最新九年级中考数学关于抛物线压轴解答练习试题以及答案
(完整)中考数学压轴题精选含答案
一、解答题1．综合与探究．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与x轴交于A，C两点，点A（﹣1，0），C （3，0），与y轴交于点B，抛物线的顶点为D，直线l经过B，C两点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若P为抛物线上一点，横坐标为m，过点P作PM⊥y轴于点M，交线段BC于点N，当N是线段BC的黄金分割点时，求点P到x轴的距离；(3)若将抛物线向上平移个单位长度，点D的对应点为D′，坐标轴上是否存在点Q，使∠BD′Q＝30°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．矩形OABC中，OA＝8，OC＝10，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上．在OA边上选取适当的点E，连接CE，将△EOC沿CE折叠．（1）i：如图①，当点O落在AB边上的点D处时，点E的坐标为；ii：如图②，将矩形OABC变为正方形，OC＝10，当点E为AO中点时，点O落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度．（2）如图③，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG∥x轴交CD于点H，交BC于点G，设H（t，s），用含s的代数式表示t．3．【基础巩固】（1）如图1，点A ，F ，B 在同一直线上，若∠A ＝∠B ＝∠EFC ，求证：△AFE ∼△BCF ；【尝试应用】（2）如图2，AB 是半圆⊙O 的直径，弦长AC ＝BC ＝42，E ，F 分别是AC ，AB 上的一点，∠CFE ＝45°，若设AE ＝y ，BF ＝x ，求出y 与x 的函数关系及y 的最大值． 【拓展提高】（3）已知D 是等边△ABC 边AB 上的一点，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上．如图3，如果AD ：BD ＝1：2，求CE ：CF 的值．4．给出定义：有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形．（1）如图1，在倍对角四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，∠A ＝2∠C ，求∠B 与∠C 的度数之和；（2）如图2，锐角△ABC 内接于⊙O ，若边AB 上存在一点D ，使得BD ＝BO ，∠OBA 的平分线交OA 于点E ，连结DE 并延长交AC 于点F ，∠AFE ＝2∠EAF ．求证：四边形DBCF 是倍对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D 作DG ⊥OB 于点H ，交BC 于点G ．当4DH ＝3BG 时，求△BGH 与△ABC 的面积之比．5．抛物线212y x mx n =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知(1,0)A -，(0,2)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，求出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当四边形CDBF 的面积最大时，求点E 的坐标．6．如图，抛物线2:C y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-，且抛物线经过(1,0),(0,3)M D 两点，与x 轴交于点N ．（1）点N 的坐标为_______．（2）已知抛物线1C 与抛物线C 关于y 轴对称，且抛物线1C 与x 轴交于点1,A B （点A 在点1B 的左边）．①抛物线1C 的解析式为_________；②当抛物线1C 和抛物线C 上y 都随x 的增大而增大时，请直接写出此时x 的取值范围． （3）若抛物线n C 的解析式为(1)(2)(1,2,3)y x x n n =-+--=，抛物线n C 的顶点为n P ，与x 轴的交点为,n A B （点A 在点n B 的左边）．①求123100AB AB AB AB ++++的值；②判断抛物线的顶点123,,,,n P P P P 是否在一条直线上，若在，请直接写出该直线的解析式；若不在，请说明理由．7．在平面直角坐标系xOy 中，规定：抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 的“伴随直线”为y ＝a （x ﹣h ）+k ．例如：抛物线y ＝2（x +1）2﹣3的“伴随直线”为y ＝2（x +1）﹣3，即y ＝2x ﹣1．（1）在上面规定下，抛物线y ＝（x +1）2﹣5的顶点坐标为_____，“伴随直线”为_____． （2）如图，顶点在第一象限的抛物线y ＝a （x ﹣1）2﹣4a （a ≠0）与其“伴随直线”相交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与x 轴交于点C ，D ． ①若△ABC 为等腰三角形时，求a 的值；②如果点P （x ，y ）是直线BC 上方抛物线上的一个动点，△PBC 的面积记为S ，当S 取得最大值274时，求a 的值．8．如图1，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是菱形，其中点E 在BC 的延长线上，点G 在DC的延长线上，点H在BC边上，连结AC，AH，HF．已知AB＝2，∠ABC＝60°，CE＝BH．（1）求证：△ABH≌△HEF；（2）如图2，当H为BC中点时，连结DF，求DF的长；（3）如图3，将菱形CEFG绕点C逆时针旋转120°，使点E在AC上，点F在CD上，点G在BC的延长线上，连结EH，BF．若EH⊥BC，请求出BF的长．9．如图，对称轴x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），（1）求抛物线和直线BC的函数表达式；（2）若点Q是直线BC上方的抛物线上的动点，求△BQC的面积的最大值；（3）点P为抛物线上的一个动点，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若点P在第四象限内，当OD＝4PE时，△PBE的面积；（4）在（3）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D分别是对应点，连接BG．(1)如图，若点A ，E ，D 第一次在同一直线上，BG 与CE 交于点H ，连接BE ． ①求证：BE 平分∠AEC ．②取BC 的中点P ，连接PH ，求证：PH ∥CG ． ③若BC ＝2AB ＝2，求BG 的长．(2)若点A ，E ，D 第二次在同一直线上，BC ＝2AB ＝4，直接写出点D 到BG 的距离． 11．在平面直角坐标系中，三角形ABC 为等腰直角三角形，AC BC =，BC 交x 轴于点D ．（1）若()4,0A -，()0,2C ，直接写出点B 的坐标 ；（2）如图，三角形OAB 与ACD △均为等腰直角三角形，连OD ，求AOD ∠的度数；（3）如图，若AD 平分BAC ∠，()4,0A -，(),0D m ，B 的纵坐标为n ，求2n m +的值．12．已知抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D 是直线BC下方抛物线上的动点．(1)求直线BC的解析式；(2)如图1，过D作DE∥y轴交BC于E，点P是BC下方抛物线上的动点（P在D的右侧），过点P作PQ∥y轴交BC于Q，若四边形EDPQ为平行四边形．且周长最大．求点P的坐标；(3)如图2，当D点横坐标为1时，过A且平行于BD的直线交抛物线于另一点E，若M在x轴上，是否存在这样点的M，使得以M、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，OB＝4，OA＝3，F是BC边上一个动点（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝kx（k＞0）的图象与边AC交于点E．(1)当BF＝13BC时，求点E的坐标；(2)连接EF，求∠EFC的正切值；(3)将△EFC沿EF折叠，得到△EFG，当点G恰好落在矩形AOBC的对角线上时，求k的值．14．在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点A，B（点B 在点A的右侧）．抛物线顶点为C点，△ABC为等腰直角三角形．(1)求此抛物线解析式．(2)若直线与抛物线有两个交点，且这两个交点与抛物线的顶点所围成的三角形面积等于6，求k的值．(3)若点，且点E，D关于点C对称，过点D作直线2l交抛物线于点M，N，过点E作直线轴，过点N作于点F，求证：点M，C，F三点共线．15．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，将一张和△ABC一样大的纸片和△ABC重叠放置，点E是边BC上一点（不含点B、C），将△OCE 沿着OE翻折，点C落在点P处．(1)直接写出∠OBC、∠OCB的数量关系是．(2)连接DE，设△OPE的面积为S1，△ODE的面积为S2，在点E取边BC上每一点（除点B、C）的过程中，S1+S2的值是否变化？如果变化，请求出它的取值范围；如果不变，请求出S1+S2的值；(3)分别连接PD、PC，当点P与点B重合时，易知PO•PC＝PE•PD，当点P不与点B重合时，PO•PC＝PE•PD是否成立？请在图3、图4中选一种情况进行证明．16．如图，ABD△内接于O中，弦BC交AD于点E，连接CD，BG CD⊥交CD的延长线于点G，BG交O于点H，2∠=∠．ABC GBD(1)如图1，求证：DB平分GDE∠；(2)如图2，CN AB⊥于点N，CN＝CG，求证：AN＝HG；(3)如图3．在（2）的条件下，点F在AE上，连接BF、CF，且BF CF⊥，∠=∠，BC＝5．求AE的长．BCN CBF217．【问题提出】如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连结BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD的取值范围是__________【应用】如图②，如图，在△ABC中，D为边BC的中点、已知AB＝10，AC＝6，AD＝4，求BC的长．【拓展】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作D F⊥DE交边AC于点F，连结EF．已知BE＝5，CF＝6，则EF的长为__________.18．如图，点P是矩形ABCD的边AB的其中一个四等分点（点P靠近点A），8AB ，将直角三角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AD、DC于点E，F，（如图1）．(1)当点E与点D重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求AD的长；(2)探究：将直尺从图2中的位置开始，绕点P逆时针旋转，当点E和点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；②求出从点E与D重合开始，到点E与点A重合结束，线段EF的中点经过的路线的长度．19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC，交BC于点E，点D在AC上，以AD为直径的⊙O经过点E，点F在⊙O上，且EF平分∠AED，交AC于点G，连接DF．(1)求证：△DEF ∽△GDF ： (2)求证： BC 是⊙O 的切线： (3)若cos∠CAE ＝32，DF ＝102，求线段GF 的长． 20．如图，抛物线y ＝－212x ＋32x ＋2与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）如图1，点C 在y 轴右侧的抛物线上，且AC ＝BC ，求点C 的坐标；（3）如图2，将△ABO 绕平面内点P 顺时针旋转90°后，得到△DEF （点A ，B ，O 的对应点分别是点D ，E ，F ），D ，E 两点刚好在抛物线上． ①求点F 的坐标； ②直接写出点P 的坐标．【参考答案】参考答案**科目模拟测试一、解答题 1．(1) 51或(3)存在，点Q的坐标为（﹣2﹣3，0）或（0，）或（1，0）【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）MP∥CO，则，进而求解；（3）当点Q在BD′的右侧时，连接BD′，过点D′分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为F （1，0）、E，tan∠EBD′=，故∠EBD′=30°=∠BD′F，故点Q与点F重合时，∠BD′F=∠BD′Q=30°；当点Q在BD′的左侧时，设点Q′D′交x轴和y轴分别为点Q′、Q″，求出直线D′Q′的表达式，即可求解．(1)解：将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：；(2)∵MP∥CO，则，∵N是线段BC的黄金分割点，∴或，即或，而OB＝1，故MO＝512-或，即点P到x轴的距离为：512-或；(3)存在，理由：由抛物线的表达式知，点D（1，43），则将抛物线向上平移个单位长度，点D的对应点为D′的坐标为（1，3+1），①当点Q在BD′的右侧时，连接BD′，过点D′分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为F（1，0）、E，则BE3﹣13ED′＝1，∴tan∠EBD′＝，故∠EBD′＝30°＝∠BD′F，故点Q与点F重合时，∠BD′F＝∠BD′Q＝30°，即点Q的坐标为（1，0）；②当点Q在BD′的左侧时，设点Q′D′交x轴和y轴分别为点Q′、Q″，则∠BD′Q′＝30°，故∠Q′Q″O＝30°+30°＝60°，则∠D′Q′O＝90°﹣60°＝30°，故设直线Q′D′的表达式为y 3+t，将点D′的坐标代入上式得：3t，解得t＝，故直线D′Q′的表达式为y＝33x+，对于y＝33x+，令y＝33x+＝0，解得x＝﹣2﹣3，令x＝0，则y＝，故点Q′、Q″的坐标分别为（﹣2﹣3，0）、（0，），综上，点Q的坐标为（﹣2﹣3，0）或（0，）或（1，0）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、解直角三角形等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．2．（1）i：（0，5）；ii：AT=52；（2）t=120s2+5．【解析】【分析】（1）i：如图①中，根据翻折变换的性质以及勾股定理得出BD的长，进而得出AE，EO的长即可得出答案．ii：如图②中，连接ET．证明△CET是直角三角形，由勾股定理得2222ED TD TC EC+=-，代入数据计算即可求出AT．（2）根据H点坐标得出各边长度，进而利用勾股定理求出t与s的关系即可．【详解】解：（1）i：如图①中，∵OA=8，OC=10，根据折叠的性质，∴OC=DC=10，∵BC=OA=8，∴BD2222108CD BC--，∴AD=10-6=4，设AE =x ，则EO =8-x ，∴x 2+42=（8-x ）2，解得：x =3，∴AE =3，则EO =8-3=5，∴点E 的坐标为：（0，5）；故答案为：（0，5）； ii ：如图②中，连接ET ．∵点E 是AO 的中点，∴EA =EO ，∵OE =ED ，EC =EC ，∠EOC =∠EDC =90°，∴Rt △ECD ≌Rt △ECO （HL ），∴∠CEO =∠CED ，同法可证，Rt △ETA ≌Rt △ETD （HL ），∴∠AET =∠DET ，∴∠DET +∠CED =90°，即∠CET =90°，由折叠的性质得：ED =EO =12OA =5，OC =CD =10，AT =TD ， 222125EC EO OC =+=， 设AT =x ，则TD =x ，∵2222ED TD TC EC +=-，即()222510125x x +=+-， 解得：52x =∴AT =52； （2）如图③中，过点H 作HW ⊥OC 于点W ，根据折叠的性质得：∠1=∠2，∵EG∥OC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴EH=HC，设H（t，s），∴EH=HC=t，WC=10-t，HW=s，∴HW2+WC2=HC2，∴s2+（10-t）2=t2，∴t与s之间的关系式为：t=120s2+5．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识，熟练构建直角三角形利用勾股定理得出相关线段长度是解题关键．3．（1）见解析；（2）y2x22（0≤x≤8），23）4：5【解析】【分析】（1）利用已知得出∠E=∠CFB，进而利用相似三角形的判定方法得出即可；（2）利用（1）得出△AFE∽△BCF，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到y 和x的数量关系，进而求出y与x的函数关系式；（3）首先证明△ADE∽△BFD，表示出ED，DF，EA，DB，AD，BF，再利用相似三角形的性质解决问题即可．【详解】（1）证明：∵∠A＝∠EFC，∴∠E+∠EFA＝∠EFA+∠CFB，∴∠E＝∠CFB，∵∠A＝∠B，∴△AFE∽△BCF；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝22AC BC+＝8，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠A＝∠B＝∠CFE＝45°，由（1）可得△AFE∽△BCF，∴AE AFBF BC=，即842y xx-=，∴y＝﹣28x2+2x（0≤x≤8），∴当x＝4时，y最大＝22；（3）解：连接DE，DF，∵△EFC与△EFD关于EF对称，∴∠EDF＝∠ECF＝60°，EC＝ED，FC＝FD，∵∠BDF+∠EDF＝∠BDE＝∠A+∠DEA，∵∠EDF＝∠A＝60°，∴∠BDF＝∠DEA，∴△ADE∽△BFD，设AD＝x，CE＝DE＝a，CF＝DF＝b，∵AD：BD＝1：2，∴DB＝2x，∴AB＝3x＝AC＝BC，∴AE＝3x﹣a，BF＝3x﹣b，∵△ADE∽△BFD，∴DE EA AD DF DB BF==，∴323a x a xb x x b-==-，由前两项得，2ax＝b（3x﹣a），由后两项得，（3x﹣a）（3x﹣b）＝2x2，即：3x（3x﹣a）﹣b（3x﹣a）＝2x2，∴3x（3x﹣a）﹣2ax＝2x2，∴a ＝75x ， ∴3425a x ab x -==， ∴CE ：CF ＝4：5．【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，圆的有关知识，勾股定理以及二次函数最值等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．4．（1）120°；（2）见解析；（3）215 【解析】【分析】（1）根据四边形内角和为360°，即可得出答案；（2）利用SAS 证明△BED ≌△BEO ，得∠BDE ＝∠BEO ，连接OC ，设∠EAF ＝α，则∠AFE ＝2α，则∠EFC ＝180°−∠AFE ＝180°−2α，可证∠EFC ＝∠AOC ＝2∠ABC 即可；（3）过点O 作OM ⊥BC 于M ，由（1）知∠BAC ＝60°，再证明△DBG ∽△CBA ，得2ΔΔ()DBG ABC S BD S BC =，再根据4DH ＝3BG ，BG ＝2HG ，得DG ＝52GH ，则ΔΔBHG BDG S S ＝HG DG =25，从而解决问题．【详解】（1）解：在倍对角四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，∠A ＝2∠C ，∵∠A +∠B +∠C +∠D ＝360°，∴3∠B +∠3∠C ＝360°，∴∠B +∠C ＝120°，∴∠B 与∠C 的度数之和为120°；（2）证明：在△BED 与△BEO 中，BD BO EBD EBO BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BED ≌△BEO （SAS ），∴∠BDE ＝∠BEO ，∵∠BOE ＝2∠BCF ，∴∠BDE ＝2∠BCF连接OC ，设∠EAF ＝α，则∠AFE ＝2α，∴∠EFC ＝180°﹣∠AFE ＝180°﹣2α，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝α，∴∠AOC ＝180°﹣∠OAC ﹣∠OCA ＝180°﹣2α，∴∠EFC ＝∠AOC ＝2∠ABC ，∴四边形DBCF 是倍对角四边形；（3）解：过点O 作OM ⊥BC 于M ，∵四边形DBCF 是倍对角四边形，∴∠ABC +∠ACB ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°，∴BC ＝2BM 33，∵DG ⊥OB ，∴∠HGB ＝∠BAC ＝60°，∵∠DBG ＝∠CBA ，∴△DBG ∽△CBA ， ∴2ΔΔ()DBG ABC S BD S BC ＝13， ∵4DH ＝3BG ，BG ＝2HG ， ∴DG ＝52GH ，∴ΔΔBHG BDG S S ＝25HG DG =， ∵ΔΔ15315DBG ABC S S == ∴ΔΔBHG ABC S S ＝215． 【点睛】本题是新定义题，主要考查了圆的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，读懂题意，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．5．（1）213222y x x =-++；（2）存在，13(,4)2P ，235(,)22P ，335(,)22P -；（3）点()2,1E【解析】【分析】（1）把()1,0A -，()0,2C 代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可；（2）先求解抛物线的对称轴3,2x = 再求解CD 的长，由CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，可得123CP DP DP CD ===．再作CH ⊥对称轴于点H ，从而可得答案；（3）先求解()4,0B ．再求解直线BC 的解析式为122y x =-+．过点C 作CM EF ⊥于M ，设1,22E a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，213,222F a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，根据BCD CEF BEF CDBF S S S S =++四边形111222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅列函数关系式，从而可得答案.【详解】解：（1）∵抛物线212y x mx n =-++经过()1,0A -，()0,2C ， ∴10,22,m n n ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩解得3,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++． （2）∵22131325222228y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∴抛物线的对称轴是直线32x =．∴32OD =． ∵()0,2C ，∴2OC =．在Rt OCD △中，由勾股定理，得2235222CD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． ∵CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，∴123CP DP DP CD ===．作CH ⊥对称轴于点H ，∴12HP HD ==．∴14DP =．∴13(,4)2P ，235(,)22P ，335(,)22P -． （3）当0y =时，由2132022x x -++=，解得11x =-，24x =， ∴()4,0B ．设直线BC 的解析式为y kx b =+，得2,40,b k b =⎧⎨+=⎩解得1,22.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为122y x =-+． 过点C 作CM EF ⊥于M ，设1,22E a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，213,222F a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∴2213112222222EF a a a a a ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭． ∵BCD CEF BEF CDBF S S S S =++四边形111222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅ 2215111122(4)2222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225134(2)22a a a =-++=--+． ∴根据题意04a ≤≤，∴当2a =时，CDBF S 四边形的最大值为132，此时点()2,1E ． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数与等腰三角形，图形面积的最值问题，灵活运用二次函数的图象与性质解决问题是解题的关键.6．（1）(3,0)-；（2）①2(1)4y x =--+；②1x <-；（3）①5350；②不在，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意可得，点N 和点M 关于1x =-轴对称，求解即可；（2）①先求得抛物线C 的解析式，再根据关于y 轴对称，求得抛物线1C 即可；②根据二次函数的性质，求解即可；（3）①由抛物线解析式可得抛物线n C 与x 轴交点的坐标为(1,0)A -，(2,0)n B n +，求得线段1AB 、2AB 、……、100AB 的值，即可求解；②求得顶点1P 、2P 、3P ，求得13P P 的解析式，然后验证2P 是否在直线上．【详解】解：（1）由题意可得，点N 和点M 关于1x =-轴对称∵(1,0)M∴点(3,0)N -故答案为(3,0)-（2）①由（1）得，抛物线C 过点(1,0)M 、(3,0)N -、(0,3)D抛物线C 的解析式为31y a x x =+-()()，将点(0,3)D 代入解析式得：(03)(01)3a +-=解得1a =-∴22(3)(1)(23)(1)4y x x x x x =-+-=-+-=-++，顶点坐标为(1,4)-∵抛物线C 与抛物线1C 关于y 轴对称∴抛物线1C 的顶点为(1,4)，开口与抛物线C 相同∴抛物线1C 解析式为2(1)4y x =--+②抛物线C 的解析式为2(1)4y x =-++，由二次函数的性质可得，当1x <-时，y 随x 的增大而增大，抛物线1C 解析式为2(1)4y x =--+，由二次函数的性质可得，当1x <时，y 随x 的增大而增大， ∴当1x <-时，抛物线C 和抛物线1C 上y 都随x 的增大而增大， （3）①抛物线n C 的解析式为(1)(2)(1,2,3)y x x n n =-+--=可得抛物线n C 与x 轴交点的坐标为(1,0)A -，(2,0)n B n +，即1(3,0)B ，2(4,0)B ，……，100(102,0)B∴14AB =，25AB =，……，100103AB = ∴123100103455350AB AB AB AB =+++++=++②当1n =时，抛物线1C 的解析式为2(1)(3)(1)4y x x x =-+-=--+，1(1,4)P 当2n =时，抛物线2C 的解析式为2325(1)(4)()24y x x x =-+-=--+，2325(,)24P当3n =时，抛物线3C 的解析式为2(1)(5)(2)9y x x x =-+-=--+，3(2,9)P 设直线13P P 的解析式为y kx b =+，将点1(1,4)P ，3(2,9)P 代入得429k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得51k b =⎧⎨=-⎩，即51y x =- 当32x =时，3132551224y =⨯-=≠ ∴点2325(,)24P 不在直线13P P 上∴抛物线的顶点123,,,,n P P P P 不在一条直线上【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，涉及了待定系数法求解二次函数和一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．7．（1）（﹣1，﹣5），y ＝x ﹣4；（2）①a 的值为a ＝﹣2． 【解析】 【分析】（1）由“伴随直线”的定义即可求解；（2）①先求y ＝a （x −1）2−4a 的伴随直线为y ＝ax −5a ，再联立方程组2(1)45y a x ay ax a ⎧=--⎨=-⎩，求出A （1，−4a ），B （2，−3a ），C （−1，0），D （3，0），由于当△ABC 为等腰三角形时，只存在一种可能为AC ＝BC ，即可求a 的值；②先求直线BC 解析式为y ＝−ax −a ，过P 作x 轴的垂线交BC 于点Q ，设点P 的横坐标为x ，则P [x ，a （x −1）2−4a ]，Q （x ，−ax −a ），23127()228PBC S a x a ∆=--，即可求面积的最大值，进而求a 的值． 【详解】（1）∵抛物线y ＝（x +1）2﹣5，∴顶点坐标为（﹣1，﹣5），“伴随直线”为y ＝x ﹣4， 故答案为：（﹣1，﹣5），y ＝x ﹣4；（2）①由“伴随直线”定义可得：y ＝a （x ﹣1）2﹣4a 的伴随直线为y ＝ax ﹣5a ，联立2(1)45y a x a y ax a ⎧=--⎨=-⎩，解得14x y a =⎧⎨=-⎩或23x y a=⎧⎨=-⎩，∴A （1，﹣4a ），B （2，﹣3a ），在y ＝a （x ﹣1）2﹣4a 中，令y ＝0可解得x ＝﹣1或x ＝3， ∴C （﹣1，0），D （3，0）， ∴AC 2＝4+16a 2，BC 2＝9+9a 2，∵当△ABC 为等腰三角形时，只存在一种可能为AC ＝BC ，∴AC 2＝BC 2，即4+16a 2＝9+9a 2，解得=a ∵抛物线开口向下，∴a =∴若△ABC 为等腰三角形时，a 的值为 ②设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ， ∵B （2，﹣3a ），C （﹣1，0），∴200k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得k a b a =-⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 解析式为y ＝﹣ax ﹣a ，如图，过P 作x 轴的垂线交BC 于点Q ，设点P 的横坐标为x ， ∴P [x ，a （x ﹣1）2﹣4a ]，Q （x ，﹣ax ﹣a ）， ∵P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，∴22219(1)4(2)()24PQ a x a ax a a x x a x ⎡⎤=--++=--=--⎢⎥⎣⎦，∴23127()228PBC S a x a ∆=--， ∴当12x =时，△PBC 的面积有最大值278-a ， ∴S 取得最大值274时，即272784-=a ，解得a ＝﹣2．