函数图像的四种变换形式
初中数学函数像的变换与特点解析
初中数学函数像的变换与特点解析函数在数学中扮演着至关重要的角色，它帮助我们描述了数学世界中事物的变化规律。
而函数的变换则涉及到了图像在平面坐标系中的移动、翻转、拉伸等操作。
在本文中，我们将探讨初中数学中函数像的变换以及其特点。
一、平移变换平移变换是指将函数图像沿横轴或纵轴方向上移动一定的距离。
当函数图像沿横轴正方向平移时，所有的横坐标减去一个固定值；当函数图像沿纵轴正方向平移时，所有的纵坐标减去一个固定值。
这种变换不改变函数的形状，只是改变了函数的位置。
二、翻转变换翻转变换是指将函数图像关于横轴或纵轴进行对称。
当函数图像关于横轴翻转时，所有的纵坐标变号；当函数图像关于纵轴翻转时，所有的横坐标变号。
这种变换会改变函数图像的形状，使得原来在上方的部分变为下方，原来在左边的部分变为右边。
三、拉伸变换拉伸变换是指将函数图像在横轴或纵轴方向上进行伸缩。
当函数图像在横轴方向上拉伸时，所有的横坐标乘以一个大于1的系数；当函数图像在纵轴方向上拉伸时，所有的纵坐标乘以一个大于1的系数。
这种变换会改变函数的形状，使得原来的函数图像变得更“瘦”或更“胖”。
四、特点解析1. 平移变换不改变函数的形状，只改变位置，所以函数的特点如对称轴、极值点等不会发生改变。
2. 翻转变换会改变函数的形状，例如原来是增函数的函数翻转后会变为减函数，原来是奇函数的函数翻转后会变为偶函数。
3. 拉伸变换会改变函数的形状，例如横向拉伸会使得函数的周期变大，纵向拉伸会使得函数的幅值变大。
综上所述，函数的像的变换包括了平移、翻转和拉伸三种操作。
这些变换使得我们能够更好地理解函数在平面坐标系中的表现形式，并帮助我们准确描述数学世界中事物的变化规律。
在学习和应用函数中，我们需要熟练掌握这些变换的特点和规律，以便更好地解决与函数相关的问题。
通过本文的论述，我们对初中数学中函数像的变换与特点有了更深入的了解。
希望读者能够通过实际操作和练习，进一步巩固和应用所学的知识，从而提高数学水平，并在解决实际问题中灵活运用函数像的变换原理。
函数图像变换(整理)
函数的图象变换函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。
由函数y = f (x)可得到如下函数的图象1． 平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。
(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。
2． 对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。
(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。
(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。
(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。
(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。
(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。
(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。
（留正去负，正左翻（关于y 轴对称））；(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。
(留正去负，负上翻；)一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。
✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。
(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。
3． 伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m 1倍得到。
函数的图像及其变换(完整版)
函数的图像及其变换(完整版)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN函数的图像及变换一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称） 关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）例1：已知2()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1()f x x=，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（ ）.A. 1x -B. 12x +C.12x -+D. 12x- 例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-<x 3π<时，'()0f x >”的一个函数是（ ）A.()sin(2)6f x x π=+B. ()cos(2)3f x x π=+C. ()sin(2)6f x x π=-D. ()cos(2)6f x x π=-①关于形如()y f x =的图像画法：当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.②关于形如()y f x =的图像画法当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.（1）12log y x = （2）228y x x =--例4:设函数2()45f x x x =--.（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞.试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.①左右平移把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像②上下平移把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-平移后得到新的图象解析式为 例5:把一个函数的图象按向量(,2)8a π=-平移后得到的图象的解析式为sin(2)24y x π=+-，则原来函数的解析式 .Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的1a倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21()2lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域；（2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.【练习】1.为了得到函数321x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（ ）.A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)yx x =+≥的图像关于y x =对称的是（ ）.3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()f x x=，则函数()y f x =的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ）.A.3B.4C.6D.84.将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（ ）.A. 1,0a b =-≠B. 1,a b R =-∈C.1,0a b =≠D. 0,a b R =∈ 5.已知21()f x x x =+，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.6.画出下列函数的图像.（1）ln y x = （2）26y x x =--7. 函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <.（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应于哪一个函数；（2）若12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)f g f g 的大小关系.8.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()2f x x x =+. （1）求函数()g x 的解析式； （2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.6. 已知函数()y f x =，把函数()y f x =的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格.①32x y =；②2-=x y；③21xy =；④1-=x y ；⑤31x y =；⑥23x y =；⑦34x y =； ⑧21-=x y ；⑨35x y =.函数代号 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号HI常规函数图像有：指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 .对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。
函数图像的四种变换形式
函数图像的四种变换1．平移变换左加右减，上加下减)()(axfyxfy+=−→−=沿x轴左移a个单位；)()(axfyxfy-=−→−=沿x轴右移a个单位；axfyxfy+=−→−=)()(沿y轴上移a个单位；axfyxfy-=−→−=)()(沿y轴下移a个单位。
2.对称变换同一个函数求对称轴或对称中心，则求中点或中心。
两个函数求对称轴或对称中心，则求交点。
（1）对称变换①函数)(xfy=与函数)(xfy-=的图像关于直线x=0(y轴)对称。
②函数)(xfy=与函数)(xfy-=的图像关于直线y=0(x轴)对称。
③函数)(axfy+=与)(xbfy-=的图像关于直线2ab x -=对称（2）中心对称①函数)(xfy=与函数)(xfy--=的图像关于坐标原点对称②函数)(xfy=与函数)2(2xafyb-=-的图像关于点（a,b）对称。
3伸缩变换（1）)(xafy=的图像，可以将)(xfy=的图像纵坐标伸长（a>1）或缩短（a<1）到原来的a倍，横坐标不变。
（2）)(axfy=（a>0）的图像，可以将)(xfy=的横坐标伸长（0<a<1）或缩短（a>1）到原来的1/a倍，纵坐标不变。
4．翻折变换（1）形如)(x f y =，将函数)(x f 的图像在x 轴下方的部分翻到x 轴上方，去掉原来x 轴下方的部分，保留原来在x 轴上方的部分。
（2）形如)(y x f =，将函数)(x f 在y 轴右边的部分沿y 轴翻到y 轴左边并替代原来y 轴左边部分，并保留)(x f y 轴左边部分，为)(y x f =的图像。
习题：①做出32y 2++=）（x 的图像 ②做出3+=x y 的图像。
函数图象变换
y
y = 2|x-1|
把 y = 2|x| 图象向右平移1个单位 得到函数 y = 2|x-1| 的图象. 由图象知函数的对称轴为 x=1 ，
0
x
函数的单调增区间为 [1 ，+∞)， 单调减区间为 (-∞，1].
函数图象的四大变换之
对称变换
1 例6设f(x)= (x>0)，求函数y=-f(x)、y=f(-x)、y=x
∴ y = 2|x| 图象关于y轴对称.
y = 2|x|
0
x
例5.
先作出函数 y = 2|x| 的图象， 解： 2 x ••• x 0) x ( 2 •• x 0) ( | x| y 2 x 1 x 2 ( x 0) ( ) ( x 0) 2 又 y = 2|x| 是偶函数，
f(-x)的解析式及其定义域并分别作出它们的图象。
y
y=f(x) y=f(-x)
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
1
x
o
1
x
o
y=-f(-x)
1
x
y=-f(x)
对 称 变 换
图象关于 x轴对称
图象关于
图象关于
原点对称
y轴对称
例7.指数函数 y = 2x 的图象与函数 y = 2-x ，y=-2x ，y = -2-x 的图象的关系：
x 3
(3，4) 3 图象恒过定点 _________.
3 图象是由 y a 3
沿 x 轴向右平移 3 个单位，再
沿 y 轴向上平移 3 个单位所得 .
又 y a 图象过定点 0 ， ， （ 1 ）
函数图象的四大变换
y y
x
x
x
x
A
B
C
D
解析：由f(x)g(x)是偶函数否定A、D， 当x→±∞时，f(x)g(x) →－∞，故选C.
2、画函数图象，由图象求解析式
例2 已知函数y=f (x)是在R上以2为周期的奇函数，在区 间［0,1）上的图象如下图所示，并已知该区间上图象是 一个二次函数的图象的一部分，点(1,1)是其顶点.试作出 y=f (x)在区间［－2,2］上的图象，并求该区间上的解析式.
