Gradient Descent）梯度下降法是一种迭代优化算法，通过沿负梯度方向逐步调整参数值，直至找到函数的最小值或最大值。
该算法对于凸函数是有效的，但可能会陷入局部最优解。
可以通过调整学习率和选择不同的初始参数值来改进算法的效果。
2. 牛顿法（Newton's Method）牛顿法利用函数的二阶导数信息来找到函数的最小值或最大值。
它基于泰勒级数展开，通过使用当前点的一阶和二阶导数来逼近函数，然后迭代地更新参数值。
牛顿法通常比梯度下降法更快地收敛到全局最优解，但它可能需要计算和存储较大的二阶导数矩阵。
3. 共轭梯度法（Conjugate Gradient）共轭梯度法是一种迭代法，用于求解线性方程组或优化问题。
它利用问题的海森矩阵或其逼近的特殊性质，在有限次迭代后得到准确解。
共轭梯度法在解决大规模问题时具有可伸缩性，且不需要存储大规模矩阵。
4. BFGS算法（Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno Algorithm）BFGS算法是一种拟牛顿法，用于解决无约束非线性优化问题。
它通过近似目标函数的海森矩阵的逆矩阵来逼近最优解，从而避免了计算海森矩阵的复杂性。
BFGS算法具有快速的收敛性和较好的全局收敛性。
5. 遗传算法（Genetic Algorithms）遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化方法，通过模拟自然界的选择、交叉和变异过程来最优解。
它将问题表示成一个个基因型，通过使用选择、交叉和变异等操作来产生新的个体，并根据适应度函数评估每个个体的好坏。
遗传算法具有全局能力，可以处理非线性、非凸函数以及离散优化问题。
6. 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization）粒子群优化算法是一种模拟鸟群或鱼群行为的优化算法。
最优化算法分类
最优化算法分类以下是 9 条关于最优化算法分类的内容：1. 梯度下降算法呀，就像一个在迷雾中努力寻找最低点的探索者。
比如在训练神经网络的时候，它就会一步步朝着最优解的方向前进。
嘿，这不就像你在努力追求自己心中的梦想一样嘛！2. 牛顿法呢，那可是个厉害的角色，就如同一个有着精确瞄准器的高手。
像是在解决一些复杂的最优化问题时，它能快速又准确地锁定目标，这多牛啊！3. 模拟退火算法啊，哇哦，如同一位耐心又聪明的舞者，在复杂的舞台上寻找最佳位置。
好比在寻找最优的物流配送路线时，它慢慢调整，最终找到最合适的那一条，是不是很神奇？4. 遗传算法呀，简直就是自然进化的缩影嘛！就好像是生物在不断适应和进化。
比如说在设计一个最优的产品外观时，它通过一代代的“繁衍”和“变异”，选出最好的方案呢！5. 粒子群优化算法，嘿，这就像一群小伙伴一起朝着目标奔跑。
当要优化一个复杂的函数时，这些“小粒子”们相互协作，共同找到最优解，是不是很有意思？6. 蚁群算法知道不？那可是像蚂蚁们集体行动一样。
比如在解决路径规划问题时，它们通过信息素的传递找到最短路径，这也太妙了吧！7. 禁忌搜索算法呢，就如同一个有记忆的探险家。
像是在安排生产计划时，它能避开曾经的不好选择，找到更好的方案，厉害吧？8. 混合整数规划算法呀，就好比是一个能精确区分不同种类物品的整理大师。
当遇到既有整数又有小数的最优化问题时，它能处理得妥妥当当，这多牛啊！9. 凸优化算法，哇，那可是最优化世界里的明星啊！就像一个总是能轻松获胜的冠军。
比如在处理一些特定的数学问题时，它总是能快速给出最优答案，真的太厉害了！我的观点结论就是：这些最优化算法各有各的特点和用途，都是我们解决复杂问题的得力小助手呀！。
最优化算法（牛顿、拟牛顿、梯度下降）
最优化算法（⽜顿、拟⽜顿、梯度下降）1、⽜顿法 ⽜顿法是⼀种在实数域和复数域上近似求解⽅程的⽅法。
⽅法使⽤函数f (x)的泰勒级数的前⾯⼏项来寻找⽅程f (x) = 0的根。
⽜顿法最⼤的特点就在于它的收敛速度很快。
具体步骤： ⾸先，选择⼀个接近函数f (x)零点的x0，计算相应的f (x0) 和切线斜率f ' (x0)（这⾥f ' 表⽰函数f 的导数）。
然后我们计算穿过点(x0, f (x0)) 并且斜率为f '(x0)的直线和x 轴的交点的x坐标，也就是求如下⽅程的解： 我们将新求得的点的x 坐标命名为x1，通常x1会⽐x0更接近⽅程f (x) = 0的解。
因此我们现在可以利⽤x1开始下⼀轮迭代。
迭代公式可化简为如下所⽰： 已经证明，如果f ' 是连续的，并且待求的零点x是孤⽴的，那么在零点x周围存在⼀个区域，只要初始值x0位于这个邻近区域内，那么⽜顿法必定收敛。
并且，如果f ' (x)不为0, 那么⽜顿法将具有平⽅收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代⼀次，⽜顿法结果的有效数字将增加⼀倍。
下图为⼀个⽜顿法执⾏过程的例⼦。
由于⽜顿法是基于当前位置的切线来确定下⼀次的位置，所以⽜顿法⼜被很形象地称为是"切线法"。
⽜顿法的搜索路径（⼆维情况）如下图所⽰： ⽜顿法搜索动态⽰例图：2、拟⽜顿法（Quasi-Newton Methods） 拟⽜顿法是求解⾮线性优化问题最有效的⽅法之⼀，于20世纪50年代由美国Argonne国家实验室的物理学家W.C.Davidon所提出来。
