第5课时充要条件新版
1.4.2充要条件PPT课件(人教版)
因为 m∈Z,所以 m=-1,0,1.
当 m=-1 时,方程 x2-4x+4m=0 可化为 x2-4x-4=0,无整数根;
当 m=0 时,方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0 可化为 x2-5=0,无整
数根;
当 m=1 时,上述两个方程都有整数根,
所以上述两个方程都有整数根的必要条件是 m=1.
三角形;
(3)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是
矩形.
解:(1)因为|x|=|y|不能推出 x=y,但 x=y 能推
出|x|=|y|,所以 p 是 q 的必要不充分条件.
(2)因为△ABC 是直角三角形不能推出
△ABC 是等腰三角形,且△ABC 是等腰三角形也
不能推出△ABC 是直角三角形,所以 p 是 q 的既
得x2-4x-5=0,解得x=5或x=-1,为整数根,
所以m=1是两个方程的根都是整数的充分条件.
必要性:若方程 x2-4x+4m=0 有实数根,则 Δ=16-16m≥0,即
m≤1,
若方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0 有实数根,则 Δ=16m+20≥0,即
m≥- ,
所以上述两个方程都有实数根等价于- ≤m≤1.
不充分也不必要条件.
(3)因为四边形的对角线互相平分不能推出
四边形是矩形,而四边形是矩形能推出四边形的
对角线互相平分,所以 p 是 q 的必要不充分条件.
探索点二 充要条件的证明
【例 2】 已知 ab≠0,求证:a+b=1 是 a3+b3+ab-a2-b2=0 的充
要条件.
【解题模型示范】
【跟踪训练】
1.2.2《充要条件》课件人教新课标
请用数学知识解释这种现象，并填空． 影片中“诸葛亮多谋”是“虚则实之，实则虚之”
的 充分 条件，“虚则实之，实则虚之”是“小路山边有烟， 而大路并无动静（有伏兵却没动静）”的 充分条件．即曹
操因为诸葛亮多谋是事实，所以必然运用兵法，“虚则实之， 实则虚之”，而不以调查事实为根据，诸葛亮抓住了曹操的心 理，所以曹操必然兵败．
【2】利用命题的四种情势进行判定
p是q的充分不必要条件， 原命题为真逆命题为假；
p是q的必要不充分条件， 原命题为假逆命题为真；
p是q的充要条件， 原命题、逆命题都为真；
p是q的既不充分也不必要条件，
原命题、逆命题都为假.
1．设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是 “a∈N”的__必__要__而__不__充__分________条件。
课后练习 课后习题
【1】直接用定义判断
可按以下三个步骤进行： ①确定条件是什么，结论是什么；
②尝试从条件推导结论，从结论推导条件； ③确定条件是结论的什么条件。
若 p q，且 p q，则p是q的充分不必要条件；
若 p q，且
，则p是q的必要不充分条件；
若 p q ，且 p q，则p是q的充要条件；
若
，且 p q，则p是q的既不充分也不必要条件.
本节课要建立充要条件和推出符号的对应关系 ，理清 对应关系后，重点是判断推出符号成立与否。
现的： 曹操投南郡，除华容道外，还有一条便于通 行的大路，前者路险，但近50余里；后者路平， 却远50余里，曹操令人上山视察敌情虚实，回 报说：“小路山边有数处起烟，大路并无动 静．”曹操说：“诸葛亮多谋， 却 使人于山僻 烧烟，使我军不敢从这条山路上走，他却伏兵 于大路等着，吾已料定，偏不中他计！”结果 致使曹操败走华容道。
《充要条件最新》PPT课件
判断下列 命题的真假
〔1〕若a.>b ,则ac>bc: 假
<2〕若a.>b ,则a+c>b+真c:
真
<3>若 x≥0 ,则x2≥0:
真
<4>若两 三角形全等,则两三角形的面积相等.