. .
-1
-1
-1
.
1
2
.
X
-2
. . . . .
1 -1 1 -1
2
2
X
C
D
分析：根据y=F(x)= xf `(x)的图象，得F(1)＝ f `(1)＝0， F（－1）＝ － f `(－ 1)＝0， ∴ f `(1)＝ f `(－ 1)＝0， ∴ x＝1和x= － 1是f (x)的极值点.故选C. Y 提问：本例除了从图形获取有效信息： 2 .1 f `(1)＝ f `(－ 1)＝0之外， .-2 -1. .1 还能获取什么有效信息？ -1. ［注：如1＜x<2时，xf `(x)＞0，∴ f `(x) ＞0，
（1）f(x-1)=(x-1)2 （2）f(x+1)=(x+1)2 （3）f(x)+1=x2+1 （4）f(x) -1=x2-1
y=f(x+1) 1 -1 O y=f(x)-1-1 1 y=f(x-1)
x
函数图象的平移变换：
左右平移 （a>0） 上下平移 (a>0)
y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x)
函数图像的变换法则
（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a
a ax a a a
x
ax a ax
1 y 1
a a a
x
a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
初中数学函数变换总结
初中数学函数变换总结
函数变换是数学中的重要概念之一。
在初中数学研究中，我们会遇到各种各样的函数变换的问题。
下面是对初中数学函数变换的一些总结：
1. 平移变换
平移变换是指将函数图像沿着坐标轴平行地移动一定的距离。
对于函数y=f(x)，平移变换可以表示为y=f(x-a)，其中a为平移的距离。
当a为正数时，图像向右平移；当a为负数时，图像向左平移。
2. 翻折变换
翻折变换是指将函数图像沿着某条直线翻转。
常见的翻折变换有关于x轴的翻折和关于y轴的翻折。
对于函数y=f(x)，关于x轴的翻折可以表示为y=-f(x)，而关于y轴的翻折可以表示为y=f(-x)。
3. 缩放变换
缩放变换是指将函数图像在某个方向上进行拉伸或压缩。
对于
函数y=f(x)，缩放变换可以表示为y=k*f(x)，其中k为缩放因子。
当k大于1时，图像在该方向上被拉伸；当k小于1时，图像在该
方向上被压缩。
4. 求反函数
求反函数是指将函数的自变量和因变量互换。
对于函数y=f(x)，其反函数可以表示为x=f^(-1)(y)。
求反函数可以通过交换x和y的
位置，并解方程的方法得到。
5. 组合函数
组合函数是指将多个函数进行组合。
对于函数y=f(g(x))，其中
g(x)和f(x)均为函数，可以通过先对x进行g(x)的变换，再对结果
进行f(x)的变换得到最终的结果。
总结起来，初中数学函数变换包括平移变换、翻折变换、缩放变换、求反函数和组合函数。
通过对这些函数变换的理解和掌握，可以更好地解决数学问题，提高数学水平。
课堂笔记 高中数学 函数图像及其应用
函数图像及其应用课堂笔记【知识梳理】一.函数图象变换的四种形式•平移变换1.()y f x a =-的图象可由()y f x =的图象沿x 轴向右（0a >）或向左（0a <）平移||a 个单位长度得到;2.()y f x h =+的图象可由()y f x =的图象向上（0h >）或向下（0h <）平移||h 个单位长度得到.•伸缩变换1.()(0)y kf x k =>的图象可由()y f x =的图象上的所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的k 倍而得到（1k >时伸长,01k <<时缩短）.2.()(0)y f kx k =>的图象可由()y f x =的图象上的所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的1k而得到（1k >时缩短,01k <<时伸长）.•对称变换1.()y f x =与()y f x =-的图象关于对称;2.()y f x =与()y f x =-的图象关于对称;3.()y f x =与()y f x =--的图象关于对称;4.()y f x =与(2)y f a x =-（或()y f a x =+与()y f a x =-）的图象关于直线对称;5.()y f x =与2(2)y b f a x =--（或()()f a x b b f a x +-=--）的图象关于点对称.•翻折变换1.|()|y f x =的图象:可将()y f x =的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,其余部分不变;2.(||)y f x =的图象:可先作出()y f x =在y 轴及其右侧的图象,再利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质,作出y 轴右侧图象关于y 轴对称的图象.【题型之一：函数图像辨析】1.经常考小题（选择题）处理办法：（1）定义域值域（2）奇偶性（3）特殊点的位置与初中二次函数所学到的一样 左加右减上加下减这个变换主要在三角函数里面使用暂时先不接触！先关于y 轴对称，再关于x 轴对称，其实就是直接关于原点对称了，对吧？用的不多，可以先缓缓！有了绝对值，说明函数值（纵坐标不会是负数）加了绝对值，说明是个偶函数！图像关于y 轴对称基础拔高（4）函数值变化规律（极限）2.会不会考大题呢？要有思想准备，假如让我出高考题，我可能会出这样一道试题：研究函数1212)(+-=x x x f 的图像，并说明理由。
高中数学函数图象的4种简单变换知识点总结(平移、对称、翻折、伸缩)
高中数学函数图象的简单变换知识点总结 高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。
