高考数学一轮复习 10B6课时作业
高考数学文一轮复习方案(人教B版)：作业手册(317页60套)(附详细解析)
课时作业(一)A[第1讲集合及其运算](时间：35分钟分值：80分)基础热身1．[2012·潍坊月考] 设集合A＝{x|2x－2<1}，B＝{x|1－x≥0}，则A∩B等于()A．{x|x≤1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|0<x<1}2．[2012·商丘模拟] 设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B ＝{2，4，6}，则图K1－1中的阴影部分表示的集合为()图K1－1A．{2} B．{4，6}C．{1，3，5} D．{4，6，7，8}3．设非空集合M，N满足：M＝{x|f(x)＝0}，N＝{x|g(x)＝0}，P＝{x|f(x)g(x)＝0}，则集合P恒满足的关系为()A．P＝M∪N B．P⊆(M∪N)C．P≠∅D．P＝∅4．[2012·上海卷] 若集合A＝{x|2x－1>0}，B＝{x||x|<1}，则A∩B＝________．能力提升5．已知集合A＝{x|x2－4x－12<0}，B＝{x|x<2}，则A∪(∁R B)＝()A．{x|x<6} B．{x|－2<x<2}C．{x|x>－2} D．{x|2≤x<6}6．设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数为()A．1 B．3C．4 D．87．[2012·开封模拟] 设全集U＝{x|x≤7，x∈N*}，集合A＝{1，3}，B＝{2，6}，则∁U(A∪B)＝()A．{2，3，6} B．{1，2，7}C．{2，5，7} D．{4，5，7}8．[2012·北京卷] 已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，则A∩B ＝()A ．(－∞，－1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－23 C.⎝⎛⎭⎫－23，3 D ．(3，＋∞)9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为________．10．集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，且A ∪B ＝B ，则实数a 的值为________．11．已知x ∈R ，y >0，集合A ＝{x 2＋x ＋1，－x ，－x －1}，集合B ＝－y ，－y2，y ＋1，若A ＝B ，则x 2＋y 2的值为____________________．12．(13分)集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，满足A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅，求实数a 的值．难点突破13．(12分)集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．课时作业(一)B [第1讲 集合及其运算](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．S ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，T ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，则S ∩T 是( ) A ．S B ．TC ．∅D ．有限集 2．[2012·浙江卷] 设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合P ＝{1，2，3，4}，Q ＝{3，4，5}，则P ∩(∁U Q )＝( )A ．{1，2，3，4，6}B ．{1，2，3，4，5}C ．{1，2，5}D ．{1，2}3．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪log 12x ≥12，则∁R A ＝( ) A.⎣⎡⎭⎫22，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫22，＋∞D ．(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞4．[2012·淮阴模拟] 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x ＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)＝________．能力提升5．[2012·驻马店模拟] 集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，1∉A，则实数a的取值范围是() A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，1]6．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为()A．0 B．6C．12 D．187．已知A，B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A等于()A．{1，3} B．{3，7，9}C．{3，5，9} D．{3，9}8．已知集合A，B，A＝{x|－2≤x<2}，A∪B＝A，则集合B不可能．．．为() A．∅B．{x|0≤x≤2}C．{x|0<x<2} D．{x|0≤x<2}9．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{(x，y)|x－y＝1}，则M∩N＝________．10．设集合A＝{5，log2(a＋3)}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．11．集合A＝{(x，y)|y＝1－x2}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，若A∩B的子集有4个，则b 的取值范围是________．12．(13分)设关于x的不等式x(x－a－1)<0(a∈R)的解集为M，不等式x2－2x－3≤0的解集为N.(1)当a＝1时，求集合M；(2)若M⊆N，求实数a的取值范围．难点突破13．(1)(6分)[2012·北京西城区模拟] 已知集合A＝{a1，a2，…，a20}，其中a k>0(k＝1，2，…，20)，集合B＝{(a，b)|a∈A，b∈A，a－b∈A}，则集合B中的元素至多有() A．210个B．200个C．190个D．180个(2)(6分)[2012·北京朝阳区模拟] 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，集合B＝{(x，y)|y≥m|x|，m为正常数}．若O为坐标原点，M，N为集合A所表示的平面区域与集合B所表示的平面区域的边界的交点，则△MON的面积S与m的关系式为________．课时作业(二)[第2讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词](时间：35分钟分值：80分)基础热身1．已知命题p：∀x∈R，x>sin x，则命题p的否定形式为()A．∃x0∈R，x0<sin x0B．∀x∈R，x≤sin xC．∃x0∈R，x0≤sin x0D．∀x∈R，x<sin x2．[2012·乌鲁木齐模拟] 已知α，β是两个不重合的平面，l是空间一条直线，命题p：若α∥l，β∥l，则α∥β；命题q：若α⊥l，β⊥l，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是()A．命题“p∧q”为真B．命题“p∨q”为假C．命题“p∨q”为真D．命题“(綈p)∧(綈q)”为真3．[2012·河北五校联考] 下列结论错误的是()A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2－3x＋2≠0”B．命题“存在x为实数，x2－x>0”的否定是“任意x是实数，x2－x≤0”C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分不必要条件D．若p且q为假命题，则p，q均为假命题4．[2012·河南四校联考] 命题“∀x∈R，都有|x－1|－|x＋1|≤3”的否定是________________________________________________________________________．能力提升 5．[2012·黄冈中学月考] 命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条．．．．．．件．是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5 D ．a ≤5 6．[2013·德州重点中学月考] 下列有关命题的说法正确的是( ) A ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为：“若xy ＝0，则x ≠0” B ．“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题C ．命题“∃x 0∈R ，使得2x 20－1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有2x 2－1<0”D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题为真命题7．[2012·东北三校联考] 已知命题p ：∃x 0∈0，π2，sin x 0＝12，则綈p 为( )A ．∀x ∈0，π2，sin x ≠12B ．∀x ∈0，π2，sin x ＝12C ．∃x 0∈0，π2，sin x 0≠12D ．∃x 0∈0，π2，sin x 0>128．[2012·大庆模拟] 已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0，命题q ：∀x ∈0，π2，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )9．在“綈p ”“p ∧q ”“p ∨q ”形式的命题中，“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真，那么p ，q 的真假为p ________，q ________．10．[2012·宁德质检] 若“∀x ∈R ，(a －2)x ＋1>0”是真命题，则实数a 的取值集合是________．11．下列四个命题：①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；②∀x ∈Q ，12x 2＋x －13是有理数；③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ④∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10. 所有真命题的序号是________． 12．(13分)[2012·吉林模拟] 已知p ：f (x )＝x 3－ax 在(2，＋∞)上为增函数，q ：g (x )＝x 2－ax ＋3在(1，2)上为减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围．难点突破13．(12分)已知p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解；q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．课时作业(三)[第3讲命题及其关系、充分条件、必要条件](时间：35分钟分值：80分)基础热身1．[2012·重庆卷] 命题“若p，则q”的逆命题是()A．若q，则pB．若綈p，则綈qC．若綈q，则綈pD．若p，则綈q2．[2012·佛山模拟] 已知非零向量a，b，则“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题4．[2013·扬州中学月考] 已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________________________．能力提升5．“a＝2”是“函数f(x)＝x a－12为偶函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．下列有关命题的说法中，正确的是()A．命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x≤1”B．“x>1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2＋x＋1>0”D．命题“若α>β，则tanα>tanβ”的逆命题为真命题7．下列命题中，真命题的个数是()①x，y∈R，“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆命题；②“若a＋b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题；③“若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0”的逆否命题．A．0 B．1C．2 D．38．[2012·郑州模拟] 设p：|2x＋1|>a，q：x－12x－1>0，使p是q的必要不充分条件的实数a 的取值范围是()A．(－∞，0) B．(－∞，－2]C．[－2，3] D．(－∞，3]9．[2012·焦作质检] 写出一个使不等式x2－x<0成立的充分不必要条件________．10．已知命题“若a>b，则ac2>bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．11．“x＝2”是“向量a＝(x＋2，1)与向量b＝(2，2－x)共线”的________条件．12．(13分)π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.(1)写出命题p的否定并判断真假；(2)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假；(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的什么条件？并证明你的结论．难点突破13．(12分)已知集合A＝y错误!y＝x2－错误!x＋1，x∈错误!，2，B＝{x|x＋m2≥1}．条件p：x∈A，条件q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．课时作业(四)A [第4讲 函数的概念及其表示](时间：35分钟 分值：80分)基础热身 1．[2012·石家庄质检] 下列函数中与函数y ＝x 相同的是( )A ．y ＝|x |B ．y ＝1xC ．y ＝x 2D ．y ＝3x 3 2．[2012·郑州质检] 函数f (x )＝2x －1log 2x的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，＋∞)3．下列函数中，值域为[0，3]的函数是( ) A ．y ＝－2x ＋1(－1≤x ≤0) B ．y ＝3sin xC ．y ＝x 2＋2x (0≤x ≤1)D ．y ＝x ＋34．[2012·陕西卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝⎛⎭⎫12x，x ＜0，则f (f (－4))＝________．能力提升5．[2013·浙江重点中学联考] 已知f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1（－1<x <0），0（0≤x ≤1），则f (3)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．1或0 6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：(1)y ＝2x 2＋1，x ∈{－2}；(2)y ＝2x 2＋1，x ∈{2}；(3)y ＝2x 2＋1，x ∈{－2，2}．那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{－1，5}的“孪生函数”共有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 7．[2012·唐山模拟] 函数y ＝1－lg （x ＋2）的定义域为( ) A ．(0，8] B ．(－2，8] C ．(2，8] D ．[8，＋∞)8．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x ＋3，f (m )＝6，则m 等于( )A.14 B ．－14 C.32 D ．－329．[2012·汕头质检] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x ≤0，f （x －1）＋1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫56的值为________． 10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．11．已知g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x2(x ≠0)，那么f ⎝⎛⎭⎫12＝________． 12．(13分)图K4－1是一个电子元件在处理数据时的流程图：图K4－1(1)试确定y ＝f (x )的函数关系式； (2)求f (－3)，f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值．难点突破13．(12分)已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)的最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称．(1)求f(x)和g(x)的解析式；(2)若h(x)＝f(x)－λg(x)在区间[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．课时作业(四)B[第4讲函数的概念及其表示](时间：35分钟分值：80分)基础热身1．下列是映射的是()图K4－2A ．(1)(2)(3)B ．(1)(2)(5)C ．(1)(3)(5)D ．(1)(2)(3)(5)2．[2012·江西师大附中月考] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0a x ，x >0，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．43．[2012·马鞍山二模] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．函数y ＝x －x 的值域是________．能力提升5．已知f (x )的图象恒过点(1，2)，则f (x ＋3)的图象恒过点( ) A ．(－3，1) B ．(2，－2) C ．(－2，2) D ．(3，5)6．[2012·肇庆一模] 已知函数f (x )＝lg x 的定义域为M ，函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >2，－3x ＋1，x <1的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．(0，1)B ．(2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(0，1)∪(2，＋∞)7．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－528．[2012·石家庄质检] 设集合A ＝⎣⎡⎭⎫0，12，B ＝⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2（1－x ），x ∈B ，若x 0∈A 且f (f (x 0))∈A ，则x 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，14B.⎝⎛⎭⎫14，12C.⎝⎛⎦⎤14，12D.⎣⎡⎦⎤0，38 9．[2012·四川卷] 函数f (x )＝11－2x的定义域是________．(用区间表示)10．已知f (x )＝⎩⎨⎧ln 1x，x >0，1x，x <0，则f (x )＞－1的解集为____________________．11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <1，1x ，x >1的值域是________．12．(13分)(1)求函数f (x )＝lg （x 2－2x ）9－x 2的定义域；(2)已知函数f (x )的定义域为[0，1]，求下列函数的定义域：①f (x 2)，②f (x －1)； (3)已知函数f (lg(x ＋1))的定义域是[0，9]，求函数f (2x )的定义域．难点突破13．(12分)已知f (x )是定义在[－6，6]上的奇函数，它在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，且当x ∈[3，6]时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的解析式．课时作业(五) [第5讲 函数的单调性与最值](时间：45分钟 分值：100分)基础热身 1．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)2．函数f (x )＝1－1x在[3，4)上( )A ．有最小值无最大值B ．有最大值无最小值C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在 3．[2012·天津卷] 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R4．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为________．能力提升 5．[2012·宁波模拟] 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|x |)<f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 6．[2012·商丘三模] 设f (x )＝x 2－2x －3(x ∈R )，则在区间[－π，π]上随机取一个实数x ，使f (x )＜0的概率为( )A.1πB.2πC.3πD.32π 7．[2012·哈尔滨师范大学附中期中] 函数y ＝⎝⎛⎭⎫121x 2＋1的值域为( )A ．(－∞，1) B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎣⎡⎭⎫12，1 D.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 8．[2013·惠州二调] 已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．(2－2，2＋2)B ．[2－2，2＋2]C ．[1，3]D ．(1，3)9．[2012·长春外国语学校月考] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x （x <0），（a －3）x ＋4a （x ≥0）满足对任意的实数x 1≠x 2都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(0，1)C.⎝⎛⎦⎤0，14 D ．(1，3) 10．若函数y ＝f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f （x ）的值域是________． 11．若在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝x ＋1x在同一点取得相同的最小值，则f (x )在该区间上的最大值是________．12．函数y ＝xx ＋a 在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________．13．函数y ＝ln 1＋x1－x的单调递增区间是________．14．(10分)试讨论函数f (x )＝xx 2＋1的单调性．15．(13分)已知函数f(x)＝a－1|x|.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f(x)＝x2x－2(x∈R，且x≠2)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝x2－2ax与函数f(x)在x∈[0，1]上有相同的值域，求a的值．课时作业(六)A [第6讲 函数的奇偶性](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A ．y ＝－x 3，x ∈R B ．y ＝sin2x ，x ∈RC ．y ＝2x ，x ∈RD ．y ＝－⎝⎛⎭⎫13x ，x ∈R2．函数f (x )＝a 2x －1ax (a >0，a ≠1)的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称 3．[2012·哈尔滨师范大学附中月考] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 4．[2012·上海卷] 已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________．能力提升5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－134＝( ) A.32 B ．－32C.12 D ．－12 6．[2012·长春外国语学校月考] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，若f (1)＝1，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．27．[2013·保定摸底] 若函数f (x )＝|x －2|＋a 4－x 2的图象关于原点对称，则f a2＝( )A.33 B ．－33C ．1D ．－1 8．已知定义在R 上的奇函数f (x )是一个减函数，若x 1＋x 2＜0，x 2＋x 3＜0，x 3＋x 1＜0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上都有可能 9．[2013·银川一中月考] 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋1)＋f (x )＝3，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 005.5)＝________．10．[2013·南昌一中、十中联考] 函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，正确结论的序号是________．