高考数学一轮复习(一) 集合与函数

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高考数学(文)一轮复习课件:1-9函数与方程(人教A版)

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■ ·考点梳理· ■ 1. 函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交 点⇔函数y=f(x)有零点.
思考:上述等价关系在研究函数零点、方程的根及 图象交点问题时有什么作用?
思考:若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则y= f(x)在区间[a,b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲 线,且有f(a)·f(b)<0呢?
提示:不一定.由图(1)、(2)可知.
3.二分法 (1)二分法的定义 对于在区间[a,b]上连续不断且ff((aa))··ff((bb)<0 的函数y= f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二 , 使区间的两端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值 的方法叫做二分法. (2)用二分法求函数零点近似解的步骤 第一步:确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0 ,给定精 确度ε;
观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y=f(x)- log3|x|有4个零点.
3. [2012·徐州模拟]根据下面表格中的数据,可以判
定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为________.
x
-1 0 1 2
3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x+2 1 2 3 4
5
答案:(1,2)
3. 二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其 实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范 围,当达到一定的精确度要求时,所得区间的任一点就是 这个函数零点的近似值.
4. 要熟练掌握二分法的解题步骤,尤其是初始区间的 选取和最后精确度的判断.

高考数学第一轮复习知识点分类指导

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高考数学第一轮复习知识点分类指导一、集合与简易逻辑1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.(1)设p、q为两个非空实数子集,定义子集p+q={a?b|a?p,b?q},若p?{0,2,5},(答:8)q?{1,2,6},则p+q中元素的有________个。

(2)非空集合s?{1,2,3,4,5},且满足用户“若a?s,则6?a?s”,这样的s共计_____个(答:7)22.“极端”情况否忘掉a??:子集a?{x|ax?1?0},b?x|x?3x?2?0,且a?b?b,则实数a=______.(答:a1?0,1,)23.满足用户{1,2}??m?{1,2,3,4,5}子集m存有______个。

(请问:7)4.运算性质:设全集u?{1,2,3,4,5},若a?b?{2},(cua)?b?{4},(cua)?(cub)?{1,5},则a=_____,b=___.(请问:a?{2,3},b?{2,4})x?2},集合n=?y|y?x2,x?m?,则m?n?___(请问:[4??,);(2)设立子集m?{a|a)?(1,?2?)(?3?,4r),,??n?{a|a?(2,3)??(4,5),??r},则m?n?_____(请问:{(?2,?2)})6.补集思想:已知函数f(x)?4x2?2(p?2)x?2p2?p?1在区间[?1,1]上至少存在一3个实数c,并使f(c)?0,谋实数p的值域范围。

(请问:(?3,))25.集合的代表元素:(1)设集合m?{x|y?7.复合命题真假的判断:在下列说法中:⑴“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件;⑵“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件;⑶“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件;⑷“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件。

其中正确的是____答:⑴⑶)8.充要条件:(1)得出以下命题:①实数a?0就是直线ax?2y?1与2ax?2y?3平行的充要条件;②若a,b?r,ab?0就是a?b?a?b设立的充要条件;③未知x,y?r,“若xy?0,则x?0或y?0”的逆否命题是“若x?0或y?0则x y?0”;④“若a和b都是偶数,则a?b是偶数”的否命题是假命题。

高考数学一轮复习目录

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高考数学一轮复习目录一、集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词二.函数1.1 函数及其表示2.2函数的单调性与最值2.3函数的奇偶性与周期性2.4一次函数、二次函数2.5指数与指数函数2.6对数与对数函数2.7幂函数2.8函数的图象及其变换2.9函数与方程2.10函数模型及其应用三、导数及其应用3.1导数、导数的计算3.2导数在函数单调性、极值中的应用3.3导数在函数最值及生活实际中的应用3.4微积分基本定理四、三角函数、解三角形4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数4.2同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式4.3三角函数的图象与性质4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质4.5简单的三角恒等变换4.6正、余弦定理及其应用举例五、平面向量5.1平面向量的概念及其线性运算5.2平面向量的基本定理及坐标运算5.3平面向量的数量积及其应用六、数列6.1数列的概念与简单表示法6.2等差数列及其前n 项和6.3等比数列及其前n 项和6.4数列的通项与求和6.5数列的综合应用七、不等式7.1不等式的概念与性质7.2一元二次不等式及其解法7.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题7.4基本不等式及其应用八.立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图与直观图8.2空间几何体的表面积与体积8.3空间点、直线、平面之间的位置关系8.4直线、平面平行的判定及其性质8.5直线、平面垂直的判定及其性质8.6空间向量及其运算8.7空间向量的应用九、解析几何9.1直线及其方程9.2点与直线、直线与直线的位置关系9.3圆的方程9.4直线与圆、圆与圆的位置关系9.5椭圆9.6双曲线9.7抛物线9.8直线与圆锥曲线的位置关系9.9曲线与方程十.计数原理10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理10.2排列与组合10.3二项式定理十一、概率与统计11.1事件与概率11.2古典概型与几何概型11.3离散型随机变量及其分布列11.4二项分布及其应用11.5离散型随机变量的均值与方差、正态分布11.6随机抽样与用样本估计总体11.7变量间的相关关系十二、选修部分选修4-4 坐标系与参数方程选修4-5 不等式选讲十三、算法初步、推理与证明、复数12.1算法与程序框图12.2基本算法语句12.3合情推理与演绎推理12.4直接证明与间接证明12.5数学归纳法12.6数系的扩充与复数的引入。

高考数学一轮复习教学案函数及其表示(含解析)

高考数学一轮复习教学案函数及其表示(含解析)