一 充分条件与必要条件
如果p 成立,则q一定成立 记作p q,或 q p
如果p 成立,推不出q成立
记作pq
1、（1）a > bac>bc
⑵q p，p是q的必要条件；q p，p是q的不必要条件；
二、新课
1、简化定义： 如果已知p q，则说p是q的充分条件， q是p的必要条件。
2、例2，判断下列问题中，p是q成立的什么条件？
p
q
（1） x2>1
x<-1
（2） |x-2|<3
-x2+4x+5>0
（3） xy≠0
x≠0或y≠0
解：（1）p q，q p （2）p q
A.x<0 B.x≥0 C.x∈{-1,3,5} Dx≤-1/2或x≥3
8.a=3的一个必要不充分条件是__a_>_0_____;
a+b>0的一个充分不必要条件是_a_>_0_且__b__>_0___.
9.已知p、q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是 s的充分条件,那么,
<1>s是q的什么条件?
Srp
<2>r是q的什么条件?
q
<3>p是q的什么条件? S是q的充要条件,r是q的充要条件,
p是q的必要不充分条件
探讨下列生活中名言名句的充要关系. 〔1〕 水滴石穿.
充分条件与必要条件 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
p是q的不充分条件，q是p的不必要条件.
充分条件、必要条件 确定条件p与结论q.
（1）若条件⇒结论，即p⇒q，则p是q的充分条件， （2）若结论⇒条件，即q⇒p，则p是q的必要条件， （3）若条件 ⇏结论，即p ⇏q，则p是q的不充分条件， （4）若结论 ⇏条件，即q ⇏p，则p是q的不必要条件.
记法 集合 A与B 关系
A ⫋B
A={x|p(x)}， B={x|q(x)}
B ⫋A A=B
A ⊈B且 B ⊈A
图示
结论 p 是 q 的
p是q的
充分不必要条件 必要不充分条件
pq q ⇏p
p ⇏q qp
p,q 互为 充要条件
p⇔q
p 是 q 的既不充分
也不必要条件
p ⇏q q ⇏p
【例 1】下列各题中，p 是 q 的什么条件?
p是q的充分不必要条件
(2) p：“x > 0，y > 0”，q：“xy > 0 ”；p是q的充分不必要条件
(3) p：“x>1”，q：“1<x<2”； p是q的必要不充分条件
(4) p：“数 a 能被 6 整除”， q：“数 a 能被 3 整除”；
p是q的充分不必要条件
(5) p：“四边形的两条对角线互相垂直平分”，
p是q的必要不充分条件
(2) p：“a > b”，q：“a|c| > b|c| ”；
p是q的必要不充分条件
(3) p：“x=1 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根”，q：“a+b+c=0”；
p是q的充分不必要条件
【例 2】若 A 是 B 成立的充分条件，D 是 C 成立的必要条件， C 是 B 成立的充要条件，则 D 是 A 成立的（ ）. A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
第5课时充要条件
第5课时作业充要条件1.设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( )A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件3.向量a与非零向量b共线的充要条件为( )A.a=0B.a与b方向相同C.a与b方向相反D.存在k∈R,使a=k b4.“x>1”是“lo(x+2)<0”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.在下列3个结论中,正确的有( )①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充要条件;③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.A.①②B.②③C.①③D.①②③6.设{a n}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{a n}是递增数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.关于x的方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0的两根同号的充要条件是( )A.k<-1或k≥B.-2<k<-1C.-2≤k<-1或<k≤1D.-2≤k≤18.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+3=0垂直”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)10.给定空间中直线l及平面α,条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 11.若条件p:(x+1)2>4,条件q:x2-5x+6<0,则q是p的________条件.12.已知条件p:k=;条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则p是q的________.(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)13.“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)14.设m,n是空间两条直线,α,β是空间两个平面,有下列四个命题:①当m⊂α时,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件;②当m⊂α时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件;③当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件;④当m⊂α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件;以上四个命题正确的是________.(填序号)以下理科做：15.求证:一元二次方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<.第5课时 充要条件1.充要条件(1)定义:若p ⇒q 且q ⇒p,则记作_____,此时p 是q 的充分必要条件,简称充要条件.(2)条件与结论的等价性:如果p 是q 的充要条件,那么q 也是p 的_________.2.互为充要条件如果_____,那么p 与q 互为充要条件.3.