Davidon设计的这种算法在当时看来是⾮线性优化领域最具创造性的发明之⼀。
不久R. Fletcher和M. J. D. Powell证实了这种新的算法远⽐其他⽅法快速和可靠，使得⾮线性优化这门学科在⼀夜之间突飞猛进。
拟⽜顿法的本质思想是改善⽜顿法每次需要求解复杂的Hessian矩阵的逆矩阵的缺陷，它使⽤正定矩阵来近似Hessian矩阵的逆，从⽽简化了运算的复杂度。
最优化方法求解技巧
最优化方法求解技巧在最优化问题中，我们首先需要定义一个目标函数，这个函数的极值是我们需要求解的最优解。
然后，我们需要确定约束条件，这些条件描述了变量可能的取值范围。
最后，我们使用最优化方法来找到使目标函数取得极值的变量取值。
1. 梯度下降法（Gradient Descent）：梯度下降法是一种基于负梯度方向的迭代方法，通过不断调整变量的取值来降低目标函数的值。
梯度是目标函数对变量的偏导数，负梯度方向是目标函数下降最快的方向。
梯度下降法的一个重要参数是学习率，它决定了每次迭代中变量取值的调整幅度。
学习率太大可能导致无法收敛，学习率太小可能导致收敛速度过慢。
2. 牛顿法（Newton's Method）：牛顿法是一种基于二阶导数的迭代方法，它通过利用目标函数的局部二次近似来求解最优解。
牛顿法的一个重要参数是初始点的选择，不同的初始点可能导致不同的解。
牛顿法在一些问题上可以收敛得很快，但在一些问题上可能会出现不稳定的情况。
3. Levenberg-Marquardt算法：Levenberg-Marquardt算法是用于非线性最小二乘问题的一种优化算法。
它是一种基于梯度的算法，可以有效地处理大规模问题。
Levenberg-Marquardt算法在求解非线性最小二乘问题方面有很强的适应性和鲁棒性。
4. 遗传算法（Genetic Algorithm）：遗传算法是一种模拟自然界进化过程的优化方法。
它从一个随机生成的种群开始，通过交叉、变异和选择等操作来迭代生成新的种群，最终找到最优解。
遗传算法的一个优势是能够在局部最优解附近到全局最优解。
除了上述方法，还有很多其他的最优化方法，如线性规划、整数规划、动态规划等。
不同的方法适用于不同类型的问题，我们可以根据问题的特点选择合适的方法。
在实际应用中，求解最优化问题时，有一些常用的技巧可以提高效率和精度。
以下是一些常见的技巧：1.初始点的选择：初始点的选择对于求解的效果具有很大的影响。
最优化 多目标优化 惩罚函数法 梯度法 牛顿法
2008-12-08 12:30利用梯度法和牛顿法编程求最优解(matlab)f(x)=x1^2+4*x2^2 x0=[2;2] e=0.002利用梯度法和牛顿法编程求最优解方法一.梯度法function y=fun(x1,x2)y=x1^2+4*x2^2; %定义fun.m函数clcsyms x1 x2 d;f=x1^2+4*x2^2;fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');x1=2;x2=2;for n=1:100f0=subs(f);f1=subs(fx1);f2=subs(fx2);if (double(sqrt(f1^2+f2^2)) <= 0.002)nvpa(x1)vpa(x2)vpa(f0)break;elseD=fun(x1-d*f1,x2-d*f2);Dd=diff(D,'d');dd=solve(Dd);x1=x1-dd*f1;x2=x2-dd*f2;endend %结果n=10,x1=0.2223e-3,x2=-0.1390e-4,f0=0.5021e-7. 方法二.牛顿法clcsyms x1 x2 ;f=x1^2+4*x2^2;fx1=diff(f,'x1'); fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff(fx1,'x2');fx2x1=diff(fx2,'x1');fx2x2= diff(fx2,'x2');x1=2;x2=2;for n=1:100f0=subs(f);f1=subs(fx1);f2=subs(fx2);if (double(sqrt(f1^2+f2^2)) <= 0.002)nx1=vpa(x1,4)x2=vpa(x2,4)f0=vpa(f0,4)break;elseX=[x1 x2]'-inv([fx1x1 fx1x2;fx2x1 fx2x2]) *[f1 f2]';x1=X[1,1];x2=X[2,1];endend %结果 n=2,x1=0,x2=0,f0=0.惩罚函数法（内点法、外点法）求解约束优化问题最优值编程 matlab1 用外点法求下列问题的最优解方法一：外点牛顿法：clcm=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);%a b为最优点坐标，f0为最优点函数值，f1 f2最优点梯度。
最优化方法代码
