圆锥曲线二级结论速算公式和结论系统梳理
高中数学圆锥曲线最常用二级结论总结
圆锥曲线的常用二级结论一、椭圆的常用二级结论1.（1）与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++.（2）与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b λ+=,()2222,0x y b aλλ+=>.2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:(1)122PF PF a +=;(2)1a c PF a c -≤≤+;(3)2212b PF PF a ≤⋅≤;（4）焦半径公式10||PF a ex =+,20||PF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).3.椭圆的方程为22221x y a b +=（a ＞b ＞0）,左、右焦点分别为12,F F ,()00,P x y 是椭圆上任意一点,则有:(1)()()22222222000022,b a y a x x b y a b =-=-;(2)参数方程()00cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数;4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)焦点三角形的面积：122||=tan2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处时,θ最大,此时12PF F S ∆也最大;(4).21cos 2e -≥θ(5)点M 是21F PF ∆内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM =||||.5.有关22b a-的经典结论（椭圆中的垂径定理）(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-(3).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，F 1,F 2点是椭圆上两焦点，则有四边形AF 1BF 2至少为平行四边6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-；（2）过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.10.若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则()sin sin sin c e a αβαβ+==+.11.P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.13.已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a ---<<.14.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 2215.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.16.若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设(1).过1F 的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c αα==-+；②2cos ab AB a c α=-２２２２(2).若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设过F ２的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c αα==２２＋－；②22cos ab AB a c α=-２２２结论：椭圆过焦点弦长公式：()()222cos 2sin ab x a c AB ab y a c αα⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪-⎩２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上17.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112amnb+=18、过圆锥曲线的焦点F 作直线交圆锥曲线于A 、B 两点，若λ=BFAF ，则有下列结论：1、椭圆、双曲线（直线与双曲线两个交点在一支上）、抛物线（离心率e=1）（焦比公式）①焦点在x 轴上时：11cos +-=λλθe ，1112+-+=λλk e ；②焦点在y 轴上时：11sin +-=λλθe ，11112+-+=λλk e 。
圆锥曲线所有知识点和二级结论
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形式。
它们在数学、物理、工程等领域均有重要应用，具有广泛的研究价值。
下面将从几何、代数、物理等多个角度对圆锥曲线进行系统介绍和分析。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线的定义：在平面上依旧定点F到平面上所有定点P的距离的比值（|PF|/|PM|）为常数e（e>1）的动点M所得的轨迹即为双曲线。
在平面上的直线l与定点F的距离与到定点P的距离的比值始终为常数e（0<e<1）时，动点P所得的轨迹即为椭圆。
在平面上的直线上的所有点P到定点F的距离与到直线l的距离的差始终为常数e时，点P的轨迹即为抛物线。
二、椭圆的知识点1. 定义及表示：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的集合。
2. 几何性质：椭圆有等轴对称性、焦点F1和F2为椭圆的两个焦点、平行于长轴或短轴的弦都过椭圆的焦点、焦距等于长轴长度、离心率等于c/a（c为焦距，a为长轴半径）等。
3. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与长短轴的关系。
三、双曲线的知识点1. 定义及表示：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的集合。
2. 几何性质：双曲线有两条渐近线、两个焦点F1和F2、两个顶点、离心率等于c/a（c为焦距，a为顶点到中心的距离）等。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a * cosh(t), y = b * sinh(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与距离关系。
四、抛物线的知识点1. 定义及表示：抛物线是平面上到定点F和直线l的距离相等的点P 的集合。
2. 几何性质：抛物线有顶点、准直线、对称轴、离心率等。
3. 参数方程：抛物线的参数方程为x = a * t^2, y = 2*a*t，其中t为参数。
高中数学圆锥曲线二级结论
高中数学圆锥曲线二级结论高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+by y a x x ①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x ①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B aA =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--1111 15.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a x x f x =∝+→)(lim ，b ax x f x =-∝+→])([lim 16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34= 17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222bk a mb + 21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29) AC C B B A S z A C y C B x B A ?+?+?==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ac e =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=+- 24.A 、B 、C 三点共线?nm n m +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab。
高中数学圆锥曲线二级结论大全
高中数学圆锥曲线二级结论大全高中数学圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，涵盖了椭圆、双曲线和抛物线三种曲线的性质和应用。
本文将为大家总结并介绍圆锥曲线的二级结论，包括椭圆、双曲线和抛物线的定义、特点、性质以及相关的公式和图像。
一、椭圆1. 定义：椭圆是平面上到两个固定点F1、F2的距离之和为常数2a的点的轨迹。
称F1、F2为椭圆的焦点，连结两焦点的线段称为主轴，垂直于主轴且通过椭圆中心的直线称为次轴，主轴的长度2a称为椭圆的长轴。
2. 特点：（1）椭圆的离心率e小于1；（2）对称性：椭圆关于椭圆的长轴、短轴的对称轴对称；（3）椭圆的焦距等于长轴的一半，即F1F2 = 2ae = 2a；（4）椭圆的直径与长轴和短轴之间满足关系d = √(a² - b²)，其中d为椭圆上两个焦点的距离。
3. 公式和图像：椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标。
椭圆的图像为平面上一个闭合的曲线，长轴与x轴平行或与y轴平行，短轴在y轴或x轴上。
椭圆沿长轴上下对称。
二、双曲线1. 定义：双曲线是平面上到两个固定点F1、F2的距离之差为常数2a的点的轨迹。
称F1、F2为双曲线的焦点，连结两焦点的线段称为主轴，垂直于主轴且通过双曲线中心的直线称为次轴，主轴的长度2a称为双曲线的长轴。
2. 特点：（1）双曲线的离心率e大于1；（2）对称性：双曲线关于双曲线的长轴、短轴的对称轴对称；（3）双曲线的焦距等于长轴的一半，即F1F2 = 2ae = 2a；（4）双曲线的直径与长轴和短轴之间满足关系 d = √(a² + b²)，其中d为双曲线上两个焦点的距离。
3. 公式和图像：双曲线的标准方程为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为双曲线的中心坐标。
圆锥曲线中的几个常用二级结论
结论 2 椭圆、双曲线共焦点
已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1， e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，则sien2122θ＋coes2222θ＝1．