命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类(1)充分必要条件(充要条件),即p ⇒q 且q ⇒p;(2)充分不必要条件,即p ⇒q 且q p;(3)必要不充分条件,即p q 且q ⇒p;(4)既不充分又不必要条件,即p q 且q p. 4.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A ⊆B,则p 是q 的充分条件,若A B,则p 是q 的充分不必要条件若B ⊆A,则p 是q 的必要条件,若B A,则p 是q 的必要不充分条件 若A=B,则p,q 互为充要条件若A ⊈B 且B ⊈A,则p 既不是q 的充分条件,也不是q的必要条件1.(2016高考)设x>0,y ∈R,则“x>y ”是“x>|y|”的 ( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件2.已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a ⊥b 的充要条件是( ) A.x= - B.x=-1 C.x=5 D.x=03.已知集合A,B,则“A ⊆B ”是“A ∩B=A ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.在锐角△ABC 中,“A= ”是“________条件.5.函数y=(2-a)x (a<2且a ≠1)是增函数的充要条件是________.6.直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是________.7.求关于x 的一元二次不等式ax 2+1>ax 对于一切实数x 都成立的充要条件.8.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0) 有一个正根和一个负根的充要条件是 ( )A ．ab ＞0B ．ab ＜0C ．ac ＞0D ．ac ＜0．123以下理科生做：1.已知：p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．2. 证明x2＋px＋q≤0的解集只含有一个元素的充要条件是p2＝4q.3.求证：关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1＞0对于一切实数x都成立的充要条件是0＜a＜4.。
1.4.2充要条件课件高一上学期数学人教A版
新知导入
问题1 在初中，我们已经学习过逆命题，那么什么是逆命题？
逆命题：
新知引入
思考 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们 的逆命题都是真命题？
原命题：真 逆命题：真
原命题：真 逆命题：假
原命题：真 逆命题：真
结论：
数学定义和充要条件的关系：数学定义从充分性和必 要性两个方面刻画数学对象，不同的充要条件从不同的角 度刻画了同一个数学对象。
典例剖析
O PQ
分析: p : d r , q : 直线l 与⊙O相切.
要证 p 是 q 的充要条件,就是要证明两个命题成立:
⑴充分性( p q ) ; ⑵必要性( p q )
概念深化
思考
不唯一
“四边形是 平行四边形”
这些充要条件从不同角度刻画 了“平行四边形”这个概念
四边形的两组对边分别平行 四边形的两组对角分别相等 四边形的两组对边分别相等 四边形的一组对边平行且相等 四边形的对角线互相平分
概念深化
类似地，利用“两个三角形全等”的充要条件，可以给 出“三角形全等”的其他定义形式（SSS、SAS、AAS、 ASA、HL），而且这些定义是相互等价的。
FIGHTING
原命题：假 逆命题：真
新知1:充要条件
牛刀小试
归纳
总结： 在[练习1]中，
条件 结论
x>2 x2>4 ab=0 a=0 |a|>|b| a>b
能否推
能否推
与的关系
是q的_充__分__必__要__(_充__要__)条件 是q的___充__分__不__必__要___条件 是q的___必__要__不__充__分___条件 是q的_既__不__充__分__也__不__必__要_条件
2022年初升高数学衔接课程 第5讲 充分条件与必要条件(教师版含解析)
第5讲 充分条件与必要条件一、命题1. 命题的概念：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2. 命题的形式：数学中命题常写成“若p ，则q ”或者“如果p ，那么q ”，通常我们把命题中的p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论.3. 四种命题：(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫作互逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的逆命题. 原命题为“若p ，则q ”,则逆命题为“若q ，则p ”.*(2)一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个命题叫作互否命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题叫作原命题的否命题. 原命题为“若p ，则q ”,则否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.(3)一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题叫作原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”,则逆否命题为“若q ⌝,则p ⌝”.二、充分条件和必要条件1. 定义：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时我们就说，由p 可以推出q ，记作p q ⇒.并且说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.相反，“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作p q ⇒/.此时，我们就说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.2. 充要条件：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔.此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件.重点剖析：1．对充分条件的理解(1) 设集合{}A x x p =满足条件，{}B x x q =满足条件.