牛顿法：函数fun，初值x0，误差e，结果x例子：fun=x^4-4*x^3-6*x^2-16*x+4function [x]=newton(fun,x0,e)f1=diff(fun);f2=diff(fun,2);x=x0-subs(f1,x0)/subs(f2,x0);while (abs(x-x0)>=e)x0=x;x=x0-subs(f1,x0)/subs(f2,x0);end平分法：函数fun，初始区间（a，b），误差e，结果x 例子：fun=3*x^4-16*x^3+30*x^2-24*x+8function [x]=pingfen(fun,a,b,e)x=(a+b)/2;f1=diff(fun);while (abs(a-b)>=e)if(subs(f1,x)>0)b=x;x=(a+b)/2;elseif (subs(f1,x)<0)a=x;x=(a+b)/2;elseif(subs(f1,x)==0)break;endend成功失败法:函数fun，初值x0，步长h，误差e例子：fun=x^5+2*x^4-4*x^3+x^2+x+2function [x]=suc_fail(fun,x0,h,e) x=x0;y0=subs(fun,x);while(1)y=subs(fun,(x+h))if(y<y0)y0=y;x=x+h;h=2*helseif(y>=y0)if(abs(h)<e)break;elseh=-h*(1/4);endendend0.618法：例子：fun=x^2+2*xfunction [x]=f0618(fun,a0,b0,e) n=0.618;a=a0;b=b0;r=a+(1-n)*(b-a);u=a+n*(b-a);yr=subs(fun,r);yu=subs(fun,u);while(abs(b-a)>=e)if(yr>yu)a=r;r=u;u=a+n*(b-a);yr=subs(fun,r);yu=subs(fun,u);elseb=u;u=r;r=a+(1-n)*(b-a);yu=subs(fun,u);yr=subs(fun,r);endendx=0.5*(a+b);确定初始区间和初始值：function [a,b,x0]=f(fun)t0=0;h=1;y0=subs(fun,t0);t2=t0+h;y2=subs(fun,t2);if(y2<=y0)t1=t0+h;y1=subs(fun,t1);elseh=-h;t1=t0+h;y1=subs(fun,t1);endwhile(y1<=y0)h=2*h;t2=t0;t0=t1;if(y2<=y0)t1=t0+h;y1=subs(fun,t1);elseh=-h;t1=t0+h;y1=subs(fun,t1);endenda=min(t1,t2);b=max(t1,t2);x0=(a+b)/2;海塞矩阵：[n,m]=size(x);syms x1 x2 x3 x4 x5;xk=[x1;x2;x3;x4;x5];for k=1:ny(k)=xk(k);endfor i=1:ng(i)=diff(fun,xk(i));h=g(i);for k=1:ny(i)=subs(h,xk(k),x(k));h=y(i);endendg=double(y);end海塞矩阵二阶偏导：function [g]=hassion2(fun,x)[n,m]=size(x);syms x1 x2 x3 x4 x5;xk=[x1;x2;x3;x4;x5];for k=1:ny(k)=xk(k);endfor i=1:ng1(i)=diff(fun,xk(i));for j=1:ng2(i,j)=diff(g1(i),xk(j));h=g2(i,j);for p=1:ny(i,j)=subs(h,xk(p),x(p));h=y(i,j);endendendg=double(y);一维精确搜索：[n,m]=size(x);syms x1 x2 x3 x4 x5 r;xk=[x1;x2;x3;x4;x5];xx=x+r*s;for i=1:nf=subs(fun,xk(i),xx(i));fun=f;endrr=solve(diff(f,r));r=double(rr);求函数值：function [f]=fx(fun,x0)[n,m]=size(x0);syms x1 x2 x3 x4 x5;x=[x1;x2;x3;x4;x5];for k=1:nf=subs(fun,x(k),x0(k));fun=f;endf=double(f);不精确的一维搜索方法：步长r，函数fun，初值x0，方向s0 例子：fun=100*(x2-x1^2)^2+(1-x1)^2;function [r]=ods(fun,x0,s0)[n,m]=size(x0);syms x1 x2 x3 x4 x5;x=[x1;x2;x3;x4;x5];for k=1:ny(k)=x(k);y0(k)=x(k);endc1=0.1;c2=0.5;a=0;b=+inf;r=1;j=0;s=s0;x1=x0+r*s;h0=fun;h=fun;for k=1:nf=subs(h,x(k),x1(k));h=f;f0=subs(h0,x(k),x0(k));h0=f0;endy0=hassion(fun,x0);y=hassion(fun,x1);while(double(f0-f) < double((-1)*c1*r*y0*s) || double(y*s) < double(c2*y0*s))j=j+1;if(double(f0-f) < double((-1)*c1*r*y0*s))b=r;r=(r+a)/2;elsea=r;r=min(2*r,(r+b)/2);endx1=x0+r*s;h0=fun;h=fun;for