2005年第三届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试及第二试【圣才出品】

2051 45.29 ，故 2051 前面有 45 个完全平方数，2051 45 2006 2005（舍）；
故第 2005 个数是 2050。
事实上：由 2048 45.25，故 2048 前面有 45 个完全平方数， 2048 45 2003，
可得：第 2003 个数是 2048，第 2004 个数是 2049，第 2005 个数是 2050。
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2005 年第三届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试
一、选择题
1．某种品牌的彩电降价 30%以后，每台售价为 a 元，则该品牌的彩电每台（ ）。 A． 0.7a 元 B． 0.3a 元 C． a 元
0.3 D． a 元
在图中，可得 1 5 8 9 ，故原式 2 3 4 6 7 8 9， 即为下面五边形的内角和，故原式 540 。
【评注】学会将角度转化。
9．在数 3，4，7，8 中，使关于 x 的方程 x 1 x 4 a 有整数解的 a 的值是（ ）。
A．3 B．4 C．7 D．8
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【评注】间接法，只要算出减去的完全平方数的个数即可。
6．已知 729□□□20483，经四舍五入得到近似数 730 亿，那么这样的三位数□□□个共 有（ ）个。
A．1000 B．999 C．500 D．499
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7．已知 a 为整数，关于 x 的方程 a2x 2来自百度文库 0 的解是质数，且满足 ax 7 a2 ，则 a
的值是（ ）。 A．2 B．5 C．－2 D．－5 【来源】2005 年第三届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试 【答案】C
【解析】若 a 2 ，则 4x 20 0 ，即 x 5 ，此时 ax 7 3 ， a2 4 ，不满足 ax 7 a2 ，故排除 A 选项；
【答案】C
【解析】 2048 45.25，故 2048 前面有 45 个完全平方数，2048 45 2003 2005
（舍）；
2049 45.27 ，故 2049 前面有 45 个完全平方数，2049 45 2004 2005（舍）；
2050 45.28 ，故 2050 前面有 45 个完全平方数， 2050 45 2005（满足题意）；
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【来源】2005 年第三届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试 【答案】C
【解析】当 a 4 时，x 1 x 4 a 等价于 x 1 x 4 a ，即 x a 3 ，当 a 7 2
时， x 有整数解 5； 当 a 1时， x 1 x 4 a 等价于 x 1 x 4 a ，即 x 3 a ，当 a 3时， 2
x 有整数解 0，但是 a 3不属于 a 1，故不满足条件；
当 1 a 4 时， x 1 x 4 a 等价于 x 1 x 4 a ，此时， x 有无穷解，且 a 5 ，但是 a 5 不属于 1 a 4，故不满足条件。
【来源】2005 年第三届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试 【答案】C 【解析】729 变成 730，故第一个□在进行四舍五入时，产生进位，即该□中的数可以
为 5，6，7，8，9，共五种情况，后面的两个□均有 10 种情况，故共有 51010 500 个。
【评注】关键是找准哪里必须进位，哪里可以任意填。
4．已知 a 、 b 互为相反数，且 a b ，则化简 b a 1 a b 1 得（ ）。
a
b
A． 2a
B． 2b
C． 2
D． 2
【来源】2005 年第三届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试
【答案】 2
【解析】a 、b 互为相反数，且 a b ，故 a b ，且 ab 0 。原式 a 1 b 1 a b 2 2 。
若 a 5，则 25x 20 0 ，即 x 4 ，不是质数，故排除 B、D 选项； 5
若 a 2 ，则 4x 20 0，即 x 5，此时 ax 7 17 ， a2 4 ，满足 ax 7 a2 ， 故 a 2 满足题意。
【评注】类似问题直接解不好解时，可将选项代入然后逐一排除。
【评注】直接利用相反数的关系式代入计算。
5．把正整数按从小到大的顺序排成一列，删去其中的完全平方数在剩下的数中，第 2005 个数是（ ）。
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A．2048
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B．2049
C．2050
D．2051
【来源】2005 年第三届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试
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【评注】只要画出几种可能的情形即可作出判断。
3．在下列图形中，可以是一个正方体表面展开图的是（ ）。 【来源】2005 年第三届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试 【答案】C 【解析】A、B、D 都不能折成正方体，C 可以折成正方体。
8．如图， 1 2 3 4 5 6 7的度数为（ ）。
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A．450°
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B．540°
C．630°
D．720°
【来源】2005 年第三届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试 【答案】540°
【解析】如图连线，并记 8 和 9 。
0.7
【来源】2005 年第三届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试 【答案】D
【解析】设该品牌的彩电原价为 x 元每台。由题意得： x 1 30% a ，解得 x a
0.7
元。 【评注】注意弄清楚哪个是基价，哪个是现价。
2．平面上有四条互异的直线，它们的交点个数不可能是（ ）。 A．4 B．3 C．2 D．1 【来源】2005 年第三届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试 【答案】C 【解析】如图：交点分别是 4，1，3，没有交点只有 2 的情况。