若A B ⊆,则p 是q 的充分条件;若A B ⊆/,则p 不是q 的充分条件.(2) 我们说p 是q 的充分条件，是指由条件p 可以推出结论q ，但并不意味着只能由这个条件p 才能推出结论q ，一般来说，对给定的结论q ，使得q 成立的条件p 是不唯一的.例如：2636x x =⇒=.但是,当6x ≠时,236x =也可以成立,故“6x ≠”是“236x =”的充分条件.2．对必要条件的理解（1）设集合{}A x x p =满足条件，{}B x x q =满足条件.若A B ⊇,则p 是q 的必要条件;若A B ⊇/,则p 不是q 的必要条件.（2）我们说q 是p 的必要条件，是指以p 为条件可以推出结论q ，但并不意味着由条件p 只能推出结论q .一般来说，对给定的条件p ，由p 可以推出的结论q 是不唯一的.例如：若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等.另外，若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等.显然这两个命题都是正确的.3.证明命题充要性时，既要证明原命题成立(充分性)，又要证明它的逆命题成立(必要性). 例1. 判断下列说法是否是命题.如果是命题，判断其真假.（1）6x >；（2）垂直于同一条直线的两条直线平行么？（3）247+=；（4）武汉市坐落于湖北省；（5）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.【答案】(1)不是；(2)不是；(3)假命题；(4)真命题；(5)假命题.例2. 把下列命题写成“若p ，则q ”的形式,并判断其真假.(1) 实数的平方是非负数；(2) 底边相等且高相等的两个三角形是全等三角形；(3) 能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(4) 弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.【答案】(1)若一个数是实数，则这个数的平方是非负数，是真命题；(2)若两个三角形底边相等且高相等，则这两个三角形全等，是假命题；（3）若一个数能被6整除，则它既能被3整除，也能被2整除，是真命题；（4）若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧，是真命题.例3. 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；（4）若21x =，则1x =；（5）若a b =，则ac bc =；（6）若,x y 为无理数，则xy 为无理数.【答案】(1)(2)(3)(5)中p 是q 的充分条件，(4)(6)中不是.例4. 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；（2）若两个三角形相似，则两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形；（4）若1x =，则21x =；（5）若ac bc =，则a b =；（6）若xy 为无理数，则,x y 为无理数.【答案】(1)(2)(4)中q 是p 的必要条件，(3)(5)(6)中不是.例5. 下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）:p 四边形是正方形，:q 四边形的对角线互相垂直且平分；（2）:p 两个三角形相似，:q 两个三角形三边成比例；（3）:p 0xy >：，:q 0,0x y >>；（4）:p 1x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，:q ()00a b c a ++=≠.【答案】(2)(4)例6. 设:431p x -≤，()22:210q x a x a a -+++≤.若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】102a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ 【解析】由431x -≤得1431x -≤-≤，解得112x ≤≤，即1:12p x ≤≤， 由()22210x a x a a -+++≤得()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦，解得1a x a ≤≤+， p 是q 的充分不必要条件，p q ∴⇒，q p ⇒/，112x x ⎧⎫∴≤≤⎨⎬⎩⎭⫋{}1x a x a ≤≤+， 1211a a ⎧≤⎪∴⎨⎪+≥⎩，解得102a ≤≤，所以a 的取值范围为102a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 例7. 求证：一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一负根的充要条件是0ac <.【证明】充分性：若0ac <，则一元二次方程20ax bx c ++=的判别式240b ac ∆=->， 所以方程一定有两不等实根，设为12,x x ，则120c x x a=<， 所以方程的两根异号，即方程20ax bx c ++=有一正根和一负根；必要性：若一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，设为12,x x ，根据韦达定理得120c x x a=<，即0ac <. 综上可知，一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一负根的充要条件是0ac <.例8. 求关于x 的一元二次不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立的充要条件. 【答案】{}04a a <<【解析】必要性：若一元二次不等式21ax ax +>，即210ax ax -+>对于一切实数x 都成立， 则2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<； 充分性：若04a <<，则222111024a ax ax a x ⎛⎫-+=-+-> ⎪⎝⎭， 即一元二次不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立.综上可知，不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立的充要条件是{}04a a <<.例9. 