①f (－x )＋f (x )＝0；②f (－x )－f (x )＝－2f (x )；③f (x )f (－x )≤0；④f （x ）f （－x ）＝－1.11．[2012·南京三模] 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0是奇函数，则满足f (x )>a 的x 的取值范围是________．12．(13分)[2012·衡水中学一调] 已知函数f (x )＝x m －2x 且f (4)＝72.(1)求m 的值；(2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．难点突破13．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．课时作业(六)B [第6讲 函数的奇偶性](时间：35分钟 分值：80分)基础热身 1．[2012·佛山质检] 下列函数中既是奇函数，又在区间(－1，1)上是增函数的为( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝sin xC ．y ＝e x ＋e －x D ．y ＝－x 32．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－123．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1（x >0），－x 2－x －1（x <0），则f (x )为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．不能确定奇偶性 4．[2012·浙江卷] 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________．能力提升5．[2012·郑州模拟] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，0，x ＝0，g （x ），x >0，且f (x )为奇函数，则g (3)＝( )A ．8 B.18 C ．－8 D ．－186．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，如果x 1<0，x 2>0，且|x 1|<|x 2|，则有( )A ．f (－x 1)＋f (－x 2)>0B ．f (x 1)＋f (x 2)<0C ．f (－x 1)－f (－x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0 7．[2012·石嘴山二联] 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1 8．[2013·忻州一中月考] 命题p ：∀x ∈R ，3x >x ；命题q ：若函数y ＝f (x －1)为奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(1，0)成中心对称．以下说法正确的是( ) A ．p ∨q 真 B ．p ∧q 真 C ．綈p 真 D ．綈q 假9．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)f (x )＝1，若f (1)＝－5，则f (－5)＝________． 10．[2011·广东卷] 设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________．11．设定义在[－2，2]上的奇函数f (x )在[0，2]上单调递减，若f (3－m )≤f (2m 2)，则实数m 的取值范围是________．12．(13分)已知函数f (x )＝lg 1＋x1－x.(1)求证：对于f (x )的定义域内的任意两个实数a ，b ，都有f (a )＋f (b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ； (2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明．难点突破13．(12分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．课时作业(七)[第7讲二次函数](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2，3)内是单调函数，则实数a的取值范围是() A．a≤2或a≥3B．2≤a≤3C．a≤－3或a≥－2D．－3≤a≤－22．函数y＝(cos x－a)2＋1，当cos x＝a时有最小值，当cos x＝－1时有最大值，则a的取值范围是()A．[－1，0] B．[－1，1]C．(－∞，0] D．[0，1]3．[2012·长春外国语学校月考] 若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m2－1)x＋1是偶函数，则f(x)在区间(－∞，0]上是()A．增函数B．减函数C．常数D．增函数或常数4．[2011·陕西卷] 设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数．．根的充要条件是n＝________．能力提升5．函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( ) A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25 D ．f (1)>256．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．27．[2012·昆明模拟] 若函数y ＝ax 与y ＝bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(－∞，0)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增8．若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值为( ) A ．正数 B ．负数C ．非负数D ．与m 有关 9．[2012·牡丹江一中期中] 如图K7－1是二次函数f (x )＝x 2－bx ＋a 的图象，其函数f (x )的导函数为f ′(x )，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )图K7－1A.⎝⎛⎭⎫14，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2，3)10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3（－2≤x <0），x 2－2x －3（0≤x ≤3）的值域是________．11．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ∈(0，＋∞))的解的个数是________．12．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________． 13．[2012·北京卷] 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________．14．(10分)[2012·正定月考] 已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0，5)． (1)求f (x )的解析式；(2)对于任意x ∈[－1，1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的范围．15．(13分)设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3，4)，且过点A(2，2)的抛物线的一部分．(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；(3)写出函数f(x)的值域．图K7－2难点突破16．(12分)[2013·衡水中学一调] 已知对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0，则称x0是f(x)的一个不动点，已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)的图象上A，B两点的横坐标是f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋12a2＋1对称，求b的最小值．课时作业(八)A [第8讲 指数与对数的运算](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．42．下列等式能够成立的是( )A.⎝⎛⎭⎫n m 5＝m 15n 5B.12（－2）4＝3－2C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34D.39＝333．在对数式b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <44．[2012·正定中学月考] 计算lg 14－lg25100－12＝________．能力提升5．若log 2log 3log 4x ＝log 3log 4log 2y ＝log 4log 2log 3z ＝0，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．50 B ．58 C ．89 D ．1116．[2012·武汉调研] 若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝( ) A.94 B.54 C.34 D.43 7．[2012·重庆卷] 已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c8．若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg2＋lg x ＋lg y ，则xy＝( )A ．2B ．3 C.12 D.139．[2012·海南五校联考] x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________．10．[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64＝________．11．[2012·上海卷] 方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．12．(13分)设x >1，y >1，且2log x y －2log y x ＋3＝0，求T ＝x 2－4y 2的最小值．难点突破13．(12分)已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x .(1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)若f (x )·f (y )＝4，g (x )·g (y )＝8，求g （x ＋y ）g （x －y ）的值．课时作业(八)B [第8讲 指数与对数的运算](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．下列命题中，正确命题的个数为( ) ①na n ＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1； ③3x 4＋y 6＝x 43＋y 2；④5－3＝10（－3）2.A ．0B ．1C ．2D ．32．化简：（log 23）2－4log 23＋4＋log 213＝( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－23．log(n ＋1＋n )(n ＋1－n )＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－24．已知a 12＝49，则log 23a ＝________．能力提升5．若10x ＝2，10y ＝3，则103x －y2＝( ) A.263 B.63 C.233D.366．函数y ＝x 2＋2x ＋1＋3x 3－3x 2＋3x －1的图象是( ) A ．一条直线 B ．两条射线 C ．抛物线 D ．半圆7．若a >1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于( ) A. 6 B ．2或－2 C ．2 D ．－28．[2012·唐山模拟] 已知3x ＝4y ＝12，则1x ＋1y＝( )A. 2 B ．1 C.12D ．2 9．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈（－∞，1]，log 81x ，x ∈（1，＋∞），则满足f (x )＝14的x 值为________．10．[2012·福州质检] 化简：lg2＋lg5－lg8lg50－lg40＝________．11．方程log 2(x 2＋x )＝log 2(2x ＋2)的解是________．12．(13分)已知x 12＋x －12＝3，求x 2＋x －2－2x 32＋x －32－3的值．难点突破13．(12分)设a ，b ，c 均为正数，且满足a 2＋b 2＝c 2.(1)求证：log 2⎝⎛⎭⎫1＋b ＋c a ＋log 2⎝⎛⎭⎫1＋a －c b ＝1；(2)若log 4⎝⎛⎭⎫1＋b ＋c a ＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，求a ，b ，c 的值．课时作业(九) [第9讲 指数函数、对数函数、幂函数](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2012·西安质检] 已知a ＝32，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n满足的关系为( )A ．m ＋n <0B ．m ＋n >0C ．m >nD ．m <n 2．[2012·梅州中学月考] 若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12xC.12x D ．x 2 3．[2012·四川卷] 函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )图K9－14．[2012·南通模拟] 已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________．能力提升 5．[2012·汕头测评] 下列各式中错误．．的是( ) A ．0.83>0.73 B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1 D ．lg1.6>lg1.46．若集合A ＝{y |y ＝x 13，－1≤x ≤1}，B ＝y⎪⎪⎪ )y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，1) B ．[－1，1] C ．∅ D ．{1}7．[2012·南昌调研] 函数f (x )＝log 22x 2＋1的值域为( )A ．[1，＋∞)B ．(0，1]C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)8．[2012·三明联考] 已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值等于( )A.1lg2 B ．－1lg2 C ．lg2 D ．－lg29．[2012·全国卷] 已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，3x ，x <0，则满足f (a )<13的a 的取值范围是________．11．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．12．[2013·河北五校联盟调研] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，（x >0），2x ，（x ≤0）且关于x 的方程f (x )＋x－a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．13．[2012·长春外国语学校月考] 关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图象关于y 轴对称； ②f (x )的最小值是lg2；③当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ④f (x )在区间(－1，0)，(2，＋∞)上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是________．14．(10分)设a >0，f (x )＝e x a ＋aex 是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (3)解方程f (x )＝2. 15．(13分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，且函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0，1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．课时作业(十) [第10讲 函数的图象与性质的综合](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．函数f (x )＝1x＋2x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称2．为了得到函数y ＝3⎝⎛⎭⎫13x 的图象，可以把函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度3．下列四个函数中，图象如图K10－1所示的只能是( )图K10－1A．y＝x＋lg x B．y＝x－lg xC．y＝－x＋lg x D．y＝－x－lg x4．[2012·开封质检] 把函数y＝f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是________________________________________________________________________．能力提升5．在函数y＝|x|(x∈[－1，1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1及x ＝t围成图形(如图K10－2阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图象可表示为()图K10－2图K10－36．已知图K10－4①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图K10－4②中的图象对应的函数为()图K10－4A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)7．[2012·郑州调研] 已知曲线如图K10－5所示：图K10－5以下为编号为①②③④的四个方程：①x－y＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0；④|x|－y＝0.请按曲线A，B，C，D的顺序，依次写出与之对应的方程的编号为()A．④②①③B．④①②③C．①③④②D．①②③④8．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是()图K10－69．已知函数f(x)＝e x，其反函数为y＝f－1(x)，则函数g(x)＝|f－1(1－x)|的大致图象是()图K10－710．将函数y ＝2x ＋1的图象按向量a 平移得到函数y ＝2x ＋1的图象，则a ＝________．11．[2012·海淀一模] 函数f (x )＝x ＋1x图象的对称中心为________．12．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为________．13．[2012·唐山二模] 奇函数f (x )、偶函数g (x )的图象分别如图K10－8(1)，K10－8(2)所示，方程f (g (x ))＝0，g (f (x ))＝0的实根个数分别为a ，b ，则a ＋b ＝________．图K10－814．(10分)设函数f (x )＝x ＋1x的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．求g (x )的解析式．15．(13分)已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．难点突破16．(12分)(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称；(2)若函数y ＝log 2|ax －1|的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值．课时作业(十一)[第11讲函数与方程](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2013·安庆四校联考] 图K11－1是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点的区间是()图K11－1A．[－2.1，－1] B．[1.9，2.3]C．[4.1，5] D．[5，6.1]2．[2012·唐山期末] 设f (x )＝e x＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3)3．若x 0是方程lg x ＋x ＝2的解，则x 0属于区间( ) A ．(0，1) B ．(1，1.25)C ．(1.25，1.75)D ．(1.75，2)4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．能力提升5．函数y ＝f (x )在区间(－2，2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2，2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定6．[2013·诸城月考] 设函数y ＝x 2与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)7．已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4) 8．[2011·陕西卷] 方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根9．[2012·石家庄质检] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内恰有一解，则a 的取值范围是________．11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________．12．[2012·盐城二模] 若y ＝f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x －1，则函数g (x )＝f (x )－log 3|x |的零点个数为________．13．[2013·扬州中学月考] 已知函数f (x )＝|x 2－1|x －1－kx ＋2恰有两个零点，则k 的取值范围是________．14．(10分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．15．(13分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a >0)，设方程f (x )＝x 的两个实数根为x 1和x 2.(1)如果x 1<2<x 2<4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1； (2)如果|x 1|<2，|x 2－x 1|＝2，求b 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤1），－25x ＋125（1<x ≤5）.(1)若函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0有两个交点，求实数k 的取值范围； (2)试求函数g (x )＝xf (x )的值域．课时作业(十二)[第12讲函数模型及其应用](时间：45分钟分值：100分)基础热身图K12－11．“红豆生南国，春来发几枝？”，图K12－1给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？( )A ．y ＝t 2B ．y ＝log 2tC ．y ＝2tD ．y ＝2t 22．等边三角形的边长为x ，面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为( )A ．y ＝x 2B ．y ＝12x 2C ．y ＝32x 2D ．y ＝34x 23．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x )，则以下结论正确的是( )A ．x >22%B ．x <22%C ．x ＝22%D ．x 的大小由第一年的产量确定4．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，存期是x ，本利和(本金加利息)为y 元，则本利和y 随存期x 变化的函数关系式是________．能力提升5．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100 6．[2012·华南师大附中模拟] 在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y ＝f (x )，一种是平均价格曲线y ＝g (x )(如f (2)＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g (2)＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元)．下面所给出的四个图象中，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中可能正确的是( )图K12－27．[2012·商丘一模] 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元 8．[2013·荆州中学一检] 下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为( ) (a)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； (b)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (c)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．图K12－3A ．(1)(2)(4)B ．(4)(2)(3)C ．(4)(1)(3)D ．(4)(1)(2)9．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件图K12－410．一位设计师在边长为3的正方形ABCD 中设计图案，他分别以A ，B ，C ，D 为圆心，以b ⎝⎛⎭⎫0<b ≤32为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连。
