河北科技大学线性代数书课件

故 II 与 I 的公共解为
k1 0,1,1,0 k2 1,2,2,1 k2 1,1,1,1
T T T
所有非零公共解为
k 1,1,1,1
T
k 0.
其中c为任意常数.
矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵 .
特点： （1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零； （2）、每个 台阶 只有一行，
1 0 0 0
0 1 0
4 1 1 0 3 B5 0 0 1 3 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
0 0 0 0 1 0 0 0 F 0 1 0 0 0 0 0 0
特点：F的左上角是一个单位矩 阵，其余元素全
为零.
m n 矩阵 A 总可经பைடு நூலகம்初等变换化为 标准形
Er O F O O mn 此标准形由m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
二、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i , j 两行, 记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 ;
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj） .
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B． 等价关系的性质：
（1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
1 2
3
4 1 2
( B3 )
3
4
4 2 3
( B4 )
3
4
用“回代”的方法求出解：
x1 x3 4 于是解得 x2 x3 3 x 3 4
其中x3为任意取值.
或令x3 c, 方程组的解可记作
x1 c 4 x2 c 3 x , x3 c x 3 4 1 4 1 3 即x c 1 0 0 3
r4 2r3
0 1 1 1 0 0 0 0
r1 r2
r2 r3
4 0 r3 r4 6 r4 2r3 3 1 4 1 0 B4 1 3 0 0 0 4 0 3 B5 1 3 0 0
x1 x3 4 B5 对应的方程组为 x2 x3 3 x 3 4
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相 同． 初等变换 2. A B A ~ B. 3.矩阵等价具有的性质
1反身性; 2 对称性;
3传递性.
思考题
x1 x2 0 已知四元齐次方程组 I : 及另一 x 2 x4 0 四元齐次方程组 II 的通解为
k1 0,1,1,0 k2 1,2,2,1
T T
k1 , k2 R .
问 I 与 II 是否有非零公共解 若有, 求出来;若没 ? 有, 说明理由.
思考题解答
解
将 II 的通解代入 I 得
k2 k1 2k2 0 k k . 1 2 k1 2k2 k2 0
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x 2 x 2 x 0, 2 3 4 5 x2 5 x3 3 x4 6, 3 x2 3 x3 4 x4 3,
1 例如， 0 B5 0 0 1 0 c3 c4 0 1 0 0 0 0
0 1 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 c5 4c1 3c2 3c3 0 0
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算，未知量并未参与运 算． 若记 1 2 2 1 1 1 2 1 4 1 B ( A b) 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组（1）的增广矩阵）的变换．
4 0 1 3 1 0 3 0 0 0 1 0 1 0 0 0 4 c4 c1 c2 1 0 1 0 0 c 3 4c 3c 0 3c 1 5 2 0 03 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形.
或令x3 c, 方程组的解可记作
x1 c 4 1 4 x2 c 3 1 3 x c x3 c 1 0 0 3 x 3 4
行阶梯形矩阵B5还称为行最简形矩阵，即非 零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列 的其他元素都为零.
对于任何矩阵Amn , 总可经过有限次初等行 变换把他变为行阶梯形和行最简形.
注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行 阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的． 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标 准形．
（2）
其中c为任意常数.
小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换） （2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k 替换 i ） （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ）
（第 i 行乘 k , 记作 ri k）
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)． 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k ; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
就称这两个线性方程组等价
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：
1 2 2 1 1 1 2 1 4 1 B 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9
r1 r2
r3 2
1 2 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 3 6 9 7
1 r2 2 0 r3 5r2 0 r4 3r2 0
1 0 B3 0 0
1 2 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2 1 2 1 0 0
r3 r4
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) 若( A) 若( A)
i i i
j
k k
j
(B ), 则(B ) (B ), 则(B ) (B ), 则(B )
i
i i
j
( A);
k ( A); k
j
( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
4 2 B1 2 9
1 2 1 1 1 2 1 1 B1 2 3 1 1 3 6 9 7
4 2 2 9
r2 r3 r3 2r1
r4 3r1
r2 r3 r3 2r1
r4 3r1
1 2 1 4 1 2 2 2 0 0 0 5 B2 5 3 6 0 3 3 4 3 4 1 1 1 0 B3 0 0 2 6 0 0 1 3 1 2 1
1 2
( B1 )
3
4 1 2
2 3 4
3 21 31
3
4
( B2 )
1 2 2 3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 2 x 4 6, x 4 3, x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 x4 3, 0 0,
本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩 阵的秩的概念,并提出求秩的有效方
法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性
方程组有非零解的充分必要条件和非齐次
线性方程组有解的充分必要条件，并介绍
用初等变换解线性方程组的方法．内容丰
富，难度较大.
一、消元法解线性方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
行阶梯形矩阵中非零行 的行数. 所有与矩阵 A 等价的矩阵组成的一个集合， 称为一个等价类，标准形 F是这个等价类中最简 单的矩阵.
三、小结
1ri rj ci c j ; 1.初等行(列)变换 2ri k ci k ; 3ri krj ci kc j .
2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,
1 2
3
4
2
(1)
解
1 2 3 2
(1)