相似三角形的判定SSS
相似三角形相似三角形的判定sss课件
05
SSS判定定理的总结与回
顾
SSS判定定理的重要性和应用范围
1 2
三角形全等的最直接判定方法 SSS判定定理是三角形全等判定中最直接的方法， 只需要满足三边分别相等即可判定两个三角形全 等。
在几何证明题中的应用 在解决几何证明题时，SSS判定定理常常被用来 证明两个三角形全等，进而得出其他相关结论。
04
SSS判定定理的练习题与 解析
练习题一：判断两个三角形是否相似
总结词
通过比较三角形的三边长度来判断两 个三角形是否相似。
详细描述
首先，分别测量两个三角形的三边长 度，然后比较这些长度是否满足SSS 判定定理（三边对应成比例的两个三 角形相似）。如果满足，则这两个三 角形相似。
练习题二：找出相似三角形的对应边长
与其他三角形全等判定定理相比，SSS判定定理的应用范围相对较小，但在特定情况下 却是唯一的判定方法。
感谢观 看
THANKS
掌握定理的证明过程
通过学习SSS判定定理的证明过程， 可以更好地理解定理的原理和应用条 件，有助于记忆和应用。
与其他相似三角形判定定理的比较和联系
与其他判定定理的联系
SSS判定定理与其他三角形全等的判定定理有一定的联系，例如SAS判定定理和ASA判 定定理都可以通过SSS判定定理证明。
与其他判定定理的比较
相似三角形的性质
相似三角形对应角相等， 对应边成比例，面积比等 于相似比的平方。
相似三角形的判定定理
SSS定理
如果两个三角形的三边对应相 相等，且这两个角所对的边也 对应相等，则这两个三角形相似。
ASA定理
如果两个三角形有两个角对应 相等，且这两个角所夹的边也 对应相等，则这两个三角形相似。
相似三角形的判定(SSS和SAS)课件
其他领域的应用
物理学中的应用
01
在物理学中，相似三角形可以用来解决一些与距离、高度和角
度相关的问题，如光的折射、反射等。
工程学中的应用
02
在工程学中，相似三角形可以用来解决一些与测量、设计和施
工相关的问题，如建筑设计、道路规划等。
若两个三角形相似，则它们的面 积比等于相似比的平方。
面积于计算相似三角形的面积。
在实际应用中，可以通过测量两 个三角形的面积和相似比来计算
其中一个三角形的面积。
05
相似三角形的应用举例
测量问题中的应用
利用相似三角形测量高度
通过构造相似三角形，利用已知边长和角度，可以计算出目 标物体的高度。
相似三角形的判定 (SSS和SAS)课件
目录
• 引言 • SSS判定方法 • SAS判定方法 • 相似三角形的性质与定理 • 相似三角形的应用举例 • 总结与展望
01
引言
相似三角形的定义
对应角相等，对应边 成比例的两个三角形 叫做相似三角形。
相似三角形对应边的 比叫做相似比（或相 似系数）。
相似用符号“∽”来 表示，读作“相似于 ”。
比例和度量问题。
培养逻辑思维
学习和掌握相似三角形的判定方 法，有助于培养学生的逻辑思维
、推理能力和问题解决能力。
相似三角形的研究前景
01
深入探究判定方法
尽管SSS和SAS是两种常用的相似三角形判定方法，但仍存在其他判定
方法值得进一步研究和探讨。例如，探究更多基于边和角关系的判定方
法，提高判定的准确性和效率。
22.2.4相似三角形的判定-SSS
∴ △ABC∽△A’B’C’
B
C
A’
B’
C’
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否 相似，并说明理由．
AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
练习1. 在三角形ABC中，BC=54cm，CA=45cm，AB=72cm， 另一和它相似的三角形的最短边是15cm,则最 长一边是多少？
相似三角形判定定理3
类似于判定三角形全等的方法，我们 能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？
已知:在△ABC和△A′B′C′中 求证:△ABC∽△A′B′C′
A
AB BC AC ,
AB BC A′ AC
D
E
B
C
B′
C′
判定定理3： 三边对应成比例的两三角形相似.