已知全集U R =，非空集合203x A x x -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，()(){}220B x x a x a =---<. （1）当12a =时，求()U C B A ；（2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)122x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或；(2){}112a a a ≤-≤≤或. 【解析】(1)当12a =时，191902424B x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎧⎫=--<=<<⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭， 1924U C B x x x ⎧⎫∴=≤≥⎨⎬⎩⎭或， 又{}20233x A x x x x -⎧⎫=<=<<⎨⎬-⎩⎭，()122U C B A x x x ⎧⎫∴=≤>⎨⎬⎩⎭或； (2)()22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，()(){}{}22202B x x a x a x a x a ∴=---<=<<+， 若q 是p 的必要不充分条件，则A ⫋B ，所以2223a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得1a ≤-或12a ≤≤， 所以a 的取值范围为{}112a a a ≤-≤≤或.跟踪训练1. “()210x x -=”是“0x =”的( )A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若()210x x -=，则0x =或12x =，即()2100x x x -=⇒=/，若0x =，则()210x x -=，即()0210x x x =⇒-=，所以“()210x x -=”是“0x =”的必要不充分条件，故选B.2. 设x R ∈，则“250x x -<”是“11x -<”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由250x x -<得05x <<，由11x -<得111x -<-<，即02x <<，0502x x <<⇒<</，0205x x <<⇒<<，05x ∴<<是02x <<的必要不充分条件，即“250x x -<”是“11x -<”的必要不充分条件，故选B.3. 设:24p x -<<，()():20q x x a ++<；若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 应满足( )A.4a >B.4a <-C.4a ≤-D.4a ≥【答案】B 【解析】若q 是p 的必要不充分条件，则{}24x x -<<⫋()(){}20x x x a ++<， 所以()(){}{}202x x x a x x a ++<=-<<-，且4a ->，即4a <-，故选B.4. 设:p 实数x 满足22430x ax a -+<(其中0a >)，:23q x <≤.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 . 【答案】{}12a a <≤【解析】由22430x ax a -+<得3a x a <<， p 是q 的必要不充分条件，{}23x x ∴<≤⫋{}3x a x a <<，233a a ≤⎧∴⎨>⎩，解得12a <≤，所以a 的取值范围是{}12a a <≤.5. 已知{}44P x a x a =-<<+，{}13Q x x =<<.“x P ∈”是“x Q ∈”的必要条件，则实数a 的取值范围是 . 【答案】{}15a a -≤≤【解析】由“x P ∈”是“x Q ∈”的必要条件可知Q P ⊆，所以4143a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得15a -≤≤，所以a 的取值范围是{}15a a -≤≤.6. 已知条件2:340p x x --≤，条件22:690q x x m -+-≤.若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】{}44m m m ≤-≥或【解析】由2340x x --≤得14x -≤≤，由22690x x m -+-≤得()()330x m x m -+--≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 当0m =时，:3q x =；当0m <时，:33q m x m +≤≤-；当0m >时，:33q m x m -≤≤+， p 是q 的充分不必要条件，{}14x x ∴-≤≤⫋()(){}330x x m x m -+--≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 03134m m m <⎧⎪∴+≤-⎨⎪-≥⎩或03134m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解得4m ≤-或4m ≥， 综上可知，m 的取值范围为{}44m m m ≤-≥或.7. 已知,x y 是非零实数，且x y >，求证：11x y<的充要条件为0xy >. 【证明】充分性：若0xy >，则110y x x y xy --=<，即11x y<成立； 必要性：若11x y <，则110y x x y xy--=<，即0xy >成立. 综上所述，11x y<的充要条件为0xy >.。
1.4充分条件与必要条件说课2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
（2）有志者事竟成
（3）名师出高徒
08-作业
课后作业
必做作业
1.本节书上的课后练习和习题。（要求先写出，再判断）
选做作业
2.讨论研究同学们的自编题。
3.完成教材24页阅读与思考内容。
09-板书设计
§
1.4 充分条件与必要条件
3.3 函数的实际应用举例
---分段函数的应
1.定义：
用
一、温故知新
学生展示：
（1）若⇒ q则是的充分条件,q是的必要条件；
1.函数值的求法.
（2）若⇔ q则是的充要条件；
(选择、代入)
2.图像的作法.
2.判别步骤：
3.判别技巧：
二、解决实际问题的方法：
（1）找出，;
（1）简化命题。
1.数据整理;
（2）判断⇒ q与p ⇒ p的真假；
是函数图象与轴有交点的充分不必要条件。
07-练习
第二组题
(1).“Q是R的充分不必要条件”改正为: ∈Q 是 ∈R 的条件;
(2).“等腰三角形底角相等是什么条件”改正为:“一个三角形为等腰
三角形”是“一个三角形有两个角相等”的条件。
07-练习
练习2
题目：探讨下列生活中名言名句的充要关系.