k=1:nf=subs(h,x(k),x1(k));h=f;endy=hassion(fun,x1);end最速下降法：函数fun，初值x0，误差e 例子：fun=3*x1^2+2*x2^2-4*x1-6*x2function [x]=fast(fun,x0,e)x=x0;s=hassion(fun,x);while(norm(s)>=e)x0=x;r=ods(fun,x0,-s');x=x0-r*s';s=hassion(fun,x);end牛顿法（N维）：结果x，函数fun，初值x0，精度e 例子：fun=x1^2+25*x2^2function [x]=newton2(fun,x0,e)x=x0;s1=hassion(fun,x)s2=hassion2(fun,x)while(norm(s1)>=e)x0=xx=x0-inv(s2)*s1';s1=hassion(fun,x);s2=hassion2(fun,x);end阻尼牛顿法：结果x，函数fun，初值x0，精度e例子：fun=x1^2+2*x2^2-4*x1-2*x1*x2function [x]=znnewton(fun,x0,e)x=x0;y1=hassion(fun,x0);y2=hassion2(fun,x0);while(norm(y1)>=e)s0=-inv(y2)*y1';r=search(fun,x0,s0);x0=x;x=x0+r*s0;y1=hassion(fun,x);y2=hassion2(fun,x);end共轭梯度法：结果x，函数fun，初值x0，精度e 例子：fun=x1^2+2*x2^2-4*x1-2*x1*x2function [x]=gongertidu(fun,x0,e)[n,m]=size(x0);k=0;flag=0;while(k==0 & flag==0)x=x0;g0=hassion(fun,x);s0=-g0;r=search(fun,x,s0');x=x0+r*s0';g1=hassion(fun,x);flag=flag+1;while(norm(g1)>=e)if(k==n-1)x0=x;k=0;flag=0;break;endu=norm(g1)^2/norm(g0)^2;s1=-g1+u*s0;r=search(fun,x,s1');x=x+r*s1';g1=hassion(fun,x);k=k+1;s0=s1;endendDPF算法：结果x，函数fun，初值x0，精度e例子：fun=x1^2+2*x2^2-4*x1-2*x1*x2function [x]=dfp(fun,x0,e)[n,m]=size(x0);h0=eye(n);k=0;flag=0;while(k==0 & flag==0)h=h0;x=x0;g0=hassion(fun,x);s0=-h0*g0';r=search(fun,x0,s0);x=x0+r*s0;g1=hassion(fun,x);flag=flag+1;while(norm(g1)>=e)if(k==n-1)x0=x;k=0;flag=0;break;endh=h0+((x-x0)*(x-x0)')/((x-x0)'*(g1-g0)')-(h0*(g1-g0)'*(h0*(g1-g0)')')/((g1-g0)*h0*(g1-g0)');s1=-h*g1';r=search(fun,x,s1);x=x+r*s1;g1=hassion(fun,x);h0=h;x0=x;k=k+1;endendBFGS算法：例子：fun=x1^2+x1*x2+x2^2;function [x]=wg(fun,x0,e)[n,m]=size(x0);k=0;flag=0;while(k==0 & flag==0)h0=eye(n);h=h0;x=x0;g0=hassion(fun,x0);g=g0;flag=flag+1;while(norm(g)>=e)if(k==n)k=0;flag=0;x0=x;break;ends=-h'*g';r=search(fun,x,s);x=x+r*s;g=hassion(fun,x);u=1+((g-g0)*h0*(g-g0)')/((x-x0)'*(g-g0)');h=h0+(u*(x-x0)*(x-x0)'-h0*(g-g0)'*(x-x0)'-(x-x0)*(g-g0)*h0)/((x-x0)'*(g-g0)')x0=x;g0=g;h0=h;k=k+1;endendpowell算法：例子：fun=x1^2+2*x2^2-4*x1-2*x1*x2function [x]=powell(fun,x0,e)[n,m]=size(x0);e=eye(n);flag=0;for j=1:ns(:,j)=e(:,j);endwhile(k==0 & flag==0)xx=x0;while(k<n)r=search(fun,xx,s(:,k+1));x(:,k+1)=xx+r*s(:,k+1);xx=x(:,k+1);k=k+1;endflag=flag+1;while(norm(x(:,n)-x0)>=e)d=fx(fun,x0)-fx(fun,x(:,1));for