A
几何语言： ∵ A' B' B' C' A'C'
2、如图，
，试说明∠BAD=∠CAE．
例2：如图在正方形网格上有A1B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
1.如图,在边长为1的正方形网格上有P、A、B、C四点. 求证:1.△PAB∽△PCA
2.∠APB+PBA=45°
2．如图,小正方形的边长均为1,则下图中的三 角形(阴影部分)与△ABC相似的为（ ）
例3、求证：三角形的三条中位线所组成的三角形 与原三角形相似。
A
已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线
求证： △ABC∽△FED
D
E
B
Hale Waihona Puke FC变式：已知：如图，AB∥DE ，BC∥EF，AC∥DF， 求证：△ABC∽△DEF．
相似三角形的判定(sss)
三边对应成
A
比例
A’
B’
C’
B
C
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
推理论证：
已知:在△ABC和△A′B′C′中
求证:△ABC∽△A′B′C′ A
AB BC AC ,
AB BC A′ AC
简单地说:三边对应的比相等,两三角形相似.
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否 相似，并说明理由．
AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
(2) AB 4 1 , BC 6 1 , A' B' 12 3 B'C' 18 3
D
E
B 分析：
C
B′
? △A′DE∽△A′B′C′
△A′DE≌△ABC
C′ △ABC∽△A′B′C′
要证明 △ABC，证明 它△A’B’C’与相 似．这里所作的 三角形是证明的 中介，它把 △ABC△A’B’C’ 联系起来．
已知:如图△ABC和△ ABC 中, AB AC BC
求证:△ABC∽△A`B`C`
AB AC BC A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ∵ AD AB, AD AB
AB AB
又 AB AC BC
AB AC BC
AD AE DE
B`
AB AC BC
三角形相似的判定SSS
(2) AB＝1cm，BC＝1.5cm，AC＝2cm， DE＝12cm，EF＝16cm，DF＝8cm,
2、如图所示，在正方形网格上有两个三角形A1B1C1和A2B2C2， 求证：△A1B1C1∽△A2B2C2．
B2
A1
A2
Hale Waihona Puke C2B1C1
3．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 （）
例题欣赏
1、如图，已知
AB BC CA BD BE ED
求证：∠ABD＝∠CBE
A
D
B
C
E
2、在正方形ABCD中，E为AD的中点， F为AB 的四等分点， △AEF和△EFC是否相似？请说 明理由。
A
E
D
F
B
C
3．要做两个形状相同的三角形框架，其中一个 三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个 三角形框架的一边长为2，怎样选料可使这两 个三角形相似？你选的木料唯一吗？
判定方法1：如果一个三角形的三条
边与另一个三角形的三条边对应成比例， 那么这两个三角形相似。
A
D 几何语言：
B
C
E
在△ABC和△DEF中，
F
∵
AB BC CA DE EF FD
∴△ABC∽△DEF
例题欣赏
1、根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相 似，并说明理由。 (1)AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，
一个钢筋三角架三边分别为20cm，50cm， 60cm.现在要再做一个与其相似的钢筋 三角架，而只有长为30cm和50cm的两种
钢筋，要求其中的一根为边，从另一根 上截下两端(允许有余料)作为另两边， 看一看，有几种不同的截法？
相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定相似三角形是指具有相等对应角度的三角形，它们的对应边长之比也相等。
相似三角形不仅在几何学中具有重要意义，而且在实际生活中应用广泛。
本文将介绍相似三角形的性质及其判定方法。
一、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角度相等：对于两个三角形ABC和DEF，若∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，则可以判断这两个三角形相似。
2. 相似三角形的对应边长比相等：对于两个相似三角形ABC与DEF，若AB/DE = AC/DF = BC/EF，则可以判断这两个三角形相似。