一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位 如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到； 1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位 如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。
1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。
二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象 ③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象 如：（i ）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到； ②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii ）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =- 的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由 ()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--= 2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。
函数图像的变换技巧例题和知识点总结
函数图像的变换技巧例题和知识点总结函数图像是研究函数性质的重要工具，通过对函数图像进行变换，可以更直观地理解函数的特点和规律。
下面我们将介绍一些常见的函数图像变换技巧，并通过例题来加深理解。
一、平移变换1、水平平移对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像向左平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x ＋ h)＼）；向右平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x h)＼）。
例如，函数\（y ＝ x^2\）的图像向左平移\（2\）个单位，得到\（y＝（x ＋ 2)＾2\）的图像；向右平移\（3\）个单位，得到\（y ＝（x 3)＾2\）的图像。
例题：将函数\（y ＝ 2x ＋ 1\）的图像向左平移\（3\）个单位，求平移后的函数表达式。
解：将\（x\）替换为\（x ＋ 3\），得到平移后的函数为\（y ＝ 2(x＋ 3) ＋ 1 ＝ 2x ＋ 7\）2、竖直平移函数\（y ＝ f(x)＼）的图像向上平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) ＋ k\）；向下平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) k\）。
例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像向上平移\（1\）个单位，得到\（y ＝＼sin x ＋ 1\）的图像；向下平移\（2\）个单位，得到\（y ＝＼sin x 2\）的图像。
例题：将函数\（y ＝＼log_2 x\）的图像向下平移\（2\）个单位，求平移后的函数表达式。
解：平移后的函数为\（y ＝＼log_2 x 2\）二、伸缩变换1、水平伸缩对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像上所有点的横坐标伸长（或缩短）到原来的\（＼omega\）倍（＼（＼omega ＞0\）），纵坐标不变，得到\（y ＝ f(＼frac{1}｛＼omega}x)＼）。
当\（＼omega ＞ 1\）时，图像沿\（x\）轴缩短；当\（0 ＜＼omega ＜ 1\）时，图像沿\（x\）轴伸长。
例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像横坐标缩短到原来的\（＼frac{1}｛2}＼），得到\（y ＝＼sin 2x\）的图像；横坐标伸长到原来的\（2\）倍，得到\（y ＝＼sin ＼frac{1}｛2}x\）的图像。
函数图像变换的四种情况
函数图像的变换有四种主要情况，它们分别是平移、缩放、翻转和旋转。
1. 平移（Translation）：平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向移动一定的距离。
平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
水平平移表示在x 轴方向上移动函数图像，垂直平移表示在y 轴方向上移动函数图像。
平移可以使函数图像的位置发生变化，但不改变其形状。
2. 缩放（Scaling）：缩放是指根据比例因子将函数图像在x 轴和y 轴方向上进行拉伸或压缩。
缩放可以分为水平缩放和垂直缩放两种情况。
水平缩放会改变函数图像在x 轴上的横向长度，垂直缩放会改变函数图像在y 轴上的纵向长度。
缩放会改变函数图像的形状和大小。
3. 翻转（Reflection）：翻转是指将函数图像关于某个轴进行对称操作。
常见的翻转有关于x 轴的翻转和关于y 轴的翻转。
关于x 轴的翻转会使函数图像在x 轴上下翻转，而关于y 轴的翻转会使函数图像在y 轴左右翻转。
翻转会改变函数图像的对称性和方向。
4. 旋转（Rotation）：旋转是指将函数图像绕一个旋转中心点
进行旋转角度的变换。
旋转可以使函数图像在平面上发生旋转，改变其角度和位置。
旋转可以是顺时针旋转或逆时针旋转。
这些函数图像变换情况可以单独或组合使用，可以通过改变函数的参数或对函数表达式进行修改来实现。
它们在数学和图形学中被广泛应用，用于研究和描述函数的性质和图像的变化。
函数图像及其变换(完整版)