第一节函数及其表示[知识能否忆起]1.函数的概念(1)函数的定义:一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应;那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.(2)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.(3)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(4)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.2.函数的表示法表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法.3.映射的概念设A,B是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么称对应f:A→B为集合A 到集合B的一个映射.4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.[小题能否全取]1.(教材习题改编)设g(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则f(x)等于()A.-2x+1B.2x-1C.2x-3 D.2x+7解析:选D f(x)=g(x+2)=2(x+2)+3=2x+7.2.(·江西高考)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x ≤1,2x ,x >1,则f (f (3))=( )A.15 B .3 C.23D.139解析:选D f (3)=23,f (f (3))=⎝⎛⎭⎫232+1=139. 3.已知集合A =[0,8],集合B =[0,4],则下列对应关系中,不能看作从A 到B 的映射的是( )A .f :x →y =18xB .f :x →y =14xC .f :x →y =12xD .f :x →y =x解析:选D 按照对应关系f :x →y =x ,对A 中某些元素(如x =8),B 中不存在元素与之对应.4.已知f ⎝⎛⎭⎫1x =x 2+5x ,则f (x )=____________. 解析:令t =1x ,则x =1t .所以f (t )=1t 2+5t .故f (x )=5x +1x 2(x ≠0).答案:5x +1x2(x ≠0)5.(教材习题改编)若f (x )=x 2+bx +c ,且f (1)=0,f (3)=0,则f (-1)=________.解析:由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1+b +c =0,9+3b +c =0,得⎩⎪⎨⎪⎧b =-4,c =3.即f (x )=x 2-4x +3.所以f (-1)=(-1)2-4×(-1)+3=8. 答案:81.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射,其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集,即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射.(2)映射不一定是函数,从A 到B 的一个映射,A 、B 若不是数集,则这个映射便不是函数.2.定义域与值域相同的函数,不一定是相同函数如函数y =x 与y =x +1,其定义域与值域完全相同,但不是相同函数;再如函数y =sin x 与y =cos x ,其定义域与值域完全相同,但不是相同函数.因此判断两个函数是否相同,关键是看定义域和对应关系是否相同.3.求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时,一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.函数的基本概念典题导入[例1] 有以下判断:(1)f (x )=|x |x 与g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≥0,-1,x <0表示同一函数;(2)函数y =f (x )的图象与直线x =1的交点最多有1个; (3)f (x )=x 2-2x +1与g (t )=t 2-2t +1是同一函数;(4)若f (x )=|x -1|-|x |,则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12=0. 其中正确判断的序号是________.[自主解答] 对于(1),由于函数f (x )=|x |x的定义域为{x |x ∈R ,且x ≠0},而函数g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≥0,-1,x <0的定义域是R ,所以二者不是同一函数;对于(2),若x =1不是y =f (x )定义域的值,则直线x =1与y =f (x )的图象没有交点,如果x =1是y =f (x )定义域内的值,由函数定义可知,直线x =1与y =f (x )的图象只有一个交点,即y =f (x )的图象与直线x =1最多有一个交点;对于(3),f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同,所以f (x )和g (t )表示同一函数;对于(4),由于f ⎝⎛⎭⎫12=⎪⎪⎪⎪12-1-⎪⎪⎪⎪12=0,所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12=f (0)=1. 综上可知,正确的判断是(2)(3). [答案] (2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均表示同一函数.以题试法1.试判断以下各组函数是否表示同一函数.(1)y=1,y=x0;(2)y=x-2·x+2,y=x2-4;(3)y=x,y=3t3;(4)y=|x|,y=(x)2.解:(1)y=1的定义域为R,y=x0的定义域为{x|x∈R,且x≠0},故它们不是同一函数.(2)y=x-2·x+2的定义域为{x|x≥2}.y=x2-4的定义域为{x|x≥2,或x≤-2},故它们不是同一函数.(3)y=x,y=3t3=t,它们的定义域和对应关系都相同,故它们是同一函数.(4)y=|x|的定义域为R,y=(x)2的定义域为{x|x≥0},故它们不是同一函数.求函数的解析式典题导入[例2] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x +1x =x 2+1x 2,求f (x )的解析式; (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x +1=lg x ,求f (x )的解析式;(3)已知f (x )是二次函数,且f (0)=0,f (x +1)=f (x )+x +1,求f (x ). [自主解答] (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x +1x =x 2+1x 2=⎝⎛⎭⎫x +1x 2-2, 所以f (x )=x 2-2,x ≥2或x ≤-2,故f (x )的解析式是f (x )=x 2-2(x ≥2或x ≤-2). (2)令2x +1=t 得x =2t -1,代入得f (t )=lg 2t -1,又x >0,所以t >1,故f (x )的解析式是f (x )=lg 2x -1(x >1).(3)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=0,知c =0,f (x )=ax 2+bx , 又由f (x +1)=f (x )+x +1,得a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1, 即ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =b +1,a +b =1,解得a =b =12.所以f (x )=12x 2+12x (x ∈R).由题悟法函数解析式的求法(1)配凑法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的解析式(如例(1));(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法(如例(3));(3)换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围(如例(2));(4)方程思想:已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x )(如A 级T6).以题试法2.(1)已知f (x +1)=x +2x ,求f (x )的解析式;(2)设y =f (x )是二次函数,方程f (x )=0有两个相等实根,且f ′(x )=2x +2,求f (x )的解析式.解:(1)法一:设t =x +1,则x =(t -1)2(t ≥1);代入原式有f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-2t +1+2t -2=t 2-1. 故f (x )=x 2-1(x ≥1).法二:∵x +2x =(x )2+2x +1-1=(x +1)2-1, ∴f (x +1)=(x +1)2-1(x +1≥1), 即f (x )=x 2-1(x ≥1). (2)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 则f ′(x )=2ax +b =2x +2, ∴a =1,b =2,f (x )=x 2+2x +c . 又∵方程f (x )=0有两个相等实根, ∴Δ=4-4c =0,c =1,故f (x )=x 2+2x +1.分 段 函 数典题导入[例3] (·广州调研考试)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x ,x ∈(-∞,1),x 2,x ∈[1,+∞),若f (x )>4,则x 的取值范围是______.[自主解答] 当x <1时,由f (x )>4,得2-x >4,即x <-2;当x ≥1时,由f (x )>4得x 2>4,所以x >2或x <-2, 由于x ≥1,所以x >2. 综上可得x <-2或x >2.[答案] (-∞,-2)∪(2,+∞)若本例条件不变,试求f (f (-2))的值. 解:∵f (-2)=22=4, ∴f (f (-2))=f (4)=16.由题悟法求分段函数的函数值时,应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解,有时每段交替使用求值.若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.以题试法3.(·衡水模拟)已知f (x )的图象如图,则f (x )的解析式为________. 解析:由图象知每段为线段.设f (x )=ax +b ,把(0,0),⎝⎛⎭⎫1,32和⎝⎛⎭⎫1,32,(2,0)分别代入, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =32,b =0,⎩⎪⎨⎪⎧a =-32,b =3.答案:f (x )=⎩⎨⎧32x ,0≤x ≤1,3-32x ,1≤x ≤21.下列四组函数中,表示同一函数的是( ) A .y =x -1与y =(x -1)2 B .y =x -1与y =x -1x -1C .y =4lg x 与y =2lg x 2D .y =lg x -2与y =lg x100答案:D2.下列函数中,与函数y =13x定义域相同的函数为( )A .y =1sin xB .y =ln xxC .y =x e xD .y =sin xx解析:选D 函数y =13x的定义域为{x |x ≠0},选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π,k ∈Z ,故A 不对;选项B 中x >0,故B 不对;选项C 中x ∈R ,故C 不对;选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}.3.(·安徽高考)下列函数中,不满足f (2x )=2f (x )的是( ) A .f (x )=|x |B .f (x )=x -|x |C .f (x )=x +1D .f (x )=-x解析:选C 对于选项A ,f (2x )=|2x |=2|x |=2f (x );对于选项B ,f (x )=x -|x |=⎩⎪⎨⎪⎧0,x ≥0,2x ,x <0,当x ≥0时,f (2x )=0=2f (x ),当x <0时,f (2x )=4x =2·2x =2f (x ),恒有f (2x )=2f (x );对于选项D ,f (2x )=-2x =2(-x )=2f (x );对于选项C ,f (2x )=2x +1=2f (x )-1.4.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-cos (πx ),x >0,f (x +1)+1,x ≤0,则f ⎝⎛⎭⎫43+f ⎝⎛⎭⎫-43的值等于( ) A .-2 B .1 C .2D .3解析:选D f ⎝⎛⎭⎫43=12,f ⎝⎛⎭⎫-43=f ⎝⎛⎭⎫-13+1=f ⎝⎛⎭⎫23+2=52,f ⎝⎛⎭⎫43+f ⎝⎛⎭⎫-43=3. 5.现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析:选C 从球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.6.若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )-f (-x )=3x +1,则f (x )=( )A .x -1B .x +1C .2x +1D .3x +3解析:选B 由题意知2f (x )-f (-x )=3x +1.① 将①中x 换为-x ,则有2f (-x )-f (x )=-3x +1.② ①×2+②得3f (x )=3x +3, 即f (x )=x +1.7.已知f (x )=x 2+px +q 满足f (1)=f (2)=0,则f (-1)=________. 解析:由f (1)=f (2)=0,得⎩⎪⎨⎪⎧ 12+p +q =0,22+2p +q =0,所以⎩⎪⎨⎪⎧p =-3,q =2.故f (x )=x 2-3x +2.所以f (-1)=(-1)2+3+2=6. 答案:68.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2ax ,x ≥2,2x +1,x <2,若f (f (1))>3a 2,则a 的取值范围是________.解析:由题知,f (1)=2+1=3,f (f (1))=f (3)=32+6a ,若f (f (1))>3a 2,则9+6a >3a 2,即a 2-2a -3<0,解得-1<a <3.答案:(-1,3)9.设集合M ={x |0≤x ≤2},N ={y |0≤y ≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________.解析:由函数的定义,对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ,据此排除①④,③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意.答案:②10.若函数f (x )=xax +b (a ≠0),f (2)=1,又方程f (x )=x 有唯一解,求f (x )的解析式.解:由f (2)=1得22a +b=1,即2a +b =2;由f (x )=x 得x ax +b =x ,变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax +b -1=0,解此方程得x =0或x =1-ba ,又因方程有唯一解,故1-ba =0,解得b =1,代入2a +b =2得a =12,所以f (x )=2x x +2. 11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2 km ,甲10时出发前往乙家.如图所示,表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系.试写出y =f (x )的函数解析式.解:当x ∈[0,30]时,设y =k 1x +b 1, 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1=0,30k 1+b 1=2,解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1=115,b 1=0.即y =115x .当x ∈(30,40)时,y =2; 当x ∈[40,60]时,设y =k 2x +b 2,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2+b 2=2,60k 2+b 2=4,解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2=110,b 2=-2.即y =110x -2.综上,f (x )=⎩⎨⎧115x ,x ∈[0,30],2,x ∈(30,40),110x -2,x ∈[40,60].12.如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象.(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义;(2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议,如图2、3所示.你能根据图象,说明这两种建议的意义吗?(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么? (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元?解:(1)点A 表示无人乘车时收支差额为-20元,点B 表示有10人乘车时收支差额为0元,线段AB 上的点表示亏损,AB 延长线上的点表示赢利.(2)图2的建议是降低成本,票价不变,图3的建议是提高票价. (3)斜率表示票价.(4)图1、2中的票价是2元.图3中的票价是4元.1.(·北京高考)根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f (x )=⎩⎨⎧cx ,x <A ,cA ,x ≥A(A ,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是( )A .75,25B .75,16C .60,25D .60,16解析:选D 因为组装第A 件产品用时15分钟, 所以cA=15,① 所以必有4<A ,且c 4=c2=30.② 联立①②解得c =60,A =16.2.(·江西红色六校联考)具有性质:f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①y =x -1x ;②y =x +1x ;③y =⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A .①②B .①③C .②③D .①解析:选B 对于①,f (x )=x -1x ,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x-x =-f (x ),满足;对于②,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x +x =f (x ),不满足;对于③,f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,0<1x<1,0,1x =1,-x ,1x >1,即f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x,x >1,0,x =1,-x ,0<x <1,故f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x ),满足.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.3.二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x ,且f (0)=1.(1)求f (x )的解析式; (2)解不等式f (x )>2x +5.解:(1)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). ∵f (0)=1,∴c =1.把f (x )的表达式代入f (x +1)-f (x )=2x ,有 a (x +1)2+b (x +1)+1-(ax 2+bx +1)=2x . ∴2ax +a +b =2x . ∴a =1,b =-1. ∴f (x )=x 2-x +1.(2)由x 2-x +1>2x +5,即x 2-3x -4>0, 解得x >4或x <-1.故原不等式解集为{x |x >4,或x <-1}.1.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x +2,x <1,x 2+ax ,x ≥1,若f (f (0))=4a ,则实数a =________.解析:∵f (0)=3×0+2=2,f (f (0))=f (2)=4+2a =4a ,∴a=2.答案:22.若函数的定义域为{x|-3≤x≤6,且x≠4},值域为{y|-2≤y≤4,且y≠0},试在下图中画出满足条件的一个函数的图象.解:本题答案不唯一,函数图象可画为如图所示.3.已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.(1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);(2)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析式.解:(1)因为对任意x∈R有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2,又f(2)=3,从而f(1)=1.若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.(2)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,又有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,故对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0.在上式中令x=x0,有f(x0)-x20+x0=x0.又因为f(x0)=x0,所以x0-x20=0,故x0=0或x0=1.若x0=0,则f(x)=x2-x,但方程x2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾,故x0≠0.若x0=1,则有f(x)=x2-x+1,易证该函数满足题设条件.综上,所求函数f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.。