二、判定相似三角形的方法1. AA判定法（角-角判定法）：如果两个三角形的两个角分别对应相等（即两个角的对应边平行），则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知∠A = ∠D，∠C = ∠F，并且∠B与∠E不相等，但∠B与∠E之间没有已知的关系。
根据AA判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
2. SAS判定法（边-角-边判定法）：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知∠A = ∠D，并且AB/DE = AC/DF。
根据SAS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
3. SSS判定法（边-边-边判定法）：如果两个三角形的三条边的比例相等，则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知AB/DE = BC/EF =AC/DF。
根据SSS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
4. RHS判定法（直角边-斜边-直角边判定法）：如果两个直角三角形的一个直角边和斜边的比例相等，则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个直角三角形ABC与DEF，已知∠C = ∠F = 90°，并且AB/DE = AC/DF。
根据RHS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
三、实际应用相似三角形的性质及判定方法在实际生活中有广泛的应用。
3.3(第二课时)相似三角形的判定1(SSS)
F
• 知识回顾
A
C B D
4相似三角形性质
对应角相等即∠A=∠D， ∠B=∠E ，
∠C=∠F；
对应边成比例
AC DF AB DE BC EF
F E
中 中 长 长
短 短
5相似三角形与全等三角形的异同 全等三角形 相似三角形 形状 相同 相等 相同 不一定相等
3cm
3.6cm 1.5cm 4.2cm 图 3-15 1.8cm 2.1cm
1、分别计算两个三角形对应边长度的比， 2、并比较对应角的大小．你能得出什么结论？
计算：
A B AB B C BC C A CA
= = =
1 2 1 2 1 2
， ， .
△ A B C 的三条边与△ABC的三条边对应成比例吗？
大小
联系：都是形状相同的两个或几个图形， 全等三角形是相似三角形的特殊情况。 区别：全等三角形要求大小相等，而 相似三角形的大小不一定相等。
三个角对应相等，且三条边对应相等的 两个三角形叫作全等三角形。 全等三角形 对应角 对应边 表示符号 相等 相等 相似三角形 相等 成比例
≌
∽
三个角对应相等，且三条边对应成比例的 两个三角形叫作相似三角形
AC A'C ' 10 30 1 3
AB A' B '
AC A'C '
BC B 'C '
∴△ABC∽△A ' B ' C '
(三边对应成比例的两个三角形相似)
相似三角形的判定及应用
相似三角形的判定及应用相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。
判定两个三角形是否相似可以通过以下几种方法，同时这些方法也可以应用于解决实际问题：1. AAA判定法：若两个三角形的对应角度相等，则它们是相似三角形。
即若两个三角形的三个角分别对应相等，则它们是相似三角形。
这种判定法可以应用于解决实际问题如测量倾斜物体的高度等。
2. AA判定法：若两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似三角形。
即若两个三角形的两个角分别对应相等，则它们是相似三角形。
这种判定法可以应用于解决实际问题如计算山坡的斜率等。
3. SAS判定法：若两个三角形的一个角相等，且两个对应边的比例相等，则它们是相似三角形。
即若两个三角形的一个角相等，且两条与该角相对应的边的比例相等，则它们是相似三角形。
这种判定法可以应用于解决实际问题如计算高塔的阴影长度等。
4. SSS判定法：若两个三角形的三个对应边的比例相等，则它们是相似三角形。
即若两个三角形的三条边的比例相等，则它们是相似三角形。
这种判定法可以应用于解决实际问题如计算建筑物的缩放比例等。
相似三角形的应用在几何学和现实生活中都非常广泛。
以下是一些应用示例：1. 建筑和工程：通过相似三角形的概念，可以计算建筑物的缩放比例，包括建筑物的高度、宽度和深度等。
这对于设计和规划新建筑物或改建现有建筑物非常有用。
2. 地形测量：利用相似三角形的原理，可以测量山坡的斜率、高塔的阴影长度等。
这对于地理测量和地形分析非常重要，可以用于制作地形图和地图。
3. 倾斜物体测量：对于无法直接测量的高物体（如高塔、山峰等），可以利用相似三角形的原理，通过测量影子长度和角度，计算物体的高度。
这在地理测量和旅行中很常见。
4. 统计学：在统计学中，相似三角形的概念可以被用于创建样本的代理数据集，从而更好地理解和解释真实数据集的特征和趋势。
5. 生物学：在生物学中，相似三角形的原理可以应用于研究和分析动物和植物的形态特征以及它们之间的关系。