2025年高考数学一轮复习课时作业-事件的独立性、条件概率与全概率公式【含解析】
2025年高考数学一轮复习课时作业-事件的独立性、条件概率与全概率公式【原卷版】(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)若P(AB)=19,P( )=23,P(B)=13,则事件A与B的关系是()A.互斥B.对立C.相互独立D.既互斥又相互独立2.(5分)(2024·泉州模拟)某运动员每次射击击中目标的概率均相等,若三次射击中,至少有一次击中目标的概率为6364,则射击一次,击中目标的概率为()A.78B.34C.14D.183.(5分)小王每天在6:30至6:50出发去上班,其中在6:30至6:40出发的概率为0.3,在该时间段出发上班迟到的概率为0.1;在6:40至6:50出发的概率为0.7,在该时间段出发上班迟到的概率为0.2,则小王某天在6:30至6:50出发上班迟到的概率为()A.0.13B.0.17C.0.21D.0.34.(5分)设甲乘汽车、动车前往目的地的概率分别为0.4,0.6,汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9,则甲正点到达目的地的概率为()A.0.78B.0.8C.0.82D.0.845.(5分)(多选题)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是()A.P(B)=25B.P(B|A1)=511C.事件B与事件A1相互独立D.A1,A2,A3是两两互斥的事件6.(5分)(多选题)(2024·湖南师大附中模拟)已知某数据库有视频a个、图片b张 , ∈N*, > >1,从中随机选出一个视频和一张图片,记“视频甲和图片乙入选”为事件A,“视频甲入选”为事件B,“图片乙入选”为事件C,则下列判断中正确的是()A.P(A)=P(B)+P(C)B.P(A)=P(B)·P(C)C.P( )>P( C)+P(B )D.P( C)<P(B )7.(5分)某医生一周(7天)晚上值2次班,在已知他周二晚上一定值班的条件下,他在周三晚上值班的概率为________.每次击中目标的概率为45,现连续射击两次.(1)已知第一次击中,则第二次击中的概率是________;(2)在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是________.9.(10分)(2024·苏州模拟)苏州某公司有甲、乙两个研发小组,开发芯片需要两道工序,第一道工序成功的概率分别为15和35.第二道工序成功的概率分别为12和23.根据生产需要现安排甲小组研发芯片A,乙小组研发芯片B,假设甲、乙两个小组的研发相互独立.(1)求两种芯片都研发成功的概率;(2)政府为了提高该公司研发的积极性,决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元,求该公司获得政府奖励的概率.【能力提升练】10.(5分)(2024·南京模拟)在一段时间内,若甲去参观市博物馆的概率为0.6,乙去参观市博物馆的概率为0.5,且甲乙两人各自行动,则在这段时间内,甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是()A.0.3B.0.32C.0.8D.0.8411.(5分)(2024·苏州模拟)杭州亚运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作,每座体育馆至少派1名志愿者,A表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”;B表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”;C表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”,则()A.事件A与B相互独立B.事件A与C为互斥事件C.P =13D.P =1612.(5分)(2024·泉州模拟)某中学为丰富学生的业余生活,举行“汉字听写大会”,老师要求参赛学生从星期一到星期四每天学习2个汉字及正确注释,每周五对一周内所学汉字随机抽取4个进行检测(一周所学的汉字每个被抽到的可能性相同),若已知抽取4个进行检测的字中至少有一个字是最后一天学习的,则所抽取的4个进行检测的字中恰有3个是后两天学习过的汉字的概率为________. 13.(5分)(2024·长春模拟)设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=13,P(B)=34, P(A+ )=12,则P(A )=________,P(B|A)=__________.14.(10分)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期,该款芯片的生产有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中,前三道工序的次品率分别为P1=110,P2=19,P3=18.(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率;(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽检.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下,求工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率.15.(10分)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任意取出的零件是合格品的概率;(2)如果任意取出的零件是废品,求它是第二台车床加工的概率.2025年高考数学一轮复习课时作业-事件的独立性、条件概率与全概率公式【解析版】(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)若P(AB)=19,P( )=23,P(B)=13,则事件A与B的关系是()A.互斥B.对立C.相互独立D.既互斥又相互独立【解析】选C.因为P(A)=1-P( )=1-23=13,所以P(A)P(B)=19,所以P(AB)=P(A)P(B)≠0,所以事件A与B相互独立,事件A与B不互斥也不对立.2.(5分)(2024·泉州模拟)某运动员每次射击击中目标的概率均相等,若三次射击中,至少有一次击中目标的概率为6364,则射击一次,击中目标的概率为() A.78B.34C.14D.18【解析】选B.设该运动员射击一次,击中目标的概率为p,若该运动员三次射击中,至少有一次击中目标的概率为1-1- 3=6364,解得p=34.3.(5分)小王每天在6:30至6:50出发去上班,其中在6:30至6:40出发的概率为0.3,在该时间段出发上班迟到的概率为0.1;在6:40至6:50出发的概率为0.7,在该时间段出发上班迟到的概率为0.2,则小王某天在6:30至6:50出发上班迟到的概率为()A.0.13B.0.17C.0.21D.0.3【解析】选B.由题意,在6:30至6:50出发上班迟到的概率为0.3×0.1+0.7×0.2=0.17.4.(5分)设甲乘汽车、动车前往目的地的概率分别为0.4,0.6,汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9,则甲正点到达目的地的概率为()A.0.78B.0.8C.0.82D.0.84【解析】选C.设事件A表示“甲正点到达目的地”,事件B表示“甲乘动车到达目的地”,事件C表示“甲乘汽车到达目的地”,由题意知P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A|B)=0.9,P(A|C)=0.7.由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=0.6×0.9+0.4×0.7=0.54+0.28=0.82.5.(5分)(多选题)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是()A.P(B)=25B.P(B|A1)=511C.事件B与事件A1相互独立D.A1,A2,A3是两两互斥的事件【解析】选BD.由题意知,A1,A2,A3是两两互斥的事件,故D正确;P(A1)=510=12,P(A2)=210=15,P(A3)=310,P(B|A1)=511,由此知,B正确;P(B|A2)=411,P(B|A3)=411;而P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=12×511+15×411+310×411=922,由此知A,C 不正确.6.(5分)(多选题)(2024·湖南师大附中模拟)已知某数据库有视频a个、图片b张 , ∈N*, > >1,从中随机选出一个视频和一张图片,记“视频甲和图片乙入选”为事件A,“视频甲入选”为事件B,“图片乙入选”为事件C,则下列判断中正确的是()A.P(A)=P(B)+P(C)B.P(A)=P(B)·P(C)C.P( )>P( C)+P(B )D.P( C)<P(B )【解析】选BC.由相互独立事件的概率的乘法计算公式,可得A错误,B正确;事件 包含“视频甲未入选,图片乙入选”“视频甲入选,图片乙未入选”“视频甲、图片乙都未入选”三种情况,所以P( )=P( C)+P(B )+P( ),则P( )>P( C)+P(B ),所以C正确;由题可知,P( C)=1-·1 = -1 ,P(B )=1 ·1-= -1 ,因为a,b∈N*,a>b>1,所以 -1 > -1 ,即P( C)>P(B ),故D错误.7.(5分)某医生一周(7天)晚上值2次班,在已知他周二晚上一定值班的条件下,他在周三晚上值班的概率为________.【解析】设事件A 为“周二晚上值班”,事件B 为“周三晚上值班”,则P (A )=C 61C 72=27,P (AB )=1C 72=121,故P (B |A )= ( ) ( )=16.答案:168.(5分)某射击运动员每次击中目标的概率为45,现连续射击两次.(1)已知第一次击中,则第二次击中的概率是________;(2)在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是________.【解析】(1)设第一次击中为事件A ,第二次击中为事件B ,则P (A )=45,由题意知,第一次击中与否对第二次没有影响,因此已知第一次击中,则第二次击中的概率是45.(2)设仅击中一次为事件C ,则仅击中一次的概率为P (C )=C 21×45×15=825,在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是P (B |C )=15×45825=12.答案:(1)45(2)129.(10分)(2024·苏州模拟)苏州某公司有甲、乙两个研发小组,开发芯片需要两道工序,第一道工序成功的概率分别为15和35.第二道工序成功的概率分别为12和23.根据生产需要现安排甲小组研发芯片A ,乙小组研发芯片B ,假设甲、乙两个小组的研发相互独立.(1)求两种芯片都研发成功的概率;(2)政府为了提高该公司研发的积极性,决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元,求该公司获得政府奖励的概率.【解析】(1)甲小组研发芯片A 成功的概率为p 1=15×12=110,乙小组研发芯片B 成功的概率为p 2=35×23=25,由于甲、乙两个小组的研发相互独立,所以A ,B 两种芯片都研发成功的概率P=p1·p2=110×25=125.(2)该公司获得政府奖励则需有芯片研发成功,根据对立事件可知获奖的概率: P=1-(1-p1)(1-p2)=1-(1-110)(1-25)=1-910×35=2350.【能力提升练】10.(5分)(2024·南京模拟)在一段时间内,若甲去参观市博物馆的概率为0.6,乙去参观市博物馆的概率为0.5,且甲乙两人各自行动,则在这段时间内,甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是()A.0.3B.0.32C.0.8D.0.84【解析】选C.依题意,在这段时间内,甲乙都不去参观博物馆的概率为P1=1-0.6×1-0.5=0.2,所以在这段时间内,甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是P=1-P1=1-0.2=0.8.11.(5分)(2024·苏州模拟)杭州亚运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作,每座体育馆至少派1名志愿者,A表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”;B表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”;C表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”,则()A.事件A与B相互独立B.事件A与C为互斥事件C.P =13D.P =16【解析】选D.将4名志愿者分配到三座体育馆,每座体育馆至少派1名志愿者,共有C42C21A22·A33=36种安排方案;志愿者甲派往黄龙体育中心、志愿者乙派往黄龙体育中心、志愿者乙派往杭州奥体中心,各有C32A22+A33=12种方案,所以P =P =P(C)=1236=13;志愿者甲、乙均派往黄龙体育中心,有A22=2种方案,所以P =236=118;志愿者甲派往黄龙体育中心且志愿者乙派往杭州奥体中心,有1+C21C21=5种方案,所以P =536;对于A,因为P ≠P P ,所以事件A与B不相互独立,A错误;对于B,因为P =536≠0,所以事件A与C不是互斥事件,B错误;对于C,P =53613=512,C错误;对于D,P =11813=16,D正确.12.(5分)(2024·泉州模拟)某中学为丰富学生的业余生活,举行“汉字听写大会”,老师要求参赛学生从星期一到星期四每天学习2个汉字及正确注释,每周五对一周内所学汉字随机抽取4个进行检测(一周所学的汉字每个被抽到的可能性相同),若已知抽取4个进行检测的字中至少有一个字是最后一天学习的,则所抽取的4个进行检测的字中恰有3个是后两天学习过的汉字的概率为________.【解析】设进行检测的4个汉字中至少有一个是最后一天学习的为事件A,恰有3个是后两天学习过的汉字为事件B,则事件A所包含的基本事件有n(A)=C21×C63+C62×C22=55,事件B所包含的基本事件有n(B)=C41×C43=16,所以P | = ( ) ( )= ( ) ( )=1655.答案:165513.(5分)(2024·长春模拟)设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=13,P(B)=34, P(A+ )=12,则P(A )=________,P(B|A)=__________.【解析】由题知,P (A )=13,P (B )=34,P (A + )=P +P -P =12,即13+14-P =12,则P (A )=112.因为P +P P ,所以P =13-112=14,则P (B |A =1413=34.答案:1123414.(10分)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期,该款芯片的生产有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中,前三道工序的次品率分别为P 1=110,P 2=19,P 3=18.(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率;(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽检.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下,求工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率.【解析】(1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率P =1-(1-110)(1-19)(1-18)=310.(2)设“该款芯片智能自动检测合格”为事件A ,“人工抽检合格”为事件B ,则P (A )=910,P (AB )=1-310=710,则工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率P (B |A )= ( )( )=710910=79.15.(10分)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任意取出的零件是合格品的概率;(2)如果任意取出的零件是废品,求它是第二台车床加工的概率.【解析】设A i表示“第i台车床加工的零件(i=1,2)”,B表示“出现废品”,C表示“出现合格品”.(1)P(C)=P(A1C∪A2C)=P(A1C)+P(A2C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)=23×(1-0.03)+13×(1-0.02)≈0.973. (2)P(A2|B)= ( 2 ) ( )= ( 2) ( | 2)( 1) ( | 1)+ ( 2) ( | 2)=13×0.0223×0.03+13×0.02=0.25.。
高考数学一轮复习 10A-4课时作业
课时作业(五十)一、选择题1．已知不同直线m、n及不重合平面P、Q，给出下列结论：①m⊂P，n⊂Q，m⊥n⇒P⊥Q②m⊂P，n⊂Q，m∥n⇒P∥Q③m⊂P，n⊂P，m∥n⇒P∥Q④m⊥P，n⊥Q，m⊥n⇒P⊥Q其中的假命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析①为假命题，m不一定与平面Q垂直，所以平面P与Q不一定垂直．命题②与③为假命题，②中两平面可以相交，③没有任何实质意义．只有④是真命题，因为两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补．2．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真B．命题“p或q”为假C．命题“p且q”为真D．命题“綈p或非q”为假答案 B解析据题意可知对于命题p，显然与一平面都垂直的两平面的位置关系是平行或相交，如将一本书打开，每一张纸所在平面都与桌面垂直，但这些平面相交，即命题p是假命题；对命题q，只需使平面α内的两点连线与平面β平行，使第三点与这两点的连线与平面β的交点为线段的中点即可满足条件，故命题q是假命题；A.由于p和q都是假命题，因此命题：“p且q”应为假命题；B.由于p和q都是假命题，故“p或q”应为假命题．故B正确；C错误；D.由于p和q都是假命题，故非p和非q都是真命题，从而“非p或非q”为真命题，故D是错误的．3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE 和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四面体A－EFH中必有( )A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．AG⊥△EFH所在平面答案 A解析∵AD⊥DF，AB⊥BE∵B、C、D重合记为H∴AH⊥HF，AH⊥HE∴AH⊥面EFH.4．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β.则其中正确命题的序号为________．答案①③④解析①③④正确．②中，可能有m∥β，故②不正确．5．若平面α，β，满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题为( ) A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面βC．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P垂直于直线l的直线在平面α内答案 D解析根据面面垂直的性质定理，得选项B、C正确．对于A，由于过点P垂直于平面α的直线必平行于β内垂直于交线的直线，因此平行于平面β.因此A正确．6．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段答案 A解析BD1⊥平面AB1C.7．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H 必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部答案 A解析∵CA⊥AB，CA⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴CA⊥平面ABC1.∴平面ABC⊥平面ABC1.∴过C1作垂直于平面ABC的直线在平面ABC1内，∴H∈AB.二、解答题8．(09·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案(1)(2)解析(1)α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，正确．(2)平面α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l平行于α，正确．(3)如图，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，但不一定有α⊥β，错误．(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故为假命题．综上所述，真命题的序号为(1)(2)．9．如图所示，PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC . 其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 由题意知PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC . 又AC ⊥BC ，PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC .∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ， ∴AF ⊥PB ，AF ⊥BC .又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ， ∴PB ⊥平面AEF .∴PB ⊥EF .故①②③正确． 三、解答题10．四面体ABCD 中，AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ＝22AC ，∠BDC ＝90°. 求证：BD ⊥平面ACD .证明 如图所示，取CD 的中点G ，连结EG 、FG 、EF . ∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点， ∴EG 綊12AC ，FG 綊12BD .又AC ＝BD ，∴FG ＝12AC .∴在△EFG 中，EG 2＋FG 2＝12AC 2＝EF 2.∴EG ⊥FG .∴BD ⊥AC .又∠BDC ＝90°，即BD ⊥CD ，AC ∩CD ＝C ， ∴BD ⊥平面ACD .11．如右图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F分别是AB 、PB 的中点．(Ⅰ)求证：EF ⊥CD ；(Ⅱ)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论． 解析 (Ⅰ)证法一：∵AE ＝EB ，PF ＝FB ， ∴EF ∥AP .∵ABCD 为正方形，∴AD ⊥DC ，又∵PD ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD (三垂线定理)， ∴EF ⊥CD .证法二：取BD 的中点O ，连结FO 、OE . ∵AE ＝EB ，∴OE ∥AD . 又∴AD ⊥CD ∴OE ⊥CD . ∵FP ＝FB ，∴OF ∥PD . ∵PD ⊥底面ABCD ， ∴FO ⊥底面ABCD ， ∵EF ⊥CD (三垂线定理)． (Ⅱ)答：G 是AD 的中点． 方法一：取PC 的中点H ，连结DH . ∵PD ＝DC ，∴DH ⊥PC .又∵BC ⊥平面PDC ，∴BC ⊥DH ，∴DH ⊥平面PCB .取DA 中点G ，连结GF 、FH . ∵HF 綊12BC 綊DG ，∴四边形DGFH 为平行四边形， ∴DH ∥GF ，∴GF ⊥平面PCB .方法二：取AD 中点G ，连结PG 、GB 、GF .∵△PGD ≌△BGA ，∴PG ＝GB . 又∵F 为PB 中点，∴GF ⊥PB .连结GO ，∵FO ⊥底面ABCD ，OG ⊥AD ，∴FG ⊥AD ，∴FG ⊥BC ， ∴FG ⊥平面PBC .12．(2010·东城区)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥DC ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明CD ⊥AE ： (2)证明PD ⊥平面ABE ； (3)求二面角A －PD －C 的大小．答案 (1)证明：在四棱锥P －ABCD 中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC . 而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)证明：由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA . ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PCD . 而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，PD 在底面ABCD 内的射影是AD ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥PD . 又∵AB ∩AE ＝A ，综上得PD ⊥平面ABE .(3)解法一：过点A 作AM ⊥PD ，垂足为M ，连结EM ，由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM ⊥PD .因此∠AME 是二面角A －PD －C 的平面角． 由已知，得∠CAD ＝30°，设AC ＝a ，可得PA ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，AE ＝22a . 在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝PA ·AD ，则AM ＝PA ·ADPD＝a ·233a 213a ＝277a .在Rt△AEM中，sin∠AME＝AEAM＝144.所以二面角A－PD－C的大小是arcsin144.解法二：由题设PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，则平面PAD⊥平面ACD，交线为AD.过点C作CF⊥AD，垂足为F，故CF⊥平面PAD，过点F作FM⊥PD，垂足为M，连结CM，故CM⊥PD，因此∠CMF是二面角A－PD－C的平面角．由已知，可得∠CAD＝30°，设AC＝a，可得PA＝a，AD＝233a，PD＝213a，CF＝12a，FD＝36a.∵△FMD～△PAD，∴FMPA＝FDPD.于是，FM＝FD·PAPD＝36a·a213a＝714a.在Rt△CMF中，tan∠CMF＝CFFM＝12a714a＝7.所以二面角A－PD－C的大小是arctan7.13．(2011·湖北八校)如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE ＝2AB，且F是CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.证明(1)取CE中点P，连结FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP＝12DE.又AB ∥DE ，且AB ＝12DE ，∴AB ∥FP ，且AB ＝FP ，∴ABPF 为平行四边形，∴AF ∥BP . 又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为正三角形，∴AF ⊥CD . ∵AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ， ∴DE ⊥平面ACD . 又AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又AF ⊥CD ，CD ∩DE ＝D ， ∴AF ⊥平面CDE .又BP ∥AF ，∴BP ⊥平面CDE . 又∵BP ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .14．(2010·北京卷，文)如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE . 解析 (1)设AC 与BD 交于点G .因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形，所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)连结FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC，又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF. 所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.15．(2011·海淀区)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA，又CD⊥AC，PA∩AC＝A，故CD⊥平面PAC，AE⊂平面PAC，故CD⊥AE.(2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，故PA＝AC.∵E是PC的中点，故AE⊥PC.由(1)知CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD，故AE⊥PD.易知BA⊥PD，故PD⊥平面ABE.。