2 (1)已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为 F1，F2，记它们其中的一个交点为 P，
且∠F1PF2＝23π，则该椭圆离心率 e1 与双曲线离心率 e2 必定满足的关系式为( C )
点，F1，F2 分别为左、右焦点，若∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1
＝β，则
S△PF1F2＝ b2θ，离心率 tan2
e＝|sinαs－inθsinβ|x22＋by22＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2 分别为左、右焦点，若 P→F1·P→F2＝0，tan∠PF1F2＝12，则椭圆的离心率为___3_5__．
【解析】 因为 tan∠PF1F2＝12，P→F1·P→F2＝0，所以 sin∠PF1F2＝sinα＝ 15，sin∠PF2F1
＝sinβ＝
25，sin∠F1PF2＝sinθ＝1，所以
e＝sinαs＋inθsinβ＝
1
1 ＋
2
＝
35．
55
3 (2)已知 F1，F2 是双曲线x42－y2＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且P→F1· P→F2＝0，则△PF1F2 的面积为__1___．
2 (2)已知 F1，F2 为椭圆 C1：ax221＋by221＝1(a1＞b1＞0)与双曲线 C2：ax222－by222＝1(a2＞
0，b2＞0)的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝π3，e1，e2 分别为 C1，
C2 的离心率，则 e1e2 的最小值为
( A)
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。
3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。
4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。
5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。
6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。
7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。
10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。
圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。
圆锥曲线常用二级结论汇总
圆锥曲线常用二级结论汇总以下是圆锥曲线常用的二级结论汇总，包括椭圆、双曲线和抛物线的性质和特点。
详细解析如下：1.椭圆（Ellipse）：-定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
-主要性质：-焦点与直径关系：椭圆的焦点到任意点的距离之和等于该点到直径的距离之和。
-长轴和短轴：椭圆的长轴是通过两个焦点的直线，短轴是垂直于长轴且通过中心点的直线。
-离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴长度之比，介于0和1之间。
-对称性：椭圆具有x轴对称和y轴对称性。
2.双曲线（Hyperbola）：-定义：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的轨迹。
-主要性质：-焦点与直径关系：双曲线的焦点到任意点的距离之差等于该点到直径的距离之差。
-长轴和短轴：双曲线的长轴是通过两个焦点的直线，短轴是垂直于长轴且通过中心点的直线。
-离心率：双曲线的离心率定义为焦距与长轴长度之比，大于1。
-渐近线：双曲线有两条渐近线，与曲线趋于无穷远时相交。
3.抛物线（Parabola）：-定义：抛物线是平面上到定点F的距离等于点P到定直线l的距离的点P的轨迹。
-主要性质：-焦点与直径关系：抛物线的焦点是位于开口方向上的对称点，与焦点距离相等的两条直线互相平行。
-对称性：抛物线具有顶点对称性，焦点、顶点和直线l三者共线。
-方程形式：抛物线的标准方程为y=ax^2+bx+c，其中a为常数且不为0。
4.曲线参数方程：-椭圆的参数方程：x=a*cosθ,y=b*sinθ，其中a和b分别为长轴和短轴的一半，θ是参数。
-双曲线的参数方程：x=a*coshθ,y=b*sinhθ，其中a和b分别为长轴和短轴的一半，θ是参数。
-抛物线的参数方程：x=at^2,y=2at，其中a为常数，t是参数。
5.曲线图像和方程：-椭圆的标准方程：(x/a)^2+(y/b)^2=1，其中a和b分别为长轴和短轴的一半。
-双曲线的标准方程：(x/a)^2-(y/b)^2=1，其中a和b分别为长轴和短轴的一半。
高中常用圆锥曲线常用的二级结论汇总
圆锥曲线常用的二级结论椭圆双曲线抛物线标准方程()012222>>=+b a by ax 焦点()()0021，，，c F c F -()0012222>>=-b a by ax ，焦点()()0021，，，c F c F -()022>=p px y 焦点⎪⎪⎭⎫⎝⎛02，p F 图像焦半径的坐标形式0201ex a PF ex a PF -=+=，e 为离心率，x 0为点P 的横坐标0201ex a PF ex a PF -=+=，e 为离心率，x 0为点P 的横坐标20p x PF +=x 0为点P 的横坐标焦半径的角度形式θcos 2c a b PF -=PFO∠=θac b PF ±=θcos 2PFO ∠=θ，同正异负θcos 1+=p PF PFO∠=θ通径ab 22ab 22p 2焦点弦的角度形式θ2222cos 2c aab PQ -=PFO ∠=θθ2222cos 2c aab PQ -=PFO∠=θθ2sin 2p PQ =PFO∠=θ两条焦半径的关系2211ba QF PF =+2211ba QF PF =±同正异负pQF PF 211=+椭圆双曲线抛物线焦三角形2tan221θb S F PF =∆离心率βαθsin sin sin +=e 2tan2cot 2221θθb b S F PF ==∆离心率βαθsin sin sin -=e θsin 22p S POQ =∆θ为直线PQ 倾斜角顶角范围21PF F ∠=θ点P 由长轴端点向短轴端点运动的过程中，θ逐渐增大21PF F ∠=θ点P 由实轴端点向远离实轴运动的过程中，θ逐渐减小点P 与点Q 由原点向远离原点运动的过程中，POQ ∠逐渐减小垂径定理22a b k k OC AB -=⋅C 为线段AB 的中点22a b k k OC AB =⋅C 为线段AB 的中点py k C AB =⋅y c 为点C 的纵坐标椭圆双曲线抛物线周角定理22ab k k PB P A -=⋅P 为椭圆上异于A 与B 的点22a b k k PB P A =⋅P 为双曲线上异于A 与B 的点无周角定理推广形式22ab k k PB P A -=⋅直线AB 过原点O P 为椭圆上异于A 与B 的点且P A k 与PB k 均存在22a b k k PB P A =⋅直线AB 过原点O P 为双曲线上异于A 与B 的点且P A k 与PB k 均存在无准线方程椭圆上任意一点P 到焦点F 和到准线L 的距离之比为e焦点F 与准线L 在y 轴的同侧ca x L 2±=：双曲线上任意一点P 到焦点F 和到准线L 的距离之比为e 焦点F 与准线L 在y 轴的同侧ca x L 2±=：抛物线的焦点F 与准线L 在y 轴的异侧2p x L -=：椭圆双曲线抛物线准线的性质=+PB P A k k 直线AB 过焦点F P 为准线L 与x 轴的交点焦点F 与准线L 在y 轴的同侧=+PB P A k k 直线AB 过焦点F P 为准线L 与x 轴的交点焦点F 与准线L 在y 轴的同侧=+PB P A k k 直线AB 过焦点F P 为抛物线准线L 与x 轴的交点切线方程点()00,y x P 在椭圆上椭圆在点P 处的切线方程为12020=+by y ax x 点()00,y x P 在双曲线上双曲线在点P 处的切线方程为12020=-by y ax x 点()00,y x P 在抛物线上抛物线在点()00,y x P 处的切线方程为()x x p y y +=00切点弦方程点()00,y x P 在椭圆外过点P 作椭圆的两条切线交椭圆于A 、B 两点则切点弦AB 的方程为12020=+by y ax x 点()00,y x P 在双曲线外过点P 作双曲线的两条切线交双曲线于A 、B 两点则切点弦AB 的方程为12020=-by y ax x 点()00,y x P 在抛物线外过点P 作抛物线的两条切线交抛物线于A 、B 两点则切点弦AB 的方程为()x x p y y +=00。
高考数学专题六解析几何 微专题38 圆锥曲线中二级结论的应用
当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率
π 与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的
面积为 6π，两个焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆 C 的上顶点，直线 y＝
kx 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 PA，PB 的斜率之积为－49，则椭圆 C 的
A，B
两点，且|A→F|＝λ|F→B|，则椭圆的离心率等于λ＋λ1－c1os
α.
2.设点 P 是双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，则
(1)|PF1||PF2|＝1－2cbo2s
θ.(2)
S△PF1F2
＝ b2 tan
由二级结论可知S△F1PF2 ＝
∠bF2 1PF2＝5 3.
tan 2
(2)已知 P 为椭圆 C：x42＋y32＝1 上的一个动点，F1，F2 是椭圆 C 的左、右焦 点，O 为坐标原点，O 到椭圆 C 在 P 点处切线的距离为 d，若|PF1|·|PF2|＝
274，则
14 d＝____2____.
方法二 因为AB过抛物线的焦点， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2＝p42＝1，y1y2＝－p2＝－4，
所以O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝－3.
总结提升
圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二 级结论，能快速解决圆锥曲线压轴小题，常用结论包括椭圆与双曲 线中的焦点三角形面积公式、焦半径、切线方程、离心率等，周角 定理以及抛物线焦点弦二级结论的综合应用.
3.M为抛物线y2＝2px(p>0)的准线l上一点，MA，MB均与抛物线相切，A， B为切点，则有：(见图4) (1)AB过焦点F. (2)2yM＝yA＋yB. (3)MA⊥MB. (4)MF⊥AB.
