二年级下册数学试题-奥数习题讲练：第十讲数字分组和拆分(解析版)全国通用

把一个自然数（ 0 除外）拆成几个自然数相加的形式，叫自然数的拆分 . 在这节课中，我们就将来研究关于自然数的拆分问题 . 希望通过学习，使学生从中学到一些有序和全面思考问题的方法 .
知识点：掌握自然数拆分的一般方法——枚举 .
们每人一份
小朋
小松鼠
说： 友.熊猫老师怎么知道小白兔说的是谎话
小白兔说：“我在上学的路上遇到四个小妹
妹 量不同的 4 份，送给她们每人一份
① 小松鼠和小白兔上学迟到了 . 熊猫老师问： “你俩今天为什么迟到了 她们饿得很，我就采了 9 个蘑菇 .分成数 熊猫老师说：“松鼠说的是实话 .小白兔说的是谎话 .”
③ 小白兔听后，惭愧地低下头，说：
“老师 我在上学 的路上遇到三个小弟弟，他们饿 (e)得很，我就采了 6 个松果 .分成数量不同的 3 份，送给他 教学思路】 小松鼠把 9 个松果分成不一样多的三份， 6=1+2+3，所以可以分成 .小白兔说它把 9 个蘑菇 分成个数不同的 4 份. 这是不对的 . 因为 1+2+3+4=10.9 个蘑菇是分不出个数
不同的 4 份的 .
把一个自然数( 0 除外)分拆成几个自然数相加的形式，这种方法叫做自然 数的分拆 .下面让我们一起来学习怎样分拆自然数，从中学到一些有序和全面思考问题的方法
如下图他们每人打了两发子弹， 均击中了靶子 ( 即无脱靶
现象 ). 强强两发共打了 12 环，明明两发共打了 8 环. 又已知没有哪两发子弹打在同一环中，请 你推算一下他俩打中的是哪几环
?
教学思路】 要求强强和明明各打中的环数，即是把 12，8按环数进行拆分的问题 .也就是要把 12和 8
拆分成两个数相加 . 因为靶子中的环数只有 2、4、6、8、10环. 所以这两个数只能从这些数 中选择 . 因为 12=8+4=10+2， 8=6+2. 根据“没有哪两发子弹打在同一环中' '的条件，可以 知道甲打中的是 8环和 4环，乙打中的是 6环和 2环.
把 5 拆成几个自然数相加的形式， 共有多少种不同的拆分方法
教学思路】 要做到拆分得不重、不漏，要注意有序思考，一般
我们采用枚 举法 . 例如先拆成两部分，再拆成三部分、四部分，最后拆成 五部分 . 拆分过程是： 5=1+4=2+3 5=1+1+3=1+2+2 5=1+1+1+2 ?（0 除外 ）
5=1+1+1+1+1
答：共有 6 种不同的拆分
按下面的要求，把自然数 6 进行拆分 .
1）把 6 拆成几个自然数相加的形式（ 0 除外），共有多
少种不同的拆分方法？
2）把 6 拆成几个不完全相同的自然数相加的形式（0 除
外），共
有多少种不同的拆分方法？
3）把 6 拆成几个完全不相同的自然数相加的形式（0 除
教学思路】（ 1 ） 6=1+5=2+4=3+3 ； 6=1+1+4=1+2+3=2+2+2 ； 6=1+1+1+3=1+1+2+2 ；
6=1+1+1+1+2 ； 6=1+1+1+1+1+1 共 10 种方法 .
（2）从（ 1）中，把完全相同的 3 种方法剔除 6=3+3=2+2+2=1+1+1+1+1+1，则还剩
7 种. （3）“几个完全不相同的自然数”也就是“不同的自然数”，即拆分的数不
能相同 . 那么就
猪妈妈让小猪三兄弟去摘野果，它要求三兄弟一共要摘 10 个，每只小猪至少摘 2 个，按照妈妈的要求，现在小猪们要分配任务了，它们有多少种不同的分配方法 ?