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解新定义，将所求问题转化为直线与抛物线的知识是解题的关键．8．（1）见解析；（2）7；（3）2193．【解析】【分析】（1）根据两个菱形中，点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上这一特殊的位置关系和CE＝BH可证明相应的边和角分别相等，从而证明结论；（2）由AB＝BC，∠ABC＝60 ，可证明△ABC是等边三角形，从而证明∠AHB＝90°，再由△ABH≌△HEF，得∠HFE＝∠AHB＝90°，再得∠DPF＝180°﹣∠HFE＝90°，在Rt△DPF 中用勾股定理求出DF的长；（3）作FM⊥BG于点M，当EH⊥BC时，可证明CH＝CM＝12CG＝12BH，从而求出BM、FM的长，再由勾股定理求出BF的长．【详解】解：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形，∴AB＝BC，CE＝EF，∵CE＝BH，∴BH＝EF，∵BH+CH＝CE+CH，∴BC＝HE，∴AB＝HE；∵点E 在BC 的延长线上，点G 在DC 的延长线上， ∴AB ∥DG ∥EF ， ∴∠B ＝∠E ， 在△ABH 和△HEF 中， BH EF B E AB HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABH ≌△HEF （SAS ）．（2）如图2，设FH 交CG 于点P ，连结CF ，∵AB ＝BC ，∠ABC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∵BH ＝CH ， ∴AH ⊥BC ， ∴∠AHB ＝90°，由（1）得，△ABH ≌△HEF ， ∴∠HFE ＝∠AHB ＝90°， ∵DG ∥EF ，∴∠DPF ＝180°﹣∠HFE ＝90°， ∴PF ⊥CG ，∵CG ＝FG ，∠G ＝∠E ＝∠B ＝60°， ∴△GFC 是等边三角形， ∴PC ＝PG ＝12CG ；∵BC ＝AB ＝2， ∴CG ＝EF ＝BH ＝12BC ＝1，∴PC ＝12；∵CD ＝AB ＝2， ∴PD ＝12+2＝52， ∵CF ＝CG ＝1，∴PF 2＝CF 2﹣PC 2＝12﹣（12）2＝34， ∴22253()724DF PD PF =+=+=．（3）如图3，作FM ⊥BG 于点M ，则∠BMF ＝90°，∵EH ⊥BC ，即EH ⊥BG ， ∴EH ∥FM ，∵∠CEF ＝∠ACB ＝60°， ∴EF ∥MH ，∴四边形EHMF 是平行四边形， ∵∠EHM ＝90°， ∴四边形EHMF 是矩形， ∴EH ＝FM ；∵EF ＝EC ，∠CEF ＝60°， ∴△CEF 是等边三角形， ∴CE ＝CF ，∵∠EHC ＝∠FMC ＝90°， ∴Rt △EHC ≌Rt △FMC （HL ）， ∴CH ＝CM ＝12CG ；∵CG ＝CE ＝BH ， ∴CH ＝12BH ，∴CM ＝CH ＝13BC ＝13×2＝23，∴CF ＝CG ＝2CM ＝2×23＝43， ∴2FM ＝（43）2﹣（23）2＝43，∵BM ＝2+23＝83，∴2224876219()339BF FM BM =++==． 【点睛】本题主要考查了几何综合，其中涉及到了菱形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，矩形的判定及性质等，熟悉掌握几何图形的性质和合理做出辅助线是解题的关键．9．（1）抛物线表达式为211242y x x =-++；直线表达式为122y x =-+；（2）△BQC的面积的最大值为2（3）△PBE 的面积为58（4）点N的坐标为（5（5235，45-）或（92，14）． 【解析】 【分析】（1）首先根据二次函数的对称性求出点B 的坐标，然后利用待定系数法把点的坐标代入表达式求解即可；（2）过Q 点作QH 垂直x 轴交BC 于点H ，连接CQ ，BQ ，由二次函数表达式设点Q 的坐标为（x ，211242x x -++），表示出△BQC 的面积，根据二次函数的性质即可求出△BQC的面积的最大值；（3）根据题意设出点P 坐标为（m ，211m m 242-++），E 点坐标为（m ，122m -+），D 点坐标为（m ，0），表示出OD 和PE 的长度，根据OD ＝4PE 列出方程求出m 的值，即可求出PE 和BD 的长度，然后根据三角形面积公式求解即可；（4）当BD 是菱形的边和对角线时两种情况分别讨论，设出点M 和点N 的坐标，根据菱形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为x ＝1，A （﹣2，0）， ∴B 点坐标为（4，0），∴将A （﹣2，0），B （4，0），C （0，2），代入y ＝ax 2+bx +c 得，42016402a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得：14122a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的表达式为211242y x x =-++；设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，∴将B （4，0），C （0，2），代入y kx b =+得，4002k b b +=⎧⎨+=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为122y x =-+． （2）如图所示，过Q 点作QH 垂直x 轴交BC 于点H ，交x 轴于点M ，连接CQ ，BQ ，设点Q 的坐标为（x ，211242x x -++），点H 的坐标为（x ，122x -+），∴HQ =221111224224x x x x x ⎛⎫-++--+=-+ ⎪⎝⎭，∴()221111111422222242QBC QHC QHB S S S QH OM QH BM QH OM BM QH OB x x x x ⎛⎫=+=+=+==⨯-+⨯=-+ ⎪⎝⎭△△△， ∴当221222bx a=-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，2122222S =-⨯+⨯=， ∴△BQC 的面积的最大值为2；（3）设点P 坐标为（m ，211m m 242-++），E 点坐标为（m ，122m -+），D 点坐标为（m ，0），∴221111222424PE m m m m m ⎛⎫=-+--++=- ⎪⎝⎭，OD m =，∵OD ＝4PE ，∴21=44m m m ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，整理得：250m m -=，解得：10m =(舍去)，25m =，∴2211555444PE m m =-=⨯-=，D 点坐标为（5，0）， ∴BD =1，∴115512248PBE S PE BD ==⨯⨯=△； （4）如图所示，当BD 是菱形的边时，BM 是菱形的边时，∵四边形BDNM 是菱形， ∴BD =BM =MN ，∴设M 点坐标为（a ，122a -+），N 点坐标为（a +1，122a -+），又∵B 点坐标为（4，0），D 点坐标为（5，0）， ∴BD =1，()221422BM a a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭， ∵BD =BM ， ∴BD 2=BM 2， ∴()2214212a a ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭， 整理得：2540760a a -+=， 解得：1225254455a a =+=-，， ∴N 点坐标为（2555+，55-）或（2555-，55）， 当BD 是菱形的边时，DM 是菱形的边时，∵四边形BDMN 是菱形，B 点坐标为（4，0），D 点坐标为（5，0）， ∴BD =MN =DM =1，∴设M 点坐标为（b ，122b -+），N 点坐标为（b -1，122b -+）， ∴DM2=()221522b b ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭， ∵BD =DM ， ∴BD 2=DM 2，∴()2215212b b ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭， 整理得：25481120b b -+=， 解得：122845b b ==，(舍去)， ∴N 点坐标为（235，45-）；当BD 是菱形的对角线时，∵四边形BMDN 是菱形，B 点坐标为（4，0），D 点坐标为（5，0）， ∴M 点横坐标为45922+=， 将92x =代入122y x =-+得：y =14-， ∴M 点的坐标为（92，14-），又∵点M 和点N 关于x 轴对称， ∴点N 的坐标为（92，14）．综上所述，点N 的坐标为（25552555235，45-）或（92，14）． 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数表达式的求法，二次函数的性质，二次函数中三角形最大面积问题，菱形存在性问题等知识，解题的关键是根据题意设出点的坐标，表示出三角形面积，根据菱形的性质列出方程求解．10．(1)①见解析；②见解析；③7 (2)57221+77【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质得到CB CE =，求得EBC BEC ∠=∠，根据平行线的性质得到EBC BEA ∠=∠，于是得到结论；②如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，根据角平分线的性质得到AB BQ =，求得=CG BQ ，根据全等三角形的性质得到BH GH =，根据三角形的中位线定理即可得到结论； ③如图2，过点G 作BC 的垂线GM ，解直角三角形即可得到结论．（2）如图3，连接DB ，DG ，过G 作GP BC ⊥交BC 的延长线于P ，GN DC ⊥交DC 的延长线于N ，根据旋转的性质得到4==CE BC ，2CD AB ==，解直角三角形得到1NG =，3PG =，根据三角形的面积公式即可得到结论．(1)解：①证明：矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，CB CE ∴=，EBC BEC ∴∠=∠，又//AD BC ，EBC BEA ∴∠=∠， BEA BEC ∴∠=∠，BE ∴平分AEC ∠；②证明：如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，BE 平分AEC ∠，BA AE ⊥，BQ CE ⊥，AB BQ ∴=，CG BQ ∴=，90BQH GCH ∠=∠=︒，BQ AB CG ==，BHQ GHC ∠=∠， ()BHQ GHC AAS ∴∆≅∆，即点H 是BG 中点， 又点P 是BC 中点，//PH CG ∴；③解：如图2，过点G 作BC 的垂线GM ，22BC AB ==，1BQ ∴=，30BCQ ∴∠=︒，90ECG ∠=︒， 60GCM ∴∠=︒， 1CG AB CD ===，32GM ∴=，12CM =， 222253()()722BG BM MG ∴=+=+=；(2)解：如图3，连接DB ，DG ，过G 作GP BC ⊥交BC 的延长线于P ，GN DC ⊥交DC 的延长线于N ，24BC AB ==，2AB ∴=，将矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，4CE BC ∴==，2CD AB ==，点A ，E ，D 第二次在同一直线上，90CDE，12CD CE ∴=，60DCE ∴∠=︒，30NCG ∴∠=︒，2CG =， 1NG ∴=，3PG =，523DBG DBC DCG BCG S S S S ∆∆∆∆∴=++=+，2227BG BP PG =+=，25722177DBG S DM BG ∆∴==+． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是正确地作出辅助线．11．（1）(2,2)-；（2）90°；（3）4- 【解析】 【分析】（1）如图1中，作BH y ⊥轴于H ．只要证明()ACO CBH AAS △≌△即可解决问题； （2）过C 作CK x ⊥轴交OA 的延长线于K ，求证ACK DCO △≌△即可求出AOD ∠的度数可求；（3）作BE x ⊥轴于点E ，并延长交AC 的延长线于点F ，证明()ABE AFE ASA △≌△，由全等三角形的性质得出BE FE =，证明()ACD CBF ASA △≌△，得出BF AD =，则可得出答案． 【详解】解：（1）如图1中，作BH y ⊥轴于H ．(4,0)-A ，(0,2)C ，4∴=OA ，2OC =，90AOC ACB BHC ∠=∠=∠=︒，90ACO BCH ∴∠+∠=︒，90CAO ACO ∠+∠=︒，CAO BCH ∴∠=∠，在ACO △与CBH 中，AOC BHCCAO BCH AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACO CBH AAS ∴△≌△，4CH OA ∴==，2BH OC ==， 2OH CH OC ∴=-=，(2,2)C ∴-，故答案为：(2,2)-；（2）如图所示，过C 作CK x ⊥轴交OA 的延长线于K ，则90OCK ∠=︒，∵AOB 为等腰直角三角形， ∴45AOB ∠=︒， 又∵90OCK ∠=︒，∴9045K AOB AOB ∠=︒-∠=︒=∠， ∴OC CK =，ACD 为等腰直角三角形， 90ACD ∴∠=︒，AC DC =，90ACO OCD ∴∠+∠=︒，又∵90OCK ∠=︒，90ACO ACK ∴∠+∠=︒， ACK OCD ∴∠=∠，在ACK 与DCO 中，CK OC ACK OCD AC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACK DCO SAS ∴△≌△，45DOC K ∴∠=∠=︒， 90AOD AOB DOC ∴∠=∠+∠=︒；（3）如图2中，作BE x ⊥轴于点E ，并延长交AC 的延长线于点F ，(4,0)-A ，(,0)D m ，4AD m ∴=+，AD 平分BAC ∠， BAE FAE ∴∠=∠，∵BE x ⊥轴于点E ，90AEB AEF ∴∠=∠=︒，在ABE △和AFE △中， AEB AEF AE AEBAE FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABE AFE ASA ∴△≌△，BE FE ∴=，∵B 的纵坐标为n ，且点B 在第四象限，BE FE n ∴==-， 2BF BE FE n ∴=+=-， 90ACB AEB ∠=∠=︒，90CAD CDA CBF BDE ∴∠+∠=∠+∠=︒，又∵CDA BDE ∠=∠，CAD CBF ∴∠=∠，在ACD △和BCF △中，ACD BCF AC BCCAD CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ACD CBF ASA ∴△≌△，AD BF ∴=，42m n ∴+=-，即：24m n +=-， ∴2n m +的值为4-． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，坐标与图形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．12．(1)y＝x﹣4(2)P（4）(3)存在，M（，0）或（﹣17，0）【解析】【分析】（1）先分别求出A、B、C三点的坐标，即可利用待定系数法求出直线BC的解析式；（2）设E（x1，x1﹣4），Q（x2，x2﹣4），则D（x1，x12﹣3x1﹣4），P（x2，x22﹣3x2﹣4），由平行四边形的性质得到ED＝QP，即（x1﹣4）﹣（x12﹣3x1﹣4）＝（x2﹣4）﹣（x22﹣3x2﹣4），从而推出x1+x2＝4，再由四边形EDPQ的周长（0＜x＜4），即可利用二次函数的性质得到答案；（3）分△AEB∽△BDM和△AEB∽△BM′D，利用相似三角形的性质求解即可．(1)解：∵抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，∴令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x2﹣3x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴C（0，﹣4），A（﹣1，0），B（4，0），设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），∴把B、C坐标代入上式得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝x﹣4；(2)解：如图1，过D作轴交BC于E，点P是BC下方抛物线上动点（P在D的右∥轴交BC于Q，侧），过点P作PQ y又∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4，直线BC的解析式为：y＝x﹣4，∴设E（x1，x1﹣4），Q（x2，x2﹣4），则D（x1，x12﹣3x1﹣4），P（x2，x22﹣3x2﹣4），若四边形EDPQ为平行四边形，则ED＝QP，即（x1﹣4）﹣（x12﹣3x1﹣4）＝（x2﹣4）﹣（x22﹣3x2﹣4），∴，∴解得：x1＝x2（不合题意，应舍去），x1+x2＝4，∵，ED＝4x1﹣x12，又∵四边形EDPQ的周长把x2＝4﹣x1代入上式得：四边形EDPQ的周长（0＜x＜4），∵﹣2＜0，∴当时，四边形EDPQ的周长有最大值12，此时，∴P（，）；(3)解：如图2，若DM∥EB，则∠DMB＝∠EBM，∵AE∥DB，∴∠EAB＝∠DBM，∴△AEB∽△BDM，∴，∵xD＝1，∴yD＝1﹣3﹣4＝﹣6，∴D（1，﹣6），∵B（4，0），D（1，﹣6），∴yBD＝2x﹣8，∵AE∥BD，∴设yAE＝2x+n并把A（﹣1，0）代入得：yAE＝2x+2，联立，解得：（与A重合，应舍去）或，∴，，∴，∴，∴,∴M（，0），②如图3，若∠DM′B＝∠BEA且∠EAB＝∠DBM′，∴△AEB∽△BM′D，∴，∴，∴BM′＝21，∴OM′＝BM′﹣BO＝21﹣4＝17，∴M′（﹣17，0），综上所述，M（，0）或（﹣17，0）．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，二次函数与平行四边形，二次函数与相似三角形，一次函数与二次函数综合等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识．13．(1)E（43，3）(2)4 3(3)k＝6【解析】【分析】（1）由OB=4、OA=3，求出点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（4，0）、（4，3），由BF=13BC得到点F（4，1），进而求解；（2）F点的横坐标为4，则F（4，），E的纵坐标为3，则E（，3），进而求解；（3）当点G落在对角线AB上时，得到EF∥AB，则MF是△CGB的中位线，则点F是BC 的中点，即可求解；当点G落在OC上时，由①知，CG⊥AB，如果G落在OC上，则OC⊥AB，由题意得AB和OC不垂直，故该情况不存在．(1)解：∵OB=4，OA=3，∴点A、B的坐标分别为：（0，3）、（4，0）∵四边形OACB为矩形，则点C（4，3），当BF=13BC时，点F（4，1），将点F的坐标代入y=kx并解得：k=4，故反比例函数的表达式为：y=4x，当y=3时，x=43，故E（43，3）；(2)解：∵F点的横坐标为4，点F在反比例函数上，∴F（4，），∴CF=BC-BF=3-=，∵E的纵坐标为3，∴E（，3），∴CE=AC-AE=4-13k=，在Rt△CEF中，tan∠EFC==43；(3)①当点G落在对角线AB上时，在Rt△ABC中，tan∠ABC=ACBC=43=tan∠EFC，故EF∥AB，连接CG交EF于点M，则MG=MC，即点M是CG的中点，而EF∥AB，故MF是CGB的中位线，则点F是BC的中点，故点F的坐标为（4，32），将点F的坐标代入反比例函数表达式得：k=4×32=6；②当点G落在OC上时，由①知，CG⊥AB，如果G落在OC上，则OC⊥AB，由题意得AB和OC不垂直，故点G不会落在OC上；综上，k=6．【点睛】。
【精品】人教版九年级数学中考压轴试题(含答案解析)
【精品】人教版九年级数学中考压轴试题（含答案）1．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是线段AB上的一点（不与A、B重合）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C顺时针旋转90°，得到线段CF，连结EF．设∠BCE度数为α．（1）①补全图形．②试用含α的代数式表示∠CDA．（2）若=，求α的大小．（3）直接写出线段AB、BE、CF之间的数量关系．【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②利用三角形的外角的性质计算即可；（2）只要证明△FCE∽△ACB，可得==，Rt△CFA中，∠CFA=90°，cos∠FCA=，推出∠FCA=30°，即α=30°．（3）在Rt△ABC，和Rt△CBE中，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：（1）①补全的图形如图所示：②∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠CDA=∠DBC+∠BCD=45°+α．（2）在△FCE和△ACB中，∠CFE=∠CAB=45°，∠FCE=∠ACB=90°，∴△FCE∽△ACB，∴=∵=∴=连结FA，∵∠FCA=90°﹣∠ACE，∠ECB=90°﹣∠ACE，∴∠FCA=∠BCE=α，在Rt△CFA中，∠CFA=90°，cos∠FCA=∴∠FCA=30°，即α=30°．（3）结论：AB2=2CF2+2BE2．理由：∵AB2=AC2+BC2=2BC2，BC2=CE2+BE2=CF2+BE2，∴AB2=2CF2+2BE2．【点评】本题考查相似三角形综合题、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．2．（8分）已知在平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下的定义：若在图形G上存在一点Q，使得P、Q之间的距离等于1，则称P为图形G的关联点．（1）当⊙O的半径为1时，①点P1（，0），P2（1，），P3（0，3）中，⊙O的关联点有P1，P2．②直线经过（0，1）点，且与y轴垂直，点P在直线上．若P是⊙O的关联点，求点P的横坐标x的取值范围．（2）已知正方形ABCD的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直．若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r的取值范围．【分析】（1）①利用两圆的位置关系即可判断；②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，﹣x），根据两点间的距离公式即可得到结论；（2）根据关联点的定义求出圆的半径r的最大值与最小值即可解决问题；【解答】解：（1）①∵点P1（，0），P2（1，），P3（0，3）∴OP1=，OP2=2，OP3=3，∴半径为1的⊙P1与⊙O相交，半径为1的⊙P2与⊙O相交，半径为1的⊙P3与⊙O相离1，∴⊙O的关联点是P1，P2；故答案为：P1，P2；②如图，以O为圆心，2为半径的圆与直线y=1交于 P1，P2两点．线段P1，P2上的动点P（含端点）都是以O为圆心，1为半径的圆的关联点．故此﹣≤x≤．（2）由已知，若P为图形G的关联点，图形G必与以P为圆心1为半径的圆有交点．∵正方形ABCD边界上的点都是某圆的关联点，∴该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点故此，符合题意的半径最大的圆是以O为圆心，3为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以O为圆心，2﹣1 为半径的圆．综上所述，2﹣1≤r≤3．【点评】本题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm．动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点．DE⊥AB，垂足为E．设AE长为xcm，BD长为ycm（当D与A重合时，y=4；当D与B重合时y=0）．小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小云的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4y/cm 4 3.5 3.2 2.8 2.1 1.4 0.7 0补全上面表格，要求结果保留一位小数．则t≈ 2.9 ．（2）在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为2.3 cm．【分析】（1）按题意，认真测量即可；（2）利用数据描点、连线；（3）当DB=AE时，y=x，画图形测量交点横坐标即可．【解答】解：（1）根据题意量取数据为2.9故答案为：2.9（2）根据已知数据描点连线得：（3）当DB=AE时，y与x满足y=x，在（2）图中，画y=x图象，测量交点横坐标为2.3．故答案为：2.3【点评】本题以考查画函数图象为背景，应用了数形结合思想和转化的数学思想．4．（7分）已知抛物线：y=mx2﹣2mx+m+1（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标．（2）若直线l1经过（2，0）点且与x轴垂直，直线l2经过抛物线的顶点与坐标原点，且l1与l2的交点P在抛物线上．求抛物线的表达式．（3）已知点A（0，2），点A关于x轴的对称点为点B．抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象写出m的取值范围．【分析】（1）利用配方法把解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标；（2）先确定P点坐标，然后把P点坐标代入y=mx2﹣2mx+m+1求出m 即可；（3）分别把A、B点的坐标代入y=mx2﹣2mx+m+1求出对应的m的值，然后根据二次函数的性质确定满足条件的m的范围．【解答】（1）解：∵y=mx2﹣2mx+m+1=m（x﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1）；（2）易得直线l2的表达式为y=x，当x=2时，y=x=2，则P（2，2），把P（2，2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得4m﹣4m+m+1=2，解得m=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x+2；（3）点A（0，2）关于x轴的对称点B的坐标为（0，﹣2），当抛物线过A（0，2）时，把A（0，2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得m+1=2，解得m=1，结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点时，0＜m≤1；当抛物线过B（0，﹣2）时，把B（0，﹣2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得m+1=﹣2，解得m=﹣3，结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点时，﹣3≤m＜0；综上所述，m的取值范围是 0＜m≤1或﹣3≤m＜0．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．5．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点， =．过点B作⊙O的切线，连接AC并延长交于点E，连接AD并延长交于点F．（1）求证：AC=CE．（2）若AE=8，sin∠BAF=求DF长．【分析】（1）连接BC，想办法证明AC=BC，EC=BC即可解决问题；（2）首先证明∠DBF=∠BAF，可得sin∠BAF=sin∠DBF==，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连结BC．∵AB是的直径，C在⊙O上∴∠ACB=90°，∵=，∴AC=BC∴∠CAB=45°．∵AB是⊙O的直径，EF切⊙O于点B，∴∠ABE=90°，∴∠AEB=45°，∴AB=BE，∴AC=CE．（2）在Rt△ABE中，∠ABE=90°，AE=8，AE=BE ∴AB=8，在Rt△ABF中，AB=8，sin∠BAF=，解得：BF=6，连结BD，则∠ADB=∠FDB=90°，∵∠BAF+∠ABD=90°，∠ABD+∠DBF=90°，∴∠DBF=∠BAF，∵sin∠BAF=，∴sin∠DBF=，∴=，∴DF=．【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是（﹣2，0）或（6，0）．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用三角形的面积公式求出PA的长即可解决问题；【解答】解：（1）∵一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），∴2+b=0，∴b=﹣2，∴y=x﹣2，当x=3时，y=1，∴B（3，1），代入y=中，得到k=3，∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵△PAB的面积是2，∴PA=4，∴P（﹣2，0）或（6，0）．【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】作AH⊥BN于H，设AH=xm，根据正切的概念表示出CH、BH，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：如图，作AH⊥BN于H，设AH=xm，∵∠ACN=45°，∵tanB=，∴BH=x，则BH﹣CH=BC，即x﹣x=100，解得x=50（+1）．答：这座山的高度为50（+1）m；【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．8．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．【分析】（1）由平行四边形的性质知CD∥AB，即∠DAF=∠CDE，再由CE⊥AD、DF⊥BA知∠AFD=∠DEC=90°，据此可得；（2）根据△ADF∽△DCE知=，据此求得DC=9，再根据平行四边形的性质可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DAF=∠CDE，又∵CE⊥AD、DF⊥BA，∴∠AFD=∠DEC=90°，∴△ADF∽△DCE；（2）∵AD=6、且E为AD的中点，∴DE=3，∵△ADF∽△DCE，∴=，即=，解得：DC=9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质．