、生动，并巧妙的把待解决的问题
转化为以前学过的问题，让学生在
不知不觉中掌握了数学知识。
三、努力让学生参与到教学活动中去
07-练习
练习1
采用开放式教学，课前请学生在预习的基础上，以学习小组为单位，在尽
可能广泛的知识范畴中，课外编制关于充分条件、必要条件的命题。
教师借助实物投影仪，在课上有目标地选择三组通过组合的学生自编题原
充要条件 课件
变式训练2在△ABC中,求证角A,B,C成等差数列的充要条件是
B=60°.
证明充分性:
在△ABC中,A+B+C=180°.
∵B=60°,∴A+C=120°,
∴A+C=2B.∴A,B,C成等差数列.
必要性:
∵A,B,C成等差数列,∴A+C=2B.
又A+B+C=180°,∴3B=180°,∴B=60°.
(a2+a)×1+2(a+1)=0,解得a=-1或a=-2.
∴“a=-1”是“直线l1:(a2+a)x+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0垂直”
的充分不必要条件.故选A.
答案：(1)A (2)A
充要条件的证明
【例2】 求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数
x都成立的充要条件是0<a<4.
具体问题进行判断时,要注意以下几点:
(1)确定条件p是什么,结论q是什么.
(2)尝试从条件推结论,若p⇒q,则充分性成立,p是q的充分条件.
(3)尝试从结论推条件,若q⇒p,则必要性成立,p是q的必要条件.
2.判断充分必要条件的常用方法.
(1)定义法:按如下步骤进行:①分清条件与结论,即分清哪一个是
B={x|q(x)},利用集合间的包含关系加以判断,具体情况如下:
①若A⊆B,则p是q的充分条件;②若A⊇B,则p是q的必要条件;③若
A=B,则p是q的充要条件.
变式训练1(1)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是
(
)
1
1
A.若 = ,则 x=y
《充要条件》示范课教学课件【高中数学人教A版】
（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
（3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac＜0；
（4）若A∪B是空集，则A与B均是空集．
如果p不是q的充分条件，也不是q的必要条件，称p是q的既不充分又不必要条件．
新知探究
新知探究
新知探究
充要条件：数学定义
判断方法：命题法
证明充要条件：需要分充分性和必要性两步证明
新知探究
作业：教科书练习第1，2，3题；习题1.4第1到6题．
作业布置
（2015浙江）设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的（ ）
目标检测
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
新知探究
数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．
例4 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
追问 依据充要条件定义，证明“d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件”，应该证明哪些命题为真命题？并尝试给出证明思路．
④若A∪B是空集，则A与B均是空集．
②若两个三角形全等，则这两个三形的周长相等；
（2）请分别写出下列命题的逆命题．
①若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
问题导入
（1）“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”，而且它们是互逆的．
（2）①若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
（3）p：xy＞0，q：x＞0，y＞0；
新教材人教A版1.4充分条件与必要条件课件(25张)
√
【解析】 (1)由x＝y可以推出x2＝y2，则“x＝y”是“x2＝y2”的充 分条件． (2)当ab＝0时，不一定有b＝0，但b＝0时，一定有ab＝0，所 以“ab＝0”是“b＝0”的必要条件． (3)当x2>1时，x>1不一定成立，如(－2)2>1，但－2<1；当x>1 时，可得x2>1.所以“x2>1”是“x>1”的必要条件． (4)当x2－3x＋2＝0时，可得x＝1或x＝2；当x＝1或x＝2时，可 推出x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充 要条件．
1．下列四个命题中，真命题是C( ) A．两个无理数的和还是无理数 B．若a2＝b2，则a＝b C．正方形的四边相等 D．菱形的对角线相等
【解析】 两个无理数的和不一定是无理数，
如(1－ 2 )＋ 2 ＝1； 若 a2＝b2，则 a＝±b；正方形的四边相等； 菱形的对角线互相垂直．
2．若a，b∈R，则a＞b＞0是a2＞b2的A( ) A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 【解析】 由a＞b＞0可推出a2＞b2； 但由a2＞b2无法推出a＞b＞0， 如a＝－2，b＝1，即a＞b＞0是a2＞b2的充分不必要条件．
例3 已知p：－3≤x≤1，q：1－a≤x≤1＋a，且q是p的必要不充
分条件，则a的取值范围是( C )
A．{a|a>4}
B．{a|a≤0}
C．{a|a≥4}
D．{a|a<0}
【解析】 因为 q 是 p 的必要不充分条件， 1－a≤－3， 1－a<－3，
即 p⇒q，但 q p，所以1＋a>1， 或1＋a≥1， 解得 a≥4.故选 C.