【名师导学】高考数学第一轮总复习 1

【名师导学】高考数学第一轮总复习 1

A.{0}
B.{1}
C.{1,2}
D.{0,2}
【解析】∵N={x|x=2a+1,a∈M}={1,3,5}. ∴M∩N={1},选B.
3.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和 N={x|x2+x=0}关系的韦恩图是( B)
【解析】∵N={x|x2+x=0}={-1,0} M={-1,0,1}. ∴选B.
4.(2011辽宁)已知M,N为集合I的非空真子集,且 M,N不相等,若N∩∁IM=∅,则M∪N=( A)
A.M
B.N
C.I
D.∅
【解析】利用韦恩图:N M,∴M∪N=M,∴选A.
5.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0}, B={x|x=2a,a∈A},则集合∁U(A∪B)中元素的个数共 有__2__个.
【解析】由已知得M∩N={2,3},∴∁U(M∩N)= {1,4},选D.
4.(2011广东)已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且
x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且y=x},则
A∩B的元素的个数为( C)
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】集合A表示的是圆心在原点的单位圆,集合 B表示的是直线y=x,画图可知选C.
1.确定一个集合的依据是:一是判断集合的元素 是什么?二是理解元素的属性有哪些?
2.判断集合之间的包含关系,关键是理解符号 “⊆”的含义.注意∅对问题的影响.
3.对求解含有参数的集合运算问题,能化简的集 合应先化简,以便使问题进一步明朗化.
4.集合问题多与函数、方程、不等式、解析几何 等有关.在解题时,要注意相关知识间的联系.
③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 3等式性质与不等式性质课件

高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 3等式性质与不等式性质课件
ABC.
2
0时,

= 0,D错误.故选
【点拨】已知 < < , < < ,求 , (如 + ,3
2
− 4,, ,


等) 的取值范围时,通常利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求解.
变式3(1) 若1 < < 3,−4 < < 2,则 − 的取值范围是(
通分、分母(分子)有理化等.③判断符号(判断商和“1”的大小关系). ④给出结论.
变式2(1) 已知 = + 1 + + 4, = + 2 + + 3,则与的大小关系是
(
)
A. >
解:2 = 2 + 5 + 2
B. >

C. =
+ 1 + 4 , 2 = 2 + 5 + 2
性质1:如果 = ,那么 = ;
性质2:如果 = , = ,那么 = ;
性质3:如果 = ,那么 ± = ± ;
性质4:如果 = ,那么 = ;
性质5:如果 = , ≠

0,那么

=

.