高中数学：圆锥曲线192条“超强”二级结论，衡水学生人手一份
高中数学：圆锥曲线192条“超强”二级结论，衡水学生人手
一份
最近有高三的同学给我留言说，数学考试看见问题没思路，找不到解题的突破口，感觉平时记忆的公式与定理无用武之地！该怎么办呢？
如果你也有这样的情况，接下往下看，这个问题出现主要有2个原因，一是刷题量不够，对题型把握不准确！二是平时刷题时不善于分析、总结！什么意思呢？
数学是一个严谨的学科，每道题每一句话都在告诉我们有用的信息，能否解题的关键在于你能否读懂隐藏的含义。
举个例子：圆锥曲线问题中出现
过圆x2 + y2 = a2 上任意不同两点A, B 作圆的切线, 如果切线垂直且相交于P
那么我们就能知道它的隐藏意思是：动点P 的轨迹为圆：x2 + y2 = 2a2 ，知道了这个，那么对于不需要步骤的选择题，我们就可以直接选出答案。
所以我们平时要善于总结这些隐藏的含义！积累得多了，考试对待小题就不会没思路了！下面是我给大家整理的《高中数学圆锥曲线192条结论》帮你看出隐藏条件，考试直接用！
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希望以上的总结能帮助大家。
史上最全圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)二级结论
史上最全圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）二级结论第一部分 椭圆二级结论大全1.122PF PF a += 2.标准方程22221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+. 15．若PQ 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b+=+;(2) L = 17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b -+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M2222002222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=-⋅-. 19．过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=，2(tan )2b Pc γ± . 21．若P 为椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+.22．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立. 25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k -≤+.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b+=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b+=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bx ay α=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,ce a=);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b +=+.39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m =(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b+=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A 到椭圆两焦点的距离，ab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a m b n a --∠=⇔=++. 52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc eα≤（当且仅当||PH =.55．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a -≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=-. 57．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b+=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b-=.60．过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a+≤+≤+. 61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e e±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a b x y e e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b-+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠.69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b +--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠). 70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b+=≠. 72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b -+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时,22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB a-+⋅=. 73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a -c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a -c. 77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by x a =-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122ab S S +=. 92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b y x a =-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.第二部分 双曲线二级结论1.122PF PF a -=2.标准方程22221x y a b -= 3.111PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角。
圆锥曲线146二级结论
圆锥曲线146个相关结论结论1：过圆2222+=x y a 上任意点P 作圆222x y a +=的两条切线，则两条切线垂直，反之也成立.结论2：过圆2222x y a b +=+上任意点P 作椭圆()22221,0x y a b a b+=>>的两条切线，则两条切线垂直，反之也成立.结论3：过圆2222x y a b +=−上任意点P 作双曲线()22221,0,0−=>>x y a b a b的两条切线，则两条切线垂直，反之也成立.结论4：点0(,)M x y 在椭圆()()()22221,0,,x m y n a b m n a b −−+=>>∈上，过点M 作椭圆的切线方程为()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−+=.结论5：点0(,)M x y 在椭圆()()()22221,0,,x m y n a b m n a b −−+=>>∈外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−+=.结论6：点0(,)M x y 在椭圆()()()22221,0,,x m y n a b m n a b −−+=>>∈内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过,A B 作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−+=.结论7：点0(,)M x y 在双曲线()()()22221,0,0,,x m y n a b m n ab−−−=>>∈上，过点M 作双曲线的切线方程为()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−−=.结论8：点0(,)M x y 在双曲线()()()22221,0,0,,x m y n a b m n ab−−−=>>∈外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−−=.结论10：点0(,)M x y 在双曲线()()()22221,0,0,,x m y n a b m n a b −−−=>>∈内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过,A B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−−=.结论11：点00(,)M x y 在抛物线()()22,(0,,)y n p x m p m n −=−>∈上，过点M 作抛物线的切线方程为()()()002y n y n p x x m −−=+−.结论12：点00(,)M x y 在抛物线()()22,(0,,)y n p x m p m n −=−>∈外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()002y n y n p x x m −−=+−.结论13：点00(,)M x y 在抛物线()()22,(0,,)y n p x m p m n −=−>∈内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过,A B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线()()()002y n y n p x x m −−=+−.结论14：过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 的所在的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论15：过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 的所在的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论16：过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 的所在的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论17：AB 为椭圆的焦点弦，则过A ,B 的切线的交点M 必在相应的准线上. 结论18：AB 为双曲线的焦点弦，则过A ,B 的切线的交点M 必在相应的准线上. 结论19：AB 为抛物线的焦点弦，则过A ,B 的切线的交点M 必在准线上.结论20：点M 是椭圆准线与长轴的交点，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 就是通径. 