充要条件ppt课件
概念讲解
练习：设集合A={1， ，-2} ，集合B={2，4}，则“ = ”是“ ∩ = ”
的（ A ）条件.
A.充分不必要
解：
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
概念讲解
归纳小结：判断充充要条件的方法
【1】定义法：
【2】等价法
【3】赋值法
03
集合角度研究充要条件
错误在于把不可靠的臆作为已知条件,经过推理,得到的结论当然是不可靠的。
温故知新
一般地，“若p则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，
我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，
并且说p是q的充分条件，
q是p的必要条件。
02
充要条件
概念讲解
探究：如果p⇒q，p是q的什么条件？q是p的什么条件?
故一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是 ac<0.
概念讲解
方法总结
有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条件,
由“条件”⇒“结论”是证明充分性,
由“结论”⇒“条件”是证明必要性.证明要分两个环节:一是证充分性;二是证必
要性.
05
人教A版2019必修第一册
第 1 章 集合与常用逻辑用语
1.4.2
充要条件
教学目标
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
01
情境引入
∴方程 ax2+bx+c=0 有两个实数根.
高中数学《充要条件》课件
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
解析
1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法. 2.充要条件的证明与探求 (1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明，在证明时要注意两种叙述 方式的区别： ①p 是 q 的充要条件，则由 p⇒q 证的是充分性，由 q⇒p 证的是必要性； ②p 的充要条件是 q，则 p⇒q 证的是必要性，由 q⇒p 证的是充分性. (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步 的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
1．2.2 充要条件
课前自主预习
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
充要条件
(1)充要条件
□01 一般地，如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作 p⇔q.此时，我们说，p 是 q 的 充分必要条件，简称□02 充要条件 .
(2)常见的四种条件与命题真假的关系
如果原命题为“若 p，则 q”，逆命题为“若 q，则 p”，那么 p 与 q 的关系 有以下四种情形：
课后课时精练
(2)“x2<1”的充要条件是_______________________________________． (3)“x2 － 1 ＝ 0” 是 “|x| － 1 ＝ 0” 的 ________ 条 件 ． ( 从 “ 充 分 不 必 要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空) (4)如果不等式 x≤m 成立的充分不必要条件是 1≤x≤2，则 m 的最小值 为________．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
[结论探究] 如果把例 2 中问题改为“求证 A，B，C 成等差数列的充要 条件是 B＝60°”，怎样解答？
充要条件课件高一上学期数学人教A版(2019)必修一
－ａ > ０
⟺
－ｂ > ０
对应练习：
已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0
(预备知识：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))
经典例题
题型
充要条件的应用
例 设 A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若 x∈B 成立的一个
充分不必要条件是 x∈A，则实数 m 的取值范围是________．
• （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分P不是q的充要条件
• （2）p:两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例
P是q的充要条件
• （3）p：xy>0,q:x>0,y>0 P不是q的充要条件
• （4）p：x=1是一元二次方程ax 2
a+b+c=0( a
0)
bx c 0的一个根，q：
+ >+
若a, b, x, y∈R，求证：
的充要条件是
( − )( − ) > 0
>
.