9．（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称性和待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的性质可得．【解答】解：（1）把点（1，﹣2）代入y=x2﹣2mx+5m中，可得：1﹣2m+5m=﹣2，解得：m=﹣1，所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣，（2）∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当x=﹣4时y=3，当x=﹣1时y=﹣6，∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．10．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD=∠ABC，进而得出答案；（2）首先得出DC的长，即可得出FC的长，再利用已知得出BC的长，结合勾股定理求出答案．【解答】（1）证明：连接DC，∵AC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°，∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，∴∠BCA=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ABC，∴∠ABC=∠AED；（2）解：连接BF，∵在Rt△ADC中，AD=，tan∠AED=，∴tan∠ACD==，∴DC=AD=，∴AC==8，∵AF=6，∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2，∵∠ABC=∠AED，∴tan∠ABC==，∴=，解得：BD=，故BC=6，则BF==2．【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识，正确得出∠ACD=∠ABC是解题关键．11．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A （﹣1，0）和B（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P 关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分别求出点Q落在直线BC和x轴上时的t的值即可判断；【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图，易知抛物线的顶点坐标为（1，4）．观察图象可知当点P关于直线y=t的对称点为点Q中直线BC上时，t=3，当点P关于直线y=t的对称点为点Q在x轴上时，t=2，∴满足条件的t的值为2＜t＜3．【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型．。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(角度问题)(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（角度问题）1．如图，抛物线2y ax2x c=++（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当:COD COBS S＝1：3时，求点F的坐标；(3)如图2，点E的坐标为（0，﹣32），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在二次函数2221y x mx m=-+++（m是常数，且0m>）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求OBC∠的度数；(2)若ACO CBD∠=∠，求m的值；(3)若在第四象限内二次函数2221y x mx m=-+++（m是常数，且0m>）的图像上，始终存在一点P ，使得75ACP ∠=︒，请结合函数的图像，直接写出m 的取值范围． 3．如图1，直线y ＝2x ＋2交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A 、C 两点的抛物线232y ax x c =++与x 轴的另一交点为B ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D 是抛物线在第一象限内的一点，连接OD ，将线段OD 绕O 逆时针旋转90°得到线段OM ，过点M 作MN ∠x 轴交直线AC 于点N ．求线段MN 的最大值及此时点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点E 是点A 关于y 轴的对称点，连接DE ，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得∠PED ＝45°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B 点的坐标为()4,0，抛物线的对称轴为直线32x =，点D 是BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当BCD △的面积为74时，求点D 的坐标； (3)过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，是否存在点D ，使得CDE 中的某个角等于ABC ∠的2倍？若存在，请直接写出点D 的横坐标．．．；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线211322y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，D 为线段AB 上一点．(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)过点D 作x 轴的垂线与抛物线交于点E ，与直线BC 相交于点F ，求出点E 到直线BC 距离d 的最大值；(3)连接CD ，作点B 关于CD 的对称点B '，连接AB '，B D '．在点D 的运动过程中，ADB ∠'能否等于45°？若能，请直接写出此时点B '的坐标，若不存在请说明理由．6．如图1，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点A (﹣2，0)，B (4，0)，抛物线的顶点为C ，作射线AC ，BC ．动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AC 做匀速运动，动点Q 从B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BC 运动．(1)填空：b ＝_____，c ＝_____，C 的坐标为_____．(2)点P ，Q 运动过程中，∠CPQ 可能为等腰三角形吗？说明理由．(3)如图2，连接PO ，QO ，当∠POQ ＝30°时，直接写出t 的值．7．如图，抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -，()3,0B 且与y 轴交于点()0,3C -．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 是x 轴的正半轴上一点，1tan 3APC ∠=，求点P 的坐标； (3)当点P 是抛物线上第一象限上的点，1tan 3APC ∠=，直接写出点P 的坐标为______． 8．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点A （-2，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，连接AC ，作直线BC ．(1)求抛物线24y ax bx =+-的表达式； (2)如图2，点E （x ，0）是线段OB 上的点，过点E 作与x 轴垂直的直线与直线BC 交于点F ，与抛物线交于点G ．∠线段FG 的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，说明理由； ∠连接CG ，当∠DCG =∠ACO 时，求点G 的坐标；(3)若点P 是直线BC 下方的抛物线上的一点，点Q 在y 轴上，点M 在线段BC 上，当以C ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是菱形时，直接写出菱形的边长．9．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （1，0），与y 轴交于C （0，－3）．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在这样的点P ，使得∠ACP=∠ABC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点D 为线段BC 上一点，过点D 作y 轴的平行线交抛物线于点E ，连结BE ．当∠DBE =90°时，求BEC S ∆．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2-2x +c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴相交于点C （0，3）．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)找出图中与∠DAB 相等的一个角，并证明；(3)若点P 是第二象限内抛物线上的一点，当点P 到直线AC 的距离最大时，求点P 的坐标．11．如图所示：二次函数26y ax bx =+-的图象与x 轴交于()2,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求二次函数表达式及直线BC 的函数表达式；(2)如图1，若点M 为抛物线上线段BC 右侧的一动点，连接CM ，BM ．求四边形ACMB 面积最大时点M 的坐标；(3)如图2，该抛物线上是否存在点P ，使得ACO BCP ∠=∠？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知如图，二次函数23y x bx =++的图像与x 轴相交于点A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，连接AC 、BC ，tan 1ABC ∠=，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点E ，当AE CE +取得最小值时，E 点坐标为________；此时AE 与BC 的位置关系是________，tan ACE ∠=________；(3)抛物线对称轴右侧的函数图像上是否存在点M ，满足ACB BAM ∠=∠，若存在求M 点的横坐标；若不存在，请说明理由；(4)若抛物线上一动点Q ，当BAQ ACO ∠=∠时，直接写出Q 点坐标________． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于B ，C 两点（C 在B的左侧），与y 轴交于点A ，已知()0,4A -，2OA OB =．(1)求抛物线的表达式；(2)若点Q 是线段AC 下方抛物线上一点，过点Q 作QD 垂直AC 交AC 于点D ，求DQ 的最大值及此时点Q 的坐标；(3)点E 是线段AB 上一点，且14AOE AOC S S =△△；将抛物线212y x bx c =++沿射线AB 的方向平移，当抛物线恰好经过点E 时，停止运动，已知点M 是平移后抛物线对称轴上的动点，N 是平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是菱形的点N 的坐标，并把求其中一个点N 的坐标的过程写出来．14．如图，抛物线()()22369=++-+y mx m x m 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知()3,0B ．(1)m 的值是________；(2)P （异于点A ）为抛物线上一点，若PBC ABC S S =△△，求点P 的坐标：(3)Q 为抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，请直接写出点Q 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于1,0A ，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l ：2y kx =+过点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）当直线l 经过点B 时，取线段BC 的中点M ，作直线l 的平行线，恰好与抛物线有一个交点P 时，判断以点P ，O ，M ，B 为顶点的四边形是什么特殊的平行四边形，并说明理由；（3）在直线l 上是否存在唯一一点Q ，使得90AQB ∠=︒？若存在，请求出此时l 的解析式；若不存在，请说明理由．16．我们不妨约定，过坐标平面内任意两点（例如A ，B 两点）作x 轴的垂线，两个垂足之间的距离叫做这两点在x 轴上的“足距”，记作AB ．根据该约定，完成下列各题：（1）若点1(,6)A x ，2(,4)B x -．当点A 、B 在函数2y x =的图象上时，AB =______；当点A ，B 在函数24y x=-的图像上时，AB =______； （2）若反比例函数()11k y k x -=≠的图象上有两点()1,A x k ，()22,B x k k -，当AB k =时，求正整数k 的值． （3）在（2）条件下抛物线223y kx x =+-与x 轴交于1A ，1B 两点，与y 轴交于点C ．如图，点D 是该抛物线的顶点，点(,)P m n 是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接1A D 、1A C 、1A P ，当1112PA B CA D ∠=∠时，求m 的值．17．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2+bx 的图象与x 轴交于O 、A 两点，其顶点B 的坐标为（2，﹣6）．（1）求a 、b 的值；（2）如图1，点C 是该二次函数图象的对称轴上的一个动点，连接BO 、CO ，当∠OBC 是以BC 为腰的等腰三角形时，求点C 的坐标；（3）如图2，P 是该二次函数图象上的位于第一象限内的一个动点，连接OP ，与对称轴交于点M ，点Q 在OP 上，满足OQ PQ ＝21，设点P 的横坐标为n ； ∠请用含n 的代数式表示点Q 的坐标（，）；∠连接BQ ，OB ，当∠OBQ 的面积为15时，求点P 的坐标；∠当∠POA ＝2∠OBM 时，直接写出点P 的横坐标．18．如图1，直线4y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 与点B ，抛物线212y x bx c =-++经过点A 、B ，在线段OA 上有一动点(),0D m ，点D 不与O 、A 重合，过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，交抛物线于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当点C 是DE 的中点时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，将线段OD 绕点O 逆时针旋转得到OD '，旋转角为()090αα︒<<︒，连接'D A 、'D B ，直接写出''12D A D B +的最小值．参考答案：1．(1)223y x x =-++；(2)F （35，125）； (3)存在，P （13，329）或（﹣73，﹣649）．2．(1)A （-1，0）；B （2m +1，0）；C （0，2m +1）；45OBC ∠=︒(2)1m =(3)0m <<3．(1)213222y x x =-++ (2)最大值为3；()2,3D(3)存在，11P ⎛ ⎝⎭，()20,2P4．(1)213 2.22y x x (2)79,28D 或121,.28(3)点D 的横坐标为2或2911．5．(1)A （-2，0），B （3，0），C （0，3）；(2)点E 到直线BC 的距离d ；(3)在点D 的运动过程中，∠ADB '能等于45°，此时点B ′的坐标为（0，-或（-，3）．6．；(1， (2)不可能，理由见解析(3)t 的值为：17．(1)2=23y x x --(2)点P 的坐标为()9,0(3)点P 的坐标为()4,58．(1)2142y x x =-- (2)∠当2x =时，FG 有最大值，FG 的最大值=2；∠G （3，－52）或（1，－4.5）． (3)2或49．(1)2=+43y x x --(2)存在点P ，使得∠ACP=∠ABC ，点P 的坐标为7524,⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)3△BEC S =10．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，顶点D 的坐标为（﹣1，4）(2)∠ACB ，证明见解析(3)点P 坐标为（32-，154）11．(1)26y x x =--，26y x =-(2)点M 的坐标为321,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)存在，（2，-4）或（8，50）12．(1)y =x 2-4x +3；(2)（2，1）；AE ∠BC ，12； (3)存在，M 点的横坐标为52或72； (4)Q 点的坐标为(103，79)或(83，59-) ．13．(1)2142y x x =+-(2)DQ ()2,4Q -(3)N 点坐标为(2,或(2,-或()2,0-或52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，见解析14．(1)1-(2)()2,1P ，⎝⎭P ，⎝⎭P (3)75,24⎛⎫- ⎪⎝⎭Q15．（1）215222y x x =-+；（2）菱形；（3）存在，122y x =-+或2y x =+或2y x =+． 16．（1）5；10；（2）1；（3）74m =17．（1）a ＝32，b ＝﹣6；（2）点C 的坐标为（2，6--2，6-+2，83-）；（3）∠23n ，n 2﹣4n ；∠P （5，152）；∠点P 的横坐标为92．18．（1）2142y x x =-++；（2）2；（3。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(线段周长问题)(含简单答案)
11．已知抛物线 经过 ， 两点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的解析式
(2)设P是直线l上的一个动点，当 的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知抛物线 （a为常数， ）交x轴于点 和点 ，交y轴于点C．
(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；
(2)P是抛物线上位于直线 上方的动点，过点P作y轴的平行线，交直线 于点D，当 取得最大值时，求点P的坐标；
(3)M是抛物线的对称轴l上一点，N为抛物线上一点．当直线 垂直平分 的边 时，求点M的坐标．
(3)若点 是直线 下方的抛物线上的一动点，过 作 轴的平行线与线段 交于点 ，求线段 的最大值．
8．已知点 在直线 上，点 是抛物线 上一个动点．
(1)如图，若抛物线与直线l交于点A．
①求a和k的值；
②过点M作y轴的平行线交直线l于点N，当点M在直线l上方的抛物线上运动时，求线段MN长度的最大值及此时点M的坐标；
(3)如图2，D为对称轴 右边抛物线上的任意一点，连接 ， 分别交 于M、N两点，试证明 为定值．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是 ，并且 ，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)根据图象直接写出二次函数值不小于0时，自变量x的取值范围．
(3)在抛物线上是否存在动点P，使得点P到线段 的两个端点的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)点C的坐标为______；抛物线的函数表达式为______；
2022-2023学年九年级数学中考复习《抛物线与x轴交点问题》解答题专题训练(附答案)
2022-2023学年九年级数学中考复习《抛物线与x轴交点问题》解答题专题训练（附答案）1．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），顶点为D．（1）请直接写出A、B两点坐标，抛物线的对称轴；（2）若点M（t，y1），N（t+3，y2），P（1，y3）都在抛物线上，且始终满足y1＞y2＞y3，请结合图象，求出t的取值范围．2．如图，抛物线y＝ax2+2x+c．与x轴交于A，B两点，与y轴交于C（0，3），直线y＝﹣x﹣1经过点A且与抛物线交于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接P A，PD，求△P AD的面积的最大值．3．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点为A（2，4），B（2，2），C（5，2），D （5，4），抛物线y＝ax2+bx交x轴正半轴于点E．（1）若抛物线经过A，C两点，求抛物线的解析式．（2）若a＝﹣1；①抛物线交直线CD于点M，当△OME面积为5时，求b的值；②当抛物线与矩形ABCD的边有交点时，直接写出b的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy中，已知，抛物线y＝mx2+4mx﹣5m．（1）求抛物线与x轴两交点间的距离；（2）当m＞0时，过A（0，2）点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（点C 在点D左侧），C、D横坐标分别为x1、x2，且x2﹣x1＝8，求抛物线的解析式．5．对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3．（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（3）当﹣2＜x＜2时，直接写出y的取值范围．6．已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3；（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3在直线AB下方的部分与抛物线y'＝﹣x2+2x+m只有一个交点，请直接写出m的取值范围．8．如图，已知抛物线C1：y＝a（x+4）2﹣6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点B的坐标为（2，0）；（1）由图象可知，抛物线C1的开口向，当x＜﹣4时，y随x的增大而；（2）求a的值；（3）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2在x轴上平移，平移后的抛物线记为C3，当抛物线C3与抛物线C1只有一个交点时，求抛物线C3的解析式，以及交点坐标．9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和B（0，3），与x轴负半轴交于点C，点D是抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D作DE⊥AB于点E，连接BF，当点D在第一象限且S△BEF＝2S△AEF时，求点D的坐标．10．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B、C，且OB＝OC，点A坐标为（﹣1，0）．（1）求出该二次函数表达式，并求出顶点坐标．（2）将该函数图象沿x轴翻折，如图①，（Ⅰ）请直接写出翻折后的图象对应的函数表达式；（Ⅱ）翻折前后的函数图象在一起构成轴对称图形，请写出对称轴．（3）将两图象在x轴上方的部分去掉，如图②，当直线y＝﹣x+k与两抛物线所剩部分有4个交点时，请求出k的取值范围．11．当x＝﹣1时，抛物线y＝ax2+bx+c取得最大值4，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）若点M（m，y1），N（m+2，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；（3）对于二次函数图象上的两点P（x l，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+2，x2≥2时均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，与抛物线对称轴交于点D，且S△ABD＝4，点P是抛物线y＝ax2+bx+c 上的动点．（1）求抛物线的函数解析式．（2）当点P在直线BC上方时，求点P到直线BC的距离的最大值．13．如图，抛物线的顶点A是直线OD上一个动点，该抛物线与直线OD 的另一个交点为C，与y轴的交点为B，点D的坐标是（2，2）．（1）求点B的纵坐标的最小值，并写出此时点A的坐标．（2）在（1）的条件下，若该抛物线与x轴的两个交点分别为E和F，请直接写出线段EF的长度．14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标．15．设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点B（﹣2，0）、C（4，0）两点，与y轴交于点A（0，2）．（1）求出此抛物线和直线AC的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点M，求点M的横坐标x为何值时四边形ABCM 的面积最大？最大值是多少？并写出此时点M的坐标．17．已知抛物线L1的顶点为（1，），且经过点（0，3），L1关于x轴对称的抛物线为L2．（1）求抛物线L1的表达式；（2）点E在x轴上方的抛物线L1上，过点E作EF∥x轴，与抛物线L1交于点F（点E 在点F的左侧），那么在抛物线L2上是否存在点M、点N，使得四边形EFMN是矩形，且其长与宽的长度之比为3：1？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣3，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，连接BC、AC．（1）用含a的代数式求S△ABC；（2）若S△ABC＝6，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，当m﹣1≤x≤1时，y的最小值是﹣2，求m的值．19．已知抛物线y＝ax2﹣mx+2m﹣3经过点A（2，﹣4）．（1）求a的值；（2）若抛物线与y轴的公共点为（0，﹣1），抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由；（3）当2≤x≤4时，设二次函数y＝ax2﹣mx+2m﹣3的最大值为M，最小值为N，若＝，求m的值．20．设二次函数y＝（x﹣a）（x﹣a+2），其中a为实数．（1）若二次函数的图象经过点P（2，﹣1），求二次函数的表达式；（2）把二次函数的图象向上平移k个单位，使图象与x轴无交点，求k的取值范围；（3）若二次函数的图象经过点A（m，t），点B（n，t），设|m﹣n|＝d（d≥2），求t的最小值．参考答案1．解：（1）由y＝ax2﹣2ax﹣3a得到：y＝a（x﹣3）（x+1），故A（﹣1，0），B（3，0）．由y＝ax2﹣2ax﹣3a得到：y＝a（x﹣1）2﹣4a，故抛物线的对称轴是直线x＝1；（2）由（1）知，抛物线的对称轴是直线x＝1，所以点P（1，y3）是抛物线y＝ax2﹣2ax ﹣3a的顶点坐标，∵始终满足y1＞y2＞y3，∴该抛物线的开口方向向上．当点M（t，y1），N（t+3，y2）都在对称轴左侧时，t+3＜1，则t＜﹣2．当点M（t，y1），N（t+3，y2）分别位于对称轴两侧时，1﹣t＞t+3﹣1，则t＜﹣．当t＝﹣2时，t+3＝1，此时y2＝y3，与已知矛盾，故t≠﹣2．综上所述，t的取值范围是t＜﹣且t≠﹣2．2．解：（1）∵直线y＝﹣x﹣1经过点A，∴令y＝0，则0＝﹣x﹣1，∴x＝﹣1，∴A（﹣1，0），将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴D（4，﹣5），过点P作PE∥y轴，交AD于E，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1），∴PE＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+3t+4，∴△P AD的面积＝•PE•（4+1）＝（﹣t2+3t+4）＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，△P AD的面积最大，且最大值是．3．解：（1）把A（2，4），C（5，2）代入抛物线y＝ax2+bx中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x；（2）若a＝﹣1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+bx，①当x＝5时，y＝﹣25+5b，∴M（5，﹣25+5b），当y＝0时，﹣x2+bx＝0，x1＝0（舍），x2＝b，∴E（b，0），∴S△OME＝•OE•y M＝b（﹣25+5b）＝5，解得：b1＝或b2＝（不符合题意，舍）；②∵y＝﹣x2+bx＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的顶点坐标为（，），令＝x，则抛物线的顶点所在的图象的解析式为：y＝x2，当抛物线经过点B时满足题意，将点B的坐标（2，2）代入y＝﹣x2+bx得：2＝﹣4+2b，∴b＝3，当抛物线经过点D时满足题意，将点D的坐标（5，4）代入y＝﹣x2+bx得：4＝﹣25+5b，∴b＝，∴3≤b≤．4．解：（1）令y＝0得：mx2+4mx﹣5m＝0，∴m（x2+4x﹣5）＝0，∵m为二次函数二次项系数，∴m≠0，∴x2+4x﹣5＝0，∴x1＝﹣5，x2＝1，∴与x轴交点坐标为（﹣5，0）和（1，0），∴与x轴两交点间的距离为1﹣（﹣5）＝6；（2）∵直线l过点（0，2）且平行于x轴，∴直线l的解析式为y＝2，∴y＝mx2+4mx﹣5m中令y＝2得：∴2＝mx2+4mx﹣5m，∴mx2+4mx﹣5m﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣5﹣，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16+20+，∵x2﹣x1＝8，∴（x1﹣x2）2＝64，∴16+20+＝64，36+＝64，＝28，∴m＝，∴y＝x2+x﹣．5．解：（1）将y＝0代入y＝x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），将x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4），故答案为：（﹣1，0），（3，0）；（0，﹣3）；（1，﹣4）．