辽宁省沈阳二中2014-2015学年高二上学期期末考试 数学(文)试题

辽宁省沈阳二中2014-2015学年高二上学期期末考试 数学（文）试题说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.第Ⅰ卷 （60分）一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知命题p ：x ∀∈R ，||0x ≥，那么命题p ⌝为（ ）A ．x ∃∈R ，||0x ≤B ．x ∀∈R ，||0x ≤C ．x ∃∈R ，||0x <D ．x ∀∈R ，||0x <2．已知质点按规律224s t t =+（距离单位：m ，时间单位：s ）运动，则其在3t s =时的瞬时速度为（ ）（单位：/m s ）。

A ． 30 B. 28 C. 24 D. 16 3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（ ） A ．28y x =- B.24y x =- C. 28y x = D. 24y x = 4．,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是 ( )A.22a b <B.22a b ab < C.2211ab a b < D.b aa b< 5．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。

若1a =1，则4S =（ ）A ．7 B. 15 C.31 D.86.设变量x,y 满足约束条件222200x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数2z x y =-+的最大值是（ ）A ． 1 B.2 C. 4 D. 23-7．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图，()f x则导函数'()y f x =的图象可能为 （ ）8．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点,且两曲线交点的连线过点F ,则双曲线的离心率为（ ）A. 22C.1D. 1+9．定义12...nnp p p +++为n 个正数12,,...,n p p p 的“均倒数”.若已知正数数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +,又14n n a b +=,则12231011111...b b b b b b +++= ( ) A.111 B. 112 C. 1011 D. 111210.已知P 是抛物线x y 42=上的一个动点,Q 是圆()()22311x y -+-=上的一个动点,)0,1(N 是一个定点,则PQ PN +的最小值为（ ） A.3 B.4 C. 5111．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m ≥-，则p 是q 的（ ）Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件12 ．已知点P 是椭圆221(0,0)168x y x y +=≠≠上的动点，12,F F 为椭圆的两个焦点，O 是原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且1FM MP ⊥,则OM 的取值范围是（ ） A ．[0,3]B．C．D ．[0,4]第Ⅱ卷 （90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．若a b c d ，，，成等比数列，且不等式0232>-+-x x 的解集为()b c ，，则ad = 。

14．已知双曲线12222=-by a x 左、右焦点分别为21F F 、，过点2F 作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且621π=∠F PF ，则双曲线的渐近线方程为 。

15．已知函数322()(,)f x x ax bx a a b R =+++∈若函数()1f x x =在处有极值10，则b 的值为 。

16．若0,y 0x >>,且1322x =++y x +y,则y 6x +5的最小值为__ __。

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合．直线l 的参数方程是315415x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线C的极坐标方程为)4πρθ+．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求M,N 两点间的距离．18．（本小题满分12分）已知命题p ：抛物线2xy =-与直线1y mx =+有两个不同交点；命题q ：函数324()2(2)33f x x m x x =+-+-在R 上单调递增； 若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围。

19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（n 为正整数）。

（1）令2n n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）令1n n n c a n+=，求数列{}n c 的前n 项和n T 。

20．（本小题满分12分）已知1()1((0,),,2)n n f x x x x x n n -=+++-∈+∞∈≥N .(1)当2n =,(]0,1x ∈时,若不等式()f x kx ≤恒成立,求k 的范围； (2)试证函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点. 21．（本小题满分12分）已知椭圆C 过点(1,2A ，两焦点为1(F 、2F ，O 是坐标原点，不经过原点的直线l y kx m =+：与椭圆交于两不同点P 、Q . (1)求椭圆C 的方程；(2) 当1k =时，求OPQ ∆面积的最大值；(3) 若直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求直线l 的斜率k .22．（本小题满分12分） 已知函数x a x x f ln 21)(2-=)(R a ∈ （1）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为b x y +=，求b a ,的值； （2）讨论方程0)(=x f 解的个数，并说明理由。