3.不等式的基本性质
序号
性质1
性质2
性质3
性质4
性质5
性质

2
所以3 < 2 − 3 < 8,即2 − 3 ∈ 3,8 .
+
=
,
= + ,
2
(方法二)令ቊ
则൞

= − ,
=
,
2

高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1 第1讲 集合及其运算教学案-高三全册数学教学案

高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1 第1讲 集合及其运算教学案-高三全册数学教学案

第一章集合与常用逻辑用语知识点最新考纲集合了解集合、元素的含义及其关系.理解集合的表示法.了解集合之间的包含、相等关系.理解全集、空集、子集的含义.会求简单集合间的并集、交集.理解补集的含义并会求补集.命题及其关系、充分条件与必要条件了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义,及其相互之间的关系.理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义,能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.1.集合与元素(1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N+)Z Q R表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B,且存在x0∈B,x0∉AA B或B A 相等集合A,B的元素完全A⊆B,A=B相同B⊆A空集不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集任意x,x∉∅,∅⊆A ∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B={x|x∈A,或x∈B}A∩B={x|x∈A,且x∈B}∁U A={x|x∈U,且x∉A}(1)并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.(2)交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.(3)补集的性质:A∪(∁U A)=U;A∩(∁U A)=∅.(4)∁U(∁U A)=A;∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B);∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B).[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( )(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )(3){x|x≤1}={t|t≤1}.( )(4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )(5)若A∩B=A∩C,则B=C.( )答案:(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×[教材衍化]1.(必修1P12A 组T3改编)若集合P ={x ∈N |x ≤ 2 021},a =22,则( )A .a ∈PB .{a }∈PC .{a }⊆PD .a ∉P解析:选D.因为a =22不是自然数,而集合P 是不大于 2 021的自然数构成的集合,所以a ∉P .故选D.2.(必修1P11例9改编)已知U ={α|0°<α<180°},A ={x |x 是锐角},B ={x |x 是钝角},则∁U (A ∪B )=________.答案:{x |x 是直角}3.(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为________.解析:集合A 表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆,集合B 表示直线y =x ,圆x 2+y 2=1与直线y =x 相交于两点⎝⎛⎭⎪⎪⎫22,22,⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-22,-22,则A ∩B 中有两个元素. 答案:2 [易错纠偏](1)忽视集合中元素的互异性致误; (2)忽视空集的情况致误; (3)忽视区间端点值致误.1.已知集合A ={1,3,m },B ={1,m },若B ⊆A ,则m =________.解析:因为B ⊆A ,所以m =3或m =m ,即m =3或m =0或m =1,根据集合元素的互异性可知,m ≠1,所以m =0或3.答案:0或32.已知集合M ={x |x -2=0},N ={x |ax -1=0},若M ∩N =N ,则实数a 的值是________.解析:易得M ={2}.因为M ∩N =N ,所以N ⊆M ,所以N =∅或N =M ,所以a =0或a =12.答案:0或123.已知集合A ={x |x 2-4x +3<0},B ={x |2<x <4},则A ∩B =________,A ∪B =________,(∁R A )∪B =________.解析:由已知得A ={x |1<x <3},B ={x |2<x <4},所以A ∩B ={x |2<x <3},A ∪B ={x |1<x <4},(∁R A )∪B ={x |x ≤1或x >2}.答案:(2,3) (1,4) (-∞,1]∪(2,+∞) 集合的含义(1)已知集合A ={0,1,2},则集合B ={(x ,y )|x ≥y ,x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是( )A .1B .3C .6D .9(2)若集合A ={x ∈R |ax 2-3x +2=0}中只有一个元素,则a =( )A .92B .98C .0D .0或98(3)设a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,b a ,b ,则b -a =________.【解析】 (1)当x =0时,y =0;当x =1时,y =0或y =1;当x =2时,y =0,1,2.故集合B ={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},即集合B 中有6个元素. (2)当a =0时,显然成立; 当a ≠0时,Δ=(-3)2-8a =0, 即a =98.(3)因为{1,a +b ,a }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,b a ,b ,a ≠0,所以a +b =0,则ba=-1,所以a =-1,b =1. 所以b -a =2.【答案】 (1)C (2)D (3)2与集合中的元素有关问题的求解步骤1.(2020·温州八校联考)已知集合M ={1,m +2,m 2+4},且5∈M ,则m 的值为( )A .1或-1B .1或3C .-1或3D .1,-1或3解析:选B.因为5∈{1,m +2,m 2+4},所以m +2=5或m 2+4=5,即m =3或m =±1.当m =3时,M ={1,5,13};当m =1时,M ={1,3,5};当m =-1时,不满足互异性.所以m 的值为3或1.2.已知集合A ={x |x ∈Z ,且32-x ∈Z },则集合A 中的元素个数为________.解析:因为32-x ∈Z ,所以2-x 的取值有-3,-1,1,3,又因为x ∈Z ,所以x 的值分别为5,3,1,-1,故集合A 中的元素个数为4.答案:4集合的基本关系(1)(2020·浙江省绿色联盟联考)已知A ⊆B ,A ⊆C ,B ={2,0,1,8},C ={1,9,3,8},则集合A 可以为( )A .{1,8}B .{2,3}C .{0}D .{9}(2)已知集合A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围为________.【解析】 (1)因为A ⊆B ,A ⊆C ,所以A ⊆{B ∩C }={1,8},故选A.(2)因为B ⊆A ,所以①若B =∅,则2m -1<m +1,此时m <2. ②若B ≠∅,则⎩⎪⎨⎪⎧2m -1≥m +1,m +1≥-2,2m -1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得,符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.【答案】 (1)A (2)(-∞,3]1.(变条件)在本例(2)中,若A ⊆B ,如何求解?解:若A ⊆B ,则⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤-2,2m -1≥5,即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤-3,m ≥3. 所以m 的取值范围为∅.2.(变条件)若将本例(2)中的集合A 改为A ={x |x <-2或x >5},如何求解?解:因为B ⊆A ,所以①当B =∅时,即2m -1<m +1时,m <2,符合题意. ②当B ≠∅时,⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤2m -1,m +1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤2m -1,2m -1<-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2,m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2,m <-12.即m >4.综上可知,实数m 的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞).1.设P ={y |y =-x 2+1,x ∈R },Q ={y |y =2x,x ∈R },则( ) A .P ⊆Q B .Q ⊆P C .∁R P ⊆QD .Q ⊆∁R P解析:选C.因为P ={y |y =-x 2+1,x ∈R }={y |y ≤1},Q ={y |y =2x,x ∈R }={y |y >0},所以∁R P ={y |y >1},所以∁R P ⊆Q ,选C.2.(2020·绍兴调研)设A={1,4,2x},B={1,x2},若B⊆A,则x=________.解析:由B⊆A,则x2=4,或x2=2x.当x2=4时,x=±2;当x2=2x时,x=0或x=2.但当x=2时,2x=4,这与集合中元素的互异性相矛盾.故x=-2或x=0.答案:-2或03.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x ∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________.解析:由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,所以A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},所以满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.答案:4集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年高考的热点,每年必考,常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题,主要以选择题的形式出现.试题多为低档题.主要命题角度有:(1)求集合间的交、并、补运算;(2)已知集合的运算结果求参数.角度一求集合间的交、并、补运算(1)(2018·高考浙江卷)已知全集U={1,2,3,4,5},A ={1,3},则∁U A=( )A.∅B.{1,3}C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5}(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U={-1,0,1,2,3},集∁U A∩B=( )合A={0,1,2},B={-1,0,1},则()A.{-1} B.{0,1}C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,3}(3)(2020·浙江高考模拟)设全集U=R,集合A={x|x2-x-2<0},B={x|1<x<3},则A∪B=________,∁U(A∩B)=________.【解析】(1)因为U={1,2,3,4,5},A={1,3},所以∁U A={2,4,5}.故选C.(2)由题意可得∁U A={-1,3},则(∁U A)∩B={-1}.故选A.(3)因为A={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},所以A∪B={x|-1<x<3}.又因为A∩B={x|1<x<2},所以∁U(A∩B)={x|x≤1或x≥2}.【答案】(1)C (2)A (3)(-1,3) (-∞,1]∪[2,+∞)角度二已知集合的运算结果求参数(1)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B ={1},则B=( )A.{1,-3} B.{1,0}C.{1,3} D.{1,5}(2)(2020·浙江新高考优化卷)已知A={x|x>1},B={x|x<m}.若A∪B=R,则m的值可以是( )A.-1 B.0C.1 D.2【解析】(1)因为A∩B={1},所以1∈B,所以1-4+m=0,所以m=3.由x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.所以B={1,3}.经检验符合题意.故选C.(2)因为A∪B=R,所以m>1.故m的值可以是2,故选D.【答案】(1)C (2)D(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的,常用Venn图求解.②若集合中的元素是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.②若集合能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.[提醒] 在求出参数后,注意结果的验证(满足互异性).1.已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=( )A.[2,3] B.(-2,3]C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)解析:选B.由于Q={x|x≤-2或x≥2},∁R Q={x|-2<x<2},故得P∪(∁R Q)={x|-2<x≤3}.故选B.2.设全集S={1,2,3,4},且A={x∈S|x2-5x+m=0},若∁S A={2,3},则m=________.解析:因为S={1,2,3,4},∁S A={2,3},所以A={1,4},即1,4是方程x2-5x+m=0的两根,由根与系数的关系可得m=1×4=4.答案:4核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,这类试题只是以集合为依托,考查考生对新概念的理解,充分体现了核心素养中的数学抽象.对于E={a1,a2,...,a100}的子集X={ai1,ai2,...,ai k},定义X的“特征数列”为x1,x2,...,x100,其中xi1=xi2=...=xi k =1,其余项均为0.