（2）∵抛物线顶点坐标为（1，﹣4），∴抛物线对称轴为直线x＝1，∵抛物线经过（0，﹣3），∴抛物线经过（2，3），列表如下：x…﹣10 1 2 3…y…0 ﹣3 ﹣4 ﹣3…图象如下：（3）将x＝﹣2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝4+4﹣3＝5，∵抛物线开口向上，抛物线顶点坐标为（1，﹣4）且经过（2，﹣3），∴当﹣2＜x＜2时，﹣4≤y＜5．6．解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，解得m1＝1，m2＝﹣3，又∵m＞0，∴m＝1．（2）∵m＝1，∴y＝x2+x﹣2，∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，∴二次函数图象与x轴有2个交点．7．解：（1）将点A（3，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣3中，得9a﹣6a﹣3＝0，解得a＝1．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）；（2）画出函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图1所示：（3）∵y'＝﹣x2+2x+m＝﹣（x﹣1）2+m+1，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向下，与y轴的交点的坐标为（0，m），且可看成由抛物线y＝﹣（x﹣1）2沿对称轴（直线x＝1）上下平移得到，当抛物线y'＝﹣（x﹣1）2+m+1的顶点坐标为（1，﹣4）时，符合题意，即m+1＝﹣4，解得m＝﹣5；当抛物线y'＝﹣（x﹣1）2+m+1经过点B（0，﹣3）时，如图所示，此时有1个交点．将B（0，﹣3）代入y'＝﹣（x﹣1）2+m+1，即可解得m＝﹣3；当抛物线y'＝﹣（x﹣1）2+m+1经过点A（3，0）时，如图3所示，此时没有交点；将A（3，0）代入y'＝﹣（x﹣1）2+m+1，即可解得m＝3；如图4所示，当﹣3＜m＜3时，此时有一个交点．综上所述，m的取值范围为﹣3≤m＜3或m＝﹣5．8．解：（1）由图象和抛物线解析式可知，抛物线C1的开口向上，对称轴为x＝﹣4，∴当x＜﹣4时，y随x的增大而减小；故答案为：上，减小；（2）把点B的坐标（2，0）代入y＝a（x+4）2﹣6得，0＝a（2+4）2﹣6，解得：a＝；（3）由（2）知抛物线C1的解析式为y＝（x+4）2﹣6，∵抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，∴抛物线C2与的解析式为y＝﹣（x+4）2+6，∵将抛物线C2在x轴上平移，平移后的抛物线记为C3，∴抛物线C3：y＝﹣（x﹣h）2+6，联立得，（x+4）2﹣6＝﹣（x﹣h）2+6，整理得：2x2+（8﹣2h）x+h2﹣56＝0，∵抛物线C3与抛物线C1只有一个交点，∴Δ＝（8﹣2h）2﹣4×2（h2﹣56）＝0，整理得：h2+8h﹣128＝0，解得：h1＝﹣16，h2＝8，∴抛物线C3的解析式为y＝﹣（x﹣8）2+6或y＝﹣（x+16）2+6；把h＝8或h＝﹣16代入2x2+（8﹣2h）x+h2﹣56＝0中，解得：x1＝x2＝2或x3＝x4＝﹣10，当x＝2时，y＝（2+4）2﹣6＝0，当x＝﹣10时y＝（﹣10+4）2﹣6＝0，∴抛物线C3与抛物线C1交点坐标为（2，0）或（﹣10，0）．9．解：（1）将点A（3，0）和B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（3，0）和B（0，3），∴OA＝OB＝3，∴∠BAO＝45°，∵DF⊥AB，∴EF＝AE，∵AB＝3，S△BEF＝2S△AEF，∴AE＝，∴AF＝2，∴F（1，0），∴E（2，1），∴设直线DF的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝x﹣1，联立方程组，解得x＝或x＝，∵点D在第一象限，∴x＝，∴D（，）．10．解：（1）∵y＝ax2+bx+3，∴C（0，3），∵OB＝OC，∴B（3，0），又∵A（﹣1，0）．∴，解得：，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴二次函数表达式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）Ⅰ如图：D（1，4），则D关于x轴的对称点D′坐标为（1，﹣4），∵翻折前后抛物线的形状、大小都相同，开口方向相反，∴翻折后的图象对应的函数表达式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；Ⅱ翻折后关于抛物线的对称轴对称，此时对称轴为直线x＝1，同时两个图象关于两个图象的交点所在的中线对称，此时对称轴为直线y＝0（或x轴）；（3）当直线y＝﹣x+k过点A时，则有三个交点，把A（﹣1，0）代入y＝﹣x+k，得k＝﹣1；当直线y＝﹣x+k与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点（相切）时，则有三个交点，联立，则x2﹣2x﹣3＝﹣x+k，即x2﹣x﹣3﹣k＝0，Δ＝1﹣4×1×（﹣3﹣k）＝13+4k＝0，解得：k＝﹣，由图像可知，若直线y＝﹣x+k与两抛物线所剩部分有4个交点，k的取值范围为﹣＜k＜﹣1．11．解：（1）由题意设抛物线y＝a（x+1）2+4，代入点C（0，3）得，a+4＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵点M（m，y1），N（m+2，y2）都在该抛物线上，∴y1﹣y2＝（﹣m2﹣2m+3）﹣[﹣（m+2）2﹣2（m+2）+3＝4m+8，当4m+8＞0，即m＞﹣2时，y1＞y2，当4m+8＝0，即m＝﹣2时，y1＝y2，当4m+8＜0，即m＜﹣2时，y1＜y2．（3）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，∴当x＝2与x＝﹣4时的函数值相等，∵a＜0，∴抛物线的开口方向向下，∵当t﹣1≤x1≤t+2，x2≥2时均满足y1≥y2，∴，解得：﹣3≤t≤0．12．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，∴C（0，3），B（3，0），设点A（m，0），∴抛物线对称轴为x＝（3+m），∴点D（+，﹣m+），∵S△ABD＝4，∴（3﹣m）（﹣m+）＝4，解得：m＝﹣1或m＝7（舍去），∴点A（﹣1，0），将A，B，C三点坐标代入解析式得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作PE∥OC交BC于E，PF⊥BC于F，∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PE∥OC，∴∠PEF＝∠OBC＝45°，∴PF＝PE×sin45°＝PE，∴点P到直线BC的距离的最大只需PE最大，设P（x，﹣x2+2x+3），则点E（x，﹣x+3），∴PE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当x＝时，PE最大值为，∴PF最大＝PE最大＝×＝，∴点P到直线BC的距离的最大值为．13．解：（1）设直线OD解析式为y＝kx，将（2，2）代入y＝kx得2＝2k，解得k＝1，∴y＝x，设点A坐标为（m，m），则抛物线解析式为y＝（x﹣m）2+m，将x＝0代入y＝（x﹣m）2+m得y＝m2+m＝（m+1）2﹣，∴点B纵坐标最小值为﹣，此时m＝﹣1，∴点A坐标为（﹣1，﹣1）．（2）由（1）得y＝﹣（x+1）2﹣1，将y＝0代入y＝﹣（x+1）2﹣1得0＝﹣（x+1）2﹣1，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，∴EF＝﹣1+﹣（﹣1﹣）＝2．14．解：（1）由题意得，，解得．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）设过A、C两点直线的解析式为y＝kx+n，由题意得，，解得．∴直线AC的解析式为y＝x﹣3．∵点P在第四象限的抛物线上，∴设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3）且0＜x＜3．∵PE⊥x轴交直线AC于点D，∴可设点D的坐标为（x，x﹣3），∴PD＝|x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）|，∵点D在点P的上方，∴PD＝﹣x2+3x（0＜x＜3），即线段PD的长为﹣x2+3x（0＜x＜3）．∵线段PD的长为﹣x2+3x，∴﹣x2+3x是开口向下的抛物线，∴PD有最大值，∴当x＝﹣＝时，PD最大值＝．∴此时点P的纵坐标为y＝﹣2×﹣3＝﹣．∴此时点P的坐标为（，﹣）．15．解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．∴b+c＝2h2﹣4h﹣2＝2（h﹣1）2﹣4．把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．（3）由题意得，y＝y1﹣y2＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）＝（x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．∵函数y的图象经过点（x0，0），∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．16．解：（1）将（﹣2，0）、（4，0），（0，2）代入y＝ax2+bx+c中得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．设直线AC的解析式为y＝kx+n，将（0，2），（4，0）代入y＝kx+n得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2．（2）如图，作ME⊥x轴，交AC于点N，设M点坐标为（m，﹣m2+m+2），则N点坐标为（m，﹣m+2）．∴MN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m，∴S四边形ABCM＝S△ABC+S△ACM＝×6×2+4（﹣m2+m）＝﹣（m﹣2）2+8．∴当m＝2时，S四边形ABCM有最大值为8，此时M点坐标为（2，2）．17．解：（1）∵抛物线L1的顶点为（1，），∴设抛物线L1的解析式为y＝a（x﹣1）2+，将（0，3）代入解析式可得：a（0﹣1）2+＝3，解得：a＝﹣，∴抛物线L1的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+；（2）存在．∵L1的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+，且L1、L2关于x轴对称，∴L2的解析式为y＝（x﹣1）2﹣，∵E在x轴上方的抛物线L1上，故可设E（m，﹣（m﹣1）2+），∵EF∥x轴，点E在点F的左侧，且对称轴为x＝1，∴F（2﹣m，﹣（m﹣1）2+），即EF＝2﹣2m，∵四边形EFMN是矩形，∴可设N（m，（m﹣1）2﹣），故EN＝﹣（m﹣1）2+﹣（m﹣1）2+＝﹣（m﹣1）2+，∵矩形长与宽的长度之比为3：1，当EF为长时：＝，整理得：3m2﹣10m﹣32＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝，当m＝时，EF＝2﹣2m＝﹣，不符合实际意义，舍去，∴m＝﹣2，此时F（4，1）；当EF为宽时，＝，整理得：m2﹣14m＝0，解得：m1＝0，m2＝14，当m＝14时，EF＝2﹣2m＝﹣26，不符合实际意义，舍去，∴m＝0，此时F（2，3）．综上所述：F（2，3）或（4，1）．18．解：（1）∵A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，点B的坐标为：（1，0）；∵点B（1，0）在抛物线y＝ax2+bx+c上，∴a+b+c＝0，∵函数的对称轴为：x＝﹣1＝﹣∴b＝2a，将b＝2a代入a﹣b+c＝0得：c＝﹣3a，故抛物线的表达式为：y＝ax2+2ax﹣3a，∴C（0，﹣3a），∵a＞0，∴OC＝3a，∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3a＝6a；（2）∵S△ABC＝6a＝6，∴a＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；（3）①当m﹣1≥﹣1时，即m≥0，函数在x＝m﹣1时，取得最小值，即：（m﹣1）2+2（m+1）﹣3＝﹣2，解得：m＝±（舍去负值），故m＝；②当m﹣1＜﹣1，即m＜0时，函数在顶点处取得最小值，而顶点纵坐标为﹣4≠﹣2，故不存在m值；综上，m＝．19．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣mx+2m﹣3经过点A（2，﹣4），∴4a﹣2m+2m﹣3＝﹣4，解得：a＝﹣；（2）由（1）知a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣mx+2m﹣3，∵抛物线与y轴的公共点为（0，﹣1），∴2m﹣3＝﹣1，解得m＝1，∴y＝﹣x2﹣x﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×（﹣）×（﹣1）＝1﹣1＝0，∴抛物线与x轴是有一个公共点，令y＝0，则﹣x2﹣x﹣1＝0，解得：x1＝x2＝﹣2，∴公共点的坐标为（﹣2，0）；（3）由（1）知，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣mx+2m﹣3，∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣2m，①当﹣2m＜2，即m＞﹣1时，∵a＜0，抛物线开口向下，∴当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，∴当x＝2时，M＝y max＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，当x＝4时，N＝y min＝﹣×16﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，∵＝，∴＝，解得：m＝﹣，不符合题意；②当2≤﹣2m≤4即﹣2≤m≤﹣1时，若直线x＝2与直线x＝﹣2m接近时，则当x＝﹣2m时y取得最大值，即M＝﹣×（﹣2m）2﹣m×（﹣2m）+2m﹣3＝m2+2m ﹣3，当x＝4时，y取得最小值，即N＝﹣×42﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，∵＝，∴＝，解得：m1＝﹣，m2＝﹣（不合题意，舍去）；若直线x＝4与直线x＝﹣2m接近时，则当x＝﹣2m时y取得最大值，即M＝﹣×（﹣2m）2﹣m×（﹣2m）+2m﹣3＝m2+2m ﹣3，当x＝2时，y取得最小值，即N＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，∵＝，∴＝，解得：m1＝，m2＝（不符合题意，舍去）；③当﹣2m＞4即m＜﹣2时，∵a＜0，抛物线开口向下，∴当2≤x≤4时，y随x的增大而增大，∴当x＝2时，N＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，当x＝4时，M＝﹣×16﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，∵＝，∴＝，解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），综上所述，m的值为﹣或．20．解：（1）∵二次函数的图象经过点P（2，﹣1），∴（2﹣a）（2﹣a+2）＝﹣1，解得：a＝3，∴y＝（x﹣3）（x﹣3+2）＝x2﹣4x+3，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）由二次函数的交点式得二次函数与x轴交点横坐标x1＝a，x2＝a﹣2，∴二次函数的对称轴为直线x＝＝a﹣1，把x＝a﹣1代入解析式得顶点纵坐标为﹣1，∴将二次函数图象向上平移k个单位可得顶点纵坐标为k﹣1，∵图象与轴无交点，∴k﹣1＞0，∴k＞1；（3）∵二次函数的对称轴为直线x＝＝a﹣1，不妨设m＜n，∵|m﹣n|＝d，∴m＝a﹣1﹣，n＝a﹣1+，把x＝a﹣1﹣，y＝t代入函数解析式，得t＝d2﹣1，∵d≥2，∴t的最小值为0．。
中考压轴题专项训练1——抛物线专题(带答案解析)
中考压轴题专项训练1——抛物线专题考点分析：命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决复杂的图形综合问题。
二次函数常考点汇总：1. 两点间的距离公式：22)()(AB B A B A x x y y -+-=2. 中点坐标公式：已知A ),(A A y x ，B ),(B B y x ，则线段AB 的中点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,2B A B A y y x x 。
3. 在平面直角坐标系中求面积的方法：公式法、割补法（做铅垂高或水平宽） 4. 几何分析法：特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。
例题精讲：1.如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．3.已知，在平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为（0，2），点P （m ，n ）是抛物线2114y x =+上的一个动点．（1）①如图1，过动点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ，连接PA ，求证：PA=PB ； ②如图2，设C 的坐标为（2，5），连接PC ，AP+PC 是否存在最小值？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（2）如图3，过动点P 和原点O 作直线交抛物线于另一点D ，若AP=2AD ，求直线OP 的解析式．4.【变式】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21124y x =+的顶点为M ，直线2y x =，点()0P n ，为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线21124y x =+和直线2y x =于点A ，点B.（1）直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）；⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系；(3) 已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤2124x +，求a ，b ，c 的值.5．如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接P A 、PC ，P A =PC ． （1）∠ABC 的度数为 °；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．6.（本题满分10分）如图，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，C OB =O ．点D 在函数图像上，CD//x 轴，且CD 2=，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b 、c 的值；（2）如图①，连接BE ，线段C O 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标； （3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与C B 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得Q ∆P N 与∆APM 的面积相等，且线段Q N 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．7．（8分）如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．答案解析1.【解答】解：（1）∵y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0＝﹣2+c，解得c＝2，∴B（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝2.5，∴M（2.5，0）；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝3（三点重合，舍去）或m＝；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝3（舍去）或m＝﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝3（舍去）或m＝﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．2．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1由图象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵s△ABC＝6∴解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）（2）设直线AC：y＝kx+b，由A（﹣3，0），C（0，3），可得﹣3k+b＝0，且b＝3∴k＝1即直线AC：y＝x+3，A、C的中点D坐标为（﹣，）∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x，线段AB的垂直平分线为x＝﹣1代入y＝﹣x，解得：y＝1∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）（3）作PM⊥x轴，则＝∵∴A、Q到PB的距离相等，∴AQ∥PB设直线PB解析式为：y＝x+b∵直线经过点B（1，0）所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1联立解得：∴点P坐标为（﹣4，﹣5）又∵∠P AQ＝∠AQB可得：△PBQ≌△ABP（AAS）∴PQ＝AB＝4设Q（m，m+3）由PQ＝4得：解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠P AQ≠∠AQB，故应舍去）∴Q坐标为（﹣4，﹣1）3.【解答】解：（1）①设P（m，n）∴n=m2+1，∵PB⊥x 轴，∴PB=m2+1，∵A（0，2）∴AP==m2+1，∴PB=PA；②过点P作PB⊥x轴于B，由（1）得PA=PB，所以要使AP+CP最小，只需当BP+CP最小，因此当C，P，B共线时取得，此时点P的横坐标等于点C（2，5）的横坐标，所以点P的坐标为（2，2），（2）如图，作DE⊥x轴于E，作PF⊥x轴于F，由（1）得：DA=DE，PA=PF∵PA=2DA，∴PF=2DE，∵△ODE∽△OPF，∴==，设P（m，m2+1），则D（m，m2+）∵点D在抛物线y=x2+1上，∴m2+=（m）2+1，解得m=±2，∴P 1（，3），直线OP 的解析式为y=x ， P 2（﹣，3）直线OP 的解析式为y=﹣x ， 综上所求，所求直线OP 的解析式为y=x 或y=﹣x ．4.【解答】解：(1)21(2)4A n n +，，()B n n ，. (2) d =AB=A B y y -=2124n n -+.∴ d =2112()48n -+=2112()48n -+.∴ 当14n =时，d 取得最小值18. 当d 取最小值时，线段OB 与线段PM 的位置 关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB=PM. (如图)(3) ∵对一切实数x 恒有 x ≤y ≤2124x +， ∴对一切实数x ，x ≤2ax bx c ++≤2124x +都成立. (0a ≠) ①当0x =时，①式化为 0≤c ≤14.xy111APBMO∴整数c 的值为0.此时，对一切实数x ，x ≤2ax bx +≤2124x +都成立.(0a ≠) 即 222,12.4x ax bx ax bx x ⎧≤+⎪⎨+≤+⎪⎩ 对一切实数x 均成立. 由②得 ()21ax b x +-≥0 (0a ≠) 对一切实数x 均成立.∴()210,10.a b >⎧⎪⎨∆=-≤⎪⎩ 由⑤得整数b 的值为1.此时由③式得，2ax x +≤2124x +对一切实数x 均成立. (0a ≠) 即21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立. (0a ≠) 当a=2时，此不等式化为14x -+≥0，不满足对一切实数x 均成立.当a≠2时，∵ 21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立，(0a ≠)∴2220,1(1)4(2)0.4a a ->⎧⎪⎨∆=--⨯-⨯≤⎪⎩∴由④，⑥，⑦得 0 <a ≤1.∴整数a 的值为1.∴整数a ，b ，c 的值分别为1a =，1b =，0c =.5．【解答】解：（1）45．理由如下：令x =0，则y =-m ，C 点坐标为（0，-m ）．令y =0，则()210x m x m +--=，解得11x =-，2x m =． ∵0＜m ＜1，点A 在点B 的左侧，∴B 点坐标为（m ，0）．∴OB =OC =m ．∵∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∠OBC ＝45°． （2）如图①，作PD ⊥y 轴，垂足为D ，设l 与x 轴交于点E ，由题意得，抛物线的对称轴为12mx -+=． 设点P 坐标为（12m-+，n ）． ∵P A = PC ， ∴P A 2= PC 2，即AE 2+ PE 2=CD 2+ PD 2．∴()222211122m m n n m -+-⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得12m n -=．∴P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭． ④⑤② ③ ⑥ ⑦图①图②（3）存在点Q 满足题意．∵P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭， ∴P A 2+ PC 2=AE 2+ PE 2+CD 2+ PD 2=222221111112222m m m m m m -+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵AC 2=21m +，∴P A 2+ PC 2=AC 2．∴∠APC ＝90°． ∴△P AC 是等腰直角三角形．∵以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似， ∴△QBC 是等腰直角三角形．∴由题意知满足条件的点Q 的坐标为（-m ，0）或（0，m ）． ①如图①，当Q 点的坐标为（-m ，0）时，若PQ 与x 轴垂直，则12m m -+=-，解得13m =，PQ =13． 若PQ 与x 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PE EQ m m m m --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（25-，0）时， PQ 的长度最小．②如图②，当Q 点的坐标为（0，m ）时，若PQ 与y 轴垂直，则12m m -=，解得13m =，PQ =13． 若PQ 与y 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PD DQ m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（0，25）时， PQ 的长度最小．综上：当Q 点坐标为（25-，0）或（0，25）时，PQ 的长度最小．6. 【解答】解：（1）.3)(03,20.0,c -),,0(,.2,12.1x 2CD x //2-=∴=-=++=∴∴=-==-∴=∴=c c c c c c B c C OC OB b bl CD ，舍去或解得）点坐标为（：抛物线对称轴为直线，轴，（2）设点F 坐标为（0，m ）.∵对称轴是直线,1:=x l ∴点F 关于直线l 的对称点’F 的坐标为（2，m ）. ∵直线BE 经过点B （3,0），E （1，-4），∴利用待定系数法可得直线BE 的表达式为y=2x-6. ∵点’F 在BE 上，∴m=2⨯2-6=-2,即点F 的坐标为（0，-2）. （3）存在点Q 满足题意。
2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合压轴题训练(线段周长问题)(含答案)