>
+ >+
( − )( − ) > 0
>ａ
⟺ >ｂ
（ − ） + （－）＞０
⟺
( − )( − ) > 0
每一步的变形都必需是等价的！
⟺表示“等价于”，即充要的意思
k≤ ，
k≤ ，
4
4
⇔x1－1x2－1>0，
⇔x x －x ＋x ＋1>0， ⇔k2＋2k－1＋1>0，
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第5课时作业充要条件
1.设a,b是实数，则"a+b>0”是"ab>0”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（）
A•丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D. 丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
3.向量a与非零向量b共线的充要条件为（）
A. a=0
B. a与b方向相同
C. a与b方向相反
D.存在k€ R，使a=k b
4.“x>1 ”是“ Io _（x+2）<0 ”的（）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
5.在下列3个结论中，正确的有（）
2 3
①x >4是x <-8的必要不充分条件；
②在△ ABC中,AB2+AC=BC是厶ABC为直角三角形的充要条件；
③若a,b € R,则“ a2+b2^ 0”是“ a,b不全为0”的充要条件.
A.①②
B.②③
C. ①③
D.①②③
6.设｛a n｝是等比数列，则“ aKa2<a3”是“数列｛a n｝是递增数列”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.关于x的方程2（k+1）x 2+4kx+3k-2=0的两根同号的充要条件是（）
A.k<-1 或 k —
B.-2<k<-1
C.-2 w k<-1 或-<k w 1
D.-2 w k w 1
8.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线
x+y=1 ”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9.___________________________________ “ m=-1”是“直线mx+
（2m-1）y+仁0与直线3x+my+3=0垂直”的_________________________________ 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要” “既不充分也不必要”）
10.给定空间中直线I及平面a ,条件“直线l与平面a内两条相交直线都垂直”是“直线I与平面
a垂直”的_________ 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要” “既不充分也不必要”）
11._____________________________ 若条件 p:（x+1）2>4,条件 q:x 2-
5X+6<0,贝U q 是 p 的______________________________________ 条件.
12._______________________________________ 已知条件p:k= _;条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的 _________________________________ .（填"充分不必
要条件” “必要不充分条件” “充要条件”或“既不充分也不必要条件”）
13._______________________________________________ “ k>4,b<5 ”是"一次函数y=（k-4）x+b-5 的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的__________________ 条件.（填“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”）
14.设m,n是空间两条直线,a , 3是空间两个平面，有下列四个命题：
①当m? a时，"n// a ”是“ m// n”的必要不充分条件；
②当m? a时，“ml 3 ”是"a丄3 ”的充分不必要条件；
③当n丄a时，"n丄3 ”是"a//3 ”成立的充要条件；
④当m? a时，"n丄a ”是“ m±n”的充分不必要条件；
以上四个命题正确的是_________ .（填序号）
以下理科做：
15.求证：一元二次方程mx-2x+3=0有两个同号且不相等的实根的充要条
件是0<m<.
第5课时充要条件
1.充要条件
(1)定义:若p? q且q? p,则记作_____ ，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件.
(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的____________ .
2.互为充要条件
如果 ____ ，那么p与q互为充要条件.
3.命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类
(1)充分必要条件(充要条件),即p? q且q? p；
⑵充分不必要条件，即p? q且p；
(3)必要不充分条件，即p q且q? p;
⑷既不充分又不必要条件，即p q且q l尹p.
4.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
1.(2016 高考)设x>O，y € R，则“ x>y” 是“ x>|y|” 的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知向量a=(x-1,2)，b=(2,1)，则a丄b的充要条件是( )
A.x= -
B.x=-1
C.x=5
D.x=0
3.已知集合A,B,则“ A? B”是“ A A B=A ”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
门. ■'■■3
4.在锐角厶ABC中，“ A=—”是“ sinA= ”成立的___________ 条件.
2
5. _______________________________________________ 函数y=(2-a)x(a<2且a* 1)是增函数的充要条件是____________________________________________ .
22
6.直线x+y+m=0 与圆(x-1)2+(y-1)2=2 相切的充要条件是 ________ .
7.求关于x 的一元二次不等式ax2+1>ax 对于一切实数x 都成立的充要条件.
8.—元二次方程ax2+ bx+ c= 0 (a丰0)有一个正根和一个负根的充要条件是( )
A. ab> 0
B. ab v 0
C. ac> 0
D. ac v 0.
以下理科生做：
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1.已知：p：—2< x< 10q: x -2x+ 1 —m < 0(n>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数取值范围．
2.证明x2+ px+ q WO的解集只含有一个元素的充要条件是p2= 4q.
3.求证：关于x的一元二次不等式ax2—ax + 1> 0对于一切实数x都成立的充要条件是0v a v
4.。