教学思路】要求有几种不同的分配方法，就是求把10 拆成
3个不
完全相同的自然数，因为每个小猪至少要摘 2
个，所以 0，1 除外，共有多少种拆分方法呢 . 拆分
过程是： lO=2+2+6 10=2+3+5
10=2+4+4
10=3+3+4
答：共有 4 种不同的分组方法
体育课上， 10 个小朋友分成三组做游戏，一共有多少种不同的分组方法？
1
教学思路】 10 个小朋友分成三组做游戏，那么每组最少要有 个人，这道题和上一题比不同就是，就是多了拆成 的部分 . 具
体拆分过程如下： 10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5 10=2+2+6=2+3+5=2+4+4 10=3+3+4 答：一共有 8 种不同的分组方法 .分到的萝卜数量都不同 . 可以怎样分呢？
教学思路】 这道题也就是要我们把 12 拆分成 3 个不同的自
然数， 可以做如下考虑：若将 12 分拆成三个不同的自然数 之和，三个数中最小的数应为 1，其次是 2，那么第 三个数就应是 9 得：
12＝ 1+2+9．
下面进行变化，如从 9中取 1 加到 2上，又得： 12＝ 1+3+8． 继续按类似方法变化，可得下列各式： 12 ＝1+4+7＝ 2+3+7， 12 ＝1+5+6＝ 2+4+6， 12 ＝ 3+4+5．
共有 7 种不同的分拆方式．
巩固拓展
4个小朋友去学校图书室一共借了 12本书. 图书室规定，
人最多只能借 9 本书，现在这四个小朋友手里的书数量都不 一样多 . 想一想，他们手中各有几本书？
【教学思路】 把 12 拆分成 4 个不同的自然数只有唯一一种方法： 12=5+4+2+1，所以
这几个小朋友手中的 书分别是 5本、 4本、2本、1 本。

某个外星人来到地球上，随身带有地球人使用的硬币 1 元、 2 元、 4 元、 8 元各一枚，如果他想
买 7 元钱的一件商品，他应如何付款 ?如果买 9 元、 10 元、 13 元、 14 元
12 个萝卜，它要把这些萝卜分给三个兔宝宝吃，每个小兔至少要有
1 个，并且它们 每
和 15 元的商品呢 ? 他又将如何付款 ?
1
这道题目的实质是要求把 7、9、10、13、14、15 各数按 1、2、4、8 进行分拆．
7 ＝ 1+2+4 9 ＝1+8 10
＝2+8
13＝ 1+4+8
14
＝ 2+4+8 15 ＝
所以外星人可按以上方式付款．
有七个盘子 ，每个盘子中分别装有 1个、2 个、3 个、5个、6个、7个和 9个梨. 要从这些盘
子中
取出 15 个梨，但要求每个盘子中的梨要么都拿，要么都不拿 教学思路】 这道题也就是让我们把 15 进行拆分，拆分得数字只能从 1、2、3、5、6、7、9 中
进行选择 . 这样我们可以先从最大的数 9考虑选取，其次选 7，最后选 6. 具体拆分情况如下：
15=9+6 15=7+6+2 15=6+5+3+1 15=9+5+1 15=7+5+3
15=9+3+2+1 15=7+5+2+1 答：一共有 7 种不同的拿法 .
教学思路】 巩固拓展
. 共有多少种不同的拿法 ?
只见老者拿出 5 个盒子，然后说： “请你们把 18 个馒头分装在这 5 个盒子 只见金吒走上前摆弄了一下， 18 个馒头很快就装进了 5 个盒子里， 老者连 连称赞 .接着木吒又走上前， 很快又完成了任务 . 最后哪吒想了想说： “看我的！
拓展与提巧装馒头
天，金吒、木吒和哪吒三兄弟去馒头店
店主是一个老者，见三兄弟长的非常可爱，就想
考一考他们 店主说：“三位小朋友，如果能答对一个问题，今天的馒头就请你 里，要求每个盒子都不能空着，每个盒子中的馒头数都不相同
一会儿工夫又把这 18 个馒头装进了这 5 个
小朋友，你知道金吒、木吒和哪吒是怎样放的
老者看了连连点头说： “好！好！ . 三兄弟三种方法， 你们真是聪明的孩子 们免费品尝 . ”三人一听非
看来这免费的馒头你们是吃定了！ ”哪咤三兄弟笑呵呵的
从本故事中抽取数学问题：
※ 把 18 个馒头分装在 5 个盒子里，要求每个盒子都不空着，每个盒子中的馒头数都不相同 . 应该
怎样装？
教学思路】这道题也就是要我们把 18 拆分成 5个不同的自然数相加，我们可以先写出 5 个连续的自然数相加最接近 18 的数 .
15=1+2+3+4+5 ，多出来的 3 个，可以分别加在 1、2、3、4、5 上，通过尝试可得：
18=1+2+3+4+8 18=1+2+3+5+7 18=1+2+4+5+6 所以一共有三种不同的放法 .