2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合压轴题训练（线段周长问题）1．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()1,0A -、B 两点，顶点()1,4D ，过点A 的直线与抛物线相交于点C ，与抛物线对称轴DF 交于点E ，45CAB ∠=︒．(1)求该抛物线解析式；(2)在对称轴DF 上是否存在一点M ，使以点A 、E 、M 为顶点的三角形与CDE 相似，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P 是线段AC 上一动点，过点P 作直线PQ x ⊥轴交抛物线于点Q ，当线段PQ 的长度最大时，求P 点坐标与PQ 的最大值．2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线218y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点()0,1C ，且2OA OC =．(1)求这个抛物线的解析式；(2)如图2，点P 为线段BC 上方抛物线上一动点，过P 点作线段BC 的垂线交BC 于点R ，作x 轴的平行线交BC 于点Q ，当PQR 的周长最大时，请求出PQR 周长的最大值及点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将抛物线y 沿射线CA 1y ，M 为新抛物线1y 与原抛物线y 的交点，N 为原抛物线对称轴上一点，S 为平面上任意一点，是否存在点S 使得以点M ，N ，P ，S 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出满足条件的S 点的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线2y ax bx c =++经过()()()103003A B C -，、，、，三点，对称轴与抛物线相交于点P ，与直线BC 相交于点M ，连接AC PB ，．(1)求该抛物线的解析式；(2)设对称轴与x 轴交于点N ，在对称轴上是否存在点G ，使以O 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q ，使QMB 与PMB △的面积相等，若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)点E 是y 轴上的动点，连接ME ，求14ME CE +的最小值．4．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A B 、两点（A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)请直接写出点A C D ，，的坐标．(2)如图（1），在x 轴上找一点E ，使得CDE 的周长最小，求点E 的坐标；(3)如图（2），点P 为抛物线对称轴上的动点，使得ACP △为以ACP ∠为底角的等腰三角形?若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．5．抛物线214y x bx c =-++过点()4,0A ，()0,2B ．(1)求直线AB 的解析式和抛物线的解析式；(2)如图1，点D 为线段AB 上一点（不与点A ，点B 重合），过点D 作DE x ⊥轴于E ，交抛物线于点F ，若23DE DE =，求点D 坐标； (3)如图2，点P 在抛物线上，PBA BAO ∠=∠，求点P 的坐标．6．如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)求直线AD 的解析式；(2)如图，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG AD ⊥于点G ，求线段FG 的最大值；(3)点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，以A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是以AM 为边的矩形，求点Q 的坐标．7．如图1，在平面直角坐标系中，以直线1x =为对称轴的抛物线2y x bx c =-++与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中点B 的坐标是()3,0．(1)点A 的坐标为______； (2)求抛物线的解析式；(3)如图2，设抛物线的顶点为D ，若将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过原点O ，且与x 轴的另一个交点为E ，若在y 轴上存在一点F ，连接DE ，DF ，EF ，使得DEF 的周长最小，求F 点的坐标．8．如图1，直线=1y x --交x 轴于点A ，经过点A 的抛物线21y x bx c =-++交直线=1y x --于另一点()4,5B -，交x 轴于点C ．(1)直接写出抛物线的解析式及点C 的坐标；(2)如图2，点P 为抛物线对称轴上的一点，且PA PB =，求点P 的纵坐标m 的值； (3)将线段AC 先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN ，若抛物线()()220y a x bx c a =-++≠与线段MN 只有一个交点，请直接写出a 的取值范围．9．如图（1），抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，顶点为()1,4．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 是抛物线上一点，过点E 作x 轴的平行线与该二次函数的图象相交于点M ，再过点M 作x 轴的垂线交直线BC 于另一点N ，当12MN ME =时，直接写出点E 的横坐标；(3)如图（2），直线1y kx =-交抛物线于M ，N 两点，直线MT y ∥轴，直线NC 与MT 交于点T ，求TA 的最小值．10．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于()30A -,，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接,AC BC ，点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．(1)求此抛物线的表达式；(2)过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长； (3)当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？11．如图，在平面直角坐标系中，ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，其中点A ，C 的坐标分别为()1,0，()5,0-，抛物线的顶点为点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 是直角ABC 斜边AB 上的一个动点（不与A ，B 重合），过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，当线段FE 的长度最大时，求点E 的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P ，使PEF 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，直线2y x =+与抛物线()260y ax bx a =++≠相交于15,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()4,B m ，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC x ⊥轴于点D ，交抛物线于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如果设点P 的坐标为(),2n n +，则点C 的坐标可表示为__________；(3)在（2）的条件下，请用含有n 的式子表示PC 的长，并确定PC 长度的最大值．13．如图，抛物线2()40y ax x c a =-+≠与x 轴交于点A 和点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ．(1)求抛物线的解析式．(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得PAC △的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若M 是抛物线上的动点，且在x 轴的下方，过点M 作MN y ∥轴交直线BC 于点N ，求线段MN 的最大值．14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2(y ax bx c a =++、b 、c 为常数且0)a ≠经过原点O 和(4,4)B ，且对称轴为直线32x =(1)求抛物线的函数表达式；(2)在抛物线上是否存在点M ，使MOB △中OB 边上的高为求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，设抛物线与x 轴的另一交点为A ，点N 在抛物线上，满足NBO ABO ∠=∠，若D 是直线OB 下方的抛物线上且到OB 的距离最大的点，试求出所有满足POD NOB ∽△△的点P 的坐标（点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应）．15．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ，(1)求抛物线的解析式；(2)设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点．①当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式；①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △．在①的条件下，记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值．16．已知抛物线26y ax bx =++（a 为常数，0a ≠）交x 轴于点()6,0A 和点()1,0B -，交y 轴于点C ．(1)求点C 的坐标和抛物线的解析式；(2)P 是抛物线上位于直线AC 上方的动点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，当PD 取得最大值时，求点P 的坐标；(3)M 是抛物线的对称轴l 上一点，N 为抛物线上一点．当直线AC 垂直平分AMN 的边MN 时，求点M 的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为()1,0-，且5OA OC OB ==，抛物线()20y ax bx c a =++≠图象经过A ，B ，C 三点．(1)求A ，C 两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD AC ⊥于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．18．如图，抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ，若PE DE =，求点P 的坐标；(3)点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ，若CPB △面积最大时，求点P 的坐标．参考答案：1．(1)()214y x =--+或223y x x =-++(2)存在，()1,2M -或()1,0 (3)13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，94PQ =2．(1)211184y x x =-++(2)PQR 2，点P 的坐标为()2,1(3)存在；()3,4-或()3,4--或(5,1+或(5,1-或91,2⎛⎫- ⎪⎝⎭3．(1)223y x x =-++(2)()13，或()13-，或113⎛⎫ ⎪⎝⎭，或113⎛⎫- ⎪⎝⎭，；(3)()23，或⎝⎭或⎝⎭；4．(1)300314A C D --（，），（，），（，）； (2)当CDE 的周长最小，点E 的坐标为 307⎛⎫- ⎪⎝⎭，；(3)P 的坐标为：(P -或(1,-或(1,1)-5．(1)122y x =-+；211242y x x =-++ (2)13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)（2，2）或2270,39⎛⎫- ⎪⎝⎭6．(1)直线AD 的解析式为1y x =+；(2)FG(3)72,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭或12,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭．7．(1)()1,0-(2)223y x x =-++ (3)80,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．(1)2123y x x =-++，()3,0C(2)3m =- (3)54a =或1a ≤-或53a >9．(1)223y x x =-++(2)()12E 或()1210．(1)抛物线的表达式为211433y x x =-++(2)()204PN m =<<(3)当2m =时，PN 有最大值，PN =最大11．(1)234y x x =--+(2)()2,3--(3)存在，：3⎫-⎪⎪⎝⎭或3⎫-⎪⎪⎝⎭或()1,6-12．(1)2286y x x =-+(2)()2286n n n -+，(3)2294n n PC =-+-，49813．(1)243y x x =-+(2)存在，(2,1)P (3)9414．(1)23y x x =-(2)存在，满足条件的点M 坐标为(2,2)-或(2++或(2--(3)点P 的坐标为453,328⎛⎫ ⎪⎝⎭或345,832⎛⎫-- ⎪⎝⎭15．(1)21119424y x x =-++ (2)①4y x =-+；①当02m <≤时，218PQR S m =；当823m <≤时，27448S m m =-+-；当843m ≤≤时，21244S m m =-+；S 的最大值为：4716．(1)抛物线的解析式为256y x x =-++，点()0,6C ；(2)()3,12P(3)点M 的坐标为52⎛ ⎝⎭或52⎛ ⎝⎭． 17．(1)()()5,0,0,5A C -(2)245y x x =--(3)535,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，PD18．(1)213222y x x =-- (2)P （1，－3）(3)(2,3)P -。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题1．在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点且经过点C ，已知A 点坐标为()1,0-．C 点坐标为()4,5．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为第四象限内抛物线上一个动点，连接AC 、AP ，PC ，过点B 作BG AC ∥交PC 于点G ，连接AG ．请求出APG 面积的最大值以及此时点P 的坐标；(3)如图2，将抛物线2y x bx c =++沿射线AC y '，记y 与y '的交点为M ，点D 是直线AC 与y 轴的交点，点N 为直线AC 上一点，点K 为平面内一点，若以D 、M 、K 、N 为顶点的四边形是菱形且DM 为菱形的边，请直接写出点K 的坐标并选择其中一个坐标写出求解过程．2．如图1，抛物线223y x x =-++与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ．点P 是抛物线上一点，且在直线BC 的上方．(1)直接写出点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； (2)当点P 的坐标为()1,4时，求四边形BOCP 的面积；(3)如图2，AP 交BC 于点D ．PE AC ∥交BC 于点E ，记,,DEP CPD CDA 的面积分别为123,,S S S ，判断1223S S S S +是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．(4)如图3，点C 在线段MN 上，满足90MAN ∠=︒，2CN CM =，直线1l 过点M ，直线2l 过点N ，且12l AC l ∥∥，求直线1l 与2l 之间的最大距离．3．如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ．抛物线的对称轴为直线1x=-，点C 坐标为()04，．(1)求抛物线表达式；(2)在抛物线上是否存在点P ，使ABP BCO ∠=∠，如果存在，求出点P 坐标；如果不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，若点P 在x 轴上方，点M 是直线BP 上方抛物线上的一个动点，求点M 到直线BP 的最大距离．4．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x x =-++与x 轴分别交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)如图2，点P 是该抛物线上一个动点，并沿抛物线从点B 运动至点A ，连接PO 、PB ，并以PO 、PB 为边作POQB ．①当POQB 的面积为9时，求点P 的坐标；①在整个运动过程中，求点Q 与线段BC 的最大距离．5．如图，已知抛物线2=++30y ax bx a ≠（）经过点10A （），和点30B （），，与y 轴相交于点C ．(1)求此抛物线的解析式．(2)若点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D ，设点P 的横坐标为m ． ①用含有m 的代数式表示线段PD 的长；①连接PB ，PC ，求PBC 的面积最大时点P 的坐标．6．如图，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点()0,2C -，(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在第四象限的抛物线上，设ABC 的面积为1S ，PBC 的面积为2S ，当2S =451S 时，求点P 的坐标；(3)点M 在抛物线上，当2MAB ACO ∠∠=时，求点M 的横坐标．7．如图，已知抛物线2y ax c =+交x 轴于点()10A -，和点B ，交y 轴于点()01C -，．(1)求此抛物线的解析式．(2)过点A 作AP CB ∥交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．(3)在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG x ⊥轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与ACP △相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．8．如图1，直线25y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，抛物线2L y x bx c =-++:(1)①点A 的坐标为__________，点B 的坐标为__________；①求L 的解析式； (2)当点P 到AB 距离最大时，求出点P 的坐标；(3)尺规作图：在图2中作出经过C 、D 两点且圆心在抛物线对称轴上的圆，并结合图像直接写出该圆与抛物线的交点P 的坐标．9．在平面直角坐标系中，抛物线(1)(3)y a x x =+-(0)a ≠与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点(0,3)C ，点D 为抛物线的顶点，点P 是抛物线的对称轴上一点．(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)如图①连接PB ，PD ，求PB 的最小值； (3)如图①，连接CP ，PB ，BC ，若135CPB ∠=︒，求点P 的坐标．的左边），与y 轴交于点C ．点P ，Q 为抛物线上两动点．(1)若点P 坐标为(1,3)，求抛物线的表达式；(2)如图①，连接BC ，在（1）的条件下，是否存在点Q ，使得BCQ ABC ∠=∠．若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)若点P 为抛物线顶点，连接OP ，当a 的值从3-变化到1-的过程中，求线段OP 扫过的面积．11．如图，已知二次函数2y ax 2x c =++的图象经过点()0,3C ，与x 轴分别交于点()1,0A -和点B ，点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点．(1)求二次函数的表达式； (2)求BC 所在直线的函数解析式；(3)过点P 作PM y ∥轴交直线BC 于点M ，求线段PM 长度的最大值．12．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于点A （1，0），点B （﹣3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 在第二象限的抛物线上，连接PC 、PO ，线段PO 交线段BC 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)设：PCE 的面积为1S ，OCP △的面积为2S ，当1225S S =时，求点P 的坐标； (3)设：点C 关于抛物线对称轴的对称点为点N ，连接BN ，点H 在x 轴上，当HCB NBC ∠=∠时，①直接写出所有满足条件的所有点H 的坐标；①当点H 在线段AB 上时，点Q 是线段BH 外一点，1QH =，连接AQ ，将线段AQ 绕着点Q 逆时针旋转90︒得到线段QM ，连接MH ，直接写出线段MH 的取值范围．13．如图，直线1112y x =+与抛物线221482y x x =-+交于B 、C 两点（B 在C 的左侧）(1)求B 、C 两点的坐标；(2)直接写出12y y <时，x 的取值范围； (3)抛物线的顶点为A ，求ABC 的面积．14．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于()1,0A -，()2,0B ，交y 轴于()0,2C -．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 在该二次函数图象的对称轴上，且使PB PC -最大，求点P 的坐标； (3)若点M 为该二次函数图象在第四象限内一个动点，当点M 运动到何处时，四边形ACMB 的面积最大？求出此时点M 的坐标及四边形ACMB 面积的最大值．15．如图，直线1112y x =+与抛物线221482y x x =-+交于B 、C 两点（B 在C 的左侧）．(1)求B 、C 两点的坐标；(2)直接写出12y y <时，x 的取值范围； (3)抛物线的顶点为A ，求ABC 的面积．16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于()1,0A -，(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P ，使POC △是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P 运动到什么位置时，PBC 面积最大，求出此时P 点坐标和PBC 的最大面积．17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++的顶点为()2,8D ，与x 轴交于两点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，连接AD BC ，，点P 是线段BC 上方抛物线上的一个动点，过点P 作PQ AD ∥交CB 于点Q ，求PQ 的最大值及此时点P 的坐标；(3)将该抛物线关于直线1x =对称得到新抛物线1y ，点E 是原抛物线y 和新抛物线1y 的交点，F 是原抛物线对称轴上一点，G 为新抛物线上一点，若以E 、F 、A 、G 为顶点的四边形是是平行四边形，请直接写出点F 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =++与x 轴相交于()()4010A C -，，，两点，于y 轴相交于点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为线段AB 的中点，连接OP ，求三角形PAO 的面积；(3)在（2）的条件下，点M 是抛物线第二象限上一点，若2APM ABO ∠∠=，求点M 的横坐标．参考答案：1．(1)2=23y x x --(2)当32t =时，APG 面积的最大，最大值为458；点P 的坐标为31524⎛⎫ ⎪⎝⎭,-(3)(23-或(23-．2．(1)()1,0-；()3,0 (2)152(3)存在，983．(1)2142y x x =--+ (2)532P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或752P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(3)MN4．(1)(3,0)B ；(0,3)C(2)点P 的坐标为(0,3)或(2,3)；点Q 与线段BC ．5．(1)2=4+3y x x -(2)①2+3m m -；①3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，6．(1)213222y x x =-- (2)P 的坐标为()2,3-(3)点M 的横坐标为203或437．(1)21y x =-(2)4(3)存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似，M 点的坐标为()23-，，4739⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()415，8．(1)①5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,5；①23522y x x =-++ (2)733416P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (3)39,44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．(1)223y x x =-++，(1,4)D(2)(3)P 或(1,3P10．(1)233322y x x =-++； (2)存在；()1,3Q ；339(,)525Q -； (3)3411．(1)223y x x =-++(2)3y x =-+ (3)9412．(1)223y x x =--+；(2)()1,4-或()2,3-；(3)①()1,0-或()9,0-；①22MH ≤≤13．(1)()2,2B ，97,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)2x <或7x > (3)15214．(1)2y x x 2=-- (2)1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)1,2，415．(1)(2,2)B ，9(7,)2C ； (2)7x >或2x <； (3)152．16．(1)234y x x =--(2)2-） (3)当P 点坐标为()26-，时，PBC 的最大面积为817．(1)21262y x x =-++(2)PQ =153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (3)()2,4或()2,15或()2,12-．18．(1)213222y x x =--+ (2)2(3)7-。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题附答案附答案
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题附答案1．如图，已知抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）与x 轴交于()1,0A ，()3,0B -两点，顶点为C ，点P 为线段AB 上的动点（不与A 、B 重合），过P 作PQ BC ∥交抛物线于点Q ，交AC 于点D ．(1)求该抛物线的表达式；(2)求CPD △面积的最大值；(3)连接CQ ，当CQ PQ ⊥时，求点Q 的坐标；(4)点P 在运动过程中，是否存在以A 、O 、D 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由2．在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为()5,0-．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知：如图，抛物线()2430y mx mx m =++>交x 轴于E 、F 两点，交y 轴于A 点，直线AE ：y x b =+交x 轴于E 点，交y 轴于A 点．(1)求抛物线的解析式；(2)若Q 为抛物线上一点，连接,QE QA ，设点Q 的横坐标为()3t t <-，QAE 的面积为S ，求S 与t 函数关系式；（不要求写出自变量t 的取值范围）(3)在（2）的条件下，点M 在线段QA 上，点N 是位于Q 、E 两点之间的抛物线上一点，15S =，QMN AEM ∠=∠，且MN EM =，求点N 的坐标．4．如图，抛物线22y ax ax c =++经过()()1003B C ，，，两点，与x 轴交于另一点A ，点D 是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)如图1，连接AC ，点E 在直线AC 上方的抛物线上，连接EA EC ，，当EAC 面积最大时，求点E 坐标；(3)如图2，连接AC BC 、，在抛物线上是否存在点M ，使ACM BCO ∠=∠，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．5．抛物线21164y ax x =+-与x 轴交于(,0),(8,0)A t B 两点，与y 轴交于点C ，直线6y kx =-经过点B ．点P 在抛物线上，设点P 的横坐标为m ．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若APC △是以CP 为斜边的直角三角形，求点P 的坐标；(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作PQ BC ⊥，垂足为Q ，求12CQ PQ +的最大值．6．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于点A 、B （A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴为直线l ，点P 是抛物线上位于点B 、C 之间的动点．(1)求ABC ∠的度数；(2)若PBC ACO ∠=∠，求点P 的坐标；(3)已知点(),P p n ，若点(),Q q n 在抛物线上，且p q >；①仅用无刻度的直尺在图2中画出点Q ；②若2PQ t =，求232022p tq t +-+的值．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过()0,1A ，()4,1B -．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 上方且在对称轴右侧的一个动点，过P 作PD AB ⊥，垂足为D ，E 为点P 关于抛物线的对称轴的对应点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)PE +的最大值时，求此时点P PE +的最大值；(3)将抛物线y 关于直线3x =作对称后得新抛物线y '，新抛物线与原抛物线相交于点F ，M 是新抛物线对称轴上一点，N 是平面中任意一点，是否存在点N ，使得以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．8．如图所示，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+交坐标轴于B 、C 两点，抛物线23y ax bx =++经过B 、C 两点，且交x 轴于另一点()1,0A -．点D 为抛物线在第一象限内的一点，过点D 作DQ CO ∥，DQ 交BC 于点P ，交x 轴于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 的横坐标为m ，在点D 的移动过程中，存在DCP DPC ∠=∠，求出m 值；(3)在抛物线上取点E ，在平面直角坐标系内取点F ，问是否存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形？如果存在，请求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()1,4-．