例如:子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0, 0(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于________;(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100满足p1=1,p i+p i+1=1,1≤i≤99,E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100满足q1=1,q j+q j+1+q j+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为________.【解析】(1)由已知可得子集{a1,a3,a5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,…,0,故其前3项和为2.(2)由已知可得子集P 为{a 1,a 3,…,a 99},子集Q 为{a 1,a 4,a 7,…,a 100},则两个子集的公共元素为a 1到a 100以内项数被6除余1的数对应的项,即a 1,a 7,…,a 97,共17项.【答案】 (1)2 (2)17解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在.(2)用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.设数集M ={x |m ≤x ≤m +34},N ={x |n -13≤x ≤n },且M ,N 都是集合U ={x |0≤x ≤1}的子集,定义b -a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”,则集合M ∩N 的长度的最小值为________.解析:在数轴上表示出集合M 与N (图略),可知当m =0且n =1或n -13=0且m +34=1时,M ∩N 的“长度”最小.当m =0且n =1时,M ∩N ={x |23≤x ≤34}, 长度为34-23=112;当n =13且m =14时,M ∩N ={x |14≤x ≤13}, 长度为13-14=112. 综上,M ∩N 的长度的最小值为112. 答案:112[基础题组练]1.已知集合A ={1,2,3,4},B ={2,4,6,8},则A ∩B 中元素的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选B.因为集合A 和集合B 有共同元素2,4,所以A ∩B ={2,4},所以A ∩B 中元素的个数为2.2.(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A ={}x |e x≤1,B ={}x |ln x ≤0,则A ∪B =( )A .(-∞,1]B .(0,1]C .[1,e]D .(0,e]解析:选A.因为A ={}x |e x ≤1={}x |x ≤0, B ={}x |ln x ≤0={}x |0<x ≤1,所以A ∪B =(-∞,1],故选A.3.(2020·宁波高考模拟)已知全集U =A ∪B ={x ∈Z |0≤x ≤6},A ∩(∁U B )={1,3,5},则B =( )A .{2,4,6}B .{1,3,5}C.{0,2,4,6} D.{x∈Z|0≤x≤6}解析:选C.因为全集U=A∪B={x∈Z|0≤x≤6}={0,1,2,3,4,5,6},A∩(∁U B)={1,3,5},所以B={0,2,4,6},故选C.4.设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=( )A.{2} B.{1,2,4}C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5}解析:选B.因为A={1,2,6},B={2,4},所以A∪B={1,2,4,6},又C={x∈R|-1≤x≤5},所以(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.5.(2020·宜春中学、新余一中联考)已知全集为R,集合A={x|x2-5x-6<0},B={x|2x<1},则图中阴影部分表示的集合是( )A.{x|2<x<3} B.{x|-1<x≤0}C.{x|0≤x<6} D.{x|x<-1}解析:选C.由x2-5x-6<0,解得-1<x<6,所以A={x|-1<x<6}.由2x<1,解得x<0,所以B={x|x<0}.又图中阴影部分表示的集合为(∁R B)∩A,因为∁R B={x|x≥0},所以(∁R B)∩A={x|0≤x<6},故选C.6.已知集合A={x|x2-3x<0},B={1,a},且A∩B有4个子集,则实数a的取值范围是( )A.(0,3) B.(0,1)∪(1,3)C .(0,1)D .(-∞,1)∪(3,+∞)解析:选B.因为A ∩B 有4个子集,所以A ∩B 中有2个不同的元素,所以a ∈A ,所以a 2-3a <0,解得0<a <3且a ≠1,即实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3),故选B.7.设U ={x ∈N *|x <9},A ={1,2,3},B ={3,4,5,6},则(∁U A )∩B =( )A .{1,2,3}B .{4,5,6}C .{6,7,8}D .{4,5,6,7,8} 解析:选B.因为U ={1,2,3,4,5,6,7,8},所以∁U A ={4,5,6,7,8},所以(∁U A )∩B ={4,5,6,7,8}∩{3,4,5,6}={4,5,6}.故选B.8.设集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫5,b a ,a -b ,B ={b ,a +b ,-1},若A ∩B ={2,-1},则A ∪B =( )A .{-1,2,3,5}B .{-1,2,3}C .{5,-1,2}D .{2,3,5}解析:选A.由A ∩B ={2,-1},可得⎩⎪⎨⎪⎧b a =2,a -b =-1或⎩⎪⎨⎪⎧b a =-1,a -b =2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a =2,a -b =-1时,⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =2.此时B ={2,3,-1},所以A ∪B ={-1,2,3,5};当⎩⎪⎨⎪⎧b a =-1,a -b =2时,⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-1,此时不符合题意,舍去. 9.已知集合P ={n |n =2k -1,k ∈N *,k ≤50},Q ={2,3,5},则集合T ={xy |x ∈P ,y ∈Q }中元素的个数为( )A .147B .140C .130D .117 解析:选B.由题意得,y 的取值一共有3种情况,当y =2时,xy 是偶数,不与y =3,y =5有相同的元素,当y =3,x =5,15,25,…,95时,与y =5,x =3,9,15,…,57时有相同的元素,共10个,故所求元素个数为3×50-10=140,故选B.10.(2020·温州质检)已知全集U =R ,集合A ={x |x 2-3x +2>0},B ={x |x -a ≤0},若∁U B ⊆A ,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,1)B .(-∞,2]C .[1,+∞)D .[2,+∞) 解析:选D.因为x 2-3x +2>0,所以x >2或x <1.所以A ={x |x >2或x <1},因为B ={x |x ≤a },所以∁U B ={x |x >a }.因为∁U B ⊆A ,借助数轴可知a ≥2,故选D.11.集合A ={0,2,a },B ={1,a 2},若A ∪B ={0,1,2,4,16},则a 的值为________.解析:根据并集的概念,可知{a ,a 2}={4,16},故只能是a =4.答案:412.(2020·宁波效实中学模拟)已知全集U =R ,集合A ={x |-1≤x≤3},集合B={x|log2(x-2)<1},则A∪B=________;A∩(∁U B)=________.解析:log2(x-2)<1⇒0<x-2<2⇒2<x<4⇒B=(2,4),所以A∪B =[-1,4),A∩(∁U B)=[-1,2].答案:[-1,4) [-1,2]13.设集合A={n|n=3k-1,k∈Z},B={x||x-1|>3},则B =________,A∩(∁R B)=________.解析:当k=-1时,n=-4;当k=0时,n=-1;当k=1时,n=2;当k=2时,n=5.由|x-1|>3,得x-1>3或x-1<-3,即x>4或x<-2,所以B={x|x<-2或x>4},∁R B={x|-2≤x≤4},A∩(∁R B)={-1,2}.答案:{x|x<-2或x>4} {-1,2}14.(2020·浙江省杭州二中高三年级模拟)设全集为R,集合M={x∈R|x2-4x+3>0},集合N={x∈R|2x>4},则M∩N=________;∁R(M∩N)=________.解析:M={x∈R|x2-4x+3>0}={x|x<1或x>3},N={x∈R|2x>4}={x|x>2},所以M∩N=(3,+∞),所以∁R(M∩N)=(-∞,3].答案:(3,+∞)(-∞,3]15.已知集合M={x|x2-4x<0},N={x|m<x<5},若M∩N={x|3<x<n},则m=________,n=________.解析:由x2-4x<0得0<x<4,所以M={x|0<x<4}.又因为N ={x|m<x<5},M∩N={x|3<x<n},所以m=3,n=4.答案:3 416.设全集U={x∈N*|x≤9},∁U(A∪B)={1,3},A∩(∁U B)={2,4},则B =________.解析:因为全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9},由∁U (A ∪B )={1,3},得A ∪B ={2,4,5,6,7,8,9},由A ∩(∁U B )={2,4}知,{2,4}⊆A ,{2,4}⊆∁U B .所以B ={5,6,7,8,9}.答案:{5,6,7,8,9}17.已知集合A ={x |1≤x <5},C ={x |-a <x ≤a +3},若C ∩A =C ,则a 的取值范围是________.解析:因为C ∩A =C ,所以C ⊆A .①当C =∅时,满足C ⊆A ,此时-a ≥a +3,得a ≤-32; ②当C ≠∅时,要使C ⊆A ,则⎩⎪⎨⎪⎧-a <a +3,-a ≥1,a +3<5,解得-32<a ≤-1. 综上,可得a 的取值范围是(-∞,-1].答案:(-∞,-1][综合题组练]1.(2020·金华东阳二中高三调研)已知全集U 为R ,集合A ={x |x 2<16},B ={x |y =log 3(x -4)},则下列关系正确的是( )A .A ∪B =RB .A ∪(∁U B )=RC .(∁U A )∪B =RD .A ∩(∁U B )=A 解析:选D.因为A ={x |-4<x <4},B ={x |x >4},所以∁U B ={x |x ≤4},所以A ∩(∁U B )=A ,故选D.2.集合A ={x |y =ln(1-x )},B ={x |x 2-2x -3≤0},全集U =A ∪B ,则∁U (A ∩B )=( )A .{x |x <-1或x ≥1}B .{x |1≤x ≤3或x <-1}C .{x |x ≤-1或x >1}D .{x |1<x ≤3或x ≤-1}解析:选 B.集合A ={x |y =ln(1-x )}={x |1-x >0}={x |x <1},B ={x |x 2-2x -3≤0}={x |(x +1)(x -3)≤0}={x |-1≤x ≤3},所以U =A ∪B ={x |x ≤3},所以A ∩B ={x |-1≤x <1};所以∁U (A ∩B )={x |1≤x ≤3或x <-1}.故选B.3.(2020·浙江新高考联盟联考)已知集合A ={1,2,m },B ={1,m },若B ⊆A ,则m =________,∁A B =________.解析:由题意,当m =2时,A ={1,2,2},B ={1,2},满足B ⊆A ;当m =m ,即m =0或1时,若m =0,则A ={1,2,0},B ={1,0},满足B ⊆A .若m =1,则A ={1,3,1},B ={1,1},不满足集合中元素的互异性,所以m =1舍去.当m =2时,∁A B ={2};当m =0时,∁A B ={2}.答案:0或2 {2}或{2}4.函数g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ∈P ,-x ,x ∈M ,其中P ,M 为实数集R 的两个非空子集,规定f (P )={y |y =g (x ),x ∈P },f (M )={y |y =g (x ),x ∈M }.给出下列四个命题:①若P ∩M =∅,则f (P )∩f (M )=∅;②若P ∩M ≠∅,则f (P )∩f (M )≠∅;③若P ∪M =R ,则f (P )∪f (M )=R ;④若P ∪M ≠R ,则f (P )∪f (M )≠R .其中命题不正确的有________.解析:①若P ={1},M ={-1},则f (P )={1},f (M )={1},则f (P )∩f (M )≠∅,故①错.②若P ={1,2},M ={1},则f (P )={1,2},f (M )={-1},则f (P )∩f (M )=∅.故②错.③若P ={非负实数},M ={负实数},则f (P )={非负实数},f (M )={正实数},则f (P )∪f (M )≠R ,故③错.④若P ={非负实数},M ={正实数},则f (P )={非负实数},f (M )={负实数},则f (P )∪f (M )=R ,故④错.答案:①②③④5.设[x ]表示不大于x 的最大整数,集合A ={x |x 2-2[x ]=3},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8,求A ∩B .解:不等式18<2x <8的解为-3<x <3, 所以B =(-3,3).若x ∈A ∩B ,则⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2[x ]=3-3<x <3, 所以[x ]只可能取值-3,-2,-1,0,1,2.若[x ]≤-2,则x 2=3+2[x ]<0,没有实数解;若[x ]=-1,则x 2=1,得x =-1;若[x ]=0,则x 2=3,没有符合条件的解;若[x ]=1,则x 2=5,没有符合条件的解;若[x ]=2,则x 2=7,有一个符合条件的解,x =7. 因此,A ∩B ={}-1,7.6.已知集合A ={x |1<x <3},集合B ={x |2m <x <1-m }.(1)当m =-1时,求A ∪B ;(2)若A ⊆B ,求实数m 的取值范围;(3)若A ∩B =∅,求实数m 的取值范围.解:(1)当m =-1时,B ={x |-2<x <2},则A ∪B ={x |-2<x <3}.(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1-m >2m ,2m ≤1,1-m ≥3,得m ≤-2,即实数m 的取值范围为(-∞,-2].(3)由A ∩B =∅,得①若2m ≥1-m ,即m ≥13时,B =∅,符合题意; ②若2m <1-m ,即m <13时,需⎩⎪⎨⎪⎧m <13,1-m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13,2m ≥3,得0≤m <13或∅,即0≤m <13. 综上知m ≥0,即实数m 的取值范围为[0,+∞).。