函数的图像及变换一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称） 关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）例1：已知2()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1()f x x=，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（ ）.A. 1x -B. 12x +C.12x -+D. 12x- 例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-<x 3π<时，'()0f x >”的一个函数是（ ） A.()sin(2)6f x x π=+B. ()cos(2)3f x x π=+C. ()sin(2)6f x x π=-D. ()cos(2)6f x x π=-①关于形如()y f x =的图像画法：当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.②关于形如()y f x =的图像画法当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.（1）12log y x = （2）228y x x =--例4:设函数2()45f x x x =--.（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞.试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.①左右平移把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像②上下平移把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-平移后得到新的图象解析式为 例5:把一个函数的图象按向量(,2)8a π=-平移后得到的图象的解析式为sin(2)24y x π=+-，则原来函数的解析式 .Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的1a倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21()2lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域； （2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.【练习】1.为了得到函数321x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（ ）.A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)yx x =+≥的图像关于y x =对称的是（ ）.3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()f x x =，则函数()y f x =的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ）.A.3B.4C.6D.84.将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（ ）.A. 1,0a b =-≠B. 1,a b R =-∈C.1,0a b =≠D. 0,a b R =∈ 5.已知21()f x x x =+，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.6.画出下列函数的图像.（1）ln y x = （2）26y x x =--7. 函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <.（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应于哪一个函数；（2）若12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)f g f g 的大小关系.8.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()2f x x x =+. （1）求函数()g x 的解析式； （2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.6. 已知函数()y f x =，把函数()y f x =的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格.①32x y =；②2-=x y ；③21x y =；④1-=x y ；⑤31x y =；⑥23x y =；⑦34x y =； ⑧21-=x y ；⑨35x y =.常规函数图像有：函数代号 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号HI指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 .对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。
函数图像的变换及应用
函数图像的变换及应用函数图像的变换指的是通过对函数图像进行一系列的操作，使得原函数图像在坐标系中发生平移、伸缩、翻折等变化，从而得到新的函数图像。
这些变换可以通过改变函数的参数或者利用一些特定的变换公式来实现。
函数图像的变换有很多种，下面列举几种常见的变换及其应用：1. 平移变换：平移变换是将函数图像在坐标系上沿着横轴或者纵轴方向进行移动。
对于函数y=f(x)，平移变换可以表示为y=f(x-a)+b，其中a表示横向平移的距离，b表示纵向平移的距离。