(1)求出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P 在抛物线上且满足PCB CBD ∠=∠，求点P 的坐标；(3)如图2，M 是线段CB 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 的坐标．10．二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()10A -，和点()30B -，，交y 轴于点()03C -，．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，点E 为抛物线的顶点，点()0T t ，为y 轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T 旋转180︒，得到新的抛物线，其中B ，E 旋转后的对应点分别记为B E ''，，当四边形BEB E ''的面积为12时，求t 的值；(3)如图2，过点C 作CD x ∥轴，交抛物线于另一点D ．点M 是直线CD 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ．是否存在点M 使PBC 为直角三角形，若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线2y ax 2x c =++交x 轴于点()10A -，和点()30B ，，交y 轴于点C ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)求该抛物线的表达式，并求出点D 的坐标；(2)若点E 为该抛物线上的点，点F 为直线AD 上的点，若EF x ∥轴，且1EF =（点E 在点F 左侧），求点E 的坐标；(3)若点P 是该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P ，使得APD △为直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P 坐标．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过B 、C 两点，与x 轴的另一个交点为A ．(1)如图1，求b 、c 的值；(2)如图2，点P 是第一象限抛物线2y x bx c =-++上一点，直线AP 交y 轴于点D ，设点P 的横坐标为t ，ADC △的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，E 是直线BC 上一点，45EPD ∠=︒，ADC △的面积S 为54，求E 点坐标．13．抛物线24y ax =-经过A 、B 两点，且OA OB =，直线EC 过点()41E -，，()03C -，，点D 是线段OA （不含端点）上的动点，过D 作PD x ⊥轴交抛物线于点P ，连接PC 、PE ．(1)求抛物线与直线CE 的解析式；(2)求证：PC PD +为定值；(3)在第四象限内是否存在一点Q ，使得以C 、P 、E 、Q 为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A 、()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及点D 的坐标；(2)若四边形BCEF 为矩形，3CE =．点M 以每秒1个单位的速度从点C 沿CE 向点E 运动，同时点N 以每秒2个单位的速度从点E 沿EF 向点F 运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M 、E 、N 为顶点的三角形与BOC 相似时，求运动时间t 的值；(3)抛物线的对称轴与x 轴交于点P ，点G 是点P 关于点D 的对称点，点Q 是x 轴下方抛物线上的动点．若过点Q 的直线l ：94y kx m k ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA 、GB 相交于点H 、K ，求证：GH GK +为定值．15．在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx =+经过(40)(13)A B ，，，两点．P 是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的表达式；(2)若OAB 面积是PAB 面积的2倍，求点P 的坐标；(3)如图，OP 交AB 于点C ，PD BO ∥交AB 于点D ．记CPB △，BCO 的面积分别为12S S ，，判断12S S 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线212y x bx c =-++（b 、c 是常数）的顶点B 坐标为()1,2-，抛物线的对称轴为直线l ，点A 为抛物线与x 轴的右交点，作直线AB ．点P 是抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点Q ，过点P 作PN l ⊥于点N ，以PQ PN 、为边作矩形PQMN ．(1)b =___________，c =___________．(2)当点Q 在线段AB 上（点Q 不与A 、B 重合）时，求PQ 的长度d 与m 的函数关系式，并直接写出d 的最大值．(3)当抛物线被矩形PQMN 截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P 的坐标．(4)矩形PQMN 的任意两个顶点到直线AB 的距离相等时，直接写出m 的值．17．如图1．在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()2,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点()0,2C ．(2)点P 是第一象限内的抛物线上一点．过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交直线BC 于点Q ，求PQ 的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)如图2．将地物线沿射线BC()2111110y a x b x c a =++≠，新抛物线与原抛物线交于点G ，点M 是x 轴上一点，点N 是新抛物线上一点，若以点C 、G 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N 的坐标．18．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()0,6C ，顶点为D ，且()1,8D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC 上存在一点M ，过点O 作OH OM ⊥交BC 的延长线于H ，且MO HO =，求点M 的坐标；(3)点P 是y 轴上一动点，点Q 是在对称轴上一动点，是否存在点P ，Q ，使得以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)223y x x =+-(2)2(3)11524Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(4)1,05⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()0,0或1,05⎛⎫ ⎪⎝⎭2．(1)()0,5(2)点P 到直线AC 距离为8，此时535,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)点M 的坐标为()3,8-或()7,16--或()3,16-3．(1)243y x x =++(2)23922S t t =+(3)()2N -4．(1)223y x x =--+，()14D -，(2)E 的坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3)存在，()45M --，或5724⎛⎫- ⎪⎝⎭，5．(1)2111644y x x =-+-；364y x =-(2)710,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)169166．(1)45︒(2)(1,4)P(3)①见解析；②20237．(1)2712y x x =-++PE +的最大值为1，此时点P 的坐标为961,416⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在点N ，使以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，此时点N 的坐标为215,424N ⎛+ ⎝⎭或215,424⎛- ⎝⎭或13,544N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或13,544N ⎛- ⎝⎭或299,204N ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．(1)223y x x =-++(2)2m =(3)存在，此时点F 的坐标为()4,1或()5,2--9．(1)2=23y x x --(2)满足PCB CBD ∠=∠，点P 的坐标为(4,5)或(2,2)-(3)M 点的坐标为(1,2)-或(2,5)--或924,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．(1)243y x x =---(2)3t =-(3)存在，532⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或532⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或(23)--，或(53)--，11．(1)223y x x =-++，()23D ，(2)11024E ++⎝⎭，或1124E --+⎝⎭，(3)存在点P ，使得APD △为直角三角形，此时点P 的坐标为312⎛⎫+ ⎪⎝⎭，或312⎛ ⎝⎭，或()12-，或()14，12．(1)2b =，3c =(2)12S t =(3)3513,1616⎛⎫ ⎪⎝⎭13．(1)2144y x =-；132y x =-(2)见解析(3)存在，754Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．(1)2315344y x x =-+，527,216D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)当911t =或65t =时(3)见解析15．(1)24y x x=-+(2)(24)P ，或(3,3)(3)见解析16．(1)1-，32(2)21122d m =-+()11m -<<，d 最大值为12(3)()3,0-或1--(4)3-或0或317．(1)211242y x x =-++；(2)5PQ +最大值为94，此时点5(3,4P ；(3)(1-，14-或(1-，1)4-或(1-+1)4或(1--1)4．18．(1)2246y x x =-++(2)129,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(1,8或(1,8或271,4⎛⎫ ⎪⎝⎭。
2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合压轴题训练(含答案)
2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合压轴题训练1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++与x 轴交于()30A -,和点()10B ,，与y 轴交于点C ，点C 和点D 是抛物线上的一对对称点，连接AD BD ，．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 为直线BD 上方抛物线上一点，连接DP ，BP ，求四边形ABPD 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)将抛物线沿着射线DB 方向平移得新抛物线y '正好过点B ，点M 为新抛物线对称轴上一点，点N 为原抛物线上一点，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．2．已知：如图，抛物线2y x bx c =-++经过原点O ，它的对称轴为直线2x =，动点P 从抛物线的顶点A 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P 运动的时间为t 秒，连接OP 并延长交抛物线于点B ，连接OA ，AB ．(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)当三点A ，O ，B 构成以为OB 为斜边的直角三角形时，求t 的值；(3)将PAB 沿直线PB 折叠后，那么点A 的对称点1A 能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的t 的值；若不能，请说明理由．3．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知A 、B 两点的横坐标分别为4-，1．(1)求此抛物线的解析式；(2)直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线BD 上方抛物线上一动点，连接PB ，PD ，求PBD △面积的最大值；(3)在（2）的条件下，将抛物线2y x bx c =++沿射线BD 个单位，得到新的抛物线1y ，点E 为点P 的对应点，点F 为新抛物线1y 与y 轴的交点，点G 为1y 的对称轴上任意一点，在1y 上确定一点H ，使得以点E 、F 、G 、H 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点H 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．4．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与一直线相交于(1,0)A 、(2,3)C -两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．(1)求抛物线及直线AC 的函数关系式；(2)在对称轴上是否存在一点M ，使ANM 的周长最小．若存在，请求出M 点的坐标和ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．(3)若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求APC △的面积的最大值及此时点P 的坐标．5．如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()()31y a x x =+-与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且3OC =．点P 是抛物线上的一个动点，连接AP 和BP ．(1)求a 的值和ACO ∠的度数；(2)当点P 运动到抛物线顶点时，求AOC 与APB △的面积之比；(3)如图2，当点P 在抛物线上运动，且满足APB ACO ∠∠=时，求点P 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y ax c =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，连接AC ，直线4y x =-+经过B 、C 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为线段OB 上一点，连接CD ，过点C 作CD 的垂线与过点A 作x 轴的垂线交于点E ，设点D 的横坐标为t ，线段AE 的长度为d ，求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；(3)在（2）的条件下，点F 为AC 上一点，连接DF ，EF ，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90︒得到线段FM ，若抛物线经过点M ，90AFD BCD ∠-∠=︒，求点M 的坐标．7．如图，二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点(10)A -，，B 两点，与y 轴交于点C ，并且OC OB =，D 是抛物线的一个动点，DF x ⊥轴于点F ，交直线BC 于点E ．(1)求出二次函数解析式及BC 所在直线的表达式；(2)在点D 运动的过程中，试求使以O ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形的点D 的坐标；(3)连接CD ，在点D 运动的过程中，抛物线上是否存在点D ，使得以点D ，C ，E 为顶点的三角形与BEF △相似？如果存在，求出点D 的坐标，如果不存在，请说明理由．8．直线122y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =-++经过B ，C 两点，与x 轴交于另一点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，P 为第一象限内抛物线上一点，若点P 关于直线BC 的对称点在x 轴上，求点P 的坐标；(3)如图2，不经过点B 的直线y kx b =+与抛物线交于E ，F 两点（E 在F 的左侧），连接BF ，EM x ⊥轴于点M ，MQ BF ∥交直线EF 于点Q ，求点Q 的横坐标．9．已知，如图，抛物线2y x bx c =-++经过直线3y x =-+与坐标轴的两个交点A ，B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ．(1)求此抛物线的解析式；(2)设点Q 是线段AB 上的动点，作QM x ⊥轴交抛物线于点M ，求线段QM 长度的最大值；(3)在x 轴上是否存在点N 使ADN △为直角三角形？若存在，确定点N 的坐标；若不存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()30A -,、()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,4C ，连接AC 、BC ，D 为线段OB 上的一个动点，过点D 作DE x ⊥轴，交抛物线于点E ，交BC 于点F ．(1)求抛物线的解析式； (2)求线段EF 的最大值；(3)点D 在运动过程中，是否存在以A 、C 、F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -和()3,0B 两点，交y 轴于点E ．(1)求此抛物线的解析式．(2)求该抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)若直线1y x =+与抛物线交于A 、D 两点，连接AE ，求ADE 的面积．12．如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．直线22y x =+经过点A ，C ．(1)求出此抛物线的表达式及点B 的坐标； (2)已知点P 是第一象限内抛物线上一动点．①当点P 在何位置时，以点P ，B ，C 为顶点的三角形面积最大？最大面积是多少？ ①再取x 轴上一点H ，是否存在以点A ，C ，P ，H 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点P 和H 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax 2x c =++与x 轴交于10A -（，），30B （，）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式；(2)请在y 轴上找一点M ，使BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点P ，使以点A P C ，，为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，直线1112y x =+与抛物线221482y x x =-+交于B 、C 两点（B 在C 的左侧）．(1)求B 、C 两点的坐标；(2)直接写出12y y <时，x 的取值范围； (3)抛物线的顶点为A ，求ABC 的面积．15．如图1，抛物线()240y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()2,0A -和()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 是线段BC 下方抛物线上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于M ，交x 轴于N ，恰有线段2MN PM =，求此时点P 的坐标；(3)如图2，连接CP ，在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得CPQ 为直角三角形，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，()1,0B -两点，与y 轴交于点C ，直线AC 的解析式为223y x =-．(1)求抛物线的解析式；(2)已知k 为正数，当01x k <≤+时，y 的最大值和最小值分别为m ，n ，且163m n +=，求k 的值；(3)点P 是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q ，使得以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知二次函数234y x bx c =-++图象与y 轴交于点()0,3A ，与x 轴交于点B 、()4,0C （点B 在点C 的左侧）．点P 是该图象位于第一象限上的一动点．(1)求该二次函数的表达式；(2)过点P 作PH y ∥轴，交AC 于点H ，① 当点P 在何处时，HP 的值最大，最大值是多少？① 若PAH 中恰有一个角与ACB ∠相等，求此时点P 的横坐标．18．如图，直线2y x =-+过x 轴上的点()2,0A ，与y 轴交于D 点，与抛物线2y ax =交于B ，C 两点，点B 坐标为()1,1．(1)求抛物线的函数表达式；(2)连结,OC OB ，求出BOC 的面积．(3)当22x ax -+>时，请观察图象直接写出x 的取值范围．参考答案：1．(1)248433y x x =--+ (2)最大面积为252，这时点P 坐标为152⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)1285,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，161,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，()5,16--2．(1)24y x x =-+；(2,4)(2)1秒(3)能，(5-)秒或2(5+)秒3．(1)234y x x =--+(2)8 (3)17,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，113,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，913,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，见解析4．(1)223y x x =--+，1y x =-+(2)在对称轴上存在一点2()1,M -，ANM 周长的最小值为(3)最大值为278，此时点P P 的坐标为115(,)24-5．(1)1a =-，45ACO ∠=︒ (2)916(3)()131P --，()231P --6．(1)2144y x =-+ (2)4d t =-(3)(48M --+7．(1)234y x x =-++，4y x =-+(2)D 的坐标为(26)，或(22+--或(22--+；(3)存在，(26)，或(34)，．8．(1)213222y x x =-++ (2)528(,)39P (3)1-9．(1)223y x x =-++(2)3(3)()10，或()70-，10．(1)211433y x x =-++ (2)43(3)存在，满足条件的点D 的坐标为()1,0或⎫⎪⎪⎝⎭11．(1)2=23y x x --(2)顶点坐标为(1,4)-，对称轴为直线1x =(3)1012．(1)213222y x x =-++，()4,0B (2)①点P 的坐标为()2,3时，以点P ，B ，C 为顶点的三角形面积最大，最大面积是4；①存在，()3,2P ，()2,0H 或()4,0-13．(1)223y x x =-++(2)点M 的坐标为03（，）(3)存在，符合条件的点P 的坐标为：72039⎛⎫ ⎪⎝⎭，或101339⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．(1)(2,2)B ，9(7,)2C (2)7x >或2x < (3)15215．(1)2142y x x =-- (2)91,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)存在，Q 点坐标为130,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或90,2⎛⎫- ⎪⎝⎭16．(1)224233y x x =-- (2)4(3)存在，()1,3Q 或()1,3-或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭或(1,2-+或(1,2--17．(1)239344y x x =-++ (2)①当92,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，PH 最大值为3，①3或11918．(1)2y x(2)3(3)2<<1x -。
部编数学九年级上册专题11压轴大题精选一(函数类)(解析版)含答案
专题11 压轴大题精选一（函数类）1．抛物线C1：y＝x2﹣2ax+a的顶点A在某一条抛物线C2上，将抛物线C1向右平移b（b＞0）个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线C2上．（1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；（2）求a与b的关系式；（3）抛物线C2的顶点为F，其对称轴与x轴的交点为D，点E是抛物线C2上不同于顶点的任意一点，直线ED交抛物线C2于另一点M，直线EF交直线l：y=12于点N，求证：直线MN与x轴互相垂直．试题分析：（1）配方即可得顶点坐标；（2）由A（a，﹣a2+a）得抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+x，再由点B仍在抛物线C2上得﹣a2+a ＝﹣（a+b）2+（a+b）整理得b2+2ab﹣b＝0，求出a与b的关系即可；（3）先求出D（12，0），设E（m，﹣m2+m），求出直线DE的解析式，再将抛物线C2与直线DE联立，求出点M的横坐标为x=m−12m−1，再由直线EF与直线y=12的交点为N，求出点N横坐标为x=m−12m−1，即可证明直线MN与x轴互相垂直．答案详解：（1）解：∵y＝x2﹣2ax+a＝（x﹣a）2﹣a2+a，∴顶点A的坐标为（a，﹣a2+a）；（2）解：∵顶点A（a，﹣a2+a）在抛物线C2上，令x＝a，则抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+x，∵将抛物线C1向右平移b（b＞0）个单位，∴所得抛物线顶点B的坐标为（a+b，﹣a2+a），∵点B仍在抛物线C2上，∴﹣a2+a＝﹣（a+b）2+（a+b）整理得b2+2ab﹣b＝0，即b（b+2a﹣1）＝0，又∵b＞0，∴b +2a ﹣1＝0；（3）证明：∵抛物线C 2：y ＝﹣x 2+x ①的顶点式为y ＝﹣（x −12）2+14，∴顶点为F （12，14），∴抛物线C 2的对称轴与x 轴的交点D 的坐标为（12，0），又∵点E 是抛物线C 2上不同于顶点F 的任意一点，∴设点E 的坐标为（m ，﹣m 2+m ），其中m ≠12，把D （12，0），E （m ，﹣m 2+m ）代入y ＝kx +b ，得：k +b =0+b =−m 2+m ，解得：k =2m 2−2m 1−2m b =m 2−m 2m−1，∴直线ED 解析式为y =2m 2−2m 1−2m x +m 2−m 2m−1②，联立①②，整理得（x ﹣m ）（x −m−12m−1）＝0，解得x ＝m 或m−12m−1，∵点E 与点M 不重合，∴点M 的横坐标为x =m−12m−1，∵E （m ，﹣m 2+m ），F （12，14），∴直线EF 解析式为y ＝（12−m ）x +12m ，∵直线EF 与直线y =12的交点为N ，∴点N 横坐标为x =m−12m−1，∵点M 的横坐标与点N 横坐标相同，∴直线MN 与x 轴互相垂直．2．已知抛物线y =−12x 2+mx +m +12与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，−52），点P 为抛物线在直线AC 上方图象上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PAC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y =−12x 2+mx +m +12在点A 、B 之间的部分（含点A 、B ）沿x 轴向下翻折，得到图象G ．现将图象G 沿直线AC 平移，得到新的图象M 与线段PC 只有一个交点，求图象M 的顶点横坐标n 的取值范围．试题分析：（1）利用待定系数法即可求得答案；（2）令y ＝0，可求得：A （﹣5，0），B （﹣1，0），再运用待定系数法求得直线AC 的解析式为y =−12x −52，如图1，设P （t ，−12t 2﹣3t −52），过点P 作PH ∥y 轴交直线AC 于点H ，则PH =−12t 2−52t ，利用S △PAC ＝S △PAH +S △PCH =−54（t +52）2+12516，即可运用二次函数求最值的方法求得答案；（3）运用翻折变换的性质可得图象G 的函数解析式为：y =12（x +3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），进而根据平移规律可得：图象M 的函数解析式为：y =12（x ﹣n ）2−12n −72，顶点坐标为（n ，−12n −72），当图象M 经过点C （0，−52）时，可求得：n ＝﹣1或n ＝2，当图象M 的端点B 在PC 上时，可求得：n =−185或n =75（舍去），就看得出：图象M 的顶点横坐标n 的取值范围为：−185≤n ≤﹣1或n ＝2．