备战高考数学一轮复习集合与函数知识点

备战高考数学一轮复习集合与函数知识点

备战高考数学一轮复习集合与函数知识点
号和或单调区间不能用集合或不等式表示。

12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的
大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题)。

这几种基本应用你掌握了吗?
14.解对数函数问题时,你注意到真数与底数的限制条件了吗?
(真数大于零,底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?
16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性,易忽略参数的范围。

17.实系数一元二次方程有实数解转化时,你是否注意到:当时,方程有解不能转化为。

若原题中没有指出是二次方程,二次函数或二次不等式,你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?
集合与函数知识点的全部内容就是这些,查字典数学网希望对考生复习有帮助。

2021届高考数学(文科全国通用)一轮总复习阶段滚动月考卷(一)集合与常用逻辑用语、函数与导数

2021届高考数学(文科全国通用)一轮总复习阶段滚动月考卷(一)集合与常用逻辑用语、函数与导数

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阶段滚动月考卷(一)集合与常用规律用语、函数与导数(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合P={x|x2-x-2≥0},Q={y|y=12x2−1,x∈P},则P∩Q= ( )A.{m|-1≤m<2}B.{m|-1<m<2}C.{m|m≥2}D.{-1}2.(2022·德州模拟)已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)3.(2022·潍坊模拟)已知幂函数f(x)的图象过点(4,12),则f(8)的值为( )A.√24B.64 C.2√2 D.1644.“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2022·烟台模拟)已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f ′(x)的零点所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)6.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的微小值点,以下结论肯定正确的是( )A.∀x∈R,f(x)≥f(x0)B.-x0是f(-x)的极大值点C.-x0是-f(x)的微小值点D.-x0是-f(-x)的极大值点7.(2022·青岛模拟)设a=20.3,b=0.32,c=log x(x2+0.3)(x>1),则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a8.过函数f(x)=3x-x3图象上一点A(2,-2)的切线方程为( )A.y=-2B.y=2C.9x+y-16=0D.9x+y-16=0或y=-29.(2021·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率状况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油10.(2022·大连模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3e x+1,那么函数f(x)的极值点的个数是( )A.5B.4C.3D.2二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2022·北京模拟)曲线y=x3+mx+c在点P(1,n)处的切线方程为y=2x+1,其中m,n,c∈R,则m+n+c= .12.(2022·烟台模拟)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=-1f(x),当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(−112)= .13.f(x)=log2a[(a2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数,则实数a的取值范围是.14.(2022·绍兴模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=-1f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-log a(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是.15.(2022·莱芜模拟)已知定义域为R的函数f(x),对于x∈R,满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,则实数x0的值为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12分)(2022·泰安模拟)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R}, B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值.(2)若ARB,求实数m的取值范围.17.(12分)设a>0,且a≠1,已知函数f(x)=log a1−bxx−1是奇函数.(1)求实数b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.(3)当x∈(1,a-2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数a的值.18.(12分)某地拟建一座长为640米的大桥AB,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩A,B造价总共为100万元,当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64<x<100),中间每个桥墩的平均造价为803√x万元,桥面每1米长的平均造价为(2+x√x640)万元.(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x).(2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩A,B除外)应建多少个桥墩?19.(12分)(2022·济宁模拟)已知函数f(x)=ex2-1e x-ax(a∈R).(1)当a=32时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数a的取值范围.20.(13分)已知函数f(x)=(a+1a)lnx+1x-x(a>0).(1)求f(x)的极值.(2)若曲线y=f(x)上总存在不同两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在P,Q两点处的切线相互平行,证明x1+x2>2.ax2+x,a∈R.21.(14分)(2022·威海模拟)已知函数f(x)=lnx-12(1)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值.(2)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2≥√5−1.2答案解析1.C P={x|x≥2或x≤-1},又x∈P时,y=12x2-1∈[−12,+∞),故Q={y|y≥−12},故P∩Q={m|m≥2}.2.【解题提示】先化简A,留意运用指数函数的单调性解不等式,再依据集合的包含关系,求出a,b的范围,运用不等式的性质,求出a-b的取值范围.A 集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],由于A B,B=[a,b],所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即a-b的取值范围是(-∞,-2].3.A 由于函数f(x)为幂函数,所以设f(x)=xα,由于其图象过点(4,12),所以12=4α,解得α=-12,所以f(x)=x−12,所以f(8)=8−12−12=√24.4.A 函数f(x)=|x-a|={x−a,x≥a,a−x,x<a,则f(x)的单调增区间是[a,+∞).而函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增⇔a≤-1,所以“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的充分不必要条件.5.B 由题意可知g(x)=lnx-1x,由于g(1)=-1<0,g(2)=ln2-12=ln2-ln√e>0.所以函数g(x)的零点所在区间是(1,2).6.D 由于x0是f(x)的微小值点,y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称,所以-x0是y=-f(-x)的极大值点.7.B 由于x>1,所以c=log x(x2+0.3)>log x x2=2,又由于1<a<2,0<b<1,所以b<a<c.8.D 设切点为P(x0,y0),f′(x)=3-3x2,所以切线斜率k=3-3x02,切线方程为y-(3x0-x03)=(3-3x02)(x-x0),又由于点A(2,-2)在切线上,所以-2-(3x0-x03)=(3-3x02)(2-x0),解之得x0=2或x0=-1,所以k=-9或k=0,所以切线方程为9x+y-16=0或y=-2.【加固训练】若曲线y=e-ax+1在点(0,2)处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则a= ( )A.-2B.2C.-23D.23A 依题意知y′=-ae-ax,所以曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-a,又其切线与直线x+2y-1=0垂直,所以(-a)×(−12)=-1,即a=-2.9.D 选项A,问的是纵坐标最大值.选项B,消耗1升油甲走最远,则反过来路程相同甲最省油.选项C,此时甲走过了80千米,消耗8升汽油.选项D,80千米/小时以下丙“燃油效率”更高,更省油.10.C 当x ≤0时,f ′(x)=3(x+1)2e x+1+(x+1)3e x+1=(x+1)2e x+1(x+4),解f ′(x)=0,得x=-4或x=-1.由于x ∈(-∞,-4)时,f ′(x)<0;x ∈(-4,-1)时,f ′(x)>0;x ∈(-1,0)时,f ′(x)>0,则f(x)在区间x ∈(-∞,-4)上单调递减,在区间x ∈(-4,0)上单调递增.又由于f(x)是定义域为R 的偶函数,由其对称性可得,f(x)在区间x ∈(0,4)上单调递减,在区间x ∈(4,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=±4或x=0处取得极值. 11.【解析】y ′=3x 2+m,由题意知{1+m +c =n,3+m =2,n =2×1+1.所以{m =−1,n =3,c =3.所以m+n+c=5. 答案:512.【解析】由f(x+2)=-1f(x)可得,f(x+4)=-1f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数, f (−112)=f (−112+8)=f (52)=52.答案:5213.【解析】由x ∈(-∞,0)可得a 2-3a<0,得0<a<3, 所以y=(a 2-3a)x 在(-∞,0)上是减函数, 又f(x)=log 2a [(a 2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数, 所以2a>1,故12<a<3.答案:(12,3)14.【解析】由于f(x+1)=-1f(x),则有f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为2的周期函数,又f(x)是偶函数,当x ∈[-1,0]时,f(x)=x 2,则有当x ∈[0,1]时,f(x)=x 2,故当x ∈[-1,1]时,f(x)=x 2,那么当x ∈[1,3]时,f(x)=(x-2)2,而函数g(x)=f(x)-log a (x+2)有4个零点,故函数y=f(x)的图象与y=log a (x+2)有4个交点,数形结合可得1≥log a (3+2), 解得a ≥5. 答案:[5,+∞)15.【解析】由于对任意x ∈R,有f(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2+x. 又由于有且只有一个实数x 0,使得f(x 0)=x 0 所以对任意x ∈R,有f(x)-x 2+x=x 0, 在上式中令x=x 0,有f(x 0)-x 20+x 0=x 0,又由于f(x 0)=x 0,所以x 0-x 20=0,故x 0=0或x 0=1,若x 0=0,则f(x)-x 2+x=0,即f(x)=x 2-x,但方程x 2-x=x 有两个不相同实根,与题设条件冲突.故x 0≠0,若x 0=1,则有f(x)-x 2+x=1,即f(x)=x 2-x+1,此时f(x)=x 有且仅有一个实数1, 综上,x 0=1. 答案:116.【解析】由已知得:A={x|-1≤x ≤3}, B={x|m-2≤x ≤m+2}.(1)由于A ∩B=[0,3],所以{m −2=0,m +2≥3,所以{m =2,m ≥1,所以m=2.(2)R B={x|x<m-2或x>m+2}. 由于AR B,所以m-2>3或m+2<-1,所以m>5或m<-3,所以m 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).17.【解题提示】(1)由函数f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x),代入函数f(x)的解析式可解得实数b 的值.(2)首先求出函数f(x)的定义域,再求出其导函数f ′(x),最终分别令f ′(x)>0和f ′(x)<0即可求出函数f(x)的单调增区间和单调减区间.(3)由a-2>1得a>3,结合(2)可得,f(x)在(1,a-2)上单调递减,于是可得f(a-2)=1,解之即可得到实数a 的值.【解析】(1)由于f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x). 从而f(-x)+f(x)=0, 即log a1+bx −x−1+log a1−bx x−1=0,于是,(b 2-1)x 2=0,由x 的任意性知b 2-1=0, 解得b=-1或b=1(舍),所以b=-1. (2)由(1)得f(x)=log a x +1x−1,(x<-1或x>1),f ′(x)=−2(x 2−1)lna.当0<a<1时,f ′(x)>0,即f(x)的增区间为(-∞,-1),(1,+∞); 当a>1时,f ′(x)<0,即f(x)的减区间为(-∞,-1),(1,+∞).(3)由a-2>1得a>3,所以f(x)在(1,a-2)上单调递减,从而f(a-2)=1,即log a a −1a−3=1,又a>3,得a=2+√3.18.【解析】(1)由桥的总长为640米,相邻两个桥墩的距离为x 米,知中间共有(640x−1)个桥墩,于是桥的总造价f(x)=640(2+x √x 640)+803√x (640x−1)+100,即f(x)=x 32+640×803x −12-803x 12+1380=x32+51 2003x−12-803x12+1380(64<x<100).(表达式写成f(x)=x √x +51 2003√x−803√x +1 380同样给分)(2)由(1)可求f ′(x)=32x 12-640×403x −32-403x −12,整理得f ′(x)=16x −32(9x2-80x-640×80),由f ′(x)=0,解得x 1=80,x 2=-6409(舍去),又当x ∈(64,80)时,f ′(x)<0;当x ∈(80,100)时,f ′(x)>0,所以当x=80时桥的总造价最低,此时桥墩数为64080-1=7.19.【解析】(1)当a=32时,f(x)=e x 2-1e x -32x, f ′(x)=12ex [(e x )2-3e x +2] =12ex (e x -1)(e x -2), 令f ′(x)=0,得e x =1或e x =2, 即x=0或x=ln2,令f ′(x)>0,则x<0或x>ln2, 令f ′(x)<0,则0<x<ln2,所以f(x)在(-∞,0],[ln2,+∞)上单调递增,在(0,ln2)上单调递减. (2)f ′(x)=e x2+1e x -a,令e x =t,由于x ∈[-1,1], 所以t ∈[1e ,e].令h(t)=t 2+1t (t ∈[1e,e]), h ′(t)=12-1t 2=t 2−22t 2, 所以当t ∈[1e,√2)时h ′(t)<0,函数h(t)为单调减函数; 当t ∈(√2,e]时h ′(t)>0,函数h(t)为单调增函数, 所以√2≤h(t)≤e+12e .由于函数f(x)在[-1,1]上为单调函数, 所以若函数f(x)在[-1,1]上单调递增, 则a ≤t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≤√2;若函数f(x)在[-1,1]上单调递减,则a ≥t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≥e+12e,综上可得a ≤√2或a ≥e+12e.20.【解析】(1)f ′(x)=(a +1a )1x -1x2-1=-x 2−(a+1a)x+1x 2=-(x−a)(x−1a)x 2(x>0).当a>1时,0<1a<a,f(x)的单调递减区间是(0,1a),(a,+∞),单调递增区间是(1a,a). f(x)微小值=f (1a ) =(a +1a)ln 1a+a-1a=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)极大值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a. 当a=1时,f ′(x)=-(x−1)2x 2≤0,f(x)无极值. 当0<a<1时,0<a<1a,f(x)的单调递减区间是(0,a),(1a,+∞),单调递增区间是(a ,1a).f(x)极大值=f (1a)=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)微小值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a.(2)依题意知,f ′(x 1)=(a +1a )1x 1-1x 12-1=f ′(x 2) =(a +1a )1x 2-1x 22-1, 故a+1a =1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2. 由x 1+x 2>2√x 1x 2得x 1x 2<(x 1+x 2)24,故x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,故存在x 1,x 2使a+1a =x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,即x 1+x 2>4a+1a. 当a>0时,a+1a≥2,当且仅当a=1时取等号.所以x 1+x 2>4(a+1a )min=2.即x 1+x 2>2.21.【解析】(1)令g(x)=f(x)-(ax-1)=lnx-12ax 2+(1-a)x+1,所以g ′(x)=1x-ax+(1-a)=−ax 2+(1−a)x+1x,当a ≤0时,由于x>0,所以g ′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上是递增函数,又由于g(1)=ln1-12a ×12+(1-a)+1=-32a+2>0,所以关于x 的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立.当a>0时, g ′(x)=−ax 2+(1−a)x+1x=-a (x−1a)(x+1)x,令g ′(x)=0,得x=1a.所以当x ∈(0,1a )时,g ′(x)>0;当x ∈(1a,+∞)时,g ′(x)<0,因此函数g(x)在x ∈(0,1a)是增函数,在x ∈(1a,+∞)是减函数.故函数g(x)的最大值为g (1a)=ln 1a -12a ×(1a)2+(1-a)×1a+1=12a-lna.令h(a)=12a-lna,由于h(1)=12>0,h(2)=14-ln2<0,又由于h(a)在a ∈(0,+∞)是减函数,所以当a ≥2时,h(a)<0,所以整数a 的最小值为2.【一题多解】本题还可以接受以下方法 由f(x)≤ax-1恒成立,得lnx-12ax 2+x ≤ax-1在(0,+∞)上恒成立,问题等价于a ≥ln x+x+112x 2+x 在(0,+∞)上恒成立.令g(x)=ln x+x+112x 2+x ,只要a ≥g(x)max , 由于g ′(x)=(x+1)(−12x−lnx)(12x 2+x)2. 令g ′(x)=0, 得-12x-lnx=0.设h(x)=-12x-lnx,由于h ′(x)=-12-1x<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减, 不妨设-12x-lnx=0的根为x 0.当x ∈(0,x 0)时,g ′(x)>0; 当x ∈(x 0,+∞)时,g ′(x)<0,所以g(x)在x ∈(0,x 0)上是增函数;在x ∈(x 0,+∞)上是减函数.所以g(x)max =g(x 0)=ln x 0+x 0+112x 02+x 0=1+12x 0x 0(1+12x 0)=1x 0,由于h (12)=ln2-14>0,h(1)=-12<0,所以12<x 0<1,此时1<1x 0<2,即g(x)max ∈(1,2).所以a ≥2,即整数a 的最小值为2. (2)当a=-2时,f(x)=lnx+x 2+x,x>0, 由f(x 1)+f(x 2)+x 1x 2=0,即lnx 1+x 12+x 1+lnx 2+x 22+x 2+x 1x 2=0,从而(x 1+x 2)2+(x 1+x 2) =x 1·x 2-ln(x 1·x 2)令t=x 1·x 2,则由φ(t)=t-lnt 得,φ′(t)=t −1t,可知,φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增. 所以φ(t)≥φ(1)=1, 所以(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)≥1,因此x1+x2≥√5−1成立.2关闭Word文档返回原板块。