结论21：点M 是双曲线准线与实轴的交点，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 就是通径.结论22：点M 是抛物线准线与对称轴的交点，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 就是通径.结论23：过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上任意一点(,0)(0)M m m −>作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 所在的直线必过(,0)N m .结论24：过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的对称轴上任意一点(,)M m n −作抛物线的两条切线，切点分别为,A B .（1） 当0n m a =>，时，则切点弦AB 所在的直线必过点2,0a P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2） 当0m n b =>，时，则切点弦AB 所在的直线必过点20b P n ⎛⎫⎪⎝⎭，. 结论25：过双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的实轴上任意一点(,0)()M m m a <作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 所在的直线必过2,0a P m ⎛⎫⎪⎝⎭.结论26：过抛物线22(0)y px p =>外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，弦,A B 的中点为N ，则直线MN 必与其对称轴平行.结论27：若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n−=>>共焦点，则在它们交点处的切线相互垂直.结论28：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，则满足||||||||AP BQ AQ BP =的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论29：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，则满足||||||||AP BQ AQ BP =的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论30：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，则满足||||||||AP BQ AQ BP =的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论31：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，过,A B 分别作双曲线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程. 结论32：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，过,A B 分别作椭圆的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程. 结论33：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，过,A B 分别作抛物线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论34：从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222x y a +=.结论35：从双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222x y a +=.结论36：F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，M 是椭圆上任意一点，则焦半径[],MF a c a c ∈−+.结论37：F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点，M 是双曲线上任意一点.（1） 当M 在双曲线右支上，则焦半径MF c a ≥−； （2） 当M 在双曲线左支上，则焦半径MF c a ≥+.结论38：F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，M 是抛物线上任意一点，则焦半径022p p MF x ∈+≥. 结论39：（椭圆的光学性质）椭圆上任一点M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的切线平分过该点的两条焦半径夹角的外角）. 结论40：（双曲线的光学性质）双曲线上任一点M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的法线平分过该点的两条焦半径夹角的外角）. 结论41：（抛物线的光学性质）抛物线上任一点M 处的切线平分该点的两条焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角.结论42：椭圆的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ，且MF ⊥PQ . 结论43：双曲线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ，且MF ⊥PQ . 结论44：抛物线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其焦点F ，且MF ⊥PQ .结论45：椭圆上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与相应的焦点F 的连线交椭圆于Q ，则MQ 必与该椭圆相切，且MF ⊥PQ .结论46：双曲线上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与相应的焦点F 的连线交双曲线于Q ，则MQ 必与该双曲线相切，且MF ⊥PQ .结论47：抛物线上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与焦点F 的连线交抛物线于Q ，则MQ 必与该椭圆相切，且MF ⊥PQ .结论48：焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴）上三点P ,Q ,M 的焦半径成等差数列的充要条件为P ,Q ,M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论49：焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴）上三点P ,Q ,M 的焦半径成等差数列的充要条件为P ,Q ,M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论50：焦点在x 轴上的抛物线（或焦点在y 轴）上三点P ,Q ,M 的焦半径成等差数列的充要条件为P ,Q ,M 的横坐标（纵坐标）成等差数列. 结论51：椭圆上一个焦点F 2关于椭圆上任一点P 处的切线的对称点为Q ，则直线PQ 必过该椭圆的另一个焦点F 1.结论52：双曲线上一个焦点F 2关于双曲线上任一点P 处的切线的对称点为Q ，则直线PQ 必过该双曲线的另一个焦点F 1. 结论53：椭圆上任一点P （非顶点），过P 的切线和法线分别与短轴相交于Q ,S ，则有P ,Q ,S 及两个焦点共于一圆上.结论54：双曲线上任一点P （非顶点），过P 的切线和法线分别与短轴相交于Q ,S ，则有P ,Q ,S 及两个焦点共于一圆上.结论55：椭圆上任一点P （非顶点）处的切线与过长轴两个顶点A ,A ′的切线相交于M ,M ′，则必得到以MM ′为直径的圆经过该椭圆的两个焦点. 结论56：双曲线上任一点P （非顶点）处的切线与过实轴两个顶点A ,A ′的切线相交于M ,M ′，则必得到以MM ′为直径的圆经过该双曲线的两个焦点.结论57：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆． 结论58：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆． 结论59：以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切．结论60：焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴上）上任一点M （非短轴顶点）与短轴的两个顶点B , B ′的连线分别交x 轴（或y 轴）于P , Q ，则2P Q x x a =（或2P Q y y a =）. 结论61：焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴上）上任一点M （非顶点）与实轴的两个顶点B , B ′的连线分别交y 轴（或x 轴）于P , Q ，则2P Q y y b =−（或2P Q x x b =−）.结论62：P 为焦点在x 轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则12PF F ∆与边21PFPF （或）相切的旁切圆与x 轴相切于右顶点A （或左顶点A ′）.结论63：P 为焦点在x 轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则12PF F ∆与的内切圆与x 轴相切于右顶点A （或左顶点A ′）.结论64：AB 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点F 的一条弦（非通径），弦AB 的中垂线交x 轴于N ，则||2||AB NF e=.结论65：AB 是过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的焦点F 的一条弦（非通径，且为单支弦），弦AB 的中垂线交x 轴于N ，则||2||AB NF e=. 结论66：AB 是过抛物线22(0)=>y px p 的焦点F 的一条弦（非通径），弦AB 的中垂线交x 轴于N ，则||2||AB NF =. 结论67：AB 是抛物线的焦点弦，分别过A ，B 作抛物线的切线，则两条切线的交点P 在其准线上.结论68：AB 是椭圆的焦点弦，分别过A ，B 作椭圆的切线，则两条切线的交点P 在其相应的准线上.结论69：AB 是双曲线的焦点弦，分别过A ，B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 在其相应的准线上.结论70：AB 是过抛物线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其准线相切.结论71：AB 是过椭圆焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相切，与另一条准线相离.结论72：AB 是过双曲线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相交，截得的圆弧度数为定值，且为12arccos e.结论73：以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必为抛物线；若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必为椭圆.