答案详解：解：（1）∵抛物线y =−12x 2+mx +m +12与y 轴交于点C （0，−52），∴m +12=−52，解得：m ＝﹣3，∴该抛物线的解析式为：y =−12x 2﹣3x −52；（2）在y =−12x 2﹣3x −52中，令y ＝0，得：−12x 2﹣3x −52=0，解得：x 1＝﹣5，x 2＝﹣1，∴A （﹣5，0），B （﹣1，0），设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，∵A （﹣5，0），C （0，−52），∴−5k +b =0b =−52，解得：k =−12b =−52，∴直线AC 的解析式为y =−12x −52，如图1，设P （t ，−12t 2﹣3t −52），过点P 作PH ∥y 轴交直线AC 于点H ，则H （t ，−12t −52），∴PH =−12t 2﹣3t −52−（−12t −52）=−12t 2−52t ，∴S △PAC ＝S △PAH +S △PCH=12•PH •（x P ﹣x A ）+12•PH •（x C ﹣x P ）=12•PH •（x C ﹣x A ）=12×（−12t 2−52t ）×[0﹣（﹣5）]=−54t 2−254t =−54（t +52）2+12516，∴当t =−52时，S △PAC 取得最大值12516，此时，点P 的坐标为（−52，158）；（3）如图2，抛物线y =−12x 2﹣3x −52在点A 、B 之间的部分（含点A 、B ）沿x 轴向下翻折，得到图象G ，∵y =−12x 2﹣3x −52=−12（x +3）2+2，顶点为（﹣3，2），∴图象G 的函数解析式为：y =12（x +3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），∵图象G 沿直线AC 平移，得到新的图象M ，顶点运动的路径为直线y =−12x −72，∴图象M 的顶点坐标为（n ，−12n −72），∴图象M 的函数解析式为：y =12（x ﹣n ）2−12n −72，当图象M 经过点C （0，−52）时，则：−52=12（0﹣n ）2−12n −72，解得：n ＝﹣1或n ＝2，当图象M 的端点B 在PC 上时，∵线段PC 的解析式为：y =−74x −52（−52≤x ≤0），点B （﹣1，0）运动的路径为直线y =−12x −12，∴联立可得：y =−74x−52y =−12x−12，解得：x =−85y =310，将x =−85y =310代入y =12（x ﹣n ）2−12n −72，可得：12（−85−n ）2−12n −72=310，解得：n =−185或n =75（舍去），∴图象M 的顶点横坐标n 的取值范围为：−185≤n ≤﹣1或n ＝2．3．已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．顶点D不在第二象限，记△ABC的面积为S1，△ACD的面积为S2．（1）当S1＝3时，求抛物线对应函数的解析式；（2）判断S1S2是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；（3）当a取每一个确定的值时，把抛物线y＝ax2+2ax﹣3a向右平移a个单位后，得到函数y1的图象．当0≤x≤a+1时，结合图象，求y1的最大值与最小值的平均数（用含a的式子表示）．试题分析：（1）由题意得：S1=12×AB×OC，即可求解；（2）S2＝S梯形ADHO ﹣S△CDH﹣S△ACO＝3a，而S1＝6a，即可求解；（3）分a﹣1≤0、a﹣1＞0两种情况，利用点和对称轴的位置关系，确定函数的最大值和最小值，即可求解．答案详解：解：y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数）与x轴交于A，B两点，则令y＝ax2+2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3a，故点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3a），则抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝ax2+2ax﹣3a＝﹣4a，故点D的坐标为（﹣1，﹣4a）；∵抛物线和x轴有两个交点，且顶点D不在第二象限，则抛物线的顶点在第三象限，则a＞0，函数大致图象如下：（1）由题意得：S 1=12×AB ×OC =12×4×3a ＝6a ＝3，解得a =12，故抛物线的表达式为y =12x 2+x −32；（2）是定值2，理由：过点D 作DH ⊥y 轴于点H ，则S 2＝S 梯形ADHO ﹣S △CDH ﹣S △ACO =12（1+3）×4a −12×1×（﹣3a +4a ）−12×3×3a ＝3a ，由（1）知S 1＝6a ，故S 1S 2=2；（3）∵抛物线y ＝ax 2+2ax ﹣3a 向右平移a 个单位后，得到函数y 1的图象，根据平移的性质，y 1＝a （x ﹣a ）2+2a （x ﹣a ）﹣3a ＝ax 2+2a （1﹣a ）x +（a 3﹣2a 2﹣3a ），由平移的性质知，平移后的抛物线对称轴为直线x ＝﹣1+a ，∵﹣1+a ＜a +1，故x ＝a +1在新抛物线对称轴的右侧．①当x ＝a ﹣1≤0时，即x ＝0在x ＝a ﹣1的右侧，即0＜a ≤1，当0＜a ≤1时，则a +1＜2，则抛物线在x ＝a +1时取得最大值，而在x＝0时取得最小值；当x＝a+1时，y1＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a）＝0，当x＝0时，y1＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a）＝a3﹣2a2﹣3a，则y1的最大值与最小值的平均数=12（a3﹣2a2﹣3a）=12a3﹣a2−32a；②当a﹣1＞0时，则此时，顶点的横坐标0＜a﹣1≤a+1，当x＝a﹣1时，y1取得最小值为y1＝a（a﹣1）2+2a（1﹣a）（a﹣1）+（a3﹣2a2﹣3a）＝﹣4a，当a﹣1﹣0＜a+1﹣（a﹣1），即1＜a＜3，则当x＝a+1时，y1的最大值为0，∴y1的最大值与最小值的平均数=−4a02=−2a，当a﹣1﹣0≥a+1﹣（a﹣1），即a≥3，当x＝0时，y1取得最大值，此时y1＝a3﹣2a2﹣3a，则y1的最大值与最小值的平均数=a3−2a2−7a2；即y1的最大值与最小值的平均数=3−a2−32a(0＜a≤1)(1＜a＜3) (a3−2a2−7a)(a≥3)．4．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣x﹣a2﹣a，其中a＞0．（1）若函数y的图象经过点（1，﹣2），求函数y的解析式；（2）若抛物线与x轴的两交点坐标为A，B（A点在B点的左侧），与y轴的交点为C，满足OC＝2OB时，求a的值．（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）由二次函数图象上点的坐标特征求得点A、B、C的坐标，根据OC＝2OB来求a的值；（3）根据二次函数的性质，可得答案．答案详解：解：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得﹣a2﹣a＝﹣2，整理，得（a+1）（﹣a）＝﹣2，解得a1＝﹣2，a2＝1，函数y1的表达式y＝（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y＝x2﹣x﹣2；函数y1的表达式y＝（x+1）（x﹣2）化简，得y＝x2﹣x﹣2，综上所述：函数y的表达式y＝x2﹣x﹣2；（2）当y＝0时x2﹣x﹣a2﹣a＝0整理，得（x+a）（x﹣a﹣1）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a+1，y的图象与x轴的交点是A（﹣a，0），B（a+1，0），当x＝0时，y＝﹣a2﹣a．即C（0，﹣a2﹣a）∵OC＝2OB，∴|﹣a2﹣a|＝2|a+1|．∵a＞0，∴a2+a＝2a+2，整理，得a2﹣a﹣2＝0，（a﹣2）（a+1）＝0，解得a1＝2，a2＝﹣1（舍去）．（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，由m＜n，得0＜x0≤1 2；当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，由m＜n，得12＜x0＜1，综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．5．已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8），该抛物线的顶点为D．（Ⅰ）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（Ⅱ）①直线CD的解析式为 y＝x+8 ；②过点D作DH⊥x轴于H，在线段DH上有一点P到直线CD的距离等于线段PO的长，求点P 的坐标；（Ⅲ）设直线CD交x轴于点E．过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使平移后的抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？试题分析：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C坐标代入可求解；（Ⅱ）①利用待定系数法可求解析式；②过点P作PM⊥CD于M，由勾股定理可求PO2，PM2，即可求解；（Ⅲ）抛物线向上平移或向下平移，可设解析式为y＝﹣x2+2x+8+m或y＝﹣x2+2x+8﹣m，把x＝4或﹣8代入即可列出不等式，即可求出答案．答案详解：解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），∵抛物线与y轴交于点C（0，8），∴9＝﹣8a，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴顶点D坐标（1，9）；（Ⅱ）①设直线CD解析式为y＝kx+b，9=k+bb=8，∴k=1 b=8，∴直线CD的解析式为y＝x+8，所以答案是y＝x+8；②如图1，过点P作PM⊥CD于M，设点P（1，t），∵直线CD与x轴的夹角为45°，∴PM=9﹣t），∵PM＝PO，∴PM2＝PO2，∴1+t2=12（9﹣t）2，∴t1＝﹣t2＝﹣9﹣，∴点P的坐标为（1，﹣；（Ⅲ）如图2，∵直线CD交x轴于点E，∴0＝x+8，∴x＝﹣8，∴点E（﹣8，0），∵BF⊥x轴，∴点F的横坐标为4，∵点F在直线CD上，∴点F（4，12），①当抛物线向上平移，设平移后解析式为y＝﹣x2+2x+8+m（m＞0），当x＝﹣8时，y＝﹣72+m，当x＝4时，y＝m，∴﹣72+m≤0或m≤12，∴0＜m≤72；②当抛物线向下平移，设平移后解析式为y＝﹣x2+2x+8﹣m（m＞0），联立方程组可得：y=−x2+2x+8−my=x+8，∴x2﹣x+m＝0，∴△＝1﹣4m≥0，∴m≤1 4，∴0＜m≤1 4，∴抛物线向上最多可平移72个单位长度，向下最多可平移14个单位长度．6．如图，抛物线L：y=12x2−54x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+35AD的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线L：y=12x2−54x﹣3向右平移得到抛物线L′，直线AB与抛物线L′交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L′的解析式．试题分析：（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式，通过配方法可求顶点坐标；（2）CD＝AD sin∠BAO=35AD，则PD+35AD＝PD+DC＝PC为最大，即可求解；（3）设点M（x1，y1），点N（x2，y2），则x1+x2＝2（m+34），而点A是MN的中点，故x1+x2＝8，进而求解．答案详解：解：（1）∵抛物线L：y=12x2−54x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A（4，0），点B（0，﹣3），设直线AB解析式为：y＝kx﹣3，∴0＝4k﹣3，∴k=3 4，∴直线AB解析式为：y=34x﹣3①，∵y=12x2−54x﹣3=12（x−54）2−12132，∴抛物线顶点坐标为（54，−12132）；（2）∵点A（4，0），点B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB=5，则sin∠BAO=OBAB=35，则CD＝AD sin∠BAO=35AD，则PD+35AD＝PD+DC＝PC为最大，当点P为抛物线顶点时，PC最大，故点P 的坐标为（54，−12132），则PD +35AD 的最大值＝PC 为最大，最大值为12132；（3）设平移后的抛物线L '解析式为y =12（x ﹣m ）2−12132②，联立①②并整理得：x 2﹣2（m +34）x +m 2−2516=0，设点M （x 1，y 1），点N （x 2，y 2），∵直线AB 与抛物线L '交于M ，N 两点，∴x 1，x 2是方程x 2﹣2（m +34）x +m 2−2516=0的两根，∴x 1+x 2＝2（m +34），∵点A 是MN 的中点，∴x 1+x 2＝8，∴2（m +34）＝8，∴m =134，∴平移后的抛物线L '解析式为y =12（x −134）2−12132=12x 2−134x +32．7．如图，A ，B 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的点，已知点B 的坐标是（0，6），∠BAO ＝45°．过A ，B 两点的抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点落在线段OA 上，该抛物线与直线y ＝kx +m （k ＞0）在第一象限交于C ，D 两点，且点C 的横坐标为1．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线CD 与线段AB 的交点记为E ，当BE AE =12时，求点D 的坐标；（3）P 是x 轴上一点，连接PC ，PD ，当∠CPD ＝90°时，若满足条件的点P 有两个，且这两点间的距离为1，求直线CD 的解析式．试题分析：①根据直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质求出A的坐标，讲A，B点坐标代入解析式，即可求解出解析式，②过点E作EF⊥x轴于点F，根据△AEF∽△ABO，得到E的坐标，根据二次函数和一次函数的解析式计算可得，③过点E作EF⊥x轴交点F，根据直线和圆的性质，得到P点横坐标范围，结合一元一次方程判别式、根与系数的关系求解可得．答案详解：解：（1）∵B（0，6），∴OB＝6，∵∠ABO＝45°，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∴OA＝OB＝6，∴A（6，0），将A（6，0），B（0，6）代入解析得18+6b+c=0c=6，解得b=−4c=6，∴解析式为y=12x2﹣4x+6，故抛物线解析式为y=12x2﹣4x+6；（2）如图，过点E作EF⊥x轴于点F，∴∠AFE＝90°＝∠AOB，∴EF∥BO，∠AEF＝∠ABO＝∠BAO＝45°，∴OFAF=BEAE=12，OA＝OB＝6，∴OF=13OA＝2，F（2，0），∴FA＝4，∴EF=23OB＝4，E（2，4），∵点C横坐标为1，并且在抛物线上，∴将x＝1代入解析式可得，y＝2.5，∴C（1，2.5），∴由C（1，2.5），E（2，4）得直线CD的解析式为y=32x+1，将y=32x+1代入y=12x2﹣4x+6，得12x2﹣4x+6=32x+1，解得x1＝1，x2＝10，∵C（1，2.5），∴D的横坐标为10，将x＝10代入y=32x+1得y＝16，∴D点的坐标为（10，16），故点D的坐标为（10，16）；（3）由（2）的C（1，2.5），设D（x D，y D），P（t，0），由题意可知，点D在点C的上方，点P是以CD为直径的圆与x轴的交点，∴1＜t＜x D，如图，分别过点C，D作x轴的垂线交于点H，I，∴∠CHI＝∠DIH＝90°，∴∠HCP+∠HPC＝90°，∵∠CPD＝90°，∴∠IPD+∠HPC＝90°，∴∠IPD＝∠HCP，∴△HCP∽△IPD，∴CHPI=HPID，∴2.5x D−t=t−1y D，（t﹣1）（x D﹣t）＝2.5y D①，将点C（1，2.5）代入y＝kx+m中，得m＝2.5﹣k，∴直线CD的解析式为y＝k（x﹣1）+2.5，将y＝k（x﹣1）+2.5代入y=12x2﹣4x+6，整理可得x2﹣（2k+8）x+2k+7＝0，解得x C＝1，x D＝2k+7，∴D（2k+7，2k2+6k+2.5），将D（2k+7，2k2+6k+2.5）代入①，整理可得t2﹣（2k+8）t+5t2+17k+534=0，Δ＝﹣16k2﹣36k+11，因为满足条件的点P有两个，可设P点横坐标分别为t1，t2，且t1＜t2，根据韦达定理可知t1+t2＝2k+8，t1t2＝5k2+17k+53 4，由题意得t2﹣t1＝1，∴（t2﹣t1）2＝（t1+t2）2﹣4t1t2，化简得8k2+18k﹣5＝0．解得k1=14，k2=−52＜0（舍去），当k=14，Δ＝﹣16k2﹣36k+11＞0，满足条件，所以直线CD的解析式为y=14x+94，故直线CD的解析式为y=14x+94．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图的顶点为点D，与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点P是x轴上一动点，当△PCD的周长最小时，求点P的坐标；（3）如图，若点G（2，m）是该抛物线上一点，E是直线AG下方抛物线上的一动点，点E到直线AG的距离为d，求d的最大值．试题分析：（1）由二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，求得其对称轴，从而可得b的值，再将（﹣1，0）代入即可求得c的值，则可得抛物线的解析式；（2）作点C关于x轴的对称点F，则F的坐标为（0，3），连接DF交x轴于顶点P，此时△PCD 的周长最小，用待定系数法求得直线DF的解析式，令y＝0，可得点P的横坐标，则问题得解；（3）先求得点G的坐标，再用待定系数法求得直线AG的解析式；作AG的平行线MN，交x轴于点M，交y轴于点N，过点A作AH⊥MN于点H当直线MN与抛物线相切时，点E到直线AG 的距离d＝EK最大，设直线MN的解析式为y＝﹣x+n，将其与抛物线解析式联立，得出关于x 的一元二次方程，由交点个数与方程的判别式的关系可得Δ＝0，从而可得n的值，最后由三角函数求得AH的值，即为所求的d的最大值．答案详解：解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴对称轴为直线x＝1，∴−b2=1，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+c，将（﹣1，0）代入得：0＝1+2+c，∴c＝﹣3，∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，∴顶点D的坐标为（1，﹣4），点C的坐标为（0，﹣3）．作点C关于x轴的对称点F，则F的坐标为（0，3），连接DF交x轴于顶点P，此时△PCD的周长最小，如图：设直线DF的解析式为y＝kx+b（k≠0），将D（1，﹣4），F（0，3）分别代入得：k+b=−4b=3，∴y ＝﹣7x +3，当y ＝0时，x =37，∴点P 的坐标为（37，0）；（3）∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3，点G （2，m ）是该抛物线上一点，∴m ＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴点G （2，﹣3），设直线AG 的解析式为：y ＝px +q （p ≠0），将A （﹣1，0），G （2，﹣3）分别代入得：−p +q =02p +q =−3，解得p =−1q =−1，∴直线AG 的解析式为：y ＝﹣x ﹣1，作AG 的平行线MN ，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，过点A 作AH ⊥MN 于点H ，如图：当直线MN 与抛物线相切时，点E 到直线AG 的距离d ＝EK 最大，∵AG ∥MN ，∴AH ＝EK ＝d ．设直线MN 的解析式为y ＝﹣x +n ，将其与抛物线解析式联立得：y =x 2−2x−3y =−x +n ，∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣x +n ，整理得：x 2﹣x ﹣3﹣n ＝0，当MN 与抛物线相切时，Δ＝0，∴（﹣1）2﹣4（﹣3﹣n ）＝0，解得：n =−134，∴直线MN 的解析式为y ＝﹣x −134，∴点M 的坐标为（−134，0），点N 坐标为（0，−134），∴AM ＝﹣1﹣（−134）=94，∵OM ＝ON =134，∴∠AMN ＝45°，∴AH ＝AM •sin45°=94∴d 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，点P 是第一象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC 与OP ，交于点D ，求当PD OD的值最大时点P 的坐标；（3）点F 与点C 关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P 的纵坐标为2时，过点P 作直线PQ ∥x 轴，点M 为直线PQ 上的一个动点，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，在线段ON 上任取一点K ，当有且只有一个点K 满足∠FKM ＝135°时，请直接写出此时线段ON 的长．试题分析：（1）利用待定系数法可求解析式；（2）过点P 作PG ⊥x 轴，交BC 与G ，先求出直线BC 的解析式，设点P （p ，﹣p 2+2p +3），则点G 坐标为（p ，﹣p +3），可求PG 的长，由平行线分线段成比例可得PD OD =PG OC，利用二次函数的性质可求解；（3）分两种情况讨论，连接FM ，以FM 为斜边，作等腰直角△FHM ，当以H 为圆心FH 为半径作圆H ，与x 轴相切于K ，此时有且只有一个点K 满足∠FKM ＝135°，设点H （x ，y ），由“AAS ”可证△FHE ≌△HMQ ，可得HE ＝QM ＝y ﹣3，HQ ＝EF ＝x ﹣2，由勾股定理可求y 的值，可求点M 坐标，即可求解．答案详解：解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），∴0=a −b +30=9a +3b +3，解得：a =−1b =2，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图1，过点P 作PG ⊥x 轴，交BC 于G ，∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3与y 轴交于点C ，∴点C （0，3），∴直线BC 解析式为y ＝﹣x +3，设点P （p ，﹣p 2+2p +3），则点G 坐标为（p ，﹣p +3），∴PG ＝﹣p 2+2p +3﹣（﹣p +3）＝﹣p 2+3p ，∵PG ∥OC ，∴PD OD =PG OC =−p 23p 3=−(p−32)43，∴当p =32时，PD OD 的值有最大值，∴点P （32，154）；（3）当点M在点F的右侧，如图2，连接FM，以FM为斜边，作等腰直角△FHM，当以H为圆心FH为半径作圆H，与x轴相切于K，此时有且只有一个点K满足∠FKM＝135°，连接HK，交PM于Q，延长CF交HK于E，则HK⊥x轴，设点H（x，y），∵点A（﹣1，0）、B（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，∴点F（2，3），CF∥x轴，∴CF∥PM，∴HK⊥CF，HK⊥PM，∴∠FEH＝∠HQM＝90°＝∠FHM，∴∠FHE+∠QHM＝90°＝∠FHE+∠HFE，∴∠QHM＝∠HFE，又∵FH＝HM，∴△FHE≌△HMQ（AAS），∴HE＝QM＝y﹣3，HQ＝EF＝x﹣2，∴y﹣2＝x﹣2，∴x＝y，∵FH2＝HE2+EF2，∴y2＝（y﹣2）2+（y﹣3）2，∴y ＝5，∴QM ＝+5﹣3＝+2，∴点M 的坐标（7，2），∵MN ⊥x 轴，∴ON ＝当点M 在点F 的左侧，同理可求ON ＝综上所述：线段ON 的长为10．如图，点A ，B ，C 都在抛物线y ＝ax 2﹣2amx +am 2+2m ﹣5（其中−14＜a ＜0）上，AB ∥x 轴，∠ABC ＝135°，且AB ＝4．（1）当m ＝1时，求抛物线的顶点坐标；（2）求点C 到直线AB 的距离（用含a 的式子表示）；（3）若点C 到直线AB 的距离为1，当2m ﹣5≤x ≤2m ﹣2时，y 的最大值为2，求m 的值．试题分析：（1）由配方法可求顶点坐标；（2）设点C 到直线AB 的距离为d ，求出点C 坐标，代入解析式可求解；（3）先求出a 值，分三种情况考虑：①当m ＞2m ﹣2，即m ＜2时，x ＝2m ﹣2时y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m 的一元二次方程，解之可求出m 的值；②当2m ﹣5≤m ≤2m ﹣2，即2≤m ≤5时，x ＝m 时y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m 的一元一次方程，解之可求出m 的值；③当m ＜2m ﹣5，即m ＞5时，x ＝2m ﹣5时y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m 的一元一次方程，解之可求出m 的值．综上即可得出结论．答案详解：解：（1）当m ＝1时，抛物线的解析式为y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣3，∵y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣3＝a （x ﹣1）2﹣3，∴顶点坐标为（1，﹣3）；（2）如图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于D ，∵∠ABC ＝135°，∴∠CBD ＝45°，∵CD ⊥AD ，∴∠DBC ＝∠DCB ＝45°，∴BD ＝CD ，∵y ＝ax 2﹣2amx +am 2+2m ﹣5＝a （x ﹣m ）2+2m ﹣5，∴顶点坐标为（m ，2m ﹣5），∵AB ＝4，∴点B 的横坐标为m +2，∵点B 在抛物线y ＝a （x ﹣m ）2+2m ﹣5上，∴y ＝a （m +2﹣m ）2+2m ﹣5＝4a +2m ﹣5，∴点B （m +2，4a +2m ﹣5），设点C 到直线AB 的距离为d ，∴BD ＝CD ＝d ，∴点C （m +2+d ，4a +2m ﹣5﹣d ），∵点C 在抛物线y ＝a （x ﹣m ）2+2m ﹣5上，∴4a +2m ﹣5﹣d ＝，a （m +2+d ﹣m ）2+2m ﹣5，整理得：ad 2+4ad +d ＝0，∵d ≠0，∴d =−4a 1a ，∴点C 到直线AB 的距离为−4a 1a；（3）∵点C 到直线AB 的距离为1，∴−4a 1a=1，∴a =−15，∴抛物线的解析式为y =−15（x ﹣m ）2+2m ﹣5．分三种情况考虑：①当m ＞2m ﹣2，即m ＜2时，有−15（2m ﹣2﹣m ）2+2m ﹣5＝2，整理，得：m 2﹣14m +39＝0，解得：m 1＝7，m 2＝7+；②当2m ﹣5≤m ≤2m ﹣2，即2≤m ≤5时，有2m ﹣5＝2，解得：m =72；③当m ＜2m ﹣5，即m ＞5时，有−15（2m ﹣5﹣m ）2+2m ﹣5＝2，整理，得：m 2﹣20m +60＝0，解得：m 3＝10﹣，m 4＝综上所述：m 的值为72或11．已知抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）交x 轴交于A （﹣1，0）和点B （3，0），交y 轴于点C ．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）如图1，点D 是直线BC 上一点，过点D 作DE ∥y 轴，交抛物线于点E （点E 在点D 的上方），再过点E 作EF ∥x 轴，交直线BC 于点F ．当△DEF 的面积取最大值时，求点E 的坐标；（Ⅲ）如图2，点M 为抛物线对称轴l 上的一点，点N 为抛物线上的一点，当直线BC 垂直平分MN 时，求出点N 的坐标．试题分析：（Ⅰ）用待定系数法求函数的解析式即可；（Ⅱ）由题意先确定△DEF 是等腰直角三角形，设E （t ，﹣t 2+2t +3），则D （t ，﹣t +3），可得DE ＝﹣t 2+3t ＝﹣（t −32）2+94，当DE 最大时，△DEF 的面积就最大，又由当t =32时，DE 有最大值，可求此时E （32，154）；（Ⅲ）设M （1，m ），直线BC 与对称轴的交点为H （1，2），由题意可得△GHM 是等腰直角三角形，求出G （2−m 2，1+m 2），再由G 点是MN 的中点，可求N （3﹣m ，2），将N 点坐标代入抛物线解析式即可求m 的值，由此可求N 点坐标．答案详解：解：（Ⅰ）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx +3，∴a −b +3=09a +3b +3=0，解得a =−1b =2，∴y ＝﹣x 2+2x +3；（Ⅱ）令x ＝0，则y ＝3，∴C （0，3），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∴b =33k +b =0，解得k =−1b =3，∴y ＝﹣x +3，∵OB ＝OC ＝3，∴∠OBC ＝45°，∵EF ∥x 轴，∴∠EFD ＝45°，∵DE ∥y 轴，∴∠FED ＝90°，∴△DEF 是等腰直角三角形，设E （t ，﹣t 2+2t +3），则D （t ，﹣t +3），∴DE ＝﹣t 2+3t ＝﹣（t −32）2+94，当t =32时，DE 有最大值94，∵S △DEF =12×DE 2=12×8116=8132，∴△DEF 的面积取最大值为8132，此时E （32，154）；（Ⅲ）∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，设M （1，m ），直线BC 与对称轴的交点为H （1，2），∴MH ＝m ﹣2，∵∠GHB ＝∠OBC ＝45°，∴△GHM 是等腰直角三角形，∴G （2−m 2，1+m 2），∵直线BC 垂直平分MN ，∴G 点是MN 的中点，∴N （3﹣m ，2），∴2＝﹣（3﹣m ）2+2（3﹣m ）+3，解得m ＝2+m ＝2∴N （12）或（1+2）．12．已知抛物线G ：y 1＝mx 2﹣（3m ﹣3）x +2m ﹣3，直线h ：y 2＝mx +3﹣2m ，其中m ≠0．（1）当m ＝1时，求抛物线G 与直线h 交点的坐标；（2）求证：抛物线G 与直线h 必有一个交点A 在坐标轴上；（3）在（2）的结论下，解决下列问题：①无论m 怎样变化，求抛物线G 一定经过的点坐标；②将抛物线G 关于原点对称得到的图象记为抛物线G '，试结合图象探究：若在抛物线G 与直线h ，抛物线G '与直线h 均相交，在所有交点的横坐标中，点A 横坐标既不是最大值，也不是最小值，求此时抛物线G 的对称轴的取值范围．试题分析：（1）把m ＝1代入抛物线及直线解析式，并联立即可求解；（2）联立方程组求解即可求证；（3）①由（2）可直接得到；②先求出抛物线G ′，再联立抛物线G ′和直线h ，求出交点，再进行分类讨论即可． 答案详解：（1）解：当m ＝1时，抛物线G ：y 1＝x 2﹣1，直线h ：y 2＝x +1，令x 2﹣1＝x +1，解得x ＝﹣1或x ＝0，∴抛物线G 与直线h 交点的坐标为（﹣1，0）或（0，1）；（2）证明：令mx 2﹣（3m ﹣3）x +2m ﹣3＝mx +3﹣2m ，整理得mx 2﹣（4m ﹣3）x +4m ﹣6＝0，即（x ﹣2）（mx ﹣2m +3）＝0，解得x ＝2或x =2m−3m ，当x ＝2时，y ＝3；当x =2m−3m时，y ＝0；∴抛物线G 与直线h 的交点分别为（2，3）和（2m−3m ，0），∴必有一个交点在x 轴上．