期末考试高二（16届）数学试题(文科)答案一．选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112C DCCBADDCA AB 二．填空题13．2 14．x y 2±= 15．11- 16三．解答题 17．解：（1）由)4sin(2πθρ+=得，θθρcos sin +=，两边同乘ρ得， 0sin cos 2=--θρθρρ，再由y x y x ==+=θρθρρsin ,cos ,222，得曲线C 的直角坐标方程是022=--+y x y x …………4分（2）将直线参数方程代入圆C 方程得，0202152=+-t t 12215t t +=，124t t =， MN 12t t =-=． -------10分 18．解：命题p 为真时，方程x 2+ mx + 1=0有两个不相等的实根，所以240m ∆=-> ∴(,2)(2,)m ∈-∞-+∞ (3)分命题q 为真时，2()44(2)10f x x m x '=+-+≥恒成立为所以216(2)160m ∆=--≤, ∴[]1,3m ∈ …………6分 因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 为一真一假， …………8分（1）当p 为真q 为假时，222313m m m m m m ><-⎧⇒<->⎨<>⎩或或或…………10分（2）当p 为假q 为真时，221213m m m -≤≤⎧⇒≤≤⎨≤≤⎩综上所述得：m 的取值范围是23m m <->或或12m ≤≤ …………12分 19.解：（1）在11()22n n n S a -=--+中，令n=1，可得1112n S a a =--+=，即112a = 当2n ≥时，21111111()2()22n n n n n n n n n S a a S S a a ------=--+∴=-=-++，，11n 1112a (),212n n n n n a a a ----∴=+=+n 即2.112,1,n 21n n n n n n b a b b b --=∴=+≥-=n 即当时，b .-------4分又1121,b a ==∴数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是1(1)12,2nn n n nnb n n a a =+-⋅==∴=.-------6分 (2)由（1）得11(1)()2n n n n c a n n +==+，所以 23111123()4()(1)()2222n n T n =⨯+⨯+⨯+++K2341111112()3()4()(1)()22222n n T n +=⨯+⨯+⨯+++K 由①-②得231111111()()()(1)()22222n n n T n +=++++-+K -------9分11111[1()]133421(1)()122212332n n n n nn n n T -++-+=+-+=--+∴=- -------12分 20．解：(1)由2()1f x kx x x kx ≤⇔+-≤, 则11k x x≥-+, ………………2分又1()1g x x x=-+在(]0,1上是增函数, max ()(1)1g x g == … ………5分所以1k ≥. ……………………………………………… 6分(2) 1()1((0,),,2)nn f x x xx x n n -=+++-∈+∞∈≥N 是增函数…………… 8分且(1)10f n =->， ……………………9分111(1())1111122()()()11()012222212n n n n f --=+++-=-=-<- …………… 11分 所以()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点. ………………………………………12分21．解：(1)由题意得c =可设椭圆方程为222213x y b b +=+ ………2分 则2213134b b +=+，解得21b =所以椭圆C 的方程为2214x y +=.………4分 （2）22,440.y x m x y =+⎧⎨+-=⎩消去y 得22584(1)0x mx m ++-=则2216(5)005m m ∆=->⇒<<2121284(1),55m m x x x x -+=-= …………………… 5分设d 为点O 到直线l 的距离,则121122OPQ S d PQ x ∆===- … 6分22122512552m m m +-==⋅⋅= 当且仅当252m =时，等号成立 所以OPQ ∆面积的最大值为1. ……8分 (2)22,440.y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩消去y 得222(14)84(1)0k x kmx m +++-= 则2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m ∆=-+-=-+>212122284(1),1414km m x x x x k k-+=-=++ 故2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ ………………… 9分 因为直线OP PQ OQ 、、的斜率依次成等比数列所以2222121212121212()()0y y k x x km x x m k km x x m x x x x +++⋅==⇒++= ……… 10分22228014k m m k ⇒-+=+,由于0,m ≠故21142k k =⇒=± …………………12分22．解：（1）因为：x ax x f -=')( )0(>x ，又)(x f 在2=x 处的切线方程为b x y += 所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-12222ln 2a b a 解得：,2=a 2ln 2-=b ………4分 （2）当0=a 时，)(x f 在定义域),0(+∞上恒大于0，此时方程无解；……5分当0<a 时，0)(>-='xax x f 在),0(+∞上恒成立，所以)(x f 在定义域),0(+∞上为增函数。