2022届高考数学一轮复习课时作业(六) 理 新人教版
课时作业六1．已知f＝a2＋b是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是A．－错误!D．－错误!答案 B解析依题意得错误!，∴错误!，∴a＋b＝错误!＋0＝错误!2．若f＝a2＋b＋ca≠0是偶函数，则g＝a3＋b2＋c是A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数答案 A解析由f是偶函数知b＝0，∴g＝a3＋c是奇函数．3．2022·广东理设函数f和g分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．|f|－g是奇函数B．|f|＋g是偶函数C．f－|g|是奇函数D．f＋|g|是偶函数答案 D解析设F＝f＋|g|，由f和g分别是R上的偶函数和奇函数，得F－＝f－＋|g－|＝f ＋|g|＝F，∴f＋|g|是偶函数，又可判断其他选项不恒成立．4．2022·安徽设f是定义在R上的奇函数，当≤0时，f＝22－，则f1＝A．－3 B．－1C．1 D．3答案 A解析解法一：∵f是定义在R上的奇函数，且≤0时，f＝22－，∴f1＝－f－1＝－2×－12＋－1＝－3，故选A解法二：设>0，则－－∈R有：3t2－2t－>0，从而判别式Δ＝4＋121，因底数2>1，故：3t2－2t－>0上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋120，f＝1＋，那么0，∴f－＝－1－．又f－＝－f，∴f＝1－．3．若f是R上周期为5的奇函数，且满足f1＝1，f2＝2，则f3－f4等于A．－1 B．1C．－2 D．2答案 A解析∵函数周期T＝5，且为奇函数，∴f1＝f1－5＝f－4＝－f4＝1∴f4＝－1又∵f2＝f2－5＝f－3＝－f3＝2，∴f3＝－2∴f3－f4＝－2－－1＝－14．若函数f为奇函数，且在0，＋∞内是增函数，又f3－2f－3＝0，则错误!2f3f3或－30；当0}＝A．{|4} B．{|4}C．{|6} D．{|2}答案 B解析当0，∴f－＝－3－8＝－3－8，又f是偶函数，∴f＝f－＝－3－8，∴f＝错误!或错误!，解得>4或0时，f＝1－2－，则不等式f0时，1－2－＝1－错误!>0与题意不符，当0，∴f－＝1－2，又∵f为R上的奇函数，∴f－＝－f，∴－f＝1－2，∴f＝2－1，∴f＝2－10时，f是单调函数，则满足f＝f错误!的所有之和为________．思路由函数联想图像，若，错误!都在轴一侧，则这两个式子相等，在轴两侧，则其互为相反数，直接求解．答案－8解析依题意，当满足f＝f错误!时，有＝错误!时，得2＋3－3＝0，此时1＋2＝－是连续的偶函数，∴f－＝f．∴另一种情形是f－＝f错误!，有－＝错误!，得2＋5＋3＝0∴3＋4＝－5∴满足f＝f错误!的所有之和为－3＋－5＝－8。
2014届高考数学一轮复习方案 第6讲 函数的奇偶性课时作业 新人教B版
课时作业(六)A [第6讲 函数的奇偶性](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A ．y ＝－x 3，x ∈R B ．y ＝sin2x ，x ∈RC ．y ＝2x ，x ∈RD ．y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ∈R 2．函数f (x )＝a 2x －1ax (a >0，a ≠1)的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称3．[2012·哈尔滨师范大学附中月考] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．[2012·上海卷] 已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________．能力提升5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134＝( )A.32 B ．－32C.12 D ．－126．[2012·长春外国语学校月考] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，若f (1)＝1，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．27．[2013·保定摸底] 若函数f (x )＝|x －2|＋a 4－x 2的图象关于原点对称，则f a 2＝( ) A.33 B ．－33C ．1D ．－1 8．已知定义在R 上的奇函数f (x )是一个减函数，若x 1＋x 2＜0，x 2＋x 3＜0，x 3＋x 1＜0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上都有可能9．[2013·银川一中月考] 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋1)＋f (x )＝3，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 005.5)＝________．10．[2013·南昌一中、十中联考] 函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，正确结论的序号是________．①f (－x )＋f (x )＝0；②f (－x )－f (x )＝－2f (x )；③f (x )f (－x )≤0；④f （x ）f （－x ）＝－1.11．[2012·南京三模] 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0是奇函数，则满足f (x )>a 的x的取值范围是________．12．(13分)[2012·衡水中学一调] 已知函数f (x )＝x m－2x 且f (4)＝72.(1)求m 的值；(2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 难点突破13．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．课时作业(六)B [第6讲 函数的奇偶性](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·佛山质检]下列函数中既是奇函数，又在区间(－1，1)上是增函数的为( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝sin x C ．y ＝e x ＋e －x D ．y ＝－x 32．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－123．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1（x >0），－x 2－x －1（x <0），则f (x )为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．不能确定奇偶性4．[2012·浙江卷] 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________． 能力提升5．[2012·郑州模拟] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，0，x ＝0，g （x ），x >0，且f (x )为奇函数，则g (3)＝( )A ．8 B.18 C ．－8 D ．－186．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，如果x 1<0，x 2>0，且|x 1|<|x 2|，则有( )A ．f (－x 1)＋f (－x 2)>0B ．f (x 1)＋f (x 2)<0C ．f (－x 1)－f (－x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<07．[2012·石嘴山二联] 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－18．[2013·忻州一中月考] 命题p ：∀x ∈R ，3x>x ；命题q ：若函数y ＝f (x －1)为奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(1，0)成中心对称．以下说法正确的是( ) A ．p ∨q 真 B ．p ∧q 真 C ．綈p 真 D ．綈q 假9．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)f (x )＝1，若f (1)＝－5，则f (－5)＝________．10．[2011·广东卷] 设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________． 11．设定义在[－2，2]上的奇函数f (x )在[0，2]上单调递减，若f (3－m )≤f (2m 2)，则实数m 的取值范围是________．12．(13分)已知函数f (x )＝lg 1＋x1－x.(1)求证：对于f (x )的定义域内的任意两个实数a ，b ，都有f (a )＋f (b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明． 难点突破13．(12分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．课时作业(六)A【基础热身】1．A [解析] y ＝sin2x 在R 上不单调，y ＝－13x 不是奇函数，y ＝2x 为增函数，所以B ，C ，D 均错．故选A.2．A [解析] 因为f (－x )＝a －x－1a－x＝－(a x －a －x)＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称．故选A.3．A [解析] 依题意当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－(2x 2＋x )，所以f (1)＝－3.故选A.4．3 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想，解此题的关键是利用y ＝f (x )为奇函数． 已知函数y ＝f (x )为奇函数，由已知得g (1)＝f (1)＋2＝1， ∴f (1)＝－1，则f (－1)＝－f (1)＝1，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3. 【能力提升】5．A [解析] 依题意f －134＝f －54＝f 34＝32.故选A.6．A [解析] 由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，根据f (x )为R 上的奇函数，得f (0)＝0，所以f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，f (4)＝f (0)＝0，所以f (3)－f (4)＝－1.故选A.7．A [解析] 函数f (x )定义域为{x |－2<x <2}，依题意函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，得a ＝－2，所以f a 2＝f (－1)＝|－1－2|－24－1＝33.故选A.8．A [解析] 由x 1＋x 2＜0，得x 1＜－x 2. 又f (x )为减函数，所以f (x 1)＞f (－x 2)， 又f (x )为R 上的奇函数，所以f (x 1)＞－f (x 2)． 所以f (x 1)＋f (x 2)＞0.同理f (x 2)＋f (x 3)＞0，f (x 1)＋f (x 3)＞0， 所以f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＞0.故选A.9．1.5 [解析] 由f (x ＋1)＋f (x )＝3得f (x )＋f (x －1)＝3，两式相减得f (x ＋1)＝f (x －1)，所以f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (－2 005.5)＝f (－1.5)＝f (－2＋0.5)＝f (0.5)＝1.5.10．①②③ [解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以①正确，由f (－x )＋f (x )＝0，可推得选项②③正确，④中，要求f (－x )≠0，故④错误．11．(－1－3，＋∞) [解析] 由函数f (x )是奇函数，所以当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ＝－f (x )＝x 2－ax ，所以a ＝－2.当x <0时，f (x )>a 即－x 2－2x >－2⇒x 2＋2x －2<0，解得－1－3<x <0；当x ≥0时，f (x )>－2恒成立．综上，满足f (x )>a 的x 的取值范围是(－1－3，＋∞)． 12．解：(1)因为f (4)＝72，所以4m－24＝72，所以m ＝1.(2)因为f (x )的定义域为{x |x ≠0}， 又f (－x )＝－x －2－x ＝－x －2x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－x 2－2x 2＝(x 1－x 2)1＋2x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，1＋2x 1x 2>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数． (或用求导数的方法) 【难点突破】13．解：(1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0， 即－1＋b 2＋a ＝0，所以b ＝1.所以f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a . 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，所以a ＝2.(2)方法一：由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<f (－2t 2＋k )．因f (x )是减函数，所以t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0. 从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.方法二：由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0， 即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0. 整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0.上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.课时作业(六)B【基础热身】1．B [解析] 由题中选项可知，y ＝|x |，y ＝e x＋e －x为偶函数，排除A ，C ；而y ＝－x 3在R 上递减，故选B.2．B [解析] 因为函数f (x )＝ax 2＋bx 在[a －1，2a ]上为偶函数，所以b ＝0，且a －1＋2a ＝0，即b ＝0，a ＝13.所以a ＋b ＝13.3．A [解析] 若x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2－(－x )＋1＝x 2＋x ＋1＝－f (x )．若x >0，则－x <0，所以f (－x )＝－(－x )2－(－x )－1＝－x 2＋x －1＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．4.32[解析] 函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32.【能力提升】5．D [解析] 因为f (x )为奇函数，所以x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x，即g (x )＝－2－x ，所以g (3)＝－2－3＝－18.故选D.6．D [解析] 因为x 1<0，x 2>0，|x 1|<|x 2|，所以0<－x 1<x 2.又f (x )是(0，＋∞)上的增函数，所以f (－x 1)<f (x 2)．又f (x )为定义在R 上的偶函数，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x 1)－f (x 2)<0.选D.7．A [解析] 由已知f (x )是偶函数且是周期为2的周期函数，则f (－2 012)＝f (2 012)＝f (0)＝log 21＝0，f (2 011)＝f (1)＝log 22＝1，所以f (－2 012)＋f (2 011)＝0＋1＝1，故选择A.8．A [解析] 命题p 是真命题．对于命题q ，函数y ＝f (x －1)为奇函数，将其图象向左平移1个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，该图象的对称中心为(－1，0)，而得不到对称中心为(1，0)，所以命题q 为假命题，所以p ∨q 是真命题．故选A.9．－15[解析] 因为f (x ＋2)f (x )＝1，所以f (x ＋4)f (x ＋2)＝1，于是有f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，f (－5)＝f (－1)＝1f （－1＋2）＝1f （1）＝－15.10．－9 [解析] 由f (a )＝a 3cos a ＋1＝11得a 3cos a ＝10， 所以f (－a )＝(－a )3cos(－a )＋1＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.11．{1} [解析] 因为f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，且在[0，2]上单调递减，所以f (x )在[－2，2]上单调递减，所以f (3－m )≤f (2m 2)等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2≤3－m ≤2，－2≤2m 2≤2，3－m ≥2m 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤5，－1≤m ≤1，－32≤m ≤1，即m ＝1，所以m 的取值范围是{1}． 12．解：函数的定义域为{x |－1<x <1}＝(－1，1)．(1)证明：∀a ，b ∈(－1，1)，f (a )＋f (b )＝lg 1＋a 1－a ＋lg 1＋b 1－b ＝lg （1＋a ）（1＋b ）（1－a ）（1－b ），f a ＋b 1＋ab ＝lg 1＋a ＋b1＋ab 1－a ＋b 1＋ab ＝lg 1＋ab ＋a ＋b 1＋ab －a －b ＝lg （1＋a ）（1＋b ）（1－a ）（1－b ）， 所以f (a )＋f (b )＝f a ＋b1＋ab.(2)∀x ∈(－1，1)，f (－x )＋f (x )＝lg 1－x 1＋x ＋lg 1＋x 1－x ＝lg （1－x ）（1＋x ）（1＋x ）（1－x ）＝lg1＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． 【难点突破】13．解：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， 所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0. (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， 所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， 所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3， 又f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3， 即f ((3x ＋1)(2x －6))≤f (64)．(*) 方法一：因为f (x )为偶函数， 所以f (|(3x ＋1)(2x －6)|)≤f (64)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以0<|(3x ＋1)(2x －6) |≤64.解上式，得3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3.所以x 的取值范围为x ⎪⎪⎪－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5.11 方法二：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以(*)等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（3x ＋1）（2x －6）>0，（3x ＋1）（2x －6）≤64或⎩⎪⎨⎪⎧（3x ＋1）（2x －6）<0，－（3x ＋1）（2x －6）≤64， ⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x <－13，－73≤x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧－13<x <3，x ∈R .所以3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3.所以x 的取值范围为x ⎪⎪⎪ )－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5.。
2022版高考数学人教B版一轮复习课时练10 对数与对数函数