人教版高中数学高考一轮复习--集合

人教版高中数学高考一轮复习--集合
A.M∩N=⌀B.M=N
C.M⊆N
D.N⊆M
由题意,对于集合M,当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则x=k+1(k∈Z),当n为奇
1
数时,设n=2k+1(k∈Z),则x=k+1+ 2 (k∈Z),即N⊆M,故选D.
(2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取
(2)看这些元素满足什么限制条件;
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数;
(4)要注意检验集合的元素是否满足互异性.
对点训练1
(1)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则集合A中元素的个数为
( A )
A.9
B.8
C.5
D.4
(方法一)将满足x2+y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),
已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空
集进行分类讨论,做到不漏解.
(1)若集合中元素是一一列举的,则依据集合间的关系,转化为方程(组)求解,
此时注意集合中元素的互异性;
(2)若集合表示的是不等式的解集,则常依据数轴转化为不等式(组)求解,此
时需注意端点值能否取到.
对点训练2
5.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概
念的作用.
备考指导
集合知识高考必考,一般为选择题第1题或第2题,偶尔也可能作为填空题第
1题,难度较小.常与不等式、函数、方程结合,主要考查集合的交、并、补

高考数学一轮复习知识点总结集合与函数

高考数学一轮复习知识点总结集合与函数

精品基础教育教学资料,仅供参考,需要可下载使用!集合考试内容:集合、子集、补集、交集、并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件. 考试要求:(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. (2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系;掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.§01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分:二、知识回顾:(一) 集合1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质:①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ⊆; ②空集是任何集合的子集,记为A ⊆φ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果B A ⊆,同时A B ⊆,那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆,那么,.[注]:①Z = {整数}(√) Z ={全体整数} (×)②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.(×)(例:S=N ; A=+N ,则C s A= {0}) ③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ,则C B A = ∅, C A B = ∅ C S (C A B )= D ( 注 :C A B = ∅). 3. ①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集.②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R}二、四象限的点集.③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R } 一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例: ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2,1)}.②点集与数集的交集是φ. (例:A ={(x ,y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅) 4. ①n 个元素的子集有2n个. ②n 个元素的真子集有2n-1个. ③n 个元素的非空真子集有2n-2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例:①若325≠≠≠+b a b a 或,则应是真命题.解:逆否:a = 2且 b = 3,则a+b = 5,成立,所以此命题为真. ②且21≠≠y x 3≠+y . 解:逆否:x + y =3x = 1或y = 2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分,又不是必要条件.⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 3. 例:若255 x x x 或,⇒. 4. 集合运算:交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交:且并:或补:且C 5. 主要性质和运算律 (1) 包含关系:,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C(2) 等价关系:U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C (3) 集合的运算律:交换律:.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律:,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律:.,A A A A A A ==求补律:A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U反演律:C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )6. 有限集的元素个数定义:有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数,记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式:(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+(3) card ( U A )= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法(零点分段法)①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式,并将各因式x 的系数化“+”;(为了统一方便)②求根,并在数轴上表示出来;③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?);④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.+-+-x 1x 2x 3x m-3x m-2xm-1x mx(自右向左正负相间) 则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a xa x a n n n n的解可以根据各区间的符号确定.特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论;②一元二次不等式ax 2+box>0(a>0)解的讨论.0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2(0>a )的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-==无实根原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互2.分式不等式的解法 (1)标准化:移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0);)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式, (2)转化为整式不等式(组)⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f3.含绝对值不等式的解法(1)公式法:c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.(2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论.(3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)(1)根的“零分布”:根据判别式和韦达定理分析列式解之.(2)根的“非零分布”:作二次函数图象,用数形结合思想分析列式解之. (三)简易逻辑1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。

1.1集合的概念及运算(讲义)-2023届高考一轮复习

1.1集合的概念及运算(讲义)-2023届高考一轮复习

1.1集合的概念及运算【考试要求】.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系,能用集合语言描述不同的具体问题;1.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;.在具体情境中,了解全集与空集的含义;2.理解两个集合的并集、交集与补集的含义,会求两个简单集合的并集、交集与补集,能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算。

【考点提示】.以选择题、填空题的形式考查集合的交集、并集、补集运算;1.以集合为载体,考查函数的定义域、值域、方程、不等式及曲线间的交点问题;.以考查集合含义及运算为主,同时考查集合语言和思想的运用。

【要点梳理】1.集合的含义与表示(1)集合的含义:指定某些对象的全体称为集合,集合的每个对象称为元素;(2)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性;(3)元素与集合的关系:属于记为,反4;不属于记为agA;(4)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法;(5)常用数集及其符号表示:自然数集:JV;正整数集:N*或"整数集:Z;有理数集:。