结论74：以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必为双曲线，且此时截得的圆弧度数为定值，且为12arccos e.结论75：AB 为过抛物线22(0)=>y px p 焦点F 的焦点弦，()()1122,,,,A x y B x y 则12||AB x x p =++.结论76：AB 为过椭圆22221(0)+=>>x y a b a b焦点F 的焦点弦，()()1122,,,,A x y B x y 则12||2AB a e x x =−+.结论77：AB 为过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b焦点F 的焦点弦，()()1122,,,,A x y B x y 若AB 为单支弦，则12||2AB e x x a =+−；若AB 为双支弦，则12||2AB e x x a =++.结论78：F 为抛物线的焦点，A ，B 是抛物线上不同的两点，直线AB 交其准线l 于M ，则FM 平分∠AFB 的外角.结论79：F 为椭圆的一个焦点，A ，B 是椭圆上不同的两点，直线AB 交其相应的准线l 于M ，则FM 平分∠AFB 的外角.结论80：F 为双曲线的一个焦点，A ，B 是双曲线上不同的两点（左右支各一点），直线AB 交其相应的准线l 于M ，则FM 平分∠AFB .结论81：F 为双曲线的一个焦点，A ，B 是双曲线上不同的两点（同一支上），直线AB 交其相应的准线l 于M ，则FM 平分∠AFB 的外角.结论82：AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过焦点F 的弦，点P 是椭圆上异于A ，B 的任一点，直线PA 、PB 分别交相应于焦点F 的准线l 于M 、N ，则点M 与点N 的纵坐标之积为定值，且为42b c−.结论83：AB 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b过焦点F 的弦，点P 是双曲线上异于A ，B 的任一点，直线PA 、PB 分别交相应于焦点F 的准线l 于M 、N ，则点M 与点N 的纵坐标之积为定值，且为42b c −.结论84：AB 是抛物线2(0)=>y px p 过焦点F 的弦，点P 是抛物线上异于A ，B 的任一点，直线PA 、PB 分别交准线l 于M 、N ，则点M 与点N 的纵坐标之积为定值，且为2p −.结论85：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴顶点，()(,0),(,0)0E m F m m a −<<，点P 是椭圆上任一点（非长轴顶点），若直线PA 、PB 分别交直线2a x m=于M 、N ，则有如EM FN EN FM ⋅⋅、()()222222am a m b m−+−FM FN ⋅()()222222a m a mb m−−−EM EN ⋅()()2222222a mb a m m+−−BM FN ⋅()()22222am a am b m−+−AM FN ⋅()()2222am a am b −−−AM BN ⋅()()2222am a b −−M N y y ⋅AP BP AM BN AN BMk k k k k k ⋅⋅⋅ 结论86：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b 的实轴顶点，()(,0),(,0)E m F m m a −>，点P 是双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线PA 、PB 分别交直线2()a x m a m=>于M 、EM FN EN FM ⋅⋅、()()222222a m a mb m−++FM FN ⋅()()222222a m a mb m−−+EM EN ⋅()()2222222amb a m m++−BM FN ⋅()()22222am a am b m −++AM FN ⋅()()22222am a am b m −−+AM BN ⋅()()22222am a b m −+M N y y ⋅()2222b m am −AP BP AM BN AN BMk k k k k k ⋅⋅⋅ 21e −AN AM k k ⋅()21a m e a m+−− BN BM k k ⋅()21a m e a m−−+k k ⋅2b 结论87：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一直径（中心弦），点P 是椭圆上任一点（不与A ，B 重合），则PA PB k k ⋅=21e −.结论88：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），点M是弦AB 的中点，若,OM AB k k 均存在，则OM AB k k ⋅=21e −.结论89：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一弦（不与对称轴平行），若平行于AB 的弦的中点的轨迹为直线PQ ，则有PQ AB k k ⋅=21e −.结论90：过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点P （不是其顶点）作椭圆的切线PA ，则有PA OP k k ⋅=21e −.结论91：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及定点()(,0)F m a m a −<<，过F 的弦的端点为A ，B ，过点A ，B 分别作直线2a x m =的垂线，垂足分别为D ，C ，直线2a x m=与x 轴相交于E ，则直线AC 与BD 恒过EF 的中点，且有0AE BE k k +=.结论92：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及定点()(,0)F m m c =±，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为椭圆上任意一点，连接AE ，BE ，且分别与准线2a x m=相交于P ，Q ，则有1FQ FP k k ⋅=−.结论93：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及定点()(,0),0F m a m a m −<<≠，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为椭圆上任意一点，连接AE ，BE ，且分别与直线2a x m=相交于P ，Q ，则有222FQ FPb k k m a ⋅=−.结论94：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的任一直径（中心弦），点P 是双曲线上任一点（不与A ，B 重合），则PA PB k k ⋅=21e −.结论95：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），点M 是弦AB 的中点，若,OM AB k k 均存在，则OMAB k k ⋅=22b a.结论96：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的任一弦（不与对称轴平行），若平行于AB的弦的中点的轨迹为直线PQ ，则有PQ AB k k ⋅=21e −.结论97：过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b上任意一点P （不是其顶点）作双曲线的切线PA ，则有PA OP k k ⋅=21e −.结论98：双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b及定点()(,0)F m m a m a >∨<−，过F 的弦的端点为A ，B ，过点A ，B 分别作直线2a x m =的垂线，垂足分别为D ，C ，直线2a x m=与x 轴相交于E ，则直线AC 与BD 恒过EF 的中点，且有0AE BE k k +=.结论99：双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b及定点()(,0)F m m c =±，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为双曲线上任意一点，连接AE ，BE ，且分别与准线2a x m=相交于P ，Q ，则有1FQ FP k k ⋅=−.结论100：双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b及定点()(,0)F m m a m a >∨<−，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为双曲线上任意一点，连接AE ，BE ，且分别与直线2a x m=相交于P ，Q ，则有222FQ FPb k k a m ⋅=−. 结论101：抛物线22(0)y px p =>及定点(,0)(0)F m m >，过F 的弦的端点为A ，B ，过A ，B 分别作直线x m =−的垂线，垂足分别为D ，C ，直线x m =−与x 轴相交于E ，则直线AC 与BD 恒过EF 的中点，且有0AE BE k k +=. 结论102：抛物线22(0)y px p =>及定点(,0)2p F m m ⎛⎫=⎪⎝⎭，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为抛物线上任意一点，连接AE ，BE ，分别与准线x m =−相交于P ，Q ，则有1FP FQ k k ⋅=−. 结论103：抛物线22(0)y px p =>及定点()(,0)0F m m >，过F 的弦的端点为A 、B ，E为抛物线上任意一点，连接AE ，BE ，分别与直线x m =−相交于P ，Q ，则有2FP FQ pk k m⋅=−. 结论104：抛物线22(0)y px p =>的焦点弦与抛物线相交于A ，B ，过B 作直线BC 与x 轴平行，交准线于C ，则直线AC 必过原点（及其准线与x 轴交点E 与焦点F 的线段的中点）.结论105：AB 为过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点F 的弦，其相应的准线与x 轴交点为E ，过A ，B 作x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于M ，N ，则直线AN ，BM 均过线段EF 的中点.结论106：AB 为过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的焦点F 的弦，其相应的准线与x 轴交点为E ，过A ，B 作x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于M ，N ，则直线AN ，BM 均过线段EF 的中点. 结论107：过圆锥曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线，垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点.结论108：AB 为垂直于椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的动弦，其准线与x 轴交点为Q ，则直线AF 与BQ （或直线BF 与AQ ）的交点M 必在该椭圆上.结论109：AB 为垂直于双曲线2222(0)λλ−=≠x y a b实轴的动弦，其准线与x 轴交点为Q ，则直线AF 与BQ （或直线BF 与AQ ）的交点M 必在该双曲线上.结论110：AB 为垂直于抛物线()()220==≠或y tx x ty t 对称轴的动弦，其准线与x 轴交点为Q ，则直线AF 与BQ （或直线BF 与AQ ）的交点M 必在该抛物线上.结论111：已知圆锥曲线的焦点弦AM （不为通径，若为双曲线则为单支弦），则在x 轴上有且只有一点Q 使AQF MQF ∠=∠.