课时规范练10 对数与对数函数基础巩固组1.(2020山东烟台模拟,1)已知集合A=x |14≤2x ≤4,B=y |y =lgx ,x >110,则A ∩B=( )A.[-2,2]B.(1,+∞)C.(-1,2]D.(-∞,-1]∪(2,+∞)2.(2020辽宁大连一中考前模拟,理7)已知a ,b 是非零实数,则“a>b ”是“ln |a|>ln |b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2020山东济宁二模,6)设a=14log 213,b=120.3,则有( )A.a+b>abB.a+b<abC.a+b=abD.a-b=ab4.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据:lg 3≈0.48) A.1033B.1053C.1073D.10935.(2020山东德州二模,6)已知a>b>0,若log a b+log b a=52,a b =b a ,则ab =( ) A.√2 B.2 C.2√2 D.46.(多选)有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若e =ln x ,则x=e 2;④ln(lg 1)=0.其中正确的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 7.(多选)若函数f (x )=log a (ax-3)在[1,3]上单调递增,则a 的取值可以是( )A.6B.3C.4D.58.(多选)设f (x )=lg 21-x+a 是奇函数,则使f (x )<0的x 的取值可能为( )A.-1B.-13C.0D.-129.log 24+log 42= ,log a b+log b a (a>1,0<b<1)的最大值为 . 10.当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2<log a x 恒成立,则a 的取值范围为 .11.若函数f (x )={log a x ,x >2,-x 2+2x -2,x ≤2(a>0,且a ≠1)的值域是(-∞,-1],则实数a 的取值范围是 .12.函数f(x)=log2√x·lo g√22x的最小值为.综合提升组13.(2020山东青岛二模,7)已知非零实数a,x,y满足lo g a2+1x<lo g a2+1y<0,则下列关系式恒成立的是()A.1x2+1<1y2+1B.x+y>yx +xyC.1|a|+1x<1|a|+1yD.y x>x y14.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z15.(2020山东模考卷,8)若a>b>c>1,且ac<b2,则()A.log a b>log b c>log c aB.log c b>log b a>log a cC.log c b>log a b>log c aD.log b a>log c b>log a c创新应用组16.(2020山东菏泽一模,8)已知大于1的三个实数a,b,c满足(lg a)2-2lg a lg b+lg b lg c=0,则a,b,c的大小关系不可能是()A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c17.(2020河北保定一模,理12)设函数f(x)=log0.5x,若常数A满足:对∀x1∈[2,22 020],存在唯一的x2∈[2,22 020],使得f(x1),A,f(x2)成等差数列,则A=()A.-1 010.5B.-1 011C.-2 019.5D.2 020参考答案课时规范练10对数与对数函数1.C由不等式14≤2x≤4,得-2≤x≤2,即A={x|-2≤x≤2}.因为函数y=lg x单调递增,且x>110,所以y>-1,即B={y|y>-1},则A∩B=(-1,2].故选C.2.D 由于ln |a|>ln |b|,则|a|>|b|>0.由a>b 推不出ln |a|>ln |b|,比如a=1,b=-2,有a>b ,但ln |a|<ln |b|;反之,由ln |a|>ln |b|推不出a>b ,比如a=-2,b=1,有ln |a|>ln |b|,但a<b.故“a>b ”是“ln |a|>ln |b|”的既不充分也不必要条件.故选D .3.A a=14log 213=log 21314=log 23-14>log 24-14=-12,b=120.3>120.5=√22,∴ab<0,a+b>0,∴a+b>ab ,故选A .4.D设M N =x=33611080,两边取对数,得lg x=lg33611080=lg3361-lg1080=361×lg3-80≈93.28,所以x ≈1093.28,即与MN最接近的是1093.故选D .5.B ∵log a b+log b a=52,∴log a b+1log ab =52,解得log a b=2或log a b=12,若log a b=2,则b=a 2,代入a b =b a 得a a 2=(a 2)a =a 2a , ∴a 2=2a ,又a>0,∴a=2,则b=22=4,不合题意;若log a b=12,则b=√a ,即a=b 2,代入a b =b a 得(b 2)b =b 2b =b b 2, ∴2b=b 2,又b>0,∴b=2,则a=b 2=4,∴ab =2.故选B .6.AB 因为lg10=lne =1,lg(lg10)=lg1=0,lg(lne)=lg1=0,所以①②均正确;若e =ln x ,则x=e e ,故③错误;因为lg1=0,而ln0没有意义,故④错误.故选AB .7.ACD 由于a>0,且a ≠1,∴u=ax-3为增函数,∴若函数f (x )为增函数,则f (x )=log a u 必为增函数,因此a>1.又y=ax-3在[1,3]上恒为正,∴a-3>0,即a>3,故选ACD . 8.BD 由f (-x )=-f (x ),即lg21+x+a =-lg21-x+a ,21+x +a=21-x +a -1,即2+a+ax 1+x=1-x2+a -ax,则1-x 2=(2+a )2-a 2x 2恒成立,可得a 2=1,且(a+2)2=1,解得a=-1,∴f (x )=lg 1+x1-x,定义域为(-1,1).由f (x )<0,可得0<1+x1-x<1,∴-1<x<0.故选BD .9.52 -2 因为log 24+log 42=log 222+lo g 222=2+12=52.由换底公式可得log b a=1log ab ,因为a>1,0<b<1,所以log a b<0,log b a<0,所以log a b+log b a=-[(-log a b )+(-log b a )]≤-2,当且仅当log a b=log b a 时,等号成立,故log a b+log b a 的最大值为-2. 10.(1,2] 设f 1(x )=(x-1)2,f 2(x )=log a x ,要使当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2<log a x 恒成立,只需f 1(x )=(x-1)2在(1,2)上的图像在f 2(x )=log a x 的下方即可,如图所示.当0<a<1时,显然不成立.当a>1时,如图,要使在区间(1,2)上, f 1(x )=(x-1)2的图像在f 2(x )=log a x 图像的下方,只需f 1(2)≤f 2(2), 即(2-1)2≤log a 2.即log a 2≥1,则1<a ≤2,即a 的取值范围为(1,2].11.12,1 x ≤2时,f (x )=-x 2+2x-2=-(x-1)2-1,f (x )在(-∞,1)上单调递增,在(1,2]上单调递减,∴f (x )在(-∞,2]上的最大值是f (1)=-1,所以f (x )的值域是(-∞,-1];又当x>2时,log a x ≤-1,故0<a<1,且log a 2≤-1,∴12≤a<1,故实数a 的取值范围为12,1.12.-14 由题得,x>0,∴f (x )=log 2√x ·lo g √22x=12log 2x·log 24x 2=12log 2x·(log 24+2log 2x )=log 2x+(log 2x )2=log 2x+122-14≥-14.当且仅当x=√22时,有f (x )min =-14.13.D 因a 2+1>1,且lo g a 2+1x<lo g a 2+1y<0,由对数函数的单调性,得0<x<y<1,令x=14,y=12,将x=14,y=12代入选项,得A,B,C 不成立,D 成立,故选D .14.D 由2x =3y =5z ,同时取自然对数,得x ln2=y ln3=z ln5.由2x 3y=2ln33ln2=ln9ln8>1,可得2x>3y.再由2x 5z=2ln55ln2=ln25ln32<1,可得2x<5z.所以3y<2x<5z ,故选D .15.B 因为a>b>c>1,且ac<b 2,令a=16,b=8,c=2,则log c a=4>1>log a b ,故A,C 错误;log c b=3>log b a=43,故D 错误,B 正确.故选B.16.D 令f (x )=x 2-2x lg b+lg b lg c ,则lg a 为f (x )的零点,且该函数图像的对称轴为x=lg b ,故Δ=4lg 2b-4lg b lg c ≥0.因为b>1,c>1.故lg b>0,lg c>0.所以lg b ≥lg c ,即b ≥c.又f (lg b )=lg b lg c-lg 2b=lg b (lg c-lg b ),f (lg c )=lg 2c-lg b lg c=lg c (lg c-lg b ),若b=c ,则f (lg b )=f (lg c )=0.故lg a=lg b=lg c ,即a=b=c.若b>c ,则f (lg b )<0,f (lg c )<0,利用二次函数图像,可得lg a<lg c<lg b ,或lg c<lg b<lg a ,即a<c<b ,或c<b<a.故选D . 17.A 因为对∀x 1∈[2,22020],存在唯一的x 2∈[2,22020],使得f (x 1),A ,f (x 2)成等差数列,所以2A=f (x 1)+f (x 2),即2A-f (x 1)=f (x 2).因为f (x )=log 0.5x 在[2,22020]上单调递减,可得f (x )在[2,22020]的值域为[-2020,-1],故y=2A-f (x )在(0,+∞)单调递增,可得其在区间[2,22020]的值域为[2A+1,2A+2020].由题意可得[2A+1,2A+2020]⊆[-2020,-1],即2A+1≥-2020,且2A+2020≤-1,解得A ≥-20212,且A ≤-20212,可得A=-20212.故选A .。
高考数学一轮复习 62课时作业
高考数学一轮复习 62课时作业一、选择题1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(12，－34)答案 B2．▱ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对称中心为O ，则CO →等于( ) A ．(－12，5)B ．(－12，－5)C ．(12，－5)D ．(12，5)答案 B解析 CO →＝－12AC →＝－12(AD →＋AB →)＝－12(1,10)＝(－12，－5)3．设a 、b 是不共线的两个非零向量，已知AB →＝2a ＋pb ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1答案 D解析 本题考查两向量共线的充要条件．BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，AB →＝2a ＋pb ，由A 、B 、D 三点共线⇒AB →＝λBD →⇒2a ＋pb ＝2λa －λb⇒⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝2p ＝－λ⇒p ＝－14．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.2a －(1＋22)b B ．－2a ＋(1＋22)b C ．－2a ＋(1－22)b D.2a ＋(1－22)b 答案 B解析 根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°，以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形，由CD ＝1，得CE ＝ED ＝22，则A (1,0)，B (0,0)，C (0,1)，D (22，1＋22)，∴AB →＝(－1,0)，AC →＝(－1,1)，AD →＝(22－1,1＋22)，令AD →＝λAB →＋μAC →，则有⎩⎪⎨⎪⎧－λ－μ＝22－1μ＝1＋22，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2μ＝1＋22，∴AD →＝－2a ＋(1＋22)b .5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A ．(1，－1)B ．(－1,1)C ．(－4,6)D ．(4，－6)答案 D解析 由题知4a ＝(4，－12)，3b －2a ＝(－6,12)－(2，－6)＝(－8,18)，由4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，知c ＝(4，－6)，选D.6．(09·浙江卷)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 解得①②得x ＝－79，y ＝－73.7．已知c ＝ma ＋nb ，设a ，b ，c 有共同起点，a ，b 不共线，要使a ，b ，c ，终点在一直线l 上，则m ，n 满足( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝0C ．m －n ＝1D ．m ＋n ＝－1 答案 A解析 ∵AC →＝λAB →∴c －a ＝λ(b －a ) ∴ma ＋nb －a ＝λb －λa ∴(m －1＋λ)a ＋(n －λ)b ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＋λ＝0n －λ＝0⇒m ＋n ＝1.二、填空题8．(2010·陕西)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.答案 －1解析 由已知a ＋b ＝(1，m －1)，c ＝(－1,2)，由(a ＋b ))∥c 得1×2－(m －1)×(－1)＝m ＋1＝0，所以m ＝－1.9．已知n ＝(a ，b )，向量n 与m 垂直，且|m |＝|n |，则m 的坐标为________． 答案 (b ，－a )或(－b ，a ) 解析 设m 的坐标为(x ，y )， 由|m |＝|n |，得x 2＋y 2＝a 2＋b 2① 由m ⊥n ，得ax ＋by ＝0②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝by ＝－a或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－by ＝a故m 的坐标为(b ，－a )或(－b ，a )10．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为________．答案 (－2，－6)解析 ∵a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)． ∴4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)． 又∵表示4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形． ∴4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0. 解得d ＝(－2，－6)．11．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则m n＝________. 答案 －12解析 ma ＋nb ＝(2m,3m )＋(－n,2n ) ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．由ma ＋nb 与a －2b 共线， 则有2m －n 4＝3m ＋2n －1，∴n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－1212．已知边长为单位长的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴，y 轴的正方向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________．答案 (3,4)解析 ∵2AB →＝(2,0)． 3BC →＝(0,3)，AC →＝(1,1)． ∴2AB →＋3BC →＋AC →＝(3,4)．13．已知a ＝(6,1)，b ＝(－2,2)，若单位向量c 与2a ＋3b 共线，则向量c 的坐标为________． 答案 ±(35，45)解析 2a ＋3b ＝2(6,1)＋3(－2,2)＝(6,8) ∵单位向量c 与(6,8)共线， ∴c ＝±6，836＋64＝±(35，45)三、解答题14．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.(1)求E ，F 的坐标； (2)求证：EF →∥AB →.解析 (1)设E 、F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则依题意，得AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)．∴AE →＝13AC →＝(23，23)，BF →＝13BC →＝(－23，1)．∴AE →＝(x 1，y 1)－(－1,0)＝(23，23)，BF →＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝(－23，1)．∴(x 1，y 1)＝(23，23)＋(－1,0)＝(－13，23)，(x 2，y 2)＝(－23，1)＋(3，－1)＝(73，0)．∴E 的坐标为(－13，23)，F 的坐标为(73，0)．(2)由(1)知(x 1，y 1)＝(－13，23)，(x 2，y 2)＝(73，0)，∴EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(83，－23)，又4×(－23)－(－1)×83＝0，∴EF →∥AB →15．(09·安徽改编)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．答案 2解析 以O 为坐标原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则可知A (1,0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则有x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值为2.。
高考数学一轮复习 10B5课时作业
高考数学一轮复习 10B5课时作业一、选择题1．已知向量a ＝(8，12x ，x )，b ＝(x,1,2)，其中x >0.若a ∥b ，则x 的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．0答案 B解析 因x ＝8,2,0时都不满足a ∥b .而x ＝4时，a ＝(8,2,4)＝2(4,1,2)＝2b ，∴a ∥b .另解：a ∥b ⇔存在λ>0使a ＝λb ⇔(8，x2，x )＝(λx ，λ，2λ)⇔⎩⎪⎨⎪⎧λx ＝8x 2＝λx ＝2λ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2x ＝4.∴选B.2．已知点O 、A 、B 、C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是( )A.OA →B.OB →C.OC →D.OA →或OB →答案 C解析 根据题意得OC →＝12(a －b )，∴OC →，a ，b 共面．3．已知空间四边形ABCD 中，M 、G 分别为BC 、CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 答案 A 解析 依题意有 AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12·2BG →＝AG →.4．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为( ) A ．平行四边形 B ．梯形 C ．平面四边形D ．空间四边形答案 D解析 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和都是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．5．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ等于( )A ．1B ．3 C.13 D ．2答案 B解析 若设BC 边的中点为M ，则OA →＋OB →＋OC →＝OA →＋2OM →＝OG →＋GA →＋2OM →＝OG →＋2MG →＋2OM →＝3OG →，而OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，所以λ＝3.6．(2011·广东佛山)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 是异面直线AC 与A 1D 的公垂线，则EF 与BD 1所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0° 答案 D解析 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体的棱长为a ，则A 1(a,0，a )，D (0,0,0)，A (a,0,0)，C (0，a,0)，B (a ，a,0)，D 1(0,0，a )，∴DA 1→＝(a,0，a )， AC →＝(－a ，a,0)，BD 1→＝(－a ，－a ，a )．∵EF 是直线AC 与A 1D 的公垂线． ∴EF →⊥DA 1→，EF →⊥AC →.设EF →＝(x ，y ，z )， ∴EF →·DA 1→＝(x ，y ，z )·(a,0，a )＝ax ＋az ＝0， ∴EF →·AC →＝(x ，y ，z )·(－a ，a,0)＝－ax ＋ay ＝0. ∵a ≠0，∴x ＝y ＝－z .∴EF →＝(x ，x ，－x )．∴BD 1→＝－a xEF →.∴BD 1→∥EF →，即BD 1∥EF . 二、填空题7．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下面给出四个命题： ①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3(A 1B 1→)2 ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0. ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°④此正方体体积为：|AB →·AA 1→·AD →|则错误命题的序号是________(填出所有错误命题的序号)． 答案 ③④解析 ③AD 1与A 1B 两异面直线夹角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，A 1B →＝D 1C →，注意方向．④∵AB →·AA 1→＝0.正确的应是|AB →|·|AA 1→|·|AD →|.9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 是面ABCD 的中心，点P 在棱C 1D 1上移动，则|OP |的最小值为________．答案5解析 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则O (1,1,0)．设P (x,1,1)(0≤x ≤2)．则|OP |＝1－x2＋1－22＋0－22＝x －12＋5.所以当x ＝1，即P 为C 1D 1中点时，|OP |取最小值 5.10．已知空间四边形ABCD ，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________. 答案 0解析 AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝AB →(AD →－AC →)＋BC →·AD →＋CA →·BD → ＝AB →·AD →－AB →·AC →＋BC →·AD →＋CA →·BD → ＝AD →·(AB →＋BC →)－AC →(AB →＋BD →) ＝AD →·AC →－AC →·AD →＝0. 三、解答题11．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a .求证：A ′B ⊥AC ′.解析 解法1 A ′B →＝AB →－AA ′→，AC ′→＝AB →＋AA ′→＋AD →，∴A ′B →·AC ′→＝(AB →－AA ′→)(AB →＋AA ′→＋AD →)＝AB 2→＋AB →·AA ′→＋AB →·AD →－AA ′→·AB →－AA ′2→－AA ′→·AD → 由已知：|AB →|＝|AA ′→|＝a ，知AB 2→＝AA ′2→ 又AB →·AA ′→＝AB →·AD →＝AA ′→·AD →＝0 ∴A ′B →·AC ′→＝0，即A ′B ⊥AC ′. 解法2 建立空间直角坐标系，也易证．12．如图所示，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是(32，12，0)，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求向量OD →的坐标；(2)设向量AD →和BC →的夹角为θ，求cos θ的值． 解析 (1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3. ∴DE ＝CD ·sin30°＝32. OE ＝OB －BD ·cos60°＝1－12＝12.∴D 点坐标为(0，－12，32)，即向量OD →的坐标为(0，－12，32)．(2)依题意：OA →＝(32，12，0)，OB →＝(0，－1,0)，OC →＝(0,1,0)．∴AD →＝OD →－OA →＝(－32，－1，32)，BC →＝OC →－OB →＝(0,2,0)． 设向量AD →和BC →的夹角为θ， 则cos θ＝AD →·BC→|AD →||BC →|＝－32×0＋－1×2＋32×0－322＋－12＋322·02＋22＋02＝－210＝－1510.∴cos θ＝－105.13．如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC 1⊥AB 1，BC 1⊥A 1C ，求证：AB 1＝A 1C .解析 ∵A 1C →＝A 1C 1→＋C 1C →，BC 1→＝BC →＋CC 1→，A 1C →·BC 1→＝(A 1C 1→＋C 1C →)·(BC →＋CC 1→)＝A 1C 1→·BC →－|C 1C →|2＝0，∴|C 1C →|2＝A 1C 1→·BC →. 同理，AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝BB 1→＋B 1C 1→，AB 1→·BC 1→＝AB →·BC →＋|CC 1→|2＝0(∵BB 1→＝CC 1→)，∴AB →·BC →＋A 1C 1→·BC →＝0. 又A 1C 1→＝AC →，∴BC →·(AB →＋AC →)＝0.设D 为BC 的中点，连AD ，则AB →＋AC →＝2AD →. ∴2BC →·AD →＝0，∴BC ⊥AD ，∴AB ＝AC . 又A 1A ＝B 1B ，∴Rt △A 1AC ≌Rt △B 1BA (SAS )， ∴A 1C ＝AB 1.14．设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算2a ＋3b,3a －2b ，a ·b 以及a 与b 所成角的余弦值，并确定λ、μ的关系，使λa ＋μb 与z 轴垂直．解析 ∵2a ＋3b ＝2(3,5，－4)＋3(2,1,8)＝(12,13,16)， 3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(5,13，－28)， a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝3×2＋5×1－4×8＝－21，|a |＝32＋52＋－42＝50，|b |＝22＋12＋82＝69，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2150·69＝－7138230，由(λa ＋μb )·(0,0,1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1) ＝－4λ＋8μ＝0知，只要λ，μ满足λ＝2μ即可使λa ＋μb 与z 轴垂直．。
2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【含解析】