相似三角形的判定(解析版)
相似三角形的判定(解析版)相似三角形的判定（解析版）相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。
判定两个三角形是否相似有多种方法，本文将介绍三种常见的相似三角形判定方法，并以解析的方式解释其原理和应用。
一、AA相似判定法AA相似判定法是通过两个三角形的相似角和对应边的比值来判定它们是否相似。
具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。
2. 观察两个三角形中的对应角，如果∠A = ∠D 且∠B = ∠E（或∠C = ∠F），则可以得出两个三角形的相似角。
3. 检查两个三角形中对应边的比值，如果AB/DE = BC/EF（或AC/DF）成立，则可以得出两个三角形相似。
通过AA相似判定法，我们可以快速判定两个三角形是否相似，并且可以进一步得出它们对应边的比值关系。
二、SSS相似判定法SSS相似判定法是通过两个三角形的边长比值来判定它们是否相似。
具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。
2. 检查两个三角形中各对应边的比值，如果AB/DE = BC/EF =AC/DF成立，则可以得出两个三角形相似。
通过SSS相似判定法，我们可以根据三个对应边的比值关系来判断两个三角形是否相似。
三、SAS相似判定法SAS相似判定法是通过两个三角形的两组对应边的比值和夹角的相等关系来判定它们是否相似。
具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。
2. 检查两个三角形中对应边的比值和夹角的相等关系。
如果AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D，则可以得出两个三角形相似。
SAS相似判定法是一种灵活且常用的判定方法，通过两组对应边的比值和夹角的相等关系来判断两个三角形是否相似。
结论：通过以上三种相似三角形的判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。
在实际应用中，相似三角形的判定对于解决实际问题具有重要意义。
例如，在建筑、地图测量和航空导航中，我们需要利用相似三角形的性质来进行距离和高度的估算。
三角形的相似性质及证明
三角形的相似性质及证明三角形是基础的几何图形之一，它具有多种性质和特点。
其中之一便是相似性质。
本文将会介绍三角形的相似性质，以及其证明过程。
一、相似性质的定义在几何学中，当两个三角形的对应角度相等，而对应边的比值相等时，我们称这两个三角形为相似三角形。
记作∆ABC∼∆DEF。
二、相似性质的判定1. AAA判定法：如果两个三角形的三个内角相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，可以得到三角形ABC与DEF中的角度对应关系相等。
因此，根据AAA判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
2. AA判定法：若两个三角形的两个角度对应相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知∠A=∠D，∠B=∠E，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知∠A=∠D，∠B=∠E，可以得到三角形ABC与DEF中的角度对应关系相等。
因此，根据AA判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知∠A=∠D，AB/DE=BC/EF，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知∠A=∠D，AB/DE=BC/EF，可以得到三角形ABC与DEF中的角度和边长对应关系相等。
因此，根据SAS判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
4. SSS判定法：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知AB/DE=BC/EF=AC/DF，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知AB/DE=BC/EF=AC/DF，可以得到三角形ABC与DEF中的边长对应关系相等。
因此，根据SSS判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
三、相似性质的应用相似性质在几何学中有广泛的应用，以下列举几个例子。
1. 相似三角形的比例关系：根据相似三角形的定义，可以得到相似三角形的对应边长之间的比例关系。
相似三角形的判定SSS
∵
AB BC AC A'B' B'C' A'C'
A`D=AB
D
E
∴
A'E AC A'C ' A'C '
A`E=AC 同理：DE=BC
△A`DE≌△ABC
B` △ABC∽△A`B`C`
C`
判定定理：如果两个三角形的三条边对
应成比例,那么这两个三角形相似.