（3）①证明：由（2）可知，抛物线一定过点（2，3）；②解：抛物线G ：y 1＝mx 2﹣（3m ﹣3）x +2m ﹣3＝（mx ﹣2m +3）（x ﹣1），则抛物线G 与x 轴的交点为（1，0），（2m−3m，0），∵抛物线G 与抛物线G ′关于原点对称，∴抛物线G ′过点（﹣1，0），（−2m−3m，0），∴抛物线G ′的解析式为：y ′＝﹣m （x +1）（x +2m−3m）＝﹣mx 2﹣（3m ﹣3）x ﹣2m +3，令﹣mx 2﹣（3m ﹣3）x ﹣2m +3＝mx +3﹣2m ，整理得mx 2+（4m ﹣3）x ＝0，∴x ＝0或x =3−4m m，即四个交点分别为：（0，3﹣2m ），（2，3），A （2m−3m ，0），（3−4m m ，6﹣6m ），a ．当0＜2m−3m ＜2时，m ＞32，符合题意；b ．当2m−3m ＜0时，则0＜m ＜32，若3−4m m ＜2m−3m ，可得m ＜0或m ＞1，此时1＜m ＜32；若3−4m m ＞2m−3m，可得0＜m ＜1，此时点A 的横坐标为最小值，不符合题意；c ．当2m−3m＞2时，解得m ＜0，若3−4m m ＜2m−3m，可得m ＜0或m ＞1，此时点A 的横坐标为最大值，不符合题意；若3−4m m ＞2m−3m，可得0＜m ＜1，无解，不符合题意；综上，m 的取值范围为：m ＞1且m ≠32，∴3m−32m ＞0且3m−32m ≠12．即抛物线G 对称轴的取值范围为：3m−32m ＞0且3m−32m ≠12．13．如图，抛物线y =−12x 2+32x +2与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）如图1，点C 在y 轴右侧的抛物线上，且AC ＝BC ，求点C 的坐标；（3）如图2，将△ABO 绕平面内点P 顺时针旋转90°后，得到△DEF （点A ，B ，O 的对应点分别是点D ，E ，F ），D ，E 两点刚好在抛物线上．①求点F 的坐标；②直接写出点P 的坐标．试题分析：（1）令y ＝0，可求A 点坐标，令x ＝0，可求B 点坐标；（2）由题意可知C 点在AB 的垂直平分线与抛物线的交点处，证明∠ABO ＝∠HGA ，再由三角函数sin ∠ABO 1=AH AG，可求G 点坐标，进而求出直线HC 的解析式y =−12x +34，联立y =−12x 2+32x +2y =−12x +34即可求C 点坐标；（3）①设E （t ，−12t 2+32t +2），则F （t ﹣2，−12t 2+32t +2），D （t ﹣2，−12t 2+32t +3），再由D 点在抛物线上，可求t ＝3，则F （1，2）；②过点P 作PN ⊥x 轴交于点N ，交EF 于点M ，证明△FMP ≌△PNO （AAS ），则PM +PN ＝2，设P （m ，2﹣m ），OP 2＝2m 2﹣4m +4，再由OF 2＝2OP 2，可得5＝2（2m 2﹣4m +4），即可求P （32，12）． 答案详解：解：（1）令y ＝0，0=−12x 2+32x +2，∴x ＝﹣1或x ＝4，∴A （﹣1，0），令x ＝0，则y ＝2，∴B （0，2）；（2）∵AC ＝BC ，∴C 点在AB 的垂直平分线上，∵A （﹣1，0），B （0，2），∴AB 的中点H （−12，1），∵∠AHG ＝90°，∴∠HAG +∠HGA ＝90°，∠BAG +∠ABO ＝90°，∴∠ABO ＝∠HGA ，∵AB∴AH =∵sin ∠ABO =AO AB =1，∴sin ∠AGH=AH AG，∴AG =52，∴OG =32，∴G （32，0），设直线HC 的解析式为y ＝kx +b ，k +b =012k +b =1，∴k =−12b =34，∴y =−12x +34，联立y =−12x 2+32x +2y =−12x +34，解得x ＝2∵C 点在y 轴右侧，∴x ＝2∴C （2+−14−；（3）①如图2，设E （t ，−12t 2+32t +2），∵OA ＝1，OB ＝2，∴F （t ﹣2，−12t 2+32t +2），D （t ﹣2，−12t 2+32t +3），∵D 点在抛物线上，∴−12t 2+32t +3=−12（t ﹣2）2+32（t ﹣2）+2，∴t ＝3，∴F （1，2）；②过点P 作PN ⊥x 轴交于点N ，交EF 于点M ，∵∠OPF ＝90°，∴∠FPM +∠OPN ＝90°，∵∠FPM +∠MFP ＝90°，FP ＝OP ，∴△FMP ≌△PNO （AAS ），∴FM ＝PN ，PM ＝ON ，∵F （1，2），∴PM +PN ＝2，设P （m ，2﹣m ），∴OP 2＝m 2+（2﹣m ）2＝2m 2﹣4m +4，∵PO ＝FP ，∴OF 2＝2OP 2，∴5＝2（2m 2﹣4m +4），∴m =32或m =12，∴P （32，12）或P （12，32），∵①结论可知F （1，2），PO ＝FP ，∴P （12，32）舍去，∴P （32，12）．14．已知直线y 1＝kx +1（k ＞0）与抛物线y 2=14x 2．（1）当﹣4≤x ≤3时，函数y 1与y 2的最大值相等，求k 的值；（2）如图①，直线y 1＝kx +1与抛物线y 2=14x 2交于A ，B 两点，与y 轴交于F 点，点C 与点F 关于原点对称，求证：S △ACF ：S △BCF ＝AC ：BC ；（3）将抛物线y 2=14x 2先向上平移1个单位，再沿直线y 1＝kx +1的方向移动，使向右平行移动的距离为t 个单位，如图②所示，直线y 1＝kx +1分别交x 轴，y 轴于E ，F 两点，交新抛物线于M ，N 两点，D 是新抛物线与y 轴的交点，当△OEF ∽△DNF 时，试探究t 与k 的关系．试题分析：（1）当x ＝﹣4时，函数y 2有最大值，y 2=14x 2=14×（﹣4）2＝4．当x ＝3时，函数y 1的最大值也是4．将x ＝3，y ＝4代入y 1＝kx +1，得4＝3k +1，则可得出答案；（2）求出C （0，﹣1）．依题意设A 点坐标为（m ，14m 2），求出点B 的坐标为（−4m ，4m 2）．分别过A ，B 两点作y 轴的垂线AP 与BQ ，垂足分别为P ，Q ．证明△APC ∽△BQC ，由相似三角形的性质得出AC BC =AP BQ，则得出结论；（3）证明∠NDF ＝∠EOF ＝90°，得出DN ⊥y 轴，可证出y D ＝y N ，则14t 2+kt +1＝kt +4k 2+1．整理可得出结论．答案详解：解：（1）∵抛物线y 2=14x 2的对称轴为y 轴，又﹣4≤x ≤3，∴当x ＝﹣4时，函数y 2有最大值，y 2=14x 2=14×（﹣4）2＝4．∵k ＞0，∴函数y 1＝kx +1随x 的增大而增大，∴当x ＝3时，函数y 1的最大值也是4．将x ＝3，y ＝4代入y 1＝kx +1，得4＝3k +1．∴k ＝1；（2）将x ＝0代入y 1＝kx +1得y 1＝1，∴F （0，1），∵C 点与F 点关于原点对称，∴C （0，﹣1）．依题意设A 点坐标为（m ，14m 2），代入直线y 1＝kx +1的解析式，得14m 2=mk +1，解得k =14m−1m ．∴y 1＝（14m−1m ）x +1，由y =(14m−1m )x +1y =14x 2得mx 2﹣（m 2﹣4）x ﹣4m ＝0．又由x 1+x 2＝m −4m ，x 1＝m ，得x 2=−4m，∴y 2=4m 2．∴B （−4m ，4m 2）．分别过A ，B 两点作y 轴的垂线AP 与BQ ，垂足分别为P ，Q ．可得AP ＝﹣m ，PC =14m 2+1+1，BQ =−4m ，QC =4m 2+1．∴AP BQ =−m −4m =m 24，CP CQ =14m 214=m 24，∴AP BQ =CP CQ ．又∠APC ＝∠BQC ＝90°，∴△APC ∽△BQC ，∴AC BC =AP BQ，∵S △ACF =12FC •AP ，S △BCF =12FC •BQ ，∴S △ACF ：S △BCF ＝AC ：BC ；（3）抛物线y2=14x2向上平移1个单位后为y2=14x2+1，再沿直线y1＝kx+1的方向，向右平移t个单位，相当于再向上移动了kt个单位，平移后的抛物线为y=14（x﹣t）2+（1+kt）……①，则点D的坐标为（0，14t2+kt+1），M点的坐标为（t，1+kt）．∴直线y＝kx+1……②，将①②联立并整理，得x2﹣2xt﹣4kx+t2+4kt＝0，∴x1+x2＝2t+4k．依题意，得x1＝x M＝t，∴x2＝x N＝t+4k，则点N的坐标为（t+4k，kt+4k2+1）．∵△OEF∽△DNF，∴∠NDF＝∠EOF＝90°，∴DN⊥y轴，∴y D＝y N，∴14t2+kt+1＝kt+4k2+1．解得t＝4k（t＝﹣4k不合题意，舍去），即t与k的关系式为t＝4k．15．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OA＝OB，与y 轴交于点C．（1）求证：b＝0；（2）若a＝﹣1，点P是第二象限内抛物线上的一个动点，AP与y轴交于点D，连接BP，过点A 作AQ∥BP，与抛物线交于点Q，且AQ与y轴交于点E．①求Q，P两点横坐标的差；（用含有c的式子来表示）②求OD OEOC的值．试题分析：（1）由A、B两点关于y轴对称，可求b＝0；（2）①过点P作PG⊥x轴交于G点，过Q点作QH⊥x轴交于H点，求出A（0），B0），设P（p，﹣p2+c），Q（q，﹣q2+c），则有GB=p，AH＝q，再由−p2c=2q ﹣p ＝②设P （p ，﹣p 2+c ），Q （q ，﹣q 2+c ），求出直线AP 的解析式为y p ）x ﹣c ，同理可求AQ 的直线解析式为y q ）x ﹣+c ，分别求出D （0，﹣c ），E （0，﹣+c ），即可得OD ＝﹣+c ，OE ＝﹣c +，再求OD OEOC =q−p =2． 答案详解：解：（1）∵OA ＝OB ，∴A 、B 两点关于y 轴对称，∴−b 2a=0，∴b ＝0；（2）①过点P 作PG ⊥x 轴交于G 点，过Q 点作QH ⊥x 轴交于H 点，∵PB ∥AQ ，∴∠PBG ＝∠BAQ ，∵a ＝﹣1，∴y ＝﹣x 2+c ，令y ＝0，则﹣x 2+c ＝0，∴x =±∴A （0），B 0），设P （p ，﹣p 2+c ），Q （q ，﹣q 2+c ），∵P 点在第二象限，∴p ＜0，∴GB =p ，AH ＝q 22+p ＝q∴q ﹣p ＝②设P （p ，﹣p 2+c ），Q （q ，﹣q 2+c ），设直线AP 的解析式为y ＝kx +b ，+b =0b =−p 2+c，∴k =−b =，∴y p ）x ﹣c ，同理可求AQ 的直线解析式为y q ）x ﹣+c ，∴D （0，﹣c ），E （0，﹣c ），∴OD ＝﹣+c ，OE ＝﹣c +∴OD OEOC =q−p ，∵q ﹣p ＝∴OD OE OC=2．16．如图，抛物线y ＝mx 2﹣4mx ﹣5m （m ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．（1）求抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A ，B 两点的坐标；（2）证明△BCM 与△ABC 的面积相等；（3）是否存在使△BCM 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．试题分析：（1）将抛物线化为顶点式y＝m（x﹣2）2﹣9m，则抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m），令y＝0，解方程即可求出点A、B的坐标；（2）分别表示出△BCM与△ABC的面积即可证明；（3）用含m的代数式分别表示出BC2、CM2、BM2，再根据△BCM为直角三角形，分三种情况：当∠BMC＝90°时，CM2+BM2＝BC2；∠BCM＝90°时，BC2+CM2＝BM2；当∠CBM＝90°时，由25+25m2＞4+16m2，9+81m2＞4+16m2，此种不存在，分别进行列方程计算即可得出答案．答案详解：解：（1）∵y＝m（x﹣2）2﹣9m，∴抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m），∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴当y＝0时，mx2﹣4mx﹣5m＝0，∵m＞0，∴x2﹣4x﹣5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，∴A，B两点的坐标为（﹣1，0）、（5，0），（2）当x＝0时，y＝﹣5m，∴点C的坐标为（0，﹣5m），∴S△ABC =12×|5﹣（﹣1）|×|﹣5m|＝15m，过点M作MD⊥x轴于D，则OD ＝2，BD ＝OB ﹣OD ＝3，MD ＝|﹣9m |＝9m ，∴S △BCM ＝S △BDM +S 梯形OCMD ﹣S △OBC ，=12BD •DM +12（OC +DM ）•OD −12OB •OC ，＝15m ，∴S △ABC ＝S △BCM ，（3）存在使△BCM 为直角三角形的抛物线．过点C 作CN ⊥DM 于点N ，则△CMN 为直角三角形，CN ＝OD ＝2，DN ＝OC ＝5m ，∴MN ＝DM ﹣DN ＝4m ，∴CM 2＝CN 2+MN 2＝4+16m 2，在Rt △OBC 中，BC 2＝OB 2+OC 2＝25+25m 2，在Rt △BDM 中，BM 2＝BD 2+DM 2＝9+81m 2．①如果△BCM 是直角三角形，且∠BMC ＝90°时，CM 2+BM 2＝BC 2，即4+16m 2+9+81m 2＝25+25m 2，解得 m =∵m ＞0，∴m∴存在抛物线y 2BCM 是直角三角形；②如果△BCM是直角三角形，且∠BCM＝90°时，BC2+CM2＝BM2．即25+25m2+4+16m2＝9+81m2，解得 m=∵m＞0，∴m∴存在抛物线y2BCM是Rt△；③∵25+25m2＞4+16m2，9+81m2＞4+16m2，∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在，综上，存在抛物线y=2y2BCM是直角三角形．。
九年级数学中考复习压轴题专题训练含答案解析二次函数小综合抛物线中的线段定值
专题九 二次函数小综合（四）定点、定值、定线微专题15 抛物线中的线段定值典例精讲考点 设参数→构相似计算【例1】如图，抛物线y ＝－2x 2－2x ＋3交 轴于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，D 为抛物线的顶点，E 为对称轴与x 轴的交点，P 是抛物线上B ，D 两点间的一个动点，PA ，PB 与直线DE 分别交于点F ，G ，当点P 运动时，EF ＋EG 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．考点 相似转化线段比→设参计算【例2】如图，抛物线y ＝a （x 2＋2mx －3m 2）（其中a ，m 是常数，a ＜0，m ＞0）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 位于点B 的右侧），与y 轴交于点C （0，3），CD //AB 交抛物线于点D ，连接AD ，过点A 作射线AE 交抛物线于点E ，AB 平分∠DAE ，求证：AEAD为定值．考点 设直线的解析式→根系关系求解【例3】如图，抛物线2114y x =-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，M 为B 点右侧的抛物线上一动点，M ，N 两点关于y 轴对称，直线MB 与直线NB 分别交直线x ＝－3于点F ，E ，EF 交x 轴于点P ，求PF －PE 的值．典题精练训练点 利用相似求线段比1．（2020镇江改）如图，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c (a ，c 是常数，a ＜0）经过点M （－1，1），N ，已知点N 的横坐标是4，顶点为D ，它的对称轴与x 轴交于点C ，直线DM ，DN 分别与工轴相交于A ，B 两点，随着a 的变化，ACBC的值是否发生变化？请说明理由．训练点 利用根系关系求线段积2．（2020原创题）如图，抛物线y ＝x 2－4x ＋3交x 轴于点C ，B （C 在B 左边），交y 轴于点A ， 直线y ＝kx －3k ＋7（k ≠0）交抛物线于M ，N 两点（M ，N 不与C ，B 重合），直线MC ，NC 分别交y 轴于点I ，点J ．求证OI ．OJ 为定值．训练点 利用含参直线解析式求线段积3．（2020原创题）如图，抛物线2122y x bx =-++交y 轴于点A ，点B （2，2）在抛物线上，过点C （0，4）的直线交抛物线于M ，N 两点，MB ，NB 分别交y 轴于点F ，G ．求证：AF ⋅AG 为定值．专题九 二次函数小综合（四）定点、定值、定线微专题15 抛物线中的线段定值典例精讲考点 设参数→构相似计算【例1】如图，抛物线y ＝－2x 2－2x ＋3交 轴于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，D 为抛物线的顶点，E 为对称轴与x 轴的交点，P 是抛物线上B ，D 两点间的一个动点，PA ，PB 与直线DE 分别交于点F ，G ，当点P 运动时，EF ＋EG 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】EF ＋EG 为定值8，理由如下：过点P 作PQ //y 轴交x 轴于Q ，设P （t ，－t 2－2t ＋3），则PQ ＝－t 2－2t ＋3，AQ －3＋t ，QB ＝1－t ，∵PQ //EF ，∴△AEF ∽△AQP ，∴EF AEPQ AQ=， ∴EF ＝2(23)22(1)3PQ AE t t t AQ t ⋅--+⨯==-+．又∵PQ //EG ，∴△BEG ∽△BQP ，∴EG BE PQ BQ =，∴EG ＝2(23)22(3)1PQ BE t t t BQ t⋅--+⨯==+-，∴EF ＋EG ＝2（1－t ）＋2（t ＋3）＝8．考点 相似转化线段比→设参计算【例2】如图，抛物线y ＝a （x 2＋2mx －3m 2）（其中a ，m 是常数，a ＜0，m ＞0）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 位于点B 的右侧），与y 轴交于点C （0，3），CD //AB 交抛物线于点D ，连接AD ，过点A 作射线AE 交抛物线于点E ，AB 平分∠DAE ，求证：AEAD为定值．【解答】∵－3am 2＝3，∴am 2＝－1，由a （x 2＋2mx －3m 2）＝0，得x ＝m 或x ＝－3m ，∴．A （m ，0），由CD //AB 可得D （－2m ，3），设点E （n ，t ），t ＝a （n 2＋2mn －3m 2），分别过点D ，E 作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，∵AB 平分∠DAE ，∴Rt △ADM ∽△Rt △AEN ，∴AE NE NE =AD AM DM =，即23m n tm m --=+，解得：n m t m -=，∴E （n ，n m m -），∴a （n 2 ＋ 2mn －3m 2）＝n m m -，解得n ＝－4m 或m （舍去m ），∴5n m t m -==-，∴E （－4m ，－5），∴4533AE AN m m =AD AM m +==为定值．考点 设直线的解析式→根系关系求解【例3】如图，抛物线2114y x =-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，M 为B 点右侧的抛物线上一动点，M ，N 两点关于y 轴对称，直线MB 与直线NB 分别交直线x ＝－3于点F ，E ，EF 交x 轴于点P ，求PF －PE 的值．【解答】易求点B （2．0），设BF 的解析式为y ＝kx －2k ，∴F （－3，－5k ），∴PF ＝5k ，设BN 的解析式为y ＝nx －2n ，∴E （－3，－5n ），∴PE ＝－5n ，∴PF －PE ＝5k ＋5n ＝5（k ＋n ），联立22114y kx k y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩得x 2－4kx ＋8k －4＝0，∴x m ⋅x B ＝8k －4，∴x B ＝2，∴x M ＝4k －2，同理，x N ⋅x B ＝8n －4， ∴x N ＝4n －2，∵M ，N 关于y 轴对称，∴x M ＋x N ＝0，∴4k －2＋4n －2＝0，∴k ＋n ＝1， ∴PF －PE ＝5（k ＋n ）＝5． 典题精练训练点 利用相似求线段比1．（2020镇江改）如图，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c (a ，c 是常数，a ＜0）经过点M （－1，1），N ，已知点N 的横坐标是4，顶点为D ，它的对称轴与x 轴交于点C ，直线DM ，DN 分别与工轴相交于A ，B 两点，随着a 的变化，ACBC的值是否发生变化？请说明理由．解：∵y ＝ax 2－2ax ＋c 过M （－1，1），∴a ＋2a ＋c ＝1，∴c ＝1－3a ，∴y ＝a 2－2ax ＋（1－3a ），∴D （1，1－4a ），N （4，1＋5a ）．分别过点M ，N 作MG ⊥CD 于点E ，NT ⊥DC 于点T ，∴NT ＝3．DG ＝－4a ． ∵MG //TN //x 轴，∴△DMG ∽△DAC ，△DCB ∽△DTN ，∴ MG DG BC DCAC DC TN DT==，，∴24141493a a CB AC a a --==--，，∴1414,23a a AC BC a a --==--，∴32AC BC =训练点 利用根系关系求线段积2．（2020原创题）如图，抛物线y ＝x 2－4x ＋3交x 轴于点C ，B （C 在B 左边），交y 轴于点A ， 直线y ＝kx －3k ＋7（k ≠0）交抛物线于M ，N 两点（M ，N 不与C ，B 重合），直线MC ，NC 分别交y 轴于点I ，点J ．求证OI ．OJ 为定值．解：易知C （1，0），设N （x 1，x 2－4x 1 ＋3），M （x 2，x 2－4x 2＋3），联立23743y kx k y x x =-+⎧⎨=-+⎩，得x 2－(4＋k )x －4＋3k ＝0，∴x 1 ＋x 2＝4＋k ，x 1x 2＝－4＋3k ，由N （x 1， 21x －4x 1＋3），C （1，0），可求得直线NC ：y ＝（x 1－3）x －（x 1－3），同理，直线MC ：y ＝（x 2－3）x －（x 2－3），∴OI ⋅OJ ＝121233(3)(3)x x x x -⋅-=---=－x 1⋅x 2＋3（x 1＋x 2）－9＝－（－4＋3k ）＋3（4＋k ）－9＝7．训练点 利用含参直线解析式求线段积3．（2020原创题）如图，抛物线2122y x bx =-++交y 轴于点A ，点B （2，2）在抛物线上，过点C （0，4）的直线交抛物线于M ，N 两点，MB ，NB 分别交y 轴于点F ，G ．求证：AF ⋅AG 为定值．解：易知A （0，2），抛物线为2122y x x =-++．设F （0，m ），G （0，n ），设直线BF 为y ＝kx ＋m ，则2－2k ＋m ，∴k ＝22m -，∴直线BF 为y ＝22m x m -+，同理可求直线BG 为y ＝22n-x ＋n ，由y ＝22m x m -+和2122y x x =-++，解得x ＝2或m －2，∴x M ＝m －2，同理，x N ＝n －2，设直线CN 的解析式为y ＝tx ＋4，由y ＝tx ＋4和2122y x x =-++，得21(1)202x t x +-+=，∴x M ⋅x N ＝4，即（m －2）⋅（n －2）＝4，∴AF ⋅AG ＝（2－m ）⋅（2－n ）＝4．。
2024年九年级中考数学专题复习：二次函数实际应用(抛物线型问题)(含答案)
2024年九年级中考数学专题复习：二次函数实际应用（抛物线型问题）一、单选题 1．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是21.560s t t =-+．飞机着陆后到停下来滑行的距离是（ ）mA ．300B ．400C ．500D ．6002．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数2142y x x =-刻画，斜坡可以用一次函数12y x =刻画．下列结论错误的是（ ）A ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势B ．当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为6米C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．当小球拋出高度达到8m 时，小球距O 点水平距离为4m3．小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为()2116399y x =--+，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即OA 的长度）是（ ）A ．8mB ．7mC ．6mD ．5m4．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O 点竖直安装一根水管，在水管的顶端A 处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O 点的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心O 点3m ，则水管OA 的高是（ ）A．2m B．2.25m C．2.5m D．2.8m5．学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径12cmGH=，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗于液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（）A．122cm B．123cm C．62cm D．6cm6．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的函数解析式为2305h t t=-，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（）A．6s B．4s C．3s D．2s7．如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为6m，则厂门的高度约为（）A．307B．387C．487D．5078．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，桥高10米，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱MN的长度为（）A．6米B．5米C．4.5米D．4米二、填空题9．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB长10米，一位身高1.8米的同学站在门下离门角B点1米的D 处，其头顶刚好顶在抛物线形门上C处．则该大门的最高处离地面高h为米．10．如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2m时，测得拱桥内水面宽为12m．当水面升高1m后，拱桥内水面的宽度减少m．11．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是()2h t t t=-≤≤，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出秒时，两个30506小球在空中相撞．12．从地面竖直向上跑出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是()2=-≤≤，小球运动到s时，达到最大高度．h t t t3020613．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系2=-+，小520h t t球飞行过程中能达到的最大高度为m．14．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到A最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB的长为m．15．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点为m．16．某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足2=-+，则足球从离地到落地的560h x x水平距离为米．三、解答题AA的17．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面1距离为8m.(1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式.(2)一大型汽车装载某大型设备后，高为7m ，宽为4m ，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？18．掷实心球是中考体育考试的项目．如图是一男生所掷实心球的行进路线（抛物线的一部分）的高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数图象，且掷出时起点处高度为2m ，当到起点的水平距离为4m 时，实心球行进至最高点，此时实心球与地面的距离为3m ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在该市的评分标准中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10m 时，即可得满分，试判断该男生在此项考试中能否得满分，并说明理由（参考数据：3 1.73≈）．19．南湖大桥作为我市首个全面采用数控技术的桥体音乐喷泉项目，历经多年已经成为长春市民夜间休闲放松的网红打卡地．其中喷水头喷出的水柱轨迹呈抛物线形状，喷水头P 距水面7.5m ，水柱喷射水平距离为5m 时，达到最大高度，此时距水面10m ，水柱落在水面A 点处．将收集到数据建立如图所示的平面直角坐标系，水柱喷出的高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系式是21()y a x h k =-+．(1)求抛物线的表达式．(2)现调整P 的出水角度，其喷出的水柱高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系式是220.1 1.2y x x m =-++，落点恰好在A 点右边的B 点处，求AB 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：11110.54=）20．图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA 的底部点O 处，石块从投石机竖直方向上的点C 处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是()50,25，5OC =．(1)求抛物线的表达式；(2)在斜坡上的点A 建有垂直于水平线OD 的城墙AB ，且75OD =，12AD =，9AB =，点D ，A ，B 在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙AB ．参考答案：1．D2．B3．B4．B。