2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,则cos A=()A.12B.-12C.32D.-322.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=5,c=3,cos A=23,则b=()A.1B.2C.3D.43.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cos B=74,则A=()A.π6B.π3C.5π6D.π6或5π64.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则C=()A.π6B.π3C.2π3D.5π65.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且b cos C=a sin B,则△ABC是()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形6.(5分)(多选题)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tan C=3,则下列结论正确的是()A.cos B=2 3B.tan A=2tan BC.tan B=-12D.B=45°7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b=2,c=3,A=2B,则a=.8.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.9.(5分)(2023·潍坊质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,则△ABC的面积为.10.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3a sin C-c cos A.(1)求角A;(2)若a=7,b+c=19,求△ABC的面积S.11.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2(π2+A)+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.【能力提升练】12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一个条件,即可使△ABC存在且唯一.在条件:①a=32;②b=25;③cos C=-45中,所有可以选择的条件的序号为() A.① B.①②C.②③D.①②③13.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是()A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则A'B'=2C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍14.(10分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c=23,2sin(2C-π3)=3.(1)若a=22,求角A;(2)求△ABC面积的最大值.2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,则cos A=()A.12B.-12C.32D.-32【解析】选B.因为sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,所以由正弦定理得a2=b2+c2+bc,则cos A= 2+ 2- 22 =-12.2.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=5,c=3,cos A=23,则b=()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bc cos A=b2+9-4b=5,即b2-4b+4=0,解得b=2.3.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cos B=74,则A=()A.π6B.π3C.5π6D.π6或5π6【解析】选A.因为a=2,b=3,cos B=74,所以sin B=1-cos2 =34,因为由正弦定理可得 sin = sin ,所以sin A= ·sin =2×343=12,又b>a,可得A为锐角,所以A=π6.4.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则C=()A.π6B.π3C.2π3D.5π6【解析】选C.在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则(a-c)(sin A+sin C)=-(a+b)sin B,由正弦定理可得(a-c)(a+c)=-(a+b)b,所以a2+b2-c2=-ab,则cos C= 2+ 2- 22 =-12,由于C∈(0,π),故C=2π3.5.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且b cos C=a sin B,则△ABC是()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形【解析】选A.因为a2-b2=c2-2bc,即b2+c2-a2=2bc,所以cos A= 2+ 2- 22 =2 2 =22,又A∈(0,π),所以A=π4,因为b cos C=a sin B,利用正弦定理可得sin B cos C=sin A sin B,由sin B≠0,可得cos C=sin A=22,又C∈(0,π),所以C=π4,B=π-A-C=π2,则△ABC是等腰直角三角形.6.(5分)(多选题)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tan C=3,则下列结论正确的是()A.cos B=2 3B.tan A=2tan BC.tan B=-12D.B=45°【解析】选ABD.因为c2=3(a2-b2),所以b2=a2- 23,所以cos B= 2+ 2- 22 = 2+ 2-( 2- 23)2 =23 ,故A正确;由cos B=2 3 可得3a cos B=2c,所以3sin A cos B=2sin(A+B),3sin A cos B=2sin A cos B+2cos A sin B,sin A cos B=2cos A sin B,所以tan A=2tan B,故B正确;因为tan C=3,所以tan(A+B)=tan +tan1-2tan2 =3tan 1-2tan2 =-3,1-tan tan =2tan +tan得tan B=-12或tan B=1.因为cos B=2 3 >0,所以B为锐角,tan B=1,B=45°,故C错误,D正确.7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b=2,c=3,A=2B,则a=.【解析】因为A=2B,所以sin A=sin2B,故sin A=2sin B cos B,由正弦定理得a=2b cos B,又由余弦定理得a=2b· 2+ 2- 22 ,代入b=2,c=3,可得a2=10,故a=10.答案:108.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.【解析】在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,利用余弦定理BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cos A,整理得BC=7,所以 sin =2R,解得R=213.答案:2139.(5分)(2023·潍坊质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,则△ABC的面积为.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,因为b=3,a-c=2,A=2π3,所以(c+2)2=32+c2-2×3c×(-12),解得c=5,则△ABC的面积为S=12bc sin A=12×3×5×32=1534.答案:153410.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3a sin C-c cos A.(1)求角A;(2)若a=7,b+c=19,求△ABC的面积S.【解析】(1)因为c=3a sin C-c cos A,所以sin C=3sin A sin C-sin C cos A,又sin C≠0,所以1=3sin A-cos A,即sin(A-π6)=12.又A∈(0,π),所以A=π3.(2)因为a=7,b+c=19,A=π3,所以由a2=b2+c2-2bc cos A,得7=b2+c2-bc,即7=(b+c)2-3bc,解得bc=4.所以S=12bc sin A=3.11.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2(π2+A)+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.【解析】(1)因为cos2(π2+A)+cos A=54,所以sin2A+cos A=54,即1-cos2A+cos A=54,解得cos A=12.又0<A<π,所以A=π3.(2)因为A=π3,所以cos A= 2+ 2- 22 =12,即b2+c2-a2=bc.①又b-c=33a,②将②代入①,得b2+c2-3(b-c)2=bc,即2b2+2c2-5bc=0,而b>c,解得b=2c,所以a=3c.所以b2=a2+c2,即△ABC是直角三角形.【能力提升练】12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一个条件,即可使△ABC存在且唯一.在条件:①a=32;②b=25;③cos C=-45中,所有可以选择的条件的序号为() A.① B.①②C.②③D.①②③【解析】选B.在△ABC中,∠B=45°,c=4,若添加条件①,则由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac cos B=10,即b=10,即△ABC存在且唯一;若添加条件②,则由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,可得:a2-42a-4=0,解得a=2(2+3),即△ABC存在且唯一;若添加条件③,则由-45<-22,得C>135°,则B+C>45°+135°=180°,即△ABC不存在,即可以选择的条件的序号为①②.13.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是()A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则A'B'=2C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍【解析】选ABD.由图可知AA'=BB',所以BB'<AB',故A正确;在△ABB'中,sin∠ABB'=5314,而∠AB'B=120°,所以cos∠ABB'=1-sin2∠ '=1114,sin∠BAB'=sin(60°-∠ABB')=sin60°cos∠ABB'-cos60°sin∠ABB'=3314.由正弦定理得 'sin∠ '= 'sin∠ ',解得AB'=5.又因为AA'=BB'=3,所以A'B'=AB'-AA'=2,故B正确;不妨设AB=2A'B'=2,BB'=x,由余弦定理得AB2=BB'2+AB'2-2BB'·AB'cos120°,解得x=5-12,所以 ' '=1+ =5+1故C错误;若A'是AB'的中点,则S△ABB'=12BB'·AB'sin120°=B'C'·A'B'sin60°=2S△A'B'C',所以S △ABC =7S △A'B'C',故D 正确.14.(10分)在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且c =23,2sin(2C -π3)=3.(1)若a =22,求角A ;(2)求△ABC 面积的最大值.【解析】(1)由2sin(2C -π3)=3,得sin(2C -π3)=32,因为△ABC 为锐角三角形,所以C ∈(0,π2),则2C -π3∈(-π3,2π3),所以2C -π3=π3,得C =π3.由正弦定理得 sin = sin ,22sin =23sin π3,得sin A =22,因为A ∈(0,π2),所以A =π4;(2)由(1)可知C =π3,在锐角三角形ABC 中,c =23,C =π3,则由余弦定理得,c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,12=a 2+b 2-2ab cos π3=a 2+b 2-ab ≥2ab -ab =ab ,当且仅当a =b 时取等号,所以ab 的最大值为12,所以12ab sin C ≤12×12×32=33,当且仅当a =b 时取等号,所以△ABC 面积的最大值为33.。
高考数学一轮复习 126课时作业
高考数学一轮复习 126课时作业一、选择题1．2010年7月6日～8日衡水重点中学在高一进行了期末统一考试，为了了解一年级1000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，下面说法正确的是( )A ．1000名学生是总体B ．每个学生是个体C ．1000名学生的成绩是一个个体D ．样本的容量是100 答案 D解析 1000名学生的成绩是统计中的总体，每个学生的成绩是个体，被抽取的100名学生的成绩是一个样本，其样本的容量是100.2．某高中在校学生2000人，高一级与高二级人数相同并都比高三级多1人，为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每个人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的5，为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取了一个200人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取( )A ．36人B ．60人C ．24人D ．30人答案 A解析 ∵登山占总数的25，故跑步的占总数的35，又跑步中高二级占32＋3＋5＝310.∴高二级跑步的占总人数的35×310＝950.由950＝x200得x ＝36，故选A. 3．(09·四川)设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形，黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是( )A ．甲批次的总体平均数与标准值更接近B ．乙批次的总体平均数与标准值更接近C ．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D ．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 答案 A解析 ∵15[(0.598－0.618)＋(0.625－0.618)＋(0.628－0.618)＋(0.595－0.618)＋(0.639－0.618)]＝－0.001，15[(0.618－0.618)＋(0.613－0.618)＋(0.592－0.618)＋(0.622－0.618)＋(0.620－0.618)]＝－0.005，∴|x 甲－0.618|<|x 乙－0.618|， ∴甲批次的总体平均数更接近标准值．4．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a ，b )是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m ，该组上的直方图的高为h ，则|a －b |＝( )A ．hm B.m hC.h mD ．h ＋m答案 B解析 ∵m ＝h |a －b |，∴|a －b |＝m h5．(08·安徽)设两个正态分布N (μ1，σ12)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2 答案 A解析 由概率密度曲线的性质可知N (μ1，σ12)、N (μ2，σ22)的密度曲线分别关于直线x ＝μ1、x ＝μ2对称，因此结合所给图象知μ1<μ2，且N (μ1，σ12)的密度曲线较N (μ2，σ22)的密度曲线“高瘦”，因此σ1<σ2，选A.6．(2010·广东卷，理)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.6826，则P (X >4)＝( )A ．0.1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0.1585答案 B解析 P (X >4)＝12[1－P (2≤X ≤4)]＝12×(1－0.6826)＝0.1587.7．(2010·江苏卷，理)某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)．所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有________根棉花纤维的长度小于20 mm.答案 30解析 由题意知，棉花纤维的长度小于20 mm 的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3，故抽测的100根中，棉花纤维的长度小于20 mm 的有0.3×100＝30(根)．二、填空题8．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．答案 0.8解析 P (0<ξ<1)＝F (1)－F (0) ＝Φ(1－1σ)－Φ(0－1σ)＝12－[1－Φ(1σ)] ＝－12＋Φ(1σ)，P (0<ξ<2)＝F (2)－F (0)＝Φ(2－1σ)－Φ(0－1σ)＝Φ(1σ)－Φ(－1σ)＝2Φ(1σ)－1.又P (0<ξ<1)＝0.4，∴P (0<ξ<2)＝0.8，故填0.8.9．(2010·四川卷)一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是________．答案 8,16,10,6 解析 抽样比为40800＝120，因此，从各层依次抽取的人数为160×120＝8,320×120＝16,200×120＝10,120×120＝6.三、解答题10．在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：分组 频数 [1.30,1.34) 4 [1.34,1.38) 25 [1.38,1.42) 30 [1.42,1.46) 29 [1.46,1.50) 10 [1.50,1.54)2 合计100(1)(2)估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[1.30,1.34)的中点值是1.32)作为代表，据此，估度纤度的期望．解 (1)频率分布直方图如图：频率分布表：分组 频数 频率 [1.30,1.34) 4 0.04 [1.34,1.38) 25 0.25 [1.38,1.42) 30 0.30 [1.42,1.46) 29 0.29 [1.46,1.50) 10 0.10 [1.50,1.54)2 0.02100(2)设纤度落在1P 2，于是由频率分布直方图得P 1＝0.3＋0.29＋0.1＝0.69，P 2＝0.04＋0.25＋0.15＝0.44.(3)设纤度为ξ，于是ξ所有可能的取值是1.32,1.36,1.40,1.44,1.48,1.52，于是P (ξ＝1.32)＝0.04，P (ξ＝1.36)＝0.25，P (ξ＝1.40)＝0.3，P (ξ＝1.44)＝0.29，P (ξ＝1.48)＝0.1，P (ξ＝1.52)＝0.02，∴Eξ＝1.32×0.04＋1.36×0.25＋1.40×0.3＋1.44×0.29＋1.48×0.1＋1.52×0.02＝1.4.11．(2010·陕西卷)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；(3)从样本中身高在165～180 cm 之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170～180 cm 之间的概率．解析 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400. (2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570＝0.5，故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率p ＝0.5.(3)样本中女生身高在165～180 cm 之间的人数为10，身高在170～180 cm 之间的人数为4.设A表示事件“从样本中身高在165～180 cm之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170～180 cm之间”，则P(A)＝1－C62C102＝23(或P(A)＝C61·C41＋C42C102＝23)．12．(2010·安徽卷)某市2010年4月1日－4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,9591,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.(1)完成频率分布表；(2)作出频率分布直方图；(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良，在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．解析(1)频率分布表：(2)频率分布直方图：分组频率频率[41,51)22 30[51,61)11 30[61,71)44 30[71,81)66 30[81,91)1010 30[91,101)55 30[101,111)22 30(3)答对下述两条中的一条即可；(ⅰ)该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的115；有26天处于良的水平，占当月天数的1315；处于优或良的天数共有28天，占当月天数的1415.说明该市天气质量基本良好．(ⅱ)轻微污染有2天，占当月天数的115.污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的1730，超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善．。
高考数学一轮复习 10A-6课时作业
课时作业(五十二)一、选择题1．如图，二面角α－AB－β的大小为60°，PQ⊂平面α，∠PQB＝45°，若PQ＝4，则点P到平面β的距离为( )A．2 3 B. 6C．2 6 D．3 2答案 B解析过P向平面β引垂线，垂足为M，则PM为P到β的距离，过M向AB引垂线MN，连结PN.则PN⊥AB，∴∠PNM为α—AB—β的平面角，在Rt△PQN中，∠PQN＝45°，∴PN＝22，在Rt△PMN中，∠PNM＝60°，∴PM＝ 6.2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线AD1上任意一点，Q为对角线B1C上任意一点，则PQ的最小值为( )A．a B.2aC.3a D．2a答案 A解析∵AD1与B1C是异面直线，它们之间的距离为所在两侧面间的距离a，∴当PQ为其公垂线时，有最小值a.3．如图，正方体A1B1C1D1—ABCD中，O1是上底面A1B1C1D1的中点，若正方体的棱长为2，则O1到平面ABC1D1的距离为( )A.12B.24C.22D.24答案 C解析过A1点作A1E⊥AD1，E为垂足，则A1E＝2，即为点A1到平面ABC1D1的距离．又∵O1为A1C1的中点，∴O1点到平面ABC1D1的距离为22.4．(09·湖北)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中∠ACB＝90°，∠ACC1＝60°，∠BCC1＝45°，侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于( )A.12B.22C.32D.33答案 A解析设C1在底面ABC上的射影为H，连接C1H，作C1D⊥AC于D，连接HD，作C1E⊥BC于E，连接HE，又∠ACB＝90°，则易知四边形HDCE为矩形．在Rt△C1DC中，C1D＝32，在Rt△C1EC中，CE＝22，所以DH＝CE＝22，则C1H＝322－222＝12，故选A.5．设AB是异面直线a、b的公垂线，A∈a，B∈b，AB＝2，a、b成30°角，在a上取一点P使PA＝4，则点P到b的距离等于( )A．2 2 B．214C．215 D．22或214答案 A解析如图，作a∥a′，PD⊥a′于D，PC⊥b于C，连接CD，∴PD∥AB∴BC⊥CD，且∠DBC＝30°∴PC2＝PD2＋CD2＝AB2＋(PA·sin30°)2＝4＋4＝8，∴PC＝2 2.6．在△ABC中，AB＝15，∠BCA＝120°，若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P 到α的距离是( )A ．13B ．11C ．9D ．7答案 B解析 作PO ⊥平面α，垂足为O . ∵PA ＝PB ＝PC ＝14，∴OA ＝OB ＝OC ∴O 为△ABC 的外心，∴OA ＝AB2sin C＝5 3 ∴PO ＝142－532＝11，故选B.二、填空题7．(2011·济宁)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，侧棱与底面边长均为2a ，且∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，则侧棱AA 1和截面B 1D 1DB 的距离是________．答案 a解析 本题考查直线到平面的距离的求法．如图所示，由题可得：cos A 1AC ·cos BAC ＝cos A 1AB ⇒cos A 1AC ·cos45°＝cos60°⇒cos A 1AC ＝22⇒∠A 1AC ＝45°，A 1A 与平面BB 1D 1的距离等于A 1到O 1O 的距离d ，则d ＝|A 1O 1|sin A 1O 1O ＝|A 1O 1|·sin A 1AC ＝2a 22×sin45°＝a .8．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝4，则C 1到A 1B 的距离为________，A 1B 1到平面ABC 1D 1的距离为________．答案2615 4559．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，若二面角C －AB －C 1的大小为60°，则点C 到平面ABC 1的距离为________．答案3 4解析如图，作CD⊥AB，连结C1D，再作CO⊥C1D，易证CO就是点C到平面ABC1的距离．由AB＝1，得CD＝32，又由∠C1DC＝60°，在Rt△OCD中求得：OC＝32sin60°＝34，即点C到平面ABC1的距离为34.10．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到平面α、β的距离分别是1、2，则点P到l的距离为________．答案 5解析本题考查简单多面体的有关性质．作PA⊥α于A，PB⊥β于B，平面PAB∩l＝O，连结OP，有l⊥平面PAB，PO⊂平面PAB⇒PO⊥l，|PO|即为所求⇒|PO|＝PA2＋PB2＝12＋22＝ 5.三、解答题11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝a，D、E分别为棱AB、BC 的中点，M为棱AA1上的点，二面角M－DE－A为30°.(1)证明：A1B1⊥C1D；(2)求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．解析(1)证明连结DC，∵AC＝BC且D为AB中点，∴DC⊥AB由题意可知：C 1C⊥AB∴AB⊥面DC1C又∵C 1D ⊂面DC1C ∴AB ⊥C 1D由题意知：AB ∥A 1B 1，∴A 1B 1⊥C 1D(2)过A 作AN ⊥ED 交ED 延长线于N ，连MN ，由三垂线定理可知：∠MNA 即为二面角M －DE －A 的平面角，∴∠MNA ＝30°还可证得ANEC 为长方形 ∴AN ＝EC ＝a2∴tan30°＝MA AN ∴MA ＝AN ·tan30°＝36a 由题易知：AC ∥面MDE∴C 到面MDE 的距离即为点A 到面MDE 的距离 过A 作AQ ⊥MN 交MN 于Q 点，可以证得AQ ⊥面MDE ∴AQ 的长就是C 点到面MDE 的距离 ∴AQ ＝MA ·AN MN ＝MA ·ANMN＝36a ×12a 362＋122a＝14a . 12．(2011·浙江五校)在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．(1)证明D 1E ⊥A 1D ；(2)点E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离．解析 (1)证明 (法一)∵AE ⊥平面AA 1D 1D ，则A 1D ⊥AE .又A 1D ⊥AD 1，A 1D ⊥平面AED 1，∴A 1D ⊥D 1E .(法二)∵AD ＝AA 1，∴A 1ADD 1为正方形，∴A 1D ⊥AD 1.又∵AE ⊥平面AD 1，∴AD 1为D 1E 在面AD 1内的射影．∴D 1E ⊥A 1D(2)设点E 到平面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC ＝CD 1＝5，AD 1＝2， 故S △AD 1C ＝12×2×5－12＝32，而S △ACE ＝12·AE ·BC ＝12，∴VD 1－AEC ＝13S △AEC ·DD 1＝13S △AD 1C ·h∴12×1＝32×h .∴h ＝13. 13．(2010·江苏卷，理)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．解析 (1)因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC . 由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，PD ⊂平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC . (2)连结AC .设点A 到平面PBC 的距离为h . 因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°. 从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1. 由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC . 又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2. 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22. 由V ＝13S △PBC h ＝13·22·h ＝13，得h ＝ 2.因此，点A 到平面PBC 的距离为 2。