;实数集:区;(6)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集;.集合的基本关系(1)子集:一般地,对于两个集合A , B,集合A中任何一个元素均为集合「中的元素,那么称集合A是集合B的子集,记作:AqB或(2)相等:如果且那么A = B;(3)真子集:对于两个集合A, B,如果且AwB,那么称集合A是集合B的真子集,记作:A曙8或A;(4)空集:不含任何元素的集合,空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集,可以表示为:0GA或0思3 (B^0);(5)假设一个集合A中有〃个元素,那么集合A有2:个子集,2"-1个真子集。

2.集合的运算(1)集合的基本运算【基础自测】]假设集合 A = {2£ N IX W 12022 } , 贝 Ij()A. tzeAB. [a}eAC.[a}^AD. a^A答案:D2.(21•全国乙理)集合3 = {5|5 = 2〃 + 1,〃£2}, 2={Z|E=4〃+1/£Z},那么S"=()A. 0B. SC. TD. Z答案:c3.(21•全国甲理)设集合M={x[0<xv4}, N = {x|1wxW5}那么MAN=()A. {x|O<x<l}B. {x|-<x<4}C. {x|4<x<5}D. {x|0<x<5}答案:B4.(21 •全国乙文)全集。

高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式1-4一元二次不等式与几类重要不等式的解法课件

高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式1-4一元二次不等式与几类重要不等式的解法课件
(5)x(x+2)2>0 的解集是(-∞,-2)∪(0,+∞).
() ()
解:(1)×; (2)√; (3)×; (4)×; (5)×.
不等式 2x2-x-3>0 的解集为
()
A. x|-1<x<32 C. x|x<-1或x>32
B. {x|x<-3 或 x>1} D. {x|x<-1 或 x>1}
判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)-x2+x>0 的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).
()
(2)若二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集为(x1,x2),则必有 a<0. (3)不等式 ax2+bx+c>0 恒成立,则 a>0 且 Δ<0.
() ()
(4)ax<b 的解集是ab,+∞.
(2020 年江苏淮阴中学高二期末)不等式
x2-x-4 x-1 >1
的解集为
()
A. {x|x<-1 或 x>3}
B. {x|x<-1 或 1<x<3}
C. {x|-1<x<1 或 x>3}
D. {x|-1<x<1 或 1<x<3}
解:原不等式可化为x2-x-x-1 4-1>0,即x2-x-2x1-3>0,等价于(x+1)(x-1)(x-3)>0.
(3)解关于 x 的不等式 ax2-2≥2x-ax(a∈R).
解:原不等式可化为 ax2+(a-2)x-2≥0(a∈R), 即(ax-2)(x+1)≥0(a∈R). 当 a=0 时,原不等式可化简为 x+1≤0, 原不等式的解集为{x|x≤-1}; 当 a≠0 时,原不等式的解集由2a和-1 的大小决定,当 a>0 时,2a>-1;当-2<a<0 时, 2a<-1;当 a=-2 时,2a=-1;当 a<-2 时,2a>-1.

高考数学复习笔记1第一章 第一节 集合

高考数学复习笔记1第一章 第一节 集合

数学一轮总复习 第一章 集合与简易逻辑第一节 集合【考纲要求】【知识网络】【考点梳理】 一.集合的概念:集 合集 合 表 示 法集 合 的 关 系集 合 的 运 算 描 述 法图 示 法列 举 法 相 等 包 含 交 集并 集 补 集子集、真子集1.一般的,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合,简称为集。

集合通常用大写的拉丁字母表示,如A 、B 、C 、……元素通常用小写的拉丁字母表示,如a 、b 、c 、…… 2.集合中元素特征(1)确定性:给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. (2)互异性:集合中的元素一定是不同的. (3)无序性:集合中的元素没有固定的顺序. 3.集合的分类:根据集合所含元素个属不同,可把集合分为如下几类: (1)把不含任何元素的集合叫做空集Ф (2)含有有限个元素的集合叫做有限集 (3)含有无穷个元素的集合叫做无限集 注:应区分Φ,}{Φ,}0{,0等符号的含义 4、常用数集(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合.记作N (2)正整数集:非负整数集内排除0的集.记作N *或N + (3)整数集:全体整数的集合.记作Z (4)有理数集:全体有理数的集合.记作Q (5)实数集:全体实数的集合.记作R 注:(1)自然数集包括数0.(2)非负整数集内排除0的集.记作N *或N +,Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集,也这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z *二.集合的表示法:1.列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N +={0,1,2,3,…};2.描述法:例如,不等式232>-x x 的解集可以表示为:}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2>-x x x , 3.韦恩图: 4.区间法:三.集合间的基本关系:1.元素与集合的关系,用∈或∉表示;属于:如果a 是集合A 的元素,就说a 属于A ,记作a ∈A 不属于:如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A ,记作A a ∉ 要注意“∈”的方向,不能把a ∈A 颠倒过来写.2.集合与集合的关系,用⊆,≠⊂,=表示,当A ⊆B 时,称A 是B 的子集;当A ≠⊂B 时,称A 是B 的真子集。

高考数学复习——高一数学必修1各章知识点汇总

高考数学复习——高一数学必修1各章知识点汇总

高考数学复习——高一数学必修1各章知识点汇总第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R2.关于“属于”的概念如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 a∉A3.集合的分类:(1).有限集含有有限个元素的集合(2).无限集含有无限个元素的集合(3).空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}=Φ二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意:BA⊆有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ⊆/B或B⊇/A2.“相等”关系:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B①任何一个集合是它本身的子集。

即A⊆A②如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C ④如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算1.交集: 记作A∩B(读作"A交B"),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.2.并集: 记作A∪B(读作"A并B"),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.3.交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A ,A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4.全集与补集(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即SA⊆),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作: C S A即 C S A ={x | x∈S且 x∉A}(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。

2025年高考数学一轮复习(新高考版)第1章 §1.1 集 合

2025年高考数学一轮复习(新高考版)第1章 §1.1 集 合
√A.0是任何数域的元素 √B.若数域F有非零元素,则2 023∈F
C.集合P={x|x=3k,k∈Z}为数域
√D.有理数集为数域
对于A,若a∈F,则a-a=0∈F,故A正确; 对于 B,若 a∈F 且 a≠0,则 1=aa∈F,2=1+1∈F,3=1+2∈F, 依此类推,可得 2 023∈F,故 B 正确; 对于 C,P={x|x=3k,k∈Z},3∈P,6∈P,但36∉P,故 P 不是数域,故 C 错误; 对于 D,若 a,b 是两个有理数,则 a+b,a-b,ab,ab(b≠0)都是有 理数,所以有理数集是数域,故 D 正确.
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
例4 (2023·衡水模拟)已知集合A={x|y=ln(1-x2)},B={x|x≤a},若
(∁RA)∪B=R,则实数a的取值范围为
A.(1,+∞)
√B.[1,+∞)
C.(-∞,1)
D.(-∞,1]
由题可知A={x|y=ln(1-x2)}={x|-1<x<1}, ∁RA={x|x≤-1或x≥1}, 所以由(∁RA)∪B=R,得a≥1.
(2)设全集U=R,A={x|-2≤x<4},B={x|y= x+2},则图中阴影部分 表示的集合为 A.{x|x≤-2} B.{x|x>-2}
√C.{x|x≥4}
D.{x|x≤4}
观察Venn图,可知阴影部分的元素由属于B而不属于A的元素构成, 所以阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B. ∵A={x|-2≤x<4},U=R, ∴∁UA={x|x<-2或x≥4}, 又B={x|y= x+2 }⇒B={x|x≥-2}, ∴(∁UA)∩B={x|x≥4}.
√A.[1,4)
C.[4,+∞)
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高考一轮复习(一) ——集合与函数一、集合1.集合的含义与表示(1)集合的概念:集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.(2)常用数集及其记法:N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.(3)集合与元素间的关系:对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一. (4)集合的表示法:①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).2.集合间的基本关系(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集,它有22n -非空真子集.3.集合的基本运算(8)交集、并集、补集名称 记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈(1)AA A = (2)A ∅=∅(3)A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集 A B{|,x x A ∈或}x B ∈(1)AA A = (2)A A ∅=(3)A B A ⊇ A B B ⊇BA补集UA{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅2()U A A U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<<||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体,化成||x a <,||(0)x a a >>型不等式来求解(2)一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a -±-=(其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x << ∅ ∅()()()U U U A B A B =()()()UU U A B A B =二、命题1.命题:可以判断真假的语句 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.p2.命题的四种形式及其相互关系原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.三、函数及其表示 1.函数的概念(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1.⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.④换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑤数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 ⑥函数的单调性法.2.函数的表示法1.函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2.映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象.yxo四、函数的基本性质1.单调性与最大(小)值(1)函数的单调性函数的 性 质定义 图象 判定方法函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. x 1x 2y=f(X)x y f(x )1f(x )2o(1)利用定义 (2)利用已知函数的单调性 (3)利用函数图象(在某个区间图象上升为增)(4)利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211(1)利用定义 (2)利用已知函数的单调性 (3)利用函数图象(在某个区间图 象下降为减)(4)利用复合函数减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减.(2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a -、]a 上为减函数. (3)最大(小)值定义①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤;(2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M =.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.3.奇偶性(4)函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性 质定义图象 判定方法函数的奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...-.f(x)....,那么函数f(x)叫做奇函..数.. (1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于原点对称)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...f(x)....,那么函数f(x)叫做偶函..数..(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于y 轴对称)②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.。

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