“ 三边对应成比例的两三角形相似 ”
A
A’
忆一忆！
1、相似三角形的性质：
对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的判定： ①平行法：平行截得相似 （A型、X型） ②相似三角形的传递性 ③两角对应相等 ④两边对应成比例且夹角相等。
三边对应成
A
比例
A’
B’
C’
B
C
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
如图，已知
，
求证：△ABC∽△DBE．
如图，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，
则∠1+∠2+∠3等于（ D）．
A．45° B．60° C．75° D．90°
相似三角形的判定方法 1、 平行截得相似。
2、两角分别相等的两三角形相似。
（1）求证：AC2 =AB.AD
如图四边形ABCD中，AC平分∠Dபைடு நூலகம்B， ∠ADC= ∠ACB=900，E为AB的中点。 求证：CE∥AD
如图四边形ABCD中，AC平分∠DAB， ∠ADC= ∠ACB=900，E为AB的中点。 求证：若AD=4，AB=6，求AF的长。
相似三角形的判定(sss)精编版课件
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么 这两个三角形相似.
简单地说:三边对应的比相等,两三角形相似.
例1： 根据下列条件，判断 ABC和A' B' C ' 是
否相似，并说明理由。 AB 3, BC 5, AC 6, A' B' 6, B' C ' 10, A' C ' 12. AB 3 1 BC 5 1 , , 解：∵ A' B ' 6 2 B ' C ' 10 2 AC 6 1 A' C ' 12 2 AB BC AC ∴ A' B ' B ' C ' A' C '
∴
ABC ∽ A' B ' C '
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否 相似，并说明理由． AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
AB 4 1 BC 6 1 ( 2) , , A' B ' 12 3 B' C ' 18 3 AC 8 . A' C ' 21 AB BC AC . A' B ' B ' C ' A' C '
与 A E C
∴
1 1 1 ∴ DE= BC,DF= AC,EF= AB 2 2 2 1 DE DF EF
BC AC AB
2
∴ △ABC∽△DEF
A 已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线。 D (1)请找出图中的相似三角形。 B E F C
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。
本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。
三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
2023—2024学年人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定(2)(SSS、SAS) 课件
1
2
3
4
四基三级练
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二级
3．(2022春·让胡路区校级期中)如图，AB·AE＝AD·AC，且∠1＝∠2，求
证：△ABC∽△ADE. 证明：∵AB·AE＝AD·AC， ∴AADB＝AACE. 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠BAE， 即∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE.
1
2
3
4
四基三级练
返回目录
三级
4．如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中 点，求证：△ADQ∽△QCP. 证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a. ∵Q是CD的中点，BP＝3PC，∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a. ∴DPCQ＝ACDQ＝2. 又∵∠D＝∠C＝90°， ∴△ADQ∽△QCP.