结论112：过F 作圆锥曲线的一条弦AB （若为双曲线则为单支弦），分别过A ，B 作准线l 的垂线（Q 是其相应准线与x 轴的交点），垂足为A 1，B 1，则直线AB 1与直线A 1B 都经过QF 的中点K ，即A 、K 、B 1及B 、K 、A 1三点共线.结论113：A ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点和左顶点，P 为椭圆上任一点（非长轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2a x m =于M ，N ，则以线段MN 为直径的圆必经过两个定点，且椭圆外定点为222a b a m Q m ⎛⎫+− ⎪ ⎪⎝⎭，椭圆内定点为222,0a b a m R m ⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭.结论114：A ，B 分别为双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的右顶点和左顶点，P 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2a x m =(m >a )于M ，N ，则以线段MN 为直径的圆必经过两个定点，且椭圆外定点为222a b m a Q ⎫+−⎪⎪⎝⎭，椭圆内定点为222,0a b m a R m ⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭. 结论115：过直线()0x m m =≠但在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()222222,0AB MN a b m N k k m a a m ⎛⎫⋅= ⎪−⎝⎭，且有.结论116：过直线()0x m m =≠但在双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b外（即双曲线中心所在区域）一点M 向双曲线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()222222,0AB MN a b m N k k m a m a ⎛⎫⋅= ⎪−⎝⎭，且有. 结论117：过直线()0x m m =≠但在抛物线22(0)=>y px p 外（即抛物线准线所在区域）一点M 向抛物线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点(),02AB MN p N m k k m−⋅=，且有. 结论118：设点M 是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上），过点M 向圆锥曲线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过准线对应的焦点F ，且FM ⊥AB .结论119：过直线1mx ny +=但在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()22,N ma nb.结论120：过直线1mx ny +=但在双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b外（即双曲线中心所在区域）一点M 向双曲线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()22,N ma nb.结论121：过直线()10mx ny m +=≠但在抛物线22(0)=>y px p 外（即抛物线准线所在区域）一点M 向抛物线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点1,pn N m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭. 结论122：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，点P 是直线()||,0x t t a t =≠≠上的一个动点（P 不在椭圆上），直线PA 及PB 分别与椭圆相交于M ，N ，则直线MN 必与x 轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫⎪⎝⎭.结论123：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的顶点，点P 是直线()||,0x t t a t =≠≠上的一个动点（P 不在双曲线上），直线PA 及PB 分别与双曲线相交于M ，N ，则直线MN必与x 轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.结论124：A ，B 是抛物线22(0)=>y px p 上异于顶点O 的两个动点， 若直线AB 过定点N (2p ,0) OA ⊥OB A ，B 的横坐标之积、纵坐标之积均为定值 若OA ⊥OB 直线AB 过定点N (2p ,0)A ，B 的横坐标之积、纵坐标之积均为定值()2min 4AOB S p ∆=若OA ⊥OB 过O 作OM ⊥AB动点M 的轨迹方程为()22200x y px x +−=≠结论125：过抛物线22(0)=>y px p 上任意一点M ()00,x y 作两条弦MA ，MB ，则MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N ()002,x p y +−.结论126：过抛物线22(0)=>y px p 上任意一点M ()00,x y 作两条弦MA ，MB ，则()0MA MB k k λλ⋅=≠的充要条件是直线AB 过定点N 002,p x y λ⎛⎫−− ⎪⎝⎭. 结论127：过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点M ()00,x y 作两条弦MA ，MB ，则MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N 2222002222,a b b a x y a b b a ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭. 特别地，（1）当M 为左、右顶点时，即00,0x a y =±=时，MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N ()22222,0a a b a b ⎛⎫±− ⎪ ⎪+⎝⎭．（2）当M 为上、下顶点时，即000,x y b ==±时，MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N ()222220,b b a a b ⎛⎫±− ⎪ ⎪+⎝⎭．结论128：过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b上任意一点M ()00,x y 作两条弦MA ，MB ，则MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N 2222002222,a b b a x y a b b a ⎛⎫++ ⎪−−⎝⎭. 特别地，当M 为左、右顶点时，即00,0x a y =±=时，MA ⊥MB 的充要条件是直线AB过定点N ()22222,0a a b a b ⎛⎫±+ ⎪ ⎪−⎝⎭．结论129：过二次曲线()22,,,,,0+++=∈+≠Ax By Cx Dy E A B C D E A B 上任意一点M()00,x y 作两条弦MA ，MB ，若MA ⊥MB ，则直线AB 过定点N 000022,Ax C By D x y A B A B ++⎛⎫−− ⎪++⎝⎭.结论130：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上不同的两个动点，若OA ⊥OB ，则22222211||||a b OA OB a b ++=，()22min max21111||||||||a b a b OA OB ab OA OB +⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结论131：A ，B 是双曲线22221(0)−=>>x y b a a b上不同的两个动点（在同一支上），若OA ⊥OB ，则22222211||||b a OA OB a b−+=.抛物线 22(0)=>y pxp对称轴存在定点 (),0M p使得过该点的任意弦AB 恒有 222111||||MA MB p+= 椭圆 22221(0)+=>>x y a b a b 长轴 2222,0a b M a a b⎛⎫−± ⎪ ⎪+⎝⎭2222411||||a b MA MB b ++= 双曲线22221(0)−=>>x y a b a b 实轴结论133：过圆锥曲线()2210,0x y m n m n+=>≠的焦点F 作一条直线与圆锥曲线相交于M ，N ，与y 轴相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则2m nλμ+=−.结论134：过抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条直线与抛物线相交于M ，N ，与y 轴相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则1λμ+=−.结论135：过圆锥曲线的焦点F 作一条直线与圆锥曲线相交于M ，N ，与相应的准线相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则0λμ+=.结论136：MN 是垂直椭圆22221(0)+=>>x y a b a b长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，若,PE EM PF FN λμ==，则0λμ+=.结论137：MN 是垂直双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，若,PE EM PF FN λμ==，则0λμ+=. 结论138：MN 是垂直抛物线()220y px p =>对称轴的动弦，P 是抛物线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，若,PE EM PF FN λμ==，则0λμ+=.结论139：MN 是垂直椭圆22221(0)+=>>x y a b a b长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，A 为长轴顶点，若,OE EA OF FA λμ==，则1λμ+=−.结论140：MN 是垂直双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，A 为实轴顶点，若,OE EA OF FA λμ==，则1λμ+=−.结论141：MN 是垂直抛物线()220y px p =>对称轴的动弦，P 是抛物线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，A 为抛物线焦点，若,OE EA OF FA λμ==，则112λμ+=.结论142：P 是圆锥曲线221(0,0)x y s t s t+=>≠上任意一点，弦PA ，PB 分别过定点((,0),(,0)0M m N m m s −<<，若,λμ==PM MA PN NB ，则()222λμ++=−s m s m.结论143：M ，P 是圆C ：222(0)x y r r +=>上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于点A (m ,0)、B (n ,0)，则mn =r 2.结论144：M ，P 是圆锥曲线221(0,0)x y s t s t+=>≠上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于点A (m ,0)、B (n ,0)，则mn =s .结论145：A ，B 是圆锥曲线C ：221(0,0)x y s t s t+=>≠上关于x 轴对称的任意两个不同的点，点P (m ,0)是x 轴上的定点，直线PB 交C 于另一点E ，则直线AE 恒过x 轴上的定点Q,0s m ⎛⎫⎪⎝⎭. 结论146：A ，B 是抛物线C ：2(0)y px p =>上关于x 轴对称的任意两个不同的点，点P (m ,0)是x 轴上的定点，直线PB 交C 于另一点E ，则直线AE 恒过x 轴上的定点Q (),0m −.。