i=1:n-1f=fx(fun,x(:,i+1));f0=fx(fun,x(:,i));if((f0-f)>d)d=f0-f;endendf1=fx(fun,x0);f2=fx(fun,x(:,n));f3=fx(fun,(2*x(:,n)-x0));if((2*d) >= (f1-2*f2+f3))ss=x(:,n)-x0;for i=1:n-1s(:,i)=s(:,i+1);ends(:,n)=ss;elsex0=x(:,n);k=0;flag=0;break;endr=search(fun,x(:,n),ss);x0=x(:,n)+r*ss;k=0;flag=0;break;endx=x(:,n);惩罚函数（外点法）乘法因子：function [p]=chengfayinzi(g,h,x) syms x1 x2 x3 x4 x5;xk=[x1;x2;x3;x4;x5];s=length(x);m=length(g);n=length(h);k=n+m;p=x1-x1;for i=1:kif i<=ngj(i)=h(i).^2;elseq=g(i-n);for j=1:sy(j)=subs(q,xk(j),x(j));q=y(j);enda=double(q);if a<=0gj(i)=x1-x1;elsegj(i)=g(i-n).^2;endendp=p+gj(i);end惩罚函数：function [x]=chengfahanshu(f,g,h,x0,e) n=length(x0);syms x1 x2 x3 x4 x5;xk=[x1;x2;x3;x4;x5];M=1;c=10;p=chengfayinzi(g,h,x0);fun=f+M*p;x=dfp1(fun,x0,0.001);p=chengfayinzi(g,h,x);y=fx(M*p,x);while y>=ex0=x;M=c*M;p=chengfayinzi(g,h,x0);fun=f+M*p;x=dfp1(fun,x0,0.001);p=chengfayinzi(g,h,x);y=fx(M*p,x);end碰壁函数（内点法）：碰壁因子：function [b]=pengbiyinzi(g)syms x1[a,n]=size(g);b=x1-x1;for i=1:ngi(i)=-log(-g(i));b=b+gi(i);end碰壁函数：function [x]=pengbihanshu(f,g,n)m=length(g);syms x1 x2 x3 x4 x5 r;xk=[x1;x2;x3;x4;x5];b=pengbiyinzi(g)fun=f+r*bflag=0;b=0;for i=1:nfi(i)=diff(fun,xk(i));endif n==1[xx1]=solve(fi(1),'x1')l1=limit(xx1,r,0);for i=1:n %验证所求出来的结果中，哪个合法for j=1:mif fx(g(j),[l1(i);l2(i)])<=0b=1;elseb=0;endendif b==1breakendendx=[double(l1(i))];elseif n==2[xx1,xx2]=solve(fi(1),fi(2),'x1','x2');l1=limit(xx1,r,0);l2=limit(xx2,r,0);for i=1:nfor j=1:mif fx(g(j),[l1(i);l2(i)])<=0b=1;elseb=0;endendif b==1breakendendx=[double(l1(i));double(l2(i))];elseif n==3[xx1,xx2,xx3]=solve(fi(1),fi(2),fi(3),'x1','x2','x3') l1=limit(x1,r,0);l2=limit(x2,r,0);l3=limit(x3,r,0);for i=1:nfor j=1:mif fx(g(j),[l1(i);l2(i)])<=0b=1;elseb=0;endendif b==1breakendendx=[double(l1(i));double(l2(i));double(l3(i))]; end。
多目标最优化模型
第六章最优化数学模型§ 1最优化问题1. 1最优化问题概念1. 2最优化问题分类1. 3最优化问题数学模型§ 2经典最优化方法2. 1无约束条件极值2. 2等式约束条件极值2. 3不等式约束条件极值§ 3线性规划3. 1线性规划3. 2整数规划§ 4最优化问题数值算法4. 1直接搜索法4. 2梯度法4. 3罚函数法§ 5多目标优化问题5. 1多目标优化问题5. 2单目标化解法5. 3多重优化解法5. 4目标关联函数解法5. 5投资收益风险问题第八早最优化冋题数学模§ 1最优化问题1. 1最优化问题概念（1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。
而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。
它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。
最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。