四基三级练
一级
1
2
二级
3
三级
4
四基三级练
返回目录
一级 1．如图，△ABC与△DEF相似，且AB＝3.6，BC＝6，AC＝8，EF＝2， 则DE的长度为( A ) A．1.2 B．1.8 C．3 D．7.2
1
2
3
4
四基三级练
返回目录
2．(2022秋·桥西区校级期末)下列四个三角形，与如图的三角形相似的是 (B)
27.2.1相似三角形的判定 (2)(SSS、SAS)
01
新课学习
新课学习
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1．相似三角形的判定2 如果两个三角形三组对应边的比_相__等_，那么这两个三角形相似． 几何语言： 在△ABC和△A′B′C′中， ∵__AA_′_BB_′_＝__AA_′CC__′＝__B_B_′CC__′ ___， ∴△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法相似三角形是指具有相同形状但是尺寸不同的三角形。
在几何学中，判定两个三角形是否相似是一个重要的问题。
本文将介绍相似三角形的判定方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、AAA判定法AAA（全等的英文首字母）判定法是判定相似三角形常用的方法之一。
根据AAA原理，如果两个三角形的对应角度分别相等，则可以判定它们为相似三角形。
换句话说，如果两个三角形的三个角均对应相等，则这两个三角形相似。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。
二、AA判定法AA（对应角的英文首字母）判定法也是常用的判定方法之一。
根据AA原理，如果两个三角形的两个对应角度分别相等，则可以判定它们为相似三角形。
换句话说，如果两个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。
三、SAS判定法SAS（边角边的英文缩写）判定法也是常用的判定方法之一。
根据SAS原理，如果两个三角形的一个角度相等，且两边成比例，则可以判定它们为相似三角形。
换句话说，如果两个三角形的一个角相等，且两边的比例相等，则这两个三角形相似。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若∠A＝∠D，且AB/DE＝AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。
四、SSS判定法SSS（边边边的英文缩写）判定法是判定相似三角形常用的方法之一。
根据SSS原理，如果两个三角形的三边成比例，则可以判定它们为相似三角形。
换句话说，如果两个三角形的三边比例相等，则这两个三角形相似。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若AB/DE＝BC/EF＝AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。
五、比例法判定法比例法判定法是判定相似三角形的常用方法之一。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。
相似性是几何学中的基本概念之一，研究相似三角形的判定与性质对于解决与三角形相关的问题具有重要意义。
本文将从判定相似三角形的条件和相似三角形的性质两个方面进行论述。
一、判定相似三角形的条件1. AAA判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足∠A = ∠X，∠B = ∠Y，∠C = ∠Z，则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。
2. AA判定法：如果两个三角形的两个角度分别相等，则这两个三角形是相似的。
例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足∠A = ∠X，∠B = ∠Y，则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角度相等，且两个对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足∠A = ∠X，AB/XY = BC/YZ = AC/XZ（其中AB表示边AB 的长度），则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。
4. SSS判定法：如果两个三角形的三个对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足AB/XY = BC/YZ = AC/XZ，则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。
二、相似三角形的性质1. 对应边比值相等性质：相似三角形的对应边的比值相等。
即，若三角形ABC与三角形XYZ相似，则有AB/XY = BC/YZ = AC/XZ。
2. 对应角度相等性质：相似三角形的对应角度相等。
即，若三角形ABC与三角形XYZ相似，则有∠A = ∠X，∠B = ∠Y，∠C = ∠Z。
3. 定理一：如果一个三角形的一个角较大，那么它对应的边也较大。
4. 定理二：如果两个三角形的对应边比值相等（即相似），则它们的对应角度也相等。
5. 定理三：如果两个角相等，则它们所对应的边的比值相等。
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---三边成比例的两个三角形相似
相等 1. 对应角_______, 对应边 的比相等 的两个三角形,
叫做相似三角形 .
对应角相等 , 各对应边 的比相等 2.相似三角形的___________________ 3.如何识别两三角形是否相似? 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线） 相交，所构成的三角形与原三角形相似.
.
A
D
D
B
∵DE∥BC， E ∴△ADE∽△ABC.
C B
A
E ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB. C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
反馈练习
3．如图，DE∥BC，判断下列各式是否正确：
A. B. C. D.
AD AE （ AB AC AD AE （ BD CE AD AE （ AC AB AD AB （ AE AC
答案:相似. 相似比为2﹕1.
要作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边 的长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，怎
样选料可使这两个三角形相似? 这个问题有其他答案吗?
设其他两边分别为x,y
4 5
①4:2=5:x=6:y
②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2 ④4:y=5:x=6:2 ⑤4:2=5:y=6:x
(2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．
P5
A
P3
P2
F
P4 C E
△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D， △P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．
3.（成都·中考）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC 相交于点K，E是线段AD上一动点. (1)若BK= 5 KC，求 CD 的值.