圆锥曲线二级结论常用
圆锥曲线二级结论常用1. 圆锥曲线的离心率定义：$e=\frac{c}{a}$，其中$a$为长轴的长度，$c$为离心点到焦点的距离。
2. 椭圆和双曲线的离心率分别为$0<e<1$和$e>1$，而抛物线的离心率为$e=1$。
3. 圆锥曲线的直线方程：对于椭圆和双曲线，直线方程通常为$y=mx+n$或$x=my+n$形式；而对于抛物线，直线方程为$x=a$或$y=b$形式。
4. 圆锥曲线的参数方程：椭圆和双曲线通常由参数方程$x=a\cos t,\ y=b\sin t$或$x=a\sec t,\ y=b\tan t$等表示；而抛物线通常由参数方程$x=at^2,\ y=2at$表示。
5. 圆锥曲线的一般式：一般式通常为$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$形式，其中$B^2-4AC<0$表示椭圆，$B^2-4AC>0$表示双曲线，$B^2-4AC=0$表示抛物线。
6. 圆锥曲线焦点和准线：对于椭圆和双曲线，焦点分别位于中心点的两侧，而准线为离心点所在的直线；对于抛物线，焦点位于抛物线的顶点，准线为与对称轴平行的直线。
7. 圆锥曲线的离心角和离心距离：对于椭圆和双曲线，离心角$\theta$由$\cos \theta=\frac{c}{a}$或$\cosh\theta=\frac{a}{c}$计算，离心距离$d=\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{2}$；对于抛物线，离心角和离心距离都为$0$。
8. 轴线、标准方程和对称性：对于椭圆和双曲线，轴线分别为长轴和短轴，标准方程为$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$或$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$形式，具有$x$轴、$y$轴或原点对称性；对于抛物线，轴线为对称轴，标准方程为$y=ax^2$或$x=ay^2$形式，具有$x$轴或$y$轴对称性。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论圆锥曲线是一个非常重要的数学话题，它被广泛地应用于各种科学领域中。
在圆锥曲线的研究中，有很多二级结论是非常重要的。
这些结论与圆锥曲线的方程有关，可以帮助我们更好地理解这些曲线的性质和特点。
下面，我们将介绍一些常用的二级结论。
1. 判别式在研究二次曲线的性质时，很重要的一个问题是如何判断其类型。
一个二次曲线的类型取决于其方程的系数。
比如，二次曲线的方程可以表示为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0其中，A、B、C、D、E和F都是常数。
二次曲线的类型如下：如果B² - 4AC > 0，则为双曲线。
如果B² - 4AC = 0，则为抛物线。
如果B² - 4AC < 0，则为椭圆。
这个判别式非常有用，可以帮助我们快速地判断一个二次曲线的类型。
在实际应用中，我们可以用这个结论来分析椭圆、双曲线和抛物线这些曲线的性质。
2. 焦半径公式圆锥曲线中最常见的二次曲线就是椭圆和双曲线。
在研究这些曲线的性质时，焦半径公式是非常重要的一个结论。
对于一个椭圆或双曲线，假设其焦点为F1和F2，离心率为e，焦距为2a，则任何一点P到F1和F2的距离之和等于2a。
即：PF1 + PF2 = 2a这个式子可以用来计算与椭圆或双曲线相关的各种参数。
比如，我们可以用这个式子计算出椭圆的周长和面积。
在应用中，我们经常需要用这个结论来计算椭圆和双曲线的各种参数。
3. 长短轴公式对于一个椭圆，它有两个特殊的轴，分别称为长轴和短轴。
这两个轴对于椭圆的性质有很大的影响。
在研究椭圆的性质时，长短轴公式是非常重要的一个结论。
对于一个椭圆，设其长轴长为2a，短轴长为2b，则有以下两个关系式：a² = b² + c²其中，c是椭圆的焦距，即焦点到中心的距离。
这个结论可以帮助我们计算椭圆的长轴和短轴长度。
在实际应用中，我们经常需要用这个结论来计算各种椭圆的参数。
微专题二圆与圆锥曲线中的二级结论
圆与圆锥曲线中的二级结论一、极点极线：设点00(,)P x y 是平面上任意一点，点00(,)P x y 对应的极线为l ①圆222()(),x a y b r -+-= 极线200:()()()()l x a x a y b y b r --+--= ②椭圆22221x y a b +=，极线0022:1x x y y l a b +=③双曲线22221x y a b-=，极线0022:1x x y y l a b -=④抛物线22y px =，极线00:()l y y p x x =+（其余三种类推）性质：（Ⅰ）点P 在曲线上，则在点P 处的切线即为极线l（Ⅱ）点P 在曲线外，则极线l 为过点P 处作曲线的两条切线的切点弦所在的直线方程 （Ⅲ）点P 在曲线内，则极线l 为过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹例1、（2020年全国Ⅰ）已知22:2220,M x y x y +---=直线:220,l x y ++=P 为l 上的动点。
过点P 作M 的切线,,PA PB 切点为,A B ，当PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为A 、210x y --=B 、210x y +-=C 、210x y -+=D 、210x y ++=【分析】22:(1)(1)4M x y -+-=，由等面积关系可得PM AB ⋅=显然当PM 最小时即PM l ⊥时，PM AB ⋅最小，此时PM 方程为210x y -+=，由210(1,0)220x y P x y -+=⎧⇒-⎨++=⎩则AB 的方程为21x y ++跟踪训练：在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,4)P 向圆222:()5(16)C x m y m m -+=+<<引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 过定点A 、1(,1)2-B 、3(1,)2-C 、13(,)22-D 、1(1,)2-例2、（2020海南名校联考）过点(1,1)H -作抛物线24x y =的两条切线,,HA HB 切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为A 、220x y -+=B 、220x y --=C 、220x y +-=D 、220x y -+= 【分析】 由极点极线可得AB 的方程为12(1)x y ⋅=-即220x y -+=跟踪训练：已知F 为抛物线22y x =的焦点，A 为抛物线上的动点，点1(,0)2B -，当AB AF 取得最大值时，AB 的值为A 、2BCD 、1PM ABBA PQ 二、抛物线中的二级结论 1、2、抛物线中的阿基米德三角形则0PA PB ⋅=⇔直线AB图1图2例3、设F 为抛物线24y x =的焦点，,A B 为抛物线上两点，若20,FA FB += 则2FA FB += 【分析】由 20,FA FB +=得,,F A B 三点共线，且2FA FB = 则24FA FB FB +=，由11232BF BF AF p +=⇒=，所以26FA FB += 跟踪训练：（2020衡阳一模）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线与C 交于,A B 两点，且线段AB 中点的纵坐标为2，O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为 例4、（2018全国Ⅲ）已知点(1,1)M -和抛物线2:4,C y x =过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论
一、椭圆
1. 椭圆的一般式：
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
(x² / a²) + (y² / b²) = 1
其中 a 和 b 分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
3. 椭圆的离心率：
其中 e 表示椭圆的离心率。
4. 椭圆的焦点坐标：
如果椭圆的焦距为 2c，则椭圆的焦点坐标为(±c,0)。
5. 椭圆的几何意义：
椭圆是一个平面曲线，其形状类似于拉伸的圆形。
在数学中，椭圆被广泛应用于计算、图形学和物理学。
二、双曲线
2. 双曲线的标准式：
双曲线有两条渐近线，它们在双曲线两侧无限接近双曲线，但永远不会穿过它。
三、抛物线
其中 a、b 和 c 分别表示抛物线的系数，抛物线面向的方向可以通过 a 的正负性来
判断。
如果抛物线面向的方向垂直于 x 轴，其焦点坐标为 (0, 1 / (4a))。
圆锥曲线面积二级结论
圆锥曲线面积二级结论
圆锥曲线的面积二级结论是指一些与圆锥曲线有关的公式和结论，这些结论可以在解题时使用，提高解题效率。
以下是圆锥曲线面积二级结论的例子：
1. 椭圆的标准方程为：，其中a为长轴半径，b为短轴半径。
椭圆的面积公式为：
2. 抛物线的标准方程为：，其中p为焦准距。
抛物线的焦点到准线的距离为：p。
3. 双曲线的标准方程为：，其中a为实轴半径，b为虚轴半径。
双曲线的实轴长为：2a，虚轴长为：2b。
双曲线的焦距为：2c，其中。
这些二级结论可以帮助我们快速求解圆锥曲线的面积和相关问题。
在解题时，需要根据具体的问题选择合适的公式和结论，以提高解题效率。
高中数学 圆锥曲线二级结论深度易记讲义
第一篇：圆锥曲线第二定义与焦点弦一、焦半径倾斜角式设曲线上点A 坐标为00(,)A x y ，曲线焦点为F ,θ为焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向的夹角，(0,)2πθ∈1.在椭圆和双曲线中2cos b AF a c θ=±（弦的长短决定加减） 2.在抛物线中1cos pAF θ=±（弦的长短决定加减）证明这两组结论，需要用到圆锥曲线第二定义： 圆锥曲线第二定义：平面内的动点(,)P x y 到一个定点F 的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数(0),e e >则动点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点F 称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。
当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线。