（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用 . ）
有人以为 8 是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“ 8”表示才好．现有
200 块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案．
【教学思路】可以这样想：因为 200的个位数是 0，又知只有 5个 8相加才能使和的个位数字为 0，这就是说，可以把 200分成 5 个数，每个数的个位数字都应是 8．
这样由 8× 5＝ 40 及 200－40＝ 160，可知再由两个 8 作十位数字可得 80×2＝
160 即可．最后得到下式： 88+88+8+8+8＝ 200．
从 1～12 这十二个自然数中选取，把 26 分拆成四个不同的自然数之和．
教学思路】用枚举法按一定的顺序来列举，具体拆分如下：
以 12 开头的分拆方式共10 种以 ll 开头的分拆方式共 10 种
以 10 开头的分拆方式共 8 种 26
＝8+7+6+5} 以 8开头的分拆方式共
1 种不同的分拆方式总数为： 10+10+8+4+1＝ 33 种．总结：明显看出，欲求出
所有的不同的分拆方式，必须使分拆过程按一定的顺序进行．
美国硬币有 1分、5分、10分和 25分四种．现有 10枚硬币价值是 1元钱，其中有 3枚25分的
硬币．问余下的硬币有哪几种，每种各有多少枚 ?（此题是美国小学数学奥林匹克试题）．
【教学思路】由于有 3枚 25分的硬币，它们的价
值是： 25×3＝ 75（分）．
所以其余的 7 枚硬币的价值是：
100 －75＝25（分）．
将 25 分拆成 7 个数之和，（注意没有各数不同的限制） 25 ＝1+1+1+1+1+10+10．
所以这 7枚硬币是 5枚 1分，2枚10分．
按下面的要求，把 15 进行拆分 .
1）将 15 分拆成不大于 9 的三个不同的自然数之和有多少种不同
分拆方式，请一一列出．
2）将 15 分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的
分拆方式，请一一列出．
答案】（1）共 8 种．
15 ＝ 9+5+1
＝ 9+4+2 15 ＝ 8+6+1
＝ 8+5+2
＝ 8+4+3
15 ＝ 7+6+2
＝ 7+5+3
15 ＝6+5+4
（2）共 12 种．
15 ＝12+2+1 15 ＝ ll+3+l
15 ＝10+4+l 15 ＝9+5+1 15 ＝ 8+6+l
15
＝ 7+6+2 15 ＝
6+5+4
＝10+3+2 ＝
9+4+2
＝ 8+5+2 ＝7+5+3
＝ 8+4+3
以 9开头的分拆方式共 4 种
1. 从 l ～ 9 九个数中选取，将 1l 写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法
【答案】 11=2+9=3+8=4+7=5+6，共有 4 种不同的写法．
2. 把 7 拆成几个不完全相同的自然数相加的形式，共有多少种不同拆分方法 ?（0 除外 ） 答案】 拆分过程中除了要有序思考之外，还要注意题目中要求的“不完全相同的自然数”
同的数，但不能完全相同 . 拆分过程是：
7=1+6=2+5=3+4
7=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+3+2
7=1+1+l+4=1+1+2+3
7=1+2+2+2
7=1+1+1+1+3=1+1+1+2+2
7=1+1+l+1+1+2
答：一共有 13 种不同的拆分方法
3. 有 12 个苹果分给 3个小朋友，要求每人至少分到 3个苹果，那么有几种分法？
答案】 12=3+3+6=3+4+5=4+4+4 ，共有 3 种分法
4. 将 15 分拆成不大于 9 的四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出． 答案】共 6 种．具体拆分如下：
15 ＝ 9+3+2+1 15 ＝ 8+4+2+1 15 ＝ 7+5+2+l 15
＝7+4+3+l
5. 把 100 个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头的数目都
带有数字 【答案】从已有经验中可知 6×6＝ 36，这样就可以把每个盒里装 6个馒头，共装 6 个盒，还
有一个盒装 100－ 36＝ 64 个馒头． 64 个这个数，刚好含有数字 6，满足题目要
求． 即得 100＝ 64+6+6+6+6+6+6．
6. 七只箱子分别放有 1 个、2 个、4 个、8 个、16 个、32 个、 64个苹果．现在要从这七只箱子里取出
87 个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法 ?
【答案】可这样想：总数要 87个，最先取数最多的一箱 64 个苹果，这样还差 87－64＝ 23
个，即可以有相 ＝6+5+3+1 ＝ 6，想想看，应该怎样分 ?
苹果；再取则不能取装有 32个苹果的那箱，只能取装有 16 个的那箱，这样还差 23－16＝7 个苹果；再取装有 1个、2个、4 个的三箱苹果，正好：
87 ＝ 64+16+4+2+1．
答案】(1)照片 ;(2) 是她的储蓄罐 ;(3) 迷宫 ;(4) 围棋;(5) 湖面上结冰了，走过去
的 ;(6) 魔术师 (7) 道六点钟闹表响了不就找到了 ;(8)
只有一颗黄豆，一颗绿湖面上没有桥也没有船，小刚是怎么过去
小明把闹表调到早晨六点钟，他在五点钟就
一个人手里拿着一些黄豆和绿豆，他把豆子
为什么小丽养的一只小胖猪不吃也
醒了，可他不知道闹表放到哪去了，放到桌子上，立刻就把黄豆和绿豆分
开了，
豆 .。