平移变换的应用场景有很多，例如对于温度变化的曲线图，可以通过平移变换来调整图像在时间轴上的位置，实现对曲线的观察和比较。
2. 伸缩变换：伸缩变换是改变函数图像的尺度，使得函数图像的宽度或者高度发生变化。
对于函数y=f(x)，伸缩变换可以表示为y=a*f(bx)，其中a控制纵向的伸缩比例，b控制横向的伸缩比例。
伸缩变换可以用来调整图像的大小，使得函数曲线更加清晰或者适应特定的分析需求。
3. 翻折变换：翻折变换是将函数图像沿着坐标轴进行翻转。
对于函数y=f(x)，翻折变换可以表示为y=-f(x)（沿着x轴翻折）或者y=f(-x)（沿着y轴翻折）。
翻折变换可以用来分析函数的对称性质，例如判断函数是否关于x轴或者y轴对称。
4. 拉伸变换：拉伸变换是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。
拉伸变换可以是横向拉伸或者纵向拉伸。
对于函数y=f(x)，横向拉伸可以表示为y=f(cx)，纵向拉伸可以表示为y=c*f(x)，其中c是大于1的常数。
拉伸变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。
5. 压缩变换：压缩变换与拉伸变换相反，是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。
压缩变换可以是横向压缩或者纵向压缩。
对于函数y=f(x)，横向压缩可以表示为y=f(x/c)，纵向压缩可以表示为y=(1/c)*f(x)，其中c是大于1的常数。
压缩变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。
三角函数图像变换顺序详解(全面)
《图象变换的顺序寻根》题根研究一、图象变换的四种类型从函数y = f (x）到函数y = A f（）+m，其间经过4种变换：1。
纵向平移——m 变换2。
纵向伸缩——A变换3.横向平移——变换4.横向伸缩-—变换一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性"也不一样。
以下以y = sin x到y = A sin （）+m为例，讨论4种变换的顺序问题。
【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？【解法1】第1步，横向平移：将y = sin x向右平移，得第2步，横向伸缩：将的横坐标缩短倍，得第3步：纵向伸缩：将的纵坐标扩大3倍，得第4步:纵向平移：将向上平移1,得【解法2】第1步，横向伸缩：将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x第2步，横向平移：将y = sin 2x向右平移，得第3步，纵向平移：将向上平移,得第4步，纵向伸缩：将的纵坐标扩大3倍，得【说明】解法1的“变换量"（如右移)与参数值（)对应，而解法2中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性"大,而解法2的“风险性”大.【质疑】对以上变换，提出如下疑问：（1）在两种不同的变换顺序中,为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？（2)在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反——如当〈0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向)？（3）在横向伸缩和纵向伸缩中,为什么它们的缩扩方向相反——如｜| > 1时对应着“缩”，而| A ｜>1时，对应着“扩”？【答疑】对于（2)，（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式（y+）= f (），则x、y在形式上就“地位平等"了。
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函数图像的四种变换
1．平移变换
左加右减，上加下减
)
(
)
(a
x
f
y
x
f
y+
=
−→
−
=沿x轴左移a个单位；
)
(
)
(a
x
f
y
x
f
y-
=
−→
−
=沿x轴右移a个单位；
a
x
f
y
x
f
y+
=
−→
−
=)
(
)
(沿y轴上移a个单位；
a
x
f
y
x
f
y-
=
−→
−
=)
(
)
(沿y轴下移a个单位。
2.对称变换
同一个函数求对称轴或对称中心，则求中点或中心。
两个函数求对称轴或对称中心，则求交点。
（1）对称变换
）
①函数)
(x
f
y=与函数)
(x
f
y-
=的图像关于直线x=0(y轴)对称。
②函数)
(x
f
y=与函数)
(x
f
y-
=的图像关于直线y=0(x轴)对称。
③函数)
(a
x
f
y+
=与)
(x
b
f
y-
=的图像关于直线
2a
b x -
=对称
（2）中心对称
①函数)
(x
f
y=与函数)
(x
f
y-
-
=的图像关于坐标原点对称
②函数)
(x
f
y=与函数)
2(
2x
a
f
y
b-
=
-的图像关于点（a,b）对称。
3伸缩变换
（1）)
(x
af
y=的图像，可以将)
(x
f
y=的图像纵坐标伸长（a>1）或缩短（a<1）到原来的a倍，横坐标不变。
（2）)
(ax
f
y=（a>0）的图像，可以将)
(x
f
y=的横坐标伸长（0<a<1）或缩短（a>1）到原来的1/a倍，纵坐标不变。
4．翻折变换
（1）形如)(x f y =，将函数)(x f 的图像在x 轴下方的部分翻到x 轴上方，去掉原来x 轴下方的部分，保留原来在x 轴上方的部分。
!
（2）形如)(y x f =，将函数)(x f 在y 轴右边的部分沿y 轴翻到y 轴左边并替代原来y 轴左边部分，并保留)(x f y 轴左边部分，为)(y x f =的图像。
习题：①做出32y 2++=）（x 的图像 ②做出3+=x y 的图像。