高考数学一轮复习 64课时作业
高考数学一轮复习 64课时作业一、选择题1．若P 分有向线段P 1P 2→，所成的比为3，则点P 1分P 2P →所成的比为( ) A ．－43B ．－23C ．－12D ．－32答案 A2．已知两点P 1(－1，－6)、P 2(3,0)，点P (－73，y )分有向线段P 1P 2→所成的比为λ，则λ、y 的值为( )A ．－14，8B.14，－8 C ．－14，－8D ．4，18答案 C3．把函数y ＝e x的图像按向量a ＝(2,3)平移，得到y ＝f (x )的图像， 则f (x )等于( ) A ．e x －3＋2 B ．e x ＋3－2 C ．ex －2＋3D ．ex ＋2－3答案 C解析 函数y ＝e x的图象按向量a ＝(2,3)平移，即把y ＝e x的图象向右平移两个单位，再向上平移3个单位得到f (x )的图象．∴f (x )＝ex －2＋3，故选C.4．若函数y ＝f (x )的图象按向量a 平移后，得到函数y ＝f (x ＋1)－2的图象，则向量a 等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)答案 A解析 可知函数y ＝f (x ＋1)－2的图象是由函数y ＝f (x )的图象向左移了1个单位，向下平移了2个单位，故选A.点评 考查向量的平移．5．将y ＝2cos(x 3＋π6)的图象按向量a ＝(－π4，－2)平移，则平移后所得图象的解解析式为( )A ．y ＝2cos(x 3＋π4)－2B ．y ＝2cos(x 3－π4)＋2C ．y ＝2cos(x 3－π12)－2D ．y ＝2cos(x 3＋π12)＋2答案 A解析 解法一：图象按向量a ＝(－π4，－2)平移，即向左平移π4，向下平移两个单位，∴平移后的表达式为 y ＝2cos[13(x ＋π4)＋π6]－2＝2cos(x 3＋π4)－2，故选A.解法二：设平移后的坐标为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π4，y ′＝y －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋π4，y ＝y ′＋2，∴y ′＋2＝2cos[13(x ′＋π4)＋π6]，∴y ′＋2＝2cos(x ′3＋π4)．即y ＝2cos(x 3＋π4)－2.故选A. 6．如果直线l 按向量a ＝(－3,1)平移后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率为( ) A ．－13B ．－3 C.13 D ．3答案 A解析 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则按向量a ＝(－3,1)平移后，得直线l ′：y －1＝k (x ＋3)＋b 即y ＝kx ＋3k ＋1＋b .由题意可知3k ＋1＝0解得k ＝－13.7．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11答案 A解析 解法一 直线左移1个单位方程为2(x ＋1)－y ＋λ＝0，即2x －y ＋2＋λ＝0.圆：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线与圆相切，所以|2－1－2＋2＋λ|22＋－12＝5，于是λ＝－3或7. 解法二 由直线与圆相切，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＋λ＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，于是5x 2＋(4λ＋2)x ＋λ2－4＝0，因为Δ＝0，即(4λ＋2)2－4×5×(λ2－4)＝0. 所以λ＝－3或7.8．(09·湖北)函数y ＝cos(2x ＋π6)－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x ) 为奇函数时，向量a 可以等于( )A ．(－π6，－2)B ．(－π6，2)C ．(π6，－2)D ．(π6，2)答案 B解析 函数y ＝cos(2x ＋π6)－2按向量a ＝(m ，n )平移后得到y ＝cos(2x －2m ＋π6)＋n －2.若平移后的函数为奇函数，则n ＝2，π6－2m ＝kπ＋π2(k ∈Z)，故m ＝－π6时适合．9．将函数y ＝2x的图象( )，再作关于直线y ＝x 对称的图象，可得到函数y ＝log 2(x ＋1)的图象．A ．先向左平移1个单位B ．先向右平移1个单位C ．先向上平移1个单位D ．先向下平移1个单位 答案 D解析 可用逆推的方法求解．∵函数y ＝log 2(x ＋1)的图象关于直线y ＝x 对称的图象所对应的函数是其反函数，即y ＝2x－1.又∵函数y ＝2x －1的图象可按照平移向量a ＝(0，－1)平移而得到，对照各选项可知D 正确，∴选D.二、解答题10．(2011·西城区)直线y ＝x ＋1按a ＝(1－22，0)平移后得直线l ，且l 与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，求OA →·OB →的值．答案 －12解析 由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋22－1y ＝y ′，代入y ＝x ＋1，得直线l 的方程为：y ＝x ＋22，所以，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1y ＝x ＋22，消去y 得2x 2＋2x －12＝0，得x 1x 2＝－14，x 1＋x 2＝－22，y 1y 2＝(x 1＋22)(x 2＋22)＝－14，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－12.。
2014届高考数学一轮复习方案 作业手册 文(含解析) 新人教B版
D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题
7．[2012·东北三校联考]已知命题p：∃x0∈0，，sinx0＝，则綈p为()
A．∀x∈0，，sinx≠
B．∀x∈0，，sinx＝
C．∃x0∈0，，sinx0≠
(时间：35分钟 分值：80分)
1．已知命题p：∀x∈R，x>sinx，则命题p的否定形式为()
A．∃x0∈R，x0<sinx0B．∀x∈R，x≤sinx
C．∃x0∈R，x0≤sinx0D．∀x∈R，x<sinx
2．[2012·乌鲁木齐模拟]已知α，β是两个不重合的平面，l是空间一条直线，命题p：若α∥l，β∥l，则α∥β；命题q：若α⊥l，β⊥l，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是()
A．命题“p∧q”为真
B．命题“p∨q”为假
C．命题“p∨q”为真
D．命题“(綈p)∧(綈q)”为真
3．[2012·河北五校联考]下列结论错误的是()
A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2－3x＋2≠0”
B．命题“存在x为实数，x2－x>0”的否定是“任意x是实数，x2－x≤0”
课时作业(三)[第3讲 命题及其关系、充分条件、必要条件]
(时间：35分钟 分值：80分)
1．[2012·重庆卷]命题“若p，则q”的逆命题是()
A．若q，则p
B．若綈p，则綈q
C．若綈q，则綈p
D．若p，则綈q
2．[2012·佛山模拟]已知非零向量a，b，则“a＋b＝0”是“a∥b”的()
A．充分不必要条件
2012年高考数学一轮复习 10B-6课时作业
课时作业(五十六)一、选择题1．已知AB →＝(2,4,5)，CD →＝(3，x ，y )，若AB →∥CD →，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152答案 D解析∵AB →∥CD →，∴32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝152.2．已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A ．(33，33，－33) B ．(33，－33，33) C ．(－33，33，33) D ．(－33，－33，－33) 答案 D解析AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1) 设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0－x ＋z ＝0令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)单位法向量为：±n |n |＝±(33，33，33)．3．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1,4)确定的平面上，则a 等于( )A ．16B ．4C ．2D ．8 答案 A解析PA →＝(－1，－3,2)，PB →＝(6，－1,4)．根据共面向量定理，设PC →＝xPA →＋yPB →(x 、y ∈R)，则(2a －1，a ＋1,2)＝x (－1，－3,2)＋y (6，－1,4) ＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( )A ．是AC 和MN 的公垂线B ．垂直于AC ，但不垂直于MN C ．垂直于MN ，但不垂直于ACD ．与AC 、MC 都不垂直 答案 A解析 建立空间直角坐标系，通过向量运算可得．5．(2011·某某某某)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 是A 1D ，AC 的公垂线 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面 答案 B解析 设AB ＝1，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E (13，0，13)，F (23，13，0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝(13，13，－13)，BD 1→＝(－1，－1，1)，EF→＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .6．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4B.407，－157，4C.407，－2,4 D ．4，407，－15 答案 B解析∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC →＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －1＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.二、填空题7．设平面α与向量a ＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2,3,1)垂直，则平面α与β位置关系是________．答案 垂直解析 由已知a ，b 分别是平面α，β的法向量． ∵a ·b ＝－2＋6－4＝0， ∴a ⊥b ，∴α⊥β.8．若|a |＝17，b ＝(1,2，－2)，c ＝(2,3,6)，且a ⊥b ，a ⊥c ，则a ＝________. 答案 (－185，2，15)或(185，－2，－15)解析 设a ＝(x ，y ，z )， ∵a ⊥b ，∴x ＋2y －2z ＝0.① ∵a ⊥c ，∴2x ＋3y ＋6z ＝0.② ∵|a |＝17.∴x 2＋y 2＋z 2＝17.③ ∴联立①②得x ＝－18z ，y ＝10z ， 代入③得425z 2＝17，z ＝±15.∴a ＝(－185，2，15)或(185，－2，－15)．9．设a ＝(1,2,0)，b ＝(1,0,1)，则“c ＝(23，－13，－23)”是“c ⊥a ，c ⊥b 且c 为单位向量”的________．(将正确的序号填上)．①充要条件 ②充分不必要条件 ③必要不充分条件④既非充分条件也非必要条件 答案②解析 当c ＝(23，－13，－23)时，c ⊥a ，c ⊥b 且c 为单位向量，反之则不成立．三、解答题10．棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在一点P 使B 1D ⊥平面PAC?解析 以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系设存在点P (0,0，z )，AP →＝(－a,0，z )，AC →＝(－a ，a,0)，DB 1→＝(a ，a ，a )． ∵B 1D ⊥平面PAC ， ∴DB 1→·AP →＝0，DB 1→·AC →＝0. ∴－a 2＋az ＝0.∴z ＝a ，即点P 与D 1重合．∴存在一点P ，即点P 与D 1重合时，DB 1⊥平面PAC .11．(2011·某某质检)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，试在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .解析 如图所示，以D 为原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，CP ＝a ，则P (0,1，a )、A 1(1,0,1)、B 1(1,1,1)、E (12，1,0)、C 1(0,1,1)，∴A 1B 1→＝(0,1,0)，A 1P →＝(－1,1，a －1)， DE →＝(12，1,0)，DC 1→＝(0,1,1)．设平面A 1B 1P 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B 1→＝0，n 1·A 1P →＝0即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，－x 1＋y 1＋a －1z 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝a －1， ∴n 1＝(a －1,0,1)．设平面C 1DE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·DE →＝0，n 2·DC 1→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋y 2＝0，y 2＋z 2＝0.令x 2＝－2，y 2＝1，z 2＝－1，∴n 2＝(－2,1，－1)． ∵面A 1B 1P ⊥面C 1DE ，∴n 1·n 2＝0⇒－2(a －1)－1＝0，得a ＝12.∴当P 为C 1C 的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .12．已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，2AB ＝2AD ＝CD ，侧面PAD 是正三角形且垂直于底面ABCD ，E 是PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PCD ；(2)在PB 上是否存在一点F ，使AF ∥平面BDE?解析 (1)证明 以AD 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB ＝AD ＝2，则有B (1,2,0)，C (－1,4,0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)，E (－12，2，32)， ∴BE →＝(－32，0，32)，PC →＝(－1,4，－3)，CD →＝(0，－4,0)，∴BE →·PC →＝(－32，0，32)·(－1,4，－3)＝0，BE →·CD →＝(－32，0，32)·(0，－4,0)＝0.即BE ⊥PC ，BE ⊥CD .又PC ∩CD ＝C ，∴BE ⊥平面PCD .(2)解析 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵n ⊥BE →，n ⊥DE →，∴n ·BE →＝0，n ·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋32z ＝012x ＋2y ＋32z ＝0，令y ＝－1，则x ＝1，z ＝ 3.∴平面BDE 的一个法向量为(1，－1，3)． 取PB 中点F ，则有F (12，1，32)．又A (1,0,0)，∴AF →＝(－12，1，32)，∵AF →·n ＝(－12，1，32)·(1，－1，3)＝－12－1＋32＝0，∴AF →⊥n .又n 是平面BDE 的法向量，且AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE .故存在PB 中点F 使AF ∥平面BDE .13．(2010·卷，理)如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .解析 (1)设AC 与BD 交于点G ，因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，且CE ⊥AC ，所以CE ⊥平面ABCD .如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C －xyz .则C (0,0,0)，A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，F (22，22，1)．所以C F →＝(22，22，1)，B E →＝(0，－2，1)，D E →＝(－2，0,1)．所以C F →·B E →＝0－1＋1＝0，C F →·D E →＝－1＋0＋1＝0.所以CF ⊥BE ，CF ⊥DE ，所以CF ⊥平面BDE .。
数学一轮复习第六章第2讲基本不等式课时作业含解析
第2讲基本不等式组基础关1．设非零实数a，b,则“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab,而错误!＋错误!≥2成立的条件是ab＞0,所以“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2"成立的必要不充分条件．2．已知a>0，b〉0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋错误!，n＝a＋错误!，则m＋n的最小值是（)A．3 B．4C．5 D．6答案B解析由题意知ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b,n＝a＋错误!＝2a，∴m＋n＝2（a＋b)≥4错误!＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m ＋n的最小值为4.3．已知p＝a＋错误!,q＝错误!x2－2,其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是(）A．p≥q B．p＞qC．p＜q D．p≤q答案A解析由a＞2，故p＝a＋错误!＝（a－2)＋错误!＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2,所以q ＝错误!x2－2≤错误!－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.故选A。
4．(2019·郑州外国语学校月考）若a＞b＞1,P＝错误!,Q＝错误!（lg a＋lg b),R＝lg 错误!，则()A．R＜P＜Q B．Q＜P＜RC．P＜Q＜R D．P＜R＜Q答案C解析因为a＞b＞1，所以lg a＞0，lg b＞0,且lg a≠lg b，所以错误!＜错误!（lg a＋lg b)，由错误!＜错误!，得lg错误!＜lg 错误!.所以错误!（lg a＋lg b)＜lg 错误!，综上知P＜Q＜R.5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30,则xy的最大值是（）A.错误!B．错误!C．2 D．错误!答案C解析由x>0，y〉0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y）＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30,即xy≤2，∴xy的最大值为2.6．《几何原本》第二卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上,点C在半径OB上，且OF⊥AB,设AC＝a，BC＝b,则该图形可以完成的无字证明为(）A.错误!≥错误!（a＞0，b＞0）B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)C.错误!≤错误!(a＞0，b＞0）D。
高三数学第一轮复习课时作业(10)函数与方程