【例题】
例 在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝ 8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′ ＝30cm．证明△ABC与△A′B′C′相似． 证明：∵ AB 6 1 ,
AB 18 3
∴
BC 8 1 , BC 24 3
AC 10 1 , AC 30 3
△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由. (2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在 这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形 与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连
接相应线段，不必说明理由)．
∴ DE BC , A1E AC
∴ A1DE≌ABC（SSS） ∵ A1DE∽A 1B 1C1 ∴ ABC∽A1B1C1
知识要点
三角形相似判定定理之一 如果两个三角形的三组对应边的比 相等，那么这两个三角形相似。简称：
三边对应成比例，两三角形相似。 A
A1 即：
C
B
B1
C1
AB BC AC 如果 A B B C A C , 1 1 1 1 1 1 那么 △ABC∽△A1B1C1.
） ） ）
A
D
） B
E
C
相似具有传递性
C E M A N D B
如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？ △ADE∽△ABC △AMN∽△ADE △AMN∽△ABC
共有三对相似三角形。
A 三边成比例 A′
B
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
C
B′
C′
是否有△ABC∽△A′B′C′？
AB BC AC 解析 ： ∵ = = ， AD DE AE
∴ΔABC∽ΔADE，
∴∠BAC=∠DAE， B
A
E
D C
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， 即∠BAD=∠CAE.
如图在正方形网格上有 A 1 B1C1和 A2 B2 C 2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由 .
A1
A
D
B C
E
B1
C1
证明：在线段 A1B1 （或它的延长线）上截取 A1D AB ， 过点D作 DE∥B1C1 ，交 AC 于点E根据前面的定理可得 1 1
A1DE∽A1B1C1
.
A1 A
D
B C B1
EC1A1Fra bibliotek DE A1E ∴ A1B1 B1C1 A1C1
AB BC AC , A1D AB 又 A1B1 B1C1 A1C1 DE BC A1E AC , ∴ B1C1 B1C1 A1C1 A1C1
AB BC AC , AB BC AC
∴△ABC∽△A′B′C′.
小练习
已知：
解：∵
求证：∠BAD=∠CAE。 A E
D ∴ΔABC∽ΔADE C B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC 即∠BAD=∠CAE
【跟踪训练】
如图,已知: AB BC AC ，试说明∠BAD=∠CAE. AD DE AE
A
B P1 P2 P3 P4 C E
D P5
F
【解析】(1)△ABC和△DEF相似．根据勾股定理， 得 AB 2 5 ， DF 2 2 ， AC 5 ，BC=5；DE 4 2 ， EF 2 10 . ∵ AB AC BC
DE DF EF
B P1
5 2 2
，∴
D
△ABC∽△DEF．
2
BA
BK
2 5
.
（ 2 ）如图所示，分别过 C,D 作CF∥DG∥BE分别交 AB的延长线于F,G两点， ∵BE∥DG，点E是AD中点，∴AB=BG；∵CD∥FG， CF∥DG，∴四边形CDGF是平行四边形，∴CD=FG.
∵∠ABE=∠EBC，BE∥CF,∴∠EBC=∠BCF，
∠ABE=∠BFC，∴∠BFC=∠BCF,∴BC=BF， ∴AB-CD=BG-FG=BF=BC，∴AB=BC+CD. 1 当AE= AD(n>2)时，(n-1)AB=BC+CD. n
2 6
1.（泰州·中考）一个铝质三角形框架三条边长分别 为24cm，30cm，36cm，要做一个与它相似的铝质三角形 框架，现有长为27cm，45cm的两根铝材，要求以其中的 一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为
另外两边．截法有（
A.0种 B. 1种
B ） C. 2种 D. 3种
2.（衢州·中考）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，
2
(2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=
BA
1 AD时，猜想线 2
段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的 结论并予以证明．再探究：当AE= 1 AD (n>2)，而其余
n
条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等 量关系?请直接写出你的结论，不必证明．
【解析】(1)∵AB∥CD，BK= 5 KC，∴ CD = CK =