教研QQ群：439883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课设AF ρ=,则222cos ,()F a a b AN MN x c c c c ρθ==−−=−+=因此2cos b AM AN NM cρθ=+=+由第二定义知：2cos c e e b AMacρρρθ=⇒==+化简得：22cos 1cos b b a AF c a c aρθθ===−−,证毕.到这里很多读者朋友会问：2cos b a c θ+这个结论对应哪个焦半径？答案是:2cos b BF a c θ=+如何记忆？θ为焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向的夹角，(0,)2πθ∈一个θ对应两个焦半径AF BF 、怎么区分？ 弦的长短决定加减 怎么证明2cos b BF a c θ=+？仿照证明2cos b AF a c θ=−自行证明.二、推论 1.弦长公式①在椭圆和双曲线中：22222cos ab AB a c θ=−②在抛物线中：22sin p AB θ=记忆提示：这两个公式无须背诵，将上文倾斜角式中的一加一减两个公式相加即可，分母平方差公式，口算得结论，因为一段焦点弦是由两段焦半径组成. 2.焦半径混合运算①在椭圆和双曲线中：2112a AF BF b+=②在抛物线中：22112,sin p AF BF AF BF p θ+=⋅=记忆提示：这两组公式也无须背诵，将上文倾斜角式中的一加一减两个公式取倒数，同分母相加即可，总之以上推论花里胡哨，都不要背诵，大家只需记住： 1.在椭圆和双曲线中2cos b AF a c θ=±（弦的长短决定加减） 2.在抛物线中1cos pAF θ=±（弦的长短决定加减）这两个核心公式即可，是不是大大降低了记忆难度，反观市面上的参考资料都是直接让我们背推论，殊不知，没有这两组核心公式的铺垫，各个推论是孤立存在的，而且不易推导，记忆起来当然难度很大. 三、焦半径超级结论如果大家赶紧上面倾斜角式两个公式还是过于繁琐，非得想要用一个公式，表示所有圆锥曲线的焦半径，那么下面这个公式将会很适合你. 1.焦半径公式：1cos epe ρθ=±（弦的长短决定加减）2.焦点弦长公式：2221cos epAB e θ=−（弦的长短决定加减）注：e ——曲线的离心率，特别地，抛物线离心率1e =，所以22sin p AB θ=p ——焦准距（焦点到准线的距离），椭圆与双曲线的准线方程为2a c，所以22||,a b p c c c =−=抛物线中p 即为公式中的pθ——焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向夹角，(0,)2πθ∈特别说明：倾斜角相关所有公式适用于椭圆、双曲线内分弦、抛物线，在双曲线中，如果焦点F 外分弦AB 时22222cos ab AB c a θ=−或222cos 1epAB e θ=−关于四这部分也不建议大家记忆，花里胡哨的 四、一个重要推论（考点）由本文三、四可知，圆锥曲线焦点弦长公式与离心率有关，下面探究离心率、倾斜角及点分线段的比例关系： 1cos 1e λθλ−=+注：e ——曲线的离心率，特别地，抛物线离心率1e =，θ——焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向夹角，(0,)2πθ∈λ——焦点把弦分成两部分，1λ=>长短特别说明：此公式适用于椭圆、双曲线内分弦、抛物线，在双曲线中，如果焦点F 外分弦AB 时1cos 1e λθλ+=−由此结论，我们可以知道，对于离心率e 、倾斜角θ、焦半径比λ，知道其中任意两个量，都可以求其他一个量，出题人也常以此原理出题. 证明：以椭圆和双曲线为例，如图，由三知：2211,cos cos b b AF BF a c a c θθ==−+, 则11cos 1cos cos 1cos AF a c e BF a c e θθλθθ++===−−化简得：1cos 1e λθλ−=+五、焦半径坐标式设曲线上点A 坐标为00(,)A x y ，曲线焦点为F 1.在椭圆和双曲线中：0||AF a ex =±（焦点在x 轴上） 0||AF a ey =±（焦点在y 轴上）注：绝对值内具体是加还是减，要结合焦半径的长短及坐标正负来判断 结论证明:则由第二定义得2100||a AF e x a ex c ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，2200||a AF e x a ex c ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭2.在抛物线中0||2pAF x =+（焦点在x 轴上） 0||2pAF y =+（焦点在y 轴上） 证明提示：定义配套练习例1.(2019年全国I 卷理10/全国I 卷文12)已知椭圆C 的左右焦点为1(1,0)F −，2(1,0)F ，过点2F 的直线与C 交于,A B 两点，若222AF F B =，1AB F B =，则C 的方程为（ ） 22.12x A y +=22.132x y B +=22.143x y C +=22.154x y D +=解析：解得12AF x =，所以122AF AF x ==,点A 与短轴端点重合，于是21cos c AF F e a∠==由五结论知：211cos 13e e λθλ−=⇒=+所以222221,3,2c a b a c ===−=所以选B 例2.(2017全国卷)已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,,l l 直线1l 与C 交于A B 、两点，直线2l 与C 交于D E 、两点，则||||AB DE +的最小值为（ ） .16A .14B .12C .10D 解法一：常规解法设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴，易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=−−= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性），cos AF P AF θ⋅+=∴，同理1cos P AF θ=−，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==−，又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+， 2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ21616sin 2θ=≥，当且仅当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A ； 解法二：结论解法依题意知：22sin PAB θ=，2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由柯西不等式知：2222211(11)22816sin cos sin cos AB DE P P P θθθθ+⎛⎫+=+≥⋅== ⎪+⎝⎭，当且仅当π4θ=取等号，故选A ； 例3. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于,A B 两点，若3AF FB =，则____.k =解析：将数据代入结论1cos 1e λθλ−=+得：311312θ−==+，解得cos θ=进而sin θ=，所以sin cos k θθ==例4.已知点(2A −,设点F 为椭圆2211612x y +=的右焦点，点M 为椭圆上一动点，求||2||MA MF +的最小值，并求此时点M 的坐标。
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∙
三. 抛物线
(一) 方程、离心率的公式、结论
19. 切线方程、切点所在直线方程
过抛物线
2
0 上一点 , 的切线方程为
从抛物线
2
0 外一点 , 的切线，切点分别为, ，则直线
的方程为
(二) 焦点相关公式、结论
20. 过抛物线
3
交于, 两点，若⃗
⃗
|
0 ，则有|cos |
1
1
|
，若直线斜率存在，则有
1
(二) 焦点相关公式、结论
13. 焦半径倒数和（三大圆锥曲线均满足，双曲线需要在同一支）
1
过双曲线
0 的焦点 , 0 且不平行于坐标轴的弦，
0,
则两条焦半径的倒数和为
1
⃗
1
条焦半径的倒数和为
1
⃗
1
⃗
4
2
,
2
其中，为通径。
5.
焦点弦垂直平分线结论（三大圆锥曲线均适用）
1
过椭圆
0 的焦点 , 0 且不平行于坐标轴的弦，线段
⃗
的垂直平分线交轴于点，那么
6.
⃗
焦点三角形
1
椭圆
(1) cos
|
||
0 上一点 , ，∠
1，
|
，那么
∠ ；
(2) | || | ∈ , ；
(3) ⃗ ∙ ⃗ ∈ 2
(4) ⊿
, ；
tan
(三) 其它公式、结论
7.
中心三角形
椭圆
1
0 与直线交于, ，在⊿中，边上的高是，
1
11. 离心率范围
若双曲线的焦点分别为 , ，且双曲线上存在点使得| |
0,
例题 3
例题 4
1 ，则离心率的范围是
若双曲线
| |
λ| |
1
0 的焦点分别为 , ，且双曲线上存在点 使得
2| |，则离心率的范围是_____________________
（ 异 于 长 轴 的 端 点 ） 使 得 sin ∠
, 0 , , 0 ，且椭圆上存在点
sin ∠ ， 则 离 心 率 的 范 围 是
_____________________
3.
过焦点直线的倾斜角与离心率（三大圆锥曲线都适用）
过椭圆
, 两点，若⃗
1
则有
8.
(1) ∠
90° ⟺ |
|
(2) ∠
90° ⟺ |
|
(3) ∠
90° ⟺ |
|
；
；
.
顶点三角形
2
1
椭圆
0 与直线:
交于, ，且以为直径的圆
过椭圆的右顶点，则直线必过定点
9.
,0
中点弦
1
椭圆
0 与直线:
交于, ，线段的中点为
圆 锥 曲 线 速 算 公 式 和 结 论
一. 椭圆
(一) 方程、离心率的公式、结论
1.
切线方程、切点所在直线方程
1
过椭圆
0 上一点 , 的切线方程为
1
从椭圆
1
0 外一点 , 的切线，切点分别为, ，则直
线的方程为
2.
1
离心率范围
若椭圆的焦点分别为 , ，且椭圆上存在点使得| |
λ| |
0,
1 ，则离心率的范围是
例题 1
若椭圆
1
0 的焦点分别为 , ，且椭圆上存在点使得| |
2| |，则离心率的范围是_____________________
例题 2
若椭圆
1
0 的焦点分别为
23. 过抛物线
2
0 焦点的直线与抛物线交于点, ，则抛物线过点
, 的切线相互垂直且交点在准线上。
||
0,
|
0 上一点 , ，∠
；
(2) | || | ∈
；
(3) ⃗ ∙ ⃗ ∈
；
(4) ⊿
，那么
cot
(三) 其它公式、结论
16. 中心三角形
双曲线
1 的高是，
则有
(4)
∠
90° ⟺ |
|
(5)
⃗
0 的焦点 , 0 且倾斜角为的直线与椭圆交于
0 ，则有
| 1|
1
|cos |
若直线斜率存在，则有
1
1
1
1
(二) 焦点相关公式、结论
4.
焦半径倒数和（三大圆锥曲线均满足，双曲线需要在同一支）
1
过椭圆
0 的焦点 , 0 且不平行于坐标轴的弦，则两
∠
90° ⟺ |
|
；
；
4
(6)
∠
90° ⟺ |
.
|
17. 顶点三角形
1
双曲线
0 与直线:
交于, ，且以为直径的
圆过双曲线的右顶点，则直线必过定点
,0
18. 中点弦
1
双曲线
0 与直线:
交于, ，线段的中点为
, ，则有
若双曲线
1
点（异于顶点）使得 sin ∠
0 的焦点分别为
, 0 , , 0 ，且双曲线上存在
sin ∠ ，则离心率的范围是___________________
12. 过焦点直线的倾斜角与离心率（三大圆锥曲线都适用）
过双曲线
1
0 的焦点 , 0 且倾斜角为的直线与双曲线
2
0 焦点的直线的倾斜角为，且与抛物线交于点, ，
2
0 焦点的直线的倾斜角为，且与抛物线交于点, ，
则
21. 过抛物线
则
5
(三) 其它公式、结论
22. 过抛物线
2
0 ，直线:
与抛物线交于点, ，且以为
直径的圆过抛物线的顶点，则直线过定点 2, 0
, ，则有
∙
二. 双曲线
(一) 方程、离心率的公式、结论
10. 切线方程、切点所在直线方程
1
过双曲线
0,
0 上一点 , 的切线方程为
1
从双曲线
1
0 外一点 , 的切线，切点分别为, ，则
0,
直线的方程为
⃗
4
2
,
2
其中，为通径。
14. 焦点弦垂直平分线结论（三大圆锥曲线均适用）
1
过双曲线
0 的焦点 , 0 且不平行于坐标轴的弦，线
段的垂直平分线交轴于点，那么
⃗
⃗
15. 焦点三角形
1
过双曲线
(1) cos
1
|