最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。
（2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。
一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。
设问题中涉及的变量为X1,X2, ,X n ；我们常常也用X =（X1,X2，…，X n）表示。
（3）约束条件在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。
在研究问题时, 这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。
用数学语言描述约束条件一般来说有两种： 等式约束条件 g j (X)=o, i =1,2- ,m 不等式约束条件hj(X) _o,i =12…,r 或 h j (X)乞 0,i =1,2,…,r注：在最优化问题研究中，由于解的存在性十分复杂，一般来说，我们不考虑不 等式约束条件h(X) 0或h(X)：：：0。
单目标规划和多目标规划的区别与联系
单目标规划和多目标规划的区别与联系1.最优化概念最优化是应用数学的一个重要分支，最优化可定义为一种数学方法，用它可以对各种生产活动进行规划，在可供利用资源(资源泛指矿藏、水能、人力、设备、原料、运输条件、生态环境、资金、时间、空问等等)的限制条件下，使生产活动得到最大的效益或用最少的资源完成指定的生产活动。
最优化问题的数学表现形式为：式中，123()n f x x x x ⋅⋅⋅、、称为目标函数，若具体问题是求123max ()n f x x x x ⋅⋅⋅、、，则令123123()()n n x x x x f x x x x ϕ⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅、、、、，于是最大值问题就转化为最小值问题123min ()n x x x x ϕ⋅⋅⋅、、。
123()j n h x x x x ⋅⋅⋅、、称为等式约束条件，123g ()i n x x x x ⋅⋅⋅、、称为不等式约束条件，如果约束条件中有123()0i n s x x x x ⋅⋅⋅≤、、，则可令123123()g ()i n i n s x x x x x x x x ⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅、、、、，于是原来的“≤”就变为了“≥”。
满足约束条件的一组123n x x x x ⋅⋅⋅、、称之为一组可行解。
满足目标函数的可行解称为最优解，即我们需要寻求的答案。
许多现实和理论问题都可以建模成这样的一般性框架，最优化问题种类繁多，分类的方法也有许多。
按目标函数的个数分类：1）单目标规划:只存在一个目标函数时，称这一类问题为单目标规划。
2）多目标规划：当存在多个目标函数时，称为多目标规划。
2.单目标规划方法非线性规划问题的求解一般要比线性规划困难很多，而且目前尚没有适合于各类非线性问题的一般算法，每种算法都有自己的特定的使用范围。
有些情况下，为方便计算，也会把非线性规划问题近似为线性规划问题进行求解。
2.1一维搜索一维搜索是求解单变量非线性规划问题的方法。
这类方法不仅有实用价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。
最优化各算法介绍
最速下降法：算法简单，每次迭代计算量小，占用内存量小，即使从一个不好的初始点出发，往往也能收敛到局部极小点。
沿负梯度方向函数值下降很快的特点，容易使认为这一定是最理想的搜索方向，然而事实证明，梯度法的收敛速度并不快．特别是对于等值线（面）具有狭长深谷形状的函数，收敛速度更慢。
其原因是由于每次迭代后下一次搜索方向总是与前一次搜索方向相互垂直，如此继续下去就产生所谓的锯齿现象。
从直观上看，在远离极小点的地方每次迭代可能使目标函数有较大的下降，但是在接近极小点的地方，由于锯齿现象，从而导致每次迭代行进距离缩短，因而收敛速度不快.牛顿法：基本思想：利用目标函数的一个二次函数去近似一个目标函数，然后精确的求出这个二次函数的极小点，从而该极小点近似为原目标函数的一个局部极小点。
优点 1. 当目标函数是正定二次函数时，Newton 法具有二次终止性。
2. 当目标函数的梯度和Hesse 矩阵易求时，并且能对初始点给出较好估计时，建议使用牛顿法为宜。
缺点：1. Hesse 矩阵可能为奇异矩阵，处理办法有：改为梯度方向搜索。
共轭梯度法：优点：收敛速度优于最速下降法，存贮量小，计算简单.适合于优化变量数目较多的中等规模优化问题.缺点：变度量法：较好的收敛速度，不计算Hesse 矩阵1．对称秩1 修正公式的缺点（1）要求( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k k k T k y B s s − ≠0（2）不能保证B ( k ) 正定性的传递2．BFGS 算法与DFP 算法的对比对正定二次函数效果相同，对一般可微函数效果可能不同。
1） BFGS 算法的收敛性、数值计算效率优于DFP 算法；（2） BFGS 算法要解线性方程组，而DFP 算法不需要。