课时作业(十) 第10讲 函数与方程时间：45分钟 分值：100分基础热身1．2011·郑州模拟 若函数f (x )＝x 2＋2x ＋3a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜13B ．a ＞13C ．a ≤13 D ．a ≥132．下列函数中不能用二分法求零点的是( )图K103．2011·南通调研 设f (x )＝x 3＋bx ＋c (b >0)(－1≤x ≤1)，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在－1,1内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根4．已知二次函数f (x )＝x 2－(m －1)x ＋2m 在0,1上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－2,0) B ．(－1,0) C ．－2,0 D ．(－2，－1) 能力提升5．2011·郑州模拟 已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b6．2011·上海八校联考 设a ，b ，k 是实数，二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 满足：f (k －1)与f (k )异号，f (k ＋1)与f (k )异号．在以下关于f (x )的零点的命题中，真命题是( )A ．该二次函数的零点都小于kB ．该二次函数的零点都大于kC ．该二次函数的两个零点之差一定大于2D ．该二次函数的零点均在区间(k －1，k ＋1)内7．2011·信阳模拟 在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，0B.⎝⎛⎭⎫0，14C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎝⎛⎭⎫12，34 8．2011·南阳模拟 若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎨⎧lg|x |(x ≠0)，1(x ＝0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间－5,10内零点的个数为( ) A ．12 B ．14 C ．13 D ．89．已知函数f (x )＝|lg x |－⎝⎛⎭⎫12x有两个零点x 1，x 2，则有( )A ．x 1x 2<0B ．x 1x 2＝1C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<110．2011·常州质检 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点的个数为________．11．利用二分法求方程f (x )＝0在0,1上的近似解时，经计算f (0.625)<0，f (0.725)>0，f (0.6875)<0，则可得到方程精确度为0.1的一个近似解是________．12．2011·辽宁卷 已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．13．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x，x >0，x ＋1，x ≤0，若方程gf (x )－a ＝0的实数根的个数有4个，则a 的取值范围是________．14．(10分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．15．(13分)已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在－2,2的图像如图K10－2所示：图求：(1)方程fg (x )＝0实根的个数； (2)方程gf (x )＝0实根的个数； (3)方程ff (x )＝0实根的个数； (4)方程gg (x )＝0实根的个数．难点突破16．(12分)2011·郑州模拟 若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．课时作业(十)【基础热身】1．B 解析 由题意，函数f (x )＝x 2＋2x ＋3a 没有零点，即方程x 2＋2x ＋3a ＝0无解，即方程的判别式小于零，解不等式Δ＝22－4×3a ＜0，得a ＞13.2．B 解析 函数图像与横轴的交点的横坐标为零点，但二分法要求在区间a ，b 上，有f (a )·f (b )<0，所以只有B 不符合．3．C 解析 ∵f (x )＝x 3＋bx ＋c (b >0)，∴f ′(x )＝3x 2＋b >0，∴f (x )在－1,1上为增函数，又∵f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，∴f (x )在－1,1上有实数根且只有一个．4．C 解析 (1)当方程x 2－(m －1)x ＋2m ＝0在0,1上有两个相等实根时，Δ＝(m －1)2－8m ＝0且0≤m －12≤1，此时无解．(2)当方程x 2－(m －1)x ＋2m ＝0有两个不相等的实根时，①有且只有一根在(0,1)上时，有f (0)f (1)<0，即2m (m ＋2)<0，解得－2<m <0；②当f (0)＝0时，m ＝0，f (x )＝x 2＋x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1，符合题意；③当f (1)＝0时，m ＝－2，方程可化为x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，符合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为－2,0． 【能力提升】5．B 解析 由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0，故f (x )＝2x＋x 的零点a ∈(－1,0)；因为g (2)＝0，故g (x )的零点b ＝2；因为h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0，故h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此a <c <b .6．D 解析 由题意f (k －1)·f (k )<0，f (k )·f (k ＋1)<0，由零点的存在性判定定理可知区间(k －1，k )，(k ，k ＋1)内各有一个零点，零点可能是区间内的任何一个值，故选项D 正确．7．C 解析 ∵f (x )是R 上的增函数且图像是连续的，又f ⎝⎛⎭14＝e 14＋4×14－3＝e 14－2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e 12＋4×12－3＝e 12－1>0，f ⎝⎛⎭14＝14e－4<0，f (0)＝－2<0， f ⎝⎛⎭12＝e －1>0，f ⎝⎛⎭34＝e 34>0，∴f (x )定在⎝⎛⎭⎫14，12内存在唯一零点．8．B 解析 如图，当x ∈0,5时，结合图像知f (x )与g (x )共有5个交点，故在区间－5,0上共有5个交点；当x ∈(0,10时结合图像知共有95,10上共有14个零点．9．D 解析 数形结合，可知函数f (，(1，＋∞)．去掉绝对值符号后，再根据函数的性质寻找其中的关系．根据分析，不妨设0<x 1<1，x 2>1，根据函数零点的概念则有|lg x 1|－⎝⎛⎭⎫12x 1＝0，|lg x 2|－⎝⎛⎭12x 2＝0，即－lg x 1＝⎝⎛⎭⎫12x 1，lg x 2＝⎝⎛⎭⎫12x 2，后面的方程减去前面的方程得lg(x 1x 2)＝⎝⎛⎭⎫12x 2－⎝⎛⎭⎫12x 1.由于x 2>x 1，根据指数函数的性质，⎝⎛⎭⎫12x 2－⎝⎛⎭⎫12x 1<0，所以lg(x 1x 2)<0，即0<x 1x 2<1.正确选项为D.10．3 解析 f (0)＝－2，即－02＋b ·0＋c ＝－2，c ＝－2；f (－1)＝1，即－(－1)2＋b ·(－1)＋c ＝1，故b ＝－4.故f (x )＝⎩⎨⎧ －2，x >0，－x 2－4x －2，x ≤0，g (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎨⎧－2＋x ，x >0，－x 2－3x －2，x ≤0，令g (x )＝0，则⎩⎨⎧－2＋x ＝0，x >0或⎩⎨⎧－x 2－3x －2＝0，x ≤0，解得x ＝2或－2或－1，故有3个零点．11．0.7 解析 ∵|0.725－0.6875|<0.1，∴精确度为0.1的一个近似解是0.7.12．(－∞，2ln2－2 【解析】 由于f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即e x －2x ＋a ＝0有解，所以a ＝－e x＋2x .令g (x )＝－e x ＋2x ，由g ′(x )＝－e x＋2＝0得x ＝ln2.当x ∈(－∞，ln2)时，g ′(x )＝－e x ＋2>0，此时g (x )为增函数；当x ∈(ln2，＋∞)时，g ′(x )＝－e x＋2<0，此时g (x )为减函数．所以，当x ＝ln2时，函数g (x )＝－e x ＋2x 有最大值2ln2－2，即g (x )＝－e x＋2x 的值域为(－∞，2ln2－2，所以a ∈(－∞，2ln2－2．13.⎣⎡⎭⎫1，54 解析 由于函数f (x )＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1≤1，只有f (x )＝t ，t <1时，方程f (x )＝t 才有两个不同的实根，这样问题就等价于方程g (t )＝a 有两个小于1的不等实根，画出函数g (x )的图像如图，数形结合得1≤a <54.14．解答 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x＋1即方程(2x )2＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0，即m 2－4＝0时，m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1，不合题意，舍去，∴2x＝1，x ＝0，符合题意． 当Δ>0，即m >2或m <－2时， t 2＋mt ＋1＝0应有一正一负两根， 即t 1t 2<0，这与t 1t 2＝1>0矛盾． ∴这种情况不可能．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.15．解答 (1)满足f (x )＝0的x 值在区间－2,2上有三个，把这三个看做g (x )对应的y 值，则g (x )等于这三个值的每个x 都有两个，故方程fg (x )＝0有且仅有6个根．(2)满足g (x )＝0的x 值有两个，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(0,1)上，把这两个看做f (x )对应的y 值，f (x )等于这两个x 值时，在区间(－2，－1)上只有一个x 与之对应，在区间(0,1)上有三个x 与之对应，故方程gf (x )＝0有且只有4个根．(3)满足f (x )＝0的x 值在区间－2,2上有三个，把这三个再看做f (x )对应的y 值，在区间(－2，－1)上只有一个x 值，在区间(1,2)上也只有一个x 值，而f (x )＝0所对应的x 值有三个，故方程ff (x )＝0有且仅有5个根．(4)同样的方法可知方程gg (x )＝0有且仅有4个根． 【难点突破】16．解答 (1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b ，于是⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝12a －b ＝0，f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4.故所求的解析式为f(x)＝13x3－4x＋4.(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：因此，当x＝－2时，f(x)有极大值3；当x＝2时，f(x)有极小值－43 .所以函数的大致图像如图．故实数k的取值范围是－43＜k＜283.。
高考数学一轮复习 10A6课时作业 试题
卜人入州八九几市潮王学校课时作业(五十二)一、选择题1．如图，二面角α－AB－β的大小为60°，PQ⊂平面α，∠PQB＝45°，假设PQ＝4，那么点P到平面β的间隔为()A．2 B.C．2 D．3答案B解析过P向平面β引垂线，垂足为M，那么PM为P到β的间隔，过M向AB引垂线MN，连结PN.那么PN⊥AB，∴∠PNM为α—AB—β的平面角，在Rt△PQN中，∠PQN＝45°，∴PN＝2，在Rt△PMN中，∠PNM＝60°，∴PM＝.2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线AD1上任意一点，Q为对角线B1C上任意一点，那么PQ的最小值为()A．a B.aC.a D．2a答案A解析∵AD1与B1C是异面直线，它们之间的间隔为所在两侧面间的间隔a，∴当PQ为其公垂线时，有最小值a.3．如图，正方体A1B1C1D1—ABCD中，O1是上底面A1B1C1D1的中点，假设正方体的棱长为2，那么O1到平面ABC1D1的间隔为()A. B.C. D.答案C解析过A1点作A1E⊥AD1，E为垂足，那么A1E＝，即为点A1到平面ABC1D1的间隔．又∵O1为A1C1的中点，∴O1点到平面ABC1D1的间隔为.4．(09·)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中∠ACB＝90°，∠ACC1＝60°，∠BCC1＝45°，侧棱CC1的长为1，那么该三棱柱的高等于()A. B.C. D.答案A解析设C1在底面ABC上的射影为H，连接C1H，作C1D⊥AC于D，连接HD，作C1E⊥BC于E，连接HE，又∠ACB＝90°，那么易知四边形HDCE为矩形．在Rt△C1DC中，C1D＝，在Rt△C1EC中，CE＝，所以DH＝CE＝，那么C1H＝＝，应选A.5．设AB是异面直线a、b的公垂线，A∈a，B∈b，AB＝2，a、b成30°角，在a上取一点P使PA＝4，那么点P到b的间隔等于()A．2 B．2C．2 D．2或者2答案A解析如图，作a∥a′，PD⊥a′于D，PC⊥b于C，连接CD，∴PD∥AB∴BC⊥CD，且∠DBC＝30°∴PC2＝PD2＋CD2＝AB2＋(PA·sin30°)2＝4＋4＝8，∴PC＝2.6．在△ABC中，AB＝15，∠BCA＝120°，假设△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的间隔都是14，那么P到α的间隔是()A．13 B．11C．9 D．7答案B解析作PO⊥平面α，垂足为O.∵PA＝PB＝PC＝14，∴OA＝OB＝OC∴O为△ABC的外心，∴OA＝＝5∴PO＝＝11，应选B.二、填空题7．(2021·)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，那么侧棱AA1和截面B1D1DB的间隔是________．答案a解析此题考察直线到平面的间隔的求法．如下列图，由题可得：cos A1AC·cos BAC＝cos A1AB⇒cos A1AC·cos45°＝cos60°⇒cos A1AC＝⇒∠A1AC＝45°，A1A与平面BB1D1的间隔等于A1到O1O的间隔d，那么d＝|A1O1|sin A1O1O＝|A1O1|·sin A1AC＝×sin45°＝a.8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝4，那么C1到A1B的间隔为________，A1B1到平面ABC1D1的间隔为________．答案9．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，假设二面角C－AB－C1的大小为60°，那么点C到平面ABC1的间隔为________．答案解析如图，作CD⊥AB，连结C1D，再作CO⊥C1D，易证CO就是点C到平面ABC1的间隔．由AB＝1，得CD ＝，又由∠C1DC＝60°，在Rt△OCD中求得：OC＝sin60°＝，即点C到平面ABC1的间隔为.10．平面α⊥平面β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到平面α、β的间隔分别是1、2，那么点P到l的间隔为________．答案解析此题考察简单多面体的有关性质．作PA⊥α于A，PB⊥β于B，平面PAB∩l＝O，连结OP，有l⊥平面PAB，PO⊂平面PAB⇒PO⊥l，|PO|即为所求⇒|PO|＝＝＝.三、解答题11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝a，D、E分别为棱AB、BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角M－DE－A为30°.(1)证明：A1B1⊥C1D；(2)求MA的长，并求点C到平面MDE的间隔．解析(1)证明连结DC，∵AC＝BC且D为AB中点，∴DC⊥AB由题意可知：C1C⊥AB∴AB⊥面DC1C又∵C1D⊂面DC1C∴AB⊥C1D由题意知：AB∥A1B1，∴A1B1⊥C1D(2)过A作AN⊥ED交ED延长线于N，连MN，由三垂线定理可知：∠MNA即为二面角M－DE－A的平面角，∴∠MNA＝30°还可证得ANEC为长方形∴AN＝EC＝∴tan30°＝∴MA＝AN·tan30°＝a由题易知：AC∥面MDE∴C到面MDE的间隔即为点A到面MDE的间隔过A作AQ⊥MN交MN于Q点，可以证得AQ⊥面MDE∴AQ的长就是C点到面MDE的间隔∴AQ＝＝＝＝a.12．(2021·五校)在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上挪动．(1)证明D1E⊥A1D；(2)点E为AB的中点时，求点E到面ACD1的间隔．解析(1)证明(法一)∵AE⊥平面AA1D1D，那么A1D⊥AE.又A1D⊥AD1，A1D⊥平面AED1，∴A1D⊥D1E.(法二)∵AD＝AA1，∴A1ADD1为正方形，∴A1D⊥AD1.又∵AE⊥平面AD1，∴AD1为D1E在面AD1内的射影．∴D1E⊥A1D(2)设点E到平面ACD1的间隔为h，在△ACD1中，AC＝CD1＝，AD1＝，故S△AD1C＝××＝，而S△ACE＝·AE·BC＝，∴VD1－AEC＝S△AEC·DD1＝S△AD1C·h∴×1＝×h.∴h＝.13．(2021·卷，理)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的间隔．解析(1)因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.由∠BCD＝90°，得BC⊥DC.又PD∩DC＝D，PD⊂平面PCD，DC⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD，所以PC⊥BC.(2)连结AC.设点A到平面PBC的间隔为h.因为AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°.从而由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1.由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P－ABC的体积V＝S△ABC·PD＝.因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC.又PD＝DC＝1，所以PC＝＝.由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝.由V＝S△PBC h＝··h＝，得h＝.因此，点A到平面PBC的间隔为。
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高考数学一轮复习 10B6课时作业一、选择题1．已知AB →＝(2,4,5)，CD →＝(3，x ，y )，若AB →∥CD →，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152答案 D解析 ∵AB →∥CD →，∴32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝152.2．已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A ．(33，33，－33) B ．(33，－33，33) C ．(－33，33，33) D ．(－33，－33，－33) 答案 D解析 AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1) 设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0－x ＋z ＝0令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)单位法向量为：±n |n |＝±(33，33，33)．3．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1,4)确定的平面上，则a 等于( )A ．16B ．4C ．2D ．8答案 A解析 PA →＝(－1，－3,2)，PB →＝(6，－1,4)．根据共面向量定理，设PC →＝xPA →＋yPB →(x 、y ∈R)，则(2a －1，a ＋1,2)＝x (－1，－3,2)＋y (6，－1,4) ＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( )A ．是AC 和MN 的公垂线B ．垂直于AC ，但不垂直于MN C ．垂直于MN ，但不垂直于ACD ．与AC 、MC 都不垂直 答案 A解析 建立空间直角坐标系，通过向量运算可得．5．(2011·江苏扬州)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 是A 1D ，AC 的公垂线 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面 答案 B解析 设AB ＝1，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E (13，0，13)，F (23，13，0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝(13，13，－13)，BD 1→＝(－1，－1，1)，EF→＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .6．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4 D ．4，407，－15答案 B解析 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC →＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －1＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.二、填空题7．设平面α与向量a ＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2,3,1)垂直，则平面α与β位置关系是________．答案 垂直解析 由已知a ，b 分别是平面α，β的法向量． ∵a ·b ＝－2＋6－4＝0， ∴a ⊥b ，∴α⊥β.8．若|a |＝17，b ＝(1,2，－2)，c ＝(2,3,6)，且a ⊥b ，a ⊥c ，则a ＝________. 答案 (－185，2，15)或(185，－2，－15)解析 设a ＝(x ，y ，z )， ∵a ⊥b ，∴x ＋2y －2z ＝0.① ∵a ⊥c ，∴2x ＋3y ＋6z ＝0.② ∵|a |＝17.∴x 2＋y 2＋z 2＝17.③ ∴联立①②得x ＝－18z ，y ＝10z ， 代入③得425z 2＝17，z ＝±15.∴a ＝(－185，2，15)或(185，－2，－15)．9．设a ＝(1,2,0)，b ＝(1,0,1)，则“c ＝(23，－13，－23)”是“c ⊥a ，c ⊥b 且c 为单位向量”的________．(将正确的序号填上)．①充要条件 ②充分不必要条件 ③必要不充分条件④既非充分条件也非必要条件 答案 ②解析 当c ＝(23，－13，－23)时，c ⊥a ，c ⊥b 且c 为单位向量，反之则不成立．三、解答题10．棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在一点P 使B 1D ⊥平面PAC?解析 以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系设存在点P (0,0，z )，AP →＝(－a,0，z )，AC →＝(－a ，a,0)，DB 1→＝(a ，a ，a )． ∵B 1D ⊥平面PAC ， ∴DB 1→·AP →＝0，DB 1→·AC →＝0. ∴－a 2＋az ＝0.∴z ＝a ，即点P 与D 1重合．∴存在一点P ，即点P 与D 1重合时，DB 1⊥平面PAC .11．(2011·郑州质检)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，试在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .解析 如图所示，以D 为原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，CP ＝a ，则P (0,1，a )、A 1(1,0,1)、B 1(1,1,1)、E (12，1,0)、C 1(0,1,1)，∴A 1B 1→＝(0,1,0)，A 1P →＝(－1,1，a －1)， DE →＝(12，1,0)，DC 1→＝(0,1,1)．设平面A 1B 1P 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B 1→＝0，n 1·A 1P →＝0即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，－x 1＋y 1＋a －1z 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝a －1， ∴n 1＝(a －1,0,1)．设平面C 1DE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·DE →＝0，n 2·DC 1→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋y 2＝0，y 2＋z 2＝0.令x 2＝－2，y 2＝1，z 2＝－1，∴n 2＝(－2,1，－1)． ∵面A 1B 1P ⊥面C 1DE ，∴n 1·n 2＝0⇒－2(a －1)－1＝0，得a ＝12.∴当P 为C 1C 的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .12．已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，2AB ＝2AD ＝CD ，侧面PAD 是正三角形且垂直于底面ABCD ，E 是PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PCD ；(2)在PB 上是否存在一点F ，使AF ∥平面BDE?解析 (1)证明 以AD 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB ＝AD ＝2，则有B (1,2,0)，C (－1,4,0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)，E (－12，2，32)， ∴BE →＝(－32，0，32)，PC →＝(－1,4，－3)，CD →＝(0，－4,0)，∴BE →·PC →＝(－32，0，32)·(－1,4，－3)＝0，BE →·CD →＝(－32，0，32)·(0，－4,0)＝0.即BE ⊥PC ，BE ⊥CD .又PC ∩CD ＝C ，∴BE ⊥平面PCD .(2)解析 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵n ⊥BE →，n ⊥DE →，∴n ·BE →＝0，n ·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋32z ＝012x ＋2y ＋32z ＝0，令y ＝－1，则x ＝1，z ＝ 3.∴平面BDE 的一个法向量为(1，－1，3)． 取PB 中点F ，则有F (12，1，32)．又A (1,0,0)，∴AF →＝(－12，1，32)，∵AF →·n ＝(－12，1，32)·(1，－1，3)＝－12－1＋32＝0，∴AF →⊥n .又n 是平面BDE 的法向量，且AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE .故存在PB 中点F 使AF ∥平面BDE .13．(2010·北京卷，理)如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .解析 (1)设AC 与BD 交于点G ，因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，且CE ⊥AC ，所以CE ⊥平面ABCD .如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C －xyz .则C (0,0,0)，A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，F (22，22，1)．所以C F →＝(22，22，1)，B E →＝(0，－2，1)，D E →＝(－2，0,1)．所以C F →·B E →＝0－1＋1＝0，C F →·D E →＝－1＋0＋1＝0.所以CF ⊥BE ，CF ⊥DE ，所以CF ⊥平面BDE .。