基本性质：有效集法：算法思想：依据凸二次规划问题的性质2，通过求解等式约束的凸二次规划问题，可能得到原凸二次规划问题的最优解。
有效集法就是通过求解一系列等式约束凸二次规划问题，获取一般凸二次规划问题解的方法。
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2008-12-08 12:30利用梯度法和牛顿法编程求最优解(matlab)f(x)=x1^2+4*x2^2 x0=[2;2] e=0.002利用梯度法和牛顿法编程求最优解方法一.梯度法function y=fun(x1,x2)y=x1^2+4*x2^2; %定义fun.m函数clcsyms x1 x2 d;f=x1^2+4*x2^2;fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');x1=2;x2=2;for n=1:100f0=subs(f);f1=subs(fx1);f2=subs(fx2);if (double(sqrt(f1^2+f2^2)) <= 0.002)nvpa(x1)vpa(x2)vpa(f0)break;elseD=fun(x1-d*f1,x2-d*f2);Dd=diff(D,'d');dd=solve(Dd);x1=x1-dd*f1;x2=x2-dd*f2;endend %结果n=10,x1=0.2223e-3,x2=-0.1390e-4,f0=0.5021e-7. 方法二.牛顿法clcsyms x1 x2 ;f=x1^2+4*x2^2;fx1=diff(f,'x1'); fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff(fx1,'x2');fx2x1=diff(fx2,'x1');fx2x2= diff(fx2,'x2');x1=2;x2=2;for n=1:100f0=subs(f);f1=subs(fx1);f2=subs(fx2);if (double(sqrt(f1^2+f2^2)) <= 0.002)nx1=vpa(x1,4)x2=vpa(x2,4)f0=vpa(f0,4)break;elseX=[x1 x2]'-inv([fx1x1 fx1x2;fx2x1 fx2x2]) *[f1 f2]';x1=X[1,1];x2=X[2,1];endend %结果 n=2,x1=0,x2=0,f0=0.惩罚函数法（内点法、外点法）求解约束优化问题最优值编程 matlab1 用外点法求下列问题的最优解方法一：外点牛顿法：clcm=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);%a b为最优点坐标，f0为最优点函数值，f1 f2最优点梯度。
syms x1 x2 e; %e为罚因子。
m(1)=1;c=10;a(1)=0;b(1)=0; %c为递增系数。
赋初值。
f=x1^2+x2^2+e*(1-x1)^2;f0(1)=1;fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff(fx1 ,'x2');fx2x1=diff(fx2,'x1');fx2x2=diff(fx2,'x2');%求偏导、海森元素。
fork=1:100 %外点法e迭代循环.x1=a(k);x2=b(k);e=m(k);forn=1:100 %梯度法求最优值。
f1=subs(fx1); %求解梯度值和海森矩阵f2=subs(fx2);f11=subs(fx1x1);f12=subs(fx1x2);f21=subs(fx2x1);f22=subs(fx2x2);if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.001) %最优值收敛条件a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f ));break;elseX=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]';x1=X(1,1);x2=X(2,1);endendif(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs ((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) %罚因子迭代收敛条件a(k+1) %输出最优点坐标，罚因子迭代次数，最优值b(k+1)kf0(k+1)break;elsem(k+1)=c*m(k);endend方法二：外点梯度法：clcm=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50); syms d x1 x2 e;m(1)=1;c=10;a(1)=0;b(1)=0; f=x1^2+x2^2+e*(1-x1)^2; f0(1)=1;fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');for k=1:100x1=a(k);x2=b(k);e=m(k);for n=1:100f1=subs(fx1);f2=subs(fx2);if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f)); break;elseD=(x1-d*f1)^2+(x2-d*f2)^2+e*(1-(x1-d*f1))^2;Dd=diff(D,'d'); dd=solve(Dd); x1=x1-dd*f1; x2=x2-dd*f2;endendif(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs ((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001)a(k+1)b(k+1)kf0(k+1)break;elsem(k+1)=c*m(k);endend2,用内点法求下列问题的最优解内点牛顿法clcm=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);syms x1 x2 e;m(1)=1;c=0.2;a(1)=2;b(1)=-3;f=x1^2+x2^2-e*(1/(2*x1+x2-2)+1/(1-x1)); f0(1)=15;fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff(fx1 ,'x2');fx2x1=diff(fx2,'x1');fx2x2=diff(fx2,'x2');for k=1:100x1=a(k);x2=b(k);e=m(k);for n=1:100f1=subs(fx1);f2=subs(fx2);f11=subs(fx1x1);f12=subs(fx1x2);f21=subs(fx2x1);f22=subs(fx2x2);if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f ));break;elseX=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]';x1=X(1,1);x2=X(2,1);endendif(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs ((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001)a(k+1)b(k+1)kf0(k+1)break;elsem(k+1)=c*m(k);endend2008-12-14 09:44多目标约束优化问题编程（ matlab）线性加权混合罚函数法牛顿法clcm=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);c=zeros(1,50);f0=zeros(1,50 );syms d x1 x2 x3 e;m(1)=1;p=0.2;a(1)=2;b(1)=2;c(1)=2;f=0.36*((x1-1)^2+(x2-2)^2+(6-x1-x2-3)^2)+0.64*(x1^2+2*x2^2+3*(6-x1-x2 )^2)-e*(log(x1)+log(x2)+log(x3))+(1/e)*(x1+x2+x3-6)^2;fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');fx3=diff(f,'x3');fx1x1=diff(fx1,'x1 ');fx1x2=diff(fx1,'x2');fx1x3=diff(fx1,'x3');fx2x1=diff(fx2,'x1');fx2x2=diff(fx2,'x2');fx2x3=diff(fx2,'x3');fx3x1=diff(fx3,'x1');fx3x2=diff(fx3,'x2');fx3x3=diff(fx3,'x3');for k=1:100x1=a(k);x2=b(k);x3=c(k);e=m(k);for n=1:100f1=subs(fx1);f2=subs(fx2);f3=subs(fx3);f11=subs(fx1x1);f12=subs(fx1x2);f13=subs(fx1x3);f21=subs(fx2x 1);f22=subs(fx2x2);f23=subs(fx2x3);f31=subs(fx3x1);f32=subs(fx3x2);f3 3=subs(fx3x3);if(double(sqrt(f1^2+f2^2+f3^2))<=0.001)a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);c(k+1)=double(x3);f0( k+1)=double(subs(f));break;elseX=[x1 x2 x3]'-inv([f11 f12 f13;f21 f22 f23;f31 f32 f33])*[f1 f2 f3]';x1=X(1,1);x2=X(2,1);x3=X(3,1);endendif(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)a(k+1)b(k+1)c(k+1)kf0(k+1)break;elsem(k+1)=p*m(k);endend#技术。